Teorija linijskih nosa~a II

Transcript

1 etoda la 4. ETODA SILA Kako je ranje re~eno, tat~k neodre en noa~ u takv noa~ koje nje mogu}e rje{t klju~vo z jedna~na ravnote`e. Razlog tome je to {to u kod tat~k neodre enh tema rubn uvjet potavljen tako da nje mogu}e za vak {tap odredt preje~ne le bar na jednom kraju {tapa, jer nema dovoljno rubnh uvjeta po lama. Umjeto njh potoje rubn ulov po pomjeranjma. etoda la je metoda kojom e rje{avaju tat~k neodre en noa~ u u{tn e zanva na tome da e odre en rubn uvjet po pomjeranjma zra`avaju ekplctno poebnm jedna~nama z kojh e dobvaju le u vezama koje odgovaraju tm pomjeranjma. Dakle, metoda e zanva na tome da e dat tat~k neodre en tem pretvara u tat~k odre en, tako da e odre en broj rubnh uvjeta po pomjeranjma ukda na taj na~n {to e veze kojom e obezbje uju rubn uvjet zamjenjuju odgovaraju}m lama, koje u nepoznate. Ovako dobven tem nazva e onovn tem to mora bt tat~k odre en noa~. Jano je da je broj uknuth veza, odnono nepoznath la, jednak tepenu tat~ke neodre enot, odnono negatvnoj vrjednot tepena lobode kretanja. Onovn tem je, dakle, tat~k odre en noa~, koj u potpunot odgovara zadatom tat~k neodre enom temu, zlo`en je tm utcajma (optere}enje, promjena temperature, ljeganje olonaca td.) optere}en nepoznatm lama koje odgovaraju uklonjenm vezama. Uklonjen rubn uvjet za pomjeranja e opuju jedna~nama, tako da e pomjeranja, korte} prncp uperpozcje, zra`avaju kao zbr pomjeranja uljed djelovanja datog optere}enja pomjeranja uljed djelovanja nepoznath la. Ovakvh jedna~na ma onolko kolko je blo uv{nh rubnh uvjeta po pomjeranjma nazvaju e jedna~ne kompatblnot. Na taj na~n e dobva tem od n lnearnh algebarkh jedna~na a n nepoznath. Rje{enja ovog tema jedna~na u nepoznate le koje odgovaraju uklonjenm vezama. Sve preotale nepoznate preje~ne le reakcje e ada dobvaju z uvjeta ravnote`e, jer e rje{ava tat~k odre en noa~ optere}en datm optere}enjem ra~unatm lama uklonjenh veza. 4.. Utcaj optere}enja Gornj potupak }e e pojant na dva na prmjera. Prv prmjer je prkazan na lc 4.. Rad e o kontnuranom dva puta tat~k neodre enom noa~u. A B Slka 4.. Rubn uvjet po pomjeranjma koje }emo zrazt ekplctno u: 59

2 etoda la. ugao zaokreta u ta~k A je jednak nul (uklje{tenje):. vertkalno pomjeranje ta~ke B je jednako nul: Umjeto ova dva uvjeta, ekplctno u e mogla zrazt neka druga dva rubna uvjeta po pomjeranjma, tj. odabrat druga~j onovn tem. Pr odabru onovnog tema jedn uvjet koj e mora po{tovat je da onovn tem mora bt tat~k odre en noa~, tj. preotal rubn uvjet za pomjeranja moraju obezbjedt nepomjerljvot tema. Veze kojma u navedena pomjeranja prje~ena zamjenjujemo odgovaraju}m lama: tako mo dobl onovn tem, koj je ekvvalentan zadatom temu. To zna~ da mo`emo navedene rubne uvjete po pomjeranjma zrazt preko onovnog tema.. Ugao zaokreta u ta~k A e mo`e ra~unat kao: gdje je: p + P + + S L L L NN TT + k EA EI - ugao zaokreta ta~ke A uljed GA djelovanja datog optere}enja na onovnom temu - (.5) - ugao zaokreta ta~ke A uljed djelovanja le - ugao zaokreta ta~ke A uljed djelovanja le Po{to je odno la pomjeranja lnearan mo`e e napat: gdje u ugao zaokreta ta~ke A uljed djelovanja jedn~ne le koja djeluje u pravcu mjeru le, a nepoznat momenat uklje{tenja, je ugao zaokreta ta~ke A uljed djelovanja jedn~ne le koja djeluje u pravcu mjeru le, je nepoznat ntenztet reakcje nepoznata la u uklonjenoj vez. Sada mamo: gdje je: + + p. Vertkalno pomjeranje ta~ke B je: p P vertkalno pomjeranje ta~ke B uljed djelovanja datog optere}enja na onovnom temu - vertkalno pomjeranje ta~ke B uljed djelovanja le - vertkalno pomjeranje ta~ke B uljed djelovanja le gdje u vertkalno pomjeranje ta~ke B uljed djelovanja jedn~ne le koja djeluje u pravcu mjeru le, a je vertkalno pomjeranje ta~ke B uljed djelovanja jedn~ne le koja djeluje u pravcu mjeru le. Sada mamo: 6

3 etoda la + + p + + p Korte} axwell-ohrov obrazac lako e mogu ra~unat vrjednot ~lanova matrce metode la: S L L S L L N N N N, +, + EA EI EA EI S L NN EA + L EI Vektor lobodnh ~lanova e dobvaju prema jedna~n (.5). Na taj na~n e dobva tem od dvje jedna~ne a dvje nepoznate. Natavak prora~una e atoj u rje{avanju prote grede optere}ene poznatm optere}enjem. Prmjer 4.. A A Slka 4.. Na lc 4.. je prkazan tem kod kojeg u rubn uvjet potavljen tako da je mogu}e na} reakcje veza a okolnom unutra{nje le u jednom {tapu z uvjeta ravnote`e. e utm, preje~ne le u preotalm {tapovma nje mogu}e na}, jer u rubn uvjet za ve preotale {tapove zadat preko pomjeranja drugh {tapova. U u{tn problem e rje{ava na t na~n. Jedna razlka je u tome {to e ada rad o unutra{njm vezama unutra{njm lama. Stepen tat~ke neodre enot jednak je. Rubn uvjet za pomjeranja koj }e bt uklonjen glae:. Ugao zaokreta prejeka A je jednak uglu zaokreta prejeka A ϕ A ϕ A. Horzontalno pomjeranje prejeka A je jednako horzontalnom pomjeranju prejeka A u xa uxa. Vertkalno pomjeranje prejeka A je jednako vertkalnom pomjeranju prejeka A u ya uya 6

4 etoda la Sl~no kao u prethodnom prmjeru mogla e odabrat blo koja ta~ka u kojoj }e e potavt ovakve jedna~ne. Napomnje e da ovdje nje blo mogu}e uklanjat vanjke veze, jer tada ne b bla obezbje ena nepomjerljvot tema. Veze koje u uklonjene zamjenjene u odgovaraju}m lama. U prejek A Potavljen u momenat, horzontalna vertkalna la, {to odgovara uglu zaokreta ϕ A, horzontalnom vertkalnom pomjeranju u, repektvno. U prejek A potavljene uxa ya u le tog ntenzteta pravca, al uprotnog mjera, {to odgovara ϕ A, uxa, u ya. Potavljanjem la u parovma dobvaju u relatvna pomjeranja:, : P P P gdje je - relatvn ugao zaokreta prejeka A u odnou na prejek A. Po{to e rad o krutom uglu ovaj ugao je jednak nul. je relatvn ugao zaokreta navedenh prejeka uljed tovremenog djelovanja para jedn~nh momenata u prejecma oko ta~ke A, je relatvn ugao zaokreta uljed djelovanja para jedn~nh horzontalnh la, je relatvno horzontalno pomjeranje prejeka A u odnou na prejek A uljed djelovanja para jedn~nh vertkalnh la, td., u nepoznate unutra{nje le u ta~k A., Rje{avanjem tema jedna~na dobvaje e ove nepoznate natavak rada e vod na rje{avanje konzolnog tat~k odre enog noa~a. Gornj tem jedna~na e mo`e napat u matr~nom oblku: + p (4.) Jedna~na (4.) predtavlja op{t oblk tema jedna~na metode la pr rje{avanju tat~k neodre enh noa~a optere}enh vanjkm optere}enjem. Vektor je vektor nepoznath la, koje mogu bt unutra{nje l vanjke, a vektor P je vektor lobodnh ~lanova koj u jednak pomjeranjma u pravcu na mjetu uklonjenh veza od optere}enja, tj. na mjetu u pravcu nepoznath la. Dmenzje ovh vektora u jednake tepenu tat~ke neodre enot noa~a. atrca nazva e matrcom metode le, koja, to kao kompletna jedna~na (4.) zav od zbora onovnog tema. 4.. Pomjeranje olonaca Po vojoj defncj olonc u nepomjerljve ta~ke. e utm, poznato je da e ve gra evnke kontrukcje u tvarnot temelje na tlu. Uljed te`ne objekta kornog optere}enja nezbje`no dolaz do pomjeranja temelja (naj~e{}e vertkalnog, rad zbjanja tla), tako da e mo`e re} da u tvarnot ne potoje olonc koj u nepomjerljv. Ukolko u pomjeranja olonaca konfguracja noa~a takv da zazvaju deformacje noa~a, tada e javljaju e unutra{nje le. Drugm rje~ima, ukolko u pomjeranja takva da zazvaju pomjeranja kompletnog tema kao krutog tjela, tada e ne pojavljuju le uljed ljeganja olonaca. Takav je lu~aj kod tat~k odre enh noa~a, te kod tat~k neodre enh noa~a gdje v olonc u jednom pravcu maju to pomjeranje. Ina~e, prncp je da u kru}e kontrukcje ojetljvje na pomjeranje olonaca, jer velka krutot zna~ velku lu pr malom pomjeranju. Po{to u 6

5 etoda la gra evnke kontrukcje u prncpu krute, relatvno malo pomjeranjr jednog olonca u odnou na drug (dferencjalno ljeganje) mo`e zazvat velke napone u {tapovma. Pr prakt~nom projektovanju kontrukcja clj projektanta kontrukcje je da oblkovanjem dmenzonranjem temeljne kontrukcje onemogu} pojavu dferencjalnh ljeganja, odnono da pomjeranja kompletne kontrukcje uljed nemnovnog ljeganja tla pod objekta budu prbl`no ujedna~ena. Ukolko e pomjeranja pojednh olonaca poznata, prora~un tat~k neodre enog noa~a metodom la je u onov t. Jedna razlka je u odre vanju lobodnh ~lanova tema jedna~na metode la. Pretpotavmo da e ra~una tem bez optere}enja a zadatm pomjeranjma olonaca, kako je prkazano na lc 4.. A c c c B C R R R Slka 4.. R Pretpotavmo da u poznata vertkalna ljeganja olonaca A, B C: c,c c. Sada je ugao zaokreta u ta~k A jednak: S + + gdje je prema jedna~n (.5): S R c Rc Rc. Vertkalno pomjeranje ta~ke B ada nje jednako nula, ve} rubn uvjet za ovo pomjeranje gla da je vertkalno pomjeranje ta~ke B jednako c. Dakle: Stem jedna~na metode la ada gla: + R c Rc c + S + S S R c Rc Rc, S Rc + c + Rc Dakle, pr rje{avanju tat~k odre enh noa~a uljed djelovanja ljeganja olonaca metodom la potupak e atoj u ljede}em: 6

6 etoda la. Uvaja e onovn tem koj treba bt tat~k odre en. Zadata pomjeranja olonaca nemaju utcaj na zbor onovnog tema.. Tra`e e reakcje na onovnom temu od djelovanja jedn~nh la.. Slobodn ~lan e ra~una kao rad th reakcja na zadatm pomjeranjma a negatvnm predznakom. U lu~aju da je onovn tem odabran tako da je uklonjena veza koja odgovara zadatom pomjeranju, tada reakcja u toj vez ne potoj. Zadato pomjeranje e u vom cjelom znou, pomno`eno a -, pojavljuje jedno u jedna~n koja e odno na to pomjeranje. 4. Dalj potupak je potpuno t kao kada je tem zlo`en utcaju optere}enja. 4.. Utcaj temperature Sl~no kao za ljeganje olonaca, jedna razlka pr prmjen metode la za prora~un preje~nh la uljed ravnomjerne l neravnomjerne promjene temperature jete prora~un lobodnh ~lanova. Prora~un lobodnh ~lanova e zanva na axwell- ohr-ovom obracu. t + t/ D A t - t/ B C Slka 4.4. Za tem zlo`en ravnomjernoj neravnomjernoj promjen temperature onovn tem prkazan na lc 4.4. mamo: T T T gdje je T S L S t α N α t d;,, (4.) t d + h L t To zna~ da kada prmjenjujemo metodu la za ravnomjernu promjenu temperature, lobodn ~lan e ra~una tako {to e povr{na djagrama normalnh la od djelovanja jedn~ne le mno` a term~km koefcjentom vrjedno{}u promjene temperature. Sle zatezanja zagrjavanje u poztvn. Pr neravnomjernoj promjen temperature, za {tapove kontantne vne, lobodn ~lan e dobva mno`enjem povr{ne djagrama momenata uljed djelovanja jedn~ne t le a kontantom α t. Umno`ak je poztvan kada je deformacja avjanja od h 64

7 etoda la momenta odgovara deformacj od temperature (npr. poztvan momenat odgovara zagrjavanju donje zone noa~a, jer zazva tezanje donjh vlakana). Efkanot metode la pr njenoj prmjen najv{e zav od dobrog zbora onovnog tema. Da b e tem rje{o, dovoljno je da onovn tem bude tat~k odre en noa~. e utm, da b e dobo tem jedna~na metode la onovn tem e mora v{e puta rje{t, tako da je jako btno odabrat jednotavan onovn tem. Onovn tem e mo`e atojat z dva jednotavna noa~a, {to je ~eto mnogo prakt~nje nego kortt jedntven komplkovan onovn tem. U prncpu, pr zboru onovnog tema, treba zbjegavat trozglobne noa~e na~e noa~e koj u eb adr`e nulto polje za neku unutra{nju lu. Prmjena metode la za prora~un tat~k neodre enh noa~a u polednje vrjeme gub na va`not. Kako je vdljvo z gore navedenog, metodom la e pot`e to da e rje{avanje tat~k neodre enh noa~a vede na rje{avanje tat~k odre enh noa~a, {to je u vrjeme ru~nog tat~kog prora~una blo jako pogodno za mnoge tandardne tpove noa~a, jer u e va kutva te~ena na tat~k odre enm noa~ma mogla kortt pr prora~unu. e utm, ova metoda nje pogodna onova za razvoja oftvera za prora~un, jer ju je te{ko tandardzrat. Stoga je dana poznavanje metode deformacja od daleko ve}e va`not, jer je ona razvjena na prncpma koj u l~n prncpma na kojm je razvjena metoda kona~nh elemenata, koja je dana tandard za analzu kontrukcja, bez obzra na njhovu lo`enot..4. Prora~un pomjeranja utcajnh lnja metodom la Nakon {to e zra~unaju preje~ne le metodom la, prora~un vh otalh utcaja na tat~k neodre enm noa~ma e mo`e zvr{t kor{tenjem tog onovnog tema. Pomjeranje neke ta~ke e mo`e zra~unat uperpozcjom pomjeranja te ta~ke uljed djelovanja datog utcaja (optere}enja, temperaturne promjene l ljeganja olonaca) la u uklonjenm vezama koje u zra~unate rje{avanjem tema jedna~na metode la. A A Slka 4.5. Pretpotavmo da je tat~k neodre en noa~ rje{en pomo}u onovnog tema kako je prkazano na lc 4.5. da je potrebno na} vertkalno pomjeranje ta~ke A, te utcajne lnje za preje~ne le vertkalno pomjeranje ta~ke A. Vertkalno pomjeranje ta~ke A jednako je: u ya u (4.) ya A A A 65

8 etoda la gdje je: u ya - vertkalno pomjeranje ta~ke A na onovnom temu uljed djelovanja optere}enja A, A, A - vertkalno pomjeranje ta~ke A na onovnom temu uljed djelovanja jedn~nh la.,.,., repektvno,, - le u uklonjenm vezama, ra~unate metodom la Na t na~n e mogu dobt v drug potrebn utcaj, uklju~uju} utcajne lnje za preje~ne le pomjeranja. Utcajna lnja za momenat u ta~k A e ra~una pomo}u ljede}eg zraza: " A " " A" + A" " + A" " + A" " gdje je: " A "- utcajna lnja za momenat u ta~k A na onovnom temu A, A, A - momenat u ta~k A na onovnom temu uljed djelovanja jedn~nh la.,.,., repektvno " "," "," " - utcajne lnje za le u uklonjenm vezama. Potpuno analogn zraz e korte za znala`enje utcajnh lnja za tranverzalne normalne le. Vdljvo je da e pr ra~unanju utcajnh lnja za preje~ne le problem vod na odre vanje utcajnh lnja za le u uklonjenm vezama. U onov potupak je t kao kada je noa~ optere}en talnm optere}enjem. atrca metode la e odre uje na potpuno t na~n premno`avanjem djagrama momenata ( normalnh la) dobvenh djelovanjem jedn~nh la u uklonjenm vezama. Jedna razlka je u odre vanju vektora lobodnh ~lanova P (4.4) P P ^lanov P, P, P ada predtavljaju generalana pomjeranja ta~aka u pravcu la,, uljed djelovanja jedn~ne pokretne le. To zna~ da u ov ~lanov u funkcj polo`aja jedn~ne pokretne le, pa amm tm nepoznate,,, {to zna~ da rje{enja ovog tema jedna~na predtavljaju utcajne lnje za le u uklonjenm vezama. Slobodn ~lanov, e ra~unaju na onovu axwell-ove P P, P teoreme o uzajamnot pomjeranja, odakle ljed da je pomjeranje u pravcu le uljed djelovanja pokretne jedn~ne le jednako ugbnoj lnj djela noa~a po kojem e la kre}e od djelovanja jedn~ne le. (vd obja{njenje za utcajne lnje za pomjeranja). Utcajne lnje za pomjeranja na tat~k neodre enm noa~ma e nalaze na t na~n kao utcajne lnje za preje~ne le: " u ya ya A A A " " u " + " " + " " + " " (4.5) gdje je: " u " ya - utcajna lnja za vertkalno pomjeranje ta~ke A na onovnom temu, a zna~enje otalh parametara je nepromjenjeno u odnou na gornje jedna~ne. 66

9 etoda la Rje{avanje tema jedna~na gdje u lobodn ~lanov promjenjv predtavlja zahtjevan zadatak, poebno ako e rad o v{e puta tat~k neodre enm noa~ma. Stoga e u prak jedno korte utcajne lnje za kontnurane noa~e koje e mogu efkano odredt pomo}u Klajperonovh jedna~na..5. Prora~un kontnuranh noa~a U prakt~nom prora~unu, tat~k neodre en noa~ koj e naj~e{}e analzraju u kontnuran noa~. To poebno va` ako e kontrukcja analzra na taj na~n da e ratavlja na nz jednotavnjh tema. Kontnuran noa~ je utvar jedan prav {tap koj e olanja na v{e olonaca. Prema ovoj defncj prota greda, konzola, prdr`ana konzola, te obotrano uklje{tena greda u, tako e, vrta kontnuranh noa~a, al e ob~no pod pojmom kontnuran noa~ podrazumjevaju noa~ olonjen na v{e od tr olonca. Slka 4.6. Prdr`ana konzola, obotrano uklje{tena greda kontnuran noa~ Obzrom na u~etalot pojave kontnuranh noa~a u prakt~nom prora~unu, n`njer u e trudl da prora~un kontnuranh noa~a na~ne makmalno efkanm. Kao najefkanja metoda e pokazala metoda la pr ~emu e za onovn tem bra nz proth geda, kako je pokazano na lc 4.7. Poljedca toga je to da u nepoznate le uvjek moment avjanja nad oloncma. L L L L L + L n L n+ - + n.. 67

10 etoda la.. +. Slka 4.7. Kontnuran noa~ jedn~n djagram momenata atrca metode la e dobva na uob~ajen na~n premno`avanjem djagrama momenata uljed djelovanja jedn~nh la. Ono {to je pecf~no za ovako odabran onovn tem je to {to je djagram momenata od jedne jedn~ne razl~t od nule na amo dva polja na tm poljma ma uvjek t oblk jedncu na oloncu gdje jedn~n momenat djeluju nulu na otalm oloncma. Na prkazanom prmjeru na ljevom kraju e nalaz uklje{tenje. Nepoznat momenat u uklje{tenju }emo ozna~t a, kako b op{te dobvene jedna~ne mogl kortt kada na ljevom kraju mamo zglob. Premno`avanjem prkazanh djagrama momenata na lc 4.7. dobvamo: L L ; ;... n EI 6EI ; L L L L ; + ; ;... n 6EI EI EI 6EI ; L L L + L +... ( ) ; ( ) ; + ; ( + ) ; ( + )... n 6EI EI EI+ 6EI+ ; Ln Ln Ln n... ( n ) n ; ( n ) n ; nn + 6EIn EIn EIn ; Slobodne ~lanove jedna~ina metode la dobvamo premno`avanjem djagrama momenata od optere}enja a djagramma momenata od jedn~nh la. Djagram momenata od optere}enja predtavlja nz nezavnh djagrama momenata proth greda. Premno`avanje djagrama a djagramom momenata od optere}enja e vod na premno`avanje amo na raponma L L + : L L + P P P + EI (4.6) EI + Prv ntegral u jedna~n (4.6) predtavlja ugao zaokreta prejeka uz den olonac prote grede du`ne L optere}ene datm optere}enjem, a drug ugao zaokreta prejeka uz ljev olonac prote grede du`ne L +. Korte} ohr-ovu analogju uglov 68

11 etoda la zaokreta uz olonce u na konjugovanom noa~u fktvne reakcje, tako da e ~eto u lteratur ov lobodn ~lanov zra`avaju kao: R + R R (4.7) P L D Ove reakcje zave jedno od zadatog optere}enja, rapona momenta nercje, tako da e, za kontan moment nercje, mogu ra~unat za razna optere}enja zrazt preko du`ne grede. Sada e -ta jedna~na metode la mo`e napat kao: L 6EI L EI L + + EI L + + 6EI R + + (4.8) Ukolko uvedemo pojam fktvne du`ne polja defnan kao kol~nk tvarne du`ne prozvoda modula deformacja momenta nercje grede u tom polju dobvamo op{tu jedna~nu metode la za kontnuran noa~, gdje u nepoznate moment znad olonaca kontnuranog noa~a: ' ' ' ' ( L + L ) + L + 6R L (4.9) Jedna~na (4.9) e nazva Klajperonova l tromomentna jedna~na. Korte} ovu jedna~nu drektno e dobvaju jedna~ne ~jm e rje{avanjem dobvaju moment u oloncma kontnuranog noa~a. U tarjoj lteratur potoj velk broj tablca a rje{enm kontnuranm noa~ma, koje u, do pojave ra~unara, ble onovno redtvo za analzu kontrukcja. U dana{njm ulovma, pr prora~unu kontnuranh noa~a btno je odredt {eme optere}enja uljed kojh e javljaju makmaln tra`en utcaj. Drugm rje~ma, potrebno je odredt polo`aje zadatog pokretnog optere}enja pr kojem nataje makmaln utcaj (momenat u nekom prejeku, reakcja, ugb td.). Naravno, ovo je mogu}e utanovt jedno ako u nam poznat oblc utcajnh lnja za pojedne utcaje. Ob~no u kontnuran noa~ optere}en talnm optere}enjem koje e unformno raprotre po cjeloj du`n noa~a pokretnm optere}enjem. Pokretno optere}enje mo`e bt ravnomjerno podjeljeno l u vdu koncentranh la. Ravnomjerno podjeljeno optere}enje mo`e bt kontantne l promjenjve du`ne. Na lc 4.8. u prkazan oblc utcajnh lnja za reakcje, momenat u polju momenat nad oloncem za kontnuran noa~. Oblk ovh utcajnh lnja je poznat vakom gra evnkom n`njeru. Iz prkazanh utcajnh lnja je jano da je pokretno optere}enje, da b e dobla makmalna reakcja u nekom oloncu, potrebno potavt u polja oko olonca, a zatm na vako drugo. Itom {emom optere}enja e dobva mnmaln moment nad oloncem. Za makmaln moment u polju pokretno optere}enje e potavlja u to polje, a zatm u vako drugo. R 69

12 etoda la P Slka 4.8. Utcajne lnje na kontnuranom noa~u Dakle, prlkom prora~una kontnuranh noa~a potrebno je zvr{t prora~un za v{e {ema optere}enja. Za vaku {emu optere}enja e ra~unaju makmaln utcaj u vakom prejeku na taj na~n e dobva tzv. anvelopa utcaja. Na lc 4.9. je prkazana tp~na anvelopa momenata za kontnuran noa~. Poztvn moment u dobven preko {ema za makmaln momenat u polju, a negatvn preko {ema za mnmaln moment nad oloncem. Donedavno u utcajne lnje ble najefkanje redtvo za dobvanje prbl`ne anvelope utcaja. Name, po defncj anvelopa utcaja predtavlja makmaln utcaj u vakom prejeku. To zna~ da anvelopa momenata predtavlja makmalnu poztvnu negatvnu vrjednot momenta u vakom prejeku od zadatog talnog pokretnog optere}enja. Na onovu oblka utcajnh lnja potavljaju e odgovaraju}e {eme optere}enja vr{e e prora~un kompletnog noa~a za te {eme. Slka 4.9. Anvelopa momenata na kontnuranom noa~u Ukolko unutar pokretnog optere}enja potoje koncentrane le, da b e dobla ta~na anvelopa momenata potrebno je ntegrrat utcajne lnje za momenat u vakom prejeku, {to je prakt~no nemogu}e zvet. Razvojem memorje ra~unara, prozvo a~ oftvera za analzu kontrukcja u ovaj problem rje{l na drektan na~n. Name, kao ulazn podatak e zadaju vrjednot ntenzteta pokretnog optere}enja (koncentrane le l ravnomjerno optere}enje) njhov me uobn polo`aj, koj mo`e bt zadat trodmenzonalno. Potom e zadaje putanja kojom to optere}enje mo`e pro} preko kontrukcje. Prora~un e vr{ tako da e zadata {ema pomjera po zadatoj putanj za vak polo`aj optere}enja e zvr{ prora~un kompletnog noa~a. Softver pamt makmalne poztvne negatvne utcaje u vakom prejeku nakon vakog polo`aja optere}enja. Ratojanje zme u prora~unkh polo`aja optere}enja e daje kao ulazn podatak zav od vel~ne modela memorje ra~unara. Naravno, ovakav potupak ma mla jedno ako u koncentrane pokretne le tako velke da maju znatan utcaj na dmenzonranje kontrukcje (objekt preko kojh mogu pre} te{ka vozla). 7

13 etoda la.6. Pojednotavljenje metode la Kako je ranje re~eno, metoda la je do pojave ra~unara bla naj~e{}e upotrebljavana metoda prora~una kontrukcja. U takvm ulovma najte`a faza prora~una je bla rje{avanje tema jedna~na, poebno za v{etruko tat~k neodre ene noa~e. Rad toga u razvjane metode kojma e rje{avanje tema jedna~na l zbjegavalo l pojednotavljvalo. ETODA ELASTI^NOG TE@I[TA Clj ove metode je da e formraju takve jedna~ne metode la gdje }e v ~lanov matrce, om djagonalnh, bt jednak nul. U op{tem lu~aju ovo e mo`e pot} tako da e za odabran onovn tem ra~una matrca metode la karaktert~n polnom te matrce, odnono optvene vrjednot optven vektor matrce. Ovakav prtup mo`e bt jako komplkovan u vojo prmjen. e utm, kod tr puta tat~k neodre enh noa~a, koj u uklje{ten l u dat u zatvorenoj form bez zglobova, ovaj potupak e mo`e na provet na relatvno jednotavan na~n. Onovn tem opanh tat~k neodre enh noa~a e mogu dobt uklanjanjem veza koje odgovaraju momentu, horzontalnoj vertkalnoj l. Ozna~mo horzontalnu lu a, vertkalnu a momenat a, kao na lc 4.. y α x b a Slka 4.. Za ovakav onovn tem dob}emo tem jedna~na: P + + (4.) + P P Za ovakav tem mo`emo napat jedna~ne momentnh lnja uljed djelovanja jedn~nh la: y x;.. Uvr{tavaju} ove funkcje u zraze ; za ~lanove matrce metode la dobvamo: d; xyd; yd; x d xd y ; Clj je potavt ove le na takav na~n da nov tem jedna~na bude oblka: 7

14 etoda la P P P To zna~ da polo`aj nagb jedne od la moraju bt takv da budu zadovoljen ulov: ; ;. Uzmaju} u obzr oznake na lc 4.. mo`emo napat ljede}e jedna~ne za jedn~ne momente kada le zauzmu `eljen polo`aj: ( y b) coα + ( x a) nα; x a;. gdje u a b - koordnate polo`aja elat~nog te`{ta, tj. ta~ke gdje treba potavt nepoznate le kako b e dobla djagonalna matrca metode la, α - ugao djelovanja le u odnou na horzontalu. Ove tr vel~ne e dobvaju z tr ulova: ( x a) nα ( x a)( [ x a) nα ( y b) coα ] ( x a) d ; [( x a) nα ( y b) coα ] d d xd a d ; d a a ( x a) d coα ( y b) d nα coα( b ) tanα ( y b)( x a) + + tanα Prmjer 4.. d xyd bxd ayd + ab ( x a) d x d a xd + a d b d Pomo}u elat~nog te`{ta na} djagram momenata za dat tem:... 9.,.5, 6., 4.5,.5, *.5.5*6 a.5m; b.75m; tanα 6 6 6*

15 etoda la ; (.9 +,575) P kN P kN 9.5 P kNm kNm A B C D kNm kNm kNm Kod metr~nh noa~a ugao α je jednak nul, ako e le zadaju u pravcu okomto na o metrje. U prkazanom prmjeru to b e moglo pot} ako e le zadaju pod uglom od 45 o, jer e oa metrje noa~a nalaz pod tm uglom. Za nemetr~ne noa~e potoj mogu}not da e le tave u elat~no te`{te bez njhovog rotranja. U tom lu~aju je. DVOJNE SILE Ovm potupkom e tem jedna~na metode la ratavlja na dva tema a manjm brojem nepoznath, {to olak{ava pronala`enje nepoznath la. Onovn ulov za prmjenu ovog potupka je da noa~ mora bt metr~an. Optere}enje mo`e bt zadato prozvoljno. Su{tna potupka je da e optere}enje nepoznate zadaju kao zbr metr~nh antmetr~nh komponent. Pomatrajmo noa~ dat na lc 4.. Zadato optere}enje e lako mo`e ratavt na metr~no antmetr~no. Onovn tem mora bt tako er metr~an. Pr tome e nepoznate le daju u parovma, tako da jedan par daje metr~n, a drug antmetr~n djagram momenata. Na taj na~n e dobvaju amo metr~n antmetr~n djagram, koje treba premno`avat. Jano je da e 7

16 etoda la premno`avanjem metr~nog antmetr~nog djagrama dobva nula, {to za poljedcu ma dva odvojena tema jedna~na: u jednom u nepoznate le koje daju metr~ne djagrame momenata, a u drugom le koje daju antmetr~ne djagrame. P q H P/ q/ P/ P/ q/ H/ H/ H/ H/ / / / P/ q/ / Smetrčne le Antmetrčne le Slka 4.. Potupak dvojnh la P P + P P P P Sada u reakcje u oloncma A B jednake: R + AV AH A 4 R R BV BH B 4 R