( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) Predavanja iz predmeta Matematika za ekonomiste: IV dio

Transcript

1 Predavaja iz predmeta Matematika za ekoomiste: IV dio U okviru četvrtog dijela predavaja predviđeo je da studeti savladaju slijedeće programske sadržaje:. Graiča vrijedost fukcije.. Neprekidost fukcije. sobie eprekidih fukcija. 3. Neke elemetare fukcije: stepea, ekspoecijala i logaritamska. 4. Pojam izvoda fukcije. Geometrijsko začeje izvoda fukcije. 5. Primjea izvoda u ekoomiji. Margiala fukcija. Koeficijet elastičosti. IV.. Graiča vrijedost fukcije Defiicija. Neka je fukcija = f ( ) defiisaa u okolii eke tačke, osim evetualo u samoj tački. Za broj A kažemo da je graiča vrijedost fukcije f ( ) u tački i pišemo A = lim f ( ) ako za dat ε > postoji δ > koje zavisi samo od ε (to pišemo kao ( ) δ = δ ε ) tako da vrijedi ( ) < δ f A < ε. vo možemo zapisati kao δ < < + δ A ε < f ( ) < A+ ε. vdje po defiiciji pretpostavljamo da je A <. Graiča vrijedost fukcije ( ) može da bude i beskoačost (+ ili - ). Sada ćemo dati deficiciju u slučaju da je graiča vrijedsot. Defiicija. Neka je fukcija = f ( ) defiisaa u ekoj okolii tačke osim evetualo u samoj tački. Tada je lim f ( ) = + ( ) ako za proizvoljo veliko, pozitivo M postoji broj δ koji zavisi samo od M (dakle, δ = δ( M ) ) takav da vrijedi < δ f ( ) > M ( f ( ) < M). Napomeimo da fukcija u ekoj tački e može primati vrijedost + ili. Pogledajmo primjer fukcije sa grafika:

2 Slika. va fukcija očigledo ema graiču vrijedost kada. Međutim ima tzv. "desu" i "lijevu" graiču vrijedost. S slike se vidi da je lijeva graiča vrijedost eki koača broj, dok je desa graiča vrijedost +. Sada ćemo dati defiiciju dese i lijeve graiče vrijedosti. Defiicija 3. Neka je fukcija f ( ) defiisaa a itervalu (, ) a ( a< ). Broj A < je lijeva graiča vrijedost fukcije f kad (ili kada, što zači da se približava broju s lijeve strae) ako za svako ε > postoji δ = δ( ε) takvo da vrijedi δ f A < ε. < ( ) (lijevu graiču vrijedsot aalogo defiišemo i kada je A = ). vo pišemo kao lim f ( ) = A. Desa graiča vrijedost fukcije (bila oa koača ili beskoača) aalogo se defiiše se a isti ači, samo je potrebo da fukcija bude defiisaa deso od tačke i treba vrijediti δ f A < ε. < ( ) Za desu graiču vrijedost koristimo ozaku (ili + ). Teorem. Fukcija f ima u tački graiču vrijedost A (ili ± ) ako i samo ako postoje limesi lim f ( ) i lim f ( ) i jedaki su A (ili ± ). Na kraju, daćemo defiiciju graiče vrijedosti fukcije kada +, odoso kada. Defiicija 4. Neka je fukcija f defiisaa a itervalu ( a, + ) ((,a) graiču vrijedost A < kada ( ) ako za dato takvo da vrijedi > ( < ) f ( ) A < ε. ). Fukcija f ima ε ε > postoji = ( ) >

3 (U slučaju A = ili A = imali bi f ( ) > M ( ( ) Primjer. Izračuajmo lim( 3). = u fukciju vidimo da je ( ) f < M ) za uaprijed dato M >.) Direktim uvrštavajem lim 3 = 4 3 =. Aalogo, zaključujemo da je lim = =. + + Primjer. Ukoliko želimo direktim uvrštavajem izračuati e lim, to ije moguće jer e e e za = 3 dobijamo da je lim = =, što ije defiisao. Ukoliko bismo apisali da e e je lim = =, također bismo apravili grešku, jer limes može biti samo + ili, a 3 3 e. To as avodi da posmatramo posebo lijeve i dese graiče vrijedosti, pa imamo: 3 e e lim =, gdje am zak "-" izad broja ozačava da je za < 3 (jer posmatramo 3 3 lijevi limes) izraz 3 egativa. To zači da je količik e 3 također egativa (jer je 3 e e ekspoecijala fukcija uvijek pozitiva), pa je lim = =. 3 3 Aalogo, možemo zaključiti da je, za > 3 izraz 3 uvijek pozitiva, pa je 3 e e lim = = e Kako se lijevi i desi limesi fukcije 3, kad 3 razlikuju, to e postoji limes te fukcije kad 3, ego samo lijevi i desi limesi. 3 Primjer 3. Izračuajmo lim. Pri izračuavaju limesa racioale fukcije kada ± ±, jedostavije je podijeliti brojik i azivik sa varijablom podigutom a ajveći stepe koji se alazi u aziviku (u ovom primjeru je to ). Imamo: 3 3 lim lim lim ± ± ± = = =±. (Koristili smo čijeicu da je Aalogo ćemo izračiati lim ± 3 lim = lim = lim = = lim 3 i. Imamo: lim = ). ±

4 ± ± ± lim = lim = lim =. Na kraju, avedimo eke važe graiče vrijedosti: e = lim + (po defiiciji); e= lim + = lim + t si lim =. ( t) / t ; IV.. Neprekidost fukcije. sobie eprekidih fukcija. IV... Defiicija eprekidosti. Defiicija. Neka je fukcija f defiisaa u tački i u ekoj okolii tačke. Za fukciju f kažemo da je eprekida u tački ako postoji lim f ( ) i jedak je f ( ). Moguće je defiisati eprekidost s desa (s lijeva) a sljedeći ači: Neka je fukcija f defiisaa u itervalu ( a, ] ([, ) ako postoji lim ( ) ( lim ( ) eprekida s desa (lijeva) u tački f b ). Za fukciju f kažemo da je f ) i jedak je f ( ). Fukcija je eprekida u tački ako i samo ako je eprekida i s desa i s lijeva u toj tački. Primjer. Neprekida fukcija u Fukcija eprekida s lijeva u

5 Fukcija eprekida s desa u Geometrijski, fukcija je eprekida u tada je grafik te fukcije kriva koja se "e prekida" pri prolasku kroz. Elemetare fukcije, o kojima ćemo više reći u trećem dijelu, su eprekide u svim tačkama u kojima su defiisae. Fukcija f defiisaa u tački i ekoj jeoj okolii je u toj tački prekida ako i samo ako lim f = f = lim f. ije ( ) ( ) ( ) Zaviso od toga da li gorji limesi postoje ili e postoje razlikujemo ekoliko vrsta prekida fukcije.. Tačka je tačka prekida fukcije f s koačim skokom ako postoje koače vijedosti lijevog i desog limesa fukcije u, ali je } skok lim f ( ) lim f ( ). Skok je jedak vrijedosti lim f lim f. izraza ( ) ( ). Ako fukcija f ( ) ima u koaču graiču vrijedost različitu od f ( ) tada je tačka otklojivog prekida fukcije f ( ) otklajamo tako da defiišemo f ( ) = f ( ).) lim si Primjer. Fukciju f ( ) = u tački = defiišemo tako da bude jedaka jeda. Tada dobijamo eprekidu fukciju.. (Prekid

6 Tačke prekida koje su avedee pod. i. azivamo tačke prekida I vrste. 3. Za fukciju f ( ) kažemo da u tački ima prekid II vrste ako bar jeda od graičih vrijedosti lim ( ) ili lim ( ) e postoji ili je beskoača. f f IV... sobie eprekidih fukcija Teorem. Ako je fukcija f ( ) eprekida a zatvoreom itervalu [, ] tom itervalu ograičea i prima svoju ajmaju i ajveću vrijedost. ab, oda je oa a Teorem. Ako je fukcija f ( ) eprekida a [ ab, ] i ako su f ( a ) i ( ) zaka, tad fukcija f ( ) ima a segmetu [ ab, ] barem jedu ulu. f b različitog Teorem 3. Fukcija eprekida u otvoreom ili zatvoreom itervalu prolazi u tom itervalu sve vrijedosti između ma koje dvije vrijedosti f ( ) i ( ) f za i iz tog itervala. IV.3. Neke elemetare fukcije: stepea, ekspoecijala i logaritamska. U elemetare fukcije stadaju stepea fukcija, ekspoecijala fukcija, logaritamska fukcija, trigoometrijske fukcije, iverze trigoometrijske fukcije i sve fukcije koje se sa koačo mogo algebarskih operacija i operacijom kompozicije fukcija mogu dobiti iz avedeih fukcija. Mi se ećemo baviti trigoometriskim i iverzim trigoometrijskim fukcijama, jer oe emaju široku primjeu u ekomoiji.. Stepea fukcija je fukcija oblika = α (α ).Mi ćemo posmatrati samo eke specijale slučajeve stepee fukcije. To su: a) α =. Fukcija =, gdje je priroda broj defiisaa je za svako i eprekida za svako. ±, kada ± za eparo i +, kada ± za paro. Za eparo fukcija može biti pozitiva i egativa, dok je za paro fukcija uvjek pozitiva. Na itervalu [, ) fukcija Na itervalu (,) fukcija eprekida. Na itervalu [, ) fukcija koja je strogo rastuća i [, ), dok za eparo fukcija je strogo rastuća i eprekida. defiisaa a, rastuća i eprekida a. Na slici je prikazao ekoliko stepeih fukcija. je strogo rastuća za eparo a za paro je opadajuća i = ima iverzu fukciju / = = eprekida. Ako je paro iverza fukcija postoji samo a = ima iverzu fukciju / = = koja je

7 = 3 = = 3 b) α = <, za priroda broj. Fukcija =,, to jest =, defiisaa je za svako,. va fukcija je para kada je paro i epara kada je eparo. Za paro ( = ) je: fukcija rastuća a itervalu (,) k opadajuća a itervalu (, )., = k Vrijedi lim k =+ ; lim =. ± k Za eparo ( k ) = + je: fukcija uvjek opadajuća, lim k =, lim + k =+. + Također, lim = i fukcija je eprekida svuda ± k + gdje je deifiisaa. = k + c) Mogu se posmatrati i slučajevi kada je m α = ali to ećemo čiiti.

8 Ekspoecijala fukcija Ekspoecijala fukcija je fukcija oblika = a, pri čemu uzimamo da je a >. va fukcija je defiisaa za svako i pozitiva za sve. Razlikujemo dva slučaja: a > i a <. U slučaju a = fukcija je kostata (jedaka je za svako ). a a ( ) = < = a ( a > ) = a) Za a >, fukcija je rastuća i eprekida a cijelom defiicioom području. Vrijedi lim a + = +, lim a =. b) Za a <, fukcija je opadajuća i eprekida a cijelom defiicioom području i vrijedi lim a =, lim a =+. + Logaritamska fukcija Logaritamska fukcija je iverza ekspoecijaloj fukciji. To je fukcija oblika = log a, pri čemu smatramo da je a > i a. va fukcija je defiisaa samo za pozitive reale brojeve, i sličo kao kod ekspoecijale fukcije, razlikovat ćemo dva slučaja: a) Za a > fukcija raste a cijelom defiicioom području, eprekida je, ima ulu u tački = i vrijedi lim log a =+, te limlog a =. + b) Za a (,) tada fukcija opada a cijelom defiicioom području, eprekida je, ima ulu u tački = i vrijedi lim log a =, te limlog a = +. + = log, a > a = log, a< a Važa specijali slučaj ekspoecijale i logaritamske fukcije je kada je a = e ( e,73 ) tako da tada fukcije = e i = loge = l spadaju u klasu a >. l a l a log Napomeimo još da je a = e = e e i loga = l log a = l a. e

9 IV. 4. Pojam izvoda fukcije. Geometrijsko začeje izvoda fukcije. U ispitivaju ekoomskih pojava do sada smo se bavili tzv statičkom aalizom, tj određivali smo staje ekvilibrijuma datog modela. Pri tome se ismo bavili pitajem koliko se taj ekvlibrijum mijeja ukoliko promijeimo počete uvjete. Time se bavi diamička aaliza. U diamičkoj aalizi bavit ćemo se tzv stepeom promjee određee varijable = f ( ) pri ekoj promjei varijable. Taj stepe promjee možemo ispitivati kvalitativo i kvatitativo. Kvalitativo, zaima as da li sa porastom - sa dolazi do porasta ili smajivaja -a i kvatitativo, zaima as kolika je ta promjea. tgϕ =. ( + ) ( ) f f Defiicija. Ako postoji ( + ) ( ) f f lim : f ' Pretpostavimo sada da aša varijabla zavisi samo od.. Ukoliko promijei svoju vrijedost od do +, tada mijeja svoju vrijedost od f ( ) do f ( + ). Razmjera, ili stepe promjee po jediici ( + ) ( ) f f promjee -a je =. Vidimo da je fukcija i (za dato f). Ako je ϕ ugao ozače a slici, vidimo da je = ( ) tački (odoso da ima izvod u ). Izvod fukcije u d Pišemo još i lim = = '. d d Dakle, za malo d ϕ + kažemo da je fukcija diferecijabila u ozačavamo sa '( ). (ovdje je ozaka za približu vrijedost). Geometrijski gledajući, prvi izvod fukcije f u tački pravca tagete a krivu = f ( ) u tački. (dakle, '( ) Prvi izvod am određuje smjer promjee fukcije. Ako je ( ) rastom -a raste i ), a ako je '( ) f. f ) jedak je koeficijetu f ' > tu je promjea pozitiva (s f < tu je promjea egativa (s rastom -a opada). Proces alažeja izvoda zovemo diferecirajem. Vidjeli smo raije da lim e mora postojati. Međutim mogu postojati lijevi i desi limesi. Takvi limesi su desi i lijevi izvod fukcije f u tački (tu fukcija ije diferecijabila). Ukoliko je lim = ± tu fukcija ije diferecijabila, ali to geometrijski zači da je tageta β β

10 u tački (, ( ) ) lijevo). f okomita a osu. ( slučaj kada je tageta okomita a -osu prikaza je a slici Možemo reći da izvod fukcije ozačava "brziu jee promjee". IV.5. Primjea izvoda u ekoomiji. Margiala fukcija. Koeficijet elastičosti. Kao što smo vidjeli, izvod fukcije am govori kojom se brziom i kako fukcija mijeja. Ukoliko je prvi izvod veliki pozitiva broj, to zači da fukcija brzo rasle, ukoliko je male (po apsolutoj vrijedosti) egativa broj, to zači da fukcija sporo opada i sl. Ukoliko je riječ o fukciji koja ima eko ekoomsko začeje, tada am prvi izvod predstavlčja graiču ili margialu fukciju te fukcije. Primjer. Ako je C C( Q) = fukcija troškova (gdje smo sa Q ozačili količiu proizvodje), u ekoomiji se defiiše tzv. fukcija margialog ili graičog troška, koju ozačavamo sa MC(Q) sa MC Q = C' Q. ( ) ( ) Ako sa AC( Q) ozačimo fukciju prosječog troška, tj. AC ( Q) MC Q ( ) AC( Q) za male Q. ( ) C Q =, tada je Q Primjer. Koeficijet elastičosti pojave u odosu a promjeu pojave se defiiše sa ε, : =. Ekoomski, to zači da, ako se promijei za % (tj. = ) tada se varijabla promijei za ε, = %. Ako je ε, > tada je elastiča a promjeu, a za ε, < kažemo da je eelastiča a promjeu. Zapravo kad je riječ o malim promjeama (u ekoomiji su d uglavom takve u vremeu), možemo smatrati da je ε, = = '. d (U mikroekoomiji se defiišu različite elastičosti, pr. elastičost supstitucije proizvodih faktora skupljeg faktora jeftiijim, ili elastičost potražje u odosu a dohodak,...).