Lucrarea de laborator nr. 7
|
|
- Πτολεμαῖος Παπακώστας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. 7 I. Scopul lucrării Rezolvarea ecuaţiilor neliniare: Metoda punctului fix, Metoda bisecţiei, Metoda coardei. II. Conţinutul lucrării 1. Familia de comenzi solve din MAPLE 2. Metoda punctului fix. 3. Metoda bisecţiei. 4. Metoda coardei. III. Prezentarea lucrării III.1. Familia de comenzi solve din MAPLE Spre deosebire de atribuiri, ecuaţiile sunt expresii matematice simple care stabilesc relaţii între anumite variabile şi/sau valori (fără a asocia vreo valoare explicită pentru variabilele conţinute). Operatorul folosit este = (reamintim că în cazul atribuirii se utilizează : =). O familie de comenzi care folosesc ecuaţiile ca parametrii este familia de comenzi solve. Forma generală a comenzii solve este: >solve(ecuatie, necunoscuta); sau >solve(ecuatii, neconoscute); MAPLE dispune de comenzi specializate pentru rezolvarea diverselor tipuri de ecuaţii (rezolvarea ecuaţiilor în diverse mulţimi): fsolve: rezolvă ecuaţii în virgulă mobilă isolve: rezolvă ecuaţii în mulţimea numerelor întregi msolve: rezolvă ecuaţii modulo m rsolve: rezolvă ecuaţii date prin relaţii de recurenţă dsolve: rezolvă ecuaţii diferenţiale ordinare 77
2 Mădălina Roxana Buneci linsolve: rezolvă sisteme de ecuaţii liniare; această comandă aparţine pachetului linalg, deci înainte de utilizare trebuie încărcat acest pachet sau comanda trebuie apelată sub forma linalg[linsolve]. Parametrii acestei comenzi sunt: matricea sistemului A, vectorul termenilor liberi b, şi opţional un al treilea parametru, căruia i se va atribui rangul matricei. Dacă vectorul termenilor liberi se înlocuieşte cu o matrice B, atunci comanda întoarce matricea X care verifică AX = B. Exemple. > solve(cos(x)+y=9,x); Pi - arccos(y - 9) >solve({cos(x)+y=9, x+y-pi/2=9},{x,y}); {y = 9, x = 1/2 Pi} > solve(x^2-2*x+1,x); 1, 1 > solve(x^2-2*x+7,x); 1 + I 6, 1 - I 6 > dsolve({diff(y(t),t)+t=0, y(1)=2}, y(t)); y(t) = t > isolve(3*x+4*y=7); {x = 1-4 _N1, y = _N1} > isolve(3*x+4*y=7,t); {x = 1-4 t, y = t} > msolve({2*x+3*y=1,5*x-2*y=4},5); {y = 3, x = 1} > rsolve(f(n)=2*f(n-1)+3*f(n-2), f(k)); ( 4 3 f(0) f(1)) (-1) k - (- 4 1 f(0) f(1)) 3 k > with(linalg); > A:=matrix(3,3,[1,2,3,6-8,7,8,1,0,1]); A := > b:=vector(3,[-7,2,3]); b := [-7, 2, 3] > linsolve(a,b); 78
3 Metode Numerice [,, ] > linsolve(a,b,'r'); [,, ] > r; 3 > B:=matrix(3,2,[-7,3,2,4,3,5]); -7 3 B := > linsolve(a,b); > C:=matrix(2,2,[1,2,-5,-10]); 1 2 C := > d:=vector(2,[7,-35]); d := [7, -35] > linsolve(c,d); [7-2 _t[1], _t[1]] > b1:=vector(2,[7,-34]); b1 := [7, -34] > linsolve(c,b1); > Ultimul sistem (sistemul Cx = b1) este incompatibil. În această situaţie MAPLE întoarce constanta NULL. Această explică lipsa răspunsului la ultima comandă. 79
4 Mădălina Roxana Buneci Rezultatele pe care le vom obţine, utilizând metodele prezentate în secţiunile următoare vor fi comparate cu rezultatele comenzii fsolve. Comanda fsolve admite un set de opţiuni. Specificarea lor nu este obligatorie. Astfel forma generală a comenzii este: > fsolve(ecuatii, necunoscute, optiuni) Opţiunile sunt: complex: caută rădăcinile ecuaţiei în mulţimea numerelor complexe (în virgulă mobilă). fulldigits: previne micşorarea numărului de cifre semnificative pe măsură ce se execută calculele; precizia evaluării creşte dar viteză de execuţie scade. maxsols = n: calculează cele mai mici n rădăcini; opţiunea are sens doar pentru ecuaţiile polinomiale, pentru că numai pentru acestea se calculează mai multe rădăcini. interval: caută rădăcinile în intervalul dat; intervalul se specifică sub forma a..b, sau x = a..b, sau {x = a..b, y = c..d, }; intervalul se consideră închis. Exemple > fsolve(tan(sin(x))=1,x); > fsolve(x^4-1,x); -1., 1. > fsolve(x^4-1,x,0..4); > fsolve(x^4-1,x,complex); -1., -1. I, 1. I, 1. > fsolve(x^4-1,x,complex, maxsols=2); -1., -1. I > Digits:=20; Digits := 20 > fsolve(x^2=2,x=0..infinity); >fsolve(x^2=2,x=0..infinity,fulldigits);
5 Metode Numerice III.2. Metoda punctului fix. Teoremă. Fie E un spaţiu Banach şi S o submulţime închisă a lui E. Fie f : S S o contracţie ( există q (0,1) astfel încât f x f y q x pentru orice x,y S). Atunci există şi este unic z ( ) ( ) y punct fix pentru f ( f(z)=z). z este limita unui şir construit după cum urmează: x 0 S dat x n = f(x n-1 ), n 1. Mai mult, q z x n x n x n 1 1 q Algoritm: Date de intrare: f (contracţie) x00 (termenul iniţial al şirului) eps (eroare ce determină condiţia de oprire: se calculează termenii şirului până la x N cu proprietatea x eps ). x N N 1 < Date de ieşire: x N (aproximaţie satisfăcătore (determinată de eps) pentru punctul fix). x0:=x00; x1:=f(x0); cât timp x1 x0 eps execută x0:=x1; x1:=f(x0); La ieşire x1 este aproximaţie pentru z, punctul fix al lui f. Faptul că f este contracţie asigură terminarea programului într-un număr finit de paşi. Pentru a evita ciclarea în situaţia în care un utilizator ar încerca folosirea programului pentru o funcţie care nu este contracţie, se poate stabili de la început un număr maxim de paşi ce urmează a fi executaţi. De asemenea se poate afişa la fiecare pas diferenţa dintre termenii consecutivi curenţi. (pentru a observa că şirul nu converge dacă f nu e contracţie). Astfel se poate folosi următoarea variantă a algoritmului: Date de intrare: f (contracţie) x00 (termenul iniţial al şirului) eps (eroare) 81
6 Mădălina Roxana Buneci Nmax (număr maxim de termeni ai şirului ce urmează a fi caculaţi) Condiţia de oprire: se calculează termenii şirului până la x N cu proprietatea x eps sau N Nmax). x N N 1 < Date de ieşire: x N (dacă f este contracţie, x N este aproximaţie satisfăcătore - determinată de eps şi Nmax - pentru punctul fix al lui f). x0:=x00; x1:=f(x0); n:=1; cât timp ( x1 x0 eps) şi (n<nmax) execută x0:=x1; x1:=f(x0); n:=n+1; scrie (x1-x0); Dacă f este contracţie, la ieşirea din ciclu, x1 este aproximaţie pentru z, punctul fix al lui f. Exemple. 1) Să se rezolve (în mulţimea numerelor reale) ecuaţia următoare aplicând metoda punctului fix x cos(x) = 0 Notăm g(x) = x cos(x). Cum cos(x) [-1, 1], soluţiile ecuaţiei x cos(x) = 0 se găsesc în intervalul [-1, 1]. Deoarece g (x) = 1 + sin(x) > 0 pentru x din intervalul [-1, 1], rezultă că g este strict crescătore pe [-1, 1] şi deci ecuaţia x cos(x) = 0 are cel mult o rădăcină. Cum g(0)g( 2 π )<0, ecuaţia x cos(x) = 0 are exact o rădăcină în intervalul [0, 2 π ]. Fie f: [0, 2 π ] [0, 2 π ], f(x) = 1 2 ( x +cos(x)). Avem f (x) = 1 2 (1 sin(x)) şi deci sup f (x) x (0, π 2) = < 1 82
7 Metode Numerice Putem reprezenta grafic (cu comanda plot) funcţia x-> 1 - f (x), şi observa faptul că graficul este deasupra axei Ox. Ca urmare f este contracţie pe intervalul [0, 2 π ]. Deci soluţia ecuaţiei poate fi aflată ca limita şirului (xn ) n, cu x n = f(x n-1 ) = 1 2 ( x n-1 +cos(x n-1 )), x 0 [0, 2 π ]. 2) Să se rezolve (în mulţimea numerelor reale) ecuaţia următoare aplicând metoda punctului fix x 3 x -1 = 0. Dacă reprezentăm grafic funcţia x -> x 3 x 1, observăm că ecuaţia x 3 x -1 = 0 are o singură rădăcină reală, şi că această rădăcină este în intervalul (1,2). Ecuaţia se poate scrie: x 3 = x+1 x = 3 x + 1 Ca în exemplul anterior se verifică faptul că f, definită prin f(x) = 3 x + 1 este contracţie pe intervalul (1,2). Deci soluţia ecuaţiei poate fi aflată ca limita şirului (x n ) n, cu Proceduri MAPLE x n = f(x n-1 ) = 3 x + 1, x 0 (1,2). > pctfix := proc(f, x00, eps) local x0, x1; x0 := x00; x1 := f(x0); print(x1, x0, abs(x1 - x0)); while eps <= abs(x1 - x0) do x0 := x1; x1 := f(x0); print(x1, x0, abs(x1 - x0)) od; RETURN(x1) end; >pctfixn := proc(f, x00, eps, Nmax) local x0, x1, n; x0 := x00; x1 := f(x0); n := 1; print(x1, x0, abs(x1 - x0)); while eps<=abs(x1 - x0) and n<nmax do 83
8 Mădălina Roxana Buneci x0 := x1; x1 := f(x0); n := n + 1; print(x1, x00, abs(x1 - x0)) od; print(`numar de pasi`, n); RETURN(x1) end; Utilizăm prima procedură pentru rezolvarea ecuaţiei din exemplul 1. >with(plots); > plot([(x+cos(x))/2,x],x=0..pi/2); > f:=x->(x+cos(x))/2; 1 f := x + 2 x 1 cos( x ) 2 > plot(1-abs(diff(f(x),x)),x=0..pi/2); 84
9 > pf(f,0.5,0.001); Metode Numerice , , , , > fsolve((cos(x)+x)/2=x,x); > pf(f,pi/4,10^(-2)); π π 2 1 π +, + cos π 2 1 π cos Utilizăm a doua procedură MAPLE pentru funcţia x-> x 3 + 2x-1 Această funcţie nu este o contracţie. Vom observa că şirul construit nu converge. > g:=(x->x^3+2*x-1); g := x -> x x - 1 > pctfixn(g,0.1,0.001,5); -.799,.1, , -.799, , , , , , , Numar de pasi, Se observă că diferenţele dintre termenii consecutivi ai şirului cresc, iar valoarea întoarsă este departe de valoarea reală a rădăcinii ecuaţiei g(x)=x (din cauză că g nu e contracţie). Utilizăm prima procedură pentru rezolvarea ecuaţiei din exemplul 2. >plot(x^3-x-1,x);
10 Mădălina Roxana Buneci > plot(x^3-x-1,x=-5..5); > plot(x^3-x-1,x=-2..2); > f:=(x->(x+1)^(1/3)); > plot(f(x),x=1..2); f := x -> (x + 1) 1/3 > plot(1-abs(diff(f(x),x)),x=1..2); 86
11 Metode Numerice > pctfix(f,1.1,0.0001); , 1.1, , , , , , , , , , , > fsolve(x^3-x-1,x); III.3 Metoda bisecţiei (metoda înjumătăţirii intervalului) Fie f : [a,b] R, o funcţie continuă cu proprietatea că f(a)f(b) < 0. Atunci există cel puţin o rădăcină x * (a,b) a ecuaţiei f(x)=0. Pentru găsirea rădăcinii se micşorează la fiecare pas intervalul în care funcţia îşi schimbă semnul. Metoda bisecţiei presupune înjumătăţirea la fiecare pas a acestui interval. Astfel se determină mijlocul c = a + b 2 al intervalului (a,b). dacă f(c)f(a)<0, atunci se continuă algoritmul cu intervalul [a,c] dacă f(c)f(b)<0, atunci se continuă algoritmul cu intervalul [c,b] dacă f(c) =0 s-a determinat o rădăcină a ecuaţiei f(x) = 0. Se construieşte astfel un şir de intervale (I n ) n, I n = [a n, b n ], cu lungimea lui I n egală cu jumătate din lungimea lui I n-1. Fiecare din aceste intervale conţine o soluţie a ecuaţiei f(x) = 0. Presupunem că se dă o eroare eps>0. Considerăm că c n mijlocul intervalului I n este o aproximaţie satisfăcătoare a soluţiei ecuaţiei f(x) = 0 dacă lungimea lui I n este mai mică decât eps. 87
12 Mădălina Roxana Buneci Algoritm. Date de intrare: f continuă a,b cu f(a)f(b)<0 eps (eroare) Date de ieşire: c mijlocul intervalului I n = [a n, b n ] cu a n -b n <eps. cât timp a-b eps execută a + b c: = ; 2 dacă f(c) = 0 atunci a :=c b:= c; altfel dacă f(c)f(a)<0 atunci b : = c; altfel a : = c; 88 Procedură MAPLE bisectie := proc(f, A, B, eps) local c, a, b; a := A; b := B; while eps <= abs(b - a) do c := (a+b)/2; print(c, abs(b - a)); if f(c) = 0 then a := c; b := c else if f(c)*f(a) < 0 then b := c else a := c fi fi od; c := (a+b)/2; RETURN(c) end;
13 Metode Numerice Utilizăm această procedură pentru determinarea rădăcinilor reale ecuaţiei: x 8 3x+3 = 0. Reprezentăm grafic funcţia x->x 8 3x+3 pentru a localiza rădăcinile. >with(plots) > plot(x^8-3*x-3,x); > plot(x^8-3*x-3,x=-5..5); > plot(x^8-3*x-3,x=-2..2); 89
14 Mădălina Roxana Buneci > plot(x^8-3*x-3,x= ); Se observă că ecuaţia are două rădăcini reale. Una în intervalul (-1.5, -1) şi alta în intervalul (1,1.5). >f:=(x-> x^8-3*x-3); 90 f := x -> x 8-3 x - 3 > bisectie(f,-1.5,-1,10^(-3)); , , , , , , , , , > bisectie(f,1,1.5,10^(-3)); , , , , , , ,
15 Metode Numerice , , III.4. Metoda coardei Fie f : [a,b] R, o funcţie continuă cu proprietatea că f(a)f(b) < 0. rădăcină a ecuaţiei f(x)=0 se caută ca şi în cazul metodei bisecţiei prin micşorarea la fiecare pas a intervalului în care funcţia îşi schimbă semnul. Metoda coardei presupune: se determină punctul c în care coarda AB intersectează axa Ox, unde A(a,f(a)) şi B(b,f(b)). dacă f(c)f(a)<0, atunci se continuă algoritmul cu intervalul [a,c] dacă f(c)f(b)<0, atunci se continuă algoritmul cu intervalul [c,b] dacă f(c) =0 s-a determinat o rădăcină a ecuaţiei f(x) = 0. Se construieşte astfel un şir de intervale (I n ) n, I n = [a n, b n ], cu lungimea lui I n strict mai mică decât lungimea lui I n-1. Fiecare din aceste intervale conţine o soluţie a ecuaţiei f(x) = 0. Presupunem că se dă o eroare eps>0. Considerăm că c n din I n = [a n, b n ] este o aproximaţie satisfăcătoare a soluţiei ecuaţiei f(x) = 0 dacă c n - c n-1 < eps. Să determinăm coordonatele punctului C de intersecţie a dreptei AB cu axa Ox, unde A(a,f(a)) şi B(b,f(b)). Ox: y = 0 91
16 y f ( a) ( b) f ( a) Mădălina Roxana Buneci x a AB: = b a f Dacă C(c,0) =AB Ox, atunci b a c = a - f(a) f ( b) f ( a) Algoritmul se bazează pe următoarea teoremă: Teoremă. Fie f : [a, b] R o funcţie de două ori derivabilă cu proprietăţile: f (x) 0, f (x) 0, oricare ar fi x [a, b] şi f(a)f(b) < 0. Atunci unica soluţie a ecuaţiei f(x) = 0 poate fi obţinută ca limită a şirului strict monoton din [a, b] definit prin: f ( x n 1 ) x 0 = a, x n = x n-1 - (x f ( x n 1 ) f ( b) n-1 -b), dacă f(a)f (a)<0 şi f ( x n 1 ) x 0 = ab, x n = x n-1 - (x n-1 -a), dacă f(b)f (b)<0 f x f a ( ) ( ) n 1 Dacă m 1 > 0, M 1 > 0 şi m 1 f (x) M 1, atunci unica soluţiei, x*, a ecuaţiei satisface inegalităţile: f ( x n ) x*-x n m 1 M1 m1 x*-x n x n x n 1 m Algoritm. Date de intrare: f continuă a,b cu f(a)f(b)<0 eps (eroare) Date de ieşire: 1 b n a c = a n - f n unde I n = [a n, b n ] are proprietatea c n -c n-1 <eps. v: = a ; c: = b; n ( b ) f ( a ) n f(a n ) 92
17 Metode Numerice cât timp v-c eps execută v: = c; b a c: = a - f(a); f ( b) f ( a) dacă f(c) = 0 atunci stop altfel dacă f(c)f(a)<0 atunci b : = c; altfel a : = c; Procedură MAPLE > coarda := proc(f, A, B, eps) local c, v, a, b; a := A; b := B; c := a; v := b; while eps <= abs(v - c) do v := c; c := a - (b - a)*f(a)/(f(b) - f(a)); print(c, abs(v - c)); if f(c) = 0 then RETURN(c) fi; if f(c)*f(a) < 0 then b := c else a := c fi od; c := a - (b - a)*f(a)/(f(b) - f(a)); RETURN(c) end; Aplicăm această procedură pentru determinarea rădăcinilor reale ale ecuaţiei: x 8 3x+3 = 0. În secţiunea precedentă rădăcinile au fost localizate în intervalele (+1.5,-1) şi (1,1.5). > coarda(f,1,1.5,10^(-3)); ,
18 Mădălina Roxana Buneci , , , , , , , , > coarda(f,-1.5,-1,10^(-3)); , , , , , , > fsolve(f(x),x); , Probleme propuse Să se determine rădăcinile ecuaţiilor 1) e -x - x = 0 2) x 2-4 sin(x) = 0 94
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραVII. Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare fără restricţii
Metode de Optimizare Curs 1 VII. Metode numerice de rezolvare a problemelor de optimizare fără restricţii Considerăm X o submulţime convexă deschisă a lui R n, f: X R o funcţie convexă diferenţiabilă şi
Διαβάστε περισσότεραVARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007
VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραMetode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα, m ecuańii, n necunoscute;
Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)
Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
Διαβάστε περισσότεραRezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare 1 Metode iterative clasice Metodele iterative sunt intens folosite, in special pentru rezolvarea de probleme mari, cum sunt cele de discretizare
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα