ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA JEDNOVARIJABILNI SUSTAVI

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODORADNJE Dubravko Majetć Danko Brezak Jop Kaać ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE AUTOMATSKO URAVLJANJA JEDNOVARIJABILNI SUSTAVI Zagreb 5

2

3 UDŽBENICI SVEUČILIŠTA U ZAREBU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZARABIENSIS Recenzent: rofdrc Želmr Kurtanjek rehrambeno-botehnološk fakultet Zagreb rofdrc Branko Novakovć FSB Zagreb rofdrc Mladen Crnekovć FSB Zagreb Izdavač: Fakultet trojartva brodogradnje Ivana Lučća 5 Zagreb lavn urednk: XXXXXXX Odobrenje Senata Sveučlšta u Zagrebu ožujka 5 Udžbenk CI - Katalogzacja u publkacj Naconalna veučlšna knjžnca Zagreb UDK 75 MAJETIĆ Dubravko Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav / Dubravko Majetć Danko Brezak Jop Kaać - Zagreb : Fakultet trojartva brodogradnje Sveučlšta u Zagrebu 5-89 tr (Udžbenc Sveučlšta u Zagrebu = Manuala Unvertat tudorum Zagraben) ISBN xxxxxxxxxx BREZAK Danko KASAĆ Jop xxxxxxxxxxxxx rafčko rješenje nalovnce: rofdrc Dubravko Majetć Tehnčko uređenje tekta na računalu: rofdrc Dubravko Majetć Copyrght Fakultet trojartva brodogradnje Zagreb Tak: X-re Zagreb Naklada: 5 Zbrka zadataka z teorje upravljanja

4 redgovor S obzrom na kontnuran trend povemašnje automatzacje utava koj na okružuju metode z područja teorje automatkog upravljanja predtavljaju nezaoblazn do nženjerke edukacje a njhov razvoj predtavlja tražvačk zazov koj vremenom dobva ve vše na značaju U tom je mlu natala ova knjga kao prejek najznačajnjh metoda analze nteze utava automatkog upravljanja čj u mao prmjena detaljno objašnjen u nzu zloženh prmjera Metode prkazane u nekolko cjelna pokrvaju područja analze nteze jednovarjablnh lnearnh kontnuranh dkretnh utava Uz tandardne opće forme zadataka zložen je nz prmjera konkretnh tehnčkh utava u natojanju da e olakša hvaćanje jednotavnje agleda potencjal prmjene razmatranh metoda z teorje automatkog upravljanja Uz gotovo ve zadatke om rješenja prložen je potupak rješavanja a pojedne u cjelne još dodatno popraćene kratkm uvodnm razmatranjma Jednako tako brojn u zadac popraćen dodatnm grafčkm lutracjama dobvenh rezultata Knjga je prje vega namjenjena tudentma Fakulteta trojartva brodogradnje Sveučlšta u Zagrebu pokrva područje teorje automatkog upravljanja koje e predaje u okvru grupe predmeta z automatke regulacje teorje utava na tudjma trojartva brodogradnje zrakoplovtva Međutm ona može korno polužt tudentma otalh fakulteta tudja u klopu kojh e zučava razmatrana materja Kortmo ovdje prlku da e još jednom zahvalmo prof dr c Želmru Kurtanjeku rehrambeno-botehnološkog fakulteta Sveučlšta u Zagrebu te prof dr c Branku Novakovću prof dr c Mladenu Crnekovću Fakulteta trojartva brodogradnje Sveučlšta u Zagrebu na kornm ugetjama uloženom trudu pr recenzranju ove knjge Također e zahvaljujemo vm otalm kolegama Fakulteta trojartva brodogradnje Sveučlšta u Zagrebu na podršc u panju zdavanju ove knjge U Zagrebu veljača 5 Autor

5 Zbrka zadataka z teorje upravljanja

6 Sadržaj SADRŽAJ redgovor IV Oznake VII Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav Laplaceova drektna nverzna tranformacja rjenona funkcja 9 Algebra blokova 48 4 Određvanje tablnot utava u kompleknom području 65 5 Vremenk odzv utava prjelazna težnka funkcja 87 6 Točnot utava 8 7 Frekvencjko područje 7 Nyqutov Bodeov djagram 6 7 Određvanje tablnot utava u frekvencjkom području 5 8 Snteza vremenk-nvarjantnh kontnuranh -I-D regulatora 86 8 Analtčke metode podešavanja parametara regulatora 86 8 Ekpermentalne metode podešavanja parametara regulatora 4 Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn dkretn utav 7 Jednadžbe dferencja 7 Z-tranformacja 4 Impulna prjenona funkcja 5 4 Stablnot u dkretnom području 59 5 Snteza vremenk-nvarjantnh dkretnh -I-D regulatora 65 Lteratura 7 4 rlog 74 VI Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

7 Oznake Oznake D D R E e g(t) () h(t) J K D K I K M n T T x x y x u u z Koefcjent trenja Dobrota regulacje Regulacjko odtupanje Trajno regulacjko odtupanje greška u taconarnom tanju Težnka funkcja rjenona funkcja rjelazna funkcja Moment nercje Dervacjko pojačanje regulatora Integralno pojačanje regulatora roporconalno pojačanje regulatora Maa (kg) red utava Laplaceov operator Vremenka kontanta () erod uzorkovanja () omak Izlazna varjabla vremenk kontnuranog utava Ulazna varjabla vremenk kontnuranog utava Dkretn operator Otale oznake kao oznake drugm značenjem objašnjene u u tektu Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav VII

8 Jednovarjablln llnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav Jednovarjablne lnearne vremenk kontnurane utave kontantnm (vremenk nvarjantnm) koefcjentma moguće je analzrat u vremenkom kompleknom frekvencjkom području kao u protoru tanja rmjer zložen u ovom prvom poglavlju zbrke objednjuju metode analze z prva tr područja naglakom na komplekno frekvencjko područje U tom u mlu najprje zložen prmjer tranformacja matematčkh zapa dnamka utava z vremenkog u komplekno područje obratno prmjenom Laplaceove tranformacje odnono nverzne Laplaceove tranformacje uz određvanje odzva utava U natavku u zatm prkazane onovne funkcje na kojma e zanva analza razmatranh utava prtup rješavanja blok-djagrama prmjenom algebre blokova analza tablnot točnot te dvje metode analze utava u frekvencjkom području U poljednjem potpoglavlju zloženo je nekolko tandardnh metoda nteze tj podešavanja parametara vremenk kontnuranh -I-D tpova regulatora Lapllaceova drektna nverzna tranformacjja Laplaceova tranformacja kort e u rješavanju lnearnh dferencjalnh jednadžb (određvanju odzva utava) pr čemu e ložnje operacje dervacje ntegracje zamjenjuju jednotavnjm operacjama množenja djeljenja rtom je njezna prmjena ogrančena na lnearne vremenk-nvarjantne utave uredotočenm rapodjeljenm parametrma tj na lnearne utave kontantnm koefcjentma opane občnm l parcjalnm dferencjalnm jednadžbama (vše detalja u prloženm referencama) U ljedećm je prmjerma prkazan potupak drektne nverzne Laplaceove tranformacje občnh dferencjalnh jednadžb n tog reda (vremenko područje) u polnome n-tog tupnja (komplekno l -područje) obratno Također u prkazan potupc rješavanja dferencjalne jednadžbe prmjenom metoda z kompleknog vremenkog područja U rješavaju zadataka preporuča e korštenje poznath tranformranh oblka četo korštenh funkcja kao onovnh vojtava tranformacje prkazanh u Tablcama z rloga Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

9 Zadatak Odredte Laplaceovu tranformacju utava prkazanh ljedećm dferencjalnm jednadžbama uz početne uvjete jednake nul (U = ): t x 4x x 6x x dt () u x x 9x 8x x x () u u () x 8x 9x x x x x t 5 ut 5 u u u (4) x x x x x x x 4t 4 u u e u Zadan u prmjer rješen prmjenom zraza za tranformacju dervacje ntegracje (Tablca ) Kako u početn uvjet (koj opuju kolčnu pohranjene energje u premncma utava u početnom trenutku njegove analze) u vm prmjerma jednak nul v članov tranformranog zraza koj e odnoe na početne uvjete također u jednak nul Stoga je amo u prva dva prmjera prkazan potpun oblk tranformacje vakog člana jednadžbe dok u u preotala dva prmjera članov koj opuju početne uvjete zotavljen čme je kraćen potupak rješavanja Rješenja: () Iz Tablce ljed Laplaceova tranformacja n-tog reda dervacje funkcje f(t) n n n L f t F f n kao Laplaceova tranformacja jednotrukog ntegrala funkcje f(t): F f L f t Kada prmjenmo navedene zraze za tranformacju na zadanu dferencjalnu jednadžbu t u x 4x x 6x x dt L tj x 4x x 6x x L u dobvamo X 4 x x x X x x X x Xu 6 xu X U daje konačn polnom što uz x x x x u u 4 6 X X X X X Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

10 () () x x 9x 8x x x L u u X x x x X x x 9 X x 8X Xu xu xu Xu 9 8 u u X X X X X X x 8x 9x x x x x t 5 L u u u 8 9 e 5 u u u X X X X X X X Zadnj član dene trane dferencjalne jednadžbe tranformra e prema teoremu a pomaka: L f t a u t a e F a u t za t (Tablca ) rmjerce ukolko je x u ekponencjalna funkcja ljed da je t L e 5 u t e 5 5 (Tablca ) (4) x x x x x x x L 4t 4 u u e u 4 4 u u u X X X X X X X Zadnj član dene trane dferencjalne jednadžbe ( e t x ) tranformra e prema teoremu prgušenja: L e at f t F a Ukolko je npr L 4t e t Xu 4 4 (Tablca ) 4 u x t t mamo: u Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

11 Zadatak Odredte Laplaceovu tranformacju odzva utava u lučajevma (U ): () x 4x 6x x x x t δ t u u () x x x 7x x x x 5 u u u xu t 8u t za t 9x x x x x x t t () u u u 5 e t x x x x x x x t t (4) u u x 5x 5x x x x t n( t) co( 5t) (5) u u Napomena: v otal početn uvjet koj nu zadan jednak u nul Rješenja: Izraz e najprje tranformraju u -područje a zatm e uvrte zadan početn uvjet tranformrane funkcje pobude - X u () koje je potrebno odabrat prema Tablc Nakon ređvanja dobva e zraz za funkcju odzva zapan u -području () x 4x 6x x L u Uz 4 6 X x x X x X Xu x x t δ t L X ( u u L δ t z Tablce ) ljed X 4X 6X 4 6 X X 4 6 () x x x 7x x L u u X x x X x X Xu xu Xu 7 Uz x x x t 8ut L X u 5 u 8 u ljed X X X Xu Xu rema teoremu lnearnot vrjed da je L af t af gdje je a neka kontantna 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

12 vrjednot (Tablca ) Stoga je dobvamo: L 8ut 8 (Tablca ) Nakon ređvanja 8 X X 5 8 X 5 8 () 9x x x x L u u 9 X x X Xu xu Xu Uz x x t t L X u u ( t n n! L n n z Tablce ) ljed: 9X 8 X 8 9 X X Do tog e rješenja dolaz ukolko e u dferencjalnu jednadžbu najprje uvrte funkcje t umjeto (4) u t x t umjeto x x x x x L u xu t pa e zatm provede Laplaceova tranformacja X x x x X x x X x X X u Uz t x x t t e L X 5 ) ljed: u u ( t e n L n at n n! a z Tablce 5 5 X X X X Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

13 X X (5) x 5x 5x x L u X x x 5 X x 5X Xu 4 5 Uz x x t n( t) co( 5t) L X u u ω ( L nωt L co ωt ω z Tablce teorem lnearnot L f t f t F F z Tablce ) ljed: X 5X 5 5X X X ω 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

14 Zadatak Odredte Laplaceovu tranformacju gnala a lke Rješenja: () u(t) je jednčna odkočna funkcja (Heavdeova funkcja) defnrana prema zrazu: u t t za t u t za t u(t) Matematčk zap gnala a lke gla: x t u t u t a u t a L tj t L L L L L L X u t u t a u t a u t u t a u t a Iz L u t a L f t aut a e F e a a e e a e e a X a ljed () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

15 Funkcja koja opuje gnal a lke gla x t u t t u t t a u t t u t t a L a nakon tranformacje poprma oblk X t a t a t t e e e t e e t e a e () Za potpuno defnranje nune funkcje a lke x t X n ωt potrebno je odredt kružnu frekvencju () ampltudu (X ) Iz zraza za kružnu frekvencju f te uz perodu gnala = m prozlaz rad Kako je ampltuda defnrana lkom (X = 7) konačn zraz gla 7n x t t L n ωt Tranformacjom tog zraza u -područje uz X 7 6 ω ω dobvamo (4) Trokutn gnal a lke opan je funkcjom 4 4 Taj e zraz prje tranformacje može zapat u form x t tu t tu t u t tu t u t x t tu t t u t t u t d d Iz L a tf t F tj t f t a e F d L d (Tablca ) L L 4L L 4 4L 4 X tut tut ut tut ut ljed: d d d 4 4 X e 4e e 4e d d d X e e e e e e 4 e X e 4 e e 4 4 e e 4 X e e 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

16 Zadatak 4 Matematčk zapšte dnamku ljedećh utava u vremenkom području u oblku dferencjalne jednadžbe: () X X X 5 X 9X 7X u u u () e X X X X u () X X X (4) Xu 5 4 X Xu 4 (5) 6X X 4 (6) 5 X X 7X 4 Rješenja: () u u u L - X X X X X X u u u x x x 5x 9x 7x u t () e - u L X X X X u x x x x t u t t () Xu X X X 5 4 t 4t u x x x e 5 t x dt u t uz U= l t 4t u u x x x e 5 t x dt uz x U Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

17 (4) X X u 4 L - 4 X X Xu 4 ue t x x x (5) L - 6X X 6 e e 9 t t x x t Dena trana jednadžbe tranformrana je prema L e e a a at at K K at uz K= a=- (6) Imajuć u vdu tranformrane oblke funkcja z Tablce dena trana jednadžbe može e prlagodt u formu 4 5 X X 7X Sada prmjenom L e a at n t L a e a at co t uz a= rad dobvamo: 4 L - 5 X X 7X t x x x e n t co t Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

18 Zadatak 5 ronađte rješenja dferencjalnh jednadžb (odzve) zadanh utava korštenjem Laplaceove tranformacje () x x 5x 6x x x ut u u () x x x x x x x x t u u u u u x x x x x t () u u (4) x x x t Za vak će e utav opan dferencjalnom jednadžbom najprje odredt funkcja odzva u -području - X () Navedena će funkcja padat u kupnu raconalnh funkcja (funkcje defnrane omjerom dva polnoma) te će ju prje tranformacje u vremenko područje a zbog njezne loženot najčešće bt potrebno ratavt na umu parcjalnh razlomaka Inverznom Laplaceovom tranformacjom vakog dobvenog razlomka njhovm međuobnm umranjem dobt ćemo vremenke odzve zadanh utava tj rješenja dferencjalnh jednadžb Detaljnja analza vremenkh odzva obzrom na karaktertke prjelaznog taconarnog ponašanja utava razmotrena je u potpoglavlju 5 Rješenja: () x x 5x 6x x L u 5 6 u X X X X X u u x u t / L X 5 6 X X X X 5 6 X X 5 6 Dobvenu raconalnu funkcju zapat ćemo ada u form parcjalnh razlomaka X X B A gdje je n red polnoma nazvnka N n 4 A (n=4) 5 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

19 Sada e za vak parcjaln razlomak moraju odredt dva tpa nepoznanca: A Ako nazvnk zapšemo u faktorzranom oblku n n n n n n N a a a a a n n onda je očto da predtavljaju rješenja nul-točke polnoma N() U ovom konkretnom lučaju mamo: N 5 6 N a a a a odnono n n 4 jednotruka rješenja ne ponavljaju e! 5 6 N X 4 A 4 4 A A A A 5 6 Sada je potrebno još odredt koefcjente A Izračun A -ova za lučaj jednotrukh rješenja: A B N' B 4 N 5 6 N' A A A B N' B N' B N' Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

20 A B N' X L - 4 t t t x t e e e 5 5 Na kraju ovog prmjera pomenut ćemo još jednu metodu određvanja koefcjenata parcjalnh razlomaka koja e zanva na uvrštavanju vakog jednotrukog rješenja polnoma N() u zraz za X () Konkretno A dobvamo množenjem zraza X () prpadajućm nazvnkom uvrštavanjem = =: A A A A 4 X A A A A A A A A Na t e načn određuju preotal koefcjent: A A A A X A A A A4 A A A A X 4 A A A A4 5 A A A A X 4 A 4 A A A 5 () x x x x x x x x t u u u u u Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

21 - (t) je jednčna mpulna funkcja (Dracova funkcja) defnrana prema: t t t za t za t za t u u u u X X X X X X X x t X u L u X X B N Kako je u ovom lučaju m=n= tj red polnoma brojnka B() jednak je redu polnoma nazvnka N() prje ratavljanja gornjeg razlomka na umu parcjalnh razlomaka potrebno je podjelt polnom brojnka polnomom nazvnka jer e na parcjalne razlomke može ratavt amo prava raconalna funkcja (ona za koju vrjed da je m<n) : otatak X A Izračun -ova: jednotruka rješenja ne ponavljaju e! Izračun A -ova za lučaj jednotrukh rješenja: B N N' 6 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

22 A A A X B N' 6 B N' 6 B 7 N' 6 7 t 7 t x t t e e L () x x x x u X X X Xu xu t / L Xu X X Izračun -ova: 4 všetruka rješenja ponavljaju e! jednotruka rješenja Za zračun koefcjenata brojnka parcjalnh razlomaka vezanh uz kortt ćemo raconalnu funkcju R() z zraza X B B N N R k Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

23 gdje je rješenje koje e ponavlja k puta a N () je onaj do polnoma nazvnka koj nje vezan uz ponavljajuće rješenje Koefcjent parcjalnh razlomaka e zatm računaju prema zrazma: D R k ' Dk R! '' Dk R! k D R k! Konkretno zračun D -ova za lučaj všetrukh rješenja u ovom prmjeru zgleda ovako: X B B k N N R R Uz k= (rješenje e ponavlja jednom tj mamo dva rješenja =) ljed D R D R! 4 ' Za zračun vrjednot brojnka parcjalnh razlomaka vezanh uz 4 (jednotruka rješenja) kort e metoda prkazana u prethodnm prmjerma Izračun A -ova za lučaj jednotrukh rješenja: 4 N N' A A B N' B N' U konačnc e dobva odzv utava u form 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

24 X D D A A e t t x t t e 4 4 L I u ovom ćemo prmjeru koefcjente A A 4 te D D još dodatno odredt metodom prkazanom u prvom prmjeru ovog zadatka Za lučaj koefcjenata A A 4 D zračun je dentčan onom prkazanom: 4 D D A A X A D D A 4 4 D D A A X A D D A 4 4 D D A A4 X D A 4 A D Koefcjent D ne možemo zračunat na prethodno opan načn jer ćemo dobt dva razlomka koja će nakon uvrštavanja prpadajućeg rješenja = poprmt bekonačno velku vrjednot Stoga ćemo najprje dervrat prethodn zraz zatm uvrtt =: A 4 A d D D d D 4 A A 4 4 (4) x x x t L 4 X X X Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

25 4 X X 4 Izračun -ova: 4 Uz y y y y y j y 4 j 4 j všetruka rješenja j j všetruka rješenja j X D j D E E j j 4 j U lučaju kad e dva l vše razlčth rješenja ponavljaju dva l vše puta za vako je rješenje potrebno defnrat prpadajuć R() pomoću kojeg e zatm određuju prpadajuć koefcjent brojnka parcjalnh razlomaka Kako e u ovom zadatku oba rješenja tj =j =-j ponavljaju jednom vrjednot brojnka parcjalnh razlomaka vezanh uz rješenja = =j odredt ćemo pomoću funkcje R () a za lučaj rješenja = 4 =-j pomoću funkcje R () Izračun D -ova za lučaj všetrukog rješenja ( = =j): X B B N N j j j R D R j 4j j ' j 8j j 4 4 j D R j! jj Izračun E -ova za lučaj všetrukog rješenja ( = 4 =-j): 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

26 X B B N N j j j R E R 4 j 4j j ' 4 j 8j j 4 4 j E R j! j j Do rješenja dolazmo nverznom Laplaceovom tranformacjom: X j j j j j j 4 jt jt jt jt x t je te je t e j j j j j t t e e t t x t e e t rmjenom Eulerove formule L jt jt t co e e jt e cot jnt n e e j jt jt t dobveno e rješenje može zapat u prkladnjoj form trgonometrjkh funkcja x t n t tco t Do tog mo rješenja mogl doć drektnm putem prmjenom odgovarajuće tranformacje funkcje X () z Tablce : L n t t t Kako je X x t n t tco t co prozlaz da je što će u konačnc dat gornje rješenje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

27 Zadatak 6 Odredte funkcje odzva utava zadanh ljedećm dferencjalnm jednadžbama prmjenom metoda z kompleknog vremenkog područja: () x x x nt () x 4x 4x x x x x 5ut u u u 5 e t () x x x x x x x x (4) u u u u x x x x x x t 5 u u u e t Napomena: v otal početn uvjet čje vrjednot nu zadane jednak u nul Dnamka jednovarjablnh lnearnh vremenk-nvarjantnh kontnuranh utava uredotočenm parametrma opuje e občnm lnearnm dferencjalnm jednadžbama kontantnm koefcjentma Kako b e zbjeglo njhovo četo loženo rješavanje drektnm putem prmjenom metoda z vremenkog područja u praktčk vm je zadacma ovog poglavlja zračun funkcje odzva proveden metodama z kompleknog područja U clju uporedbe te dvje grupe metoda u poljednjem zadatku ovog potpoglavlja odzv zadanh utava odredt će e korštenjem oba prtupa Također će e u vakom od prmjera naznačt od čega e atoj konačno rješenje dferencjalne jednadžbe Čtatelju e preporuča da amotalno pronađe odzve zadanh utava korštenjem metoda z kompleknog područja (kao u prethodnom zadatku) te da zatm proanalzra upored potupak dobvena rješenja detaljma potupka određvanja odzva metodama z vremenkog područja a koj je proveden za vak prmjer ovog zadatka Rješenja: () Određvanje odzva prmjenom Laplaceove tranformacje x x x n t L X X X X Izračun -ova: 4 jednotruka rješenja Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

28 4 j j jednotruka rješenja X A A A A4 6 8 j j 4 Izračun A -ova za lučaj jednotrukh rješenja: 4 N 6 8 N' 4 9 A A A A X B N' B N' B 4 8j j N' j 4 8j j B 4 8j j N' j 4 8j 4 4 j j j j j 4 L 4 j j e t e t t j e j e t x t j j j j e t e t t e e t t je e t x t rmjenom Eulerove formule dobvamo konačno rješenje: t t x t e e cot nt 5 4 Određvanje odzva drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe Opće rješenje nehomogene dferencjalne jednadžbe n n m m a x a x a x a x b x b x b x b x n n m u m u u u l funkcja odzva utava (x ) na koj djeluje pobuda z okolne (x u ) atoj e od homogenog rješenja (komplementarne funkcje) partkularnog rješenja (partkularnog ntegrala) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

29 x x x H Homogeno rješenje predtavlja opće rješenje homogene dferencjalne jednadžbe n n ax a x ax ax n n koja je atavljena od članova ljeve trane nehomogene dferencjalne jednadžbe utava Homogena dferencjalna jednadžba kontantnm koefcjentma mplcra rješenje u oblku funkcje čja e forma dervranjem ne mjenja Kako ekponencjalna funkcja zadovoljava ovo vojtvo homogeno rješenje možemo pretpotavt u form x Ke H t Ako to rješenje uvrtmo u homogenu dferencjalnu jednadžbu mamo t n n n n Ke a a a a tj uz K n n n a a a a n Dobvena e jednadžba nazva karaktertčna jednadžba utava a njezna rješenja n korjen utava Korjen utava zajedno prpadajućm kontantama ntegracje određuju homogeno rješenje odnono opuju ve prrodne modove utava zbog čega e homogeno rješenje još nazva prrodn odzv utava (engl natural repone) t t nt H e e ne prrodn prrodn prrodn mod mod mod x K K K (jedan oblk homogenog rješenja) Korjen utava određuju e amo na temelju karaktertčne jednadžbe utava z čega prozlaz da ove amo o utavu a ne o pobud Stoga on maju poeban značaj na ponašanje utava koj je detaljnje zložen u zadacma z potpoglavlja 4 u okvru analze tablnot Kontante e pak određuju z općeg (ukupnog) rješenja nehomogene dferencjalne jednadžbe koje obuhvaća početne uvjete utjecaj pobude Ukolko je utav tablan homogeno rješenje vremenom tež nul Stoga e ono još nazva prjelaznm rješenjem tj ono predtavlja do ukupnog rješenja koje opuje prjelaz funkcje odzva od nekog početnog do nekog novog tanja koje je određeno partkularnm rješenjem Drug do ukupnog rješenja l partkularno rješenje u drektnoj je korelacj pobudom na utav To znač da ukolko potoj energja koja e z okolne preno na utav a koja e manfetra preko pobudne funkcje na denoj tran dferencjalne jednadžbe utava onda će odzv tako pobuđenog utava nakon mrvanja prjelaznh pojava opvat upravo partkularno rješenje artkularno l taconarno rješenje predtavlja poebno rješenje nehomogene dferencjalne jednadžbe za zadanu pobudnu funkcju pa e toga još nazva forran odzv (engl forced repone) Možemo zaključt da će ukupno rješenje dferencjalne jednadžbe utava l funkcja Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

30 odzva (x ) opvat ponašanje utava koje će ovt o amoj truktur utava energj pohranjenoj u njegovm premncma u početnom trenutku analze utava (početn uvjet) energj z okolne koja djeluje na utav (pobuda) Određvanje homogenog rješenja (komplementarne funkcje) u ovom prmjeru kreće od homogene dferencjalne jednadžbe x x x t Odabrom rješenja xh Ke za konkretn lučaj prozlaz t t t K e K e Ke t Ke te uz K ; Dobven polnom drugog reda predtavlja karaktertčnu jednadžbu ovog utava pr čemu u λ λ njezna rješenja l korjen karaktertčne jednadžbe (korjen utava vlatte l vojtvene vrjednot) Ovdje valja prmjett da vrjed: tj u korjen utava defnran u -području On e računaju z polnoma formranog na temelju ljeve trane dferencjalne jednadžbe Dakle ovt će o utavu a preotala dva rješenja 4 ovt će o pobud jer e određuju z polnoma u potpunot defnranog funkcjom pobude Vše o tome u prmjerma koj ljede Homogeno rješenje za k korjena koj u realn razlčt poprma opću formu t t kt H e e e x K K K k odnono u ovom je lučaju t t t t H e e e e x K K K K Kako je dferencjalna jednadžba drugog reda (dvotruka dervacja funkcje odzva utav dva premnka energje) potrebno je još odredt dvje kontante ntegracje K K One će e odredt na temelju početnh uvjeta općeg rješenja nehomogene dferencjalne jednadžbe za koje je prethodno potrebno odredt partkularno rješenje artkularno rješenje (partkularn ntegral) predtavlja blo koje rješenje koje zadovoljava nehomogenu dferencjalnu jednadžbu a ne nalaz e u homogenom rješenju Kako njegovo određvanje om o utavu prmarno ov o funkcj pobude ponekad ga nje lako l nje moguće uopće odredt (ovno o tpu funkcje pobude) Za određvanje partkularnog rješenja u prmjerma ovog zadatka uglavnom u koršten oblc funkcja metode detaljnje zložene u [ 4] Ukolko je pobuda u oblku trgonometrjke funkcje n(t) l co(t) partkularno rješenje ma formu K co t K n t rema tome uz x x K co t K n t u n t mamo: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

31 Do kontant K K dolazmo uvrštavanjem odabrane forme partkularnog rješenja u pa prozlaz dferencjalnu jednadžbu x x x nt 4K co t 4K n t 6K n t 6K co t K co t K n t n t co t 4K 6K K n t 4K 6K K n t K 6K K 6K K K x co t nt Korštenjem dobvenog partkularnog rješenja čnjence da u premnc energje utava u početnom trenutku prazn (U=) ljed zračun kontant ntegracje homogenog rješenja odnono konačno rješenje jednadžbe koje je očekvano dentčno dobvenom rješenju prmjenom Laplaceove tranformacje t t x xh x Ke Ke co t nt x K K K K t t x Ke Ke nt cot= x K K K K K K 5 4 t t x xh x e e cot nt 5 4 homogeno rješenje partkularno rješenje ( prrodn odzv ) (forran odzv ) Korjen utava opvat će prrodne modove utava l do ukupnog rješenja pobud t e e 5 4 t a preotala dva rješenja = 4 =- ovt će amo o xu t n t bt će ntegrran u konačn odzv preko preotala dva člana ukupnog rješenja co t n t (pogledajte zračun zadnja dva parcjalna razlomka vezana uz koefcjente A za = A 4 za = 4 ) Za kraj ovog prmjera još nekolko napomena o početnm uvjetma očetn e uvjet mogu defnrat neporedno prje (t=-) l u trenutku nakon (t=+) natupa pobude/poremećaja rmjerce početn uvjet za jednčnu odkočnu funkcju u(t)= za t u(t)= za t< u: u(-)= u(+)= 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

32 On e razlkuju jer funkcja pobude ma dkontnutet u nul Dakle u takvm lučajevma nje vejedno hoćemo l rješenje dferencjalne jednadžbe l odzv utava tražt ntegracjom od t=- l t=+ Laplaceova tranformacja podrazumjeva korštenje početnh uvjeta ljeva (u t=-) dok e kod klačnog rješavanja dferencjalnh jednadžb korte početn uvjet dena (u t=+) [ 5] Kako u u vm zadacma pa tako ovom zadan početn uvjet u t=- (to nje ngdje ekplcte naznačeno al e podrazumjeva jer e uvjek kortla Laplaceova tranformacja) kod drektnog prtupa rješavanju dferencjalne jednadžbe ćemo h kortt da b odredl početne uvjete u t=+ Dkontnutet pobude e ne mora al može odrazt na dkontnutete početnh uvjeta vezanh uz zlazn gnal Ukolko je red dervacje dene trane dferencjalne jednadžbe m= tada dkontnutet početnh uvjeta zlaznog gnala ne potoje odnono početn uvjet dena jednak u onma ljeva Ako je n=m v e početn uvjet ljeva razlkuju od onh dena U lučaju n>m prvh n-m početnh uvjeta je jednako dok e otal moraju odredt kao što će e vdjet u prmjerma koj ljede Kako je u ovom prmjeru zotala dervacja funkcje pobude a pobudna funkcja xu n t jednaka je nul ljeve dene trane (nema dkontnutet u nul!) početn uvjet e nu mjenjal ( x x x x ) () Određvanje odzva prmjenom Laplaceove tranformacje rethodn je prmjer pokazao da e funkcja odzva dobvena drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe atoj od ume prrodnog forranog odzva Slčna je tuacja u lučaju kad e nehomogena dferencjalna jednadžba utava rješava u kompleknom području tm da je u tom lučaju odzv određen umom tzv lobodnog prnudnog odzva [] Slobodn odzv općento ne mora bt jednak prrodnom kao n prnudn forranom odzvu al njhove ume defnraju tu funkcju odzva rtom je raščlamba konačnog rješenja jednadžbe utava na lobodn prnudn odzv fzkalno razumljvja Name lobodn odzv ov amo o utavu odnono o unutarnjoj energj utava pohranjenoj u njegovm premncma u njegovu e zračunu ne kort funkcja pobude (kao što je to lučaj kontantama ntegracje kod prrodnog odzva l homogenog rješenja) Dakle kod određvanja lobodnog odzva pobuda e vod u nulu S druge trane prnudn odzv opuje ponašanje utava praznm premncma energje na vanjku pobudu l energju z okolne Kod njegova e zračuna v početn uvjet vode u nulu Očto je ada da ćemo prmjenom ova dva odzva mat jano defnran utjecaj Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

33 pohranjene energje jedne trane (lobodn odzv) utjecaj energje z okolne druge trane (prnudn odzv) na reakcju utava x 4x 4x x x L u u 4 4 X x x X x X Xu xu Xu ljed 4 4X Uz x x 5ut X u Izračun -ova: 4 4 jednotruko rješenje 5 všetruka rješenja X 6 A D D 4 4 Izračun A -ova za lučaj jednotrukog rješenja: N 4 4 N' 8 4 A B 6 5 N' 8 4 o Izračun D -ova za lučaj všetrukh rješenja: X B 6 6 N 4 4 R 6 D R D R! ' Konačno rješenje gla 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

34 X L 5 5 e t e t x t Kako bmo pojanl podjelu ukupnog odzva na lobodn (x SO ) prnudn (x O ) do tog ćemo rješenja ada doć njhovm zračunom umom Slobodn odzv ( x a x ): u X x x 4 X x 4 X X x SO L SO e t x t rnudn odzv ( x u 5 u t a U=): 4 4 X x x X x X Xu xu Xu XO X u L 5 5 O e t e t x t rema tome naš b e utav u lučaju da nema pobude z okolne uz energju u premncma zadanu preko početnog uvjeta x ponašao prema funkcj SO e t x t (odzv utava b e vremenom taconrao u nul) U lučaju da je uz prazne premnke energje z okolne pobuđen funkcjom 5 5 e e x u t njegov b odzv bo u 5 t t xo t ( vremenom b e taconrao na 5 t 5 5 t t 5 5 t t x xso xo te e te e e t ) Ukupan je odzv dakle Određvanje odzva drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe Kao u prethodnom prmjeru krećemo od zračuna homogenog rješenja jednadžbe x 4x 4x r čemu ljed Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

35 t t t K e 4K e 4Ke t Ke 4 4 Iz karaktertčne jednadžbe dobvamo 4 4 ( ) Homogeno rješenje za k korjena koj u realn ponavljaju e zgleda u općoj form: t k H e k x K K t K t a u ovom je lučaju t t t t H e e e e x K K t K K t artkularno rješenje za funkcju pobude dobvamo x Ku t ma oblk b x K pa uz K=5 a u x b a 4 Ukupno rješenje je t t 5 x xh x Ke Kt e Kako je u ovom lučaju (n=)>(m=) prozlaz da će prv (n-m=) početn uvjet otat nepromjenjen a preotal će e razlkovat: x x x x Taj ćemo preotal uvjet dobt ntegracjom dferencjalne jednadžbe m puta (u ovom lučaju m=) u grancama od - do +: x 4x 4x x x u u x 4x 4x dt x x dt u u 4 x x x x xu xu Kako je x x a još je zadano x te x x (zbog x u = 5) ljed u u 5 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

36 x 5 x 6 x Nakon određvanja vh početnh uvjeta dena ljed zračun kontant ntegracje homogenog rješenja odzv utava t t 5 x Ke Kt e x K 5 5 K x K K K t t t t e e e 5 x K K 6 K 6 K x 5 t t 5 e te xh ( prrodn odzv ) x (forran odzv ) Očto da u ovom lučaju lobodn prrodn odnono prnudn forran odzv neće bt t al će m uma defnrat t odzv utava Korjen utava ( ) opvat će do ukupnog rješenja 5 e t e t t a preotalo rješenje = ponovno će kao u prethodnom prmjeru ovt amo o pobud x t u t bt će ntegrrano u konačn odzv preko trećeg člana u 5 rješenja tj 5 (pogledajte zračun parcjalnog razlomka vezanog uz koefcjent A ) () Određvanje odzva prmjenom Laplaceove tranformacje x x 5x x x L u u 5 X x x X x X X u x u x u X u t Uz x x x e X u u u 5 X ljed X Izračun -ova: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

37 5 jednotruko rješenje j j jednotruka rješenja X 7 5 A A j j Izračun A -ova za lučaj jednotrukh rješenja: N 7 5 N' 6 7 A A A B N' 6 7 B j N' j B j N' j A X j j j j L t jt jt x t e j e j e 4 4 j j j j e t e t t e e t je t t e e t x t 4 pa je konačno rješenje t t t x e e cot e nt Do tog ćemo rješenja doć ponovno preko lobodnog prnudnog odzva Izračun lobodnog odzva ( x x x ): u u 5 X x x X x X x u X x x x j j 5 5 u SO L j j Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

38 t t xso e co t e n t Izračun prnudnog odzva (U= u t u x e X ): 5 X x x X x X X u x u x u X u j j XO X 4 4 u 5 5 j j L t t t xo e e cot e nt U lučaju da nema pobude z okolne uz energju u premncma zadanu preko početnh t t uvjeta x x odzv utava bo b u xso e co t e n t (nakon pražnjenja premnka odzv e oclatorno prgušuje u nulu) a uz prazne premnke energje pobudu u e x t t ( taj će e t t t t x odzv b bo O e e co e n odzv vremenom mrt u nul jer će e mrt pobuda) Zbroj ta dva odzva daje ukupan odzv t t SO O e co e n t t t x x x t t e e co t e nt t t t e e cot e nt Određvanje odzva drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe Rješavanjem homogene dferencjalne jednadžbe dobvamo korjene karaktertčne jednadžbe: x x 5x 5 j j ( ) Homogeno rješenje za konjugrano-komplekn par korjena form at H e co at e n x K bt K bt a bj zgleda u općoj a u lučaju k ponavljajućh konjugrano-kompleknh parova k k at k k H x e K K t K t co bt K K t K t n bt Kako u ovom lučaju mamo jedan par konjugrano-kompleknh rješenja t H t x K e co t K e n t Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

39 Do partkularnog rješenja možemo doć na dva načna Ako za funkcju pobude x u =e at at t odaberemo x K e tj za x u e odaberemo x K e onda uvrštavanjem tog rješenja u dferencjalnu jednadžbu dobvamo t t t t t Ke Ke 5K e e e t t t e K K 5K e K x e U drugom lučaju do partkularnog rješenja dolazmo pomoću zraza t at x e uz =a Ovdje treba prmjett da je za zračun nužna funkcja z kompleknog područja () tj moramo kortt Laplaceovu tranformacju u određvanju partkularnog rješenja Funkcja () e još nazva prjenona funkcja ona će e detaljnje razmotrt u dućem potpoglavlju () Ovdje ćemo amo naglat da e dobva z omjera zlaznog ulaznog gnala uz početne uvjete (defnrane u t=-) jednake nul U ovom lučaju mamo x x 5x x x L u u 5 u u X X X X X x X 5 Xu t e e 5 Ukupno rješenje gla: t t t x xh x Ke cot Ke nt e Kako u ovom lučaju mamo n=m= prozlaz: x x x x t Sada je potrebno provet najprje dvotruku ntegracju dferencjalne jednadžbe (m=) u grancama od - do +: x x 5x dt x x dt u u x x x x u u Kako je x a još je zadano x u x u e (zbog u e t x ) ljed Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

40 x x Nakon jednotruke ntegracje dobvamo preotal početn uvjet x : x x 5x dt x x dt u u x x x x x u x u x x jer je x x a x e u u zbog x u e t Nakon određvanja vh početnh uvjeta jed zračun kontant ntegracje homogenog rješenja funkcja odzva t t t x Ke cot Ke nt e x K K x K t K t K t K t t t t t t e co e n e n e co e x K K K e t co e t n e t x t t xh x prrodn odzv forran odzv N u ovom lučaju lobodn prrodn odnono prnudn forran odzv neće bt t Korjen utava ( j j ) ponovno će opvat prrodne t t modove utava adržane u funkcj odzva preko članova t rješenje =- dobveno na temelju pobudne funkcje x u članu t e e t e co e n t a nalazt će e u preotalom (pogledajte zračun parcjalnog razlomka vezanog uz koefcjent A ) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

41 (4) Određvanje odzva prmjenom Laplaceove tranformacje Kako u početn uvjet jednak nul tranformacjom dferencjalne jednadžbe dobvamo x x x 5x x L u u 5 u u X X X X X 5 X X u Uz t u e u x t X (teorem prgušenja) ljed X Izračun -ova: jednotruko rješenje všetruka rješenja 4 5 všetruka rješenja X 5 A D D E E Izračun A -ova za lučaj jednotrukog rješenja: 4 N' A B 5 N' Izračun D -ova za lučaj prvog všetrukog rješenja ( = =-): X k 5 B 5 5 N 6 9 R R R 5 D R Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

42 D R! 4 ' Izračun E -ova za lučaj drugog všetrukog rješenja ( 4 = 5 =-): X R R 5 7 E R E R! 6 ' U konačnc je funkcja odzva: X L e t e t e t e t x t t t Kako uljed praznh premnka energje utav u početnom trenutku (t=-) mruje lobodn će odzv bt jednak nul pa će dobvena funkcja odzva predtavljat ujedno prnudn odzv Određvanje odzva drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe Iz homogene dferencjalne jednadžbe dobvamo: x x x ( ) Homogeno rješenje je kombnacja rješenja za jednotruk všetruke korjene: t t t t t H e e e e e x K K Kt K K Kt hom ogeno rješenje za jednotruk korjen hom ogeno rješenje za všetruke korjene artkularno rješenje e također može dobt na dva načna U prvom e lučaju za at funkcju xu Kt e pr čemu je a može kortt zraz Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

43 at x bt b e odnono u našem lučaju e t x bt b Koefcjente b b odredt ćemo uvrštavanjem prethodnog zraza u dferencjalnu jednadžbu utava čme dobvamo t t t t t t x x 7b e 7b te 7b e b e 8b te 8b e t t t t e e e 5e x b b t b 5te te 5e 4t e 5x u t t t t xu t t t t t 6b e b e b te 5e 4t e 6 e e 5e 4 e t t t t b b bt t t t 7 4 6b b 5 bt e 4te b b e t x t 6 6 U drugom lučaju ponovno moramo kortt prjenonu funkcju []: d at x K e K te a a l konkretno uz d at 5 X 5 X X K mamo x u Xu t t e e t 4 t 7 t x e t e 6 6 Ukupno rješenje gla: t t 4 t 7 t x xh xp K Ke Kte e t e 6 6 Kako u ovom lučaju mamo (n=)>(m=) tj n-m= prozlaz da e prva dva početna uvjeta zlaznog gnala ( x x ) neće mjenjat dok ćemo za preotal treć početn 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

44 uvjet dena ( x ) odredt vrjednot Stoga ćemo provet jednotruku dervacju dferencjalne jednadžbe (m=) u grancama od - do +: x x x dt 5x x dt u u 5 x x x x x x xu xu Kako je x x x x a još je zadano x ( x x ) u u x x u zbog u e t x t tj u x u e ljed da je rethodn je zračun pokazao da e početn uvjet zlaznog gnala ne mjenjaju što mo također mogl unaprjed zaključt z pobudne funkcje koja nema dkontnutet u nul Na temelju dobvenh početnh uvjeta ljed zračun kontant ntegracje homogenog rješenja odzv utava t t 4 t 7 t x K Ke Kte e t e 6 6 x K 4 4 K K K x Ke t Ke t Kte t e t te t x K 7 7 K K K x Ke t Ke t Kte t e t te t 4 x K K K K K K K 9 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

45 5 4 7 e t e t e t e t x t t I u ovom će prmjeru korjen utava = = = = = =- opvat do funkcje odzva vezan uz prrodne modove utava 5 e t e 9 4 z funkcje pobude u e t t t a rješenja 4 = 5 =- prozašla x t bt će ugrađena u preotal do funkcje odzva 4 t 7 t e t e (pogledajte zračun zadnja dva parcjalna razlomka vezana uz 6 6 koefcjente E E ) 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

46 rjjenona funkcjja rjenonom funkcjom () određena je dnamka lnearnh vremenk nvarjantnh utava u području komplekne varjable čj u premnc energje prazn (početn uvjet u jednak nul) Ona e formra z omjera tranformranog oblka zlazne ulazne funkcje utava: X b b b b U X a a a a m m m m n n u n n Drugm rječma prjenonom je funkcjom opana veza zmeđu pobude odzva utava u -području uz nepotojeć l zanemarvo mal utjecaj njegove unutarnje (pohranjene) energje Iz prethodnog zraza prozlaz da prjenona funkcja pada u kupnu raconalnh funkcja pr čemu je polnom njezna brojnka atavljen od članova koj prpadaju denoj tran nehomogene dferencjalne jednadžbe utava a polnom nazvnka od članova ljeve trane jednadžbe U vm zadacma koj ljede a u kojma početn uvjet nu ekplcte defnran podrazumjeva e da je njhov zno jednak nul Zadatak 7 Odredte prjenone funkcje utava čje u dnamke opane ljedećm dferencjalnm jednadžbama: x 5x 9x 7x x x x () u u u t () x x x x xdt xu xu () x x 5x x x t u u x x x z z (4) u Rješenja: Sutave zapane u vremenkom području potrebno je najprje tranformrat u područje komplekne varjable a zatm zrazt omjer zlazne ulazne funkcje () x 5x 9x 7x x x x L u u u u u u X X X X X X X u X X Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

47 X 4 u X Red prjenone funkcje l red utava defnran je brojem premnka energje koje utav pojeduje a on je jednak redu dervacje ljeve trane dferencjalne jednadžbe utava odnono redu polnoma nazvnka prjenone funkcje Konkretno utav opan prjenonom funkcjom u ovom prmjeru je četvrtog reda tj ma četr premnka energje Od značaja je ovdje još pomenut da će porat broja premnka energje uzrokovat veća kašnjenja u odzvu utava (nertnot tromot) zbog dugotrajnje zmjene energje zmeđu premnka /l zmeđu premnka okolne () x x x x xdt x x L u u t X X X X X Xu Xu 4 u u X X X X X X X 4 X X u X 4 u X () x x 5x x x t L u u X X 5X X e X u u 5 u e X X X e Xu 5 (4) U ovom zadatku na utav om željene funkcje pobude x u (nazvne l vodeće velčne) djeluje poremećaj z (neželjena pobuda) Ukolko e dnamka utava žel opat prjenonom funkcjom bt će je potrebno zapat pomoću dvje funkcje () () pr čemu je vaka vezana za njoj prpadajuću funkcju pobude U tom e mlu funkcja () određuje z dferencjalne jednadžbe zadanog utava uz uvjet da je z = : 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

48 x x x L u X X X u X X u Sljedom te logke određuje e funkcja () korštenjem dferencjalne jednadžbe utava uz uvjet da je x u =: L x x z z X X Z Z X Z Iako zračun funkcje odzva utava ovdje nje clj zadatka pomenut ćemo amo da u konačnc obje prjenone funkcje udjeluju u njegovu formranju: X X Z u Zadatak 8 Odredte prjenone funkcje l njhove konačne nule polove u ljedećm lučajevma () Zadan u polov p =- p =- p = nule n = n =- prjenone funkcje ojačanje utava zno K=5 () rkažte polove nule u kompleknoj ravnn a) b) 4 c) () rjenona funkcja ma polove p = p =- te konačnu nulu n =N ojačanje utava zno K= Konačna vrjednot orgnala l nverzne Laplaceove tranformacje prjenone funkcje je 5 lm g t t Rješenja: Nul-točke l nule raconalnh funkcja ( n ) predtavljaju vrjednot za koje je funkcja tj polnom brojnka B()= olov ( p ) pak predtavljaju vrjednot u kojma funkcja l njezne dervacje teže u tj kod kojh je polnom nazvnka N()= Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

49 X B X N m m bm bm b b n n nm K n n u a n an a a p p p n olov nule zajedno prjenonm omjerom l pojačanjem utava K=b m /a n u potpunot opuju prjenonu funkcju odnono dnamku utava Nule prjenone funkcje utava opuju povezanot tog utava okolnom a polov opuju ponašanje utava zolranog od okolne olov u nam od poebnog nterea jer adrže nformacju o tablnot utava kao ponašanju utava u mlu aperodkog l oclatornog odzva Njhov je utjecaj detaljnje razmotren u zadacma z potpoglavlja 4 5 Nule utava zajedno polovma pojačanjem maju utjecaja na karakter prjelaznh pojava u odzvu utava (prebačaj/podbačaj vrjeme porata/mrvanja) al na konačnu vrjednot odzva Kako nule polov pojačanje predtavljaju parametre koj opuju dnamku utava očto da će o njhovm znoma ovt ve značajke odzva utava Svaka raconalna funkcja ma jednak broj polova nula pr čemu e one nule/polov konačnm vrjednotma (realnm /l magnarnm) nazvaju konačne nule/polov a otal u u Konačne nule polov će e u natavku jednotavno nazvat amo nule polov () Uz p =- p =- p = n = n =- prozlaz da je () n u p p p X n n n m K 5 X a) 5 u X B X N Iz prethodnog zraza ljed da ova prjenona funkcja nema konačnh nula (jer je B() ) a polov joj znoe: N ; ; p p p 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

50 Nule: b) u X B X N 4 B n olov: N p p p p4 ; ; j j Kako e nula ( n ) pol ( p ) mogu pokratt konačno rješenje gla: j j p p p Nule: c) X B X N u B n j n j olov: N Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

51 p p p p4 ; j j; j j Nule polov mogu bt realn al komplekn brojev Komplekne nule l polov pojavljuju e uvjek u form konjugrano-kompleknog para ( n n ; p p ; p p4 ) () S obzrom na defnrane parametre prjenone funkcje ona ma formu X N X u rema teoremu konačne vrjednot (Tablca ) prozlaz da je t lm g t lm Iz navedenog ljed konačan oblk prjenone funkcje N lm g t lm lm 5 t lm N u N lm N 5 5 X X Dobveno e rješenje može provjert njegovm rapvanjem u oblk ume parcjalnh razlomaka njhove tranformacje u vremenku domenu prmjenom nverzne Laplaceove tranformacje: X X u 5 4e g t t L Očto da drug član funkcje g(t) tež u za t koj tež u što potvrđuje zadanu vrjednot lmea funkcje g(t) = 5 Funkcja g(t) još e nazva težnka funkcja utava (pogledajte potpoglavlje 5) 44 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

52 Zadatak 9 Odredte prjenone funkcje utava opanh ljedećm dferencjalnm jednadžbama: x x 4x 64x x x 4x () u u 5x x 4x x x x 4x 4x () u u u u x x x x 5x 9x 7x () u u u u Rješenja: () x x 4x 64x x x 4x L u u u u X X X X X X X u X X X 4 4 u X Iz dobvene prjenone funkcje može e uočt da polnom brojnka nazvnka ma jedan zajednčk faktor (+= =-) U takvm je tuacjama ve zajednčke faktore potrebno najprje pokratt kako b e potavla prjenona funkcja dobl nule polov prjenone funkcje Iz ljedećeg zračuna e pokazuje da zajednčk faktor =- nje ujedno pol prjenone funkcje Name da b =- bo pol prjenone funkcje mora prema defncj vrjedt da za tu vrjednot U ovom lučaju mamo: B N Kako rješenje nje defnrano prmjent ćemo L'Hoptalovo pravlo z kojeg ljed: db d 4 dn d rema tome konačn zgled prjenone funkcje gla 4 4 pr čemu je n = nula a p =- p = p =-4 polov funkcje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 45

53 Ukolko e zajednčk faktor ne b pokratl u klopu prjenone funkcje njhovo b e kraćenje nužno provelo u dobvanju zraza za X () z kojeg b e zatm odredla funkcja odzva x (t) koja predtavlja prmarn clj analze utava Drugm rječma pokraćena vrjednot l tzv nedotajuć pol neće e nalazt u konačnom odzvu utava Sutav zapan prjenonom funkcjom kojoj uljed kraćenja nulama nek polov nedotaju (degeneratvna funkcja funkcja koja nema mnmalnu realzacju) neće u potpunot opat dnamku tog utav tj opat će amo potpuno upravljv mjerljv do utava To znač da utav opan gornjom dferencjalnom jednadžbom nje u potpunot upravljv /l mjerljv Ovakav je zap utava poebno problematčan u tuacjama kada nedotajuć pol l mod utava koj nje atavn do funkcje odzva značajno utječe na tablnot utava U tom e lučaju zaključc zveden amo na temelju dobvenog odzva ne mogu prhvatt Upravo je jedan takav lučaj obrađen kanje u zadatku 7 () Ukolko je red polnoma brojnka manj od reda polnoma nazvnka (m<n) prjenona funkcja pada u kupnu pravh raconalnh funkcja opuje fzkalno realn utav U tom e mlu nazva još kauzalna funkcja (kod kauzalnh utava odzv ov amo o prošlm adašnjm vrjednotma funkcje pobude a ne budućm) To znač da gnal pobude ne zaoblaz utav već va upravljačka energja prolaz kroz utav U ovom je prmjeru z dferencjalne jednadžbe uočljvo da će red polnoma brojnka nazvnka prjenone funkcje bt jednak (m=n) 5x x 4x x x x 4x 4x L u u u u u u u u 5 X X 4X X X X 4X 4X u X X X u 4 4 X 5 4 I u ovom lučaju dobvamo kauzalnu funkcju tm da je ovakvm utavom teže upravljat jer potoj drektan prjeno gnala ulaza na njegov zlaz tj ne prolaz va energja kroz utav Da b ovakva funkcja bla podena za daljnj zračun (za nverznu Laplaceovu tranformacju određvanje x (t)) potrebno je brojnk podjelt nazvnkom (pogledajte zadatak 5/): : otatak Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

54 čme e dobva polnom (m-n)-tog tupnja prava raconalna funkcja () U trećem lučaju ovog zadatka red polnoma brojnka već je od reda polnoma nazvnka (m>n): x x x x 5x 9x 7x L u u u u u u u u X X X X X X X u X X X Xu Ovdje je rječ o dferencrajućem članu tj nekauzalnoj funkcj To je fzkalno nerealn lučaj jer uz prjenona funkcja također (utav ne prgušuje već rapruje vokofrekventne gnale pobude) Ukolko je takva prjenona funkcja potavljena na temelju nekog realnog utava tada e može zaključt da u pr njegovu matematčkom modelranju nek djelov l modov neopravdano zanemaren pa je njhov utjecaj tj prutnot na ljevoj tran dferencjalne jednadžbe (l u nazvnku prjenone funkcje) zotao Za eventualn daljnj zračun ovdje je potrebno prjenonu funkcju preuredt na gornje prkazan načn : otatak čme dobvamo konačn oblk funkcje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 47

55 Allgebra bllokova U ovom je potpoglavlju prkazano rješavanje trukturnh blok-djagrama utava prmjenom pravla z algebre blokova Navedena metoda nje ujedno jedna metoda tranformacje tj redukcje blok-djagrama Moguće je kortt drektan potupak preko algebarkh jednadžb koje adržavaju ve gnale utava čjom e potupnom elmnacjom dolaz do odnoa ulaznog zlaznog gnala Također u clju brže redukcje loženjh utava zraženjm vezama zmeđu elemenata razvjena je Maonova metoda zanovana na grafkonu tjeka gnala [ ] U rješavanju zadanh prmjera korštena u pravla prkazana Tablcama 4 rkazan potupc tranformacje redukcje blok-djagrama najčešće ne predtavljaju jedn put do rješenja već e do tog može doć nekm drugm putem rncp rješavanja ovakvh zadataka počva na logc da nt jedna modfkacja polazne trukture blok-djagrama ne mje globalno rezultrat gubtkom potojećeg /l pojavom nepotojećeg gnala koj povezuju elemente (blokove) utava U protvnom dolaz do promjene dnamke utava koja je defnrana prvotnom formom blok-djagrama Zadatak rmjenom algebre blokova odredte prjenone funkcje utava prkazanh blok-djagramma () () 48 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

56 () (4) (5) (6) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 49

57 (7) (8) (9) 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

58 Rješenja: () 4 X u X 5-6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

59 () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

60 4 4 () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

61 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

62 (4) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 55

63 (5) 56 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

64 (6) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 57

65 (7) 58 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

66 (8) U ovom je prmjeru zadan blok-djagram dvje funkcje pobude (željena pobuda X u neželjena pobuda l poremećaj Z) jednm odzvom Stoga je za vaku kombnacju odzvne pobudne funkcje potrebno odredt prpadajuću prjenonu funkcju U prvom lučaju (a) ćemo funkcju poremećaja Z vet u nulu a u drugom lučaju (b) ćemo to napravt pobudom X u Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 59

67 (a) u X a Z X 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

68 a (b) X b Xu Z Ako je X u = tada grana 6 netaje jer na nju djeluje jedno X u ( 6 opuje dnamku kojom pobuda djeluje drektno na zlaz zaoblazeć utav) ornj djagram ćemo ada amo nacrtat na drugačj načn kako b e lakše uočle veze među blokovma rtom treba prpazt da e negatvan predznak povratne veze koja je povezvala zlaz ulazom u prethodnom djagramu ugrad u povratne veze blokovma 5 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

69 b Ovdje je ntereantno za prmjett da obje prjenone funkcje ( a b ) maju dentčan nazvnk To je logčno majuć u vdu da nazvnk prjenone funkcje (polov) opuje unutarnje veze utava a brojnk (nule) vezu utava okolnom (pobudom) Kako je u ovom prmjeru mjenjana amo pobuda a veze među blokovma (utav) u otale nepromjenjene u prjenonm je funkcjama došlo do promjene amo u brojncma Ta će povezanot zmeđu nazvnka prjenone funkcje utava bt kanje korštena u određvanju njegove tablnot (potpog 4) 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

70 (9) U ovom prmjeru mamo tr funkcje pobude ( poremećaja jednu nazvnu) jedan odzv pa ćemo u konačnc potavt tr prjenone funkcje (a) X Z Z a Xu a (b) X X Z b u Z Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

71 b (c) X X Z c u Z Kako poremećaj Z djeluje amo na odzv utava a zbog X u =Z = nt jedan blok nema utjecaja na odzv prozlaz da je X Z c I u ovom e prmjeru može uočt nepromjenjena forma nazvnka kod prjenonh funkcja a b Te e dvje prjenone funkcje razlkuju amo po prjenonoj funkcj 7 koja e nalaz u brojnku funkcje b a koja povezuje utav funkcjom pobude (poremećajem) Z To međutm nje lučaj funkcjom c jer je u tom lučaju zbog X u =Z = zotao utjecaj cjelog utava na odzv koj ada drektno ov amo o poremećaju Z 64 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

72 4 Određvanjje tabllnot utava u komplleknom područjju Informacja o tablnot jednovarjablnog lnearnog vremenk-nvarjantnog utava nalaz e na ljevoj tran dferencjalne jednadžbe koja ga opuje To je toga što tablnot utava ov amo o utavu tj njegovoj truktur l unutarnjm vezama a otprje je poznato da je ta truktura (prrodn modov utava) opana ljevom tranom dferencjalne jednadžbe utava odnono nazvnkom prjenone funkcje utava koj e upravo toga još nazva karaktertčn polnom (karaktertčan je za razmatran utav) Njegovm zjednačavanjem nulom dobvamo karaktertčnu jednadžbu: n n n a a a a n Rječ je o toj onoj jednadžb dobvenoj z homogene dferencjalne jednadžbe utava kojom mo e upoznal u zad 6 Stoga mo tada mogl neke varjable korštene za zračun parcjalnh razlomaka prozvat korjenma l vlattm vrjednotma utava (rješenja karaktertčne jednadžbe) pokazavš da vrjed = gdje u bl označen korjen utava dobven drektnm rješavanjem dferencjalne jednadžbe utava Kako karaktertčna jednadžba prozlaz z nazvnka prjenone funkcje utava valja također zapazt da će korjen utava bt dentčn polovma te funkcje rema tome očto je da će e analza tablnot utava zanvat na njegovoj karaktertčnoj jednadžb U kompleknom je području om prmjenom korjena/polova utava analzu tablnot moguće provet prmjenom Hurwtzova odnono Routhova krterja tablnot za koje nje potrebno poznavat rješenja karaktertčne jednadžbe već amo njene koefcjente Drektn zračun polova utava pomoću nekog od matematčkh programkh alata (Matlab Mathematca l) predtavlja najbrž načn određvanja tablnot Stoga je dana prmjena Hurwtzove Routhove metode praktčk ogrančena na probleme u kojma je barem jedan koefcjent jednadžbe nepoznat a u kojem lučaju prethodn prtup nje prmjenjv U lteratur je četo prednot dana Routhovom krterju jer procjena tablnot preko Hurwtza četo zna bt zahtjevnja zbog potrebe računanja nza determnant Stoga je ovdje uglavnom korštena Routhova metoda Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 65

73 Zadatak Odredte tablnot utava zadanh ljedećm prjenonm funkcjama: () () () (4) (5) 4 4 Om nformacje o tablnot utava polov l korjen utava daju nformacju o karaktertc odzva (aperodk perodčk l oclatorn) Njhov realn do govor o tablnot a pojava magnarnog djela mplcra oclacje u odzvu Da b utav bo tablan v e korjen moraju nalazt na ljevoj tran komplekne ravnne tj mat negatvan realn do ojava korjena na denoj tran (poztvan realn do) označava netablan odzv Korjen na magnarnoj o tj granc zmeđu ta dva područja kvalfcraju utav kao grančno tablan (om u lučaju kad e ponavljaju pogledajte 5 prmjer ovog zadatka) Rješenja: () KJ ; ; Realn djelov va tr korjena u negatvn (- - -) pa je utav tablan Dodatno magnarn do m je jednak nul pa je odzv tog utava aperodk (grafčk prkaz razlčth aperodkh oclatornh odzva dan u u potpog 5) 66 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

74 () KJ ; j; j Zbog prvog rješenja poztvnm realnm djelom () utav je netablan ako preotala rješenja (konjugrano-komplekn par) maju negatvan realn do (-) () 4 KJ 4 ; j; j Negatvan realn do prvog korjena ugerra tablan odzv utava no uljed nulth realnh djelova preotala dva rješenja koja e ne ponavljaju utav je na granc tablnot Zbog pojave magnarnh vrjednot (j -j) u korjenma nultm realnm djelom odzv će bt oclatoran (4) 4 KJ 4 ; ; 4 U lučaju da utav ma korjene realnm djelovma koj u jednak manj već od nule (Re= Re< Re>) utav će bt netablan zbog onog rješenja poztvnm realnm djelom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 67

75 (5) KJ ; j ; j ; j ; j 4 5 U ovom prmjeru ne potoj korjen poztvnm realnm djelom već je jedan negatvan a kod preotala četr realn do jednak je nul Ovakva tuacja na prv pogled ugerra grančno tablan utav međutm on je također netablan jer mu e ponavljaju korjen nultm realnm djelom: 4 te 5 Svaka pojava ponavljajućh korjena nultm realnm djelom ndkacja je netablnog odzva koj je u ovom lučaju još oclatoran zbog pojave magnarnh vrjednot j Zadatak rmjenom Routhovog krterja odredte tablnot u ljedećm lučajevma () KJ () KJ () KJ (4) KJ (5) KJ 4 5 Odredte tablnot prmjenom Hurwtzovog krterja Odredte tablnot prmjenom Hurwtzovog krterja Rješenja: () KJ 4 5 Iz opće forme karaktertčne jednadžbe prozlaz: n n n a a a a te uz uvjet n=4 n a a a a a Routhova tablca u općoj form je zajedno zrazma za zračun otalh elemenata tablce defnrana prema: 68 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

76 R a a a n n n n4 R a a a n n n n5 R b b b n R c c n R b c a a a a n n n n a n ba a b n n b b c a a a a 4 5 n n n n a n ba a b n5 n b Nužan uvjet tablnot podrazumjeva da u v koefcjent karaktertčne jednadžbe razlčt od nule tog predznaka Za utave prvog drugog reda to je ujedno dovoljan uvjet tablnot jer će realn djelov rješenja polnoma prvog drugog reda bt uvjek negatvn ako u koefcjent th polnoma razlčt od nule tog predznaka Za otale je utave potrebno još dodatno analzrat elemente prvog tupca tablce Nepromjenjenot njhova predznaka predtavljat će dovoljan uvjet tablnot rtom tablca mora mat n+ redak gdje je n red karaktertčne jednadžbe (red utava broj premnka energje) U konkretnom je prmjeru nužn uvjet tablnot zadovoljen jer u v a > ( 5 ) No buduć da je ovdje rječ o utavu 4 reda moramo ptat dovoljn uvjet tablnot: R R R R 6 4 R 5 b 7 b c d c 7 7 Kako je u prvom tupcu došlo do promjene predznaka utav je netablan Dvje promjene predznaka (-7-764) govore o pojav dva korjena poztvnm realnm djelom ( =755±444j uz koje mamo još 4 =-5±9j) rema Hurwtzovom krterju tablnot koefcjente karaktertčne jednadžbe potrebno je mjett u matrcu dmenzja nxn čja determnanta (H n ) kao ve djagonalne ubdetermnante (H H H n- ) mora bt poztvna Tme je punjen dovoljan uvjet tablnot H a ; n H a n n a n a a n ; Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 69

77 a a a n n n5 H a a a n n n4 a a n n ; n n n5 n7 n n n4 n6 a a a n n n5 a a a n n n4 Hurwtzova determnanata u ovom prmjeru poprma formu: H n a a a a a a a a a 5 H 4 5 Na temelju znoa djagonalnh ubdetermnant prozlaz: H ; H utav je netablan jer je druga ubdetermnanta negatvna Tme vše nje potrebno analzrat znoe ubdetermnante H glavne determnante H 4 () KJ Nužn uvjet tablnot je zadovoljen jer u v a > ( ) Iz dovoljnog uvjeta tablnot prmjenom Routhovog krterja prozlaz: R R R R 4 R 6 68 R b c d e 69 b c U ovom u prmjeru v element prvog tupca tog predznaka tj poztvn pa je utav tablan ( =-; =-±j uz koje mamo još 45 =-9998±j) Hurwtzova determnanta gla: H Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

78 Izračunom ub-determnant glavne determnante ljed t zaključak o tablnot jer ve poprmaju poztvne vrjednot: H 6 H 68 H H H Kod utava všeg reda kao što je to bo lučaj u ovom prmjeru Hurwtzova metoda potaje računalno zahtjevnja zbog potrebe za određvanjem determnant matrca všeg reda Stoga je u preotalm prmjerma naglaak tavljen amo na Routhov krterj tablnot () KJ Analzom koefcjenata karaktertčne jednadžbe prozlaz da je nužn uvjet tablnot zadovoljen jer u v a > ( ) Iz Routhove tablce R R R 5 6 R 48 R 7 6 R 5 R 6 prozlaz da je u prvom tupcu također došlo do promjene predznaka pa je utav netablan Četr promjene predznaka upućuju na čnjencu da četr od ukupno šet korjena utava maju poztvan realn do ( =776±5j 4 =-4 ±869j 56 =447±56j) (4) KJ 4 Nužan uvjet tablnot je zadovoljen a = ( ) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

79 Routhova tablca ma zgled R R R R 4 R? Iz tablce je vdljva pojava nule u prvom tupcu trećeg retka pr čemu u otal element retka razlčt od nule Ovo je jedan od dva poebna lučaja u kojma treba modfcrat elemente Routhove tablce kako b e zbjegla pojava bekonačne vrjednot u prvom elementu ljedećeg retka pokušala odredt tablnot U ovom e lučaju modfkacja provod zamjenom nule nekom malom poztvnom vrjednošću parametra ε kojm e zatm natavlja zračun preotalh elemenata tablce U zadanom prmjeru tablca ada poprma formu: R R R R R R R R R R 4 4 Kako je ε mala poztvna vrjednot prozlaz da je romjena predznaka označava netablan utav što potvrđuju korjen utava ( =457±98j 4 =-957±9j) rethodno opana metoda može dovet do pogrešnog zaključka ukolko je karaktertčna jednadžba opana parom korjena potpuno magnarnm vrjednotma (realn do jednak je nul) Međutm u takvm lučajevma nužan uvjet tablnot neće bt zadovoljen jer v koefcjent karaktertčne jednadžbe neće bt razlčt od nule pa možemo bez Routhova krterja zaključt da utav neće bt tablan Iz ovog također prozlaz da nužan uvjet tablnot ujedno predtavlja uvjet prmjene Routhovog krterja jer b njegovo zanemarvanje daljnja prmjena krterja mogl dovet do pogrešnog zaključka Uz navedeno moguće u tuacje gdje će nužn uvjet tablnot bt zadovoljen (nu v korjen utava čto magnarn) al će Routhov krterj dat pogrešnu nformacju o tablnot Sljedeć prmjer prkazuje jednu takvu tuacju (5) KJ Ovaj prmjer (u kojem je zadovoljen nužan uvjet tablnot) predtavlja drug lučaj modfkacje Routhove tablce kod kojeg e nule pojavljuju u cjelom retku tablce 7 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

80 Rapored elemenata u tablc ada zgleda: R5 R R 6 6 R 4 4 R R? Korjen karaktertčne jednadžbe utava u: =±j 4 =-5±9j 5 =- Upravo je konjugrano-komplekn par nultm realnm djelom uzrokovao pojavu retka nulama u Routhovoj tablc Da b zbjegl pojavu nula u cjelom retku formrat ćemo pomoćnu jednadžbu korštenjem A = koefcjenata z prethodnog retka: Vrjednot potencja u uvjek parne ( 4 ) a rješenja jednadžbe A()= poklapaju e nekm rješenjma karaktertčne jednadžbe utava (ovdje u to =±j) Dervacjom gornje jednadžbe dobvamo d A =8 + d pr čemu će dobven koefcjent 8 zamjent nule u retku R omogućt zračun preotalh elemenata tablce R R R R R R Ovm je prtupom zbjegnut pogrešan zaključak o netablnom utavu jer u v predznac elemenata prvog tupca poztvn (utav nema nt jedan korjen dene trane komplekne ravnne) Međutm dobvena ocjena tablnot je nedovoljno preczna buduć da Routhova tablca ugerra tablan odzv (v korjen na ljevoj tran komplekne ravnne) dok konjugrano-komplekn par korjena nultm realnm djelom jano ukazuje na grančnu tablnot utava U dodatne nedotatke Routhove Hurwtzove metode pada čnjenca da obje metode pružaju amo nformacju o apolutnoj tablnot utava dok je podatak o relatvnoj tablnot akrven (pojava prgušenh oclacja u odzvu) Ogrančenja također predtavljaju koefcjent karaktertčne jednadžbe koj moraju bt realne vrjednot a jednadžba mora bt algebarka tj može adržavat amo polnomjalne funkcje (ne ekponencjalne trgonometrjke td) Uz navedeno treba napomenut da metode nu upotrebljve za određvanje tablnot utava defnranh u dkretnom području Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

81 Zadatak rmjenom Routhova krterja tablnot rješte ljedeće probleme () Za koja će pojačanja K zatvoren regulacjk krug bt tablan ako mu karaktertčna jednadžba gla K K 4? () Zadana je prjenona funkcja otvorenog regulacjkog kruga jednčnom povratnom vezom: K 5 a) b) O 4 O 4 5 K Za koja će pojačanja K krug bt tablan? () Regulacjk krug je atavljen od taze opane prjenonom funkcjom S 4 8 zanemarve dnamke regulatorom: a) R mjernm članom K - proporconaln () regulator nultog reda K b) R regulator nultog reda c) R d -proporconalno-ntegraln (I) T K T - proporconalno-dervacjk (D) regulator nultog reda Sve u vremenke kontante regulatora poztvne Za koje će parametre regulatora krug bt tablan? (4) Regulacjk krug je atavljen od taze opane prjenonom funkcjom mjernm članom opanm dnamkom S proporconalnog člana kašnjenjem prvog reda M regulatorma z prethodnog prmjera ( poztvnm vremenkm kontantama) Odredte parametre regulatora za koje će krug bt tablan rafčk (u "K T" djagramu) prkažte područje tablnog netablnog odzva te krvulju grance tablnot (5) Zadana je prjenona funkcja otvorenog regulacjkog kruga O K 5 T Regulator je dealn regulator pojačanja K a mjern je član zanemarve dnamke Vremenka kontanta regulacjke taze je poztvna (T>) 74 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

82 otrebno je grafčk kcrat krvulju grančne tablnot u "K T" djagramu te naznačt područja tablnog netablnog odzva Rješenja: () KJ K K 4 Iz nužnog uvjeta tablnot prozlaz: K > (K +) > jer u a n = a te a n- = a poztvn (a = a = 4) Iz prvog uvjeta prozlaz K > a z drugog K > - U konačnc prozlaz da će nužn uvjet tablnot bt punjen za ve K > Dovoljn uvjet tablnot određuje e z Routhove tablce: R R R R K K 4 b 4 Kako u prv zadnj element prvog tupca poztvn to moraju bt preotal element pa ljed: K K K K 4 b K K 4 K jer će nazvnk zbog gornjeg uvjeta bt već od nule Iz uvjeta K 6K 4 prozlaze dva rješenja: K 58 K 58 Uzevš u obzr va ogrančenja na K dobvena z nužnh dovoljnh uvjeta može e zaključt da je za tablnot zadanog regulacjkog kruga nužno odabrat K > 58 () Da bmo odredl tablnot regulacjkog kruga potrebno je najprje potavt njegovu prjenonu funkcju Iz elementarne forme blok-djagrama regulacjkog kruga bez poremećaja prozlaz da e odzv utava (X ) kvantfcra pomoću mjernog člana ( M ) njegova e vrjednot negatvnom povratnom vezom vraća na ulaz kruga u clju uporedbe a željenom (nazvnom vodećom) vrjednot (X u ) Razlka th dvju vrjednot (X u -X ) predtavlja grešku koju regulator ( R ) vojm djelovanjem na regulacjku tazu ( S ) natoj elmnrat l manjt na željenu vrjednot Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 75

83 Iz pravla algebre blokova ljed prjenona funkcja kruga: R S R S M Otvoren regulacjk krug pretpotavlja preknutot povratne veze pr čemu v element kruga tme potaju erjk vezan U tom je mlu prjenona funkcja otvorenog kruga defnrana kao O RS M Ove u dvje funkcje očto povezane preko zraza R S O a ukolko je mjern član zanemarve dnamke ( M =) što je lučaj u ovom zadatku (jednčna povratna veza!) prethodn zraz poprma ljedeću formu korštenu u daljnjem računu ovog prmjera: O O a) K 4 5 K 4 KJ 5 K Iz nužnog uvjeta tablnot prozlaz: K K - ; Dovoljn uvjet tablnot: 76 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

84 R R R R R 4 5 K 4 K c d c d > 4 K c 6 K K 4 d K K - Na temelju dobvenh nužnh dovoljnh uvjeta tablnot prozlaz da je pojačanje K ogrančeno na nterval: - < K < b) 4 K 4 6 K 5 4K 8K 4 KJ 6 K 5 4K 8K Iz nužnog uvjeta tablnot prozlaz: K 5 K 5 ; 4K K ; 8K K Dovoljn uvjet tablnot: R K 5 8K R 4 6 4K R b 8K R R c d b c d > 6 K 5 4K 6 b 6K 4K K b 4K 6 8K c b 4K 48K b 6 K 5 4K 6 4K 48K 6 6 6K 4K 4K 8 8 K 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 77

85 6 6 84K 69 K K 84K 69 kako K ne može bt negatvan zbog nužnh uvjeta tablnot prozlaz da je K > K 5 d 8K K Uzevš u obzr ve nužne dovoljne uvjete tablnot konačn krterj za odabr pojačanja je K > () U ovome prmjeru valja zapazt da je regulacjka taza opana dnamkom proporconalnog člana reda ( ) što govor o njeznoj tablnot No za analzu tablnot cjelog kruga potrebno je najprje odredt prjenonu funkcju kruga tj njegovu karaktertčnu jednadžbu rjenona funkcja regulacjkog kruga u ovom je prmjeru defnrana zrazom R S R S jer je mjern član ponovno zanemarve dnamke ( M =) Kako je tablnot potrebno ptat za tr vrte regulatora morat će e odredt tr prjenone funkcje a) rjenona funkcja regulacjkog kruga nakon ređvanja gla: K K KJ K Iz nužnog uvjeta tablnot ljed: K K - Routhova tablca za određvanje dovoljnh uvjeta tablnot: R R R R K b K Iz dovoljnh uvjeta tablnot prozlaz da K b 56 K što je uvjet koj je već ptan kod nužnh uvjeta tablnot 78 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

86 Iz uvjeta potavljenog na element b ljed K tj 5 7 9K K 4 U konačnc možemo zaključt da će regulacjk krug bt tablan ukolko u pojačanja odabranog regulatora u ntervalu - < K < 75 b) rjenona funkcja regulacjkog kruga u ovom lučaju gla: KTK 64T 56T 4T T K T K 4 4 KJ 64T 56T 4T T K T K Nužn uvjet tablnot: T (ovaj je uvjet zadan u amom tektu zadatka) T K T T K K K K K Routhova tablca na temelju koje će e odredt dovoljn uvjet tablnot poprma formu: R 64T 4T K R 56T T KT R b b R c R d 4 Dovoljn uvjet tablnot uz T > koj predtavlja jedan od nužnh uvjeta tablnot u: b c d > b 56T 4T 64T T KT 56T Uz uvjet T > brojnk nazvnk prethodnog zraza mogu e pokratt T te e nakon ređvanja dobva zraz 9 4 b T KT 7 7 Kako b e rješl razlomaka te uzevš u obzr da e blo koj redak Routhove tablce može pomnožt nekm poztvnm brojem a da krterj dalje otane prmjenjv treć redak tablce e množ a 7 modfcra u b 9T 4K T b K 7 K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 79

87 Kako je T > prozlaz da je b 9 4K K 75 arametar četvrtog retka (c ) računa e ada prema zrazu c b T KT 56T b b tj b T K T 56T b jer z prethodnog uvjeta ljed b > Nakon uvrštavanja ređvanja dobvamo 9T 4K T T K T 76K T 9T 46K T 7K T 76K T :T 9T 46K T 7K T 76K z čega ljed T 76K 9 46K -7K oljednj dovoljn uvjet tablnot nema utjecaja na prethodno određene uvjete tablnot d b K K Na temelju vh zračunath uvjeta tablnot prozlaz da e pojačanja regulatora mogu mjenjat u ntervalu < K < 75 dok e vremenka kontanta ntegracje T određuje uvrštavanjem odabranog pojačanja u prethodno defnrano ogrančenje za T dobveno z uvjeta c > c) U lučaju D regulatora mamo: KTd K KTd K KJ K T K Nužn uvjet tablnot: d KT KT K T T K d d d d K K - 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

88 Routhova tablca za određvanje dovoljnh uvjeta tablnot ma formu: R R R R d 64 4 K T 56 K b c Dovoljn uvjet tablnot: KT K 56 4 d 64 b 56 b K 56 c c K b I u ovom lučaju poljednj dovoljn uvjet tablnot nema utjecaja na prethodno određene uvjete tablnot jer je dentčan jednom od nužnh uvjeta tablnot Dovoljn uvjet tablnot morat će e zrazt z nejednadžbe članom b : 56 4 KT 64 K d KT 64 9K d 7 68KT 9K : 4 d 7KT 8K d T d 8 - K 7K K - 7T 8 d Uporedba ogrančenja na vremenku kontantu dervacje T d z nužnog dovoljnog uvjeta tablnot pokazuje da vrjed: - 8K 4 7K K tj - 8K 4 K 9 4K 98 K 7K K Drugm rječma ogrančenje na T d dobveno z dovoljnog uvjeta tablnot uključuje ono dobveno z nužnog uvjeta tablnot pa e toga z dovoljnog uvjeta tablnot T - 8K d (pr čemu je 7K d kontanta dervacje regulatora koja će tablzrat krug T zadano u tektu zadatka) određuje vremenka Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

89 4 Iz preotalh ogrančenja na K ( K T d K K T d - ) ljed da će za T d 4 vrjedt ogrančenje K >- dok će za T d 4 vrjedt K > jer 7 T -8 d ćemo u tom lučaju mat: 9 7Td Td Td 4 odnono 7T 8 d 4 9Td 98Td 8Td Td 4 7T 8 T d d (4) Zadana regulacjka taza je netablna jer joj od dva pola jedan ma poztvn realn do ( p = p =/) Dodatno mjern član nje zanemarve dnamke već uno kašnjenje u krug ( član) Dakle prjenona funkcja regulacjkog kruga e u ovom prmjeru određuje z R S R S M I u ovom će e lučaju morat potavt tr prjenone funkcje po jedna za vak tp regulatora a) rjenona funkcja regulacjkog kruga nakon ređvanja gla: K K KJ K Kako u koefcjent a = a = poztvn a a =- negatvan nužn uvjet tablnot neće bt zadovoljen n za jedan K pa možemo zaključt da je ovakav krug regulatorom trukturno netablan b) romjenom dnamke regulatora tj uvođenjem I regulatora dobvamo prjenonu funkcju regulacjkog kruga: KT K T T T K T K 4 KJ 4 T T T K T K tj K K 4 T Očto da n ovaj tp regulatora nje u tanju tablzrat krug jer koefcjent koj ne ove o parametrma regulatora (a =- a = a 4 =) neće bt tog predznaka 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

90 c) reotaje još da analzramo treć lučaj D regulatorom gdje prjenona funkcja utava ma formu: K KTd KTd K KJ K T K Nužn uvjet tablnot: d KT KT K T T K d d d d K K Routhova tablca za određvanje dovoljnh uvjeta tablnot ma formu: R R R R d K T K b c Dovoljn uvjet tablnot: KT d K b b K c c K b Uvjet za c ponovno je dentčan jednom od nužnh uvjeta tablnot dok će z preotalog dovoljnog uvjeta tablnot ljedt: KT K d 4KT 6K d K T - d T K d K Sada je ponovno potrebno uporedt ogrančenja na vremenku kontantu dervacje T d z nužnog dovoljnog uvjeta tablnot z čega prozlaz da za blo koj K z ntervala vrjed: K K K K Stoga će ogrančenje na T d dobveno z dovoljnog uvjeta tablnot ( T d +K > K ) bt Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

91 uzeto u određvanju parametara regulatora koj tablzraju krug jer ono očto uključuje ogrančenje na T d dobveno z nužnog uvjeta tablnot Uporedbom ogrančenja na vrjednot pojačanja K ( K T K K ) d Td - prozlaz da će konačno ogrančenje na K bt K > jer je T - d prethodno defnrano ogrančenje T d K K T - T d d uz Tme mo dobl ntervale vrjednot parametara regulatorat d K za koje je krug tablan Navedena ćemo ogrančenja ada kortt u grafčkom prkazu parametara regulatora tj kcrat ćemo amo do funkcje K to za K T d T - d (5) Regulacjka taza u ovom prmjeru S 5 T ma tr pola ( - -/T) te uz uvjet da je T> ona e očto nalaz na granc tablnot Mjern član je zanemarve dnamke ( M =) a regulator je dealn član pojačanja K što znač da nema kašnjenja (premnka energje) već je opan amo preko pojačanja K tj R =K Analzrajmo ada mogućnot tablzacje tog kruga rjenona funkcja regulacjkog kruga defnrana je zrazom: 5 K T T K 5K O O KJ T T K 5K 84 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

92 Nužn uvjet tablnot: T T T 5 K K 5K K Dovoljn uvjet tablnot: R T K R T 5K R R b 5K T T b 5K Tr u uvjeta dentčna nužnm uvjetma tablnot a z b > prozlaz b T K T 5K T T K T 5K odnono K T 4T tj uz prethodno defnran uvjet (+T) > ljed Uzevš u obzr predznak zraza u zagrad ljeve trane (-T) prethodna nejednadžba poprma dvje forme: K T - - T ukolko je T tj za T K - 4 T T- ukolko je T tj za T Da b e nacrtala krvulja grančne tablnot zadnj je uvjet tablnot potrebno zapat u form jednadžbe 4 K - T - -T te zračunat K za nz odabranh vrjednot T Kako za T= pojačanje K ma negatvnu vrjednot za T poztvnu a za T nezmjerno velku vrjednot za pravno crtanje krvulje provjert će e zno pojačanja u okoln T rema tome za lučaj da je T uz ε vrjed Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 85

93 4 4T K lm lm T U drugom lučaju uz T 4 4T vrjed K lm lm T T (uz ε ) (uz ε ) 5 5 K / Dakle mat ćemo negatvne K -ove za vrjednot T-ova T T a poztvne za Uzevš u obzr otale uvjete tablnot (K > T > ) prozlaz da će e u 4 T + određvanju područja tablnot kortt ogrančenje K < T - Na temelju zvršene analze ljed još tražen djagram naznačenm tablnm netablnm područjem 4 Zanmljvo je za prmjett kako e poratom vremenke kontante regulacjke taze (povećanjem tromot l kašnjenja utava) manjuje nterval vrjednot pojačanja regulatora koj ogurava tablnot Općento možemo utvrdt da e poratom kašnjenja utava otežava potupak regulacje (manjuje e tzv dobrota regulacje) pa je za realzacju željnh karaktertka odzva četo potrebno kortt loženje vrte regulatora l manjt zahtjeve na odzv Iako je tablnot temeljna karaktertka vakog utava potoje otal zahtjev na odzv utava Shodno njma odabre e tp regulatora njegov parametr o čemu e detaljnje rapravlja u okvru potpoglavlja Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

94 5 Vremenk odzv utava prjjellazna težnka funkcjja U prmjerma ovog potpoglavlja razmatran u odzv utava na neke tandardne funkcje pobude prmjenom metoda z kompleknog područja U tom u mlu uvedene težnka prjelazna funkcja te u promotrene njhove forme kod tablnh grančno tablnh netablnh utava aperodkm oclatornm odzvma Naglašena je njhova međuobna povezanot kao veza prjenonom funkcjom U drugom djelu potpoglavlja analzran u odzv razlčth elektrčnh/mehančkh utava Uz zadatke zložene u natavku u rlogu je dana Tablca 5 kojom u objednjen vremenk odzv prjenone funkcje onovnh dnamčkh članova njhovh pojeva trukturranh u paralelnoj form Zadatak 4 Odzv utava na funkcju pobude xu e t određen je zrazom 5 e t e t x e t 4 4 Odredte prjenonu težnku prjelaznu funkcju Skcrajte težnku prjelaznu funkcju kod obje komentrajte tablnot utava Rješenje: Da bmo odredl prjenonu funkcju potrebno je pobudu odzv tranformrat u -područje: x u e t L X u x 5 e t e t e t L 4 4 X rjenona funkcja gla: X X u Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 87

95 KJ korjen utava Na temelju dobvenh korjena utava prozlaz da je utav tablan zbog negatvnh realnh djelova oba korjena Dodatno kako u oba rješenja realn brojev (bez magnarnh djelova) utav će mat aperodk odzv Imajuć u vdu tekt zadatka analza tablnot dodatno će e u natavku provet z dobvene težnke prjelazne funkcje r tom e unaprjed može utvrdt da će e prethodn zaključc o tablnot još jednom potvrdt jer će dnamka utava otat nepromjenjena (mjenjat će e amo funkcja pobude) Težnka funkcja g(t) predtavlja odzv utava na jednčnu mpulnu (Dracovu) funkcju (t) (pogledajte zadatak 5-): g t x t za x t t Uz x t X u u u L ljed X X u Izračun odzva tj težnke funkcje: KJ jednotruka rješenja u A A X X A B 5 N' 5 A B 6 N' 5 X 5 - x t L 5 e t e t g t Uzevš u obzr da je X jer je X te da je g t x t zmeđu prjenone težnke funkcje uz U=: u prozlaz veza 88 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

96 - - x t L X g t L te X L x t L g t Ako e prv član rješenja označ x (t) a drug x (t) onda e vak može zaebno kcrat a njhov grafčk zbroj predtavlja odzv utava l težnku funkcju: x t 5 e t e t g t x t x t 5 Zaključke o tablnot aperodkoj karaktertc odzva koj u zveden na temelju prjenone funkcje tj korjena utava potvrđuje zap težnke funkcje Kako oba člana (x x ) vremenom aperodk teže nul zbog e -t ( =-) e -t ( =-) odzv utava će vremenom nakon završetka prjelaznh pojava aperodk poprmt vrjednot nula To je odlka tablnog utava pobuđenog mpulnom pobudom koja mplcra zotanak djelovanja okolne na utav za t> Na odzv takvog utava utjecaj ma amo energja u njegovm premncma pa e nakon njhova pražnjenja on očekvano mruje u nul rjelazna funkcja h(t) predtavlja omjer zlazne ulazne funkcje utava pr čemu je ulazna funkcja l pobuda defnrana u form odkočne funkcje ampltude l pojačanja A u : ht A u ut x t Iz prethodnog zapa prozlaz da prjelazna funkcja zapravo predtavlja odzv utava na jednčnu odkočnu l Heavdeovu funkcju (x u (t)=u(t) A u = - pogledajte zadatak - ) l drugm rječma odzv utava veden na jednčnu odkočnu funkcju (za lučaj x u (t)=a u u(t) A u ) Njome je defnran "prjelaz" utava z mrovanja na novu vrjednot odzva karakterzranu jednčnom kokovtom funkcjom pobude Imajuć u vdu čnjencu da u ovom zadatku nje ekplcte defnrano pojačanje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 89

97 (ampltuda) odkočne funkcje prjelazna je funkcja u natavku defnrana za pobudu u oblku jednčne odkočne funkcje: xu ut t L Xu Ovdje ćemo ada uvet pravlo da će e jednčna kokovta pobuda kortt u zračunu prjelazne funkcje u vm zadacma u natavku ukolko u amom tektu zadatka nje drugačje navedeno Laplaceova tranformacja odzva poprma formu: X X u Izračun -ova: jednotruko rješenje (ov o pobud!) jednotruka rješenja (korjen utava ove o utavu!) Zap X () u form ume parcjaln razlomaka gla: X X A A A 5 6 u Izračun koefcjenata A A A : A B N' 6 4 A A B 5 N' 6 4 B N' 6 Uvrštavanjem vrjednot koefcjenata nverznom Laplaceovom tranformacjom ume parcjalnh razlomaka dobvamo prjelaznu funkcju: X L 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

98 x t 5 e t e t h t 4 4 x t x t x t U lučaju odkočne pobudne funkcje odlka tablnog utava je da e po završetku prjelaznh pojava njegov odzv taconra na nekoj vrjednot jer okolna na utav djeluje nekom kontantnom pobudom U ovom prmjeru u kojem odzv ujedno predtavlja prjelaznu funkcju ta će vrjednot znot /4 uzevš u obzr da će zno preotala dva člana rješenja prjelazne funkcje (x x ) vremenom aperodk težt nul zbog e -t ( =-) e -t ( =-) Iz dobvenh rješenja za težnku prjelaznu funkcju može e uočt da u te dvje funkcje povezane na načn da je: g t dht dt što vrjed u ovom konkretnom lučaju gdje je g t dht d e e e e e e dt dt t t t t t t Dokaz ovdje nećemo zvodt al ćemo napomenut da e on temelj na čnjenc da je dervacja jednčne odkočne funkcje jednaka jednčnoj mpulnoj funkcj du t dt t Što e navedene povezanot tče oprez je potreban kod utava koj maju dervacjk karakter (m n) a što e ogleda u kokovtom poratu prjelazne funkcje u t= Upravo je jedan takav tp utava obrađen u prvom prmjeru ljedećeg zadatka Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

99 Zadatak 5 Za utave opane ljedećm zrazma odredte prjelaznu težnku funkcju: x x x x 6x 4x () u u u () e 4 Rješenja: () x x x x 6x 4x L u u u X 6 4 Xu X 6 4 Xu Sada ćemo zbog m=n= najprje zapat prjenonu funkcju u form ume polnoma nultog reda (m-n) prave raconalne funkcje 6 4 : otatak 6 4 Iako će oba oblka bt podena za zračun prjelazne funkcje jer ćemo dobt X () u form prave raconalne funkcje (m= n=4) pa će e nverzna Laplaceova tranformacja moć pravno provet za težnku će e funkcju morat kortt onaj drug oblk funkcje jer e do težnke funkcje dolaz nverznom tranformacjom prjenone funkcje kod koje je m=n= romotrmo najprje zračun prjelazne funkcje (uz x u (t)=u(t)) xu ut t L Xu 6 4 X Xu m n 4 Izračun -ova: 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

100 4 všetruka rješenja jednotruka rješenja Zap X () u form ume parcjaln razlomaka gla: X D D A A Izračun koefcjenata: D D A A X 6 4 R ' R'! 4 B 6 4 N' B N' t x t h t t e e t L Očto da će u ovom lučaju prjelazna funkcja ma kokovt karakter u t= jer z prethodnog zraza ljed da je h()= Ako bmo ada htjel odredt g(t) z relacje g(t)=dh(t)/dt dobl b d e e e e dt t g t Kako vrjed da je L gt t t t t prjenona funkcja b glala t t 6 4 L e e Dobl mo zapravo amo drug član z gornjeg zapa prjenone funkcje a zgubl mo kontantu Očto da funkcja dobvena prvom dervacjom prjelazne funkcje u ovom lučaju neće opvat odzv utava na jednčnu mpulnu pobudu Ako uzmemo u obzr navedenu kontantu težnka funkcja konačno gla Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

101 g t L L L t e t e g t t Razlka zmeđu ova dva zraza za g(t) je amo u prvom članu δ(t) On u konačnom odzvu nema značajnjeg učnka om u t= jer je δ(t)= za t> al nedvojbeno predtavlja do težnke funkcje mora ga e uzet u obzr jer u ovom lučaju jedno tm članom vrjed odno gt () Zadana funkcja L obratno e 4 pada u kupnu tzv trancedentnh prjenonh funkcja zbog ekponencjalne funkcje e - (član mrtvm vremenom l tranportno kašnjenje) koja e ne da ratavt na umu parcjalnh razlomaka Stoga je prje zračuna težnke prjelazne funkcje potrebno najprje prlagodt zap funkcje u formu e e 4 rjenonu funkcje () ćemo ada ratavt na umu parcjalnh razlomaka vakom razlomku dodat funkcju e - KJ 4 j j jednotruka rješenja A A 4 4 B N' 4 4 B N' 4 j j j A A A j j A B N' 4 j 8 94 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

102 e e e e 4 8 j 8 j rmjenom teorema pomaka (Tablca ) Eulerove formule (pogledajte zadatak 5/4) dobva e težnka funkcja: g t g t - - e e e L L 4 8 j 8 j jt jt e e ut j t j t g t e e ut cot 4 ut Rješenje e još može zapat u form g t co t 4 t 4 4 t Izračun prjelazne funkcje: e D D A A4 u e e X X j j všetruka rješenja j jednotruka rješenja j D D A A R 4 4 R'! 4 4 B j j N' 4 8 j 6j j 6 B j j N' 4 8 j 6j j 6 4 ' Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 95

103 X e j j j j L jt j t x t t je e ut 4 6 ht t n t 4 ut 4 8 odnono ht t n t 4 t 4 8 t Zadatak 6 Odredte težnku funkcju regulacjkog kruga atavljenog od regulatora opanog D članom nultog reda (pojačanja dervacjke vremenke kontante ) regulacjke taze opane jednadžbom x 5x x x mjernm članom zanemarve dnamke Komentrajte u tablnot na temelju th zaključaka kcrajte prjelaznu funkcju kruga Rješenje: Iz zadanh opa dnamka pojednh elemenata kruga ljed: R K TD x 5 x x xu L S 5 M rjenona funkcja regulacjkog kruga (utava): jer je zadano R S X x u(t) (t) X u() R S M Do težnke funkcje e dolaz nverznom Laplaceovom tranformacjom prjenone funkcje: KJ jednotruko rješenje všetruka rješenja 96 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

104 A D D X R A B 5 N' 9 D R D 5 5 R'! 9 ' X L 5 5 e t e t x t g t te t 9 9 Iz rješenja karaktertčne jednadžbe prozlaz da dva korjena maju negatvan realn do (što upućuje na tablnot utava) al preotal korjen ma poztvan realn do zbog čega je u konačnc utav netablan Imagnarn do vh korjena jednak je nul pa u odzvu neće bt oclacja Iz dobvene težnke funkcje vd e da je korjen poztvnm realnm djelom ( =) "ugrađen" u ukupno rješenje preko potencje prvog člana 5 e 9 zbog kojeg težnka funkcje vremenom poprma ve veće vrjednot (ekponencjaln rat) Što e tče preotala dva člana u rješenju koj u vezan uz ponavljajuć korjen ( = =-) on amptotk teže u nulu U ovom e prmjeru dade jano uočt kako je za tablnot utava potrebno da v korjen maju negatvan realn do tj da je dovoljan barem jedan korjen poztvnm realn djelom pa da utav bude netablan rjelaznu funkcju je bez dodatnh zračuna moguće kcrat amo na temelju nformacje o aperodk netablnom odzvu koj također upućuje na ekponencjaln porat vrjednot funkcje u vremenu t Skcrana je jedna od njenh mogućh form a tvarn je zgled dobven također uz uvjet jednčne odkočne pobudne funkcje prkazan na donjoj lc Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 97

105 5 rjelazna funkcja h(t) Vrjeme () Zadatak 7 Odredte prjelaznu funkcju regulacjkog kruga atavljenog od regulatora čja prjelazna funkcja gla ht t regulacjke taze opane dnamkom člana mjernm članom opanm članom ojačanja vremenke kontante regulacjke taze mjernog člana znoe Komentrajte tablnot na temelju th zaključaka kcrajte težnku funkcju kruga Rješenje: Slčno kao u prethodnom zadatku potrebno je najprje potavt prjenonu funkcju kruga Za početak će e odredt prjenona funkcja regulatora čja je dnamka opana zadanom prjelaznom funkcjom Kako u zadatku nje ekplcte defnrana ampltuda odkočne funkcje uzmamo da je ona jednčna tj x u (t) = u(t) Tada ljed: ht xt t L X X R (D regulator pojačanja vremenke kontante ) X u rjenone funkcje preotalh članova glae (Tablca 5): K T T S K T M 98 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

106 pa je ukupna prjenona funkcja kruga R S R S M Jedno rješenje karaktertčne jednadžbe je tj prjenonu funkcju možemo zapat u form Sada je nužno pokratt zajednčk pol nulu u clju dobvanja konačnog oblka prjenone funkcje Uvrštavanjem jednčne odkočne funkcje u gornj zraz dobvamo X X u 7 5 j jednotruka rješenja 7 5 j Da zajednčk pol nula nu pokraćen u prjenonoj funkcj do njhova b kraćenja došlo u zrazu za X () Ovako zraz za X () u form parcjalnh razlomaka gla X A A A j 5 j B A 5 N' B 5 j 5 7 j 7 7 j 7 A 5 84j N' 5 j5 7 7 j 7 7 j j B 5 j 5 7 j 7 7 j 7 A 5 84j N' 5 j5 7 7 j 7 7 j j Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 99

107 X j 5 84j j 5 j L jt 5 jt x t h t je 5 84je j t j t j t j t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 5e e j84e e 5e e j84e e j j j j 5 t t 5 t t t t ht 5 5e ( e e ) j 84 e ( e e ) rmjenom Eulerove formule gornj e zraz konačno zapuje u form: t t ht 5 5e co t 567e n t Iz prjelazne e funkcje može zaključt da je utav tablan tj da će e odzv utalt na vrjednot / jer e zno preotala dva člana rješenja zbog e -5t vremenom mruju u nul Kao u prethodnom zadatku ovdje mo u mogućnot preko korjena utava koj e nalaze u konačnom rješenju prjelazne funkcje odredt tablnot kruga rtom treba prpazt da e u zadatku on adekvatno defnraju zdvoje od otalh rješenja koj njma ne prpadaju Name kako b rapal funkcju X () na umu parcjalnh razlomaka pronašl mo tr rješenja ( ) jednadžbe Sva ta tr rješenja ne predtavljaju ujedno korjene utava jer ta jednadžba nje karaktertčna jednadžba utava Karaktertčna jednadžba utava prozlaz z nazvnka prjenone funkcje utava tj ona u ovom lučaju gla Stoga u od tr rješenja amo ujedno korjen utava a nje jer e odno na nazvnk funkcje pobude X u ()=/ Uzevš u obzr da oba korjena maju negatvan realn do (-5; -5) utav će mat 7 tablan odzv Dodatno kako korjen maju magnarn do ( j ) odzv će mat oclatorn karakter (prgušene oclacje) Navedeno ponašanje utava ov amo o utavu pa je logčno da će manfetrat u lučaju težnke funkcje (mjenja e amo pobuda ne utav) Na temelju zneenh poznaja o utavu kcrana je jedna od mogućh form težnke funkcje (prgušene oclacje oko nule) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

108 dok u tvarnot za konkretan lučaj ona zgleda vrlo lčno 8 Težnka funkcja g(t) Vrjeme () U ovome zadatku valja prmjett da je razmatran utav zapravo mao tr prrodna moda l premnka energje jer je karaktertčna jednadžba prje kraćenja nule polom bla trećeg reda Međutm dobvena prjelazna funkcja obuhvaća amo dva moda 5 7 t ( 5e co t 5 t 7 567e n t ) jer mo do nje došl preko prjenone funkcje utava koja je obuhvatla amo dva korjena utava al ne treć tzv nedotajuć pol (=-) Tme je prjenona funkcja u ovom lučaju amo djelomčno opala dnamku našeg regulacjkog kruga Kako zotavljen pol ma negatvan realn do zaključak o tablnot dobven na temelju zračunate prjelazne funkcje otaje nepromjenjen roblem b e međutm javo da je pokraćen pol l korjen utava mao poztvan realn do romotrmo još tu tuacju kao dodatak ovom zadatku Dodatak Uzmmo da je prjenona funkcja regulacjkog kruga glala R S R S M Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

109 Konačna forma prjenone funkcje onda gla Dobvena prjenona funkcja jednaka je onoj z prvog djela ovog zadatka pa će uz korštenu odkočnu funkcju jednčnog pojačanja prjelazna funkcja otat nepromjenjena: t t ht 5 5e co t 567e n t Iz prkazane prjelazne funkcje ljed t zaključak o tablnot utava Međutm kako je u ovom lučaju nedotajuć poztvn pol (=) vezan uz netabln prrodn mod utava zotao z potavljene prjenone funkcje utava a tme z funkcje odzva zaključak o tablnom odzvu regulacjkog kruga bt će pogrešan Iz grafčkog je prkaza prjelazne težnke funkcje vdljvo da će e odzv tablzrat nakon završetka prjelaznh pojava (prva lka) al će nakon otprlke 5 pak doć do njegova raprvanja (druga lka) U ovom je lučaju rapren odzv poljedca numerčke pogreške natale u mulacj odzva utava opanog prjenonom funkcjom kojoj prethodno nje pokraćena zajednčka nula pol Međutm u prak b e također manfetrao netablan odzv utava uljed netablnog moda utava opanog poztvnm polom čj utjecaj neće bt u potpunot prgušen kraćenjem dentčnom nulom z brojnka Stoga e u clju potavljanja pravnog zaključka o tablnot utava na temelju njegova odzva u obzr moraju uzet zno eventualno pokraćenh polova prjenone funkcje utava 8 Težnka funkcja g(t) rjelazna funkcja h(t) 6 g(t) h(t) Vrjeme () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

110 5 Težnka funkcja g(t) rjelazna funkcja h(t) g(t) h(t) Vrjeme () Zadatak 8 Regulacjk krug je atavljen od regulatora opanog članom nultog reda pojačanja / a mjern član ma zanemarvu dnamku rjenona funkcja regulacjke taze gla: () () () 7 S 6 4 S (4) 4 S 4 S Izračunajte prjelaznu težnku funkcju zadanh regulacjkh krugova te na temelju dobvenh funkcja komentrajte tablnot utava Rješenja: I u ovom je zadatku potrebno najprje potavt prjenonu funkcju kruga rjenone funkcja regulatora mjernog člana glae: () K R M rjenona funkcja kruga je: R S 7 R S M Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

111 KJ jednotruka rješenja Do težnke funkcje e dolaz nverznom Laplaceovom tranformacjom prjenone funkcje: A A A X A B N' 4 B A 87 N' 4 46 B A 7 N' X L 46t 6 854t x t g t 87e 7e 8 x (t) = g(t) Vrjeme () Iz dobvenog zraza njegovog grafčkog prkaza vdljvo je da će e odzv zbog prvog člana zraza taconrat na vrjednot Utjecaj preotala dva člana na ukupno rješenje je protekom vremena ve manj tež u nulu Očto da u ovom prmjeru mamo lučaj 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

112 grančno tablnog utava jer e težnka funkcja ne mruje u nul (tablan utav) al vremenom ne dvergra (netablan utav) već e taconrala na nekoj vrjednot Ovakav mo odzv mogl pretpotavt na temelju zračunath korjena utava od kojh u dva mala negatvan realn do al je realn do trećeg korjena bo jednak nul što je karaktertka grančno tablnog utava Dodatno nt jedan korjen nje mao magnarne djelove pa je odzv aperodk ogledajmo ada kako u lučaju grančno tablnog utava zgleda prjelazna funkcja X Xu Xu (ampltuda odkočne funkcje u ovom zadatku nje defnrana pa je ponovno uzeto x u (t) = u(t)) X 7 7 U clju zapa prethodne funkcje u form parcjalnh razlomaka moramo pronać rješenja jednadžbe 7 pr čemu dobvamo dva poznata jednotruka rješenja jedan par všetrukh: všetruka rješenja jednotruka rješenja X D D A A R Određvanje koefcjenata za jednotruka rješenja: B A 598 N' 4 46 B A 4 9 N' Određvanje koefcjenata za ponavljajuća rješenja: D D R 7 6 R' 6! 7 7 ' Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

113 rjelazna funkcja gla: X L 46t 6 854t x t h t t e 9e 5 x (t) = h(t) Vrjeme () Odzv grančno tablnog utava na jednčnu odkočnu funkcju (prjelazna funkcja) nakon nekog vremena potaje praktčk lnearan zbog prevladavajućeg utjecaja drugog člana u rješenju (t) te labljenja utjecaja trećeg četvrtog člana ekponencjalnm 46 funkcjama ( 5 98e t e t ) () U ovom lučaju prjenona funkcja kruga gla: R S R S M KJ j j jednotruka rješenja Inverzna Laplaceova tranformacja prjenone funkcje dat će težnku funkcju: A A A X j j 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

114 A B N' 4 B A 85j N' 4 j B A 85j N' 4 j X 85j 85j j j L j t j t x t 85je 85je e t e j t j j j e t 85je t e t e t x t odnono uz prmjenu Eulerove formule: 666 e t co 65e t n x t g t t t 4 x (t) = g(t) Vrjeme () Kao što je to bo lučaj u prethodnom prmjeru ovog zadatka odzv regulacjkog kruga na jednčnu mpulnu funkcju pobude e umjeto u nulu (tablan utav) taconrao na nekoj vrjednot (/) što je ndkator grančne tablnot utava U prlog tome govore korjen utava od kojh je ponovno jedan nultm realnm djelom a preotala dva čne konjugrano-komplekn par negatvnm realnm djelom Uljed potojanja korjena magnarnm djelom odzv će bt oclatoran Zanmljvo da on nje značajnje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

115 oclrao (neprgušene oclacje) jer u magnarn djelov korjena vezan uz korjene negatvnm realnm djelom a preotal korjen nultm realnm djelom nema magnarnog djela U konačnom e rješenju vd da će e utjecaj korjena magnarnm djelom na ponašanje utava vremenom labt zbog funkcje e -t tj zbog njhova negatvnog realnog djela (efekt prgušenja prgušene oclacje) Da je kojm lučajem grafčk prkaz odzva prethodne lke opvao ponašanje utava na odkočnu funkcju tada b on jano ukazvao na tablnot utava (odlka tablnog utava kod takve pobude je njegovo mrvanje na nekoj vrjednot) Naravno dnamka utava zadana u ovom prmjeru rezultrat će avm drugačjm odzvom Sljed zračun prjelazne funkcje utava X Xu Izračun koefcjenata parcjalnh razlomaka: všetruka rješenja 4 j j jednotruka rješenja X D D A A4 j j R Koefcjent za jednotruka rješenja: B A 78 4 j N' j B A j N' j Koefcjent za ponavljajuća rješenja: D D R R'! 9 ' 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

116 rjelazna funkcja: X j 78 4j 7 j j - L 5 j t j t x t t 78 4je 78 4je 9 5 t j t j t t j t j t 78e j 4 e e e x t t e e 9 5 t t 556e co 864e n x t h t t t t 9 rjelazna funkcja također pokazuje početno blago oclatorno ponašanje da b zatm njezn trend potao lnearno ratuć - treć četvrt član e relatvno brzo prgušuju u nulu a domnantn utjecaj preuzma drug (lnearn) član (t/) x (t) = h(t) 5 4 () Treć lučaj vrlo je lčan prethodnom al jednom manjom razlkom u odzvu rjenona funkcja kruga gla: R S R S M Vrjeme () 4 KJ j 5 j 5 jednotruka rješenja Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

117 Težnku funkcju ponovno dobvamo z nverzne Laplaceove tranformacje prjenone funkcje: 5 A A A A4 X j 5 j 5 A B 5 N' 4 5 A B 5 N' 4 5 j 5 A B 5 N' 4 5 j 5 A X B 5 N' j 5 j 5 L j 5 j 5 j 5 j 5 t t t t t t x t 5e 5e e 5 e e e tj x t g t co 5t e t 5 x (t) = g(t) Vrjeme () Analzom korjena utava očto je da je ovo lučaj grančne tablnot (mamo tr korjena nultm realnm djelom koj e ne ponavljaju jedan negatvnm realnm Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

118 djelom) No za razlku od prethodnog lučaja ovdje mo dobl značajnje tzv neprgušene oclacje Dakle umjeto da e odzv nakon početnh oclacja mr na nekoj vrjednot (u ovom lučaju ) on će neprgušeno oclrat oko te vrjednot (pogledajte dobven zraz za težnku funkcju) Razlka u odzvu zmeđu ovog prethodnog prmjera je u tome što je konjugrano-komplekn par odgovoran za oclatorn odzv u ovom lučaju mao realn do jednak nul Tme u oclacje otale vremenom neprgušene - trgonometrjka funkcja u zrazu za g(t) ada nema uz ebe ekponencjalnu funkcju negatvnm predznakom potencje koja b vremenom prgušla njen oclatorn utjecaj Slčna će e tuacja manfetrat u lučaju prjelazne funkcje utava 5 5 X Xu Izračun koefcjenata parcjalnh razlomaka: všetruka rješenja j 5 j 5 jednotruka rješenja X 5 5 D D A A4 A j 5 j 5 R Koefcjent za jednotruka rješenja: A B 5 5 j N' j 5 A B 5 5 j N' j 5 A B 5 N' Koefcjent za ponavljajuća rješenja: D 5 5 R 5 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

119 D R'! rjelazna funkcja gla: ' X 5 4j 4j 5 5 j 5 j 5 - L j 5 j 5 t t t x t t j 4e j 4e e j 5 j 5 t t t x t t 4j e e e x t h t t 448 n 5t e t 4 5 x (t) = h(t) Vrjeme () rema očekvanju prjelazna funkcja pokazuje ratuć trend kao u prethodnom prmjeru to zbog drugog člana u prethodnom zrazu (t) al ada blagm neprgušenm oclacjama do kojh je došlo zbog utjecaja trećeg člana koj adrž nunu funkcju (4) U poljednjem četvrtom prmjeru ovog zadatka prjenona funkcja kruga gla: R S R S M 4 KJ Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

120 4 j j j j všetruka rješenja 4 D D E E X 8 6 j j j j 4 Buduć da e u ovom lučaju dva razlčta rješenja ponavljaju jednom vrjednot brojnka parcjalnh razlomaka vezanh uz rješenja = j odredt ćemo pomoću funkcje R () a za lučaj rješenja = -j pomoću R () X B B N N j j j R D R 6 j 6j j ' j 64j j 6 6 j D R j! j j X B B N N j j j R E R 6 4 j 6j j ' j 64j j 6 6 j E R j! j j Inverzna Laplaceova tranformacja prjenone funkcje daje nam težnku funkcju: X j j j j j j 4 L jt jt jt jt jt jt jt jt j e e j e e j e e e e x t t t t x t g t nt tco t 6 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

121 x (t) = g(t) - - Očto da je u ovom lučaju rječ o netablnom utavu jano zraženm oclacjama tzv raprenm oclacjama To je tuacja kada među korjenma utava mamo one nultm realnm djelom al koj e ponavljaju! Tada utav vše nje grančno tablan već netablan Kako u korjen nultm realnm djelom ujedno mal konjugranokomplekn magnarn do dobven je zrazto oclatorn odzv Vrlo lčan odzv dobt ćemo u lučaju prjelazne funkcje X Xu Izračun koefcjenata parcjalnh razlomaka: Vrjeme () 4 5 j j j j všetruka rješenja jednotruko rješenje 4 D D E E A X j j j X B B N N j j j R j 5 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

122 j D R j j j j j ' j4 4 j 9 j4 96 D R! 4 X B B N N j j j R j E R j j j 4 j j ' j4 4 j 9 j4 96 E R! 4 A B N' Funkcja odzva rapana u form ume parcjalnh razlomaka gla: j j X j j j j L a prjelazna funkcja ma oblk jt jt jt jt x t e j te e j te 6 jt jt jt jt e e j t e e 6 odnono x t ht co t tnt Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

123 5 x (t) = h(t) Vrjeme () I u lučaju prjelazne funkcje dolaz do pojave raprenh oclacja koje jano ukazuju na netablnot razmatranog regulacjkog kruga Zadatak 9 Dnamka utava određena je prjelaznom funkcjom ht e t co t uz početne uvjete jednake nul Odredte odzv utava na Dracovu pobudnu funkcju uz uvjet x (otal u uvjet jednak nul) Komentrajte tablnot na temelju dobvene funkcje odzva Koj do rješenja predtavlja lobodn a koj prnudn odzv? Rješenje: U ovom je zadatku najprje potrebno odredt dferencjalnu jednadžbu utava opanog zadanom prjelaznom funkcjom a zatm ju ponovno tranformrat u -područje al ada uvrštenm početnm uvjetma Rad jednotavnjeg tranformranja prjelazne funkcje u -područje tj tranformranja umnoška ekponencjalne (e -t ) trgonometrjke funkcje (co(t)) konu će e prmjenom Eulerove formule modfcrat u ekponencjalnu formu: t t jt jt e co e e e ht t tj jt jt ht e e 4 4 Kako u zadatku nje zadana ampltuda odkočne funkcje uzma e 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

124 x (t) X x t h t u u x t jt j e e 4 4 t L X X tj j j j j Uzevš u obzr da je X u prjenona funkcja gla X a dferencjalna jednadžba utava U= X u x x x x u xu onovnom tranformacjom dferencjalne jednadžbe uz uvrštavanje Dracove funkcje (jednčna mpulna pobuda) zadanog početnog uvjeta dobvamo x x x x u xu L X x x X x X Xu xu Xu x x t t X u u X tj X A A j j Koefcjent u brojncma parcjalnh razlomaka dobven u metodom Heavdeovog razvoja za lučaj kad e rješenja ne ponavljaju: j j jednotruka rješenja Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

125 A A B j j j j j N' j j j j B j j j j j N' j j j j Inverznom Laplaceovom tranformacjom zraza za X () dobvamo: X j j j j - L x t je je e e e j e e e jt --jt t j j j j t t t t t t t t x t e co t j e j n t e co t n t 4 4 Iz dobvenog odzva utava može e zaključt da će poratom vremena ekponencjalna funkcja z rješenja bt ve manja tme će prgušt oclacje opane umom trgonometrjkh funkcja To znač da će odzv bt prgušeno oclatoran tj mrt će e u nul što je odlka tablnog utava na mpulnu funkcju pobude (pogledajte grafčk prkaz) Na kraju zadatka otalo je još da e odred koj do ukupnog rješenja predtavlja lobodn a koj do prnudn odzv x a x u ): Slobodn odzv ( X x x X x X X x j j SO L j j - jt --jt t jt jt t xso t j e j e j e e e e nt rnudn odzv ( x u t a U=): X x x X x X Xu xu Xu X O j j j j L 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

126 x O t je je e e e j e e e O e t t x t cot e nt - jt --jt t j j j j t t t t t Točnot dobvenh rješenja može e provjert z uvjeta x t x t x t koj je u SO O ovom lučaju zadovoljen U lučaju da nema pobude z okolne uz energju u premncma zadanu preko početnog t uvjeta x utav b e ponašao prema funkcj xso e nt a uz prazne premnke energje uz pobudu x t njegov b odzv bo O e t t x cot e nt Kako z ukupnog odzva utava prozlaz da će e utav vremenom mrt (što je karaktertka odzva tablnog utava na mpulnu funkcju pobude) lobodn prnudn odzv moraju vremenom težt nul (pogledajte grafčk prkaz) u x x SO X O Slobodn odzv x SO (t) rnudn odzv x O (t) Odzv utava x (t) Vrjeme () Zadatak Dnamka utava određena je težnkom funkcjom gt e t co t uz početne uvjete jednake nul Odredte odzv utava ako je zadano x u (t)=7 x u ()=4 x ()= Na temelju dobvenog rješenja komentrajte tablnot utava te odredte lobodn prnudn odzv Rješenje: Dnamka utava defnrana je zadanom težnkom odnono prjenonom funkcjom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

127 j j j j e co t e e e e e e e e j e j g t t t t t t t t t t t L j j j j 5 Do prjenone mo funkcje mogl doć korštenjem tranformranh funkcja z Tablce pr čemu je gt e at cot L a = L odnono t a t L e co 5 Dferencjalna jednadžba dobvena z prjenone funkcje gla: x x 5x x x u u Njeznom tranformacjom u -područje uz uvrštavanje početnog uvjeta pobude dobvamo: x x 5x x x L u u 5 X - x - x X x X X x X u u u 7 xut 7Xu x u 4 x 4 5 X X 4 A 5 j j A Koefcjent parcjalnh razlomaka računaju e metodom Heavdeovog razvoja za rješenja koja e ne ponavljaju: 5 j jednotruka rješenja j A B 4 4 N' A Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

128 A A B 4 j j N' j 5 j B 4 j j N' j 5 j U konačnc odzv utava ljed z: X 4 j j j j L x t 4 jt j j e j e t jt jt t jt jt 4 4 t t x t e e e j e e e e cot e nt U ovom će lučaju zbog funkcje e t vezane uz nunu konunu funkcju odzv utava poprmt oblk raprenh oclacja (pogledajte grafčk prkaz) Iz navedenog očto ljed da je utav netablan Stablnot utava e u ovom zadatku mogla pretpotavt prje zračuna prjelazne funkcje Analzom korjena utava (KJ t 5 j ; j ) možemo također prmjett da je utav netablan jer m je realn do poztvan Dodatno korjen maju magnarn do što upućuje na oclatoran odzv (raprene oclacje) Imajuć u vdu da je rječ o utavu drugog reda kojemu v koefcjent nu tog predznaka bez analze korjena utava moglo e doć do zaključka da utav neće bt tablan Uz navedene pokazatelje potoj još jedan koj upućuje na netablnot utava a nalaz e u amom tektu zadatka Name z tekta e dade uočt da e vrjednot težnke funkcje neće vremenom mrt u nul već će odzv poprmt oblk raprenh oclacja zbog člana e t Kako u zadatku nje mjenjana dnamka utava (tablnot ov amo o utavu ne pobud!) očto je da će e netablnot morat manfetrat u lučaju promjenjene tj nove (kokovte) pobude Nakon analze tablnot otaje još da e odred kako zgledaju lobodn prnudn odzv Slobodn odzv ( x 4 x a x t za t ): u u 5 X - x - x X x X X x X u u u X SO j j 4 5 j j L Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

129 x SO t jt -jt t jt jt t jt jt j e j e e e e j e e e t t xso t e co t e n t rnudn odzv ( x u 7 t a U=): 5 X - x - x X x X X x X u u u j j 4 4 XO X u j j L j 7 4 j xo t j e j e t - t 4 7 t jt jt 4 t jt jt 4 4 t 8 t xo t e e e j e e e e cot e nt Zbroj lobodnog prnudnog odzva ponovno je jednak ukupnom odzvu utava Kako je utav netablan a u početnom trenutku njegove analze potoj energja pohranjena u premncma lobodn odzv e neće vremenom mrt u nul već će baš kao prnudn težt u bekonačnot 5 Slobodn odzv x SO (t) rnudn odzv x O (t) Odzv utava x (t) x x SO X O Vrjeme () Da je utav bo tablan energja z premnka b e vremenom potrošla lobodn b e odzv veo u nulu a prnudn b poprmo tvarnu vrjednot odzva Naveden lučaj možemo promotrt u dodatku ovog zadatka gdje ćemo uzet da je dnamka utava određena neznatno modfcranom težnkom funkcjom koja ada gla e t co t g t Modfkacja e očtuje u negatvnom ekponentu ekponencjalne Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

130 funkcje pa ada mamo tablan utav prgušeno oclatornm odzvom j j e t co e t e t L t g t 5 Tranformacjom dferencjalne jednadžbe uz uvrštavanje početnh uvjeta dobvamo: X 4 j j j j L 4 4 t t x t e cot e nt rtom je lobodn odzv jednak ( x 4 x a x t za t ): u u X SO 5 5 j j 5 j j L t t xso t e co t 5e n t a prnudn odzv zno ( x u 7 t uz U=): j j 4 4 XO X u j j L 4 4 t 8 t xo t e cot e nt Utjecaj lobodnog odzva te drugog trećeg člana prnudnog odzva vremenom će labt a ukupn odzv utava na kraju će e taconrat na vrjednot prvog člana prnudnog odzva Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

131 x x SO X O Slobodn odzv x SO (t) rnudn odzv x O (t) Odzv utava x (t) Vrjeme () Zadatak Odredte dferencjalnu jednadžbu koja opuje prkazan RLC krug a koj e atoj od kondenzatora kapacteta C otpornka otpora R zavojnce nduktvteta L tomjernog zvora napajanja napona u Analzrajte dnamku punjenja kondenzatora uz R = k L = 4 mh C = 8 mf u = 4 V početne uvjete jednake nul (u R = u L = u C = V) Također analzrajte ponašanje utava za lučaj kad e otpor u krugu manjuje Rješenje: Na temelju Krchhoffovog zakona (zakona o elektrčnom naponu) uma napona unutar zatvorene petlje jednaka je nul tj napon zvora (u ) jednak je um napona na otpornku zavojnc kondenzatoru Iz navedenog prozlaz: u d t R L dt R C u u u dt L C Ovaj e zraz uz u c dt Cu c može zapat u form: C 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

132 LCu RCu u u t C C C Dobvena dferencjalna jednadžba opuje dnamku zadanog RLC kruga tj proporconalnog člana drugog reda T x T x x K x (Tablca 5) pr čemu možemo pat da je: C u x u K x u T LC T RC u Sutav ma dva premnka energje: zavojncu kondenzator Da bmo odredl dnamku punjenja kondenzatora uz zadane parametre utava polužt ćemo e Laplaceovom tranformacjom dferencjalne jednadžbe utava Kako je zadano da u početn uvjet jednak nul (u početnom trenutku razmatranja utava truja ne teče kroz krug a kondenzator je prazan) ljed prjenona funkcja utava LCu RCu u u t L C C C C LC RC U U UC u 4 V l U LC RC X K p x u V K 4 X LC RC u U lučaju da je prmjerce na kondenzatoru potojao nek napon u početnom trenutku razmatranja odzva utava - u C () njegov b zno također moral uzet u obzr kod tranformacje dferencjalne jednadžbe u -područje Naravno u tom b lučaju zap utava preko prjenone funkcje zotao Iz karaktertčne jednadžbe nadalje prozlaz: KJ LC RC RC R C 4LC R R LC L 4L LC Uz j p p n p n gdje je σ faktor prgušenja n p je prgušena vlatta frekvencja utava n neprgušena vlatta frekvencja utava a ζ tupanj prgušenja ljed da je R R C n L LC L U lučaju oclatornog odzva koj e javlja kad je faktor prgušenja manj od neprgušene vlatte frekvencje ( n tj ) prgušena frekvencja utava e računa z zraza: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

133 R p LC 4L Analzom prethodnh zraza prozlaz da će u lučaju zadanog RLC kruga za blo koj (RLC) > krug bt tablan (realn do oba korjena bt će negatvan) Nadalje porat otpora R kapacteta kondenzatora C kao manjenje nduktvteta zavojnce L poztvno utječe na aperodk odzv tj punjenje kondenzatora Suprotn trendov uzrokuju oclatorno ponašanje kruga U našem lučaju (R = k L = 4 mh C = 8 mf U =4V) mamo: 4 5 Ω H; n rad ; 77 tj n LC pa će odzv za zadane parametre kruga bt aperodk Do odzva kruga dolazmo ljedećm zračunom: 4 u t 4 L U 5 jednotruka rješenja A A U U 8 A A C LC RC B 4 4 N' B 4 4 N' B 4 A N' A U c L 5 5t 5 5 t uc t 4 4e e Dobven zraz predtavlja dnamku punjenja kondenzatora prključenog (klopka e zatvor u t=) na kontantn napon zvora od 4 V (odkočna funkcja) Do tog mo zraza mogl doć na temelju prjelazne funkcje člana z Tablce 5 koja vrjed za lučaj aperodkog odzva uz razlčte korjene utava: 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

134 t t T T ht K x t uc t T T4 T T4 T 4 T4 e e gdje je T =8 a T 4 =4-6 No da b gornj zraz dao pravno rješenje moral b uzet pobudu u oblku jednčne odkočne funkcje x u V jer z zraza prozlaz h(t)=x (t) Stoga b u clju dobvanja ekvvalentne dnamke koja vrjed kod našeg polaznog utava pojačanja K = pobuđenog odkočnom funkcjom u 4 V moral modfcrat pojačanje utava na K =4 jer vrjed u K x Drugm rječma promjenu dnamke u pobude b u clju zadržavanja tog odzva morala kompenzrat promjenjena dnamka utava (pogledajte prjenone funkcje z zraza ) U natavku je dan grafčk prkaz dobvenog odzva koj ma vrlo lčan zgled članu Ovo je logčno ako e poblže promotr prjenona funkcja utava z koje je vdljv mal zno vremenke kontante T ( T LC 56; T 5 ) X X 8 8 u 5 u c u (V) 5 5 u =4V u c Vrjeme () Otaje još da e analzra ponašanje kruga u lučaju manjenja otpora u krugu uz R R C nepromjenjene otale parametre Iz zraza n može e L LC L zaključt da će manjenjem otpora manjt prgušenje utava (σ ζ) što će u konačnc rezultrat oclatornm odzvom R Ω grančn aperodk lučaj R Ω 77 prgušene oclacje R Ω neprgušene oclacje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

135 5 4 u =4V u c R=44 u c R= u c u (V) 4 Vrjeme () 5 4 u =4V u c R= u c u (V) 4 Vrjeme () Drugm rječma nakon što e otpor (prgušenje) manj pod vrjednot koja ogurava grančno aperodk odzv ( ) kondenzator zavojnca počnju međuobno zmjenjvat energju što uzrokuje oclacje u naponu na kondenzatoru Za vrjeme nabjanja kondenzatora na napon zvora zavojnca je akumulrala određenu kolčnu magnetke energje Nakon što e kondenzator nabje na napon zvora ta će energja još neko vrjeme održavat truju u tom mjeru tj natavt će punt kondenzator Kada kondenzator doegne vršn napon (koj je ada već od napona zvora) on e počne zbjat tj vraćat pohranjenu energju zavojnc Ukolko krug ma prgušene oclacje (u krugu potoj nekakav otpor) do zmjenjene energje pretvort će e u toplnu pa će e u konačnc napon na kondenzatoru tablzrat na vrjednot napona zvora (pogledajte odzv za R= ) U lučaju da otpora nema krug b oclrao neprgušenm oclacjama 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

136 frekvencje n tj proce zmjene energje zmeđu zavojnce kondenzatora bo b LC talan (bez gubtaka) pr čemu b vršna vrjednot napona znola u (pogledajte odzv za R = ) rtup analz utava preko proporconalnog člana drugog reda čet je lučaj u prak gdje e utav proporconalne dnamke všeg reda uglavnom vode na model drugog reda na temelju kojeg e zatm projektraju parametr regulatora Stoga e čtatelja vakako potče da amotalno analzra utjecaj preotala dva parametra na krug (C L) kao dnamku tzv MDS utava (engl Ma-Damper-Sprng) tj mehančkog tpa člana U clju lakšeg nalaženja ovdje je u natavku amo potavljen njegov model a u nekm od zadataka koj ljede poblže u razmotrene razlčte loženje zvedbe mehančkh utava zanovanh na ma prgušnc (trenje) opruz (elatčnot) Dodatak MDS utav Za utav prkazan lkom za koj je potrebno odredt pomak x mae uz djelovanje le z okolne f(t) matematčk e model može odredt z ravnoteže la (uma vanjkh la = uma unutarnjh la) tj fm fd fk f t Uvrštavanjem zraza za lu nercje (f M =Ma M maa tjela) lu trenja vkozno trenje (f D =Dv D - koefcjent vkoznog trenja) lu opruge koja je defnrana Hookeovm zakonom (f K =Kx K kontanta opruge) dobvamo lnearn model MDS utava (uzmamo lnearnu karaktertku opruge lamnarno trujanje ulja u clndru uz kontantn zno vkoznog trenja): Ma Dv Kx f t tj Mx Dx Kx f t L M D K X F X F M D K KJ M D K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

137 D D 4MK D D K M M 4M M D K D n M M MK U lučaju oclatornog odzva ( n ) prgušena frekvencja utava e računa z zraza: K D p M 4M Spremnc energje MDS utava u očto maa opruga Do odzva utava x može e doć na t načn kao u lučaju RLC kruga l drektno odabrom odgovarajućeg zraza z Tablce 5 koj će ovt o znoma korjena utava Izračun će e preput čtatelju kao analza utjecaja trenja elatčnot opruge mae na odzv utava Ovdje će e još amo na kraju prkazat lčnot RLC MDS utava z koje prozlaz da e jedan može predtavt pomoću drugog obratno Za erjk poj RLC kruga mamo: d R L d t u t d L L R I U RLC t C C L Mx Dx Kx f t M D K X F MDS Kako truja pomak nu podudarn ljeva trana zraza za MDS utav će e prošrt u formu: M D K K X F M D V F gdje je V() brzna mae M defnrana u -području pa uporedbom dobvenog zraza zrazom za RLC krug prozlaz: u f; v; L M; R D; C K U lučaju paralelnog RLC kruga mamo: u t u t u t u t (z Krchhoffovog zakona) R L C Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

138 ; 4 5; 4 5 (z Krchhoffovog zakona) ur Cu C uldt L UR CUC UL I C U I R L R L R L 4 5 Uporedbom ovog zraza gornjm prlagođenm zrazom za MDS utav prozlaz ljedeća veza: u v; f; C M; R ; L D K Zadatak Odredte matematčk zap zadanog kruga dnamku punjenja kondenzatora - u C (t) uz R = R = 5 L = H L = 5 H C = F u = V početne uvjete jednake nul Koja će bt makmalna vrjednot napona na koju će e kondenzator nabt? Rješenje: Iz Krchhoffovog zakona prozlaz: a prmjenom Krchhoffovog zakona dobvamo: d R L uct ut dt d R L uct pr čemu je dt uc t t t C C d d Laplaceovom tranformacjom prethodna tr zraza prozlaz: RI LI U U C RI LI U C Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

139 UC I I C Uvrštavanjem () () ljed: RI LI I I C C C 4 I R C L C I Uvrštavanjem () () ljed: RI LI I I U C C C I CU I RC LC 5 Konačno nakon uvrštavanja (5) (4) dobvamo I CU LC RC RC LC I RC LC I U LLC C RL RL L RRC L R R 6 a z (6) (4) I RC LC 7 U Veza zmeđu pobude (u ) odzva (u C ) određena je zrazma () (6) (7) gla: CUC I I R C L C U U :C U R L R L U LLC C RL RL L RRC L R R C Iz karaktertčnog polnoma (nazvnk) prozlaz da je ovo utav reda tj ma tr premnka energje (dvje zavojnce kondenzator) a z brojnka e može zaključt da pojeduje jednu konačnu nulu koja ov o parametrma R L Dnamka ovakvog utava zapravo je analogna erjkom poju D člana nultog reda (brojnk) R L K TD R L R člana LLC C RL RL L RRC L R R Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

140 Uvrštavanjem zadanh vrjednot parametara kruga ljed U R L 5 5 U tj U 6 6 C uz x =u c u =x u x u =(t) prjenona funkcja e može zapat u form X R L 6 6 X u Xu KJ 5 8 l ; 5 j ; 5 j Sv korjen maju negatvan realn do (utav tablan) a dva korjena maju magnarn do što upućuje na oclatorn odzv Izraz koj opuje dnamku punjenja kondenzatora ljed z: 5 5 U C U uz U Ratavljanjem gornjeg zraza u umu parcjalnh razlomaka te njhovom nverznom Laplaceovom tranformacjom dobvamo: uc t co t e n t e 7 t t Dakle napon na kondenzatoru će e uz blage oclacje taconrat na V 4 u c u (V) Vrjeme () Do zraza (4) (5) mogl mo doć prmjenom metode konturnh truja gdje prema prloženom hematkom prkazu u u c Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

141 z prvog kruga (truja ) dobvamo: d R L dt dt u RI LI I I U dt C C C C a z drugog (truja ): d R L dt dt RI LI I I dt C C C C Zadatak Odredte komentrajte promjene napona na kondenzatorma zavojnc zadanog elektrčnog kruga uz početne uvjete jednake nul Rješenje: U ovom e zadatku očekuje da komentramo dnamku promjene napona na tr elementa kruga pa možemo govort o vševarjablnom utavu jednm ulazom tr zlaza No kako ovo poglavlje zbrke obuhvaća amo analzu jednovarjablnh utava m ćemo utav "ratavt" na tr jednovarjablna utava U tom mlu ćemo potavt tr prjenone funkcje pr čemu će vaka bt vezana uz tu pobudu (u ) al će m funkcje odzva bt razlčte (u C u C u L ) Na taj načn ćemo zaebno odredt tr razlčta odzva a ve zajedno h uz komentar grafčk prkazat Identčan prtup mat ćemo u otalm lčnm zadacma zloženma u natavku gdje će utav bt potrebno analzrat obzrom na vše razlčth funkcja odzva Iz Krchhoffovog zakona ponovno prozlaz: tj I I I dok z Krchhoffovog zakona dobvamo: 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

142 R tr t u t d d C C d R L R dt tj dt C R I R I U C C R LI R I C Određvanje u L (t) Uvrštavanjem zraza I I I u jednadžbe () () dobvamo: R R I R I U C C C R R L I R I C C 4 Sređvanjem zraza (4) uvrštavanjem zadanh vrjednot pojednh komponenata ljed: RC RC LC I RC I I I 5 Ako to to napravmo zrazom () te zatm u njega uvrtmo (5) mamo: I I U I I U Iz dobvenog zraza prozlaz: I U 5 4 tj uz d UL UL u L I dobvamo L dt L L U U 5 4 Uz uvjet da je u V U promjena napona na zavojnc opana je ljedećom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

143 funkcjom: U L U L L - t ul t x t e 6e t Određvanje u C (t) Iz zraza (5) ljed: I I Ako taj zraz uvrtmo u () mamo: I I U I U U z čega prozlaz 5 4 te uz uc dt I CUC UC C dobvamo C U U 5 4 C U C L - uc t x t e t Određvanje u C (t) Za kraj je još otalo potavt zraz za promjenu napona na kondenzatoru C U tu vrhu ćemo zraz za Krchhoffov zakon (I =I +I ) uvrtt u (): R I R R I U C C C I I U 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

144 a z () mamo RC I I I I RC LC Ako ova dva zraza međuobno ntegrramo dobvamo: I I U tj I U 5 4 te uz uc dt I CUC UC C dobvamo C U U 5 4 U konačnc mamo: U U C C L t uc t x t e e t rafčk prkaz dobvenh odzva odabranh komponenata kruga prkazan u na ljedećoj lc 4 u C u L u (V) u u L u C u C 5 5 Vrjeme () Očekvano dobven odzv u kladu u dnamkom zadanog RLC kruga On ukazuju na aperodko punjenje kondenzatora C na vrjednot napona zvora (v u korjen Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

145 negatvne realne vrjednot) što će tovremeno poljedčno rezultrat potupnm pražnjenjem drugog kondenzatora (C ) zavojnce (L) Zadatak 4 Odredte odzv na kokovtu promjenu napona u u uz U= komentrajte prjenonu funkcju utava Rješenje: Zadan elektrčn klop atoj e od jednog para otpornka kondenzatora te nenvertrajućeg operacjkog pojačala pojačanja A Uzevš u obzr karaktertke dealnog pojačala (pojačanje ulaznotpor zlaznotpor ) vrjed: u t A u u u u u t Z Z gdje u Z Z nadomjene mpedancje paralelnog (R C ) erjkog (R C ) poja repektvno Ako promotrmo najprje paraleln poj (R C ) tj razlku potencjala zmeđu točaka x y onda prozlaz da na temelju Krchhoffovh zakona vrjed: U I R I Z I XY C Uz I I I ljed: 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

146 U Z I Z I I XY Z I I I C Z Z I I R I I I R Z Z Z R ZI I I ZC ZC Z R Z C R Z RC Na lčan načn dolazmo do zraza za Z : UYW R I ZI Z R C C Nakon određvanja nadomjenh mpedancja vratmo e ada zrazma () () koj određuju dnamku klopa Uzevš u obzr da je u u u u uu Z zraz () e može zapat u form: AUu U ut Auu Z U AUu ZI I AZ Uvrštavanjem zvedenog zraza za truju I u tranformranu formu zraza () U I Z Z dobvamo: AU U U Z Z u AZ A Z Z AZ Z Z U AUu Z Z U Uu Uu AZ Z Z Z Z Z A Uz A : R R Z Z RC C U Uu uu Z R RC U R R C C RC R C RC U RC u Dobvena prjenona funkcja dentčna je prjenonoj funkcj ID člana (regulatora) koja u općoj form gla (Tablca 5): Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

147 K T K K KI KD K KI D D T I U konkretnom lučaju pojačanja ovog člana ovla b o elementma klopa na ljedeć načn: C R K R C ; K ; K D I C R RC Odzv utava ( grafčk prkaz) na jednčnu kokovtu promjenu napona u u ljed z Tablce 5: t ht K TD t K Kt I KD t TI odnono buduć da znamo da vrjed 5V 5 u u u ht A t x t u u t u t A t t konačn zraz za u (t) gla: da u našem lučaju mamo C R ut 5ht 5 K KIt KD t 5RC t t RC C R Zadatak 5 Odredte dnamku zadanog utava uz kokovtu promjenu napona u u R = R = C = F C = 5 F uz početne uvjete jednake nul Rješenje: U ovom e prmjeru pojavljuje klop nvertrajućm pojačalom za koj vrjed: u t A u u Au A u Z u u u u u t u t Z Z u gdje u Z Z također nadomjene mpedancje erjkog (R C ) paralelnog (R C ) 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

148 poja repektvno tj Z R ; Z R RC C Tranformacjom zraza () () u -područje elmnacjom truje dobvamo: AUu U U AUu ZI I AZ U U I Z Z u AUu U U Uu Z Z AZ AZ U AZ Z Z AZ U u U AZ Z Z U AZ Z Z Z Z Z Z A u uz A R U R C R C 6 U RRCC RC RC 4 u R C U U u t u t 5e 5e t ledano u apolutnm znoma zlazn napon na početku procea rate (negatvan predznak zbog utjecaja nvertrajućeg pojačala) dok e tovremeno kondenzator C polako pun na vrjednot napona zvora S vremenom vrjednot zlaznog napona klopa potaje ve manja a u trenutku kad punjenje kondenzatora završ krugom pretane teć truja u potaje jednak nul Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

149 6 4 u u u (V) - -4 u u =5V Vrjeme () u Zadatak 6 Odredte prjelazne funkcje vezane uz pomake x x te analzrajte ponašanje mehančkog utava a lke uz: M = kg M = 5 kg D = 5 N/m D = N/m K = N/m U početnom trenutku utav mruje (U=) Rješenje: Dnamku zadanog utava opat ćemo jednadžbama gbanja Do njh ćemo doć prmjenom metode djagrama lobodnog tjela (engl free-body dagram) Na vako tjelo koje čn utav potavt ćemo ve le koje na njega djeluju a z ravnoteže la dobt ćemo dferencjalne jednadžbe gbanja Broj jednadžb gbanja kod mehančkh će utava bt će jednak broju tupnjeva lobode tog utava tj broju lnearno neovnh gbanja - neovno gbanje podrazumjeva gbanje jedne točke utava dok tovremeno druge 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

150 mruju U ovom konkretnom lučaju mamo utav dva tupnja lobode gbanja l dva moguća neovna gbanja gbanje mae M dok M mruje obratno Stoga ćemo do jednadžb gbanja doć tako da nacrtamo djagram lobodnog tjela za vaku od ovh dvju maa Za vak djagram ćemo najprje potavt le na jednu mau koja e gba dok druga mruje a zatm ćemo potavt le na tu tu mau koja će mrovat dok će e druga maa gbat Evo kako to zgleda u konkretnom prmjeru A) x (M e gba) a x = (M mruje) Kako la f(t) djeluje prema dolje na tjelo mae M djelovat će le prema lc Mx Dx Kx Dx Vanjkoj l na utav f(t) otpor će pružat la opruge (Kx ) la nercje ( Mx ) le trenja u oba clndra ( Dx Dx ) A) x = (M mruje) a x (M e gba) U drugom lučaju držmo tjelo mae M u tanju mrovanja a tjelo mae M e gba u tom pravcu kao M u prethodnom lučaju U tom lučaju na tjelo mae M djeluje amo la trenja Dx Dx Ravnoteža vh la prozašlh z ove analze gla: Mx Dx Dx Kx f(t) Dx Tme mo dobl jednadžbu gbanja koja e odno na tjelo mae M pa je za određvanje ukupne dnamke utava potrebno još pronać jednadžbu gbanja za tjelo mae M Nju ćemo dobt ponavljanjem prethodnog potupka al ada uzevš u obzr mau M B) x (M e gba) x = (M mruje) U lučaju gbanja amo tjela mae M na to tjelo djeluju le nercje trenja u clndru to u uprotnom pravcu od kretanja tjela (djelovanja vanjke le) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

151 Mx Dx M B) x = (M mruje) a x (M e gba) Ako e pomče amo maa M na tjelo mae M djeluje la trenja z drugog clndra kao reakcja gbanja prvog tjela na drugo Dx Iz ove analze ljed druga jednadžba gbanja koja zajedno prvom opuje dnamku našeg utava: Mx Dx Dx Tranformacjom dobvenh jednadžb gbanja u -područje dobvamo: M D D K X F DX M D X DX 4 U potavljenm jednadžbama gbanja zotavljena je gravtacjka la Njezn je utjecaj kompenzran tme što e utav u početnom trenutku razmatranja nalaz u ravnotežnom tanju pr čemu u pomac obju maa jednak nul (x =x =) Kako e u zadatku traž da analzramo ponašanje utava prmjent ćemo t prtup kao u zadatku tj odredt ćemo x (t) x (t) te ćemo još pronać razlku ta dva pomaka kako b mogl promotrt gbanje jednog tjela u odnou na drugo ) x (t)=? Iz zraza (4) uvrštavanjem konkretnh zadanh vrjednot parametara utava dobvamo: D X X X M D 5 Uvrštavanjem prethodnog zraza u () mamo: 6 X F X 5 Sređvanjem tog zraza dobvamo prjenonu funkcju: 44 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

152 X 5 5 F Iz dobvene prjenone funkcje uz f N L F ljed: X L 59 4 t t t x t h t 5 5e 7e e ) x (t)=? Iz zraza (4) ljed: X X X X M D M 5 D D Uvrštavanjem prethodnog zraza u () dobvamo: 6 5 X F X tj X F 5 6 Korštenjem dobvene prjenone funkcje F ljed: X L 59 4 t t t x t h t 5 e 47e 4e ) x (t)-x (t)=? Relatvn pomac tjela mae M pram tjela mae M mjenjat će e u vremenu prema relacj: t 59 t 4 t x x 5e 4e 7e Iz dobvenh je odzva očto da je ovdje rječ o tablnom utavu čje će ponašanje bt aperodkog karaktera Do th mo aznanja mogl doć korštenjem karaktertčne jednadžbe 5 6 tj analzom korjena utava l prmjenom npr Routhova krterja tablnot što e otavlja zantereranom čtatelju za dodatnu vježbu Nakon mrvanja prjelaznh pojava mae M M će e u taconarnom tanju zautavt na udaljenot od 5 m od ncjalnog položaja romotrmo detaljnje grafčk prkaz dobvenh odzva Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 45

153 5 4 omak (m) x x x -x Vrjeme () On ukazuje na nešto brž pomak mae M u odnou na mau M u prvh 5 ekund gbanja do kojeg je došlo pod utjecajem drugog clndra (D ) nercje mae M To drugm rječma znač da će e u početku mae prblžt (x -x )< da b e u konačnc njhov međuobn položaj ponovno vrato u ncjalno tanje Kako je ncjaln položaj maa opan a x =x = m a u taconarnom tanju vrjed x =x =5 m njhova će razlka na početku na kraju gbanja bt jednaka nul Dodatak Matematčk model ovog utava mogl mo odredt prmjenom Euler-Lagrangeove jednadžbe koja e četo upotrebljava u modelranju utava Njezna je prmjena uratko zložena u dodatku ovog zadatka a zantereranom e čtatelju otavlja da ju amotalno prmjen u modelranju elektrčnh mehančkh utava z otalh prmjera zbrke Euler-Lagrangeova jednadžba zanva e na ravnotež knetčke potencjalne energje utava te dpacje energje u okolnu jedne trane la koje z okolne djeluju na ve tupnjeve lobode gbanja tog utava druge trane Njezn je zap defnran u form: d L L dt x x x F t gdje L (Lagrangan) predtavlja razlku knetčke potencjalne energje (L=E K -E ) je dpatvna funkcja vezana uz le otpora (trenje elektrčn otpor ) tj nagu dpacje energje utava F je vanjka la koja z okolne djeluje na utav a x x u generalzrana koordnata brzna vezana uz -t tupanj lobode gbanja (-tu koordnatu l neovno gbanje) 46 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

154 Izraz za zračun energja utava dpatvne funkcje potrebnh za određvanje matematčkh modela zadanh u prmjerma ove zbrke defnran u u ljedećoj tablc EK mv (rotacja) E Mehančk utav (tranlacja) mgh (gravtacja) Dv (trenje) E E K J Kx (opruga) Elektrčn utav EK L Lq q (zavojnca) E Cu q q Cu C (kondenzator) R Rq (otpornk) C C Uzevš u obzr gornje zraze notacju varjabl u ovom prmjeru u potavljanju Euler- Lagrangeove jednadžbe najprje će e odredt v parametr koj u karaktertčn za razmatran utav Knetčka energja utava određena je gbanjem dvju maa: EK Mx Mx otencjalna energja vezana je amo uz oprugu (prethodno je već naglašeno da djelovanje gravtacje na utav nje drektno uvršteno u model): E Kx Dpatvna funkcja odno e na trenje u clndrma: Dx Dx x x x Dx D x x rtom treba uzet u obzr čnjencu da će e klp u prvom clndru pomcat ukladno pomaku prve mae (x ) a u lučaju drugog clndra relatvn pomak klpa u odnou na taj clndar ovt će o pomacma obju maa (x -x ) T će pomac mat utjecaja na brzne klpova a tme na znoe trenja u njma Lagrangan ada poprma formu: L EK E Mx Mx Kx Kako u zadatku mamo dva neovna gbanja moramo potavt dvje jednadžbe U lučaju pomaka mae M mamo: d L L f t dt x x x Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 47

155 d Mx Mx Kx Mx Mx Kx dt x x Dx Dx Dxx Dx ft x d Mx Kx Dx Dx Dx ft dt Mx Kx Dx Dx f t Dx U lučaju pomaka mae M Euler-Lagrangeova jednadžba poprma zgled: d L L dt x x x d Mx Mx Kx Mx Mx Kx dt x x Dx Dx Dxx Dx x d Mx Dx Dx dt Mx Dx Dx Dobvene jednadžbe gbanja () () dentčne u onma z rješenja zadatka 48 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

156 Zadatak 7 Odredte pomake maa M M za utav a lke uz: M = 5 kg M = 4 kg D = 5 N/m D = N/m K = N/m K = 5 N/m N f t K t K (x () = x () = ) Kako glae težnke funkcje vezane uz mau M M? Rješenje: Sutav prkazan lkom atoj e od MDS podutava u međuobnoj nterakcj Fzkalno ga možemo potovjett pojednotavljenm modelom utava ovjea vozla pr čemu prv MDS utav predtavlja karoerju amortzer a drug do preotale elemente ovjea kotač Sla f(t) predtavlja mpuln poremećaj na utav kao što je prmjerce nalazak vozla na zbočnu na cet I u ovom će lučaju varjable x x predtavljat pomake maa obzrom na njhov ncjaln položaj a ne obzrom na udaljenot od tla U tom je mlu u početnom tanju utava uzet u obzr utjecaj gravtacje pa e ona zuzma z daljnjeg zračuna rtup rješavanja zadatka dentčan je onom prkazanom u prethodnom prmjeru kreće od potavljanja jednadžb gbanja A) x (M e gba) x = (M mruje) K x Mx Dx K x Dx Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 49

157 A) x = (M mruje) a x (M e gba) K x Dx Iz ravnoteže la prozlaz: Mx Dx Dx Kx K x f(t) Dx Kx Otaje još da e potav jednadžba gbanja vezana uz tjelo mae M B) x (M e gba) a x = (M mruje) K x Dx B) x = (M mruje) a x (M e gba) Mx K x Dx U ovom lučaju zjednačavanjem la dobvamo: Mx Kx Dx Dx Kx Tranformacjom zraza () () u -područje prozlaz: M D D K K X F D K X M D K X D K X 4 Sređvanjem prethodna dva zraza uvrštavanjem zadanh parametara utava prozlaze dvje prjenone funkcje utava: 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

158 X D K 4 F MM MD MD MD MK DD MK MK DK DK KK X M D K 4 F MM MD MD MD MK DD MK MK DK DK KK odnono X 5 F X F Uz korjene utava =-78; =-84 4 =-±8j (koj ukazuju na oclatoran odzv) lu F()= možemo potavt zraze za x (t): X X X j 4 8j j 8j - L t - 8 4t x t 7 e 85 e j e 4 8j e 8j t 8j t t - 8 4t x t 7 e 85 e - t j8 t j8 t - t j8 t j8 t 4 e e e j8 e e e t - 8 4t x t 7 e 85 e za x (t): X X - t - t 8 e co 8t 6 e n 8t X j 4 j j 8j - L 7 8t 8 4t x t 7e 7e - 8j t - 8j t 4 j e 4 j e Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

159 7 8t 8 4t x t 7e 7e - t j 8t j 8t - t j 8t j 8t 4 e e e j e e e 7 8t 8 4t x t 7e 7e - t - t 8 e co 8t 6 4 e n 8t rtom u težnke funkcje vezane uz obje mae: g t x t g t x t oložaj mae M u odnou na mau M mjenja e prema funkcj: 7 8t 8 4t x x 696e 65e - t - t 5 e co 8t 9 6 e n 8t rafčk prkaz dobvenh odzva ukazuje na nagl kok mae M u trenutku djelovanja le (nalaka na zbočnu na cet) od prblžno 7 cm Itovremeno podzanje mae M kan dvotruko je manje ampltude uljed djelovanja opruge K (elatčnot) nercje mae M koja je gotovo 8 puta veća od mae M U konačnc obje će e mae mrt u početnom položaju što prozlaz z dobvenh odzva korjena utava (uzevš u obzr mpuln karakter pobude) 8 x omak (m) 6 4 x x -x Vrjeme () 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

160 Zadatak 8 Analzrajte komentrajte pomake brzne maa elemenata a lke uz: M = M = kg D = D = D = D 4 = N/m K = N/m U= 5N t 5 Funkcja pobude mjenja e prema zakonu: f t t 5 Kako glae prjelazne funkcje vezane uz mau M? Rješenje: A) x (M e gba) a x = (M mruje) Kx Mx Dx D D x A) x = (M mruje) a x (M e gba) Kx Dx D D x M x D D D x Kx f t D D D x Kx Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

161 B) x (M e gba) x = (M mruje) Kx Dx Mx Dx 4 D D x B) x = (M mruje) a x (M e gba) Kx Dx D D x Mx D D D D x Kx D D D x Kx 4 Iz potavljenh jednadžb gbanja zračunat ćemo ada odzve utava Iz tekta zadatka prozlaz da će na tjelo amo u prvh 5 djelovat vanjka pobuda tj la od 5 N Stoga ćemo najprje analzrat dnamku utava u th prvh 5 a zatm njegovo ponašanje kada pretane djelovat la pobude Uzevš u obzr da je utav u početnom trenutku razmatranja mrovao tranformacjom potavljenh jednadžb gbanja u -područje uvrštavanjem vrjednot parametara ređvanjem zraza dobvamo: X F X 4 X X X X F X F X X F 6 V X F 6 V U ovom ćemo prmjeru dnamku zadanog utava analzrat obzrom na dvje vrte 54 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

162 odzva - pomak maa njhovu brznu Ukolko bmo utav razmatral u kontektu regulacje potovjetvš ga prtom regulacjkm objektom onda e naš objekt regulacje može opat preko dvje vrte regulacjkh taza koje e razlkuju u odabranm funkcjama odzva (pomak brzna) Dnamka utava u lučaju pomaka kao odzvne velčne defnrana je prjenonm funkcjama X X Rješavanjem karaktertčne jednadžbe utava prozašle z te dvje prjenone funkcje dobvamo ljedeće korjene: 6 ; 5 45; 55 ol =- kojm je kraćena nula u gornjm zrazma za prjenone funkcje ma negatvan realn do pa ne utječe na konačn zaključak o tablnot utava Analzom preotalh korjena prozlaz da će on mat amo realn do - što ugerra aperodk odzv pr čemu će dva korjena bt negatvna a jedan jednak nul Zbog korjena nultm realnm djelom utav će e ponašat grančno tablno To je blo logčno za pretpotavt jer će e u lučaju djelovanja kontantne le pomac maa kontnurano povećavat vremenom u odnou na njhov ncjaln položaj Odlka tablnog utava na ovakvu vrtu pobude je da e odzv vremenom mr taconra na nekoj vrjednot Takvu je dnamku logčno za pretpotavt u lučaju kada za odzv uzmemo brzne maa koje b pod djelovanjem talne le trebale dotć zadržat neku kontantnu vrjednot Ovaj e zaključak pokazuje pravnm kada promotrmo rješenja karaktertčne jednadžbe prozašle z preotale dvje prjenone funkcje V V a koja maju negatvan realn do ( =-545; =-55) Izračunajmo ada ve odzve prkažmo h grafčk Na temelju prjenone funkcje X uz F X 5 ljed: t t 55 t x 8 5 t 8e 8e - L U lučaju prjenone funkcje X uz F 5 ljed: X L t t 55 t x 5 t e e a prjelazna funkcja poprma oblk: t x hx t t e e f t 545 t 55 t Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 55

163 Odabrom V uz V F 5 mamo: X L e t t 46e t 5 v x Do ovog mo rješenja mogl doć drektno tj dervacjom zračunate funkcje x (t) Eventualna manja odtupanja zmeđu tako dobvenog rješenja rješenja dobvenog preko prjenone funkcje mogla b natat uljed zaokružvanja vrjednot na drugu odnono treću decmalu u prethodno provedenom zračunu Na kraju za V uz F 5 dobvamo: V X L v x 5 56e 56e t 5 t 545 t 55 t v 545 t 55 t hv t e e f t Dobvena rješenja opuju pomake brzne maa M M u prvh 5 gbanja utava Izračunat odzv potvrdl u prethodno potavljene zaključke zvedene na temelju korjena utava onašanje utava nakon djelovanja le f = 5 N odredt ćemo također z jednadžb gbanja al ada f = N početne uvjete koj predtavljaju vrjednot pozcja brzna maa utava u trenutku t = 5 tj t' = t-5 = Njh računamo z prethodnh zraza: tj 545 t 55 t 8 5 8e 8e 667m x t 5 t' x t t' 545 t 55 t 5 e e 6 5m t 5 t' x t x t' v x x t' e t t 46e 5m t 5 t' v x x t' e t t 56e 5m t 5 t' Tranformacjom potavljenh jednadžb gbanja u -područje uz uvrštavanje gore navedenh početnh uvjeta zadanh vrjednot parametara dobvamo: M x D D D x Kx f t D D D x Kx L X x x X x X F X x X 56 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

164 X X 65 X X 6 67 odnono Mx D D D D x Kx D D D x Kx L 4 X x x 4X 4x X X x X 4 X X X X Iz zraza () (4) dobvamo: X L t t' 55 t' x 7 5 8e 8e X L t 5 t' 545 t' 55 t' x 7 5 5e e e Što e tče brzna mamo: V X L e t' t' 455e t 5 v x V X L t' 545 t' 55 t' 5e 6e 556e t 5 v x Dobvena rješenja opvat će ada pomake brzne maa M M u faz kada utav uporava uljed zotanka djelovanja vanjke pobude rafčk prkaz kompletnog odzva za pomake brzne maa zložen u na ljedeće dvje lke U prvom je djelu procea uočljvo određeno kašnjenje mae M u odnou na mau M Brzna obje mae taconrala e nakon na 5 m/ uljed djelovanja le f = 5N što je uzrokovalo pomak mae M za 667 m te mae M za 65 m Razlka od 7cm odno e na pomak klpa u clndru odnono tlačvanje opruge (premnk energje) zbog kojh u pomac porat brzne mae M kanl za maom M Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 57

165 8 7 6 omak (m) Vrjeme () 5 x x v 4 v Brzna (m/) Vrjeme () U drugom djelu procea zotankom djelovanja le tj vanjke pobude na utav brzna obju maa e nakon -ak ekund manjuje u nulu a obje e mae zautavljaju na konačnoj udaljenot od 75 m od početne pozcje koje je započelo gbanje rtom valja zapazt da će pomak mae M od 5-te ekunde gbanja pa do konačnog položaja bt manj od pomaka mae M to upravo za onh 7 cm Name zotankom le na mau M opruga (a tme klp clndra) će e prlkom uporavanja maa potepeno vratt u prvobtn položaj tj međuobn položaj maa bt će na kraju gbanja jednak onome na početku 58 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

166 Zadatak 9 Odredte težnke funkcje komentrajte ponašanje utava zadanog prema lc uz: M = M = kg D = D = D = D 4 = N/m K = N/m U= Rješenje: Zadan je utav dentčan utavu z prethodnog zadatka uz razlku što u ada opruga clndar erjk povezan Tme mo dobl još jednu treću točku gbanja Za razlku od paralelne povezanot opruge clndra maom M koja je ogurala njhove tovjetne pomake ukladne pomaku te mae u lučaju erjkog poja pomac clndra mae M neće bt t uljed mehančkh vojtava opruge (elatčnot) koja e nalaz zmeđu njh Stoga ćemo uz dvje točke utava vezane uz vaku mau potavt treću koju ćemo vezat za clndar jer e clndar može gbat neovno o maama utava A) x (M e gba) x = (M mruje) x = (clndar mruje) Kx Mx D D x A) x = (M mruje) x (M e gba) x = (clndar mruje) D D x Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 59

167 A) x = (M mruje) x = (M mruje) a x (clndar e gba) Kx Mx D D x Kx f t D D x Kx B) x (M e gba) x = (M mruje) x = (clndar mruje) Mx Dx D D x Dx 4 B) x = (M mruje) x (M e gba) x = (clndar mruje) D D x B) x = (M mruje) x = (M mruje) a x (clndar e gba) Dx M x D D D D x D D x D x 4 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

168 C) x (clndar e gba) x = (M mruje) x = (M mruje) Dx Kx C) x = (clndar mruje) x (M e gba) x = (M mruje) Kx C) x = (clndar mruje) x = (M mruje) x (M e gba) Dx D x Kx Kx D x Uz tr točke utava ada mamo tr jednadžbe gbanja koje tranformacjom u - područje uvrštavanjem poznath parametara utava poprmaju oblk: X F X x 4 X X X X X X Iz njh ljede tr prjenone funkcje pomacma kao funkcjama odzva: X X 6 F 8 9 X 5 F 8 9 X odnono brznama kao funkcjama odzva: X V V 6 F F 8 9 X V 5 F F 8 9 V X 9 F 8 9 X X V 9 F F 8 9 V Kako je u zadatku zadano da e traž težnka funkcja (za koju vrjed da je - N) te uzevš u obzr da je gt x t L f t K t K na temelju prethodno potavljenh prjenonh funkcja ljede odzv a amm tme težnke Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

169 funkcje utava X 6 X j 4 j j 77 j L - 46t 77t 77t gx x 7e 8e co t 6e n t V 6 58 j j j 77 j - L 46t 77t 77t gv v x 58e 4e co t 6e n t 9 X 8 9 X 8 4 4j 4 4j j 77 j L - 46t 77t 77t x 8e 8e co t 8e n t j 5 8j - V L j 77 j 46t 77t 77t v x 5e 5e co t 6e n t 5 X 8 9 X 6j 6j j 77 j L - 46t 77t 77t x e 4e co t e n t V j 66j j 77 j L - 46t 77t 77t v x 6e 6e co t e n t 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

170 omak (m) x Vrjeme () x x Brzna (m/) Vrjeme () v v v od djelovanjem mpulne pobude tj le od N tjelo mae M zajedno oprugom clndrom pomaknut će e za m dok će tjelo mae M otvart pomak od m rtom će pomak clndra nešto kant za tjelom mae M uljed djelovanja opruge Razlka u pomacma od cm odno e na hod klpa clndra do kojeg je došlo uljed erjke povezanot clndra opruge Brzna tjela mae M (v ) u početnom će trenutku kočt na m/ dok će porat brzne clndra (v ) uljed djelovanja opruge bt porj manj te će doeć voj makmum nakon prblžno 5 Od tog trenutka pa do kraja gbanja profl th dvju brzna bt će prblžno jednak rema lčnom obracu mjenjat će e brzna v tm da će kašnjenje bt malo veće a makmalna vrjednot nža u uporedb brznom v uljed dodatnog utjecaja mae M Intereantno je za prmjett da će odzv utava mat praktčk aperodk karakter ako utav pojeduje jedan Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

171 konjugrano-komplekn par korjena ( 77 j) Međutm taj par korjena ma domnantn negatvn realn do (-77) koj značajno prgušuje odzv Zadatak Odredte pomake brzne vh točaka gbanja zadanog utava komentrajte dobvene odzve arametr utava znoe: M = M = kg D = D = D = D 4 = N/m K = K = N/m U= romjena le u vremenu defnrana je prema prloženom grafu: Rješenje: U ovom prmjeru ponovno mamo tr točke gbanja pa će jednadžbe gbanja glat: Mx D D x Kx f t Dx Mx Dx Kx Dx Kx Dx Kx Kx odnono X F X X X X 64 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

172 X X Iz potavljenh jednadžb ljede prjenone funkcje odzv koj opuju ponašanje utava u prve ekunde gbanja (u tom perodu na utav djeluje la f(t)=t N prema lc) X X 4 4 x 5 45 t t e t t 5e e co t t X X t t x 5 5t 5e e co t t X X 4 4 x t t e t 5e t t e co 7e n t t t X 6 6 V V 4 4 F v 5 5 e t e t e t t co 7e n t t t V V 4 4 v t 5e t t e co 7e n t t t V V 4 4 v e t 5e t e t t co 7e n t t t Iz dobvenh funkcja odzva zračunat ćemo ada vrjednot pomaka brzna obju maa clndra za t = tj t'= t- = što će predtavljat početne uvjete koje ćemo kortt za određvanje ponašanja utava za perod t odnono t' = (t-) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 65

173 x 78m; x 64m; x m t t' t t' t t' v x 4m/; v x 9m/; v x 4m/ t t' t t' t t' Tranformacjom jednadžb gbanja u -područje te uvrštavanjem zračunath početnh uvjeta zadanh vrjednot parametara dobvamo: X X X X X 64 X X Sređvanjem gornjh zraza dobvamo pomake točaka od trenutka kad na utav pretaje djelovat vanjka pobuda X x 5 5 t 4e t 5e t t e co 78e n t t t X x 5 5 t 75e t t e co 78e n t t t X x 5 5 t 4e t 75e t t 4e co 8e n t t t Iz gornjh zraza možemo odredt brzne maa clndra Dervacjom potavljenh funkcja pomaka dobvamo: v 5 5 x 4e t e t 46e t t co 9e n t t t v 5 5 x t 5e t t 46e co 9e n t t t v 5 5 x t 4e t 5e t t e co 46e n t t t 66 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

174 5 omak (m) 5 5 x x x Vrjeme () Brzna (m/) v v v Vrjeme () U prve dvje ekunde pomac brzne oba tjela clndra rat će poratom le rtom će najveć pomak brznu otvart tjelo mae M na kojeg drektno djeluje la a uz određeno kašnjenje otal element utava Nakon dotzanja vršne vrjednot le (6 N) pretanka djelovanja vanjke pobude (puštanje tjela mae M ) v će e element utava uljed nercje još neko vrjeme natavt gbat u tom pravcu (vršne vrjednot krvulja pomaka vremenk u vezane uz trenutak kad m prpadajuće brzne padnu u nulu) U trenutku kad e element utava zautave potencjalna energja nakupljena u oprugama počet će h vraćat nazad prema zdu (brzna potaje negatvna) što će nakon nekog vremena uzrokovat negatvne vrjednot pomaka jer će e element nalazt blže zdu nego u početnom trenutku razmatranja utava za koj vrjed x = x = x = U tom prmcanju zdu knetčka energja elemenata još jednom će preć u potencjalnu energju opruga brzna će ponovno pat u nulu (u tom trenutku element će e nalazt Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 67

175 u krajnjem ljevom položaju) Kako utav tme nje potgao voje prvobtno ravnotežno tanje energja z opruga još jednom pokreće elemente utava ve dok e nakon 5-ak ekund od početka gbanja utav konačno ne mr u ncjalnoj pozcj Iz korjena utava ( =-; =-; 4 =-5±866j) mogl mo unaprjed zaključt da će odzv bt tablan oclatoran (realn do konjugrano-kompleknog para korjena nje velk pa će oclacje doć do zražaja) Zadatak Odredte pomak tjela mae M njegovu brznu te promjenu kuta kutnu brznu rotacjkog elementa (dka) Rotacjk element rotra oko taconarne o A arametr utava znoe: M = kg D = N/m D = N/m K = N/m r = m J = Nm /rad U= Na utav djeluje Heavdeova funkcja pobude od N Rješenje: Ovdje je zadan lčan prmjer kao u prethodnom zadatku uz razlku što jedan element utava ma rotacjko gbanje a drug tranlacjko U modelranju ovakvh utava rotacjk element e tretraju na t načn kao tranlacjk uz dva zuzetka: le e zamjenjuju momentma a lnearn pomac kutnma U tom e mlu modfcraju mehančke komponente rotacjkh elemenata pr čemu e moment vezan uz oprugu (elatčnot) vkozno trenje mau računaju prema zrazma - M K K R MD D R MM J repektvno ( - rad; - rad/; K R - Nm/rad; D R Nm/rad; J Nm /rad l kgm ) onovno ćemo do jednadžb gbanja doć prmjenom metode djagrama lobodnog tjela pr čemu će e kod rotacjkh tjela taj djagram atojat od momenata a ne la rncp određvanja vh momenata koj djeluju na rotacjko tjelo dentčan je prncpu potavljanja la na tranlacjka tjela 68 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

176 A) x = Mx Kx D D x A) x= D r Mx D D x Kx f t D r B) x= J D r B) = x Dxr J D r xr D Dakle nakon što mo potavl le koje djeluju na tjelo mae M za vrjeme njegova tranlatornog gbanja uz tovremeno mrovanje rotacjkog tjela odredl mo još utjecaj gbanja rotacjkog tjela na tranlacjko kada ono mruje Taj je utjecaj zražen preko le trenja - D r Name kako u koefcjent vkoznog trenja zadan u jednc N/m naše tjelo rotra nekom kutnom brznom a m umjeto momenta moramo za potavljanje jednadžbe gbanja odredt lu trenja koju ćemo dovet u ravnotežu DR otalm lama koje djeluju na tjelo mae M onda ćemo umjeto zraza lu trenja r zrazt preko Dx D r (uzevš u obzr da je veza zmeđu lnearne kutne brzne x r ) U lučaju kada razmatramo momente koj djeluju na rotacjko tjelo najprje analzramo tuacju kada jedno tjelo rotra dok drugo mruje Očto da ćemo u tom lučaju morat Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 69

177 uzet u obzr moment nercje - J moment trenja - D r ( MD fd r D r r ) koj djeluju u uprotnom mjeru od mjera gbanja rotacjkog tjela Ovm momentma moramo još dodat moment trenja - Dxr koj djeluje na rotacjko tjelo u mrovanju uljed tranlatornog gbanja tjela mae M Tme mo dobl dvje jednadžbe gbanja gdje mo u prvoj zjednačl ve le koje djeluju na tjelo mae M a u drugoj ve momente koj djeluju na rotacjk element utava Nakon tranformacje jednadžb gbanja u -područje njhovog ređvanja dobvamo: X F X X V F F V F Φ z čega prozlaze tražen odzv utava: F F Ω 86t 4t 4t x 9e 4e co 87t 5e n 87t 86t 4t 4t v 94e 94e co 87t 45e n 87t 4 86t 4t 4t 8 e e co 87t 5 54e n 87t 86t 4t 4t 9e 8e co 87t 76e n 87t rafčk prkaz odzva tj prjelaznh funkcja utava dan je na ljedećoj lc a konačne zaključke o ponašanju utava prepuštamo čtatelju kao zračun odzva utava Ovdje ćemo još amo krenut pažnju na utjecaj nula l nul-točaka prjenonh funkcja na odzve utava Name ve četr prjenone funkcje maju t karaktertčn polnom (polnom nazvnka) što je logčno buduć da opuju dnamku mehančkog utava koj e fzkalno ne mjenja Iz njega ščtavamo da e utav atoj od tr premnka energje (opruge te maa tranlacjkog rotacjkog elementa) kao da je on tablan a odzv potencjalno oclatorn ( =-86; =-4±87j) Ono u čemu e te funkcje razlkuju u polnom brojnka rtom prjenona funkcja Φ očto opuje član tj ona nema konačnh nula dok otale funkcje maju po jednu l dvje konačne nule Iako ne utječu na tablnot očto je da će nul-točake mat značajn utjecaj na otale parametre odzva utava 7 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

178 4 omak (m) Vrjeme () Brzna (m/) Vrjeme () Kutn pomak (rad) Vrjeme () Kutna brzna (rad/) Vrjeme () Zadatak Odredte kutne pomake mehančkog utava a lke u lučaju nune pobude M nt parametara utava: J = Nm /rad J = Nm /rad D R = D R = D R = Nm/rad K R = Nm/rad U= Rješenje: U vrhu potavljanja jednadžb gbanja mehančk utav koj e atoj od rotacjkh elemenata "ratavl" mo na egmente hematk prkazane ljedećom lkom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

179 Tme mo dobl dva rotrajuća elementa (mae) koja u međuobno povezana oprugom pomoću koje u modelrane torzjke deformacje (elatčnot) oovne Veza oovne okolne otvarena je preko ležajeva čj je utjecaj na dnamku cjelokupnog utava opan prpadajućm koefcjentma vkoznog trenja Sada ponovno možemo vak rotrajuć element promatrat kao lnearno neovnu točku gbanja prmjent dentčan prtup u potavljanju jednadžb gbanja kao kod MDS utava tranlacjkm elementma A) = M J KR D R A) = KR J D K M K R R R B) = J K R D R D R B) = KR J D D K K R R R R Iz potavljenh jednadžb gbanja ljede prjenone funkcje: Φ 4 5 M M 6 5 Φ 4 7 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

180 a uvrštavanjem tranformrane funkcje pobude M (Tablca ) zatm nverznom tranformacjom funkcja dobvamo konačne pomake: t 5 t 5 t 67e 4e co 84t e n 84t 7co t n t t 5 t 5 t 67e e co 84t 6e n 84t 66co t 9n t Moment (Nm) Vrjeme () Kutn pomak (rad) Vrjeme () Analzu dobvenog odzva prepuštamo čtatelju Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

181 Zadatak Odredte dnamku promjene kutne brzne mehančkog utava a lke čj parametr znoe: J = J = Nm /rad D R = D R = D R = D R4 = Nm/rad z = 5 z = 5 U= Na utav djeluje Heavdeova funkcja pobude od Nm Rješenje: U ovom prmjeru mamo lučaj kada e moment jednog vratla preno na drugo preko para zupčanka Da b potavl jednadžbe gbanja moramo najprje analzrat utjecaj zupčanka na dnamku utava Kako e u ovom poglavlju zbrke obrađuje problematka lnearnh utava u natavku ćemo pretpotavt da ne potoj zračnot zmeđu bokova zub pregnuth zupčanka te da zmeđu zupčanka ne dolaz do gubtka energje (pohranjvanja energje u zupčancma) Također ćemo nercju mae zupčanka vratla za koje je vezan objednt u jednu velčnu nju vezat uz prpadajuć moment nercje Uz prethodno uvedene pretpotavke za zupčanke vrjede ljedeć odno: r z M Z r z M Z Sutav je hematk prkazan je na lc rje određvanja jednadžbe gbanja valja uočt da potojanje dva rotrajuća elementa opana nercjama J J ne upućuje nužno na dva lnearno neovna gbanja elemenata utava Name t u element pojen parom zupčanka u zahvatu ne mogu otvart međuobno neovna gbanja Stoga ćemo u ovom lučaju mat amo jednu dferencjalnu jednadžbu koja će opvat dnamku utava 74 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

182 Ukupn moment ljevog vratla na zupčanku z (M Z ) znot će M J D D M R R Z Veza zmeđu tog momenta momenta denog vratla na zupčanku z (M Z ) bt će prema (): M Z z MZ z Taj će e moment zjednačt momentom nercje trenja vezanm uz deno vratlo: M J D D Z R R4 Iz prethodna tr zraza prozlaz dferencjalna jednadžba utava: z z J D D J D D M R R R R4 z z z Njeznom tranformacjom u -područje uvrštavanjem odnoa dobvamo: z z J D D J D D M R R R R4 z z z tj z J D M z e Re gdje u J J z J ; D D D z D D e Re R R R R4 z z Sada amo preotaje da e uvrte vrjednot odred funkcja (t): z J D 5 5 Φ M e z Re t Ω t e h t M 5 5 rjenona funkcja upućuje na dnamku proporconalnog člana reda ( ) pojačanja K =/ vremenke kontante =5/ jer je Ω K T 5 5 rtom je jedn premnk energje maa utava (maa oba vratla prpadajućm zupčancma) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 75

183 K = Kutna brzna - (rad/) Vrjeme () Izračun za kutnu brznu koj e zanva na zrazu Je DRe M uz z z Je J J DRe DR DR DR DR4 rezultra vrlo lčnom dnamkom z z Ω 4 M 5 Ona e razlkuje amo u pojačanju člana koje je ada dvotruko veće zbog prjenonog omjera zupčanka (z =z ) a što upućuje na dvotruko veću kutnu brznu obzrom na Zadatak 4 Odredte dnamku promjene kutne brzne 4 utava hematk prkazanog na lc čj parametr znoe: J = J = J = Nm /rad K R = Nm/rad D R = D R = D R = Nm/rad z = 5 z = 75 z = 6 z 4 = Na utav djeluje Heavdeova funkcja pobude od Nm a U= 76 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

184 Rješenje: Analzom hematkog prkaza utava prozlaz da ćemo ovdje mat dva lnearno neovna gbanja uljed utjecaja elatčnot vezanog uz drugo vratlo (J ) Stoga ćemo najprje ve elemente utava do zupčanka z od zupčanka z vet na do utava zmeđu ta dva zupčanka tj potavt ekvvalentan utav (pogledajte lku u natavku) Nakon toga ćemo potavt jednadžbe gbanja M Z K R J J e D Re D R Da b prkazan utav bo ekvvalentan našem zadanom utavu potrebno je odredt moment na zupčanku z (M Z ) te J e D Re Moment na zupčanku z (M Z ) obuhvaća utjecaj pogonkog momenta nercje maa trenja ljeve trane utava (do zupčanka z ): M M J D Z R a momentom M Z je povezan preko odnoa z z M M M J D Z Z R z z S druge trane utjecaj vratla a zupčankom z 4 prpadajućm trenjem na zupčank z određen je momentom na zupčanku z 4 M J D Z4 4 R 4 tj momentom na zupčanku z z z M M J D Z Z4 4 R 4 z4 z4 z Kad e taj zraz uvrštavanjem odnoa 4 prlagod oznakama na gornjoj lc z dobvamo: z MZ J D R J e D Re gdje je z4 z z Je J adre DR z4 z4 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 77

185 Sada možemo potavt jednadžbe gbanja prmjenom već uvježbane metode djagrama lobodnog tjela z čega ljed: J D K M K R R Z R J D K K e Re R R Tranformacjom vh zraza u -područje te uvrštavanjem dobvenog zraza za M Z z z odnoa te zadanh vrjednot parametara z z utava konačno dobvamo prjenonu funkcju ( član!): 6 M Ω4 Konačno rješenje gla: 4 4 e t 58e 5 t n 6 t Kutna brzna - (rad/) Vrjeme () 78 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

186 Zadatak 5 Odredte jednadžbe gbanja odzve ljedećh hematk prkazanh utava za lučaj kad je M = Nm () () J = J = Nm /rad D R = D R = D R = Nm/rad K R = Nm/rad U= (t)=? (t)=? () J = J = Nm /rad D R = D R = D R = Nm/rad K R = Nm/rad U= (t)=? (t)=? (t)=? (4) J = J = Nm /rad D R = D R = D R = Nm/rad K R = Nm/rad U= (t)=? (t)=? Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 79

187 (5) J = Nm /rad J = J = Nm /rad D R = Nm/rad K R = Nm/rad K R = Nm/rad z = 5 z = 5 z = 5 U= (t)=? z J K R z z D R M J D R z 4 J = 9 Nm /rad J = Nm /rad D R = Nm/rad D R = 5 Nm/rad K R = Nm/rad z = z = z = 5 z 4 = U= 5 (t)=? Rješenje: U natavku u prkazana amo rješenja dok e zračun analza odzva otavljaju čtatelju () J D D K D K R R R R R J D D K K M D K R R R R R R e t e t t t e t t t e te () J D K M K R R R D K D K R R R R J D D D R R R e t 66e t co 6e t t n t e t 66e t co 47e t t n t 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

188 e t 66e t co 6e t t n t () J D D K M D K R R R R R J D D K D K R R R R R e t t t e e (4) z z z z z J J J DR KR K R M z z z z z 89t 97t 9 7e 64e (5) Uz J D M D R Z R D K D K R R R R 4 D K K Re 4 R 4 R z z z z z MZ MZ M J MZ M J z z z z z z 5 4 z4 z z z z MZ MZ4 DR5 DR4 DRe4 DRe DR z4 z 4 z 4 z 4 ljed e t 9 e t e t t t 45 5e t Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

189 6 Točnot utava Om tablnot koja predtavlja temeljn zahtjev koj e potavlja na upravljačke utave potoje drug zahtjev koje utav moraju punt kako b e ogurale tražene performane u razlčtm uvjetma ekploatacje Jedan od njh je mogućnot praćenja nazvne l vodeće vrjednot bez odtupanja tj točnot utava Blo kod čvrte l kod ljedne regulacje od nterea nam je da e regulrana velčna po završetku prjelaznh pojava što vše prblž željenoj vrjednot odnono u najboljem lučaju potane njoj jednaka Za razlku od tablnot koja ov amo o utavu njegovm karaktertkama točnot je vojtvo koje ov o utavu o pobud te ga je potrebno analzrat za vaku kombnacju utava pobude otupak započnje određvanjem tablnot utava jer netablan utav l utav na granc tablnot ne može potć točan odzv Nakon toga e određuje regulacjko odtupanje - e(t) l E() koje predtavlja razlku zmeđu željene (w) dobvene odzvne vrjednot (x ) tj E W X et wt x t Na temelju funkcje pogreške zračuna e zatm trajno regulacjko odtupanje (točnot utava e ) prmjenom teorema konačne vrjednot (Tablca ) e lm e t lm E t Određvanje tablnot je u ovom lučaju btno toga što je prmjena teorema konačne vrjednot ovna o položaju polova funkcje E() a koj u određen polovma prjenone funkcje utava funkcjom pobude/poremećaja Name teorem je prmjenjv amo u lučaju kada v polov leže u ljevoj poluravnn komplekne ravnne (negatvn realn do) l u njenom hodštu (=) ojava jednog l vše polova funkcje E() koj e nalaze na magnarnoj o /l u denoj poluravnn komplekne ravnne a koj prpadaju utavu /l pobud onemogućuje prmjenu teorema jer on može rezultrat pogrešnm zaključkom o točnot utava Slučajev u kojma je analza točnot provedena bez prethodne analze tablnot utava prkazan u u zad 7/5 8/4 Temeljn zraz za regulacjko odtupanje E()=W()-X () može e zapat u općoj form E Z Z d p j j W d p d p k j l E O Z Z d p j j W koja vrjed za regulacjk krug poremećajma hematk prkazan prloženm blok-djagramom k O j 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

190 rtom je d = R S S prjenona funkcja drektne grane p = M prjenona funkcja povratne grane O = d p prjenona funkcja otvorenog kruga Z j j- poremećaj Zj prjenona funkcja vezana uz djelovanje poremećaja Z j koja e računa prema zrazma: Z R S S Z S S Z S Naveden zraz za regulacjko odtupanje vrjed za krug bez poremećaja (drug član je jednak nul) E d p W O kao u lučaju kad je mjern član zanemarve dnamke (pogledajte zadatke u natavku) E Z Z j j W O k O j l E W (krug bez poremećaja) O Zadatak 6 Odredte trajno regulacjko odtupanje ervomehanzama tpa zraženh prjenonom funkcjom otvorenog kruga na jednčnu odkočnu nagbnu parabolčnu funkcju Regulacjk krugov ervomehanzama u tabln bez poremećaja povratnom vezom zanemarve dnamke Komentrajte dobvena rješenja Rješenje: rjenone funkcje otvorenog kruga ervomehanzama tpa k (k broj ntegracja u krugu red atatzma utava) maju opć oblk: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

191 m m m O k n n n n K bm b b a a a Izračun trajnog regulacjkog odtupanja polaz od određvanja zraza za regulacjko odtupanje koj prema prloženom blok-djagramu poprma formu: O X W W O E W X W W E W O O O Dobven je zraz već naveden u uvodnom djelu potpoglavlja pr čemu je pomenuto da vrjed amo uz jednčnu povratnu vezu u lučaju kad na krug ne djeluju poremećaj a) wt ut W U lučaju pobude u oblku jednčne odkočne funkcje trajno regulacjko odtupanje računa e prema zrazu e lm etlm E lm t O lm O e K p gdje je p O K lm koefcjent položajne greške l pozcjkog pojačanja Za ervomehanzam tpa k= koj nema ntegracjkog djelovanja (atatzam nultog reda) prozlaz da će koefcjent položajne greške bt jednak prjenonom omjeru l pojačanju utava K: K m m m K bm b b lm a a a p n n n n K dok će za preotala dva tpa ervomehanzma (k=) on bt: 84 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

192 K m m m m m m m m K b b b K b b b lm lm a a a a a a p n n n n n n n n Shodno tome prozlaz da u lučaju jednčne odkočne funkcje ervomehanzam tpa k= uljed nedotatka ntegracjkog djelovanja neće bt u tanju u potpunot uklont trajno regulacjko odtupanje e K za k Ono će e eventualno moć amo manjt to povećanjem pojačanja utava reotala dva tpa ervomehanzama će uljed jednotrukog odnono dvotrukog ntegracjkog djelovanja (nezmjerno velk koefcjent položajne greške) moć u potpunot uklont trajno regulacjko odtupanje za zadanu pobudnu funkcju e za k w t t W b) U lučaju pobude u oblku jednčne nagbne funkcje trajno regulacjko odtupanje računamo prema zrazu e lm E lm gdje je v O lm lm O O O Kv K lm koefcjent brznke pogreške Naveden koefcjent za razmatrana tr tpa ervomehanzama zno: m m m K bm b b K lm za k a a a K K v n n n n v v m m m K bm b b lm n n a a a lm n m n m m K b b b m n n n a a a n K za k za k rema tome u lučaju ervomehanzma tpa k= mat ćemo nezmjerno velko trajno regulacjko odtupanje e K v Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 85

193 dok će u preotala dva lučaja ono znot e e za k K K v za k K v Možemo zaključt da će e prlkom porata reda funkcje pobude točnot utava moć potć amo promjenom tpa ervomehanzma tj podzanjem reda atatzma utava to mnmalno za t onaj red za koj je porala pobudna funkcja Drugm rječma dok nam je za potpuno elmnranje odtupanja u taconarnom tanju kod odkočne pobudne funkcje bo dotatan ervomehanzam tpa k= za nagbnu će e funkcju morat prmjent ervomehanzam tpa k= Ovdje e može ljepo uočt kako na točnot utava tovremen utjecaj maju pobuda truktura utava tj broj ntegracja u utavu Navedeno e vojtvo očtuje u trećem lučaju u kojem je red funkcje pobude dodatno povećan pr čemu ona ada poprma formu jednčne parabole c) wt t W U ovom lučaju trajno regulacjko odtupanje računamo prema zrazu e lm E lm gdje je K a lm O lm lm O K O O a koefcjent pogreške ubrzanja Ovaj koefcjent za razmatrane tpove ervomehanzama zno: m m m m a n n a n an a K b b b K lm za k K K a a lm lm m m m m K b b b n n n a a a n m m m K b b b m n n n a a a n za k K za k Sada mamo tuacju da će zbog K a = ervomehanzm tpa k= mat nezmjerno velko trajno regulacjko odtupanje e K a dok će u preotal tp (k=) otvart e K K a 86 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

194 Očto da b praćenje odabrane pobudne funkcje bez greške mogl zvet tek a ervomehanzmom tpa k= (utav trotrukm ntegracjkm djelovanjem) Na kraju valja napomenut da će određvanje točnot utava prmjenom koefcjenata grešaka (K p K v K a ) bt moguće ukolko je prjenona funkcja otvorenog kruga određena uz jednčnu povratnu vezu kao što je to bo lučaj u ovom prmjeru U protvnom on mogu dovet do pogrešnog zaključka pa e u određvanju trajnog regulacjkog odtupanja njhova prmjena zbjegava (pogledaje prmjere 6-8 ljedećeg zadatka) Zadatak 7 Odredte trajna regulacjka odtupanja zadanh regulacjkh krugova bez poremećaja () rjenona funkcja regulacjke taze je određena zrazom regulator je dealn član ( ) mjern 9 S član je zanemarve dnamke a funkcja pobude l vodeća velčna je određena zrazom wt t ; () Regulacjka taza je atavljena od erjkog poja dealnog I člana člana (v u parametr članova jednak ) regulator je dealn član mjern član je zanemarve dnamke a pobuda zno t w t () ; regulator je opan D članom nultog reda mjern član je zanemarve dnamke a krug je pobuđen nagbnom funkcjom wt 4 t; (4) Regulacjka taza je atavljena od erjkog poja tr dentčna člana (pojačanja ) regulator je I član nultog reda (pojačanja vremenke kontante ntegracje ) mjern član je zanemarve dnamke a pobuda zno (5) wt a; regulator je opan D članom prvog reda (realn D regulator) vremenke kontante dervacjke vremenke kontante mjern član je zanemarve dnamke a krug je pobuđen nagbnom funkcjom (6) wt bt ; 5 regulator je dealn član mjern član je opan dnamkom D člana nultog reda (pojačanja vremenke kontante dervacje ) a krug je pobuđen funkcjom wt bt ; Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 87

195 (7) T 4 regulator je opan članom (realn regulator vremenkom kontantom ) mjern član je također opan dnamkom člana (pojačanja vremenke kontante ) a krug je pobuđen funkcjom (8) wt a regulator je dealn član mjern član je opan dnamkom člana (vremenke kontante ) a krug je pobuđen funkcjom wt a Rješenja: rje početka rješavanja zadanh prmjera valja napomenut da e prjenone funkcje članova regulacjkog kruga koj nu ekplcte defnran uvrštavaju u potupak rješavanja u općoj form (K T ) Dodatno ve vremenke kontante (T T D T I ) zapane u općoj form matrat će e poztvnma () Kako je u ovom prmjeru zadan regulacjk krug bez poremećaja jednčnom (negatvnom) povratnom vezom tj mjern je član zanemarve dnamke ( M =) prjenona funkcja kruga gla: K R S O 9 K 4 R S O arametr regulatora nu defnran pa uzmamo R ()=K Određvanje tablnot regulacjkog kruga kreće od karaktertčne jednadžbe: KJ 4 9 K Nužan uvjet tablnot: K Dovoljn uvjet tablnot (Routhova tablca): R R R R R K c d K 8 K c 6 K K 8 8 d K 88 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

196 Iz dobvenh ogrančenja prozlaz da e pojačanje regulatora mora kretat u ntervalu < K <8 da b utav bo tablan Za pojačanja z tog ntervala analzrat ćemo ada točnot kruga to prmjenom zraza za regulacjko odtupanje korštenog u prethodnom zadatku a koje vrjed za regulacjk krug bez poremećaja jednčnom povratnom vezom: Uz E W O K 9 O 4 w t t W dobvamo E K 9 K 4 9 E K Do tog mo rješenja mogl doć prmjenom zraza koj uzma u obzr pobudu prjenonu funkcju zatvorenog kruga koju mo na početku odredl zbog analze tablnot tj E W X W W W Taj će zraz očto vrjedt za regulacjke krugove bez poremećaja to bez obzra na dnamku povratne veze Trajno regulacjko odtupanje računamo na temelju teorema konačne vrjednot: e lm E lm K K z čega prozlaz da razmatran regulacjk krug neće moć bez greške pratt zadanu vodeću velčnu Najmanja greška koju će utav otvart je (u lučaju da je 8 ε= utav je na granc tablnot!) Uzevš u obzr tp pobudne funkcje atavljene od odkočne nagbne funkcje kao čnjencu da prjenona funkcju otvorenog kruga ma atatzam prvog reda (ervomehanzam tpa k=) do tog mo rješenja mogl doć zračunom koefcjenta brznke pogreške (koefcjent položajne pogreške ne daje dobru nformacju jer e funkcja pobude atoj od nagbne funkcje): Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 89

197 K Kv lm O lm lm 4 9 K K 9 e lm E lm K K O v () Regulacjka taza je defnrana zrazom K K T T I S jer je zadano K I =K =T =T = rjenona funkcja regulatora gla R ()=K a M ()= Određvanje tablnot: K R S K R S KJ K K (z nužnog uvjeta tablnot) R R R R K K K K K (z dovoljnog uvjeta tablnot) Konačn uvjet tablnot: < K < Izračun regulacjkog odtupanja (uz M =): K O wt t W E O W K K K Trajno regulacjk odtupanje zno e lm E lm K U prethodnom je zadatku pokazano da ervomehanzam tpa k= (koj e pojavljuje u ovom prmjeru) nje u tanju pratt parabolčnu funkcju bez greške Dapače bez obzra 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

198 na eventualnu promjenu njegovh parametara (pojačanja K ) odtupanje će vremenom rat (K a =) e lm E lm K O a () U ovom je prmjeru regulacjka taza netablna a u poju a zadanm dealnm D regulatorom mjernm članom zanemarve dnamke prjenona funkcja kruga gla: K TD K T K Određvanje tablnot: KJ D K T K D uz K T R D M KT K D K T D (ogrančenja koja ljede z nužnog uvjeta tablnot) Kako je ovdje rječ o utavu drugog reda nužn uvjet tablnot bt će ujedno dovoljn pa je konačno ogrančenje na pojačanje regulatora K > (jer je u uvodu T D zadatka naglašeno da u ve vremenke kontante poztvne) Drugm rječma odabran će tp regulatora uz potavljena ogrančenja na vrjednot njegovh parametara (K T D ) moć tablzrat tazu odnono regulacjk krug pa toga ma mla provet analzu točnot tog kruga Ona započnje zračunom regulacjkog odtupanja: K D O E E T 4 wt 4t W W 4 K T K O D 4 KTD K 4 K T K D Trajno regulacjk odtupanje zno e lm E lm 4 4 KTD K K na temelju čega možemo zaključt da će realno uvjek potojat neko odtupanje u taconarnom (utaljenom) tanju koje će e manjvat poratom pojačanja regulatora rtom će zbog negatvnog predznaka u rješenju a uz poztvn K (što prozlaz z uvjeta Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

199 tablnot) odzv utava bt već od željene pobudne funkcje to za zno e Teoretk točnot utava će e potć uz K p no u realnm uvjetma parametr regulatora u ogrančen a prevelka pojačanja mogu uzrokovat lošje karaktertke odzva u mlu prevelkh prebačaja vremena mrvanja tj pojave zrazth oclacja (4) Regulacjka taza je defnrana zrazom K K K T T T T T T T S uz K = rjenona funkcja regulatora gla R K T I uz K = T I = rjenona funkcja kruga uz M ()= gla 4 T 9T 9T 6 Određvanje tablnot: KJ 4 T 9T 9T 6 T> (ljed z nužnog uvjeta tablnot al napomene početka zadatka da u ve vremenke kontante poztvne) R R R R R 4 T 9T 9T 6 7T 4 9T 7 T 4 T (z dovoljnog uvjeta tablnot) 9 4 Konačn uvjet tablnot: < T < 9 Izračun regulacjkog odtupanja (uz M =): T 9T 9T O 4 a wt a t W 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

200 E 4 W T 9T 9T a 4 O T 9T 9T 6 Trajno regulacjk odtupanje zno: e lm E lm 4 T 9T 9T a 4 T 9T 9T 6 Razmatran regulacjk krug u tanju je u potpunot uklont trajno regulacjko odtupanje u lučaju zadane odkočne funkcje zbog ntegracjkog člana u klopu regulatora tj prjenona funkcja otvorenog kruga ma atatzam prvog reda K e ) ( p Kp (5) rjenona funkcja regulatora gla R K TD K T jer je zadano da je vremenka kontanta regulatora jednaka a dervacjka vremenka kontanta rjenona funkcja kruga uz M ()= gla K 4 K K a prjenona funkcja otvorenog kruga ma formu K O Iz zračuna koj ljed može e zaključt da će krug bez greške ljedt zadanu pobudnu funkcju zbog dvotruke ntegracje koja prozlaz z dnamke regulacjke taze ( u nazvnku O S ): W b K E W K K 4 O e lm E lm b 4 K K K Međutm ovakav drektn zračun trajnog regulacjkog odtupanja a bez prethodnog određvanja tablnot kruga u ovom je lučaju rezultrao pogrešnm zaključkom o njegovoj točnot Iz analze tablnot prozlaz: KJ 4 K K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

201 K (ljed z nužnog uvjeta tablnot) R R 4 K R b K R R c K K b K K (prvo ogrančenje z dovoljnog uvjeta tablnot) c K K (drugo ogrančenje z dovoljnog uvjeta tablnot) Na temelju nužnog uvjeta tablnot prvog ogrančenja na K prozašlog z dovoljnog uvjeta tablnot prozlaz da je pojačanje ogrančeno u ntervalu <K < Uz takve vrjednot pojačanja nje moguće punt uvjet c > pa će regulacjk krug bt netablan neće moć pratt funkcju w(t)=bt rmjer pojave polova utava tj funkcje E() u denoj poluravnn -ravnne jano ukazuje na neprmjenjvot teorema konačne vrjednot (6) Ukolko povratna veza ma dnamku koju ne možemo zanemart kao što je to lučaj u ovom prmjeru te uz nepotojanje poremećaja (pogledajte prložen blok-djagram) regulacjko odtupanje računa e z zraza: E d p W d p W R S X M () Naveden je zraz dobven uvrštavanjem zraza R S d X W W W u zraz za regulacjko odtupanje R S M d p d d p E W X W W W d p d p 94 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

202 on je dentčan zrazu prkazanom u uvodu ovog potpoglavlja koj vrjed za regulacjke krugove bez poremećaja nezanemarvom dnamkom u povratnoj gran odjećamo da je d = R S prjenona funkcja drektne grane a p = M prjenona funkcja povratne grane Kao u lučaju kruga bez poremećaja jednčnom povratnom vezom u ovom e lučaju zraz za regulacjko odtupanje može vet u formu E W Uzevš u obzr prjenonu funkcju regulatora 5 mjernog člana S kruga: K regulacjke taze R M K TD ljed prjenona funkcja 5KK 5K 6K K Određvanje tablnot: KJ 5K 6K K 5K K 5 6K K K (nužan uvjet tablnot) l 5K K - 5 6K K K (nužan uvjet tablnot) U ovom je lučaj nužan uvjet tablnot moguće zadovoljt ukolko u v koefcjent karaktertčne jednadžbe već al manj od nule (v moraju bt tog predznaka razlčt od nule) Kako je ovdje rječ o utavu drugog reda (nužn je ujedno dovoljn uvjet tablnot) konačna ogrančenja na pojačanje regulatora u pogledu tablnot u K > K <- 5 Regulacjko odtupanje zno: E 5K K b pr čemu je 5 6 d p W d p K K K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 95

203 b wt bt W 5K K d RS a p M rmjenom teorema konačne vrjednot dobvamo: e lm E lm 5K K b 5 6 K K K Kako je dobven lme neodređenog oblka do konačnog rješenja dolazmo prmjenom L'Hoptalova pravla: e d B 5 lm d K K b lm b d N 5K K K d rema tome odzv će pratt funkcju bt al odtupanjem b rmjena koefcjenta brznke pogreške rezultrala b pogrešnm zaključkom jer dnamka povratne petlje nje zanemarva: 5 K K b b Kv lm O lm e K Ita b tuacja natala korštenjem koefcjenata pogrešk u ljedeća dva prmjera u kojma povratna veza također nje jednčna pa je njhova prmjena zotavljena v (7) Uz prjenonu funkcju taze člana M S T 4 K dobva e prjenona funkcja T KT 4K 5 7 K T 4K regulatora R K K T mjernog odnono karaktertčna jednadžba: KJ 5 7 K T 4K Iz nužnog uvjeta tablnot prozlaz: 7 7 T KT K 4K K 4 96 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

204 Dovoljn uvjet tablnot: R 7 KT R 5 4K R b R c 5 KT 4K 6 b KT 4K K 5 5T b 4K 5 c K K 4 4 b Iz dobvenh ogrančenja na K prozlaz da je gornja granca ntervala jano određena K Da b e odredla donja granca potrebno je uporedt dobvena ogrančenja z 4 oba uvjeta tablnot Kako uz T> (zadano u zadatku) mamo da u oba ogrančenja negatvna K 7 T K 6 5T donju će grancu ntervala vrjednot pojačanja K predtavljat onaj uvjet koj je već Njhovom uporedbom dobvamo: T 6 T 5T 4 T 4 T T 5T rema tome točnot utava razmatrat ćemo amo za nterval pojačanja za koj je utav tablan tj -6 < K < 5T + 4 Regulacjko odtupanje zno: E 5K T 7 4K a uz d p W d p KT K a wt a W K T 4 K T 4K 4 d R S p M rmjenom teorema konačne vrjednot dobvamo: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 97

205 e lm E lm a 5 K T 7 4K a 5 7 K T 4K 4K z čega prozlaz da zadan regulator (uzevš u obzr uvjete tablnot) ne može uklont trajno regulacjko odtupanje (8) U poljednjem prmjeru ovog zadatka zadana je prjenona funkcja regulacjke taze S rjenona funkcja kruga gla M regulatora K mjernog člana R KR 4 K K K K KJ R R M R M 4 K K K K R M R M Iz nužnog uvjeta tablnot dobvamo: 4 K K K K 4 R M R M KRKM KRKM Dovoljn uvjet tablnot: R R 4 K K R M K K R M R b R c 8 KRKM KRKM 5 b 5 4KRKM KRKM - 4 b K K c K K K K R M R M R M b Iz dobvenh ogrančenja u konačnc prozlaz: -5 < KRK M < 4 Regulacjko odtupanje uz wt a W a zno: M K K T a K E W W 4 d p R d p KRKM KRKM 98 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

206 rmjenom teorema konačne vrjednot dobvamo pogrešku kruga u utaljenom tanju: e lm E lm a K 4 K K K K K K R R M R R M R 4 K K K K R M R M KK R M K R KR e a a KK KK R M R M Zadatak 8 Odredte točnot utava zadanh ljedećm blok-djagramom () Regulator je opan proporconalnm članom nultog reda pojačanja prjenona funkcja regulacjke taze je određena zrazom S općoj form a wt Nazvna velčna određena je u a a poremećaj zt c ; () Regulator je opan D članom nultog reda pojačanja dervacjke vremenke kontante prjenona funkcja regulacjke taze je određena zrazom S Željena neželjena pobuda u: wt bt b zt c ; () Regulator je opan prjenonom funkcjom parametr utava u: S 5 R a a otal T I w t a z t c; (4) Regulator je opan proporconalnm članom nultog reda prjenona funkcja regulacjke taze je neželjena pobuda u: wt S a zt c a Željena Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 99

207 Rješenje: () Uzevš u obzr dobvamo: R te zadane prjenone funkcje preotala dva elementa utava X O RS Z W za X Z S za W Z Kako b mogl prmjent teorem konačne vrjednot u zračunu trajnog regulacjkog odtupanja obje prjenone funkcje moraju mat polove u ljevoj poluravnn komplekne -ravnne l u hodštu -ravnne (=) Što e tče prjenone funkcje otvorenog kruga O () oba će pola bt negatvna tj ležat će u ljevoj poluravnn jer je nazvnk opan polnomom drugog reda a vm koefcjentma razlčtm od nule tog predznaka S druge trane polov prjenone funkcje Z () =- =-5±866j ukazuju da u u ovom lučaju nužn dovoljn uvjet tablnot zadovoljen v a > R R R 5 R pa će prmjena teorema konačne vrjednot bt moguća Kako je u prmjeru zadan utav temeljen na otvorenom upravljačkom lancu regulacjko odtupanje moć će e zračunat amo na temelju zraza E=W-X jer otal prethodno zveden oblc vrjede amo za regulacjk krug (utav negatvnom povratnom vezom) rema tome u ovom lučaju mamo: E W X W W Z W Z R S R S S Uz a Z W c dobvamo a c E W Z e lm E lm a c a a Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

208 Možemo zaključt da trajno regulacjko odtupanje neće ovt o ntenztetu poremećaja (e vezan uz poremećaj "c" bt će jednak ) već će ono bt jednako nazvnoj velčn tj pojačanju "a" odkočne funkcje () rjenona funkcja regulatora gla: K ( T ) R D rovjera tablnot odnono prmjene teorema konačne vrjednot: X O RS za Z W 6 8 X Z S za W Z 6 8 KJ Kako obje prjenone funkcje maju t nazvnk atavljen od tr ponavljajuća korjena negatvnm realnm djelom utav je tablan tj teorem je prmjenjv pa ljed zračun regulacjkog odtupanja: E W X W Z b Uz W b Z R S S c dobvamo E W Z e lm E lm b c c 8 Na ovom e prmjeru pokazalo a općento možemo utvrdt da upravljačk utav bez povratne petlje neće bt u tanju ljedt a l bez greške nagbnu funkcju kao funkcje všeg reda On će bt jedno u tanju pratt kokovtu promjenu nazvne velčne to uz određenu grešku što je pokazao prethodn prmjer Dodatno nemogućnot uklanjanja trajnog regulacjkog odtupanja u ovom mo prmjeru mogl predvdjet analzom prjenonh funkcja članova utava gdje e prmjećuje potpun zotanak ntegracjkog djelovanja bez kojeg e ne može potć Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

209 točnot utava ogledajmo ada kako na točnot otvorenog kruga utječe uvođenje jednog takvog člana () U zadatku je zadano: R T (I član) I I S 5 X O RS za Z W T 5 X Z S W Z 5 za wt a a zt c Iz Z () ljed a z O () dobvamo 5 rema tome utav je zbog 5 regulatora tj ntegralnog člana na granc tablnot pa će teorem konačne vrjednot bt prmjenjv (jedan je korjen na ljevoj tran a drug u hodštu) al praćenje neće bt moguće E W X WRS ZS W Z T I 5 5 e lm E lm a c T I 5 5 c rmjena ntegracjkog člana u otvorenom krugu vremenom amo povećava grešku otpuno drugačj efekt e potže zatvaranjem kruga negatvnom povratnom vezom Taj je lučaj za ovaj prmjer utava obrađen u ljedećem zadatku (9/) (4) U ovom je prmjeru regulacjka taza netablna (-= =) pa ćemo uz K u obje prjenone funkcje mat korjene na denoj tran -ravnne: X K O RS za Z W X Z S W Z za Kako ovaj utav nje u tanju tablzrat regulacjku tazu neće moć nt pratt nazvnu velčnu ( e ) Eventualna prmjena teorema konačne vrjednot navela b na na pogrešan zaključak R Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

210 K E WRS ZS W Z K a c e lm E lm K a c K a c I za ovaj ćemo lučaj u ljedećem zadatku (9/) analzrat točnot utava nakon zatvaranja negatvne povratne veze (regulacjk krug) Ovdje ćemo još amo napomenut da b e vrlo lčna tuacja dela kada b e regulacjka taza opala tablnm članom uz poremećaj netablnm članom S a prjenona funkcja vezana uz nepromjenjenu dnamku regulatora Sada nam korjen O () ugerraju tablnot utava (dobl mo nov član pojačanja K ) X K O RS Z W al nam jedan korjen funkcje Z () lež u denoj poluravnn -ravnne X W Z Z S pa također možemo zaključt da je e Teorem konačne vrjednot ponovno daje pogrešan rezultat K E W RS ZS W Z K a c e lm E lm K a c K a c Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

211 Zadatak 9 Odredte točnot zadanh regulacjkh krugova poremećajma Sutav u određen prjenonm funkcjama članova čj u ndek prlagođen oznakama u blok-djagramu z uvoda ( S S ) () Regulator je opan prjenonom funkcjom 5 R a otal T parametr utava u: S S wt a z t c I M (blok-djagram je dentčan onom z zad 8/ uz dodatak jednčne negatvne povratne veze); () Regulator je opan proporconalnm članom nultog reda prjenona funkcja regulacjke taze je S M poremećaj u: wt S a otal članov u: obuda a z t c (blok-djagram je dentčan onom z zad 8/4 uz dodatak jednčne negatvne povratne veze); () Zadan u članov kruga: K S M R R S velčna poremećaj u defnran zrazma: (predznak je poztvan); Vodeća wt t z t c (4) Članov kruga u: K T M D R R S T S Željena neželjena 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

212 pobuda u: wt t z t c (predznak je negatvan) z t d (predznak je poztvan) Vremenke kontante članova u poztvne; (5) Zadano je: R S S M wt t (predznak je negatvan); (6) Zadano je: K K M M z t d z t c R R S S z t t 5 wt (predznac uz poremećaje u negatvn) 5 a Rješenja: () Za razlku od lučaja opanog u trećem prmjeru prethodnog zadatka ovdje je otvoren upravljačk lanac zatvoren negatvnom povratnom vezom u formu regulacjkog kruga rtom e krug atoj od ntegralnog člana S R regulacjke taze T mjernog člana zanemarve dnamke a pobuđen je w(t)=a z t c 5 Stoga mamo: I Z X W 5T T R S R S I I R S W X T Z T T I R R S 5 I I Do zraza za drugu prjenonu funkcju došl mo prebacvanjem točke zbrajanja preko regulacjkog člana uvođenjem W= Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

213 R Kako u korjen obje prjenone funkcje uz T > negatvn utav je tablan a teorem konačne vrjednot je prmjenjv U zračunu regulacjkog odtupanja kortt ćemo ada zraz: Z Z d p j j E W X W d p d p k j E W Z U našem lučaju mamo: S R S R S pr čemu mo ndek uz poremećaj (Z ) prlagodl oznac u blok-djagramu odnono tektu zadatka (u protvnom b pal Z jer j= k) Na t će e načn označavat poremećaj u otalm prmjerma ovog zadatka pazeć prtom da e analzranom poremećaju prdruž prpadajuća prjenona funkcja Zj E T I T I a T I I I I I 5 c 5T T 5T T e lm E lm 5T I T I a 5T I T I T I 5T I T I c Dok je u lučaju otvorenog upravljačkog lanca prmjena I regulatora vremenom povećavala grešku uvođenjem povratne petlje potgnuta je dnamka kruga u kojoj je naveden regulator upješno uklono trajno regulacjko odtupanje za zadanu funkcju pobude uz kontantn poremećaj (utav atatzmom prvog reda l jednotrukm ntegracjkm djelovanjem u tanju je uklont trajno regulacjko odtupanje u lučaju odkočne funkcje - pogledajte zadatak 6/a) To međutm nje uvjek lučaj pa ćemo toga kao dodatak ovom prmjeru promotrt još tuacju kad na krug tm regulatorom tazom poremećajem z djeluje dodatno kontantn poremećaj pred regulatora z (t)=b (pogledajte blok djagram) Dodatak 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

214 Uvođenjem još jednog poremećaja moramo analzrat korjene još jedne prjenone funkcje to za lučaj w=z = a z Imamo: W Z X Z 5T T R S R S I I Ova je funkcja dentčna prethodno dobvenoj za z = w pa uz te zaključke o korjenma možemo preć na zračun trajnog regulacjkog odtupanja: Z k Z E W W Z Z E j j d p j R S S d p d p R S R S R S T I T I T I I I I I I I 5 a b c 5T T 5T T 5T T e lm E lm 5T I T I a 5T I T I b 5T I T I b T I 5T I T I c b Očto da u lučaju djelovanja kontantnog poremećaja pred regulatora I regulator neće bt u tanju uklont trajno regulacjko odtupanje Ono će po apolutnom znou bt upravo jednako znou navedenog poremećaja e z b () U ovom je prmjeru zbog netablne regulacjke taze otvoren krug z prethodnog zadatka (prmjer 4) bo netablan za blo koje pojačanje zadanog regulatora ( K R R ) Zatvaranjem negatvne povratne petlje (pogledajte prv blok-djagram z prethodnog prmjera ovog zadatka) uz zadane dnamke članova kruga dobvamo: Z X R S K W K R R S R R S W X Z K R R S R Kako obje prjenone funkcje ponovno maju zajednčk nazvnk ljed da će zadan regulator uz djelovanje negatvne povratne petlje upjet tablzrat tazu pr čemu će njegova pojačanja morat bt K R > Za takva će pojačanja vrjedt: Z k Z d p j j j S E W W Z d p d p R S R S Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

215 E a c K K R R e lm E lm a c c a KR K R KR a c KR K R Možemo zaključt da će nam zadan regulacjk krug moć pratt nazvnu velčnu uz određenu grešku koju možemo manjt povećanjem pojačanja regulatora l čak potpuno elmnrat al amo u lučaju kada poremećaj bude jednak nazvnoj velčn (c=a) () Na temelju zadanh elemenata utava ( K ulaz kruga ( M wt t z t c R R S S ) vodeće velčne poremećaja koj djeluje na - predznak uz poremećaj je poztvan) te blok djagrama dobvamo: Z X R S S R W RSS KR K W X K Z K K R S S R 4 R S S 4 5 R R Iz karaktertčnh polnoma navedenh prjenonh funkcja prmjenom nužnog dovoljnog uvjeta tablnot prozlaz KR 6 Za odabrano pojačanje z ovog ntervala vrjed: Z k Z d p j j j RSS E W W Z d p d p R S S R S S 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

216 E K c K K K R 4 R 4 5 R R e lm E() lm KR c 4 KR 4 5 KR KR c KR e c K R Iz konačnog rješenja prozlaz zaključak da će regulacjk krug moć pratt vodeću velčnu bez greške amo uz uvjet c (4) K arametr kojma je određen utav vodeća velčna poremećaj u: R R K T wt S T S (predznak je negatvan) z t c prkazanog blok-djagrama dobvamo: M D R t z t d (predznak je poztvan) Na temelju Z Z X R S R W RSM T KRTD KR K W Z X R S Z R RSM T KRTD KR W Z X R S T Z RS RSM T KRTD KR Uz zadane poztvne vremenke kontante uz čnjencu da u va tr polnoma nazvnka analzranh prjenonh funkcja drugog reda ljed da je potencjalna točnot utava moguća amo uz K RTTD Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

217 k Z Z j j d p j R S M S E W W Z E d p d p R S M R S M R S M Z R D R D R R D R R D R T K T c T d T K T K T K T K T K T K e lm T KRTD c T d T KRTD KR T KRTD KR T K RTD KR T c D KR e c T D KR Slčno kao u prethodnom prmjeru u ovom je lučaju moguće potć točan odzv al amo ukolko e uklade nek parametr kruga (K R T D ) poremećajem z tj u lučaju c TD K Utjecaj kontantnog poremećaja z =d regulacjk krug upješno otklanja R (5) U ovom je prmjeru zadano: R wt t 5 S S M z t t (predznak je negatvan) rozlaz nadalje da je: Z X R S S W RSS R S S W X Z R R S S Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

218 Korjen oba polnoma nazvnka leže u ljevoj poluravnn komplekne ravnne ( =-; = =-5±8j) što e može zaključt z nužnh dovoljnh uvjeta tablnot pa je trajno regulacjko odtupanje kruga jednako: Z k Z d p j j j SS E W W Z d p d p R S S R S S E 5 e lm 5 5 Analzran regulacjk krug D regulatorom tazom atavljenom od erjk vezanh I članova (taza atatzmom prvog reda) za zadanu vodeću velčnu poremećaj ne može otvart praćenje željene pobude Ukolko b e red funkcje poremećaja manjo za jedan (kontantn poremećaj) tada b praćenje blo moguće uz neko taconarno odtupanje Dodatno manjenje reda polnoma funkcje pobude za jedan (kontantna odkočna pobuda) ne b doprnjelo uklanjanju trajnog regulacjkog odtupanja jer u ovako konfgurranom utavu zadan regulator ne može u potpunot elmnrat negatvan utjecaj poremećaja na točnot (6) U poljednjem prmjeru ovog zadatka mamo: K M M predznac uz poremećaje u negatvn R K R S S wt a z t c 5 z t d a Zbog ukupno tr pobude na utav (nazvna velčna dva poremećaja) mamo tr prjenone funkcje: Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

219 Z Z W Z X R S S R W RSSM 7 5 KRKM X K R S S Z R RSSM 7 5 KRKM W Z X R S S Z RS RSSM 7 5 KRKM Iz nužnh dovoljnh uvjeta tablnot prozlaz da analza točnot ma mla uz 5 KK 7 R M k Z Z j j d p j R SS M SS E W W Z E d p d p R S S M R S S M S R S S M Z 7 R 5 R M R 7 5 KRK M 7 5 KRKM K K K K a c d e e 7 KR 5 KRKM KR a c d lm 7 5 KRKM 7 5 KRKM K R cd a 5 KRK 5K M RKM a c d K a 5 KK R R M Iz dobvenog e rješenja može zaključt da će zadan krug moć pratt nazvnu velčnu al realno uvjek uz određenu grešku raćenje bez greške bt će moguće jedno u lučajevma kada u v parametr kruga doveden u međuobn odno defnran zrazom a K c d 5 K K R R M te uz 5 KK R M 7 (uvjet tablnot) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

220 7 Frekvencjjko područjje Za razlku od nza tandardnh prethodno pomenuth funkcja pobude (mpulna odkočna nagbna parabolčna) koje e korte u analz/ntez utava u vremenkom kompleknom području te u protoru tanja metode z frekvencjkog područja podrazumjevaju prmjenu nune pobudne funkcje rtom će zaključc o dnamc lnearnh utava potavljen u frekvencjkom području vrjedt u vremenkom području rednot analze nteze utava u frekvencjkom području u všetruke - metode u grafčkog tpa nu lmtrane na utave nžeg reda prmjena harmončke pobude četo vše odgovara tvarnoj dnamc utava kvaltetnje je određvanje ojetljvot utava na šum utjecaja varjacja parametara utava na odzv određvanje tablnot zatvorenog regulacjkog kruga provod e na temelju dnamke otvorenog kruga druge Jedna od značajnjh prednot je mogućnot analze utava u lučajevma pobude a loženm funkcjama koje je teško l nemoguće tranformrat u komplekno područje Name blo koja funkcja l gnal pobude e prmjenom Fourerove tranformacje može predočt kontnuranm frekvencjkm pektrom tj nzom nunh funkcja razlčth frekvencja ampltuda faza Upravo je takav oblk gnala pogodan za daljnju analzu utava u frekvencjkom području Suma dobvenh nuodalnh funkcja bt će jednaka orgnalnoj l tranformranoj funkcj Iako raprava o Fourerovoj tranformacj prelaz adržaj ove zbrke amo ćemo ukratko navet da e ona zanva na multplcranju funkcje l gnala x(t) ekponencjalnom funkcjom komplekne varjable koja e (otprje je poznato) prmjenom Eulerove tranformacje može prkazat preko funkcja nu konu: j j e t t d e co jn X x t t t t Ako e u gnalu x(t) nalaz pektralna komponenta (nuoda) na frekvencj vrjednot ntegrala bt će proporconalna ampltud te komponente U lučaju da komponenta na frekvencj u gnalu x(t) ne potoj ntegral će bt jednak nul Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

221 Analza dnamke lnearnog utava pobuđenog nunom funkcjom kružne frekvencje () ampltude (X u ) x X t u u n zanva e na uporedb parametrma nuode zlaznog gnala ampltude (X ) faznog pomaka () x X t x X n t x u u X n t n rtom nam je od nterea utanovt omjer ampltuda (pojačanje utava) zno faznog pomaka (kašnjenje zlaznog gnala za ulaznm kašnjenje utava) reotal parametar - kružna frekvencja kod lnearnh utava otaje nepromjenjen Do omjera ampltuda faznog pomaka dolazmo preko prjenone funkcje utava: xu Xunt L Xu Xu (Tablca ) co n x Xnt L X X (Tablca ) u co X X n X X u Na temelju prjenone funkcje formrat ćemo nunu prjenonu funkcju (j) l j : frekvencjku karaktertku utava uzevš u obzr da vrjed j X j X j n co X X j j jn co e Xu j Xu X u Xu j e co jn Iz navedenog prozlaz da nuna prjenona funkcja predtavlja oblk prjenone funkcje pomoću koje e opuju neprgušene oclacje natale uljed nune funkcje pobude ( j j jer je realn do l prgušenje σ=) Drugm rječma ona predtavlja odzv utava u taconarnom tanju uz nunu pobudu Iz nje ljede tražen parametr: X j j e j e X j u gdje modul funkcje ( (j) ) predtavlja omjer ampltuda zlaznog ulaznog gnala l pojačanje utava a argument funkcje () kašnjenje l fazn pomak zlaznog gnala za uz 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

222 ulaznm Modul od (j) još e nazva ampltudno-frekvencjka karaktertka (AFK) a fazn pomak fazno-frekvencjka karaktertka (FFK) U lučaju kad je nuna prjenona funkcja zapana u oblku ume njezna realnog magnarnog djela: j j j j Re Im modul argument od (j) mogu e zračunat prema zrazma j Re j Im j Im arctg Re j j Ako je funkcja (j) zapana u form kojom realn magnarn do funkcje nu jano naznačen već e zapuju poebno za brojnk a poebno za nazvnk j B jim j j jim j Re j Re N tada e do traženh parametara dolaz pomoću zraza: j Re j Im j B Re j Im j N B N Im j Im j B N arctg arctg Re j Re j B B N Navedene je parametre ada potrebno odredt za nz frekvencja ulaznog/zlaznog gnala (od do ) te h zatm za cjel frekvencjk rapon grafčk prkazat Na temelju tako dobvenh grafčkh prkaza provod e zatm analza nteza utava U okvru ovog poglavlja odabrane u dvje najčešće grafčke metode z frekvencjkog područja Nyqutov Bodeov djagram te će one bt detaljnje zložene u zadacma koj ljede Ovom potpoglavlju prdružena je Tablca 6 z rloga u kojoj u zložen Nyqutov Bodeov djagram odabranh onovnh dnamčkh članova njhovh pojeva zvedenh u paralelnoj form N Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

223 7 Nyquttov Bodeov djjagram Zadatak 4 Rješte ljedeće prmjere () Nacrtajte Nyqutov djagram utava opanog prjenonom funkcjom 5 5 ; () Nacrtajte Nyqutov djagram utava opanog prjenonom funkcjom ; () Nacrtajte Nyqutov djagram zatvorenog regulacjkog kruga čj u članov opan ljedećm Nyqutovm djagramma 5 = T I (4) Nacrtajte Nyqutov djagram otvorenog regulacjkog kruga čj u članov opan ljedećm Nyqutovm djagramma = =- 4 =5 T (5) Regulacjk krug e atoj od I regulatora ( regulacjke taze S I R K ) mjernog člana zanemarve dnamke ojačanje ampltude zlaznog gnala otvorenog regulacjkog kruga kod frekvencje = rad/ zno 4 Kolko zno pojačanje kruga (regulatora)? Nacrtajte Nyqutov djagram zatvorenog regulacjkog kruga 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

224 Nyqutov djagram podrazumjeva prkaz parametara nune prjenone funkcje (AFK FFK) u kompleknoj (auovoj) ravnn rtom vaka točka djagrama prpada jednoj vrjednot frekvencje ulaznog/zlaznog gnala a pozcja te točke u ravnn određena je parametrma AFK FFK koj prpadaju toj frekvencj Stoga je prje amog crtanja potrebno za nekolko odabranh vrjednot frekvencja ulaznog/zlaznog gnala odredt parametre funkcje (j) zatm aprokmatvno nacrtat krvulju koja opuje odzv utava za ve frekvencje od do rtom e djagram može crtat na temelju znoa parametara AFK FFK (polarne koordnate) l korštenjem znoa realnog ( Re j magnarnog ( Im j ) ) djela nune prjenone funkcje (Kartezjeve koordnate) Ovdje će e u vakom zadatku Nyqutovm djagramom zračunat tablčno prkazat v parametr za odabrane frekvencje al je općento dovoljno odabrat jedan prtup jer oba vode k tom oblku krvulje Rješenja: () Iz prjenone funkcje 5 5 ljed nuna prjenona funkcja j j j j 5j 5 5 5j Uzevš u obzr da u dobvenom zrazu za funkcju (j) nemamo jano naznačen realn magnarn do do AFK FFK ćemo doć prmjenom zraza j AFK Im j Im j B N arctg arctg Re j Re j 5 B N arctg arctg FFK 5 B rje zračuna AFK FFK za razlčte odabrane frekvencje odredt ćemo još realn magnarn do (j) te njh unjet u tablcu U tu ćemo vrhu raconalzrat nazvnk (j) kako bmo e rješl magnarnog djela u nazvnku j 5 5j j j j 5 5j Rej Imj N U lučaju da je nuna prjenona funkcja bla zadana u gornjem oblku do AFK FFK mogl mo doć prmjenom zraza Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

225 j Re j Im j j odnono 4 5 Im j arctg arctg arctg Re j Uzevš u obzr da vrjed relacja x y x y arctg arctg arctg prozlaz da je xy arctg arctg arctg B N arctg rema tome u jednom u drugom lučaju dolazmo do th zraza za frekvencjke karaktertke AFK FFK što je logčno obzrom na čnjencu da t parametr prozlaze z te nune prjenone funkcje utava Nakon potavljanja vh potrebnh zraza a prje crtanje djagrama ada možemo odredt našu tablcu U odabru frekvencja za koje ćemo računat parametre funkcje (j) polazmo od uvrježenog pravla da e za prvu zadnju vrjednot uzmaju = rad/ = rad/ a uz njh još prozvoljn broj prozvoljno odabranh vrjednot potrebnh za pravno kcranje Nyqutovog djagrama U ovom je lučaju odabrano pet frekvencja =[ ] rad/ rad/ j Re j 8 4 Im j - -4 Fazn pomak l fazno-frekvencjka karaktertka može bt zražena u tupnjevma l radjanma Uvrštavanjem zadanh vrjednot kružnh frekvencja u prethodno potavljene zraze za FFK dobva e zno faznog pomaka u radjanma jer u kružne frekvencje defnrane u rad/ 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

226 Kako je u zadacma koj ljede odabran grafčk prkaz FFK u tupnjevma dobven u 8 kutov prje uvrštavanja u tablcu preračunat u tupnjeve rad Na prmjeru odabrane dvje točke djagrama koje prpadaju frekvencjama = rad/ = rad/ pokazuje e crtanje djagrama preko polarnh koordnata dok u za preotale tr točke naznačene amo vrjednot prpadajućh frekvencja frekvencjkh karaktertka Im Re Udaljenot od hodšta do točke na krvulj koja prpada razmatranoj frekvencj predtavlja modul nune prjenone funkcje l ampltudno-frekvencjku karaktertku Kut koj poztvnm djelom realne o (Re Im=) zatvara pravac koj paja razmatranu točku hodštem predtavlja argument nune prjenone funkcje l fazno-frekvencjku karaktertku U lučaju poztvnh vrjednot FFK (zlazn gnal prethod ulaznom) otklon pravca obzrom na poztvn do realne o uprotan je mjeru kretanja kazaljke na atu a za negatvne vrjednot (zlazn gnal kan za ulaznm) pravac je zakrenut u mjeru kazaljke ata U lučaju crtanja Nyqutovog djagrama korštenjem polarnh koordnata potrebno je još poznavat kvadrant u kojem e nalaz analzrana točka djagrama jer FFK nje jednoznačno određena vojom arku tangen funkcjom Ukolko e točka nalaz u I l II kvadrantu zračunat fazn kut bt će jednak tvarnom kutu Međutm ukolko je točka u III l IV kvadrantu tada e do tvarnog kuta dolaz oduzmanjem zračunatog kuta a 8 ( ) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

227 U tom će lučaju funkcja arctg bt ta za oba kuta al će amo onaj korgran rezultrat točnm zgledom krvulje Odluka o tome u kojem će e kvadrantu nalazt razmatrana točka djagrama ovt će o trendu krvulje odnono pozcjama otalh točaka (vd ljedeć prmjer) l znoma realnh magnarnh vrjednot funkcje (j) U tom mo mlu do prethodno prkazanog Nyqutovog djagrama mogl doć korštenjem znoa Re j Im j za odabrane frekvencje tj Kartezjevh koordnata koje omogućuju nešto jednotavnj prtup crtanju djagrama Ovaj prtup će e kortt u preotalm zadacma u natavku koj uključuju crtanje Nyqutovog djagrama S tm u vez ljed jedna btna opaka U većn prkazanh djagrama u natavku zbrke mjerla na realnoj magnarnoj o nu ta to u clju što janjeg prkaza krvulja njhovh parametara Stoga čtateljma koj e odluče na crtanje Nyqutovh djagrama preko polarnh koordnata tj prmjenom AFK FFK avjetujemo prmjenu tog mjerla na obje o komplekne ravnne kako b e olakšao potupak crtanja dobo što precznj oblk krvulje pogodan za daljnju analzu utava Im Re= Im= = Re= Im= = Re=8 Im= = Re= Im=-4 = Re=4 Im=- = - 4 Re Iz dobvenog e djagrama zadanog utava može zaključt da će zlazn gnal kod nžh frekvencja (do prblžno rad/) prethodt ulaznom (utjecaj D djelovanja u utavu) a nakon toga će poratom frekvencja počet ve vše kant za ulaznm (prevladavajuć utjecaj proporconalnog djelovanja u utavu) Makmalno kašnjenje znot će 9 S druge trane ampltuda zlaznog gnala također će rat poratom frekvencja ve do neke frekvencje << rad/ znad koje utav počnje prgušvat ulazn gnal Ovdje e ada mogu uočt dva nedotatka Nyqutove metode Iz dobvenog djagrama e jano uočava da je vše od pola krvulje vezano za frekvencje rad/ što ukazuje na nepreglednot djagrama kod vokh frekvencja Om toga ukolko bmo do krvulje željel doć na temelju Nyqutovh djagrama onovnh članova /l njhovh zvedenca Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

228 onda b moral provet grafčko množenje U konkretnom lučaju zadan b utav mogl predočt erjkm pojem D člana te b grafčkm množenjem Nyqutova djagrama oba člana (pogledajte Tablcu 6) dobl djagram zadanog utava Jednotavnj potupak podrazumjeva prmjenu grafčkog zbrajanja krvulja onovnh članova na temelju kojeg zatm dobvamo AFK FFK loženog utava Upravo je taj prtup koršten kod Bodeovh djagrama (pogledajte zadatak 4) () Zadana je prjenona funkcja utava Iz nje prozlaz nuna prjenona funkcja te AFK FFK: j j j Re j Im j j l 4 j AFK B N arctg arctg arctg arctg arctg FFK l Odabrom nekolko vrjednot frekvencja određujemo znoe parametara (j) koje upujemo u tablcu Ovdje ada pažnju moramo krenut na zračun FFK Name z prjenone funkcje utava prozlaz da e on može potovjett a erjk pojena tr člana (Tablca 6) - dva I člana (=-9 ) jednm D članom ( 9 ): Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

229 Kako za = rad/ mamo I I D prozlaz da će e početna točka djagrama nalazt na granc III IV kvadranta: arctg 8 8 S druge trane za = rad/ mamo I I D pa e može zaključt da će e preotale točke djagrama u ovom lučaju nalazt u trećem kvadrantu te će za njh zračunata vrjednot FFK morat bt korgrana Realne magnarne vrjednot od (j) to potvrđuju rad/ j Re j Im j Na temelju vrjednot z tablce crtamo djagram Točke djagrama u grafčkom prkazu u rad preglednot opane amo realnom magnarnom vrjednot (j) te prpadajućom frekvencjom dok u zno AFK FFK dan amo u tablc - -4 Re=- Im=- = rad/ Re= Im= = rad/ Im Re=- Im=- = rad/ = rad/ Re=-5 Im=-5 = rad/ - -5 Re I u ovom prmjeru poratom frekvencja dolaz do manjenja ampltude zlaznog gnala (prgušenja) u odnou na ulazn gnal te kašnjenja koje e poratom frekvencja manjuje uljed dervacjkog djelovanja u utavu Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

230 () Uzevš u obzr zadane Nyqutove djagrame pojednh članova regulacjkog kruga mamo (Tablca 6): K T T S n rad/ n za 9 T ( član K = K ( član K =) R T j K 5 za n) T K T (I član M I T I j K za ) T I Snuna prjenona funkcja kruga gla: j j R S j R S M Frekvencjke karaktertke: j AFK B N arctg arctg 9 arctg FFK Realn magnarn do (j): j j j j j j Rej Imj Iz dobvenh zraza prozlaz da će AFK odnono Re j j Im za = rad/ težt u bekonačnot dok će za = rad/ bt jednak Stoga ćemo prozvoljno odabrat ljedeće frekvencje = [ 7 ] rad/ Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

231 rad/ 7 j Re j Im j - - Iz tablce e može prmjett da će e Nyqutov djagram atojat od dva djela od kojh će prv z nule težt u da b daljnjm poratom frekvencja drug do djagrama z - završo u rjenonu funkcju regulacjkog kruga čja e drektna grana atoj od erjk pojenh članova a u povratnoj je gran I član mogl b predočt kombnacjom erjk pojenog D člana Uljed djelovanja D člana (=9 ) utav će kod nkh frekvencja ( rad/) mat poztvnu FFK tj zlazn će gnal prethodt ulaznom jer će kašnjenje zbog djelovanja člana kod th frekvencja bt malo oratom frekvencja taj će e trend promjent jačanjem djelovanja člana (-7 ) Stoga će već kod frekvencje = rad/ u zračunu FFK bt potrebno prmjent korekcju tj oduzmanje zračunatog kuta od 8 Ovo je jedna od onh tuacja u kojoj nje jednotavno procjent potrebu za korekcjom faznog kuta pa je zračun realnh magnarnh vrjednot (j) od velke pomoć (za = rad/ oba u parametra negatvna III kvadrant) Stoga je njhova prmjena u crtanju Nyqutovog djagrama četa Im Re=-7 Im=- = rad/ Re=- Im=- = rad/ Re= Im= = rad/ = rad/ = rad/ =+ rad/ () -5 5 Re Re=4 Im= =7 rad/ 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

232 (4) Iz Nyqutovh djagrama članova regulacjkog kruga prozlaz (Tablca 6): S K T ( član K = L rad / 45 L za K za L ) j T R M K 5 T I (I član S T I j K 5 za ) T I Snuna prjenona funkcja otvorenog kruga gla: O RSM O j j Frekvencjke karaktertke: j AFK O 6 4 B N arctg arctg arctg FFK 5 Realn magnarn do O (j): j 5 j j j O j j Rej Imj Kako e razmatran otvoren krug atoj od erjk pojena člana (-9 ) jednog I člana (=-9 ) očto je da će odzv takvog kruga kant za pobudom kod vh frekvencja Kod = rad/ mat ćemo = =-9 dok za = rad/ mamo makmalno kašnjenje od =-9 +(-9 )+(-9 )=-7 rema tome djagram će bt pozconran na ljevoj tran komplekne ravnne u III IV kvadrantu što mplcra potrebu za korekcjom zračunath vrjednot FFK Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

233 rad/ 5 O j Re j Im j Om kašnjenja karaktertka proporconalnh ntegralnh članova je prgušenje odzva poratom frekvencja ulaznog/zlaznog gnala (zuzev člana koj nema kašnjenja a uz K > pojačava ulazn gnal) Obje e karaktertke mogu vdjet u prkazu Nyqutova djagrama našeg otvorenog kruga Im Re=-5 Im= = rad/ Re=-4 Im= = rad/ Re= Im= = rad/ (5) U ovom je prmjeru zadano: O R K S M j 4 za rad/ (pojačanje ampltude zlaznog gnala otvorenog regulacjkog kruga) Re=-64 Im=-48 =5 rad/ = rad/ Re Do pojačanja kruga (regulatora) ćemo doć preko nune prjenone funkcje otvorenog kruga: K K O RSM Oj j O j K K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

234 odnono uz j 4 za rad/ konačno dobvamo O K K Sada otaje još da nacrtamo djagram zatvorenog regulacjkog kruga 4 4 R S j R S M 4 4 j Frekvencjke karaktertke: 4 4 j AFK B N arctg arctg arctg FFK Realn magnarn do (j): j 4 4 j 4 j 4 j 8 6 j Rej Imj Iz prjenone funkcje zatvorenog kruga prozlaz da je ovdje rječ o članu čj je Nyqutov djagram zajedno naznačenm onovnm parametrma prkazan u Tablc 6 Korštenjem navedene tablce te uz zap prjenone funkcje u form (Tablca 5) K K 4 4 T T 4 4 n možemo zaključt da je n K = n 4 47rad/ n za 9 a T j T K T 98 za n 4 što potvrđuju zno AFK FFK za = rad/ rad/ prkazan u ljedećoj tablc Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

235 rad/ 5 j Re j 56 - Im j Re= Im= = rad/ Re= Im= = rad/ Im - - Re=- Im=-85 =5 rad/ Re=56 Im=-64 = rad/ Dobven Nyqutov djagram ukazuje na opće vojtvo članova u mlu kontantnog porata FFK poratom frekvencja nune pobude Kako rate brzna oclacja nuodne pobude odzv utava ve vše kan za pobudom a što je vezano uz proce zmjene energje zmeđu dva premnka energje od kojh e utav atoj ojačanje utava (omjer ampltuda l AFK) također e poratom frekvencja u pravlu manjuje (prgušenje) Iznmke u jedno moguće kod labo prgušenh članova kod kojh u okoln neprgušene vlatte frekvencje n utava dolaz do određenog povećanje ampltude zlaznog gnala l tzv rezonantnog zdzanja Upravo je u ovom prmjeru rječ o jednom takvom članu za kojeg z gornjh zraza prozlaz 68 Stoga nam AFK u početku rate da b nakon n odnono precznje nakon rezonantne frekvencje ) započeo pad njeznh vrjednot u nulu r n 4 4rad/ - Re= Im=-98 = rad/ Re 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

236 Zadatak 4 Nacrtajte Bodeove djagrame za utave opane ljedećm prjenonm funkcjama: () ; () () (4) ; 5 ; 6 e 7 (5) 4 ; Bodeov djagram predtavljaju drugu metodu analze/nteze utava u frekvencjkom području koja će e u natavku detaljnje zložt I ona prkazuje parametre nune prjenone funkcje (AFK FFK) za ve frekvencje ulaznog/zlaznog gnala (od do ) al u form dva odvojena djagrama koj e rad uporedbe crtaju jedan pod drugoga U gornjem e djagramu prkazuje AFK=f() a u donjem FFK=f() rtom e AFK zražava u decbelma tj pomoću logartamkog omjera ampltuda - j db log j dok zap FFK otaje nepromjenjen rmjenom logartamkog omjera ampltuda kala frekvencja oba djagrama potaje logartamka Kako je logartam umnoška jednak zbroju logartama pojednh faktora do AFK FFK nune prjenone funkcje utava možemo doć ratavljanjem utava na nz erjk pojenh članova čje e AFK FFK krvulje zatm jednotavno grafčk zbroje Za erjk poj vrjed: n j j j j n n j j j j j e j e j e j e log j log log log n j n loge AFK log j FFK Stoga ćemo u prmjerma koj ljede zadane utave najprje ratavt na erjk pojene onovne članove prkazane u Tablc 6 za vak član zatm nacrtat prpadajuću AFK FFK te h na kraju ve zajedno grafčk zbrojt u clju dobvanja AFK FFK razmatranog utava Rješenja: () Zadan utav dentčan je utavu z prmjera prethodnog zadatka pa ćemo na ovom prmjeru pokazat kako zgleda grafčk prkaz AFK FFK tog utava u Bodeovm Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

237 djagramma Kao što je to već prkazano u prethodnom zadatku prjenona funkcja utava može e zapat u form erjkog poja 4 člana ( D I ) D I I rtom je pojačanje utava () zapano u form poebnog člana ( ) kako b pojačanja otalh članova bla jednaka tme e mogla drektno uporedt članovma prkazanma u Tablc 6 Za potavljene članove utava vrjede ljedeć karaktertčn parametr potrebn za crtanje AFK FFK u Bodeovm djagramma: član: j K ; j ; j db log db; član: D j K TDj j ; TD ; L rad/; 9 T 4 član: I j K ; T ; rad/; 9 T I L TIj j Na temelju ovh parametara Tablce 6 ljede Bodeov djagram AFK FFK (j) (db) AFK 8-4 db/dek db/dek (rad/) I D ( o ) (rad/) Kako u AFK pojednh članova u Tablc 6 prkazane aprokmatvno u amptotkoj form (što je čet lučaj prkaza Bodeovog djagrama AFK zbog jednotavnjeg grafčkog zbrajanja krvulja) u ovom prmjeru kao u prmjerma koj ljede ukupna AFK l AFK utava bt će također prkazana u amptotkoj form FFK Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

238 Do AFK FFK zadanog utava dolaz e zbrajanjem AFK FFK vh članova pr čemu treba uzet u obzr potojanje dva I člana u ovom lučaju Zaključc koj e mogu zvet z dobvenh karaktertka dentčn u onma zvedenm na temelju Nyqutovog djagrama amo što e u ovom lučaju mogu janje vdjet utjecaj pojednh članova na odzv utava Sutav kod malh frekvencja ma najveće kašnjenje (I članov doprnoe vak a po =-9 dok nema utjecaja na kašnjenje a prethođenje D člana potepeno rate 9 poratom frekvencja) U konačnc FFK utava će e amptotk prblžt vrjednot =-9 uzevš u obzr da e kod vokh frekvencja utjecaj jednog I člana na kašnjenje utava ponštava djelovanjem D člana pr čemu preotaje još amo utjecaj drugog I člana Dakle dervacjko djelovanje D člana očto je utjecalo na manjenje kašnjenja utava AFK će do frekvencje = rad/ padat za -4 db/dek da b e nakon te frekvencja pad ublažo na - db/dek ( dekada predtavlja omjer frekvencja :) Ovakvo ponašanje utava ponovno je poljedca dervacjkog djelovanja D člana jer je L rad/ TD ujedno njegova lomna frekvencja (Tablca 6) tj frekvencja nakon koje počnje značajnje jačat utjecaj dervacjkog člana u D članu odnono utavu Negatvna vrjednot AFK u logartamkom mjerlu ukazuje na prgušeno djelovanje utava jer vrjed: X j db log j uz j X Xu X Stoga prozlaz da će za frekvencje < rad/ analzran utav pojačavat ulazn gnal (zlazn gnal će mat veću ampltudu od ulaznog - (j) db>) tm da će poratom frekvencja pojačanje utava labt (pad AFK za -4 db/dek) Za frekvencje > rad/ utav će prgušvat gnal pobude ( (j) db<) a ntenztet prgušenja će rat poratom frekvencja (negatvn trend AFK od - db/dek) Kad b e za navedenu frekvencju uporedl parametr z Nyqutovog Bodeovh djagrama (vd zad 4/) dobl b: u rad/ 5 j 4 4 j db db (Nyqut) rad/ 5 j db db (Bode) Razlka u zračunu AFK od prblžno db natala je uljed amptotkog prkaza AFK dok b tvarn prkaz AFK dao dentčan rezultat ( db) kod obje metode Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

239 (j) (db) Amptotk prkaz AFK Stvarn prkaz AFK db () Sutav zadan u ovom prmjeru možemo ratavt na ljedeće članove: D I pr čemu mo pojačanje utava ponovno zapal u form poebnog ( ) člana arametr članova koj čne naš utav u ljedeć: član: j K ; j ; j db log db; član: D j K TDj j ; TD ; L rad/; 9 T D član: I j K ; T ; rad/; 9 T I L TIj j (rad/) 4 član: j K ; ; L rad/; 9 j T T j T Na temelju potavljenh parametara Tablce 6 ljede Bodeov djagram I Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

240 (j) (db) 8 6 AFK - db/dek 4 - db/dek (rad/) ( o ) (rad/) AFK člana ( 4 ) označena je u drugoj boj zbog boljeg kontrata buduć da e djelom preklapa karaktertkama D I članova Frekvencjke karaktertke ovog utava pokazuju domnantn utjecaj I člana ( -db/dek =-9 ) koj je djelom ublažen u području - << rad/ to pod utjecajem D člana oratom frekvencja znad rad/ njegov utjecaj na ukupn odzv utava potupno e manjuje uljed jačanja utjecaja člana Iz Tablce 6 može e uočt da e frekvencjke karaktertke D člana th vremenkh kontant pojačanja razlkuju jedno u predznacma čme jedan ponštava djelovanje drugog () Zadan utav ratavt ćemo na pet članova prkazanh u Tablc 6 za koje ćemo zatm odredt parametre nacrtat njhove frekvencjke karaktertke FFK D član: j ; j ; j db log db; član: D j j ; D ; L 5 rad/; 9 5 T 5 T član: j ; T ; L rad/; 9 j T 4 član: j ; T ; L rad/; 9 j T D Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

241 5 član: j ; T 5; L rad/; 9 5j T (j) (db) - - db/dek - db/dek 4 5 AFK -4 db/dek - (rad/) ( o ) FFK - (rad/) FFK trećeg člana ( ) označena je drugom bojom zbog labje uočljvot uljed djelomčnog preklapanja FFK utava Čtatelju e otavlja da am proanalzra utjecaj pojedne komponente na dnamku utava (4) rjenonu funkcju utava možemo zapat u form: Iz zapa prozlaz da mo dnamku utava potovjetl a erjkm pojem ljedeća četr člana: član: D j KTDj K ; T D ; L rad/; 9 T član: D j j ; D ; L 5 rad/; 9 5 T 5 T član: j ; T ; L 5 rad/; 9 j T D D 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

242 4 član: j ; T ; L rad/; 9 j T Ovaj mo zap mogl još prošrt ratavljanjem prvog člana na erjk poj člana pojačanja D člana pojačanja K D =K T D = što predtavlja ekvvalent odabranom D članu vremenke kontante dervacje T D = (j) (db) - - db/dek db/dek 4 AFK - - (rad/) 9 45 ( o ) FFK (rad/) I u ovom u lučaju rad janjeg prkaza AFK djagrama karaktertke nekh komponent označene drugom bojom ( ) (5) Om dnamčkh članova korštenh u prethodnm prmjerma zadana prjenona funkcja utava u ovom prmjeru dodatno obuhvaća dnamku člana mrtvm vremenom l tranportnm kašnjenjem (e -4 ) Za taj član vrjed: T T e j e j e j T m m j j m Sada možemo ratavt prjenonu funkcju utava pat parametre njeznh komponent e e e e 6 Tm D 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

243 član: j 5; j 5; j db log5 98 db; član: D j j ; D ; L 6 rad/; 9 6 T 6 T član: j ; T ; L rad/; 9 T j 4 član: j ; T ; L 4 rad/; 9 4 T j 4 m Tm j 5 član: T j e ; j ; j db log db; 4 Kako je omega defnran u rad/ će z gornjeg zraza bt će zražen preko radjana pa 8 je prje crtanja još potrebno preračunat kutove u tupnjeve 4 Iako član tranportnm kašnjenjem neće mat utjecaja na ampltudu gnala njegova će fazno-frekvencjka karaktertka značajno rat poratom frekvencja tme mat domnantan utjecaj na kašnjenje cjelog utava Sutav zraženom FFK nazvaju e toga još fazno-nemnmaln utav (vše o njma u narednom potpoglavlju u okvru analze tablnot u frekvencjkom području) D (j) (db) - AFK - db/dek -4 db/dek db/dek - (rad/) ( o ) FFK - (rad/) 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

244 Zadatak 4 Odredte prjenone funkcje utava defnrane ampltudnofrekvencjkm karaktertkama u Bodeovm djagramma te nacrtajte fazno-frekvencjke karaktertke zadanh utava U clju određvanja pojednh komponent utava preporuča e korštenje Tablce 6 () 4 - db/dek (j) (db) db/dek -6 db/dek -8 - (rad/) () (j) (db) () - db/dek -4 db/dek - db/dek -4 db/dek 5 (rad/) 5 (j) (db) 4 db/dek - db/dek - db/dek (rad/) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

245 Do prjenone funkcje utava doć ćemo analzom egmenata prpadajuće AFK počevš od nžh prema všm frekvencjama Najprje ćemo promotrt egment krvulje od najnže prkazane frekvencje do prve lomne frekvencje Tme ćemo dobt prvu komponentu l član utava čja je AFK dentčna razmatranom egmentu AFK utava Zatm ćemo analzrat ljedeć egment koj počnje prvom a završava drugom lomnom frekvencjom AFK utava Sada će trebat odabrat komponentu čja AFK ne utječe na prv egment kojeg mo prethodno analzral a zajedno prvom komponentom odgovara dnamc utava opanoj drugm egmentom AFK utava Tme mo dobl dvje komponente čj erjk poj odgovara dnamc našeg utava od frekvencje rad/ do druge lomne frekvencje otupak ada treba provet za preotale egmente AFK utava u clju zapa ukupne dnamke utava Rješenja: () Dakle od = rad/ do = rad/ (prv egment krvulje) AFK utava kontantno pada za - db/dek Ovo je odlka I člana čja je lomna frekvencja = rad/ (pogledajte zadanu AFK): član: I L rad/; TI ; ; 9 T I T I Nakon = rad/ AFK utava počnje još trmje padat (-4 db/dek) Sada moramo za taj drug egment krvulje koj e proteže od = rad/ do = rad/ odredt komponentu koja za frekvencje do = rad/ neće mat utjecaja a nakon toga će putt AFK utava za još - db/dek To je očto član lomnom frekvencjom = rad/: član: L rad/; T ; ; 9 T T Kako nakon = rad/ krvulja pada za dodatnh - db/dek na ukupno -6 db/dek potrebno je uvet još jednu komponentu tm vojtvma kao kod prethodne al ada lomnom frekvencjom = rad/: član: L rad/; T ; ; 9 T T 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

246 (j) (db) AFK (rad/) rjenona funkcja utava gla: I rv mo član (I ) mogl također još dodatno ratavt na (K =) I (K = T I =) U tom e mlu može zaključt da će e dobvena prjenona funkcja () četo moć ratavt na neke druge kombnacje komponenata no ve će one u konačnc rezultrat tom dnamkom (AFK FFK) utava () ( o ) član: I rad/; T ; ; 9 T T L I I (rad/) član: L 5 rad/; T ; ; 9 T T član: D rad/; T ; T ; 9 L D D TD I 4 član: L rad/; T ; ; 9 T T FFK Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

247 (j) (db) AFK 5 (rad/) ( o ) (rad/) FFK rjenona funkcja utava: D 5 I I u ovom lučaju potoje još neke kombnacje komponenata koje b rezultrale dentčnom dnamkom utava Jedna od njh b prmjerce mogla bt: 5 I () Kako AFK utava pokazuje za frekvencje do =4 rad/ uzlazn trend od db/dek očto će naša prva komponenta bt D član Da b e janje uočla njegova lomna frekvencja na prkazanom Bodeovom djagramu ucrtat ćemo njegovu AFK umanjenu (pomaknutu prema dolje) za db Tme mo dobl lomnu frekvencju D člana od = rad/ Međutm kako je ada ukupna AFK utava na prvom razmatranom egmentu pomaknuta u odnou na naš odabran D član za th db moramo mu u erju prdružt još jedan član pojačanja 5 član: j db logk db; K ; ; 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

248 član: D rad/; T ; T ; 9 L D D TD Kombnacjom prethodna dva člana dobl mo dnamku koja odgovara dnamc zadanog utava za frekvencje do =4 rad/ Njma još moramo prdružt: član: L 4 rad/; T ; ; 9 T 4 T 4 4 član: L 4 rad/; T ; ; 9 T 4 T 4 5 član: D 4 rad/; T ; ; 9 4 T 4 L D D TD 6 član: L 4 rad/; T ; ; 9 T 4 T 4 (j) (db) ( o ) (rad/) D D AFK 4 FFK (rad/) 5 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

249 Dva dentčna člana ( 4 član) z prethodne analze mogl mo zamjent jednm članom pr čemu b vrjedlo: T T T T T T T T; T T T ; T n Kako za član vrjed L = n (Tablca 6) prozlaz da je: T ; T T n 4 T T U lučaju uvođenja člana moral b još uzet u obzr da vokofrekvencjka amptota ma pad od -4 db/dek a FFK e kreće u grancama 8 Općento e preporuča ratavljanje člana na onovne članove (u ovom lučaju člana) kad god je to moguće a ve u clju dobvanja što precznjeg oblka krvulja AFK FFK n n Zadatak 4 Nacrtajte Nyqutov Bodeove djagrama utava opanog prjenonom 5 funkcjom Φ 4 M 6 5 z zadatka Analzrajte dnamku razmatranog utava tj kutn pomak druge oovne na temelju dobvenh djagrama Rješenje: U zadatku potavljen je matematčk model utava prkazanog kcom te u određene promjene kutnh pomaka u vremenu u lučaju nune pobude M n t zadanh parametara utava rtom je dnamka vrtnje druge oovne u 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

250 odnou na zadanu nuodnu funkcju uzbude opana prjenonom funkcjom 5 M 6 5 Φ 4 Iz potavljene prjenone funkcje prozlaz nuna prjenona funkcja te AFK FFK: j 5 6 j 5 Φ 4 Φ 5 5 j AFK B N N arctg arctg FFK 6 6 j j 5 6 j 5 6 j 5 Φ j j j Re j Im j Φ Φ Φ Nakon određvanja zraza za frekvencjke karaktertke odnono realnog magnarnog djela nune prjenone funkcje možemo potavt tablcu nacrtat Nyqutov djagram korštenjem nekolko odabranh frekvencja ulaznog/zlaznog gnala rad/ 4 5 Φ j Re Φ j Im Φ j Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 4

251 Re=-9-5 Im=-65 = rad/ - = rad/ Re U potupak kcranja Bodeovh djagrama krećemo ratavljanjem prjenone funkcje koja opuje ponašanje (pomake) druge oovne na onovne članove: I I 5 5 Φ 4 član: j ; j ; j db log 46 db; K I L TIj j član: I j ; T ; rad/; 9 T član: j K ; ; L rad/; 9 j T T j T K 4 član: j ; 5 rad/; L n j j n n Kako u u ovom lučaju polov člana komplekne vrjednot ( =-5±84j) nećemo ga dalje ratavljat na dva člana već ćemo e polužt Tablcom 6 u određvanju parametara člana btnh za crtanje frekvencjkh karaktertka Na temelju njhovh vrjednot prozlaz da mu tupanj prgušenja zno 5 n n Im Re=-78 Im= = rad/ Re= Im=74 =4 rad/ Re=4 Im= =5 rad/ Re=-96 Im=-8 = rad/ što upućuje na prgušeno oclatoran odzv (to je vdljvo z polova člana) odnono na I Re= Im= = rad/ 44 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

252 rezonantno zdzanje u okoln njegove lomne frekvencje L 5 87 rad/ (j) (db) db/dek -4 db/dek -8 db/dek AFK 4 - (rad/) ( o ) FFK - (rad/) (j) (db) Funkcja pobude z zadatka ( M n t ) defnrana je ampltudom X u = frekvencjom = rad/ Iz gore prkazane tablce može e ščtat da AFK na toj j 5 To znač da b ampltuda zlaznog gnala na toj frekvencj zno - (rad/) frekvencj morala bt 5 puta veća od ampltude ulaznog gnala tj u našem b lučaju trebala znot X =X u 5=5 Kad e poblže analzra grafčk prkaz funkcje odzva koj je zajedno M p prkazan u rješenju zadatka a ovdje u natavku zaebno prkazan onda e uočava pravnot gornjeg zračuna Amptotk prkaz AFK Stvarn prkaz AFK Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 45

253 Kutn pomak (rad) Vrjeme () Dok mo u zadatku dnamku utava u kompleknom području analzral amo za jednu ampltudu frekvencju nuodnog gnala tj za jednu funkcju pobude u frekvencjkom mo području dobl nformacju o ponašanju utava za razlčte frekvencje ampltude Obje metode ukazuju na nekolko karaktertčnh vojtava razmatranog utava (ovnh o njegovm kontrukcjkm karaktertkama kao što u mae oovna trenje deformacje ) Iz djagrama je vdljvo da će e poratom frekvencja ulaznog gnala ampltuda zlaznog gnala manjvat rtom će za frekvencje < rad/ ( j j db db) makmaln kutn pomak druge oovne (zakret l ampltuda zlaznog gnala) bt već od ampltude nuode kojom je cjelokupn utav pobuđen Za frekvencje > rad/ j j db db) makmalne vrjednot kutnh pomaka potaju ve manje tj utav prgušuje pobudu Vezano uz to prmjetan je kontantan trend kašnjenja reakcje utava na pobudu (zlaznog gnala za ulaznm) koje e kod frekvencja > rad/ značajno povećava Drugm rječma kod všh frekvencja utav potaje praktčk nertan na pobudu ( j za blo koj M ) uz velka kašnjenja u odzvu (mamo nerazmjer zmeđu dnamke funkcje pobude dnamke procea zmjene energje među premncma utava) 46 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

254 Zadatak 44 rmjenom Bodeovh djagrama analzrajte ponašanje zadanh utava () () M = kg M = kg D = N/m D = N/m K= N/m U= M = kg D = N/m D = N/m K= N/m U= Rješenja: () Iz jednadžb gbanja ljed: Mx D D x Kx f t Dx Kx Mx Dx Kx Dx Kx X F X X X X X 4 F 7 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 47

255 X 7 5 X 4 F Ratavljanje prjenone funkcje koja opuje dnamku pomaka tjela mae M na komponente: X D D I Kako u ovom prmjeru član ma dva razlčta realna pola ( =-68; =-8) dodatno ćemo ga ratavt na dva (onovna) člana u clju dobvanja precznjeg zgleda frekvencjkh karaktertka U konačnc mamo: X D D I 68 8 D član: D j j ; TD ; L rad/; 9 T član: I j ; TI ; L rad/; 9 j T 4 član: j ; T ; L rad/; 9 j T I 5 član: j ; L 68 rad/; 9 T j 68 6 član: j ; L 8 rad/; 9 T j 8 Ratavljanje prjenone funkcje koja opuje dnamku pomaka tjela mae M na komponente: 7 5 D I 68 8 X 4 48 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

256 član: D j j ; TD ; L rad/; 9 T član: I j ; TI ; L rad/; 9 j T član: j ; T ; L rad/; 9 j T 4 član: j ; L 68 rad/; 9 T j 68 I 5 član: j ; L 8 rad/; 9 T j 8 rkaz AFK obje nune prjenone funkcje ( X (j) X (j)) u rad preglednot dan bez crtanja AFK pojednh komponent utava D (j) (db) AFK ( x (j) ) AFK ( x (j) ) - (rad/) ( o ) FFK ( x ) FFK ( x ) - (rad/) Dnamka ovog utava vrlo je lčna onoj z prethodnog zadatka oratom frekvencja manjuje e pojačanje utava (AFK) a pomac obju maa počnju ve vše zaotajat za dnamkom promjene nune pobudne funkcje rtom e kod frekvencja > rad/ može uočt veće prgušenje (manj pomac) tjela mae M u odnou na tjelo mae M te veća kašnjenja tjela mae M što je blo za očekvat buduć da energja z okolne djeluje na tjelo mae M preko tjela mae M (premnk energje) opruge (premnk energje) clndra Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 49

257 () I ovaj e utav ponaša na lčan načn kao prethodn pa će e analza otavt čtatelju a u natavku će amo bt zložen matematčk zap utava te AFK FFK u Bodeovm djagramma Čtatelja e također potče da zadan utav amotalno proanalzra prmjenom Nyqutova djagrama Mx Dx Kx f(t) Kx D x Kx Kx X F X X X X X F 4 4 D 4 D I I član: j ; j ; j db log 4 db; član: D j j ; TD ; L rad/; 9 T član: I j ; TI ; L rad/; 9 j T 4 5 član: j ; T ; L rad/; 9 T j I D X F I X član: j ; j ; j db log 4 db; član: I j ; TI ; L rad/; 9 j T 4 član: j ; T ; L rad/; 9 T j I 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

258 (j) (db) db/dek AFK ( x (j) ) - db/dek AFK ( x (j) ) -6 db/dek -4 db/dek - (rad/) -9 ( o ) FFK ( x ) FFK ( x ) - (rad/) 7 Određvanjje ttabllnott uttava u ffrekvencjjkom područjju Jedna od značajnh prednot analze utava u frekvencjkom području je određvanje tablnot zatvorenog utava koje e provod na temelju odzva njegova otvorenog kruga odnono frekvencjkh karaktertka otvorenog kruga Ovo je od poebnog značaja u lučaju ekpermentalnog određvanja tablnot pr čemu e zbjegavaju potencjaln problem do kojh može doć ukolko zatvaranjem povratne petlje utav potaje netablan otupak određvanja tablnot zanva e na Nyqutovom krterju tablnot detaljnje prkazanom u [4] On u onov počva na analz položaja Nyqutove krvulje (frekvencjke karaktertke polarne krvulje hodograma) u odnou na krtčnu točku Krtčna točka je točka u kompleknoj ravnn koja e nalaz na negatvnom djel realne o u (- j) To je dakle točka za koju vrjed =-8 (j) = Njezn značaj možemo lkovto opat na ljedeć načn retpotavmo da na utav l zatvoren regulacjk krug djelujemo nunm gnalom frekvencje čjm prolakom kroz krug dobvamo zlazn gnal x koj kan za ulaznm gnalom x u za =-8 dok mu ampltuda otaje nepromjenjena tj (j) = (točka A) Zatvaranjem kruga njegovm nvertranjem u točk B do kojeg dolaz uljed negatvne povratne veze dobvamo t gnal koj je djelovao na utav (gnal dentčan po faz po ampltud) Ako u dućem Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

259 koraku vedemo pobudu utava u nulu gnal koj e vrato povratnom vezom ponovno će proć kroz utav utav ga neće ampltudno promjent al će ga ponovno nvertrat uljed voje tromot za 8 od utjecajem negatvne povratne veze tako nvertran gnal ponovno će e vratt u prvobtan oblk na ulazu kruga Drugm rječma ako je pobuda na utav zotala taj će gnal amog ebe podržavat u krugu što je odlka grančno-tablnog utava x u x Stoga možemo zaključt da ukolko Nyqutova krvulja otvorenog kruga prolaz kroz krtčnu točku (potoj frekvencja za koju vrjed =-8 (j) =) zatvoren regulacjk krug bt će na granc tablnot U lučaju da kod =-8 AFK poprma vrjednot (j) < tada e ampltuda gnala vakm ljedećm prolakom kroz krug manjuje ve dok e odzv na kraju potpuno prguš To je odlka tablnog utava U trećoj varjant kada mamo =-8 a (j) > ampltuda nune funkcje na zlazu kruga vremenom potaje ve veća pa govormo o lučaju netablnog utava Naveden zaključak možemo ada preformulrat u uvjet tablnot koj gla: Zatvoren utav bt će tablan ako Nyqutova krvulja otvorenog utava ne obuhvaća krtčnu točku tj oblaz u mjeru ratućh frekvencja (= = ) krtčnu točku dene trane Dakle krtčna točka mora otat ljevo od krvulje po kojoj e krećemo u mjeru ratućh frekvencja jer će u tom lučaju bt punjen uvjet da za =-8 (j) < Ovaj e uvjet može još dodatno preformulrat u []: Zatvoren utav bt će tablan ako e u području koje obuhvaća Nyqutova krvulja otvorenog utava a koje e nalaz njezne dene trane gledano u mjeru ratućh frekvencja (= = ) ne nalaz krtčna točka 5 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

260 otavljen uvjet tablnot zatvorenog kruga vrjedt će ukolko je otvoren krug tablan l na granc tablnot [] Iako e gornj uvjet može prmjent u nzu lučajeva kada je otvoren krug netablan precznj uvjet tablnot zatvorenog kruga u tom b lučaju glao []: Zatvoren utav bt će tablan ako Nyqutova krvulja otvorenog utava u mjeru ratućh frekvencja (= = ) obuhvaća m puta krtčnu točku (m broj polova nune prjenone funkcje otvorenog utava poztvnm realnm djelom) rtom oblazak mora bt uprotan mjeru okretanja kazaljke ata Očto je da će e formulacja Nyqutova krterja modfcrat kako e bude mjenjala dnamka otvorenog kruga a ve u clju što precznjeg određvanja tablnot zatvorenog utava rethodno navedene formulacje tablnot nu jedne al maju šroku prmjenu bt će dotatne za rješavanje zadataka zloženh u natavku zbrke Uz nformacju o (apolutnoj) tablnot utava od nterea nam je četo doznat kolku rezervu tablnot pojeduje analzran utav (relatvna tablnot) Ova nam je nformacja btna kod projektranja regulacjkog kruga kako b u vakom trenutku ekploatacje utava uz uvjet predvdvh granca promjene njegovh parametara za vrjeme ekploatacje mogl ogurat njegov tabln rad Mjera za relatvnu tablnot l rezerva tablnot određena je udaljenošću polarne (Nyqutove) krvulje otvorenog kruga od krtčne točke može e zrazt preko ampltude (ampltudna rezerva A R ) /l faze (fazna rezerva R ) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

261 A R Ampltudna rezerva je pojačanje potrebno da polarna krvulja otvorenog kruga kod =-8 doegne krtčnu točku ( (j) =) A R O j za 8 Ona je vezana uz frekvencju krtčne faze Fazna rezerva predtavlja kut zmeđu negatvne realne o pravca koj z hodšta prolaz kroz točku u kojoj polarna krvulje otvorenog kruga ječe jednčnu kružncu R 8 Za faznu rezervu je vezana frekvencja krtčne ampltude Kako b e pravno zaključlo kolko mo udaljen od krtčne točke potrebno je poznavat oba parametra Iz navedenog prozlaz da će kod tablnh utava frekvencja krtčne ampltude bt manja od frekvencje krtčne faze U lučaju grančne tablnot tj prolaka krvulje kroz krtčnu točku zno obje frekvencje će e zjednačt ( = ) a u utavu neće potojat rezerva tablnot (A R = R =) Za netablne utave polarna krvulja otvorenog kruga mat će > uz također logčan zotanak rezerve tablnot (A R < R <) rethodn prtup može e prelkat na Bodeove djagrame na temelju kojh e također mogu zvet zaključc o tablnot zatvorenog utava rtom treba bt na oprezu jer Bodeov djagram neće bt prmjenjv u vm tuacjama Ukolko je otvoren krug fazno-nemnmalan (prjenona funkcja ma jednu l vše nula /l polova u denoj poluravnn) tablnot e preporuča odredt prmjenom Nyqutova djagrama jer zaključc zveden na temelju Bodeovh djagrama nu pouzdan što će e vdjet z prmjera koj ljede Nyqutov djagram maju prednot u lučaju kada frekvencje krtčne ampltude faze nu određene pa ne možemo odredt n A R n R Izno fazne rezerve u Bodeovm djagramma ne mjenja e dok ampltudna rezerva mora bt zražena u decbelma: 54 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

262 Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav A R log logo j db O j pa će kod tablnog utava vrjedt da je A R > ( A R = ( ) a netablnog A R< ( O j O j ) j ) grančno tablnog O Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 55

263 Zadatak 45 Za prmjere z zadatka 4 odredte tablnot utava prmjenom Nyqutova krterja tablnot (djagrama) Napomena: prjenone funkcje zadane u prva dva prmjera predtavljaju prjenone funkcje zatvorenh regulacjkh krugova a zanemarvom dnamkom u povratnoj petlj Rješenja: () U clju određvanja tablnot zadanog utava prmjenom Nyqutova 5 5 djagrama potrebno je najprje pronać prjenonu funkcju otvorenog kruga Za jednčnu negatvnu povratnu vezu vrjed: 4 O Z Z O O O Z Otvoren je krug tablan jer je njegov karaktertčn polnom reda a koefcjent u mu tog predznaka (nužan dovoljan uvjet tablnot) j O O j 4 j 4 j AFK B N arctg arctg FFK 4 j 4 j j j 4 j 4 j Re j Im j O 4 4 o o rad/ O j Re O j Im O j Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

264 Im - (- j) = = = = = Re Kako krvulja oblaz u mjeru ratućh frekvencja krtčnu točku dene trane (krtčna točka je zvan ojenčanog područja kojeg obuhvaća krvulja) zatvoren krug (utav) je tablan Dobven zaključak o tablnot možemo provjert preko korjena karaktertčne jednadžbe zatvorenog kruga ( 5 5 =-5±97j) () U ovom je prmjeru zatvoren utav određen prjenonom funkcjom Z Dakle utav će bt netablan (ponavljajuć pol u hodštu - =) ogledajmo ada kako zgleda analza tablnot preko Nyquovog krterja uzevš u obzr da krug ma jednčnu negatvnu povratnu petlju O j j j O O j AFK 4 B N arctg arctg FFK j j j j j j Re j Im j O 4 4 o o Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 57

265 rad/ O j Re O j Im O j (- j) = = = Im - - = = -4-5 = Re Buduć da krvulja zlaz z krtčne točke moglo b e zaključt da je zatvoren utav na granc tablnot Međutm valja prmjett da je nuna prjenona funkcja otvorenog kruga netablna (polnom reda koefcjentma razlčtog predznaka =9 =-9) Stoga ćemo prmjent uvjet tablnot koj kaže da će zatvoren utav bt tablan ukolko krvulja u mjeru ratućh frekvencja m obuhvaća puta krtčnu točku Kako je u ovom lučaju m= ( =9) prozlaz da krvulja mora polukružno (/ puta) obuhvatt krtčnu točku Kako ju ona uopće ne obuhvaća zatvoren utav je netablan () Naš je utav u ovom prmjeru zatvoren regulacjk krug čja prjenona funkcja gla: R S Z R S M z čega prozlaz da je krug na granc tablnot ( =-; =±j) Uzevš u obzr zgled regulacjkog kruga prjenona funkcja otvorenog kruga defnrana je umnoškom: 58 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

266 O R S M Otvoren krug je na granc tablnot ( =; =-) U natavku ljed analza tablnot pomoću Nyqutovog krterja j j O Frekvencjke karaktertke: O j AFK 6 4 B N arctg arctg arctg FFK Realn magnarn do (j): j j j j O 4 4 j j Re j Im j o o rad/ 5 O j Re O j Im O j - -9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 59

267 5 (- j) = = = -5 Im - -5 =5 - = rad/ Re Imajuć u vdu da je otvoren krug na granc tablnot te da njegova frekvencjka karaktertka (Nyqutova krvulja) prolaz kroz krtčnu točku možemo zaključt da će zatvoren regulacjk krug također bt na granc tablnot (4) U ovome je prmjeru u zadatku 4 već nacrtana Nyqutova krvulja otvorenog kruga čja prjenona funkcja gla O R 5 5 S M Slčno prethodnom prmjeru u ovom je lučaju otvoren krug na granc tablnot (amo mu je pojačanje veće) Na temelju djagrama z zadatka 4 prozlaz da Nyqutova krvulja otvorenog kruga oblaz u mjeru ratućh frekvencja krtčnu točku njezne ljeve trane tj točka e nalaz u ojenčanom području dene trane krvulje pa je utav netablan Izračun polova prjenone funkcje zatvorenog kruga to potvrđuje 5 5 R S Z R S M KJ 5 4; 4j 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

268 - = = (- j) = Im =5 = rad/ Re (5) U ovom mo prmjeru u zadatku 4 crtal Nyqutov djagram za zatvoren krug pa ada u clju određvanja tablnot prmjenom Nyqutovog krterja moramo najprje krug otvort O R S M 4 j j O 4 Frekvencjke karaktertke otvorenog kruga: O 4 4 j AFK B N arctg arctg arctg FFK 4 Realn magnarn do O (j): 4 j 8 8 O j j j 4 4 j j Re j Im j o o Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

269 rad/ 5 O j Re O j Im O j = (- j) =5 = -4 Im -6-8 = - = rad/ Re Nyqutova krvulja otvorenog kruga (koj je na granc tablnot = =-5) oblaz krtčnu točku u mjeru ratućh frekvencja dene trane pa je utav tablan j R S Z R S M 4 Zadatak 46 Uz uvjet da u u prmjerma z zadatka 4 određene dnamke otvorenh regulacjkh krugova (čja je povratna petlja zanemarve dnamke) odredte tablnot zatvorenh krugova prmjenom Bodeovh djagrama te naznačte faznu ampltudnu rezervu Buduć da Bodeov djagram z zadatka 4 predtavljaju grafčk prkaz AFK FFK otvorenh utava možemo h drektno prmjent u analz tablnot zatvorenh utava jednčnom negatvnom povratnom vezom Stoga ćemo u prethodno nacrtane djagrame amo unjet oznake krtčnh frekvencja prpadajućh rezerv tablnot te donjet zaključke o tablnot 6 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

270 Rješenja: () rjenona funkcja otvorenog kruga na temelju za koju crtamo Bodeove djagrame gla: O (j) (db) (rad/) ( o ) -9 R > (rad/) U prvom prmjeru mamo amo frekvencju krtčne ampltude ( ) Kako je FFK u veća od -8 utav je tablan fazna rezerva tablnot zno prblžno 9 Karaktertčn polnom utava ( reda a vm koefcjentma razlčtma od nule tog predznaka) potvrđuje potavljen zaključak o tablnot Z + + () Slčn e oblk prjenone funkcje zatvorenog utava dobva u ovom prmjeru gdje mamo: O Z + + pa z karaktertčnog polnoma ponovno prozlaz tablnot utava U Bodeovm e djagramma ponovno do tablnot dolaz preko frekvencje krtčne ampltude ( ) pr čemu fazna rezerva također zno prblžno 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 6

271 (j) (db) (rad/) ( o ) -9 R > -8 - (rad/) () rjenona funkcja otvorenog kruga gla: O 5 (j) (db) (rad/) ( o ) -9 R > (rad/) Buduć da e FFK amptotk prblžava vrjednot -8 možemo reć da frekvencja krtčne faze Kako je vrjednot negdje oko rad/ (točna vrjednot je nešto 64 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

272 manja jer je AFK nacrtan u form amptotkog prkaza a ne tvarne krvulje!) prozlaz zatvoren je utav tablan (potoj fazna rezerva) I korjen utava to potvrđuju Z = -46; = -7 ±87j (4) U ovom je prmjeru (j) (db) - O ' '' - - (rad/) ( o ) ( ')> ( ")> (rad/) rema amptotkom prkazu prozlaz da će nam u ntervalu frekvencja [ ' ''] pojačanje utava bt (j) = tj (j) db = Kako u u tom području frekvencja kašnjenja utava [ ( ') ( ")] > -8 utav je tablan Realno tvarna AFK ne ječe o ( (j) db < za ve frekvencje) već e u navedenom području amo prblž toj o (makmaln (j) = 8 < ) a što e može vdjet z Nyqutovog djagrama koj također potvrđuje tablnot zatvorenog kruga Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 65

273 Im (- j) = = ' '' Re (5) Otvoren regulacjk krug u poljednjem prmjeru ovog zadatka ma član tranportnm kašnjenjem u drektnoj gran a prjenona funkcja otvorenog kruga gla: 6 e 7 4 (j) (db) - A R < - (rad/) -9 ( o ) -8-7 R < -6 - (rad/) Iz Bodeovh djagrama ada prozlaz da je na temelju čega možemo zaključt da je zatvoren regulacjk krug netablan odnono krug u tom lučaju logčno nema rezervu tablnot (A R < R <) 66 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

274 Ovdje valja zapazt da gore zapana prjenona funkcja nje zapana u form raconalne funkcje uljed člana tranportnm kašnjenjem U tom mlu ekponencjalnu funkcju možemo aprokmatvno zapat korštenjem adéove aprokmacje reda: e Tm Tm Tm nakon čega dobvamo O 6 7 Iz dobvene prjenone funkcje ljed da je otvoren krug tablan - ma tr negatvna pola te jednu negatvnu al jednu poztvnu nulu (=5) što znač da je faznonemnmalan (ovaj mo detalj prethodno taknul u zadatku 4-5) rethodno mo također naglal da prmjena Bodeovog djagrama u ocjen tablnot na temelju faznonemnmalnh utava nje pouzdana pa b zvedene zaključke o tablnot trebalo provjert zračunom polova prjenone funkcje zatvorenog regulacjkog kruga l korštenjem Nyqutova djagrama U ovom će e lučaju rezultat dobven preko Bodeove metode potvrdt jer Nyqutova krvulja oblaz u mjeru ratućh frekvencja krtčnu točku ljeve trane zatm e poratom frekvencja natavlja u form koncentrčnh krugova prblžavat hodštu - (- j) = = Im Re Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 67

275 Zadatak 47 rmjenom metoda z frekvencjkog područja odredte tablnot utava koj u opan prjenonm funkcjama otvorenog kruga () O () O () (4) ; ; O O (5) (6) (7) 5 ; 6 8 ; 5 6 O 5 ; 5 (prema blok-djagramu prkazanom u 4 4 O O rješenju zadatka!); (8) 6 9 O prkazanom u rješenju zadatka!) ; (prema blok-djagramu Rješenja: () rjenona funkcja otvorenog kruga gla: O Iz čega prozlaz da je otvoren utav tablan fazno-nemnmalan (jedna poztvna nula =) Član ( +) ma dentčnu AFK kao D član (+) Tablca 6 al za razlku od tog člana FFK mu e zrcalno prelkava preko o amptotk e prblžava vrjednot faznog pomaka od -9 točkom nflekje -45 ( 9 ): j j j arctg j j j arctg I u ovom e prmjeru očto ljepo može uočt razlka zmeđu fazno-mnmalnog (+) fazno-nemnmalnog člana (-+) 68 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

276 Iz Nyqutovog djagrama prozlaz da je utav tablan jer polarna krvulja oblaz u mjeru ratućh frekvencja krtčnu točku dene trane Identčan zaključak o tablnot može e dobt z Bodeovh djagrama (ako je otvoren krug faznonemnmalan!) Im (- j) Re=-6 Im=- = = Re=-5 Im=8 =4 Re= Im= = Re 4 (j) (db) - A R > - - (rad/) -9 ( o ) -8 R > (rad/) () rjenona funkcja otvorenog kruga u ovom je prmjeru lčna onoj z prethodnog: O Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 69

277 onovno je rječ o fazno-nemnmalnom otvorenom utavu al ada netablnom ( jednm poztvnm polom =) Fazno-nemnmalnu komponentu možemo uporedt članom: j j arctg j 4 j j arctg j 4 arctg 8 z čega prozlaz da e FFK fazno-nemnmalnog člana kreće u ntervalu 8 9 točkom nflekje (lomna frekvencja rad/) u 5 Im 5 4 (- j) - - = Re=-6 Im= = Re=-7 Im=- = Re= Im= = Re Iz Nyqutovog djagrama ljed da je zatvoren krug netablan jer polarna krvulja ne obuhvaća krtčnu točku puta (m=) u mjeru ratućh frekvencja uz kretanje uprotno mjeru kretanja kazaljke ata U ovom prmjeru e do tog zaključka može doć prmjenom krterja tablnot korštenog u prošlom prmjeru (krvulja oblaz točku ljeve trane gledano u mjeru ratućh frekvencja) a koj e kort kod tablnh grančno-tablnh otvorenh utava Za razlku od Nyqutovog djagrama Bodeov djagram će u ovom lučaju bt potpuno neupotrebljv (nedotatak fazne rezerve ukazuje na netablnot utava dok tovremeno potoj ampltudna rezerva?!) Ovme e još jednom potvrđuje da je Bodeove djagrame najbolje zbjegavat u ocjen tablnot zatvorenog utava kada je otvoren utav fazno-nemnmalan 7 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

278 4 (j) (db) - A R > - - (rad/) -9 ( o ) -8 R < (rad/) () Iz prjenone funkcje otvorenog utava: O ljed da je on tablan ponovno fazno-nemnmalan dvje poztvne nul-točke Stoga Bodeove djagrame nećemo crtat a z Nyqutovog djagrama prozlaz da je zatvoren krug tablan (oblazak krtčne točke dene trane u mjeru ratućh frekvencja) 5 Re=-9 Im=4 =4 Im (- j) Re=-7 Im=-48 = Re=8 Im= = Re= Im= = - Re Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

279 (4) U ovom nam je prmjeru prjenona funkcja otvorenog kruga ponovno netablna faznonemnmalna (jedan poztvan pol =6): O Nyqutov djagram ma ljedeću formu Im - (- j) -4 Re=-4 Im=6 =5 Re=-7 Im= = Re=- Im= = Re= Im= = Re Ako bmo ada o tablnot zatvorenog kruga zaključval na temelju krterja koj vrjed za tablne grančno-tablne otvorene utave onda b nam zaključak da je zatvoren krug tablan jer krvulja oblaz krtčnu točku dene trane bo pogrešan Iz krterja prmjenjvog kod netablnh otvorenh utava ljed da je zatvoren krug netablan jer polarna krvulja ponovno ne obuhvaća krtčnu točku puta (m=) u mjeru ratućh frekvencja uz kretanje uprotno mjeru kretanja kazaljke ata (5) Uzevš u obzr loženot forme prjenone funkcje otvorenog kruga O tablnot ćemo jednotavnje odredt prmjenom Bodeovh djagrama a čnjenca da je otvoren utav tablan fazno-mnmaln nam to omogućava 7 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

280 (j) (db) 4 ' '' (rad/) 5 9 ( o ) -9 R > (rad/) Buduć da mamo dvje frekvencje krtčne ampltude fazna rezerva vezana uz všu frekvencju ( ") mora bt poztvna (potoj rezerva tablnot) da b zatvoren utav bo tablan što je lučaj u ovom prmjeru (6) U ovom je prmjeru zadan također tablan fazno mnmaln otvoren krug 5 O Iz Nyqutovog djagrama prozlaz da je zatvoren krug tablan jer krvulja oblaz krtčnu točku dene trane tj ona e ne nalaz u ojenčanom području koje krvulja obuhvaća S druge trane u Bodeovm djagramma nemamo jano označene rezerve tablnot tj nemamo nt frekvencju krtčne ampltude nt frekvencju krtčne faze pa u takvm lučajevma Bodeov djagram također nu prkladn u ocjen tablnot utava Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

281 5 Re=- Im=9 =5 Re= Im= = Im (- j) Re= Im= = = Re=5 Im=-8 =5 Re=8 Im=- = Re (j) (db) (rad/) 8 ( o ) (rad/) (7) rjenona funkcja otvorenog kruga u ovom prmjeru odno e na regulacjk krug utava za prozvodnju elektrčne energje koj je preuzet z [] 74 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

282 E 5 Iz prjenone funkcje otvorenog kruga (mjern član je zanemarve dnamke!) ljed da je rječ o fazno mnmalnom otvorenom utavu ( član): O 5 j 4 j 4 O 5 O j AFK arctg FFK rad/ O j O j 6 4 rad/ Iz prethodnog zračuna može e zaključt da će zatvoren krug bt tablan to vrlo malm rezervama tablnot: A R 5; AR db log O j log 87 db j 87 O R Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 75

283 Iz Nyqutovog djagrama ljede t zaključc o tablnot zatvorenog regulacjkog kruga (Bodeov djagram b zbog bl još nepreglednj u ocjen tablnot pa je u natavku prkazan amo Nyqutov djagram) (- j) Re= Im= = Re=667 Im= = Im (- j) Im Re=-45 Im=-6 = -8 Re=96 Im=-4 Re=- - = Im= = Re= Re Im= = Re=-45 Im=-6 = Re (8) oljednj je prmjer također preuzet z [] opuje regulacjk krug za pozconranje robotkog utava prmjenom u bolnčkoj kućnoj njez pacjenata (ISAC Intellgent Soft Arm Control) 6 9 Iz blok-djagrama prozlaz prjenona funkcja otvorenog kruga: 6 9 O Kako je otvoren krug fazno-mnmalan a uzevš u obzr loženot prjenone funkcje u ocjen tablnot polužt ćemo e Bodeovm djagramma Stoga ćemo prjenonu 76 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

284 funkcju najprje ratavt na onovne članove: O D D I član nje dalje ratavljan jer u mu polov komplekne vrjednot ( =-5±j) pa u kao u zad 4 njegov parametr određen uz pomoć Tablce 6 Iz gornjeg rapa onovnh članova otvorenog kruga ljed da će AFK mat 6 lomnh frekvencja: L = (I ) L = (D ) L =6 (D ) L4 = ( ) L5 = 9 ( ) L6 = n = 9 59 ( ) a z prkazanh frekvencjkh karaktertka prozlaz da će zatvoren regulacjk krug bt tablan (poztvn R A R tj < ) I u ovom mo lučaju mal vše frekvencja krtčne ampltude a najveću od njh mo uzel u određvanju fazne rezerve tablnot utava (j) (db) A R > (rad/) ( o ) -9-8 R > (rad/) Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 77

285 Zadatak 48 rmjenom odabrane metode z frekvencjkog područja odredte pojačanja otvorenh regulacjkh krugova za koja u prpadajuć zatvoren krugov tabln () O () () (4) K 5 O K K O O (5) O ; ; ; K K 7 ; U ocjen tablnot zadanh utava tj određvanju pojačanja kruga za koje je on tablan u prvom ćemo koraku uzet da je K= za takvo pojačanje nacrtat djagram [ ] Kako je pojačanje zapravo faktor umnoška kojm e povećava l manjuje AFK uz nepromjenjen FFK analzom dobvenh djagrama uljedt će zatm određvanje ntervala pojačanja koj ogurava tablnot U vakom će e prmjeru kortt jedna od prethodno prkazanh metoda analze nteze u frekvencjkom području a čtatelju e otavlja za vježbu da odred tablnot drugom metodom Rješenja: () O K K O j K j 5 K O j AFK arctg FFK 8 8K K 5 j j Reoj Imoj O 4 5 Nyqutov djagram kojeg mo odabral u analz tablnot ada crtamo za K= 78 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

286 4 Im - Re=- Im=- = Re=-5 Im= =5 Re= Im= = -4-6 Re=- Im=-5 = Re Iz djagrama prozlaz da vrjednot pojačanja K za koje je utav grančno-tablan možemo dobt analtčk z zraza: 5 5 5rad/ 8 K 5 rad/ O j K Negatvnu frekvencju koja zadovoljava gornj zraz nmo uzel u obzr jer analzramo Nyqutov djagram amo za poztvne frekvencje ( ) Općentj b prtup bo: Im 5 O 5 j 5 5rad/ rad/ Re O j Ako točku ( j) želmo pomaknut u (- j) otvart grančnu tablnot zatvorenog kruga potrebno je u krug unjet pojačanje od K= (pogledajte lku) rema tome da b krug bo tablan: K K Re O j Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 79

287 ++5Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav 5 Im 5 (- j) -5 - O= Re () K K K O O j j 6 K O j AFK arctg FFK K 4 4 K 6 j j Reoj Imoj O Re=- Im= = Re= Im= = Re=5 Im= = Im Re= Im=- = - - Re 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

288 +++Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav S obzrom na zgled Nyqutove krvulje (K=) možemo prmjent oba prtupa kao u prethodnom prmjeru 6 6 6rad/ 4 4 K 6rad/ O j K Odnono (uz K=): Im 6 O 6 4 j 6 6rad/ rad/ Re O j K K Re O j Za K= zatvoren će krug bt na granc tablnot (- j) - Im - O- = Re () K 8 5 K 5 8j O O j j O K j AFK arctg arctg FFK 5 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

289 4 K 7 K 4 54 j j Reoj Imoj O 4 4 Nyqutov djagram ponovno crtamo za K= 5 Re=59 Im=65 = Im 5-5 Re=-5 Im=6 = (- j) Re= Im= = Re=88 Im= = - - Re U ovom lučaju mamo netablan fazno-nemnmaln otvoren krug (krvulja obuhvaća krtčnu točku jednom m 4 m ) pr čemu je fazn kut za ve frekvencje Stoga ovdje ne možemo prmjent uvjet e polužt drugm prtupom na temelju kojeg za K= dobvamo: O 4 O j već ćemo Im j rad/ rad/ Re O j 4 64 S obzrom na položaj krvulje u odnou na krtčnu točku prozlaz da K K 75 Re O j Dakle pojačanje kruga možemo još dodatno manjt (K<) al do grančne vrjednot defnrane prethodnm uvjetom nakon koje krvulja vše ne oblaz krtčnu točku tj zatvoren krug potaje netablan 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

290 75O Jednovarjabln lnearn vremenk-nvarjantn kontnuran utav 5 Im 5 (- j) = Re (4) K 5 4 O K 5 4 D I D I I Uz K= (j) (db) O (j ') O (j '') (rad/) ( o ) ' '' -7 (rad/) Iz FFK djagrama ljed da potoje dvje frekvencje gdje krvulja ječe =-8 Ako Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 8

291 povećamo taj do krvulje prozlaz da je rječ o frekvencjama '=56 rad/ "=776 rad/ ( o ) -8 '= ''= (rad/) U tom je frekvencjkom pojau >-8 pa e unutar tog područja mora nać frekvencja krtčne ampltude ( ) da b utav bo tablan (mao faznu rezervu) Kako AFK na tm frekvencjama zno: 45 45j O 5 4 O j 4 5 j j O j AFK O j ' db 69dB O j " db 85 4dB pojačanja kruga moraju e kretat u ntervalu 69 db<k<854 db tj 884<K<869 (5) oljednj prmjer predtavlja regulacjk krug za pozconranje antenkog utava (potzanje željenog azmuta) [] 66 K 66 O K 7 7 I 7 Iz Bodeovh djagrama AFK FFK nacrtanh za K= prozlaz da frekvencja krtčne faze zno = rad/ 84 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

292 (j) (db) (rad/) A R > ( o ) (rad/) ( o ) -8 O 66 O j j O 66 j AFK O 7 7 j db 68 4dB = 768 (rad/) rema tome AFK je moguće dgnut makmalno za 684 db tj K<6 a da prtom zatvoren krug dalje otane tablan Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 85

293 8 Snteza vremenk-nvarjjantnh kontnuranh -I-D regullatora U ovom poglavlju dana je nteza ID regulatora u raznm kombnacjama I D djelovanja unutar trukture regulatora Korte e jednako pojačanja za va djelovanja al vremenke kontante za I D djelovanje Za projektranje parametara regulatora uz numerčke metode za razlčte topologje ID regulatora metoda podešavanja polova te neke praktčne metode koje e zanvaju na ekpermentma otvorenm zatvorenm regulacjkm krugom Vše detalja o amm metoda potražte u [ ] 8 Anallttčke mettode podešavanjja paramettara regullattora okazuje e projektranje klačne paralelne ID trukture regulatora al nekh drugačjh topologja regulatora poput I-D te I-D truktura [ ] Om ID truktura pokazuju e otal tandardn tpov regulatora poput I D regulatora Kortmo jednotavnu metodu podešavanja polova na načn da e željen polov zračunavaju z zadanh značajk odzva zatvorenog kruga r tome promatramo modele koj podrazumjevaju poznavanje metode uz karaktertčnu jednadžbu zatvorenog kruga do najvše četvrtog reda otupak je matematčk kratko opan tablcom 7 danom u prlogu 86 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

294 Zadatak 49 Za utav zadan blok djagramom analzrajte tablnot regulacjke taze Odredte pojačanje dealnog regulatora uz pobudnu funkcju w(t)= u ljedećm lučajevma: () da b utav bez greške u taconarnom tanju prato zadanu vodeću velčnu () da b zatvoren krug otvaro trajno regulacjko odtupanje znoa j j j j Rješenja: rmjenom algebre blokova lako je zvet prjenonu funkcju regulacjke taze: j j S j j Kako u polov regulacjke taze =-j =j jano je kako je ama taza na granc tablnot pa treba odabrat pojačanje regulatora koje će cjel zatvoren krug učnt tablnm Zato prje zračuna točnot kruga prvo treba odredt pojačanje regulatora za koje će zatvoren krug bt tablan K K z K K K Dobvena je karaktertčna jednadžba kruga: uvjet tablnot : K > K K z koje prozlaz Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 87

295 () Za utav povratnom vezom koja nje jednčna vrjed : r tome je : d prjenona funkcja drektne grane kruga prjenona funkcja povratne grane kruga O prjenona funkcja otvorenog kruga d E W O E K d K K W O K K K pa je trajno regulacjko odtupanje: K K lm lm K K e E K K Da b blo e = može e potavt uvjet: (+K )= K =- Uvjet nkako nje održv rad prje potavljenog uvjeta tablnot Tako u tvar ne potoj realn K za koj će utav bez greške u taconarnom tanju pratt zadanu vodeću velčnu () Iz uvjeta e = lako je zračunat traženo pojačanje regulatora : e K K K Dodatak Kako b potvrdl dobven rezultat dajemo odzv utava regulatorom pojačanja K = Zbog preglednje grafčkog prkaza utav je u prvoj ekund ekpermenta pobuđen zadanom kokovtom pobudnom funkcjom ampltude Slka potvrđuje da je ama regulacjka taza na granc tablnot te da je zatvoren regulacjk krug tablan al uz zadanu grešku u taconarnom tanju vakako netočan 88 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

296 obuda odzv obuda Staza bez regulatora regulator K = Vrjeme () Zadatak 5 Za utav dan blok djagramom načnte ljedeće: () O kojem e tpu regulatora rad? () Dkutrajte tablnot regulacjke taze () Odredte prjenonu funkcju mjernog člana (4) Odredte parametre regulatora koj će krug učnt tablnm (5) Odredte parametre regulatora za koje će krug dat točan odzv na Heavdeovu pobudnu funkcju jednčne ampltude K 4 j j T 4j j Rješenja: () Regulacjk krug pokazuje da e regulator uvjek nalaz pred regulacjke taze rema truktur rječ je o dealnom D regulatoru kod kojeg u važna dva parametra pojačanje Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 89

297 K prema lc dervacjka vremenka kontanta T mada e občno kort oznaka T d rjenona funkcja regulatora je : K T R p () Regulacjka taza ma ljedeću prjenonu funkcju: 4j 4j j j 4 S Očto je rječ o dnamčkom članu a lke je vdljvo da njegov polov čne konjugrano komplekn par bez realnog djela Iz toga e zaključuje da je regulacjka taza na granc tablnot Za one koj to drektno ne vde a lke dajemo zračun polova regulacjke taze: KJ 4 j j () Mjern je član uvjek u povratnoj vez pa je u našem lučaju obojen zelenom bojom Njegova prjenona funkcja gla: M Da b bolje uočl kanj učnak regulatora pogledajmo prvo odzv kruga ključenm regulatorom odnono regulatorom parametrma K = T= 5 obuda odzv 5 5 obuda Staza bez regulatora Vrjeme () Slka pokazuje da e zatvoren krug bez regulatora ponaša tablno netočno poro Sutav mo u prvoj ekund ekpermenta z početnog tanja nula polal u jedncu no njegov je odzv završo na neprhvatljvoj ampltud znoa Za to je potrošeno gotovo ekund Naš je zadatak u natavku utav natjerat u zadanu jedncu to načnt u što kraćem vremenu Ovoga puta to vrjeme nmo zadaval no to je dakako moguće 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

298 (4) rjenona funkcja zatvorenog kruga: K T R S 4 K T z R S M K T KT K T 4 K 4 Karaktertčna jednadžba kruga je: KT K T 4 K Odavde je moguće potavt ljedeće uvjete tablnot temeljene na čnjenc da poebno kod polnoma drugog reda v koefcjent budu poztvn : ) K T ) K T ) 4 K Iz prvog uvjeta prozlaz : KT K T Iz drugog uvjeta prozlaz: K T K K T T Iz trećeg uvjeta prozlaz: 4 4 K K Konačno ljed : K 4 T K T (5) Za utav povratnom vezom koja nje jednčna vrjed : r tome je : d E W Heavdeova funkcja uzbude : w(t) = (t) W()=/ d prjenona funkcja drektne grane kruga a u našem lučaju R S prjenona funkcja povratne grane kruga a u našem lučaju M O prjenona funkcja otvorenog kruga a u našem lučaju R S M E T 4 K 4 K T K T 4 K T d W() O 4 O Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

299 4 K T T 4 6K e lm E lm KT K T 4 K 4 K Iz uvjeta e = treba zračunat pojačanje regulatora jer točnot u ovom lučaju ne ov o dervacjkoj vremenkoj kontant regulatora 4 6K K Dodatak Već po dobrom občaju vako rješenje treba provjert mulacjom kruga Naša provjera dokazuje da je ama regulacjka taza na granc tablnot Uz T=5 K =/ naš krug bez greške u taconarnom tanju prat zadanu vodeću velčnu 6 4 obuda odzv obuda Staza bez regulatora D regulator K =/ T= Vrjeme () Ovdje e dobro vd da je ama taza na granc tablnot To znač da je njen odzv na jednčnu kokovtu pobudnu funkcju harmončan ma kontantnu frekvencju ampltudu Ttranje e odvja oko vrjednot pojačanja ame taze dakle oko vrjednot /4=75 Što e pak tče djelovanja regulatora vd e da je za razlku od lučaja ključenm regulatorom projektran D regulator točan vše nego dvotruko brž Može l to još bolje? Može ako e malo pograte parametrma regulatora l još bolje zračunate parametre regulatora za voje željene performane kruga Kako zadat željene performane kruga kako za njh odredt parametre regulatora pogledajte u poglavljma koj ljede 9 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

300 Zadatak 5 Regulacjk je krug atavljen od I regulatora ntegralnog pojačanja K I = regulacjke taze koja ma jednu nulu u - dva pola koja znoe - - te mjernog člana zanemarve dnamke Odredte pod kojm uvjetom regulator drž krug tablnm Rješenje: Da b e zadatak upješno rješo nužno je poznavat topologju onovnog regulacjkog kruga kao prjenone funkcje regulatora zadanog koefcjentma pojačanja (ne -pojačanjem ntegralnom vremenkom kontantom T I ) taze mjernog člana rjenona funkcja regulatora: Kako je zadano ntegralno pojačanje jano je da regulator zgleda na ljedeć načn: K R I I K K K K K Regulacjka taza ma jednu nulu dva pola pa joj je prjenona funkcja : K I 5 6 dok prjenona funkcja mjernog člana gla M ()= Kada to ve kupa ucrtamo u blok djagram kruga dobvamo ljedeću lku: K M rjenona funkcja zatvorenog kruga: K K R S z 5 6 K R S M 5 K 7 K 5 6 Karaktertčna jednadžba kruga: 5 K 7 K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

301 Routh : 7 K 5 K 7 K uvjet tablnot: K 5 Zadatak 5 Za utav zadan blok djagramom treba načnt ljedeće: () Defnrajte tp regulacjke taze komentrajte njenu tablnot () Odredte parametre regulatora koj tablzraju krug () Odredte parametre regulatora uz koje krug ma : tupanj prgušenja 5 ; neprgušenu vlattu frekvencju 4 K I = 5 (4) rovjerte dal krug regulatorom određenm u () bez greške u taconarnom tanju prat pobudnu funkcju w(t)=a (5) rovjerte dal krug regulatorom određenm u () bez greške u taconarnom tanju prat pobudnu funkcju w(t)=+t K KD 6 K I Rješenja: () rjenona funkcja regulacjke taze: S 6 Rječ je o članu koj je polom = netablan arametre ovog člana lako je odredt ako e poznaje opć oblk prjenone funkcje člana koj gla: K T odnono za netablan lučaj : K T U zadanom lučaju parametre člana lako je odredt z zadane prjenone funkcje: 6 6 S K T 94 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

302 A evo odzva ame taze na jednčnu odkočnu pobudnu funkcju (a=) rad preglednjeg prkaza zadanu u prvoj ekund ekpermenta 8 7 obuda odzv obuda Staza bez regulatora Vrjeme () Slka jano pokazuje da je ama taza netablna Stazu mo pobudl pobudnom funkcjom konačne ampltude a odzv je otšao u bekonačno što je fzkaln dokaz netablnot () Rad e o paralelnom ID regulatora čja u djelovanja zadana pojačanjma K K D K I pa je prjenona funkcja regulatora: I D I K K K K R K KD rjenona funkcja zatvorenog kruga je: 6 K K D KI 6 K K D KI R S z R S 6 K K D KI 6KD 6K 6KI Na onovu karaktertčne jednadžbe je moguće potavt ljedeće uvjete tablnot temeljene na čnjenc da poebno kod polnoma drugog reda v koefcjent budu poztvn : ) ) 6KD KD 6 6K K ) 6K K I I Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 95

303 () Zadano je : 5 ; n 4; KI 5 rpremmo prjenonu funkcju zatvorenog kruga na ljedeć načn: 6 K D I K D K K K K I KI z 6KD 6K 6K 6K I D 6K I 6K 6K Dobl mo karaktertčn jednadžbu drugog reda za koju vrjed: 6 4 n I n 6KD 6K 6K 6K 6 4 I 6KD K D 5 6 6K K 75 4 I (4) Zadano : K 75 K 5 K D I 5 w t a Za utav jednčnom negatvnom povratnom vezom vrjed: a U našem lučaju je to: E K I R D S K K R S E W W O R S E a a a lm lm e E Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

304 Račun pokazuje da utav bez greške u taconarnom tanju prat odkočnu pobudnu funkcju blo koje ampltude a To dokazujemo ljedećom nmkom odzva kruga gdje mo pobudu rad zornjeg prkaza znova zadal u prvoj ekund ekpermenta 6 4 obuda odzv obuda a= K =75 ; K D =5 ; K I = Vrjeme () obuda odzv obuda a= K =75 ; K D =5 ; K I = Vrjeme () (5) Nova pobudna funkcja t parametr regulatora: K 75 K 5 K 5 w t t D I Kako mo u ovom djelu zadatka promjenl amo pobudnu funkcju prjenona funkcja otvorenog kruga O otaje ta kao u lučaju d) wt t W Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 97

305 e lm E lm Račun pokazuje da krug greškom prat zadanu vodeću velčnu no pove točan gurno nje Negatvan predznak trajnog regulacjkog odtupanja pokazuje da je odzv po ampltud već od pobude odnono da krug ma kontantan prebačaj zadane vodeće velčne romlmo na tren jemo l mogl prognozrat ovakvo rješenje? Jano da jemo! Ako je utav pobudnu funkcju nžeg reda prato bez greške u taconarnom tanu onda je realno očekvat da će poratom reda pobude porat regulacjka greška Nakon nule ljedeć oblk greške je greška tpa kontante a to je ono što mo dobl Sve zrečeno dokazuje ljedeća lka provedenog ekpermenta u kojoj mo opet rad zornot prkaza pobudu zadal u prvoj ekund ekpermenta obuda odzv 5 4 obuda K =75 ; K D =5 ; K I = Vrjeme () 98 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

306 Zadatak 5 Regulacjk krug ma I-D regulator pojačanjma K K D K I regulacjku tazu S mjern član zanemarve dnamke () rojektrajte parametre regulatora koj će ogurat tablnot regulacjkog kruga () rojektrajte parametre regulatora za koje će utav bez greške u taconarnom tanju pratt Heavdeovu funkcju uzbude jednčne ampltude () rovjerte dal utav uz K I = bez greške u taconarnom tanju prat vodeću velčnu w(t)=t Rješenja: () Kao prvo uočmo da je regulacjka taza netablna jer ma jedan jedn pol znoa = Njenu netablnot potvrđujemo nmljenom prjelaznom funkcjom 6 obuda odzv 5 4 obuda Odzv Vrjeme () Obzrom da je zadan I-D regulator pojačanjma a ne vremenkm kontantama za dervacjko ntegralno djelovanje važno je znat nacrtat regulacjk krug K w K I S x KD Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 99

307 Nakon crtanja prmjenom pravla algebre blokova treba zračunat prjenonu funkcju zatvorenog kruga w K KI S K S D x Sa lke je jano da je prjenona funkcja otvorenog kruga: K O K K K I S S I SKD SKD rjenona funkcja zatvorenog kruga: S K KI K K K K K O S D S I z O S K KI K K D K KI S D K KI K S D I KK I z KD K KI Uvjet tablnot potavljamo z karaktertčne jednadžbe kruga: K K K D I Sv koefcjent polnoma drugog reda moraju bt poztvn z čega prozlaze parametr regulatora koj krug drže tablnm: K K I K K K D D () Za utav jednčnom negatvnom povratnom vezom vrjed: E W O e lme Uz O E KK K K K K SKD D KD I S I I K D D W W W K K O KI K D K K I K Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

308 K lm lm D e E K D K K I Rezultat pokazuje da krug bez greške u taconarnom tanju prat zadanu vodeću velčnu uz jedn uvjet da K I > Točnot u ovom lučaju ne ov o K D K rovjermo to ljedećm ekpermentom u kojem zadajemo K =4 K D = K I =5 jednčnu odkočnu pobudnu funkcju zadanu u prvoj ekund ekpermenta () obuda odzv obuda I-D regulator K =4 K D = K I = Vrjeme () Kako mo u ovom djelu zadatka promjenl amo pobudnu funkcju prjenona funkcja otvorenog kruga O otaje ta kao u prethodnom lučaju KD W() W() KD E() ( K ) K K ( K ) K K O D I D I D e lm E() lm ( K D ) K K I K Uz zadano K I = : K D e lm E lm K K D Račun pokazuje da krug greškom znoa - prat zadanu vodeću velčnu Negatvan predznak trajnog regulacjkog odtupanja uvjek pokazuje da je odzv po ampltud već od pobude odnono da krug ma kontantan prebačaj zadane vodeće velčne okažmo to ekpermentom prkazanm na donjoj lc gdje mo promjenl K koj onako ne djeluje na grešku obuda je zadana u prvoj ekund ekpermenta Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

309 4 obuda I-D regulator K = K D = K I = obuda odzv Vrjeme () Zadatak 54 Regulacjk krug ma I-D regulator pojačanjma K K D K I regulacjk tazu S mjern član zanemarve dnamke () rojektrajte parametre regulatora koj će ogurat tablnot regulacjkog kruga () rojektrajte parametre regulatora za koje će krug uz K D =5 mat tupanj prgušenja 6 neprgušenu vlattu frekvencju 5 Rješenja: () Kao prvo uočmo da je regulacjka taza tablan član jer ma jedan jedn pol znoa =- Njenu tablnot al zbog pojačanja od / netočnot potvrđujemo nmljenom prjelaznom funkcjom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

310 6 4 obuda odzv obuda rjelazna funkcja taze Vrjeme () Kako je zadan I-D regulator pojačanjma a ne vremenkm kontantama važno je znat nacrtat regulacjk krug w K I S x KD K rmjenom pravla algebre blokova treba zračunat prjenonu funkcju zatvorenog kruga z njene karaktertčne jednadžbe parametre regulatora kojma će zatvoren krug bt tablan K I K S K S S D Sa lke je jano da je prjenona funkcja otvorenog kruga: O K I K K S S S D a će prjenona funkcja zatvorenog kruga bt: K I S KI KS O SKD K I S z + K O I S KD K KIS KD K KI KS SKD Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

311 K I z KD K KI Uvjet tablnot potavljamo z karaktertčne jednadžbe kruga: K K K D I Sv koefcjent polnoma drugog reda moraju bt poztvn z čega prozlaze parametr regulatora koj krug drže tablnm K I K K KD K D () rpremmo prjenonu funkcju zatvorenog kruga na ljedeć načn: I z KD K KI K KD K K K I I Dobl mo karaktertčn jednadžbu drugog reda za koju vrjed: 5 5 n I n KD K 8 K K 5 I I KD K I 875 K 5 K K I 8 K 8 A tu je odzv kruga projektranm I-D regulatorom 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

312 obuda odzv obuda I-D ; K =8 ; K D =5 ; K I = Vrjeme () Zadatak 55 Metodom podešavanja polova odredte parametre regulatora za utav zadan blok djagramom a da zatvoren regulacjk krug ma 5 ; T 8 % S 6 4 Rješenje: Slka pokazuje ljedeće prjenone funkcje: K ; R S 6 4 olov taze u : =- =- Staza je očto tablna a rad realnh polova njena će prjelazna funkcja bt aperodkog karaktera što je prkazano ljedećom lkom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 5

313 obuda odzv obuda rjelazna funkcja taze Vrjeme () Slka pokazuje da odzv taze dvotruko nadmašuje traženu vrjednot zadanu pobudom što je blo očekvano jer je pojačanje taze K S = a to b e regulatorom trebalo popravt rjenona funkcja zatvorenog regulacjkog kruga je : 6K R S z R S 4 6K Karaktertčna jednadžba: 4 6K Treba potavt uvjete metode podešavanja polova (Tablca 7) : a a a a Ako to zjednačmo parametrma karaktertčne jednadžbe dobvamo: a a 4 6K rje zračuna parametra regulatora prvo treba odabrat l zračunat polove zatvorenog kruga U našem e lučaju polov mogu zračunat z zadanog vremena mrvanja (prlog Tablca 9) tupnja prgušenja zatvorenog kruga 4 4 Vrjed : TS n 4 T n p n p n S p n Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

314 Uvjek treba odabrat negatvno rješenje korjena za σ jer valja zadovoljt uvjet tablnot zatvorenog kruga Imamo rješenje za polove zatvorenog kruga koj čne konjugrano komplekn par: 464j ; 464j Sada e mogu zračunat tražen parametr regulatora koj će ogurat da zatvoren krug ma računom zadane polove a 4 koršten uvjet a a K K Sve rezultra prjenonom funkcjom zatvorenog kruga: z 6K 4 6K 4 6 R S R S Kako je pojačanje zatvorenog kruga jednako /6=85 prjelazna funkcja završava na vrjednot 85 a to znač da regulator otavlja trajno regulacjko odtupanje e 875 Ovakvo je ponašanje regulatora avm očekvano jer je netočnot njegova onovna značajka Dokaz tomu je odzv kruga na Heavdeovu pobudnu funkcju zadanu u prvoj ekund ekpermenta dan ljedećom lkom: obuda odzv obuda 4 Staza bez regulatora regulator K = Vrjeme () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 7

315 Zadatak 56 Metodom podešavanja polova odredte pojačanje vremenku kontantu I regulatora za utav zadan blok djagramom u ljedećm lučajevma: () da odzv kruga ma najbrž aperodk karakter () da zatvoren krug ma: 5 ; TS 4 ( %) 5 Rješenja: Slka pokazuje ljedeće prjenone funkcje: 5 R K ; S T olov taze u : =- =- Iz toga e može zaključt da je taza tablna da će njena prjelazna funkcja bt aperodkog karaktera što je prkazano ljedećom lkom obuda je zadana u prvoj ekund ekpermenta 5 obuda odzv 5 obuda rjelazna funkcja taze Vrjeme () rjelazna funkcja ame regulacjke taze Vdljvo je da odzv taze daleko nadmašuje traženu vrjednot zadanu pobudom što je uz pojačanje taze K S =5 očekvano 8 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

316 () Da b odzv utava mao najbrž aperodk karakter mora vrjedt da je a to znač da nt jedan pol zatvorenog kruga ne mje mat magnarn do (ω =) Itovremeno v polov zatvorenog kruga moraju mat jednak realn do rv je korak rješavanja problema pronalaženje prjenone funkcje zatvorenog regulacjkog kruga Z 5 T R S T R S K T K K K 5K 6 5 T Karaktertčna jednadžba : rema metod podešavanja polova za karaktertčnu jednadžbu trećeg reda vrjed: a a a a a a Ako to zjednačmo parametrma karaktertčne jednadžbe dobvamo: a a 5K 5K a T Iz prje opanog uvjeta ljede tr ta realna pola : a 5K 5K K 5K a T 5K T T Konačno ljed prjenona funkcja zatvorenog kruga: z K 5 T T 5K 5 T K Odzv zatvorenog kruga je prema očekvanom najbrž aperodk lučaj dan ljedećom lkom Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav 9

317 5 obuda odzv 5 obuda Staza bez regulatora I regulator ; K = ; T = 5 () Vrjeme () Sada je zadan harmončan odzv zatvorenog regulacjkog kruga koj mora mat vrjeme mrvanja od 4 tupanj prgušenja 5 Uz takav tupanj prgušenja očekuje e pototn prebačaj kruga M =6% (prlog Tablca 8) rjenona funkcja zatvorenog regulacjkog kruga ta je kao u lučaju (): z 5 T R S T R S K T K K K 5K 6 5 T Karaktertčna jednadžba kao u lučaju () : It u uvjet metode podešavanja polova (prlog Tablca 8) : a a a a a a Ako to zjednačmo parametrma karaktertčne jednadžbe dobvamo: a a 5K 5K a T Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

318 Da b mogl zračunat parametre regulatora prvo treba odabrat l zračunat polove zatvorenog kruga U našem e lučaju polov mogu zračunat z zadanog vremena mrvanja (prlog Tablca 9) tupnja prgušenja zatvorenog kruga 4 4 Vrjed : TS n T n S p n 7 n p n p Uočmo da mo odabral negatvno rješenje za σ jer moramo zadovoljt uvjet tablnot zatvorenog kruga Sada mamo rješenje za dva od tr pola zatvorenog kruga koj čne konjugrano komplekn par: 7j ; 7j Treć ćemo pol zračunat korteć uvjet koj prozlaz z metode podešavanja polova za parametar a : a Kako je lako je zračunat treć pol: Konačno polov zatvorenog kruga glae : 7 j 7 j otom e mogu zračunat tražen parametr I regulatora r tome e korte još nekoršten uvjet potavljen metodom podešavanja polova a a T koršten uvjet a 5K 5K a 5K 6 5K K 8 5K 5K a T T T 4 Sve rezultra ljedećom prjenonom funkcjom zatvorenog kruga z K 5 T T 4( ) K 5K 7 j 7 j 5 T Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

319 r tome je odzv kruga na Heavdeovu pobudnu funkcju zadanu u prvoj ekund ekpermenta dan ljedećom lkom: 5 obuda odzv 5 obuda 5 Staza bez regulatora I regulator ; K =8 ; T = Vrjeme () Zadatak 57 Za utav zadan lkom metodom podešavanje polova odredte parametre (pojačanje vremenke kontante) paralelnog ID regulatora da zatvoren krug ma polove: 5j 5j Rješenje: 5 T 6 6 Zadatkom je zadano : K T ; R d S Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

320 rjenona funkcja zatvorenog kruga gla: z K T T d T R S T R S d T K T K K Karaktertčna jednadžba zatvorenog kruga je: K 6 5K T 6 5K 5 4 d T Koefcjent ove jednadžbe prema metod podešavanja polova a uz zadane polove u ljedeć : 6 a 4 a 5 5 5K T 4 4 d a K K a 4 5 T Odavde je lako zračunat tražene parametre ID regulatora: K ; T 58 ; T 8 d Za one znatželjnje ljed uporedba prjelaznh funkcja taze kruga zatvorenog projektranm ID regulatorom 4 obuda odzv obuda Staza bez regulatora ID; K =; T =58; T d = Vrjeme () Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav

321 Zadatak 58 Za dnamčk utav zadan lkom odredte [7]: () Dferencjalne jednadžbe koje opuju dnamku gbanja kolca u mjeru x otklon njhala φ kada na kolca djeluje vanjka la f(t) () rjenone funkcje uz zlazne velčne pomaka kolca otklon njhala () Dkutrajte tablnot kolca njhala (4) Odredte proporconalno pojačanja ID regulatora K uz K I = K D = a koje će tablzrat otklon njhala Može l tako projektran ID regulator tablzrat položaj kolca? (5) Odredte otklon njhala φ (rad) nakon ekunde ako na kolca dovedemo lu f(t)= N uz parametre ID regulatora K = K I = K D = MJ f t x D Zadano: maa kolca M=5 kg maa njhala M = kg koefcjent trenja zmeđu kotača podloge D= N/m udaljenot od okretšta do centra mae njhala L= m moment nercje njhala J=6 Nm /rad u početnom trenutku utav mruje (U=) Rješenja: () Određvanje jednadžb gbanja: 4 Zbrka zadataka z teorje automatkog upravljanja Jednovarjabln utav