LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA

Transcript

1 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE MATEMATIČKE METODE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Studenti : Nikolina Jakšić Kornelije Kraguljac

2 1. Laplaceova tranformacija U matematici potoji više vrta tranformacija funkcija: Fourierova, Laplaceova, Poionova, Mellinova... Zajedničko im je da e definiraju pomoću integrala pa e zovu i integralne tranformacije, a natale u iz dubokih matematičkih i praktičnih razloga. Uz druge važne primjene, Laplaceova tranformacija ima i primjenu u rješavanju linearnih difercijalnih jednadžbi (kupa početnim uvjetima Cauchyev problem). Takva e primjena može e prikazati hematki: Diferencijalna jednadžba Algebarka jednadžba Rješenje diferencijalne jednadžbe Rješenje algebarke jednadžbe Za razumijevanje Laplaceove tranformacije potrebno je poznavati pojam nepravog integrala, pojam vektorkog protora ( u ovom lučaju to će biti vektorki protor funkcija definiranih bar za ve pozitivne brojeve) i pojam linearnog operatora. Linearni operator je tranformacija na vektorkim protorima koja zbroj prebacuje u zbroj, razliku, i općenito, linearnu kombinaciju u linearnu kombinaciju.

3 Laplaceove tranformacije rješavaju problem na način da diferencijalne jednadžbe prevode u algebarki problem. Jedna od prednoti je da rješava inicijalno tanje bez potrebe za prvom determinacijom općeg rješenja i onda i njega dobivanja parcijalnih rješenja. Dok kod rješavanja nehomogenih jednadžbi klaičnim metodama prvo moramo riješiti odgovarujuću homogenu jednadžbu, kod Laplaceove tranformacije izravno dolazimo da rješenja nehomogenih jednadžbi Laplaceova tranformacija. Inverzna tranformacija. Linearnot. Neka je f ( t ) dana funkcija koja je definirana za ve pozitivne vrijednoti od t. Množenjem funkcije f ( t ) a t e i integriranjem a granicama od nula do bekonačnoti. Ako dobiveni integral potoji onda je to funkcija od i pišemo F( ): =. F( ) e f ( t) dt Ta funkcija F( ) zove e Laplaceova tranforma od originalne funkcije f ( t ), te ju zapiujemo kao L( f ). =. L( f )( ) e f ( t) dt Opiana operacija f ( t ) naziva e Laplaceova tranformacija. Nadalje originalna funkcija f ( t ) zove e inverzna tranforma ili inverzija od F( ) te ju zapiujemo L 1 ( F) : 1 f ( t) = L ( F). 3

4 Primjer 1. Neka je f ( t ) = 1 kada je t > tada dakle, kad je >, 1 L( f ) L(1) e dt = - e I = = ; 1 L(1) = -. Najvažnije vojtvo dano je u ljedećem teoremu. Teorem 1 ( Linearno vojtvo ). Laplaceova tranformacija je linearna tranformacija koja je za vaku funkciju f ( t ) i g( t ) za koje potoji Laplaceova tranforma i kontante a i b imamo { } L af ( t) + bg( t) = al( f ) + bl( g) Dokaz. Prema definiciji { ( ) + ( )} = [ ( ) + ( )] L af t bg t e af t bg t dt = a e f ( t) dt + b e g( t) dt = al( f ) + bl( g). 4

5 Neke elementarne funkcije f ( t ) i njihove Laplaceove tranformacije L( f ) dane u u tablici 1. Tablici 1. f ( t ) f ( t ) L( f ) f ( t ) L( f ) 1 1 1/ 6 e at 1/(-a) t 1/ 7 co ωt /( +ω ) 3 t!/ 3 8 in ωt ω/( +ω ) 4 t n (n=1,,...) 5 t a (a poitive) n!/ n+1 9 coh at /( -a ) (Γ(a+1))/( a+1 ) 1 inat at a/( -a ) Teorem. Firt hifting theorem. Ako je L( f ) = F( ) kada je > α, tada je at { } L e f ( t) = F( a) ( > α + a) ; dakle, uptitucija a a u odgovarajućem tranformu i množenjem at originalnom funkcijom a e. 5

6 Dokaz. Prema definiciji, = F( ) e f ( t) dt i, tada, ( a) t at at ( ) = ( ) = ( ) = ( ). { } F a e f t dt e e f t dt L e f t Primjer. Koriteći Teorem na formulama 4, 7 i 8 u Tablici 1 dobivamo ljedeće rezultate. f ( t) L( f ) e t at n n! ( a) n+ 1 e at co ωt a ( a) + ω e at in ωt ω ( a) + ω Za funkciju f ( t ) kažemo da je po dijelovima kontinuirana na konačnom intervalu a t b a t b ako je definirana za takav interval i za interval koji e može podijeliti na više konačnih intervala. 6

7 Teorem 3 (Potojeći teorem). Neka f ( t ) funkcija koja je po dijelovima kontinuirana za vaki konačni interval gdje je t i zadovoljava f ( t) Me αt za t i za neke kontanate α i M. Tada Laplaceova tranforma od f ( t ) potoji za ve > α. Dokaz. Budući da je f ( t ) po dijelovima kontinuirana, t e f ( t) je itegrabilna za vaki konačni interval na t oi, i iz f ( t) Me αt lijedi αt ( α ) t M ( α L( f ) = e f ( t) dt e f ( t) dt e Me dt = M e dt = α > ). U lučaju kada dvije funkcije imaju jednaku Laplaceovu tranformu, one u potpuno identične. 7

8 1.. Laplaceove tranforme derivacije i integrala. Sad ćemo vidjeti, grubo govoreći, difereciranje i integriranje funkcije f ( t ) odgovara množenju i dijeljenju Laplaceove tranforme F( ) = L( f ) a. Velika važnot ovog vojtva Laplaceove tranformacije je očita, jer na taj način računke operacije mogu biti zamijenjene a jednotavnim algebarkim operacijama. Mi počinjemo a ljedećim teoremom. Teorem 1 (Diferenciranje f ( t ) ). Pretpotavimo da je f ( t ) kontinuirana za ve t i zadovoljava αt za kontante α i M, i ima derivaciju f '( ) f ( t) Me t koja je po dijelovima kontinuirana za vaki konači interval t. Tada Laplaceova tranforma derivacije f '( t ) potoji kad je > α, i L( f ') = L( f ) f () ( > α ). Dokaz. Za lučaj kada je derivacija f '( t ) kontinuirana za ve t, parcijalnim integriranjem lijedi. L( f ') = e f '( t) dt = e f ( t) + e f ( t) dt 8

9 Uvrštavanjem L( f ') = L( f ) f () u drugu derivaciju f ''( t ) dobivamo L( f '') = L( f ') f '() [ ] = L( f ) f () f '() = L( f ) f () f '() Na ličan način dobivamo i treću derivaciju L f L f f f f 3 ( ''') = ( ) () '() ''() i otale. Teorem (Derivacija za bilo koji n) ( n Neka u funkcije f ( t ) i njezine derivacije f '( t ), f ''( t ),..., f 1) ( t) αt kontinuirane funkcije za ve t, zadovoljavajući f ( t) Me za ( n kontante α i M, i neka derivacija f ) ( t ) koja je po dijelovima kontinuirana za vaki konači interval t. Tada Laplaceova tranforma ( n od f ) ( t ) potoji kada je > α, i dana je formulom ( n) n n 1 n ( n 1) L( f ) = L( f ) f () f '()... f (). Primjer 3. Neka f ( t) = t /. Nađimo L( f ). Mi imamo f () =, f '() =, f ''( t) = 1. Budući L(1) = 1/, mi dobivamo iz L( f '') = L( f ) f () f '() 1 L( f '') = L(1) = = L( f ) ili t 1 L( ) =. 3 9

10 Primjer 4. Neka je f ( t) = coωt. Nađimo L( f ). Imamo f () = 1, i nadalje f t t f f t t f t '( ) = ω in ω, '() =, ''( ) = ω co ω = ω ( ). Iz toga i L( f '') = L( f ) f () f '() lijedi ω L( f ) = L( f '') = L( f ) ili ω L( f )( + ) =. I dobivamo očekivani rezultat L(co ωt) =. ( + ω ) Sad mo vidjeli da diferenciranje f ( t ) odgovara množenju L( f ) a. A ad ćemo pokazati da integriranje f ( t ) odgovara dijeljenju L( f ) a. Teorem 3 ( Integriranje f ( t ) ). Ako je funkcija f ( t ) po dijelovima kontinuirana i zadovoljava nejednakot f t α t ( ) Me za t, tada je 1 L f ( τ ) dτ = L{ f ( t) } (>,> α). 1

11 Dokaz. Pretpotavimo da f ( t ) je po dijelovima kontinuirana i zadovoljava f t α t ( ) Me za t za kontante α i M. Ako pretpotavimo da je α pozitivan tada je integral t g( t) f ( τ ) dτ = kontinuiran te dobivamo lijedeću relaciju t ατ M αt g( t) f ( τ ) dτ M e dτ = ( e 1) ( α > ). α t Nadalje, g '( t) = f ( t), izuzev lučajeva kada je f ( t ) dikontinuirana. Dakle g '( t ) je po dijelovima kontinuirana za vaki konačni interval te prema Teoremu 1 lijedi { } { } { } L f ( t) = L g '( t) = L g( t) g() ( > α ) Dakle, g () =, i lijedi 1 L( g) = L( f ). 11

12 Primjer 5. 1 Neka je L( f ) =. ( + ω ) Nađi f ( t ). Iz Tablice 1imamo L 1 1 in ω t. + ω ω 1 = Iz toga i Teorema 3 lijedi da t L ωτ dτ ωt = = + ω ω ω in (1 co ). Koriteći Teorem 3 još jednom, dobivamo željeno rješenje t 1 L ωτ dτ t in ωt = (1 co ) =. ω ω ω ω 1.3. Tranformacija obične diferencijalne jednadžbe Sada ćemo vidjeti kako je obične linearne diferecijalne jednadžbe a kontantnim koeficijentima mogu biti reducirene u algebarke jedmadžbe. Naprimjer, razmatramo jednadžbu y t ω y t r t ''( ) + ( ) = ( ) gdje u r( t ) i ω zadani. Primjenjujući Laplaceovu tranformaciju i koriteći L( f '') = L( f ) f () f '(), dobivamo Y( ) y() y'() ω Y( ) R( ) + =, 1

13 gdje je Y ( ) Laplaceova tranformaacija od funkcije y( t ), i R( ) je Laplaceova tranformacija od r( t ). Ovakva algebarka jednadžba naziva e pomoćna jednadžba od dane diferencijalne jednadžbe. Ovo rješenje je jano y() + y '() R( ) Y ( ) = + + ω + ω. Primjer 1. Nađimo rješenje diferencijalne jednadžbe y '' + 9y =, zadovoljavajući početni uvjet y(), y '() = =. Iz Y( ) y() y'() ω Y( ) R( ) + = ljedi da je pomoćna jednadžba Y ( ) + 9 Y ( ) =. Rješavanje po Y ( ), mi dobivamo Y ( ) = = Iz toga i Tablice 1 dobivamo y( t) = L ( Y ) = in 3t

14 Prema uptituciji vidimo da ova funkcija zadovoljava zadanu jednadžbu i početne uvjete Diferenciranje i integriranje tranformacija Može e pokazati da ako funkcija f ( t ) zadovoljava uvjete iz potojećeg teorema iz 1.1. poglavlja tada je derivacija odgovarajuće tranforme F( ) L( f ) e f ( t) dt = = obzirom na može biti prikazana diferenciranjem unutar integralnog znako obzirom na ; lijedi = [ ] F '( ) e tf ( t) dt U lučaju kada je L( f ) = F( ) ; lijedi { } L tf ( t) = F '( ) ; diferenciranje tranformirane funkcije odgovara množenju funkcije a t. Ovo vojtvo Laplaceove tranformacije omogućava nam dobivanje novih tranformacija od već potojećih. Slično, ako f ( t) zadovoljava uvjete iz potojećeg teorema u 1.1. poglavlju i granice od f ( t) / t potoje, kako t ide prema, pa je 14

15 f ( t) L = F( ) d t % % ( > a) ; te lijedi da integriranje tranformirane funkcije f ( t ) odgovara dijeljenju te funkcije a t. Iz definicije lijedi da % F( % ) d% = e f ( t) dt d%, i može e pokazati da unutar pretpotavke redolijed integriranja može biti obrnut, te je, % % F( % ) d% = e f ( t) ddt % dt = f ( t) e d% dt. t Integral po dene trane odgovara e / t kada je > α te lijedi % f ( t) f ( t) F( % ) d% = e dt = L ( > α ). t t 15

16 Primjer 1. Nađi inverznu funkciju od ω ln 1+ Diferenciranjem prvo dobivamo. d ω ω ln 1 + F( ) = d ( + ω ). Zapiivajući F( ) parcijalno, dobivamo 1 1 f ( t) = L ( F) = L coωt = + ω. Ova funkcija zadovoljava uvjete koje adrži f ( t) L = F( ) d t % %. Te lijedi L 1 ω ln 1 + = F( ) d = f ( t) t % %. Rezultat je L 1 ω ln 1 + = (1 co ωt) t. 16

17 1.5. Periodične frunkcije Neka je f ( t ) funkcija koja je definirana za ve pozitivne t i ima period p ( > ), tada je, f ( t + p) = f ( t) za ve t >. Ako je funkcija f ( t ) po dijelovima kontinuirana na intervalu p, tada Laplaceova tranformacija potoji i možemo piati integral u granicama od do kao uzatopnu eriju integrala: p p 3 p L( f ) = e f ( t) dt = e fdt + e fdt + e fdt +... p p Ako uptituiramo t = τ + p u drugom integralu, t = τ + p u trećem integralu,..., t = τ + ( n 1) p u n-tom integralu,..., tada u nove granice od do p. Tada f ( τ + p) = f ( τ ), f ( τ + p) = f ( t), itd., tada dobivamo p p p τ ( τ p) ( τ p) ( ) = ( τ ) τ + + ( τ ) τ + + ( τ ) τ L f e f d e f d e f d 17

18 Ako izvadimo faktore koji ne ovie o τ izvan integralnog znaka dobivamo p p p τ ( ) = ( τ ) L f e e e f dτ. Uz uvjet da je p p p 1 + e + e +... = 1/(1 e ). Teorem 1 ( Tranformacija periodičnih funkcija ). Laplaceova tranformacija po dijelovim kontinuirana periodične funkcije f ( t ) a periodom p p 1 L( f ) = e f ( t) dt ( > ). p 1 e 18