UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM. Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A

Transcript

1 UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED KVANTUM Aba Teleki Boris Lacsny ¼ubomir Zelenicky N I T R A 2010

2 Aba Teleki Boris Lacsný Ľubomír Zelenický KVANTUM KEGA 03/6472/08 Nitra, 2010

3 Obsah 1 Časticovo-vlnový charakter mikročastíc Vlnový charakter fotónu Časticový charakter fotónu Jednotky Hmotnosť Fotoelektrický jav Vnútorný fotoelektrický jav Comptonov jav Tvorba párov a anihilácia Absorpcia fotónov Úlohy fotón Tepelné žiarenie Viditeľné svetlo Absolútne čierne teleso Wienov posuvný zákon Stefanov-Boltzmannov zákon Planckov vyžarovací zákon Rayghleiho-Jeansov zákon Wienov zákon žiarenia Konečné riešenie Vzťah hustoty energie a intenzity žiarenia Úlohy Model atómu Model atómu pred Rutherfordom Rutherfordov rozptylový experiment Účinný prierez ako plocha a pravdepodobnosť i

4 ii 3.3 Rutherfordov rozptylový experiment Diferenciálny účinný prierez dσ Meranie účinného prierezu Rozptyl na jednom terčíkovom jadre Bohrov model atómu Série spektrálnych čiar Bohrov model atómu a jeho úspechy Rydbergova formula Vodíku podobné atómy Moseleyho zákon Franckov-Hertzov pokus Kvantové čísla Bohrov-Sommerfeldov model atómu Nedostatky Bohrovho-Sommerfeldovho modelu Kvantové čísla Kvantové čísla elektrónov v atóme Význam hlavného kvantového čísla Význam vedľajšieho kvantového čísla a magnetického kvantového čísla Spinové kvantové číslo Skladanie momentov hybnosti Pauliho vylučovací princíp Mnoho elektrónové systémy Orbitály Podvrstva Vrstva Degenerácia energetických hladín Degenerácia v Bohrovom modeli atómu Degenerácia v pokročilejších modeloch Elektrónová konfigurácia Spektroskopické značenie Hierarchické štruktúry Zostrojenie termov a hladín pre danú konfiguráciu Madelungov princíp a Hundove pravidlá Výberové pravidlá Výberové pravidlo pre celkový moment hybnosti (exaktné)

5 iii Výberové pravidlo tretej zložky celkového momentu hybnosti (atóm vodíka) Výberové pravidlo pre orbitálny moment hybnosti (atóm vodíka) Parita Výberové pravidlo spinu Zhrnutie výberových pravidiel Experimenty s kvantovými vlastnosťami Moment hybnosti fotónu Einsteinov de Haasov experiment Sternov Gerlachov experiment Zeemanov jav Starkov jav Vlnová mechanika de Broglieho hypotéza a Bohrova kvantovacia podmienka Experimentálne overenie de Broglieho hypotézy Braggova formula Schrödingerova vlnová mechanika Interpretácia A Počet módov elektromagnetického žiarenia v dutine 217 B Barometrická formula 223 C Runge-Lenzov vektor 227 C.1 Geometrický význam Runge-Lenzovho vektoru C.2 Výpočet Rutherfordovej formule C.3 Zachovanie Rungeho-Lenzovho vektora D Elektrónová konfigurácia 233

6 Úvod Fyzika mikrosveta je úvodom do kvantovej teórie. Zameriava sa na fyzikálne javy, ktorých spoznanie viedlo k vybudovaniu samotnej kvantovej mechaniky. Fyzika mikrosveta nie je kvantovou mechanikou. Je predchodcom kvantovej mechaniky, a budeme ním rozumieť súbor experimentov, hypotéz a teórií o látke a žiarení, v ktorých sa prejavujú mikroskopické vlastnosti látky a žiarenia. Poznámka V texte sa stretnete s poznámkami, príkladmi, úlohami a ich riešeniami. Začiatok každej tejto časti je zreteľne označený a tiež je zreteľne oznažený ich koniec pomocou (poznámky a riešenia príkladov, či úloh), alebo pomocou (znenia príkladov a úloh). Indikátor obtiažnosti Vedľa zadania príkladov a úloh je možné nájsť tzv. indikátor obtiažnosti vypracovaný na pôde Katedry fyziky FPV UKF v Nitre. 7 Pri príkladoch uvedený indikátor náročnosti príkladu, podľa mienky autorov, dáva intuitívnu predstavu o náročnosti daného typu príkladov. Okrem toho dáva aj relatívne korektné podrobné informácie, ktoré sme popísali nižšie. Táto informácia môže byť užitočná pre čitateľa i učiteľov, ktorí učebnicu použijú. Číselná hodnota indikátoru ukazuje počet príkladov daného typu potrebných k vyriešeniu, aby 50 % študentov v danej skupine zvládlo danú problematiku. Grafický indikátor dopĺňa tento údaj nasledujúcim spôsobom. 1

7 2 Počet červených polí udáva počet príkladov potrebných k zvládnutie problematiky v príklade u 30 % študentov (na obrázku 4). Počet žltých polí (spolu s červenými) počet príkladov zvládnutie problematiky v príklade u 30 % študentov tento počet polí súhlasí s číselným indikátorom uprostred grafického indikátoru (na obrázku 7). Počet zelených polí (spolu s červenými a žltými) udáva počet príkladov potrebných k zvládnutie problematiky v príklade u 80 % študentov (obrázku 16). Počet fialových polí (spolu s predchádzajúcimi poliami) udáva počet príkladov potrebných k zvládnutie problematiky v príklade u 90 % študentov (na obrázku 23). K lepšej orientácii sú segmenty v skupinách po 10 (celkom 30) oddelené hrubšou čiarou. Uvedené indikátory predpokladajú, že prvý príklad nového typu je vždy ukázaný aj s riešením. Nasledujúce úlohy podobného typu sú najprv vyriešení žiakmi (študentmi), následne je ukázané korektné riešenie (tútorom, pokiaľ neexistuje v písomnej podobe). Indikátor dáva odhad aj toho, aká je pravdepodobnosť pochopenia problematiky v prípade jedného študenta pravda, dostávame len intervaly, nakoľko autori sa snažili zachovať relatívne jednoduchý tvar indikátoru. Z príkladu sa dá vyčítať, napr., pri vyriešení piatich príkladov daného typu bude pochopenie problematiky príkladu medzi 30 % až 50 %. Model použitý k výpočtu indikátoru náročnosti predpovedá získané údaje na 95 %-nej hladine spoľahlivosti. Indikátor sa zameriava vždy len na hlavný znak príkladu. Postupným prechádzaním učebnicou sa čitateľ vyhne prípadu, keď by príklad obsahoval pre neho dva alebo viac prvkov (napr. pri preskakovaní častí učebnice). Pri preskakovaní častí učebnice sa môže stať, že počet nových znakov (pojmov) objavujúcich sa pre neho v danom príklade je vyšší než jeden, v takom prípade indikátor je len dolným odhadom obtiažnosti pre takého čitateľa. Indikátory majú zdôrazniť pre študentov i ich učiteľov skutočnosť, že jeden vzorový príklad stačí na pochopenie len zriedkakedy. Uvedené štatistiky boli získané na základe testovania na žiakoch stredných škôl so záujmom o štúdium prírodovedných predmetov počas letnej školy v roku Za ich svedomitosť patrí vďaka autorov.

8 3 Poďakovanie Táto učebnica by nebola vznikla bez finačnej podpory projektu KEGA č. 3/6472/08 Prielomné poznatky v učive fyziky na začiatku 3. milénia pre potreby LLL (Lifelong Learning-u).

9 4

10 Kapitola 1 Časticovo-vlnový charakter mikročastíc Časticovo-vlnový, alebo cudzím slovom korpuskulárne-vlnový charakter mikročastíc vyjadruje zistenie, že mikročastice sa nechovajú ako hmotný bod, idealizácia zavedená v Newtonovej mechanike. Mikročasticami nie je nutné rozumieť len elektrón, protón, či atómy. Najnovšie experimenty ukazujú, že javy, ktoré budeme popisovať pre elektróny, objavujú sa zrovna tak u atómoch, ako aj u molekúl z väčšieho počtu atómov. Potvrdzuje to správnosť poznania, že hranica, ktorá by delila kvantový svet od makroskopického sveta nie je ostrá skôr neexistuje vôbec. Kvantový svet popisuje kvantová teória, kým makrosvet skôr vystihuje pojmový aparát Newtonovej mechaniky. Svet je však v skutočnosti celý kvantový. Miera možnej neusporiadanosti rastie počtom zložiek každého telesa veľmi rýchlo. Práve neusporiadanosť zahaľuje skutočnosť, že aj list papiera, na ktorom čítate tieto slová, sa chová kvantovo. Ak sa však usporiadanosť zabezpečí aj u makroskopického telesa, kvantové vlastnosti sa prejavia v celej podivnosti aj u tohoto makroskopického telesa príkladom je supravodivosť, či schopnosť laserového svetla reprodukovať verný obraz predmetu bez sústavy šošoviek (známych z geometrickej optiky). K pochopeniu týchto vlastností sa treba zoznámiť s fyzikálnymi javmi, v ktorých sa prejavujú. Jedná sa o javy ako fotoelektrický jav, interferencia, Comptonov rozptyl, tepelné žiarenie, tlak svetla, spektrum atómov a mnohé iné. Pochopenie kvantových vlastností prírody je obtiažne. Za posledných sto rokov sa neustále upresňuje ale je ďaleko od ukončenia. Dôvodom je, že náš pojmový aparát sa vyvinul zo znalosti každodenných javov, kde kvantové 5

11 6 javy sú prehlušené neusporiadanosťou. Je to ako povrchne používaný jazyk, z ktorého sa vytratili slová so špeciálnym významom. V snahe znova zvládnuť celý jazyk začíname vymýšľať nové slová. Umelé slová, ako interferencia, korpuskulárne-vlnový dualizmus a podobne. Význam týmto novým slovám dávame pomocou experimentov, kde sa objavujú javy, ktoré nimi pomenúvame. Časom tieto nové slová získajú v našom slovníku pevné miesto a ich význam budeme tušiť aj v prípade, keď po vyslovení slova interferencia sa nebudeme snažiť znova predstaviť si dvojštrbinový experiment, alebo dúhu na CD. Úlohou fyziky mikrosveta je dať význam novým slovám zo slovníku kvantovej teórie predstavením množstva experimentov, ktoré vyniesli kvantové vlastnosti prírody na povrch. Nie vždy budeme sledovať tŕnistú cestu historického poznania. Taktiež nebudeme tvrdiť, že predkladané názory sú definitívnym poznaním o hmote a žiarení. Pravdu povediac, v kvantovej teórii je dodnes veľa otvorených otázok, vrátane tých najzákladnejších. 1.1 Vlnový charakter fotónu Huyghens a Newton mali odlišný názor na povahu svetla. Huyghens sa domnieval, že svetlo je vlnenie, kým Newton, že sa skladá z častíc. Vychádzajúc zo svojich predpokladov, však Newton obdržal nesprávny popis lomu svetla v prostredí. Svetelný lúč podľa Newtonovej predpovedi sa mal pri prechode do opticky hustejšieho prostredia lámať od kolmice, kým experiment ukazoval, že sa láme ku kolmici. Huyghensova predstava o svetle ako o vlnení, bola v zhode s experimentálnymi zisteniami. Naviac, Huyghens úspešne experimentoval s interferenciou svetla v prevedení dvojštrbinového experimentu. Vysvetliť dvojštrbinový experiment pomocou svetla, skladajúceho sa z častíc, sa javil ako nemožný. Stalo sa preto všeobecne prijatým zistením, že svetlo sa neskladá z častíc, ale je vlnením. Neskoršie experimenty nahrávali neustále v prospech vlnového charakteru svetla. Máme tu na mysli ohyb svetla na mriežke, či Fresnelov ohyb svetla.

12 7 ϕ 1 G λ ϕ 1 Obr. 1.1: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku. Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak, že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež sa ohýba. Dolný obrázok ukazuje detail horného obrázku. Odvodenie formule (1.1) plynie z obrázku (ukazujeme prvý rád ohybu len na jednu stranu (m = +1). Ohyb na druhú stranu (m = 1) získame pravo-ľavým zrkadlením (pozri obrázok 1.2).)

13 8 ϕ 1 G λ ϕ 1 Obr. 1.2: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku. Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak, že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež sa ohýba. Odvodenie formule (1.1) plynie z obrázku (ukazujeme prvý rád ohybu doľava (m = 1). Obrázok sme získali pravo-ľavým zrkadlením obrázku 1.1(m = +1).)

14 9 ϕ 2 G λ ϕ 2 Obr. 1.3: Horný obrázok ukazuje Huyghensov princíp použitý pre optickú mriežku. Monochromatická vlna dopadá na mriežku kolmo. Za mriežkou sa skladajú vlnenia tak, že svetlo v dôsledku interferencie je zosilnené nie len v pôvodnom smere, ale taktiež sa ohýba. Obrázok ukazuje návod na odvodenie formule (1.1) pre druhý rád ohybu (m = 2). Pre prvý rád pozri obrázok 1.1(m = 1).)

15 10 Dvojštrbinový experiment v prípade svetla sa dá urobiť relatívne jednoduchým spôsobom. Výpočtovo jednoduchším je však znázornenie ohybu svetla na optickej mriežke. Optická mriežka je väčšinou planparalelná doštička skla s vrypmi na jednej strane. Vrypy sa vedú paralelne (vytvárajú rovnobežné žiary na povrchu skla). Výrazne lacnejšie sú optické mriežky pripravené litografickou cestou, alebo fotografickou cestou (zmenšený obraz mriežky sa nafotí na fotocitlivý materiál po vyvolaní nenaexponované miesta sa stanú priehľadnými). Hustota vrypov (nafotených čiar) je v prípade optickej mriežky vysoká. Vzdialenosť medzi dvomi susednými vrypmi je rádovo 10 6 m. Túto vzdialenosť nazývame mriežkovou konštantou optickej mriežky. Monochromatické (jednofarebné) svetlo, ktorej vlnová dĺžka je λ, sa nechá dopadať na optickú mriežku kolmo na rovinu, v ktorej sa nachádzajú vrypy. Za mriežkou sa svetlo nešíri len v pôvodnom smere, ale vo viacerych smeroch. Hovoríme, že lúč svetla sa ohýba zmení smer svojho šírenia. Nový smer šírenia sa charakterizuje uhlom ϕ m, ktorý zviera smer šírenia s pôvodným smerom šírenia. Dopadajúci a všetky phybové lúče ležia v tej istej rovine, v rovine kolmej na vrypy optickej mriežky. Uhol ohybu ϕ m je daný formulou sinϕ m = m λ G, (1.1) Mriežková konštanta, rád ohybu denie vzťahu (1.1) plynie z interpretácie obrázkov 1.1 (pozri na strane 7) a kde G je mriežkova konštanta optickej mriežky a m je tzv. rád ohybu. Odvo- 1.2 (pozri na strane 7). Svetlo sa za mriežkou šíri aj v pôvodnom smere, hovoríme mu nultý rád (m = 0) tj. ϕ 0 = 0. Svetlu, ktoré sa ohýba o uhol ϕ m a ϕ m (napravo a naľavo), hovoríme ohyb m-tého rádu. Energia fotónu 1.2 Časticový charakter fotónu Podľa kvantovej interpretácie, elektromagnetické žiarenie (a tým aj svetlo) sa skladá z diskrétnych balíčkov energie, ktoré sa v mnohých smeroch chovajú ako častice. Hovoríme im fotóny, alebo kvantá elektromagnetického žiarenia (prípadne svetla). Každý fotón má energiu E. Všetky fotóny letia vo vákuu rovnakou rýchlosťou, rýchlosťou svetla c predsa môžu mať odlišnú energiu. Energia fotónov závisí od frekvencie ν fotónov a vzájomne sú vo vzťahu

16 11 kde sa nazýva Planckovou konštantou. E = hν = h c λ, (1.2) h = 6, Js (1.3) Poznámka 1.1. Čo máme rozumieť pod frekvenciou fotónov? Je to fyzikálna veličina, ktorú sme zaviedli na charakterizáciu elektromagnetického vlnenia. V zástrčke elektrického rozvodu v byte je striedavé napätie s frekvenciou okolo 50 Hz. Drôty, ktoré privádzajú prúd touto frekvenciou sú obklopené elektromagnetickým poľom. V zmysle toho, čo sme povedali vyššie, toto elektromagnetické pole sa skladá z fotónov, ktorých energia (zvlášť-zvlášť) je E = h(50 Hz) = 3, J. Tu je energia jedného fotónu mimoriadne malé množstvo energie. Z toho je vidieť, že rádiový vysielač, ktorý má vysielací výkon okolo 1 kw (vyžiari za každú sekundu J energie v podobe elektromagnetických vĺn fotónov), vychrlí zo seba za každú sekundu obrovské množstvo fotónov. Aká je frekvencia týchto fotónov? Rovnaká, ako frekvencia, na ktorej danú rádiovú stanicu viete naladiť. Určte množstvo fotónov vyžiarených za jednu sekundu, ak spomínaná stanica vysiela na frekvencii 103,6 MHz. Fotón má hybnosť, ktorú označujeme tiež symbolom p, ako v prípade telies je to tá istá fyzikálna veličina a vzťahujú sa na ňu rovnaké zákony (budeme o nich hovoriť neskôr). Hybnosť fotónu je vektorová veličina, ktorej veľkosť je p, a ktorého smer je totožný so smerom letu fotónu. Pre veľkosť hybnosti fotónu s energiou E platí p = E c. (1.4) Poznámka 1.2. Teória relativity stanovuje, že každé teleso, ktoré má energiu E, má aj hybnosť p a platí medzi nimi relativistický vzťah E 2 p 2 c 2 = m 2 0c 4, (1.5) kde p je veľkosť hybnosti p a m 0 je tzv. pokojová hmotnosť spomínaného telesa. Pokojová hmotnosť telesa je hmotnosť, ktorú zmeria pozorovateľ voči ktorému teleso nevykonáva žiadny pohyb (ani translačný, ani rotačný). Fotón má nulovú pokojovú hmotnosť. Planckova konštanta

17 12 Poznámka 1.3. Pozorovateľ, voči ktorému teleso s pokojovou hmotnosťou m 0 sa pohybuje rýchlosťou v, nameria inú (relativistickú) hmotnosť m telesa, ktorého hodnota bude daná vzťahom m 0 m =, kde β = v 1 β 2 c. (1.6) (β je rýchlosť telesa meraná v jednotkách rýchlosti svetla. Ak β = 1, teleso sa pohybuje rýchlosťou svetla. Ak β = 0,3, rýchlosť telesa sa rovná 0,3 násobku rýchlosti svetla, teda približne km/s.) Zmena hmotnosti je spojená s Einsteinovou reláciou energie a hmotnosti relativistická hmotnosť relativistická kinetická energia 5 E = mc 2. (1.7a) Ak sa zmení energia telesa (z akéhokoľvek dôvodu) o E, zmení sa aj jeho hmotnosť o m, pričom E = mc 2 (1.7b) Nárast hmotnosti pohybujúceho sa telesa je dôsledkom jeho pohybu, preto sa nazýva pohybovou energiou (kinetickou energiou). Inými slovami, kinetická energia E kin telesa je E kin = (m m 0 )c 2. (1.8) Príklad 1.4. Ukážte, že pri veľmi malých rýchlostiach, tj. keď v/c 1, je vzťah (1.8) vo vynikajúcej zhode s definíciou kinetickej energie E kin = 1 2 mv2 známej z newtonovskej mechaniky. Využite k tomu približnú formulu (1+x) a 1+ax+a(a 1) x2 2 +a(a 1)(a 2)x3 3! +, (1.9) kde x 1 a a je ľubovoľné reálne číslo. K overeniu stačí zobrať prvé dva členy tohoto nekonečného rozvoja. Presnosť rozvoja je daná počtom použitých členov. Ak použijeme prvé dva členy rozvoja, presnosť je daná prvým nepoužitým členom, v tomto prípade tretím členom. Explicitne, ak použijeme približný vzťah (1+x) a 1+ax, absolútna hodnota odchýlky od presnej hodnoty bude nanajvýš absolútna hodnota a(a 1) x2 2.

18 13 Riešenie. Podľa vzťahu (1.8), a použitím definície relativistickej hmotnosti (1.6), je kinetická energia častice s pokojovou hmotnosťou m 0 ( E kin = (m m 0 )c 2 1 = m 0 )c β 2 Približnú formulu použijeme voľbou x = β 2 a a = 1/2. Potom E kin m 0 c ( ) 2 β2 1 = m 0 c 21 2 β2 = 1 2 m 0v 2. Príklad 1.5. Osobný automobil s pokojovou hmotnosťou 1200 kg sa pohybuje rýchlosťou 180 km/h. Aká je jeho kinetická energia podľa newtonovskej mechaniky a aká je presnosť tejto hodnoty? Riešenie. Podľa newtonovskej mechaniky je kinetická energia osobného automobilu 4 E kin = kg (180 km/h)2 = 600 kg (50 m/s) 2 = 150 kj. Z príkladu 1.4 vieme, že kinetická energia v newtonovskej mechanike je len približným vzťahom relativistickej kinetickej energie definovanej vzťahom (1.8), pričom presnosť je daná tretím členom rozvoja (1.9) v zmysle príkladu 1.4, kde x = β 2 a a = 1/2. Presnosť je teda daná vzťahom E kin m 0 c 2 a(a 1) x2 2 = m 0c ( 1 ) β = 1 8 m v 4 0 c 2. Po dosadení konkrétnych údajov zadania dostaneme E kin 1, J. Poznámka 1.6. Otázka znie, či sme presnosť nemohli získať porovnaním nerelativistickej kinetickej energie 1 2 mv2 a relativistickej kinetickej energie mc 2 m e c 2? Odpoveď je samozrejme áno. Tento rozdiel, tj. (mc 2 m e c 2 ) 1 2 mv2 je pre malé rýchlosti v skutočne malé číslo, ktoré najpresnejšie a najjednoduchšie vieme vypočítať pomocou rozvoja (1.9). (Výpočet použitím kalkulátora môže dať ľahko nulový výsledok, lebo kalkulátor nemá dostatočnú presnosť a výsledok zaokrúhli na nulu. Rozvoj vždy dá nenulový výsledok.)

19 14 intenzita svetla intenzita monochromatického svetla Z kvantového hľadiska sa svetlo skladá z fotónov. V klasickej fyzike rozumieme pod intenzitou I množstvo energie dopadajúce na jednotkovú plochu za jednotku času energia EM žiarenia I =. (1.10) plocha čas Táto istá definícia v kvantovom zmysle znamená nasledujúce (zapíšeme len pre monochromatické svetlo svetlo skladajúce sa z fotónov s rovnakou frekvenciou) I = (energia jedného fotónu) počet fotónov plocha čas. (1.11) Jednotky β Rýchlosť Vo fyzike mikrosveta sa častice začnú pohybovať veľmi veľkou rýchlosťou už pri dodaní (z nášho pohľadu) veľmi malého množstva energie. Často sa preto meria rýchlosť v v jednotkách rýchlosti svetla. Ak povieme, že rýchlosť elektrónu je β = 0,2, máme tým na mysli to, že rýchlosť elektrónu je v = βc = 0, m/s = m/s. Energia Vo fyzike mikrosveta sa stretávame s energiami, ktorých veľkosť je v jednotkách SI veľmi malá, preto používame jednotku nazývanú elektronvolt. elektronvolt 1 ev = 1, J. Elektronvolt je energia, ktorú získa elektricky nabitá častica s jednotkovým elektrickým nábojom e pri urýchlení napätím U = 1 V Hmotnosť Hmotnosť je ďalšia veľmi dôležitá fyzikálna veličina, ktorú v mikrosvete je zvykom vyjadrovať v iných jednotkách, než v SI. Je to dané tým, že typické hmotnosti atómov sa pohybujú v rozmedzí kg až kg hmotnosť elektrónu je dokonca len 9, kg. Zavádza sa preto jednotka ev/c 2 ( elektronvolt lomeno cé na druhú ) ev/c 2 1 ev/c 2 = 1, kg.

20 15 V týchto jednotkách je hmotnosť elektrónu 0,511 MeV/c 2. Zavedenie tejto jednotky má tú výhodu, že prepočet na ekvivalent energie podľa Einsteinvho vzťahu E = mc 2 je mimoriadne jednoduchý. Ak niečo má hmotnosť x ev/c 2, potom jeho (relativistická) energia je x ev. Konkrétnejšie. Pokojová hmotnosť elektrónu je 0,511 MeV/c 2. Aká je jeho pokojová energia? Jeho pokojová energia je 0,511 MeV. Ďalšou dôležitou jednotkou používanou v mikrosvete je atomárna hmotnostná jednotka, značená ako u. 1 u = 1, kg = 931,5 MeV/c 2. Presná definícia atomárnej hmotnostnej jednotky znie, že je to 1/12-na hmotnosti elektricky neutrálneho atómu 12 C, tj. atómu uhlíka v základnom stave, so šiestimi protónmi a šiestimi neutrónmi v jadre. Táto jednotka sa používa aj v Mendelejevovej tabuľke prvkov. Napríklad v prípade vodíka je v tabuľke uvedená hodnota 1,00794 (v tabuľke sa samotný symbol jednotky u neuvádza, aby sa šetrilo miestom). Tento údaj hovorí dve veci. 1. udáva hmotnosť jedného kilomólu danej látky v kilogramoch. V tomto prípade, hmotnosť jedného kilomólu vodíkových atómov je 1, kg. 2. Priemernú hmotnosť jedného atómu vodíka 1 je 1,00794 u, tj. 1, kg, alebo čo je to isté, 938,89 MeV/c 2. atomárna hmotnostná jednotka Hybnosť Hybnosť meriame v sústave SI v jednotkách kg m/s, alebo čo je to isté Js/m, čo súvisí s tým, že hybnosť p hmotného bodu je p = mv, kde m je hmotnosť hmotného bodu a v je jeho rýchlosť. Pre atómy a elementárne častice je niekedy výhodnejšie použiť jednotku ev/c, ktorej veľkosť je 1 ev/c = 5, J s/m. ev/c 1 Preto priemernú hmotnosť, lebo v prírode sú prítomné rôzne izotopy daných chemických prvkov. Napr. v prírode sa vyskytujú okrem vodíka aj deutérium, a trícium. Vodíkový atóm má v jadre len protón. Deutérium má v jadre jeden protón (chemicky sa preto chová ako vodík) a ešte jeden neutrón. Trícium má v jadre okrem jedného protónu ešte dva neutróny. Zastúpenie týchto izotopov je v prírode malé, ale mierne modifikujú priemernú hmotnosť, ktorá sa zisťuje z prírodného vodíkového plynu bez odseparovania jednotlivých izotopov.

21 16 pásmo viditeľného svetla Výhoda tejto jednotky sa prejavuje hlavne v prípade fotónov, alebo v prípade, keď teleso sa pohybuje rýchlosťou blízkej rýchlosti svetla. Ak takáto častica má energiu x ev, potom jej hybnosť je x ev/c. Konkrétne, uvažujme fotón, ktorého energia je 5,4 ev. Jeho hybnosť je 5,4 ev/c. Podobné výhody má táto jednotka aj v prípade veľmi malých rýchlostí, kde sa ešte neprejavujú relativistické efekty výraznejším spôsobom (približne do rýchlosti β = 0,4). Ak častica má hmotnosť x ev/c 2 a letí rýchlosťou v = βc, potom jej hybnosť je βx ev/c. Zoberme znova príklad elektrónu. Ak elektrón s pokojovou hmotnosťou 511 kev/c 2 letí rýchlosťou β = 0,1, potom jeho hybnosť je p = β 511 kev/c 2 =51,1 kev/c. Poznámka 1.7. Pri výklade budeme často hovoriť o viditeľnom svetle. Pod viditeľným svetlom rozumieme svetlo skladajúce sa z fotónov, ktorých vlnová dĺžka λ je z intervalu λ (360 nm,760 nm), alebo čo je to isté, majú frekvenciu ν z intervalu ν ( Hz, Hz). Vlnová dĺžka svetla fialovej farby je 360 nm (frekvencia 830 THz), zelenej 555 nm (frekvencia 540 THz) a tmavočervenej 760 nm (frekvencia 400 THz). 1.3 Fotoelektrický jav Pri fotoelektrickom experimente sa svetlom svieti na kovovú plochu umiestnenej vo vákuovej trubici. 2 Z povrchu kovu vystupujú elektróny, ako to znázorňuje aj obrázok 1.4. V danom usporiadaní sa môže meniť frekvencia ν a intenzita I svetla, brzdné napätie U a materiál katódy. Pokiaľ elektróny vystupujúce z povrchu kovu majú dostatočne veľkú kinetickú energiu, môžu prekonať brzdné napätie medzi elektródami, dopadnú na anódu a vytvoria elektrický prúd i, ktorý sa zaznamená ampérmetrom A. 2 Fotoelektrický jav objavil Heinrich Rudolf Hertz, ktorý zistil, že napätie medzi kovovými plátmi kondenzátoru sa zníži, pokiaľ sú osvetlelné ultrafialovým svetlom. Philipp Lenard neskôr ukázal, že z kovových plátov sú emitované elektróny, častice, ktoré objavil J.J.Thomson v roku Stručnú históriu objavu fotoelektrického javu a popis samotného javu možno pozrieť na [1], alebo skrátený preklad v slovenčine na [2].

22 17 fotóny katóda anóda U V A i Obr. 1.4: Schematický náčrt experimentálneho usporiadania pre meranie Planckovej konštanty a výstupnej práce vybraného kovu. V hornej časti obrázku vidíme vákuovú trubicu s okienkom, cez ktoré fotóny vstupujú do vákuovej trubice a dopadajú na katódu. Katóda je vytvorená zo skúmaného kovu. Po dopade fotónov s frekvenciou ν > ν 0 (ν 0 je hraničná frekvencia) uvolnia sa z kovu katódy elektróny. Niektoré z nich letia smerom k anóde. Potenciometrom môžeme nastaviť také napätie U (merané voltmetrom znázorneným na obrázku), aby v obvode netiekol prúd, tj. i = 0 (prúd meriame ampérmetrom znázorneným na obrázku). Pri menšom napätí bude obvodom tiecť prúd, ktorý je úmerný intenzite (monochromatického) svetla dopadajúceho na katódu. Pri väčšom napätí je prúd nulový nezávisle na intenzite dopadajúceho svetla.

23 18 Elektróny majú dostatočnú kinetickú energiu vtedy, ak dokážu prekonať prácu, ktorú na nich dokáže vykonať brzdné elektrické pole (napätie U), tj. pokiaľ 1 2 m ev 2 eu, kde m e je hmotnosť elektrónu a v je rýchlosť, ktorou vystupujú z povrchu kovu. Pokiaľ je ich kinetická energia menšia, potom elektrické pole medzi elektródami ich dokáže zabrzdiť a pritiahnuť naspäť ku kovovej vrstve (označenej na obrázku ako katóda). Experimentálne zistenia sú nasledujúce: 1. Prúd sa zaznamená skoro okamžite po dopade svetla na kovovú vrstvu a to nezávisle na intenzite svetla., teda aj vtedy, keď intenzita svetla je veľmi malá. Časový odstup medzi dopadom svetla a objavením sa elektrónov je rádovo 10 9 s a je nezávislá od intenzity svetla. 2. Pokiaľ frekvenciu fotónov a brzdné napätie nemeníme, elektrický prúd je priamo úmerný intenzite dopadajúceho svetla. hraničné napätie 3. Pokiaľ frekvenciu a intenzitu svetla nemeníme, elektrický prúd klesá zvyšovaním brzdného napätia a pri určitej hraničnej hodnote U brzdného napätia sa prúd i stane nulovým. Túto hodnotu napätia nazývame hraničným napätím. Hraničné napätie je nezávislé na intenzite svetla. 4. Pre daný materiál katódy sa mení hraničné napätie lineárne, v závislosti od frekvencie použitého svetla podľa vzťahu eu = hν eu 0 = hν W 0. (1.12) výstupná práca hraničná frekvencia Hodnota W 0 = eu 0 je konštantná pre daný materiál, ale pre rôzne materiály má odlišné hodnoty. Strmosť lineárnej závislosti h nezávisí od výberu materiálu katódy. Číselne sa rovná Planckovej konštante. W 0 nazývame výstupnou prácou a U 0 potenciálnou bariérou. 5. Pre daný materiál existuje hraničná frekvencia ν p. Svetlo s menšou frekvenciou, než je hraničná nie je schopné uvolniť žiaden elektrón z povrchu kovu, nezávisle od intenzity použitého svetla. Pokiaľ uvažujeme o svetle len ako vlnení, z vyššie vymenovaných vlastností dokážeme vysvetliť jedine bod 2.: nárast prúdu v závislosti od intenzity svetla čim je svetlo intenzívnejšie, o to viac energie dopadá na kovovú platňu a o to viac elektrónov môže uvolniť. Ostatné vlastnosti sa pomocou vlnového

24 19 popisu svetla (presnejšie pomocou predstavy elektromagnetického vlnenia) vysvetliť nedajú. Kvantový výklad svetla dokáže vysvetliť všetky vlastnosti pozorované v experimente. Poznámka 1.8. Fotoefekt môže vznikať nie len na povrchu kovov, ale tiež na povrchu polovodičov. V bode 4 spomenutú potenciálnu bariéru U 0 si môžeme predstaviť tak, akoby sa elektrón v kovoch nachádzal v potenciálnej jame, ktorú vytvára elektrické pole čiastočne netienených atómových jadier (kov je celkovo elektricky neutrálny). Elektrón, ktorý opúšťa kov, musí prekonať túto bariéru, musí prekonať potenciálny rozdielu 0, teda vykonať prácuw 0 = eu 0. Potrebnú energiu k vykonaniu práce dodáva fotón. Energiu fotónu zúžitkuje elektrón úplne (čiastočne na prekonanie bariéry, zbytok mu zostane v podobe kinetickej energie). Poznámka 1.9. Fotoelektrický jav sa v praxi objavuje na mnohých miestach. Je základom napríklad pre solárne články. Vo vesmíre môže byť aj zdrojom určitých rizík. Zemská atmosféra odfiltruje väčšiu časť ultrafialového svetla (fotónov s vlnovou dĺžkou kratšou ako 360 nm), ale telesá vo vesmíre sú tomuto žiareniu vystavené v plnej miere. Kovové materiály (napríklad na sondách, či raketoplánoch) sa týmto spôsobom pod priamym slnečným žiarením stávajú kladne nabitými, kým kovové súčiastky v tieni zachytávajú volné elektróny. Môže tak vzniknúť až desať voltové napätie medzi rôznymi časťami vesmírnych prístrojov. Pokiaľ sa toto napätie vybije cez nejaké citlivé časti prístroja, môže viesť k jeho poškodeniu, alebo zničeniu. Na povrchu vesmírnych telies, ktoré nemajú atmosféru, akým je napríklad náš Mesiac, vzniká pod vplyvom priameho slnečného svetla mrak elektricky nabitých mikroskopických zrniečok. Tie vďaka svojmu elektrickému náboju sa vznášajú nad povrchom Mesiaca vzdorujúc jeho gravitačnej príťažlivosti. Tento elektricky nabitý prach sa ľahko prichytí o povrch izolantov (v dôsledku elektrickej polarizácie), napríklad na povrch skafandru kozmonautov. Takýto prach sa dá z odevov odstrániť len veľmi obtiažne. Kozmonauti z misie Apollo referovali napríklad o tom, že (napriek dôkladnej očiste po návratu z prechádzky na povrchu Mesiaca) cítili vo vesmírnom module arómu, ktorá im pripomínala strelný prach Vnútorný fotoelektrický jav Vnútorný fotoelektrický jav pozorujeme u polovodičoch. Pri vnútornom fotoelektrickom jave polovodič neopúšťajú elektróny, ale polovodič sa stáva vodivým. Vysvetliť si to môžeme tak, že pod vplyvom svetla (mnohé polovodiče

25 20 X W 0 X W 0 X W 0 X W 0 X W 0 X W 0 Ag 4,26 Al 4,28 As 3,75 Au 5,1 B 4,45 Ba 2,7 Be 4,98 Bi 4,22 C 5 Ca 2,87 Cd 4,22 Ce 2,9 Co 5 Cr 4,5 Cs 2,14 Cu 4,65 Eu 2,5 Fe 4,5 Ga 4,2 Gd 3,1 Hf 3,9 Hg 4,49 In 4,12 Ir 5,27 K 2,3 La 3,5 Li 2,9 Lu 3,3 Mg 3,66 Mn 4,1 Mo 4,6 Na 2,75 Nb 4,3 Nd 3,2 Ni 5,15 Os 4,83 Pb 4,25 Pt 5,65 Rb 2,16 Re 4,96 Rh 4,98 Ru 4,71 Sb 4,55 Sc 3,5 Se 5,9 Si 4,85 Sm 2,7 Sn 4,42 Sr 2,59 Ta 4,25 Tb 3 Te 4,95 Th 3,4 Ti 4,33 Tl 3,84 U 3,63 V 4,3 W 4,55 Y 3,1 Zn 4,33 Zr 4,05 Tabuľka 1.1: Výstupná práca W 0 pre rôzne kovy a polovodiče (s chemickou značkou X) v elektronvoltoch. Údaje čerpané z [3]. Treba poznamenať, že na výstupnú prácu vplýva aj tvar povrchu, alebo (v prípade kryštalickej štruktúry) aj orientácia hlavných osí kryštálu voči ploche, ktorá sa osvetľuje. vykazujú vnútorný fotoelektrický jav už pri viditeľnom svetle, niektoré dokonca pri infračervenom svetle) sa vo vnútri polovodiča uvoľnia valenčné elektróny a dostanú sa do tzv. vodivostného pásma, kde pod vplyvom vonkajšieho elektrického poľa sa dokážu pohybovať s minimálnym odporom (polovodič sa stáva vodivým). Vnútorný fotoelektrický jav má v dnešnej dobe mimoriadne široké uplatnenie. Sú na nich založené fotocely, zariadenia pre nočné videnie, videokamery, digitálne fotoaparáty, televízne kamery, atď. Poznámka Typická energia fotónov, pri ktorej je fotoefekt pozorovateľný je niekoľko ev. Jedná sa o prahový efekt, tj. pod hraničnou energiou sa nepozoruje, na druhú stranu (pri pevne danej intenzite) pravdepodobnosť toho, že fotón elektrón uvolní, prudko klesá rastom energie fotónov. Pre cézium (Cs) je napríklad výstupná práca 1, 9 ev. Hodnoty výstupnej práce pre rôzne kovy a polovodiče pozri v tab Comptonov jav Pokiaľ chápeme elektromagnetické žiarenie ako vlnenie, potom jeho rozptyl na atómoch nemá meniť jeho frekvenciu. Vyplýva to z jednoduchého faktu. Popíšeme to na príklade monochromatického vlnenia. Elektromagnetické pole (ako vlnenie) sa skladá z elektrickej a magnetickej zložky, ktoré period-

26 21 icky menia svoj smer (obidve zložky s rovnakou frekvenciou). Keď dopadne na atóm, elektrické pole E pôsobí na elektróny atómu silou F = ee (znamienko vyjadruje len skutočnosť, že elektrický náboj elektrónu je záporný). Táto sila sa mení rovnako, ako samotné elektrické pole, takže aj elektrón bude kmitať frekvenciou, ktorou sa mení samotné elektrické pole. Elektrón, ktorý vykonáva zrýchlený pohyb vyžaruje elektromagnetické vlny. Frekvencia týchto vĺn je rovnaká, ako frekvencia, s ktorou kmitá elektrón, ktorý ho vytvára. Máme teda čo do činenia dvomi elektromagnetickými vlnami. Jedna, ktorá dopadá (a má frekvenciu ν) a núti kmitať elektrón (s frekvenciou ν), druhá, ktorú vyžaruje elektrón kmitajúci s frekvenciou ν a má tiež frekvenciu ν. Výsledné elektromagnetické pole je zložením týchto dvoch polí, ktoré kmitajú obidve s rovnakou frekvenciou ν, preto aj výsledné pole má túto frekvenciu. Skladaním týchto dvoch vlnení sa mení smer v ktorom sa elektromagnetické pole šíri, ale nie frekvencia. Poznámka Tento rozptyl sa nazýva Thomsonov rozptyl a tiež existuje. Neskôr uvidíme, že neodporuje kvantovej povahe prírody, práve naopak. Pokiaľ spadá frekvencia fotónov do viditeľného pásma, zákonite dochádza ku Thomsonovmu rozptylu. Modrosť oblohy súvisí práve s Thomsonovym rozptylom. Napriek tomu modrosť oblohy nie je dôsledkom zmeny frekvencie viditeľného svetla, ale toho, že modré svetlo mení pri rozptyle svoj smer vo väčšej miere, ako červené svetlo. Arthur H. Compton 3 spozoroval (1923), že pri rozptyle fotónov s veľmi vysokou frekvenciou sa frekvencia fotónov mení v závislosti na uhlu rozptylu. Rozptýlené fotóny pritom majú menšiu frekvenciu, ako pred rozptylom. Ďalšou zvláštnosťou rozptylu bolo, že zmena frekvencie nezávisela od materiálu, na ktorom sa rozptyl robil. Compton uskutočňoval svoje experimenty pomocou fotónov, ktorých energia spadala do röntgenovej oblasti (λ = 0, 7 Å, tj. energia fotónov bola 18 kev). Vysvetlením tohoto javu je, že fotóny s vysokou frekvenciou (s energiou okolo niekoľko kev a s vyššou) sa rozptylujú na elektrónoch v atómovom obale atómu. Fotón sa pritom správa ako častica. Rozptyl si môžeme predstaviť ako dokonale pružnú zrážku dvoch guličiek, z ktorých je jeden fotón a druhý elektrón atómu. Elektrón je viazaný v atóme tak slabo (oproti energii, ktorú nesie fotón), že pri modelovaní zrážky väzbu s atómom nemusíme brať do úvahy. Hovorí sa preto o Comptonovom rozptyle tiež ako o rozptyle fotónu na voľných elektrónoch. 3 Arthur Holly Compton obdržal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1927

27 22 E = hν E = hν p = h/λ p = h/λ E e = m e c 2 p e = 0 θ ϕ E e = mc2 p e = mv Obr. 1.5: Schematický náčrt Comptonovho rozptylu v časticovom chápaní. Dopadajúci fotón má frekvenciu ν a vlnovú dĺžku λ, kým rozptýlený fotón má frekvenciu ν a vlnovú dĺžku λ. Elektrón pred zrážkou má nulovú kinetickú energiu (zanedbateľne malú) a jeho celková energia sa rovná E e = m ec 2, kým po zrážke je jeho rýchlosť v a jeho hmotnosť m (určená vzťahom (1.6)). Vychádzajúc zo zákona zachovania energie a hybnosti (v relativistickom tvare) je možné odvodiť zmenu vlnovej dĺžky dopadajúceho fotónu v tvare Comptonova formula λ = λ λ = h (1 cosθ), (1.13) m e c kde λ je vlnová dĺžka fotónu pred rozptylom, λ zase vlnová dĺžka po rozptyle, m e je pokojová hmotnosť elektrónu a θ je uhol, pod ktorým sa fotón rozptýlil (tj. uhol o ktorý fotón zmenil smer svojho letu) pozri obr Poznámka Odvodenie Comptonovho vzťahu (1.13). Vyjdime zo schematického náčrtu zrážky fotónu s voľným elektrónom znázorneného na obrázku obr Zákon zachovania energie bude mať tvar hc λ +m ec 2 = hc λ +mc 2, (1.14) nakoľko elektrón pred zrážkou stojí (jeho kinetická energia je zanedbateľne malá). Po malej úprave dostaneme kde sme zaviedli obvyklé značenie hc λ hc λ = mc 2 m e c 2 = mc e (γ 1), γ 1 1 β 2, β = v c. (1.15)

28 23 V tejto úprave jasne vidíme, že kinetická energia elektrónu (pravá strana rovnice) bola dodaná fotónom ľavá strana rovnice vyjadruje zmenu energie fotónu, ktorá sa prejaví zmenou vlnovej dĺžky fotónu. Zavedieme značenie λ C pre tzv. Comptonovu vlnovú dĺžku elektrónu, ktorá je definovaná ako λ C = h m e c, (1.16) potom zákon zachovania energie môžeme písať v tvare 1 λ 1 λ = 1 λ C (γ 1). (1.17) Ďalšie dve rovnice získame zo zákona zachovania hybnosti, ktorú zapíšeme pre zložku v smere, v ktorom letel fotón pôvodne, a pre zložku na ňu kolmú (určená rovinou, do ktorej sa častice rozptýlia) h λ = h λ cosθ +mvcosϕ (1.18a) 0 = h λ sinθ mvsinϕ. (1.18b) Tieto dve rovnice upravíme tak, aby členy obsahujúce mv boli osamostatnené. Dostaneme h λ h λ cosθ = mvcosϕ h λ sinθ = mvsinϕ. (1.19a) (1.19b) Po umocnení na druhú a sčítaní oboch rovníc obdržíme ( 1 h 2 λ 2 2 λλ cosθ + 1 ) λ 2 = m 2 v 2 = m 2 ec 2 (γ 2 1), (1.20) kde sme využili definíciu γ danej vzťahom (1.15). Po predelení rovnice h 2 a využitím označenia pre Comptonovu vlnovú dĺžku λ C získame nasledujúci vzťah ( 1 λ 2 2 λλ cosθ+ 1 λ 2 kde sme využili toho, že ) = ( 1 λ 1 λ γ 2 1 = (γ 1)(γ +1) )( 1 λ 1 λ + 2 λ C ), (1.21) Comptonova vlnová dĺžka elektrónu

29 24 a potom vzťah (1.17). Ďalšia úprava je už jednoduchá. Ľavú stranu rozšírime o nulu v tvare 2 λλ + 2 λλ a upravíme do tvaru, kde je jasne vidieť, že pravá aj ľavá strana obsahuje člen ( 1 λ 1 ) 2 λ, a tento môžeme na oboch stranách bez problémov vyrušiť. Zostane nám 2 1 cosθ λλ = 2 ( 1 λ C λ 1 ) λ (1.22) Využitím toho, že 1 λ 1 λ = λ λ λλ a triviálnej úprave obdržíme vzťah (1.13) = λ λλ λ = λ C (1 cosθ), 1.5 Tvorba párov a anihilácia Pri tvorbe párov sa energia jediného fotónu premení úplne na hmotu, vytvorí sa pár elektrón-pozitrón. Pozitrón je antičastica elektrónu. Má rovnaké vlastnosti ako elektrón (rovnaká hmotnosť, spin) má však opačný (v absolútnej hodnote rovnako veľký) elektrický náboj. Pozitrón má teda presne taký istý elektrický náboj ako protón ale vo všetkých ostatných vlastnostiach je ako elektrón). Aby sa fotón mohol premeniť v elektrón-pozitrónový pár, musia byť splnené dve podmienky: tvorba párov 1. energia fotónu musí byť aspoň rovná pokojovej energii elektrónu a pozitrónu (tj. hν 2m e c 2 ), čo je vyžadované zákonom zachovania energie; 2. V blízkosti vzniku páru musí byť teleso (najčastejšie jadro atómu), ktorý vybalancuje hybnosť. Fotón bez prítomnosti iného telesa sa nemôže premeniť na elektrón pozitrónový pár nie je možné splniť súčasne zákon zachovania energie aj zákon zachovania hybnosti.

30 25 anihilácia Anihilácia je proces, ktorý je opakom k tvorby párov. Keď sa stretne elektrón s pozitrónom, ich hmota sa premení na fotón. Tento proces môže prebehnúť aj bez prítomnosti tretieho telesa. V takom prípade musia vzniknúť dva fotóny, aby zákon zachovania energie aj zákon zachovania hybnosti zostali neporušené. Vznikajúce fotóny odnášajú pokojovú energiu elektrónu a pozitrónu zvýšenú o ich pôvodnú kinetickú energiu (zákon zachovania energie). V ťažiskovej sústave elektrón-pozitrónového páru odletajú fotóny z miesta anihilácie v presne opačnom smere, a ich energia je rovnaká. Úlohu elektrónu a pozitrónu môže prevziať akýkoľvek pár častice-antičastice (napríklad protón a antiprotón). 1.6 Absorpcia fotónov Pri prechode zväzku fotónov sa dejú rôzne procesy: fotoelektrický jav, Thomsonov rozptyl, Comptonov rozptyl, tvorba párov. Všetky tieto procesy znižujú počet fotónov v pôvodnom zväzku. Pri prechode monochromatického zväzku fotónov homogénnou látkou hrúbkyx, intenzita I 0 pôvodného zväzku fotónov poklesne na hodnotu I(x), ktorá je daná vzťahom I(x) = I 0 e µx, (1.23) kde µ je lineárny absorpčný koeficient. Jeho hodnota závisí od energie fotónov i od absorbujúceho materiálu. lineárny absorpčný koeficient 1.7 Úlohy fotón Úloha 1.1. Stíhací bombardér s hmotnosťou 12 ton letí rýchlosťou 2 mach (1 mach je rýchlosť zvuku 340 m/s). Aká je kinetická energia stíhacieho bombardéru podľa newtonovskej mechaniky, a aká je odchýlka od presnej hodnoty danej relativistickou definíciou kinetickej energie? Riešenie. Kinetická energia stíhacieho bombardéru je podľa newtonovskej mechaniky 4 E kin = 1 2 mv2 = 0,5 1, kg(680 m/s) 2 = 2, J. Newtonovská mechanika predstavuje prvé dva členy rozvoja presnej (tj. relativistickej) kinetickej energie podľa vzťahu (1.8). Vieme, že pri použití prvých

31 26 dvoch členoch rozvoja je presnosť daná ďalším (tretím) členom, tj. v našom prípade, keď a = 1/2 a x = v 2 /c 2 E kin = E kin,rel E kin,klas = (m m 0 )c m 0v 2 = m 0 c 2[ (1+x) 1/2 1 2 x ] m 0 c 2 ( 1 2 )( )( 3 v 2 ) 2 c = 3 8 mv4 c 2 = 1, J. 4 4 Úloha 1.2. Zem obieha okolo Slnka rýchlosťou 28,8 km/s. Hmotnosť Zeme je 5, kg. Aká je jej kinetická energia podľa newtonovskej mechaniky a aká je presnosť tohoto výsledku oproti presnej hodnote určenej relativisticky? Úloha 1.3. Aká hmotnosť je uvedená pri uhlíku v Mendelejevovej tabuľke prvkov pri uhlíku? Vyjadrite názor, že prečo táto hodnota nie je 12,0000 u? Riešenie. Uvedená hodnota je 12, 0107 u. Dôvodom odchýlky je, že v prírode je prítomný aj iný izotop uhlíka, 13 C (v jadre má tiež 6 protónov, ale 7 neutrónov). 12 C predstavuje len 98,93 % všetkého uhlíka a zbytok (1,07 %) je uhlík 13 C, ktorej hmotnosť je 13,0034 u. Ľahko sa môžete presvedčiť o tom, že priemerná hmotnosť je skutočne 12,0107 u 98,93 12,0000 u+1,07 13,0034 u 100 = 12,0107 u. V prírode prevláda u každého chemického prvku jeden, najviac dva z jeho izotopov 4. Mohlo nás napadnúť, že atómy vykonávajú tepelný pohyb, a v dôsledku relativistickému nárastu hmotnosti je pri bežných podmienkach (teplota okolo 300 K) aj nameraná hmotnosť atómov uhlíka väčšia. Túto argumentáciu ľahko vyvrátime. Tepelná energia je vlastne kinetickou energiou atómov. Stredná kinetická energia Ēkin je pri teplote T rovná 3 2 kt, čo v našom prípade predstavuje energiu Ē kin = 3 2 1, JK K = 6, J. Tejto energii zodpovedá nárast hmotnosti podľa ekvivalencie energie a hmotnosti m = Ēkin c 2 = 6, kg = 4, u. 4 len zriedka majú tria viac približne rovnako zastúpené izotopy

32 27 Tepelný pohyb síce spôsobuje nárast hmotnosti, ale o 9 rádov menší, než prítomnosť hmotnejších izotopov uhlíka. Porovnateľný nárast hmotnosti by mohol spôsobiť tepelný pohyb len pri teplote o 9 rádov väčšej, tj. pri teplote rádovo K. Takáto teplota sa dosahuje v jadre veľmi hmotných hviezd (napríklad modrých obrov). V jadre nášho Slnka je teplota len okolo 1, K. Úloha 1.4. Aká je (priemerná) hmotnosť jedného atómu hélia v jednotách u a aká v jednotkách kg podľa Mendelejevovej tabuľky prvkov? Úloha 1.5. Hmotnosť protónu je 1, kg. Aká je jeho hmotnosť v jednotkách MeV/c 2? Riešenie. Podľa definície je 1, kg=931,5 MeV/c 2, teda m p = 1, kg = 1, kg 1, kg = 938,0 MeV/c ,5 MeV/c 2 Úloha 1.6. Hmotnosť neutrónu je 1, u. Aká je jeho hmotnosť v kilogramoch a aká v MeV/c 2? Úloha 1.7. Pri akej rýchlosti elektrónu sa bude líšiť jeho relativistická hmotnosť od pokojovej o 1 % pokojovej hmotnosti? Aká je kinetická energia elektrónu pri tejto rýchlosti? Výpočty robte v jednotkách kev/c 2 a kev. Riešenie. Pokojovú hmotnosť elektrónu označíme m e. Podľa zadania musí platiť ( ) 1 m e (v) m e = m e 1 = 0,01m e, 1 β kdem e (v) sme označili relativistickú hmotnosť (1.6) elektrónu pri rýchlostiv. Pravá strana rovnice vyjadruje našu požiadavku odchýlky o 1 % pokojovej hmotnosti. Po vykrátení rovnice pokojovou hmotnosťou m e a usporiadaní dostaneme 1 1 β 2 = 1,01 Po jednoduchej úprave obdržíme β 2 = 1 1 1,01 2 = 1, a β = 0,14

33 28 Hľadaná rýchlosť je teda β = 0,14, alebo čo je to isté 4, m/s. Z toho vidíme, že klasické vzťahy môžeme použiť pre relatívne vysoké rýchlosti. Závisí to len od presnosti, ktorú požadujeme. Je zrejmé tiež, že rovnaký záver platí pre ľubovoľné teleso, nie len pre elektrón (výsledok nezávisel od hmotnosti elektrónu). Výpočet kinetickej energie je mimoriadne jednoduchý, ak použijeme priamo relativistickú definíciu kinetickej energie danú vzťahom (1.8) E kin = ( m e (v) m e ) c 2 = 0,01m e c 2 = 0, kev/c 2 c 2 = 5,11 kev/c 2 c 2 = 5,11 kev. Tu sme využili toho, že hmotnosť elektrónu v jednotkách kev/c 2 je511 kev/c Úloha 1.8. Pokojová hmotnosť protónu je 938,3 MeV/c 2. Pri akej rýchlosti sa bude líšiť jeho relativistická hmotnosť od pokojovej o 10 % jeho pokojovej hmotnosti? Úloha 1.9. Elektrón, ktorý je na začiatku v pokoji, je urýchlený napätím 2 kv (urýchlovacie napätie klasického monitoru). Aká je kinetická energia elektrónu na konci urýchľovania? Riešenie. Kinetická energia elektrónu sa bude rovnať práci, ktorú vykoná elektrické pole urýchľujúce elektrón. Ak elektrón preletí medzi dvomi bodmi a medzi týmito bodmi je napätie U = x V, potom pole vykonalo prácu W = x ev. Či táto práca prispela k urýchleniu, alebo k spomaleniu elektrónu, závisí od okolností (od polarity napätia). V našom prípade je to jednoznačné elektrón letí od zápornej elektródy ku kladnej a je urýchlený. Na začiatku elektrón bol v pokoji a preto práca, ktorú elektrické pole vykonalo sa rovná kinetickej energii elektrónu na konci urýchlenia (tj. tesne pred dopadom na plochu monitoru) E kin = W = eu = ev. Dôležité. Veľkosť práce ktorú elektrické pole vykoná na elektrickom náboji veľkosťou q, ktorý je urýchlený napätím U, je vždy W = qu, tj. aj vtedy, keď pohyb náboja je relativistický. 6 Úloha Elektrón vstupuje medzi dvojicu elektród (A a B) s kinetickou energiou 120 ev, pričom sa pohybuje od elektródy A k elektróde B. Aké musí byť minimálne (brzdné) napätie medzi elektródami, aby pohyb elektrónu bol zastavený elektrickým poľom ešte pred dopadom na elektródu B?

34 29 Úloha Elektrón v pokoji je urýchlený napätím 2000 V. Aká je rýchlosť elektrónu po urýchlení? Neuvažujte relativistické efekty. Riešenie. Kinetická energia elektrónu vzrastie v dôsledku urýchlenia oe U = 2000 ev. Nakoľko elektrón na začiatku bol v pokoji, jeho kinetická energia E kin,0 bola E kin,0 = 0 ev. 4 Po urýchlení bude kinetická energia elektrónu E kin,u ( ) 1 E kin,u = 2 m ev 2 = E U. Pokojová hmotnosť elektrónu jem e = 0,511 MeV/c 2, preto kinetickú energiu prepíšeme do tvaru E kin,u = 1 2 m ev 2 = 1 2 m ec 2( v ) 2 1 = c 2 m ec 2 β 2 = E U. Pre bezrozmernú rýchlosť β dostaneme 2EU 4000 ev β = mc 2 = 0,511 MeV = 7, = 8, Rýchlosť elektrónu po urýchlení jev = βc = 8, c = 2, ms 1. Úloha Elektrón letí rýchlosťou v = 1, ms 1. V smere svojho letu je urýchlený napätím U = 100 kv. Aká bude výsledná rýchlosť elektrónu? Neuvažujte relativistické efekty. Úloha Elektrón v pokoji je urýchlený napätím 2000 V. Aká je rýchlosť elektrónu po urýchlení? Uvažujte relativistické efekty. Riešenie. Celková energia elektrónu vzrastie v dôsledku urýchlenia o E U = 2000 ev. Nakoľko elektrón na začiatku bol v pokoji, jeho celková energia E 0 bola E 0 = m e c 2 = 0,511 MeV. Po urýchlení bude celková energia elektrónu E 2 zvýšená o energiu urýchlenia E U E 2 = E 0 +E U = 0,511 MeV+2000 ev = 0,513 MeV. Nakoľko elektrón bol na začiatku v pokoji, nárast celkovej energie je rovný celkovej (relativistickej) kinetickej energii elektrónu, tj. E U = E kin = m ec 2 1 β 2 m ec 2. 0 V 100 kv v Elektrón urýchlený napätím 100 kv v smere jeho letu. 5

35 30 Vyjadríme bezrozmernú rýchlosť β β = 1 1 ( ) 2 = 1 1+ E U mc 2. = 1 ( ev 0,511 MeV 1 (1+3, ) 2. = 8, Rýchlosť elektrónu po urýchlení jev = βc = 8, c = 2, ms 1. 5 Úloha Riešte úlohu 1.12 s uvážením relativistických efektov. ) 2

36 Kapitola 2 Tepelné žiarenie V tejto kapitole sa budeme venovať tepelnému žiareniu telies, ktoré sa riadi Planckovým vyžarovacím zákonom. Zdrojom tepelného žiarenia je každé teleso, a v menej komplikovanej podobe (pravda tiež menej detailne) ho popisujú Wienov posuvný zákon a Stefanov-Boltzmannov zákon. Základným pojmom je absolútne čierne teleso. 2.1 Viditeľné svetlo Viditeľné svetlo je tá časť elektromagnetického žiarenia, ktoré sa skladá z fotónov, ktoré je schopné ľudské oko registrovať. Tieto fotóny charakterizujeme ich vlnovou dĺžkou (alebo menej často ich frekvenciou). Literatúra nie je jednoznačná v tom, že aký interval vlnových dĺžok svetla (teda fotónov, z ktorých sa skladá) tvorí viditeľné svetlo. Táto neistota je daná zrejme tým, že viditeľnosť v značnej miere závisí na subjekte, ktorý posudzuje, či svetlo danej vlnovej dĺžky ešte je viditeľné alebo nie. Dohodneme sa preto na tom, že viditeľné svetlo je svetlo s vlnovou dĺžkou λ z intervalu nm. 1 viditeľné svetlo λ = nm Denné svetlo ale tiež akékoľvek žiarenie sa skladá z fotónov rôznych vlnových dĺžok. Len vo výnimočnom prípade sa skladajú z fotónov jednej jedinej vlnovej dĺžky (energie) vtedy hovoríme o monochromatickom svetle či (monoenergetickom) žiarení. 1 V literatúre sa uvádza často nm, ale tiež nm, či nm. spektrum monochromatické svetlo 31

37 32 Obr. 2.1: Obrázok ukazuje veľmi presné spektrálne rozloženie dúhy, farieb svetla Slnka. Tento rozklad je tak citlivý, že dlhý pás bolo nutné rozrezať a naukladať nad seba. I z obrázku je dobre vidieť, že dúha nie je úplne spojité spektrum, čo má svoje príčiny v tom, že svetlo Slnka prechádza jednak cez hornú atmosféru Slnka a tiež atmosférou Zeme, kde dochádza k absorpcii. Vyššie uvedené spektrum bolo zhotovené v slnečnom observatóriu McMath-Pierce. S poďakovaním (Copyright): National Optical Astronomy Observatory/Association of Universities for Research in Astronomy/National Science Foundation. farba vlnová dĺžka energia fotónu fialová nm 3,44 2,76 ev modrá nm 2,76 2,50 ev zelená nm 2,50 2,18 ev žltá nm 2,18 2,10 ev oranžová nm 2,10 2,00 ev červená nm 2,00 1,65 ev Tabuľka 2.1: Približné rozdelenie farieb dúhy podľa vlnovej dĺžky fotónov, z ktorých sa svetlo skladá. Interval energie fotónov v elektronvoltoch je v poradí hraníc príslušných vlnových dĺžok v predchádzajúcom stĺpci.

38 33 EM žiarenie vlnová dĺžka energia fotónu γ-žiarenie < 10 pm > 1,24 MeV tvrdé röntgenove pm ,4 kev mäkké röntgenové 0,1 10 nm 12,4 0,124 kev krajné ultrafialové nm ,4 ev blízke ultrafialové nm 12,4 3,44 ev viditeľné svetlo nm 3,44 1,65 ev blízke infračervené nm 1,65 1,24 ev vzdialené infračervené 1 10 µm mev mikrovlnné µm 124 1,24 mev EKV mm ,24 µev VKV 1 10 m nev KV m ,4 nev SV m 12,4 1,24 nev DV 1 10 km pev VDV km ,4 pev EDV > 100 km < 12,4 pev Tabuľka 2.2: Približná charakteristika elektromagnetického žiarenia (fotónov) v celom pásme. Vyznačené hranice sú len orientačné. Použité skratky pre rádiové vlny: EKV - extrémne krátke vlny, VKV - veľmi krátke vlny, KV - krátke vlny, SV - stredné vlny, DV - dlhé vlny, VDV - veľmi dlhé vlny, EDV - extrémne dlhé vlny.

39 34 teleso dutina otvor Obr. 2.2: Fotón, ktorý vletí cez otvor do dutiny telesa bude veľkou pravdepodobnosťou pohltený. Z tohoto pohľadu otvor telesa sa správa ako absolútne čierne teleso. Napriek tomu z otvoru fotóny vylietavajú, ale tieto fotóny sú v prevážnej miere emitované povrchom dutiny a nie sú to fotóny, ktoré vleteli otvorom dutiny. Spektrálne zloženie a množstvo fotónov, ktoré vyletia otvorom sa riadi zákonom žiarenia absolútne čierneho telesa (Planckov vyžarovací zákon). 2.2 Absolútne čierne teleso Absolútne čierne teleso Teleso, ktoré neodrazí a ani neprepustí žiadne elektromagnetické žiarenie, ktoré na neho dopadne, nazývame absolútne čiernym telesom. Vďaka týmto vlastnostiam sa teleso skutočne javí ako čierne. Technicky prevediteľné absolútne čierne teleso je znázornené na obrázku 2.2. Na tomto obrázku hrá úlohu absolútne čierneho telesa otvor pred dutinou. Vnútrajšok dutiny je komplikovaný, špongiovitý povrch. Z tohoto povrchu je málo pravdepodobné, že fotón sa odrazí naspäť priamo do otvoru. Fotón sa vo vnútri telesa (v dutine) odráža od stien dutiny, a pri každom dopade je šanca, že bude absorbované. 7 Príklad 2.1. Majme v telese dutinu v tvare gule s polomerom r = 10 cm a otvor s plochou S otv = 1 mm 2. Odhadnite, aká je pravdepodobnosť, že fotón, ktorý vletí do dutiny cez otvor sa dostane von otvorom bez toho, že by bol vo vnútri dutiny absorbovaný? Povrch dutiny je difúzny, tj. po dopade sa fotón odrazí úplne náhodne, presnejšie: každý smer odrazu je rovnako pravdepodobný. Pravdepodobnosť toho, že fotón je pri jednom dopade na povrch dutiny absorbovaný (a už sa neodrazí) je p = 0,9.

40 35 Riešenie. Odhad: Plocha dutiny je S = 4 3 πr2 = 4, mm 2, kým plocha otvoru je len S otv = 1 mm 2. Pravdepodobnosť toho, že po prvom dopade sa nepohltí, ale odrazí je q = 1 p = 0,1. Pravdepodobnosť toho, že po odraze nedopadne na plochu dutiny, ale poletí priamo do otvoru, je Q = S otv S = 1 mm 2 4, mm 2 = 2, Pravdepodobnosť, že sa stanú obidve veci súčasne, je q Q = 2,4 10 6, teda veľmi malé číslo. Môže sa to stať samozrejme po dvoch odrazoch, po troch a podobne. Túto pravdepodobnosť môžeme zapísať ako P = qq+q 2 Q+q 3 Q+ = qq(1+q+q 2 + ) = qq 1 1 q = qq p = 2, Presnejší výpočet berie do úvahy aj to, že pokiaľ fotón dopadne na povrch dutiny v blízkosti otvoru, potom priestorový uhol, ktorý vykryje otvor je väčší v dôsledku malej vzdialenosti. Na druhú stranu treba zobrať do úvahy aj sklon, pod ktorým je z daného bodu otvor vidieť. V konečnom dôsledku (po komplikovaných výpočtoch) treba namiesto plochy S otv brať len jeho polovičnú hodnotu, tj. Q = S otv /(2S) a potom výsledná pravdepodobnosť je P = 1, Náš jednoduchý odhad je teda obstojný. 2.3 Wienov posuvný zákon Wienov posuvný zákon určuje vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzita žiarenia absolútne čierneho telesa maximálna. 2 Vlnovú dĺžku fotónov, na ktorej je intenzita žiarenia absolútne čierneho maximálna vlnová telesa maximálna, nazývame maximálnou vlnovou dĺžkou a označujeme λ max. 3 Wienov zákon hovorí, že maximálna vlnová dĺžka žiarenia absolútne čierneho telesa je nepriamo úmerná jeho termodynamickej teplote T (teplote meranej v kelvinoch), konkrétne dĺžka 2 Všetky zákony, ktoré popisujeme, predpokladajú, že pri tepelnom žiarení je teleso v tepelnej rovnováhe. Znamená to, že jeho teplota sa nemení. Vo väčšine prípadov je to splnené, energia (ktoré teleso vyžaruje) je neustále dopĺňaná zdrojom tepla. V iných prípadoch síce teleso nie je v tepelnej rovnováhe, tepelné zmeny sú však výrazne pomalšie, než relaxačná doba procesov na atomárnej úrovni, preto nami preberané zákony popisujúce tepelné žiarenie sa dajú použiť bez zmien. 3 V žiadnom prípade si nemyslime, že je to maximálna vlnová dĺžka fotónov, ktoré sa v žiarení ešte vyskytujú obrázok 2.3 na strane 38 jasne ilustruje význam definície. Wienov posuvný zákon

41 36 λ max = b T, (2.1) kde b = 2,898 mmk je univerzálna konštanta, nezávislá od materiálového zloženia, tvaru či iných vlastností telesa. Nie všetky telesá sú absolútne čierne to je každodenná skúsenosť. So žiarením, ktoré dopadá na teleso, sa môžu udiať tri veci: schopnosť absorpcie, odrazivosť a transparentnosť emisivita môže byť telesom pohltené, absorbované túto schopnosť nazývame absorpčnou schopnosťou telesa, absorptivitou môže byť odrazené túto schopnosť telesa nazývame reflexivita a a môže byť prepustené túto schopnosť telesa nazývame transparentnosť. Tieto tri vlastnosti sa vyjadrujú príslušnými koeficientami a (absorpčná schopnosť), r (reflexivita) a t (transparentnosť.) Všetky tieto veličiny závisia na vlnovej dĺžke svetla, teplote telesa, jeho tvare, kvalite povrchu a podobne. Ak na jednotkovú plochu telesa s teplotou T dopadne za jednotku času E energie v podobe monochromatického žiarenia s vlnovou dĺžkou λ, potom z tohoto množstva energie ae bude pohltené, re bude odrazené a de bude prepustené. Platí teda a+r +t = 1. (2.2) Samotné tvrdenie je triviálne a dá sa bez problémov pripustiť, že tieto veličiny sú závislé na vlnovej dĺžke žiarenia i teplote telesa. Schopnosť absorpcie sa však dostane do nového svetla, keď spomenieme ďalšiu schopnosť telies (nie nutne absolútne čiernych) a tou je emisivita. Ak zoberieme absolútne čierne teleso, tak také teleso pohltí každé žiarenie, ktoré na neho dopadne, teda a = 1 (r = t = 0) pre elektromagnetické žiarenie ľubovoľnej vlnovej dĺžky. Keď toto absolútne čierne teleso bude v tepelnej rovnováhe so žiarením, potom vyžiari na každej vlnovej dĺžke rovnaké množstvo energie, aké na neho dopadá. 4 Označme množstvo vyžiarenej energie (z jednotkovej plochy za jednotku času) formálne ako ǫe (ǫ = 1). Naše tvrdenie potom môžeme zapísať nasledovne 4 Pod tepelnou rovnováhou so žiarením rozumieme nasledujúcu vec. Teleso je obklopené žiarením (nech je zdrojom žiarenia čokoľvek). Teplota telesa sa v dôsledku vyžarovania normálne klesá. V dôsledku absorbovaného žiarenia sa však teplota telesa stúpa. Pokiaľ tieto procesy sú v rovnováhe, teplota telesa sa nemení. My, v spomínanej rovnováhe, vyžadujeme tiež to, aby sa nemenila spektrálna skladba žiarenia, ktoré obklopuje teleso (intenzita žiarenia na jednotlivých vlnových dĺžkach týka sa to vyžarovania telesa i žiarenia, ktoré na teleso dopadá).

42 37 ǫe(λ,t) = ae(λ,t). Tu sme teda hovorili o absolútne čiernom telese, ktorého schopnosť absorbovať je jednotková na každej vlnovej dĺžke (a = 1) a pri každej teplote. A zrovna to platí aj o schopnosti emitovať (ǫ = 1 pre každú vlnovú dĺžku a pri každej teplote). Kirchhoff 5 si však položil otázku, že koľko energie vyžiari zo svojho povrchu reálne teleso 6, ktorého absorpčná schopnosť je a(λ,t) (a < 1)? 7. Porovnávacím základom je absolútne čierne teleso. Ak absolútne čierne teleso má teplotu T a vyžiarené množstvo energie 8 na vlnovej dĺžke λ je E, u reálneho telesa rovnakej teploty sa dá očakávať, že bude množstvo vyžiarenej energie na tej istej vlnovej dĺžke ǫ(λ,t)e. Koeficient ǫ(λ,t) nazývame emisivitou. Koeficient ǫ(λ, T) modifikuje žiarenie absolútne čierneho telesa na žiarenie reálneho telesa. Kirchhoff experimentálne zistil, že ǫ(λ,t) = a(λ,t) pre každú teplotu T a každú vlnovú dĺžku λ žiarenia. Tento jav nazývame Kirchhoffow Kirchhoffovým zákonom tepelného žiarenia. zákon Poznámka 2.2. Možno pôsobí táto rovnosť prekvapujúco, hlavne keď si uvedomíme, že u reálneho telesa je schopnosť odrážať žiarenie nenulová (r > 0) a tiež je nenulová aj transparentnosť (t > 0). V skutočnosti však vyjadruje Kirchhoffov zákon spomínanú rovnováhu telesa s dopadajúcim žiarením. Keď si predstavíte list stromu, na ktorý dopadá slnečné svetlo, tak nakoniec jeho teplota sa ustáli. Svetlo, čo list prepustí, či odrazí nezvyšuje teplotu listu, ale snaží sa o to množstvo energie absorbované listom. Pri ustálenej teplote sa však list musí zbaviť rovnakého množstva energie, aké prijíma, preto ǫe = ae, čo je Kirchhoffov zákon. Predsa je tu niečo netriviálneho. Kirchhoffov zákon totiž hovorí, že táto rovnováha nastane pre každú vlnovú zložku samostatne absorbovaná ener- 5 Gustav Robert Kirchhoff od ktorého pochádzajú aj dobre známe zákony pre elektrické obvody. 6 z jednotkovej plochy za jednotku času; 7 Tu sme zdôraznili, že absorpčná schopnosť a môže závisieť od vlnovej dĺžky (a tiež od teploty). Zelené listy stromu sú zelené preto, že neabsorbujú zelenú zložku bieleho svetla, kým ostatné zložky áno. Existujú plastové pásikové teplomery, ktoré keď priložíte k čelu, zmenia farbu podľa toho, že akú teplotu má vaše čelo. Inými slovami absorpčná schopnosť pásu je závislá od teploty. 8 z jednotkovej plochy za jednotku času;

43 38 H(λ,T) λ max λ Obr. 2.3: Graf ukazuje typické spektrálne zloženie žiarenia absolútne čierneho telesa, ktorého teplota jet. Na vodorovnej osi je vynesená vlnová dĺžka, na zvislej osih(λ,t), tzv. spektrálna hustota žiarivého toku, ale tento pojem vysvetlíme neskôr. Momentálne stačí vedieť toľko, že keď vyberieme konkrétnu vlnovú dĺžku, výška grafu nám prezrádza, že akú časť intenzity žiarenia absolútne čierneho telesa predstavujú fotóny s vybranou vlnovou dĺžkou (neskôr aj toto tvrdenie upresníme). Na obrázku sme vyznačili polohu maxima spektrálnej hustoty (žiarivého toku) a príslušnú hodnotu vlnovej dĺžky sme označili λ max. Túto vlnovú dĺžku nazývame vo Wienovom posuvnom zákone maximálnou vlnovou dĺžkou. gia danej vlnovej dĺžky sa na tejto vlnovej dĺžke aj vyžiari. To je zákon tepelného žiarenia. Sú látky, ktoré tento zákon narúšajú a vytvárajú nový typ žiarenia (nie tepelné). Napríklad ekologické žiarovky i neónky pracujú na inom princípe. Na biely svietiaci povlak (tzv. luminofor) dopadá ultrafialové svetlo, ktoré je absorbované, ale luminofor vyžaruje túto energiu na úplne iných vlnových dĺžkach. Pravda, toto žiarenie už nie je tepelné žiarenie, ale tzv. studené žiarenie a vrátime sa k nemu neskôr. Pomocou Planckovho vyžarovacieho zákona neskôr ukážeme, že b sa dá skutočne vyjadriť výhradne pomocou univerzálnych fyzikálnych konštánt. 1 Príklad 2.3. Povrchová teplota Slnka je 5523 C. Aká je maximálna vlnová dĺžka, na ktorej Slnko svieti? Riešenie. Povrchová termodynamická teplota Slnka je teda T = 5800 K, a podľa Wienovho posuvného zákona je maximálna vlnová dĺžka λ max = b T = 2,898 mmk 5800 K = 500 nm.

44 39 Poznámka 2.4. Treba poznamenať, že po celú dobu sme mali namysli nepriehľadné materiály. V takom prípade je reflexivita jednoznačne určená absorptivitou (v tepelne rovnovážnom stave emisivitou pozri vzťah (2.2) na strane 36). Žiarenie reálnych telies je oproti absolútne čiernemu telesu modifikované jeho farbou (reflexivitou). Zelené listy stromov sú zelené, nakoľko z bieleho svetla odrážajú svetlo zelenej farby. Absorptivita (a potom aj emisivita) listov v pásme zelenej farby je teda veľmi nízka. Dôsledkom tejto vlastnosti (závislosti absorptivity na vlnovej dĺžke) je aj skleníkový efekt. Skleníkový efekt vyvolávajú tzv. skleníkové plyny, ktoré sú vo väčšine pásiem elektromagnetického žiarenia priehľadné. Ich prítomnosť môžeme chápať ako prítomnosť filtrov na zemskom povrchu niečo, čo modifikuje emisivitu zemského povrchu. Poznamenajme ešte, že materiály pri veľmi vysokých teplotách (akú majú napríklad horné vrstvy hviezd) sú v plazmatickom stave kladné ióny sa voľne pohybujú v plyne elektrónov. Teplo je prenášané hlavne elektrónmi v plazme (elektróny sú výrazne ľahšie, než kladné ióny). Nie je preto prekvapivé, že tepelné žiarenie hviezd nezávisí významne od zloženia hviezd, a riadi sa zákonmi žiarenia absolútne čiernych telies. 2.4 Stefanov-Boltzmannov zákon Stefanov-Boltzmannov zákon hovorí, že ak máme absolútne čierne teleso, ktorého termodynamická teplota je T, potom z jednotky plochy za jednotku času sa vyžiari určité množstvo energie a táto energia je úmerná T 4, konkrétne I = σt 4, (2.3) kde I je intenzita vyžarovania telesa a σ = 5, W m 2 K 4 je Stefanova-Boltzmannova konštanta, ktorá nie je závislá na materiále telesa, jeho tvare a závisí len od univerzálnych fyzikálnych konštánt, ako ukážeme pomocou Planckovho vyžarovacieho zákona. Príklad 2.5. Vlákno žiarovky je rozžhavené na teplotu t = 1800 C, pričom plocha vlákna je 20 mm 2. Akým výkonom žiari žiarovka a aký musí byť príkon, na udržanie teploty vlákna na uvedenej teplote? Riešenie. Podľa Stefanovho-Bolltzmannovho zákona je intenzita žiarenia I = σt 4 = 5, W m 2 K 4 (2073 K) 4 = 1, W m 2. Plocha vlákna je S = 20 mm 2 a preto vyžiarený výkon P je P = S I = SσT 4 = 20 mm 2 1, W m 2 = 21 W. Stefanov- Boltzmannov zákon 3

45 40 Vychádzali sme pritom z toho, že vlákno je absolútne čierne. Aby sme udržali teplotu vlákna, musí byť príkon rovnaký, aký je vyžarovaný výkon (vlákno musí byť v tepelnej rovnováhe), preto príkon je tiež 21 W. V prípade, že teleso nie je absolútne čierne, ale má určitú nie jednotkovú absorpčnú schopnosť a (a < 1), potom jeho emisivita ǫ je tiež odlišná od 1 a Stefanov-Boltzmannov zákon bude mať tvar I = ǫσt 4. (2.4) 4 Táto emisivita ǫ je podľa Kirchhoffovho zákona tepelného žiarenia, pri tepelnej rovnováhe, rovná absorpčnej schopnosti a (ǫ = a). Poznámka 2.6. Vlákno žiarovky predchádzajúceho príkladu bolo pri výpočtoch považované za absolútne čierne. Ak jeho emisivita bude ǫ = 0,6, potom však aj vyžarovaný výkon bude nižší presne úmerne tomuto koeficientu, a dosiahne len hodnotu0,6 21 W = 12,6 W. V takom prípade na udržanie tepelnej rovnováhy vlákna bude postačovať príkon 12, 6 W. (Stále vychádzame z toho, že príkonom musí byť nahradená vyžiarená energia v rovnakom tempe, ako sa energia vyžaruje.) Príklad 2.7. Na akú teplotu sa zohreje biela guľa s polomerom 5 cm, ak v jeho strede sa uvoľňuje 1 J tepla za každú sekundu (príkon 1 W)? Aká bude táto teplota, ak príkon bude 100 W? Pod bielou guľou rozumieme guľu s povrchom, ktorého absorpčná schopnosť je a = 0, 01 (99%-ná bielosť). Riešenie. Uvažujme najprv príkon P = 1 W. Veľkosť plochy gule je S = 4πr 2 = 4 3,14 (5 cm) 2 = 3, m 2. Pri termodynamickej teplote T bude guľou vyžarovaný výkon P g = ǫsσt 4, a z rovnosti príkonu a vyžarovaného výkonu (P = P g ) plynie ( ) P 1/4 ( 1 W T = = ǫs 0,01 3, m 2 5, W m 2 K 4 = 487 K, tj., že guľa sa zohreje na teplotu 214 C. Ak bude príkon 100 krát väčší, potom teplota sa ustáli na(100) 1/4 = 3,16 násobku teploty, ktorú sme obdržali pre príkon 1 W. Guľa sa rozžhaví pri príkone 100 W na teplotu 1540 K=1267 C. Je to jeden z dôvodov, prečo ľudia v rovníkovej oblasti majú tmavú pleť a prečo teplokrvné zvieratá v polárnej oblasti sú biele. ) 1/4

46 41 Uvedieme ešte jeden praktický tvar Stefanovho-Boltzmannovho zákona. Ak teleso s termodynamickou teplotou T 1, s povrchom S 1 a s absorpčnou schopnosťou a svojho povrchu sa nachádza v nádobe (či v miestnosti), ktorého steny majú teplotu T 2, potom teleso síce žiari výkonom P 1 = ǫs 1 σt1 4 (vyžarovaný výkon), ale súčasne pohlcuje cez svoj povrch žiarenia nádoby (miestnosti) výkon P 2 = as 1 σt2 4. Vzhľadom k tomu, že ǫ = a, celkový výkon vyžiarený telesom je P = P 1 P 2 = ǫs 1 σ(t 4 1 T 4 2). (2.5) Tento výkon je kladný, pokiaľ teleso vyžiari viac energie, než pohltí (T 1 > T 2 ), a je záporný, pokiaľ pohltí viac energie, než vyžiari (T 1 < T 2 ). Prekvapivé môže byť zistenie, že táto formula neobsahuje emisivitu (alebo absorpčnú schopnosť) stien nádoby. Uvedená formula platí za predpokladu, že steny nádoby sú nepriehľadné, tj. t = 0 (pozri vzťah (2.2) na strane 36). V takom prípade a 2 +r 2 = 1. Časť povrchu telesa ožaruje určitú časť povrchu nádoby, a rovnaká časť nádoby ožaruje povrch telesa. Pri tepelnej rovnováhe spomínaná časť telesa vyžiari za jednotku času presne toľko energie, koľko smerom k nemu vyžiarila a odrazila príslušná časť povrchu nádoby. Inými slovami, akoby povrch nádoby bol absolútne čiernym (a 2 +r 2 = 1). Keby nádoba bola čiastočne priehľadná (t 2 => 0), vzťah (2.5) by sme museli písať v tvare P = P 1 P 2 = ǫs 1 σ [ T 4 1 (1 t 2)T 4 2]. (2.6) V ďalšom budeme vždy predpokladať, že nádoba je nepriehľadná (t 2 = 0). Príklad 2.8. Majme guľu s polomerom r g = 5 cm, povrch ktorej má absorpčnú schopnosť a 1 = 0,1. V strede tejto gule as uvoľňuje teplo a tento tepelný zdroj má príkon P = 1 W. Guľu obklopuje tenká kovová schránka v tvare gule s polomerom r s = 10 cm tak, že kovová schránka a guľa s tepelným zdrojom majú spoločný stred. Vnútorná strana kovovej schránky je natretá tmavou farbou, ktorej absorpčná schopnosť je a 2 = 0,8, kým vonkajšia strana schránky je svetlá s absorpčnou schopnosťou a 3 = 0,05. Celé zariadenie je vo vesmíre, v tieni Zeme. Na akej teplote sa ustáli teplota malej gule s tepelným zdrojom a na akej hodnote sa ustáli teplota kovovej schránky? Riešenie. Musíme začať postup zvonka. Pri tepelnej rovnováhe celkový tepelný príkon (v malej guli) P = 1 W sa musí vyžiariť vonkajšou vrstvou 6

47 42 kovovej schránky, tj. P = ǫ 3 S s σt 4 s, kde ǫ 3 = a 3 = 0,05 S s = 4πr 4 s = 1, m 2 je povrch kovovej schránky. Z rovnosti vyžarovaného výkonu a príkonu dostaneme T 4 s = P ǫs s σ = 2, K 4, T = 230 K. Teraz môžeme prejsť k vnútornej gule s tepelným zdrojom. Vnútorná guľa má teplotu T g a preto vyžaruje výkonom P g = ǫ 1 S g σt 4 g, kde S g = 4πr 2 g. Súčasne však guľa je obklopená kovovou schránkou, ktorej teplota je T s. Absorbuje teda výkon P a = ǫ 1 S s σt 4 g. Tieto dva výkony nie sú rovnaké, ale líšia sa o tepelný príkon zdroja ukrytého vo vnútri gule. Jedine takto dokáže kovová schránka vyžiariť spomínaný výkon do okolitého vesmíru. Platí teda, že P = P g P a = ǫ 1 S g σ(t 4 g T 4 s ), odkiaľ teplotu gule vieme vypočítať, lebo už všetko poznáme T 4 g = P ǫ 1 S g σ +T4 s = P σ ( 1 ǫ 1 S g 1 ǫ 3 S s ). Po dosadení dostaneme, že teplota gule bude T g = 483 K. 2.5 Planckov vyžarovací zákon Planckov vyžarovací zákon vystihuje tepelné žiarenie v podstatne detailnejšej podobe, než Wienov posuvný zákon a Stefanov-Boltzmannov zákon, nakoľko hovorí o spektrálnom zložení tepelného žiarenia a kvantifikuje ho Rayghleiho-Jeansov zákon Raygheiho-Jeansov zákon bol jedným z prvých čiastočne úspešných pokusov vysvetliť spektrálne zloženie tepelného žiarenia (žiarenia absolútne čierneho telesa). Keď hovoríme o spektrálnom zložení, máme tým na mysli napríklad farebné zloženie žiarenia Slnka. Keď rozložíme svetlo Slnka pomocou hranola, získame vo viditeľnej oblasti dúhu (pozri obrázok 2.1 na strane 32). Intenzita jednotlivých farieb nie je

48 43 rovnaká (v zmysle definície intenzity monochromatického svetla, tj. energia fotónov počet fotónov/(plocha čas)). Pri teoretickom popise tepelného žiarenia sa očakáva odpoveď aj na otázku, aká je intenzita jednotlivých farieb, všeobecne aká je intenzita všetkých frekvencií žiarenia. Rayghlei 9 a Jeans 10 odvodili vzťah spektrálnej hustoty intenzity žiarenia absolútne čierneho telesa vychádzajúc z kinetickej teórie plynov a z Maxwellových rovníc. Na tomto mieste podáme popis odvodenia pre zjednodušenú dutinu, ktorá hrá úlohu absolútne čierneho telesa, keď dutina má tvar hranola so stranami L x,l y,l z. Dutina v tomto prípade nemá žiadny otvor, a preto nič z neho neuniká steny dutiny vyžiaria formou tepelného žiarenia všetko, čo pohltili. Steny dutiny považovali Rayghlei a Jeans za dokonalé zrkadlá, ktoré udržiavajú v dutine (kde je vákuum) elektromagnetické žiarenie v nezmenenom stave. Program, ktorý si následne vytýčili, bol jednoduchý: 1. spočítať, v koľkých možných stavoch sa môže nachádzať elektromagnetické pole v dutine (počet stupňov voľnosti počet módov), 2. určiť zo znalosti počtu stupňov voľnosti a znalosti strednej energie pripadajúcej na jeden stupeň voľnosti množstvo energie uschované v jednotkovom objeme dutiny, a tiež spektrálne zloženie tejto energie. Kým prvý krok sa dá urobiť korektným spôsobom, v prípade druhého kroku programu sa museli uchýliť k predpokladu, že v dutine sa realizuje každý mód, a stredná energia jedného módu je kt/2 zrovna tak, ako v kinetic- 9 Lord Rayghlei (vyslovuj rejli ), vlastným menom John William Strutt bol anglický fyzik, stal sa laureátom Nobelovej Ceny v roku 1904 za objav nového chemického prvku, argónu. Jeho meno je spojené mnohými javmi, ako napríklad Rayleigho rozptyl. Rayghleiho rozptyl hovorí o tom, že svetlo s kratšou vlnovou dĺžkou sa rozptyluje na malých rozptylových centrách a molekulách ochotnejšie, než svetlo väčšej vlnovej dĺžky. Preto je obloha modrá a bude modrá na každej planéte, kde atmosféru tvorí plyn bez farby. Aj obloha Marsu je modrá, ako to dokazujú aj zábery vesmírnych sond, ktoré na povrchu Marsu pristáli. Obloha na Marsu môže byť do červena, pokiaľ sa preženie piesočná búrka, ktorá do atmosféry vynesie malé zrniečka červeného piesku. Farba oblohy v tomto prípade je však daná farbou zrniečok piesku a nie niečim iným. Nobelová cena sa nikdy neprideľuje na základe jedného objavu, berie sa do úvahy prispenie do nejakej oblasti fyziky výraznejším spôsobom. V odôvodnení, pravda, sa vyzdvihuje aj konkrétny úspech v oblasti, kde prispenie osoby je výrazné, najviac oceňované komunitou vedcov navrhujúcich toto prestížne ocenenie. 10 sir James Hopwood Jeans bol anglický fyzik, astronóm. Prispel hlavne ku kvantovej teórii, a k vysvetleniu žiarenia a vývoja hviezd. Ultrafialová katastrofa

49 44 kej teórii plynov. 11 Tento druhý (nesprávny predpoklad) viedol k predpovedi spektrálneho zloženia, ktorej nedostatok v literatúre spomínajú ako ultrafialovú katastrofu. Podrobným výpočtom (pozri dodatok A) zistili, že počet módov s frekvenciou ν až ν +dν je v dutine s objemom V N(ν) = 16π c 3 Vν 2 dν (2.7) Ak priemerná energia módov je 1 2 kt, potom elektromagnetické pole uzavreté v dutine s objemom V a s teplotou stien T má vo frekvenčnom pásme (ν,ν+ dν) energiu 8π c 3 VkTν2 dν. (2.8) Spektrálna hustota hustoty energie prepočítanej na jednotku objemu je potom H(ν,T) = 8π c 3 ktν2. (2.9) Vysvetlime si fyzikálny význam veličiny H(ν,T). 12 Spektrálna hustota hustoty energie hovorí nasledujúce. Ak vyberieme vo vnútri dutiny objem veľkosti V a frekvenčné pásmo šírky ν obsahujúci frekvenciu ν, (napríklad frekvenčné pásmo (ν,ν+ ν)), potom množstvo energie nahromadené v tomto objeme a v tomto frekvenčnom pásme je E = H(ν,T) ν V. (2.10) Poznámka 2.9. H(ν,T) je fyzikálna veličina nového typu, s ktorou sa doteraz čitateľ pravdepodobne nestretol. Je to dvojnásobná hustota. Hustota energie z hľadiska priestoru a súčasne aj hustota z pohľadu frekvencie (spektrálna hustota). Pokiaľ s ňou budeme narábať v tvare (2.10), myslíme si, že sa sňou dokážeme zblížiť bez väčších problémov. Vzťah (2.10) sa pomocou kvantového prístupu dá chápať ešte jednoduchšie, než klasicky. Je to súhrnná energia tých fotónov v objeme V, ktorých frekvencia je z intervalu (ν,ν + ν). Rayghleiho-Jeansov zákon súhlasil so známymi experimentálnymi údajmi len v nízkofrekvenčnej oblasti. Vo vysokofrekvenčnej oblasti však experimenty ukazovali orezanie hustoty energie s vysokou frekvenciu. 11 Teraz sme nepresní, lebo kt/2 je stredná kinetická energia pripadajúca len na jeden stupeň voľnosti. Toto tvrdenie je zatiaľ postačujúce a upresnenie príde na správnom mieste pozri napríklad dodatok A. 12 Jeho odvodenie možno nájsť v dodatku A

50 45 I jednoduché pozorovanie odporuje tomu, čo predpovedá Raygleiho-Jeansov zákon. Pozrime sa na tento problém z pohľadu obyčajných kachlí, do ktorých sme zatopili uhlím. Keď zatopíme, kachle sa postupne zahrievajú až na konečnú teplotu. V konečnom, rovnovážnom stave vyžiaria toľko tepla, koľko tepla sa uvoľní pri horení uhlia. Vnútrajšok kachlí pritom funguje ako dutina a jeho steny ako absolútne čierne teleso. Pri konečnej teplote (T) hovoríme o tepelnej rovnováhe absolútne čierneho telesa mal by tu teda platiť Rayghleiho-Jeansov zákon. Ten však predpovedá, že keď urobíme inventár koľko energie sa nachádza vo frekvenčnom pásme šírky (napr.) 1 Hz dostaneme odpoveď, že čím je frekvencia väčšia, tým viac. Na frekvencii 10 Hz je stokrát viac, ako na frekvencii 1 Hz, Na frekvencii 100 Hz je zase stokrát viac ako na frekvencii 10 Hz, na frekvencii 1000 Hz je zase stokrát viac ako na 100 Hz, atď, atď. Je to dané tým, že H(ν,T) ν 2. Tento rast ale nikde nekončí, nie je orezaný. Ak v infračervenej oblasti je nejaké konečné množstvo energie (a to cítime na dlaniach natiahnutých smerom ku kachliam), vo viditeľnej oblasti by toho malo byť sto krát viac, v ultrafialovej oblasti sto krát viac, než vo viditeľnej oblasti a v röntgenovej oblasti ešte stokrát viac. Sedieť v blízkosti takých kachlí by bolo vysloveným hazardom (alebo skôr istou smrťou). Tento stav by musel nastať postupne, vyrovnávaním teploty kachlí na konečnú teplotu. Podľa Rayghleiho-Jeansovho zákona by sa kachle mali naprv rozpáliť do červena, potom do žlta, do zelena, do modra, do fialova atď. Nič sa z toho ale nedeje, môže to potvrdiť ktokoľvek, kto v blízkosti kachlí už sedel (zrovna to platí pre táborák, kde rovnaké procesy by museli prebehnúť vo vnútri každého žeravého uhlíku v ohništi). Je to rukolapné, že tento zákon nemôže byť správny Wienov zákon žiarenia Wien 13 si uvedomil, že základná chyba je v predpoklade o obsadení každého módu elektromagnetického žiarenia, ktorý môže v dutine existovať. Pokiaľ by sme totiž chceli spočítať množstvo energie v konečne malom objemovom elemente V dutiny, museli by sme sčítať (integrovať) energie E = H(ν,T) V ν pre všetky frekvencie, čo vedie k výsledku E = 0 dν ( H(ν,T) V ) = 8π c 3 V 0 dνν 2 = 8π [ ν 3 c 3 V 3 ] ν=0 =, 13 Wilhelm Wien získal Nobelovu Cenu za fyziku v roku 1911 práve za výsledky dosiahnuté pri vysvetlení tepelného žiarenia.

51 46 H(ν,T) Rayghlei-Jeans Planck a experimentálne údaje Wien Obr. 2.4: Predpovede priebehu H(ν, T) podľa rôznych modelov. Experimentálne údaje sú vynesené hrubou čiarou a zhodujú sa s Planckovým zákonom žiarenia. Rayghleiho-Jeansov zákon predpovedá pre rastúcu frekvenciu neobmedzený rast hustoty energie. Wienov zákon dáva správne výsledky pre vysokofrekvenčnú oblasť, ale pre nízkofrekvenčnú oblasť sa odchyľuje od experimentálnych hodnôt výraznejšie, než Rayghleiho-Jeansov zákon. ν tj. k nekonečnemu množstvu energie. Vráťme sa k nášmu príkladu, ku kachliam, v ktorých horí uhlie: pálením uhlia v kachliach sa uvolní len konečné množstvo tepla, takže takáto predpoveď o spektrálnom rozdelení energie v žiarení je neprijateľná. Wien použil predpoklad, že vysokofrekvenčná oblasť bude orezaná faktorom e E/kT, ktorý je známy napríklad z barometrickej formule (odvodenie barometrickej formule a argumentáciu vedúcu ku vzťahu nižšie pozri v dodatku B). Orezávanie znamená v tomto prípade to, že spektrálnu hustotu hustoty energie H(ν, T) očakával v tvare H(ν,T) = 8π c 3 hν3 e hν kt. (2.11) Wienov zákon žiarenia dáva vynikajúci súhlas v oblasti veľmi vysokých frekvencií, ale v oblasti nízkych frekvencií dáva horšie výsledky, než Rayghleiho- Jeansov zákon (pozri obrázok). Poznámka V niektorých literatúrach tento nesúhlas Wienovho zákona s experimentálnymi údajmi v nízkofrekvenčnej oblasti sa nazýva infračervená katastrofa. Treba ale poznamenať, že nesúhlas zďaleka nie je drastický, ako to ukazuje aj obrázok 2.4, a zďaleka nie taký závažný ako ultrafialová katastrofa spojená s Rayghleiho-Jeansovým zákonom.

52 47 Žiaľ, Wienov zákon nesúhlasil s experimentálnymi údajmi ani v oblasti maxima H(ν, T) a konkrétne nedával správnu hodnotu práve pre experimentálne zistenú hodnotu b z Wienovho posuvného zákona. Aby sme si to ukázali, vyjadrime spektrálnu hustotu hustoty energie v závislosti od vlnovej dĺžky λ a nie od frekvencie ν. Príklad Vyjadrite závislosť spektrálnej hustoty hustoty energie H na vlnovej dĺžke λ. Riešenie. Aby sme sa nezaplietli do definície H(ν, T), odvodenie tvaru H(λ, T), urobíme prostredníctvom množstva elektromagnetickej energie v malom elemente V. Množstvo elektromagnetickej energie de v objeme V a vo frekvenčnom páse (ν,ν +dν) je de = H(ν,T) Vdν Táto istá energia sa ale dá vyjadriť aj pomocou vlnovej dĺžky λ a spektrálnej hustoty hustoty energie H(λ,T), ktorá má ten istý význam ako H(ν,T), len vyjadrená pomocou vlnových dĺžok λ :? de = H(λ,T) Vdλ, kde frekvenčné pásmo (ν, ν + dν) určuje jednoznačne interval vlnových dĺžok (λ,λ+dλ) prostredníctvom vzťahu λ = c/ν. Platí ν = c λ,,ν +dν = c λ+dλ, dν dν = dλ dλ = c λ 2 dλ. Nech nás znamienko nemýli. Vyjadruje vlastne tú skutočnosť, že medzi ν a λ je nepriama úmera. Ak ν+dν je väčšie ako ν, potom λ+dλ je menšie ako λ, pričom λ = c/ν. Frekvenčný interval (ν, ν + dν) popisuje tú istú časť elektromagnetického žiarenia, ako interval (λ+dλ,λ) 14 a nachádza sa v nich rovnaké množstvo energie (na jednotkový objem). Rovnosť môžeme zapísať aj pomocou absolútnych hodnôt nasledovne de = H(ν,T) V dν = H(λ,T) V dλ. Objem V môžeme vykrátiť z rovnosti a písať H(λ,T) = H(ν,T) dν dλ = 8π c 3 hν3 c λ Teraz sme dbali o to, aby sme poradie λ+dλ a λ písali skutočne v poradí menší, väčší.

53 48 Konečný výsledok je potom H(λ,T) = 8π ( ) c 3 c 3 h e hc kt λ c λ 2 = 8πhcλ 5 e hc λkt.? Príklad Odvoďte Wienov posuvný zákon pre Wienovu spektrálnu hustotu hustoty energie. Riešenie. Podľa Wienovho posuvného zákona vlnová dĺžka λ max elektromagnetického žiarenia, pre ktorú monochromatická zložka má maximálnu intenzitu, spĺňa zákon λ max = b T, kde b = 2,989 mmk. Inými slovami H(λ, T) nadobúda svoju maximálnu hodnotu na vlnovej dĺžke λ max. Potom ale musí platiť, že H(λ,T) λ = 0. λ=λmax Po dosadení do H(λ,T) z príkladu 2.11, a vykonaní derivácie dostaneme ( 8πkT 5 hc 1 hc e λkt λ6 + λ 5 kt 1 hc e λkt λ2 ) = 0 a dostaneme podmienku pre ma- Stačí rovnicu vynásobiť výrazom λ 7 e hc λkt ximum vo veľmi jednoduchej podobe 5λ hc kt = 0. Tento vzťah kvalitatívne súhlasí s Wienovým posuvným zákonom, ale predpovedá pre koeficient b hodnotu b = hc 5k = 2,877 mmk, teda asi 0,7% menšiu, než je správna, experimentálne zistená hodnota 2,898 mmk.

54 Konečné riešenie Konečné riešenie našiel Max Planck 15. Bol dlho presvedčený o správnosti Wienovho zákona, bolo mu však zrejmé, že bude treba robiť určitú modifikáciu, ktorá povedie k súhlasu s experimentálnymi údajmi v celej oblasti. Jeho postup tu nebudeme reprodukovať, lebo sa opieral o termodynamiku. V konečnom dôsledku však skombinoval entrópiu pre Rayghleiho-Jeansvo zákon a Wienov zákon šťastným spôsobom, ktorý viedol k správnemu tvaru spektrálnej hustoty hustoty energie v tvare H(ν,T) = 8π e hν kt c 3 hν3 1 e hν kt (2.12) Tento výsledok naprosto súhlasí s experimentálnymi údajmi (pozri obrázok 2.4) na strane 46, preto bolo treba nájsť aj prijateľné fyzikálne zdôvodnenie. Na rozdiel od mylnej predstavy (ktorá prežívala skoro 40 rokov), že Planck našiel odpoveď v kvantovaní elektromagnetického žiarenia, vychádzal z predstáv o mechanizme vzniku žiarenia. Tá je skrytá v stenách dutiny. Atómy a molekuly steny dutiny pohlcujú a vyžarujú elektromagnetické žiarenie. Správne žiarenie popísané vzťahom (2.12) možno získať, pokiaľ si povieme, že konkrétny atóm (molekula) steny dutiny nie je schopný žiariť na ľubovoľnej frekvencii, len na celočíselných násobkoch určitej základnej frekvencie ν 0, tj. na frekvenciách ν 0,2ν 0,3ν 0,... Dnes vieme, že to zodpovedá vyžiareniu fotónov s energiou E 0,2E 0,3E 0,... Na druhú stranu to, že atóm (molekula) sa dostane do stavu, v ktorej je schopná vyžiariť na tejto energii (frekvencii), je (používame barometrickú formulu - odvodenie pozri v dodatku A) p 0 e E 0 kt,p 0 e 2E 0 kt,p 0 e 3E 0 kt,...,p 0 e ne 0 kt kde p 0 je normujúce číslo. Aby p 0 e ne 0 kt bola skutočne pravdepodobnosť, ktorou sa realizuje stav s energiou E n, súčet všetkých pravdepodobností 15 Max Planck, jeden zo zakladateľov kvantovej teórie, získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1918 za jeho zásluhy vo fyzike a objavenie kvanta energie

55 50 musí dať 1 (100%) 1 = p 0 e 0 kt +p 0 e E 0 kt +p 0 e 2E 0 kt + = p 0 ( 1+e E 0 kt +e 2E 0 kt +...) 1 = p 0 1 e E 0 kt Tu sme využili toho, že pre malé x ( x < 1). 1+x+x 2 + +x n = 1 xn+1 1 x, a v limitnom prípade n sa čitateľ stane rovný 1. V našom prípade bolo x = e E 0 kt. Teraz už poznáme čomu sa p 0 musí rovnať p 0 1 e E 0 kt = 1 p 0 = 1 e E 0 kt. Pravdepodobnosť toho, že atóm (molekula) nevyžiari nič jep 0, pravdepodobnosť toho, že atóm vyžiari energiu E 0 je p 1 = p 0 e E 0 kt, pravdepodobnosť toho, že vyžiari energiu 2E 0 je zase p 2 e 2E 0 kt atď.. Teraz môžeme skontrolovať, že aká je stredná hodnota energie vyžiarená atómom je to vážený priemer všetkých možných energií 0,E 0,2E 0,... Nulová energia (pravdepodobnosť vyžiarenia ktorého je p 0 ) tu musí figurovať tiež. Pre strednú hodnotu energie Ē môžeme napísať Ē = p 0 0+p 1 E 0 +p 2 (2E 0 )+p 3 (3E 0 ) = p 0 E 0 e E 0 kt ( 1+e E 0 kt +e 2E 0 kt ). Znova použijeme naše značenie x = e E 0 kt, potom si všimnime, že teda rovný 1+2x+3x 2 + = d dx (1+x+x2 +x 3 ), ( ) d 1 = dx 1 x 1 (1 x) 2. Stredná hodnota energie pripadajúca na jeden mód teda nie je kt, ale e E 0 kt Ē = E 0 1 e E 0 kt = E 0 1 e E 0 kt 1 = hν 0. (2.13) e hν 0 kt 1

56 51 Poznámka Pre veľmi malé hodnoty z ( z 1) možno písať e z 1+z. Všimnime si, že pre veľmi malé energie E 0, kokrétne pre tak malé energie, že E 0 kt 1 dostávame pre strednú energiu Ē E 0 1 (1+ E 0 kt ) 1 = kt, tj. predpoklad použitý Rayghleim pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zákona. Poznámka Pozorný čitateľ si môže položiť otázku, prečo sme pre strednú hodnotu energie nedostali 1 2 kt? V kinetickej teórii pripadá na každý stupeň voľnosti stedná hodnota kinetickej energie veľkosti 1 2 kt. Pokiaľ je medzi atómami aj pružná väzba, potom na každú takúto väzbu pripadá stredná hodnota potenciálnej energie tiež veľkosti 1 2 kt. Toto zistenie je obsahom tzv. ekvipartičného teorému. V prípade elektromagnetického poľa elektrické a magnetické pole nie sú od seba oddeliteľné vidíme to aj z toho, že ich pevne spájajú Maxwellove rovnice. Ak jeden z nich budeme chápať ako kinetický člen (s kinetickou energiou), druhý potom hrá úlohu potenciálneho člena (s potenciálnou energiou). To sme pri odvodení Rayghleiho-Jeansovho zákona v dodatku A zobrali do úvahy. Zostáva nám odvodenie Stefanovho-Boltzmannovho zákona žiarenia. Urobíme v dvoch krokoch Vzťah hustoty energie a intenzity žiarenia Uvažujme o elektromagnetickom žiarení, ktorého hustota energie je konštantná, rovná w a šíri sa len v jednom smere. Ako súvisí intenzita žiarenia I s hustotou energie tohoto žiarenia? Predstavme si elementárny hranol s objemom V, v ktorej fotóny sa pohybujú pozdĺž jednej z jeho hrán. Nech dĺžka tejto hrany je L x. V danom okamihu je množstvo energie v elementárnom objeme E = w V. Za čas t = L x c sa všetky fotóny z tohoto elementárneho objemu V prejdú plochou kolmou na hranu dĺžky L x, tj. cez plochu S = V L x.

57 52 Intenzita žiarenia je preto I = E S t = w V ( S Lx c ) = wc. Žiarivý tok V prípade dutiny je situácia odlišná, než sme popísali vyššie. Ak vyberieme nejaký bod vo vnútri dutiny, žiarenie cez neho prechádza zo všetkých smerov. Takéto žiarenie skôr vieme charakterizovať novou veličinou, ktorú nazývame žiarivý tok. Žiarenie prechádzajúci cez bod, pokračuje ďalej a prechádza cez povrch gule so stredom v spomínanom bode. Túto skutočnosť vyjadrujeme tým, že žiarenie vypĺňa celý priestorový uhol 4π. 16 Namiesto spektrálnej hustoty hustoty energie v dutine, vyjadrenej veličinou H(ν, T) (pozri (2.12)) zavedieme spektrálnu hustotu žiarivého toku Φ(ν, T) absolútne čierneho telesa ako Φ(ν,T) = c 4π H(ν,T). (2.14) Rýchlosť svetla c poukazuje na to, že od hustoty prechádzame k toku, kým delenie s 4π na skutočnosť, že žiarenie je všesmerové a vzťahujeme veličinu na jednotkový priestorový uhol. Majme dutinu, v ktorej je žiarenie absolútne čierneho telesa v rovnováhe a hustota energie je w. Žiarenie je v dutine izotropné. Majme malú, pevne zvolenú plochu veľkosti S v dutine. Táto plocha má dve strany (dajme tomu symbolicky označíme ako 1 a 2). Žiarenie prechádza skrz túto myslenú plochu jedným i druhým smerom (vďaka izotropie rovnaké množstvo v oboch smeroch). Otázka znie. Aká je intenzita žiarenia prechádzajúca skrz plochy len z jednej strany? Žiarivý tok v dutine má veľkosť Φ = wc 4π. Z jednej strany na druhú však prechádza len žiarenie z polpriestoru, tj. z priestorového uhla 2π. Intenzita žiarenia však nebude I = 2πΦ, lebo 16 Priestorový uhol meriame v steradiánoch. Priestorový uhol vymedzuje okolo bodu plochu na jednotkovej guli (so stredom v tomto bode). Veľkosť tejto plochy sa dohodlo nazývať veľkosťou priestorového uhla. Plocha gule s polomerom r je 4πr 2, preto plocha jednotkovej gule je 4π. Ak máme na mysli len polpriestor, tak hovoríme o priestorovom uhle, ktorého veľkosť je 2π, lebo to je plocha polovice gule s jednotkovým polomerom. Veľkosť priestorového uhla nehovorí, ktorú časť priestoru okolo bodu myslíme.

58 53 neprechádzajú pod rovnakým uhlom. Tá časť žiarenia, ktorá dopadá na plochu kolmo, prispieva k intenzite v plnej miere (di = ΦdΩ(0), kde Ω(0) je malý priestorový uhol okolo normály plochy). Žiarenie ΦdΩ(ϑ) dopadajúce na plochu S pod uhlom ϑ, prispieva k celkovej intenzite žiarenia (prechádzajúcej plochou S) len časťou di = ΦcosϑdΩ(ϑ). V tomto prípade Ω(ϑ) malý priestorový uhol vymedzujúci časť priestor, ktorá uzatvára s normálou plochu uhol približne ϑ. Sčítaním všetkých príspevkov (zo všetkých smerov) dostaneme pre intenzitu žiarenia prechádzajúcu plochou S výsledok I = πφ = wc 4. (2.15) Tento záver samozrejme platí samostatne pre každú frekvenciu, preto dostávame I(ν,T) = c 2πh ν 3 H(ν,t) = 4 c 2 (2.16) e hν kt 1 a pre závislosť na vlnovej dĺžke I(λ,T) = c 4 H(λ,T). (2.17) 2.6 Úlohy Úloha 2.1. Na obrázku 2.1 sme ukázali spektrum slnečného svetla. Jedná sa o dúhu rozvinutú do velmi dlhého pásu. Túto dúhu sme rozrezali na krátke pásy, a pásy naukladali pod seba ako riadky písmen v knihe (pri prezeraní od najväčších vlnových dĺžok k najmenším sa obrázok číta zľava doprava a zhora nadol, presne ako kniha). Nakoľko dĺžka každého pásu je rovnaká, môžeme zakresliť zvisle vedľa spektra mierku s rozpätím vlnových dĺžok viditeľného svetla (od 760 nm po 360 nm). Určte vlnovú dĺžku viditeľného svetla a jeho farbu

59 Riešenie Stupnica na ľavej strane je v nanometroch. Stred viditeľného spektra je 560 nm a má zelenú farbu. Úloha 2.2. Rozhodovanie o tom, že ktorá farba má akú vlnovú dĺžku je výrazne subjektívne. Porovnajte farby z orientačnej definície uvedenej v tabuľke 2.1 so stupnicou z predchádzajúcej úlohy. Navrhnite vlastnú tabuľku farieb. Treba poznamenať, že ani obrazovka, ani tlačiareň nevracia farby úplne verne. Táto problematika je mimoriadne dôležitá pre výrobcov monitorov a farebných tlačiarní. Napriek tomu, rozdiely, ktoré zistíte pramenia skôr v nejednotnosti definícií. Úloha 2.3. Klasická žiarovka svieti v dôsledku rozžhavenia vlákna. Teplota vlákna v tepelnej rovnováhe je 1650 C. Aká je maximálna vlnová dĺžka svetla tejto žiarovky? Riešenie. Podľa Wienovho zákona určuje maximálnu vlnovú dĺžku svetla žiarovky vzťah (2.1) na strane 36, kde T je v našom prípade termodynamická teplota vlákna T = K = 1923 K. Maximálna vlnová dĺžka λ max je potom λ max = b T = 2,989 mmk 1923 K = 1554 nm.

60 Úloha 2.4. Aká je maximálna vlnová dĺžka tepelného žiarenia človeka, ktorý má zvýšenú teplotu 37,3 C? Úloha 2.5. Povrchová teplota vzdialených hviezd sa dá určiť pomocou spektra ich žiarenia, ktoré je tepelné žiarenie. Určí sa maximálna vlnová dĺžka (vlnová dĺžka s maximálnou intenzitou žiarenia) Rigel, jedna z najjasnejších hviezd zimnej oblohy (druhá najjasnejšia hviezda súhvezdia Orion - tj. Orion β) žiari najintenzívnejšie na vlnovej dĺžke 270 nm. Aká je jej povrchová teplota? Aká je energia fotónov (v ev) s maximálnou vlnovou dĺžkou? Riešenie. Ak Rigel žiari najintenzívnejšie na vlnovej dĺžke270 nm, potom táto vlnová dĺžka je maximálna vlnová dĺžka a podľa Wienovho posuvného zákona je jeho povrchová teplota Obr. 2.5: Súhvezdie Orionu. Energia fotónov je T = b 2,989 mmk = λ max 270 nm = 1, K. E = hc λ 1240 nmev = 270 nm = 4,59 ev. Úloha 2.6. Jedným z ranných pozostatkov Big-Bangu je kozmické mikrovlnné žiarenie pozadia (žiarenie pozadia), ktoré prvý krát pozorovali Wilson a Penzias 17, ako neodstrániteľný elektromagnetický šum prichádzajúci izotrópne z každého smeru vesmíru. 2 kozmické mikrovlnné žiarenie pozadia 17 RObert Woodrow Wilson a Arno Allan Penzias získali Nobelovu cenu za fyziku v roku 1978 za objavenie kozmického mikrovlnného žiarenia pozadia. Tento objav o dve desaťročia neskôr priniesla revolúciu v kozmológii.

61 Obr. 2.6: Mapa oblohy ukazujúca žiarenie pozadia. Žiarenie pozadia nie je dokonale izotrópne, čo prinieslo revolúciu v kozmológii fyzikálnu kozmológiu. S poďakovaním NASA/WMAP. Ich cieľom nebolo objaviť toto žiarenie (nikto nepredpokladal, že existuje), ale vyvinúť ultra citlivú anténu pracujúcu v mikrovlnnej oblasti. Zistilo sa, že objavený šum má charakter tepelného žiarenia. Maximálnu intenzitu dosahuje na vlnovej dĺžke 1, 063 mm. Akej teplote absolútne čierneho telesa zodpovedá táto vlnová dĺžka (hovoríme tiež, že je to teplota žiarenia pozadia)? Aká je energia fotónov (v ev) s maximálnou vlnovou dĺžkou? Úloha 2.7. Monochromatické svetlo s intenzitou 760 W m 2 dopadá kolmo na čiernu plochu veľkosti 6 cm 2. Koľko energie je touto plochou absorbované za jednu minútu? Riešenie. Nakoľko plocha je čierna, pohltí všetok žiarenia. Označme intenzitu monochromatického svetla I = 760 W m 2 a veľkosť čiernej plochy S = 6 cm 2. Množstvo energie E pohltené touto plochou za dobu t = 1 min je E = IS t = 760 W m cm 2 60 s = 27,4 J. Úloha 2.8. Laser s príkonom 1 mw vytvára monochromatický lúč červeného 3 svetla s priemerom 1 mm. Aká je intenzita laserového lúča? Intenzita nie monochromatického svetla 5 Úloha 2.9. Intenzita nie monochromatického svetla môžeme chápať ako svetlo zložené z monochromatických zložiek. Intenzita tohoto svetla je súčtom intenzity jednotlivých zložiek. Pri udávaní absorptivity môžeme udať spriemerovaný údaj pre dané spektrálne zloženie svetla. Na list stromu dopadá biele svetlo s intenzitou 670 W m 2. Svetlo dopadá kolmo na plochu listu. List má priemernú absorpčnú schopnosť 0, 8. Koľko energie pohltí list stromu za jednu hodinu, ak veľkosť plochy listu, na ktoré dopadá biele svetlo, je 25 cm 2? Riešenie. Označme absorpčnú schopnosť listu a, intenzitu bieleho svetla I, veľkosť plochy listu S a dobu, po ktorú biele svetlo dopadá na list označíme t. Množstvo absorbovanej energie E je E = ais t = 0,8 670 W m 2 2, m s = 48,2 kj.

62 Úloha Žiarovka s príkonom 100 W osvetľuje knihu, ktorá je od nej vo vzdialenosti 0, 5 m. Aká je intenzita žiarenia dopadajúca na knihu, ak dopadá na strany knihy kolmo? Vlákno žiarovky považujme za čierne. Úloha Solárna konštanta je 1368 W m 2. Aký je výkon žiarivý Slnka? K výpočtu použite astronomické údaje z Internetu. Riešenie. Solárnu konštantu označme I. Vyjadruje intenzitu slnečného žiarenia v blízkosti Zeme nad jej atmosférou vo vesmíre, tj. vo vzdialenosti r AU = 1, m od Slnka. Celkový žiarivý výkon 18 Slnka L sa rovná výkonu žiarenia, ktorý prechádza cez povrch gule s polomerom r AU, tj. cez plochu veľkosti S = 4πr 2 AU. Celkový žiarivý výkon Slnka je L = 4πr 2 AU I = 4 3,1415 (1, m) W m 2 = 3, W. Úloha Určte povrchovú teplotu Slnka na základe výsledku predchádzajúcej úlohy. Potrebné údaje čerpajte potrebných údajov získaných z internetu. Úloha Zdrojom kozmického žiarenia (pozri úlohu 2.6) boli plyny pred približne 12,5 miliardami rokov. Aký veľký žiarivý výkon môžeme prisúdiť pozadiu na základe znalosti teploty žiarenia? O zdroji žiarenia pozadia uvažujme ako o absolútne čiernom telese. Porovnajte tento výkon so žiarivým výkonom Slnka z úlohy Riešenie. Nakoľko žiarenia pozadia prichádza z každého smeru a bolo emitované pred 12,5 miliardami rokov, plocha, ktorá je zdrojom žiarenia pozadia je guľoplocha s polomerom R = 12, ly, kde ly je označením svetelného roku (vzdialenosť, ktorú svetlo vo vákuu preletí za jeden rok, tj. 9, m). Vyžarovaný výkon L je potom podľa Stefanovho-Boltzmannovho zákona 4 5 L = 4πR 2 σt 4 = 12,57 (12, , m) 2 5, W m 2 K 4 (2,73 K) 4, kde T = 2,73 K je teplota žiarenia (výsledok úlohy 2.6). Číselný výsledok je L = 5, W, čo znamená, že L = 1, L. 18 astronómovia nazývajú luminozitou

63 58

64 Kapitola 3 Model atómu 3.1 Model atómu pred Rutherfordom Veľkým prínosom atomistickej predstavy látky a kinetickej teórie plynov bolo, že dovolilo spočítať počet atómov v známom objeme látky, či v látke známej hmotnosti (Avogadrovo číslo). Pokiaľ sa predpokladal guľovitý tvar atómu, jeho polomer vychádzal rádovo m. 1 Chýbali však znalosti o štruktúre atómov či vôbec nejakú majú, alebo je atóm len homogénnou guľôčkou. Rôzne fyzikálne javy, ako emisia elektrónov z rozžhaveného kovu (elektrónka v klasickom monitore), výboj vznikajúci pri veľkom napätí, blesky poukazovali na to, že vo vnútri atómu sú nosiče záporného aj kladného elektrického náboja. Elektróny pri týchto javoch odnášajú z elektricky neutrálneho atómu záporný elektrický náboj. Boli objavené prvé rádioaktívne atómy, ktoré vyžarovali častice α, odnášajúce z elektricky neutrálneho atómu kladný elektrický náboj. Práve častice α sa stali prvými sondami, ktoré ukázali štruktúru atómu pomocou revolučne novej metódy rozptylového experimentu. Napriek tomu, že elektromagnetické javy boli spoľahlivo popísané štyrmi Maxwellovými rovnicami, a tie boli známe už v 70-tych rokoch 19-ho storočia, skoro nič nebolo známe o elektróne. Jeho vlastnosti boli zmerané spoľahlivo až v roku Časticuαobjavili v roku 1898, ale až v roku 1909 sa podarilo Avogadrovo číslo 1 Demonštrovať sa dá roztiahnutím malej kvapky oleja na povrchu vody určí sa objem kvapky oleja, ktorá sa roztiahne medzi drôtmi. Určí sa maximálna veľkosť plochy olejovej škvrny, ktorú možno takto získať. Hrúbka h olejovej vrstvy je približne priemer atómu (molekuly oleja): h = V/S, kde V je objem olejovej kvapky a S je maximálna plocha olejovej škvrny. 2 Joseph John Thomson, Nobelova cena za fyziku v roku 1906, za jeho veľký prínos v teoretickom a experimentálnom skúmaní vedenia elektrického prúdu v plynoch (inými 59

65 60 Pudingový model atómu Lenardov model atómu identifikovať túto časticu ako jadro atómu hélia (He 2+ ). Prvý model atómu vychádzal z rozpoznania existencie elektrónu (J.J. Thomson ), čím vznikol tzv. pudingový model atómu, ktorý bol zavrhnutý až v roku Lenard 3 skúmal prienik elektrónového zväzku skrz tenkú vrstvu látky (1903) a zistil, že elektróny sú vychylované len málo. Objem atómu z väčšej časti je prázdny. Lenard predpokladal, že atóm sa skladá z malých kladných a záporných častíc, ale jeho model nemal taký úspech, ako Thomsonov. Chýbala stále odpoveď na báze experimentu ako sa rozkladá kladný a záporný náboj vo vnútri atómu? Rutherford, Geiger a Marsden si vytýčili za svoj cieľ zistiť toto rozloženie nábojov. Logickým návrhom mohol pripadať planetárny model atómu. A skutočne. Ak uvažujeme o planéte obiehajúcej okolo Slnka na kružnicovej trajektórii a o elektrónu obiehajúcom okolo ťažkého kladného jadra na kružnicovej trajektórii, obidva pohyby sa riadia identickými pohybovými rovnicami. Na planétu pôsobí príťažlivá sila Slnka, a veľkosť F tejto sily je F = k G r 2, kde r je vzdialenosť medzi planétou a Slnkom, kým k G je konštanta, ktorej štruktúra je známa z Newtonovho gravitačného zákona v tvare k G = GmM, kde G je univerzálna gravitačná konštanta (jej hodnota v sústave SI je6, N kg 2 m 2 ), m je hmotnosť planéty (v kilogramoch) a M je hmotnosť Slnka (v kilogramoch). V prípade elektrónu obiehajúceho okolo ťažkého atómového jadra (ďalej budeme hovoriť len o atóme), elektrón je k jadru pútaný coulombovskou silou veľkosti F, F = k C r 2, kde r je vzdialenosť medzi elektrónom a jadrom atómu, kým k C je konštanta, ktorá má štruktúru (vyplývajúcu z Coulombovho zákona) v tvare (v sústave SI) k C = q eq j 4πε 0. slovami objavenie elektrónu). 3 Philipp Eduard Anton von Lenard, Nobelová cena za fyziku v roku 1905, pre jeho prácu s katódovými lúčmi (rozumej elektrónové lúče).

66 61 Tu q e je elektrický náboj elektrónu, q j je elektrický náboj jadra atómu (v prípade atómu vodíka q j = q e = e, tj. veľkosti elementárneho náboja 1, C), ε 0 je permitivita vákua (jej hodnota v SI je 8, m 3 kg 1 s 4 A 2 ) 4 Pri pohybe po kružnicovej trajektórii pôsobí na elektrón zotrvačná sila. V prípade planéty má veľkosť F o = mv2 r, v prípade elektrónu F o = m ev 2, r kde v je v oboch prípadoch obežná rýchlosť a m e je hmotnosť elektrónu. Napriek tejto podobnosti sa myšlienka planetárneho modelu atómu v tejto fáze poznania (tj. pre Rutherfordovými experimentmi) zavrhla. Dôvodom boli Maxwellove rovnice, ktoré nemali svoju analógiu v gravitácii 5. Štvorica Maxwellových rovníc (bez toho, že by sme ich napísali) hovorí o troch veciach: ako vytvára pohybujúca sa častica s elektrickým nábojom elektromagnetické pole, ako elektromagnetické pole núti pohybovať sa elektricky nabitú časticu, ako sa chová elektromagnetické pole bez prítomnosti elektricky nabitých častíc (voľné elektromagnetické pole). Poznámka 3.1. Pokiaľ to nepovedie nejednoznačnostiam, budeme o častici s elektrickým nábojom hovoriť len ako o náboji. Pohybujúci sa náboj vytvára okolo seba elektromagnetické pole. Pokiaľ elektrický náboj sa pohybuje zrýchlene (teda mení veľkosť alebo smer svojho pohybu), vytvára také elektromagnetické pole, ktoré je schopné existovať aj osamostatnene (voľné elektromagnetické pole). Hovoríme, že zrýchľujúci sa elektrický náboj vyžaruje elektromagnetické vlny. Elektromagnetické vlny sú teda realitou, ich existencia nie je spojená s voľbou pozorovateľa (nezávislosť na pozorovateľovi je dôležitá vlastnosť, ktorú v argumentácii použijeme nižšie). 4 Je praktické si pamätať, že 4πε m 3 kg 1 s 4 A 2, alebo 9 1 4πε m 3 kg 1 s 4 A 2. 5 Dnes ich máme, sú to Einsteinove rovnice všeobecnej teórie relativity.

67 62 Poznámka 3.2. Striedavý elektrický prúd je vytváraný kmitajúcim pohybom elektrónov. Striedavý prúd preto vytvára elektromagnetické žiarenie. To je základ funkčnosti mobilných telefónov. 6 Príklad 3.3. Určite vyžarovaný výkon elektrónu vo vákuu, ktorý je urýchlený zrýchlením veľkosti a. K riešeniu využite rozmerovú analýzu. Riešenie. V prvom kroku rozhodneme, ktoré fyzikálne veličiny môžu ovplyvniť vyžarovaný výkon. Pre ozrejmenie: vyžarovaným výkonom P (vo wattoch) rozumieme množstvo elektromagnetickej energie (v jouloch), ktoré prejde za jednotku času (sekundu) uzavretou plochou, ktorá obklopuje elektrón (nezáleží na veľkosti plochy dôležité je, že obklopuje elektrón zo všetkých strán). Prichádzajú do úvahy nasledujúce fyzikálne veličiny: elektrický náboj elektrónu e, nakoľko on je zdrojom elektrického poľa a tiež magnetického poľa fyzikálny rozmer v základných jednotkách je A m, permitivita vákuaε 0, nakoľko charakterizuje elektrické vlastnosti vákua fyzikálny rozmer je Fm 1 = kg 1 m 3 s 4 A 2, permeabilita vákua µ 0, nakoľko charakterizuje magnetické vlastnosti vákua; namiesto tejto veličiny je však rozumné zvoliť rýchlosť svetla vo vákuu c, nakoľko c 2 = 1/(µ 0 ε 0 ), teda spája elektrické a magnetické vlastnosti v dobre známu a názornú fyzikálnu veličinu fyzikálny rozmer rýchlosti je ms 1 zrýchlenie elektrónu a, podľa zadania príkladu elektrón koná zrýchlený pohyb fyzikálny rozmer je ms 2. Je na mieste otázka, prečo nepredpokladáme závislosť od rýchlosti elektrónu a od hmotnosti elektrónu? Od rýchlosti elektrónu vyžarovaný výkon nemôže závisieť, lebo stojací elektrón by musel tiež vyžarovať (z pohľadu pozorovateľa, ktorý sa voči nemu pohybuje rovnomerne a priamočiaro). Vyžarovanie nehybného elektrónu je fyzikálne neprijateľná predstava. Od hmotnosti elektrónu vyžarovaný výkon nemôže závisieť preto, lebo zdrojom elektromagnetického žiarenia je elektrický náboj a nič iného. Elektrický náboj je nezávislý od hmotnosti (elektrón a protón majú rovnako veľký elektrický náboj, ale odlišné hmotnosti). Viac fyzikálnych veličín, ktoré by vystupovali v našom experimentálnom usporiadaní, už nemáme.

68 63 Pre vyžarovaný výkon teda môžeme písať nasledujúcu rovnicu P = Ke A ε B c C a D, kde K je bezrozmerný koeficient (jeho fyzikálny rozmer je 1, tj. [K] = 1) a exponenty A,B,C,D sú čísla. To, čo platí pre fyzikálne veličiny, platí nutne aj pre ich fyzikálne rozmery, tj. Konkrétne [P] = [K][e] A [ε 0 ] B [c] C [a] D. (W =)kgm 2 s 3 = (A s) A (kg 1 m 3 s 4 A 2 ) B (ms 1 ) C (ms 2 ) D Usporiadame pravú stranu podľa základných fyzikálnych rozmerov a dostaneme kgm 2 s 3 = (kg B )(m 3B+C+D )(s A+4B C 2D )(A A+2B ) Exponenty pri základných fyzikálnych rozmeroch sa musia rovnať a tým dostaneme nasledujúcu sústavu rovníc (na ľavej strane máme A 0 = 1) kg: 1 = B m: 2 = 3B +C +D s: 3 = A+4B C 2D A: 0 = A+2B Z prvej a poslednej rovnice dostaneme okamžite, že B = 1 a A = 2. Po spätnom dosadení do druhej a tretej rovnice získame 2 = 3+C +D, 3 = 2 C 2D. Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme 2 = D, teda D = 2 a C = 3. Hľadaný vzťah pre vyžarovaný výkon je P = Ke 2 ε 1 0 c 3 a 2. Úloha 3.4. V atómu vodíka obieha elektrón okolo protónu na kružnicovej trajektórii s polomerom 0, m. Aký by mal byť vyžarovaný výkon v tomto prípade? Predpokladajte, že K = 1. [8, W]. 2

69 64 4 Úloha 3.5. Aký by bol podľa predchádzajúceho výsledku vyžarovaný výkon jedného človeka, ktorého hmotnosť je 100 kg? Porovnajte so špičkovým výkonom jadrovej bomby zvrhnutej na Hirošimu (10 20 W). Predpokladajte, že človek sa skladá len z vodíkových atómov. Poučenie z riešení predchádzajúcich úloh je, že pokiaľ atóm má planetárnu štruktúru, potom podľa Maxwellových rovníc by musel žiariť každý atóm. Makroskopické telesá sa skladajú z enormného množstva atómov a toto žiarenie by bolo neprehliadnuteľné. 3.2 Rutherfordov rozptylový experiment 1 Ernest Rutherford viedol v roku 1909 svojich mladých kolegov Hansa Geigera a Ernesta Marsdena k vykonaniu rozptylového experimentu, ktorý mal ukázať rozloženie elektrického náboja v atóme. 6 Podľa Thomsonovho modelu atómu sa atóm skladá z kohéznej kladnej hmoty, ktorá nekladie odpor pohybu iných častíc, presnejšie pohybu elektrónov. Bolo otázne, či bude klásť odpor pohybu iných častíc, ktoré boli objavené spolu s rádioaktivitou pohybu α-častíc. Či už tu odpor mal byť, alebo nie, rozptylový experiment mal schopnosť ukázať, pravdu. Pôvodná myšlienka bola, že α-časticiam kohézna hmota atómu nebude klásť odpor. Častica α preletí (vďaka svojej relatívne veľkej hmotnosti m α 8000m e ) hmotou atómu len s malou zmenou smeru svojho letu. Môžeme si to predstaviť tak, akoby brok vystrelený z pušky mal preletieť kvapkou vody. Kvapka vody smer letu broku dokáže modifikovať len nepatrne. Náhodná zrážka s elektrónom taktiež nedokáže zmeniť smer letu α-častíc výraznejšie, nakoľko α-častica má skoro 8000 krát väčšiu hmotnosť než elektrón. Úloha 3.6. Uveďte príklad predmetu, ktorý má približne 8000 krát väčšiu hmotnosť ako vy, a predmet, ktorý má 8000 krát menšiu hmotnosť ako vy. Bombardovať jediný atóm by bola nadmieru zložitá úloha. Preto atómy, ktoré mali byť bombardované tvorili veľmi tenkú fóliu. Tak tenkú, že fólia mohla byť hrubá len niekoľko málo vrstiev atómov. K tomu sa mimoriadne hodí zlato, ktoré je veľmi kujné a dokáže sa urobiť tak tenká fólia, cez ktorú už preniká aj svetlo. 6 V roku 1909 mladý Marsden potreboval výskumný projekt a Rutherford navrhol, aby skúmal rozptyl α častíc s veľkým uhlom rozptylu. Marsden ich skutočne pozoroval malý počet rozptylov, kde častice α sa z terčíku rozptýlili pod väčším uhlom ako 92 [?]

70 65 Bombardujúce α-častice dopadali kolmo k povrchu zlatej fólie. Zdrojom α-častíc bol prírodný rádioaktívny zdroj. Zo zdroja vylietavajú α-častice vo všetkých smeroch. α-častice sa však dajú veľmi ľahko odtieniť a tým sériou štrbín sa dá vytvoriť úzky zväzok α-častíc. Tým sa dosiahne, že častice α dopadajú na veľmi dobre vymedzenú oblasť zlatej fólie (plocha oblasti, a tým aj počet bombardovaných atómov zlata sa dá určiť veľkou presnosťou). Súčasne, vďaka úzkemu zväzku, častice α letia v podstate rovnobežne. Odchýlenie trajektórie α-častíc spôsobené interakciou s atómami zlata sa sledovalo ďaleko od fólie 7 tak, aby odchýlky pod malým uhlom boli dobre pozorovateľné. Kvôli presnejšiemu pozorovaniu α-častíc Geiger v spolupráci s Rutherfordom vyvinuli prístroj registrujúci častice α. 8 Častice fyzicky registruje trubica, ktorá vyprodukuje elektrický pulz, pokiaľ preletí jeho vnútrajškom (ktorý je vyplnený plynom) častica α (alebo iná elektricky nabitá častica). Poznámka 3.7. Princíp činnosti je jednoduchý. Trubica je dvojica elektród. Jedna z elektród je trubica otvorená na jednom konci. Jeho osou sa tiahne tenký drôt (druhá elektróda). Medzi elektródami je vysoké napätie nastavené na hodnotu blízko k elektrickej pevnosti plynu (tj. keď vznikne samovoľné prebitie medzi elektródami). α-častica, ktorá vletí do trubice, ionizuje množstvo molekúl plynu. Elektrické pole medzi elektródami pritiahne veľké množstvo (až milión) vzniklých nabitých molekúl a elektrónov k elektródam, čo sa prejaví v elektrickom obvode ako prúdový pulz. Ten je ďalej zosilnený a elektronicky zaregistrovaný. Rýchlosť elektroniky umožní registrovať touto formou až stotisíc α-častíc za sekundu. Veľmi jednoduchým odhadom si môžeme urobiť predstavu, že pulz má niečo okolo 0,1 µa. Energia α-častíc je okolo 6 MeV. K ionizácii molekúl je treba rádovo 6 ev, to znamená, že častica α vytvorí až milión elektricky nabitých molekúl a molekuly uvoľnia rovnaký počet elektrónov. Priemer trubice je len pár centimetrov a náboje musia prekonať preto rádovo len centimeter, čo dokážu za milióntinu sekundy. Veľkosť elementárneho náboja je 1, C, z čoho dostávame, že prúd v pulze má veľkosť rádovo , C/10 6 s 1, A. Výsledkom rozptylového experimentu, ktorý realizoval Geiger a Marsden však bol prekvapujúci. Častice α boli vychyľované z pôvodného smeru nie len o malé uhly, ale zriedkavo aj o veľké uhly 9. Z toho už aj kvali- 7 Ďaleko znamená v tomto prípade, že priemer d ožarovanej oblasti fólie bol podstatne menší, ako vzdialenosť L detektoru od ožarovanej oblasti fólie (d L). 8 Neskôr prístroj zdokonalil so svojim študentom Műllerom, ktorý sa dnes nazýva Geiger Müllerov počítač. 9 Pôvodný Rutherfordov článok [?] a Geigerov a Marsdenov článok [?]

71 66 tatívne vyplývalo, že častice α v atóme museli naraziť na niečo kompaktné, s výrazne väčšou hmotnosťou, než akú má častica α. Presnejšia analýza rozptylov ukázala, že pohyb častíc α vo vnútri atómu bol taký, akoby ich vychyľoval bodový náboj s hmotnosťou celého atómu. Inými slovami atóm má sústredenú hmotnosť s kladným nábojom do veľmi malej časti atómu preto hovoríme o jadre atómu. Jadro atómu je obklopené elektrónmi v relatívne veľkej vzdialenosti a hovoríme o elektrónovom obale atómu. Tento elektrónový obal obklopuje jadro a činí atóm navonok elektricky neutrálnym (častice α mimo atóm nie sú vychyľované vôbec). Za slovom podrobnejšia analýza sa skrýva nový pojem fyziky, diferenciálny účinný prierez Účinný prierez ako plocha a pravdepodobnosť 3 Cieľom tohoto paragrafu je vysvetlenie významu účinného prierezu σ, ktorý tvorí základný pojem pre rozptylové experimenty. Účinný prierez σ má rozmer plochy ( m 2 ), ale z praktických dôvodov sa zavádza nová jednotka barn, pričom 1 barn = m 2. Uvedieme príklady, ktoré nám pomôžu pochopiť, ako náhodný charakter dejov súvisí s plochou pri niektorých fyzikálnych situáciach. Príklad 3.8. Vonku je bezvetrie a pokojne prší. Na dvore stojí zaváraninový pohár, do ktorého naprší 10 mm vody (tj. výška vodného stĺpca v pohári je 10 mm). Zo strechy odtieklo počas dažďa (za rovnakú dobu, čo do pohára napršalo 10 mm vody) 1200 litrov vody do kanalizácie. Aký veľký je pôdorys strechy domu? Riešenie. Môžeme predpokladať, že na strechu pršalo rovnomerne, a keby sme do nádoby s pôdorysom strechy nazbierali napršané množstvo vody, výška vodného stĺpca by bol 10 mm. Pritom objem vody v tejto nádobe by musel byť oným 1200 litrov, teda 1,2 m 3. Toto množstvo odtieklo do kanalizácie. Ak plochu pôdorysu označíme S, výšku napršaného vodného stĺpca h(= 10 mm) a objem napršanej vody V(= 1,2 m 3 ), potom musí platiť S = V h Pôdorys strechy je teda 120 m 2. = 1,2 m3 0,01 m = 120 m2. Pri riešení tejto úlohy nenápadným spôsobom hrala úlohu pravdepodobnosť. Nevieme kam jednotlivé kvapky dažďa padli, ale predpokladali sme, že na jednotku plochy padalo rovnaké množstvo (a rovnako veľkých) kvapiek, ako na dvore, kde stál zaváraninový pohár. Inými slovami rozdelenie kvapiek bolo rovnomerné.

72 67 Príklad 3.9. Sedíte na verande domu pod holým nebom a poprcháva. Počítate, že koľko kvapiek padne za jednu minútu do detského bazénika, ktorý má priemer jeden meter. Napočítate celkom 200 kvapiek. Koľko kvapiek dažďa vám za tú minútu, čo ste počítali, napadalo do vašej šálky s kávou ústie šálky má priemer 10 cm? Riešenie. Odpoveď je, že pravdepodobne dve kvapky. Tu znova vychádzame z predpokladu, že kvapky padajú náhodne a preto na plochu, ktorá je 100 krát menšia než plocha bazénika, dopadne za ten istý čas 100 krát menej kvapiek. Samozrejme je to náhodný proces, preto výsledok je len približný. V odpovedi sme preto uviedli pravdepodobne. V teórii pravdepodobnosti však platí takzvaný zákon veľkých čísiel, že čím by dopadlo do bazénika kvapiek viac, tým presnejšie by bol odhad aj ohľadom počtu kvapiek padlých do šálky. Vačší počet kvapiek môže byť dôsledkom dlhšieho počítania, alebo hustejšieho dažďa. Úloha Rozhodli ste sa odmerať plochu jedného javorového lista. K dispozícii máte ešte laboratórne váhy, papier formátu A4 (210 mm 297 mm) a detský zásyp. Ako budete postupovať? Rutherfordov rozptylový experiment Rutherfordov rozptylový experiment vedie k Rutherfordovej formuli dσ = k 1 sin 4 ϑ 2 dω, (3.1) kde ( e 2 ) 2 Z j Z α k = (3.2) 16πε 0 E α a Z j e je elektrický náboj terčíkového jadra, Z α e je elektrický náboj bombardujúcej častice 10, ε 0 je permitivita vákua 11, E α je kinetická energia bombardujúcej častice a ϑ je uhol rozptylu 12. Význam veličín dσ a dω je daný samotnou myšlienkou rozptylového experimentu, ktorý pozostáva z dvoch dobre oddeliteľných častí. 10 V prípade Rutherfordovho rozptylového experimentu je bombardujúca častica α- častica a Z α = 2, kým terčíkovým jadrom je zlato (Au) a veľkosť elektrického náboja jadra je Z j = 79 násobkom elementárneho náboja e = 1, C, tj. 1, C. 11 ε 0 = 8, C 2 N 1 m 2 12 Uhlom rozptylu vždy rozumieme uhol medzi smerom letu nalietávajúcej a rozptýlenej častice, a to vo veľkej vzdialenosti od jadra veľká vzdialenosť znamená, že vplyv jadra je už zanedbateľný

73 68 bombardujúca častica ϑ terčíkové jadro Obr. 3.1: Na obrázku vľavo vidíme bombardujúcu časticu nalietať na terčíkové jadro. Priamka znázorňuje pôvodný smer letu bombardujúcej častice, presnejšie: priamku trajektórie pre čelnú zrážky bombardujúcej častice s terčíkovým jadrom. Obrázok vpravo je situácia po rozptyle. Vzájomné pôsobenie bombardujúcej častice s terčíkovým jadrom vedie k odchýleniu trajektórie bombardujúcej častice od pôvodného smeru do nového smeru. Uhol medzi pôvodným smerom a smerom letu po rozptyle je ϑ. Odraz jadra v dôsledku rozptylu bombardujúcej častice nehrá v pôvodnom Rutherfordovom rozptyle úlohu. Prvá časť je modelová predstava mechanizmu rozptylu v prípade Rutherfordovho rozptylového experimentu je to predstava, že α častica je jadrom atómu zlata odpudzované elektrostatickou silou podľa Coulombovho zákona ona sila spôsobuje, že sa zmení smer letu častice α. Druhá časť je prechod k reálnej situácii. Nie sme schopní sledovať trajektóriu jedinej častice α na jedinom atóme zlata. Sme však schopní rozptýliť veľký počet častíc α na veľkom počte atómov zlata. Následne sme schopný zmerať počet častíc α, aká časť častíc α bola rozptýlená pod uhlom ϑ až ϑ+ ϑ. Ak predpokladáme, že (a) v bombardovanej oblasti sú atómy zlata rovnomerne rozmiestnené, (b) na bombardujúcu oblasť dopadajú častice α dopadajú z jedného smeru a (c) sú rovnomerne rozosiate na bombardovanej ploche, podarilo sa nám eliminovať prekážky sledovania rozptylu jednej častice α na jednom atóme zlata. Spojením oboch častí dostaneme, či modelová predstava rozptylu jednej častice α na jednom atóme zlata (prvá časť) je v súlade s experimentálnymi výsledkami rozptylu mnoho častíc α na monohých atómoch zlata (druhá časť). Modelovú predstavu musíme modifikovať dovtedy, než sa predpovede nedostanú do súladu s experimentálnymi výsledkami. Poznámka V ďalšom budeme považovať terčíkové jadro za tak hmotné,

74 69 b ϑ r Obr. 3.2: Bombardujúca častica so zrážkovým parametrom b je terčíkovým jadrom rozptýlená pod uhlom ϑ. že zostane na svojom mieste aj po rozptýlení bombardujúcej častice. Túto idealizáciu možno ľahko odstrániť prechodom do sústavy hmotného stredu, v ktorej hmotnosť bombardujúcej častice m sa nahradí jej redukovanou hmotnosťou µ µ = mm j m+m j, kde m j je hmotnosť terčíkového jadra. Sústava hmotného stredu sa zavádza pre rozptylové úlohy skoro v každej štandardnej učebnici. Pozri napr. [4] str Diferenciálny účinný prierez dσ Základná myšlienka sa opiera o skutočnosť, že dve bombardujúce častice, ktoré nalietavajú na terčíkové jadro rovnakým spôsobom, budú rozptýlené tiež rovnakým spôsobom. Ak nalietavajú len málo odlišne, tak aj ich uhol rozptylu sa bude líšiť len málo. Pre jednoduchosť uvažujeme prípad, keď terčíkové jadro je rotačne symetrické voči trajektórii bombardujúcej častice pri čelnej zrážke (pozri obrázok).

75 70 pa- Zrážkový rameter b Uvažujme teraz identické bombardujúce častice, ktoré naletiavajú na jadro. Ďaleko od terčíkového jadra majú rovnakú rýchlosť (veľkosť aj smer; smer rýchlosti je rovnobežný s priamkou na obrázku 3.2 priamka čelnej zrážky, tj. os rotačnej symetrie). V takom prípade je uhol rozptylu ϑ bombardujúcej častice určený jednoznačne zrážkovým parametrom b. Zrážkový parameter b je vzdialenosť nalietavajúcej častice α od priamky, ktorá znázorňuje trajektóriu čelnej zrážky. Akb = 0, potom častica α smeruje k čelnej zrážke. Parameter zrážky má uvedený názorný význam, kým sa nachádza tak ďaleko od jadra, že pôsobenie jadra na bombardujúcu časticu je zanedbateľné.. Parameter zrážky určuje uhol rozptylu jednoznačne a je to dôsledkom determinizmu, ktorú diktujú pohybové zákony. Zapíšme túto závislosť v tvare b = f(ϑ). (3.3) Funkcia f je určená prírodou fyzici hľadajú jej tvar modelovaním samotnej zrážky pomocou fyzikálnych predstáv o priebehu zrážky (rozptylu). Bombardujúce častice, ktorých zrážkový parameter sa veľmi málo líší od hodnoty b, napríklad o hodnotu db, budú rozptýlené nie pod uhlom ϑ, ale pod uhlom, ktorý sa líši od neho tiež len o malý uhol dϑ. Malá zmena db zrážkového parametra spôsobuje len malú zmenu dϑ uhla rozptylu. Konkrétne bude platiť b+db = f(ϑ+dϑ). (3.4) V Rutherfordovom rozptyle menší zrážkový parameter b vedie k väčšiemu uhlu rozptylu ϑ. Inými slovami ak db > 0, potom dϑ < 0 a naopak. Porovnaním vzťahov (3.3) a (3.4) obdržíme vzťah medzi zmenou uhlu rozptylu dϑ spôsobenou zmenou zrážkového parametra db v tvare db = f(ϑ+dϑ) f(ϑ) f(ϑ) ϑ dϑ. (3.5) Tu sme využili Taylorov rozvoj funkcie f(ϑ+dϑ) = f(ϑ)+ f ϑ dϑ+ 2 f (dϑ) 2 ϑ 2 2!. Z tohoto rozvoja využijeme len prvé dva členy, ostatne môžeme považovať za zanedbateľne malé.

76 71 dϑ b+db ϑ+dϑ db r Obr. 3.3: Bombardujúce častice so zrážkovým parametrom z intervalu (b + db, b) sú terčíkovým jadrom rozptýlené pod uhlom z intervalu (ϑ,ϑ+dϑ). Na obrázkoch 3.2 a 3.3 sme vyznačili medzikružie s vonkajším polomerom b+db a s vnútorným polomerom b. Stred medzikružia leží na osi symetrie. Význam tohoto medzikružia je, že bombardujúce častice dopadajúce na toto medzikružie budú rozptýlené skoro pod tým istým uhlom. Presnejšie, do guľového pásu určeného uhlom ϑ a dϑ. 13 Plocha tohoto guľového pásu rastie polomerom r gule a veľkosť tejto plochy ds(ϑ) môžeme zapísať ako ds(ϑ) = 2πr 2 sinϑdϑ, (3.6) čo môžeme nájsť vo väčšine matematických tabuliek. 14 Plochu medzikružia, ktorú označíme ako dσ, nazývame diferenciálnym 13 Značenie na obrázku nie je omylom. Nezabudnime, že na obrázkudb > 0, pretodϑ < 0. To znamená, že uhol ϑ+dϑ je menší ako ϑ. 14 Tento vzťah sa dá aj ľahko odvodiť. Dĺžka okraja šedého pása je rovný obvodu kružnice, ktorá ho tvorí, tj. 2πrsinϑ, nakoľko polomer príslušnej kružnice je rsinϑ. Teraz si predstavte, že šedý pás vystrihnete a vystriete na stôl. Výška (hrúbka) pása je h = rdϑ, nakoľko uhly meriame v radiánoch. Plocha pása je základňa krát výška, teda v našom prípade (2πr sin ϑ)(rdϑ), čo je očakávaný tvar. Mohli sme to urobiť preto, lebo výška pása je veľmi malý tieto zjednodušenia sú typické pre prácu s malými (diferenciálnymi) veličinami. diferenciálny účinný prierez

77 72 účinným prierezom dσ = 2πbdb (3.7) Diferenciálny účinný prierez dσ, táto malá plocha, môže byť (a tiež je) neuveriteľne malá, kým plocha S(ϑ) môže byť vďaka r dostatočne veľká, v porovnaní s veľkosťou okna detektoru. Modelová predstava vyjadrená funkciou f (vzťah (3.3)) spája veľkosť plochy ds(ϑ) a miniatúrnu plochu dσ nasledovne dσ = 2πbdb = 2πf(ϑ) f(ϑ) ϑ dϑ = f(ϑ) sinϑ f(ϑ) ϑ ds(ϑ) r 2, (3.8) kde sme postupne využili vyjadrenia pre b, db pomocou vzťahov (3.3) a (3.5) 15 a dϑ sme vyjadrili pomocou (3.6). Reláciu (3.8) je zvykom písať veľmi často v tvare dσ = f(ϑ) f(ϑ) ϑ dω(ϑ) sinϑ, (3.9) kde dω(ϑ) = ds(ϑ)/r 2 je malý priestorový uhol vymedzený plochou S(ϑ) (pozri obrázok 3.3). Odvodennie funkčnej závislosti b = f(ϑ) možno nájsť vo väčšine učebníc a postupy bývajú rôzne komplikované, aj keď po fyzikálnej stránke sa príliš nelíšia. Odporúčame si pozrieť odvodenie uvedené v [4]. Iné odvodenie ukážeme v dodatku o Runge-Lenzovom vektore, ktoý je odlišný od postupu bežných učebníc a je založený čisto na zákonoch zachovania. 3.5 Meranie účinného prierezu V tejto sekcii sa venujeme podstatnej časti Rutherfordovho nápadu: ako merať veľkosť miniatúrnej plochy dσ, ktorej veľkosť je rádovo m. 15 Prečo sa objavila absolútna hodnota vo výraze? Povedali sme, že ku kladnej hodnote db prislúcha záporná hodnota dϑ. Napriek tomu platí rovnosť vo vzťahu (3.5) db f(ϑ) ϑ dϑ. Z toho vyplýva, že hodnota derivácie je tiež záporná. Vo vzťahu (3.8) vystupujú len kladné veličiny, čo je zabezpečené práve absolútnou hodnotou derivácie.

78 Obr. 3.4: Na tomto obrázku sme znázornili dve jadrá rozptylu, ktoré sú v bombardovanej fólii vedľa seba z pohľadu nalietavajúcej častice (z veľkej vzdialenosti jedná sa vlastne o priemet do roviny fólie, na ktorú bombardujúce častice dopadajú kolmo). Šedou farbou sme vyznačili malé plôšky. S rovnakým číslom sme označili tie plôšky, ktoré sú vymedzené rovnakým zrážkovým parametrom a preto častice, ktoré na ne dopadnú, budú rozptýlené pod rovnakým uhlom. Vyznačili sme aj jeden šedý pás (medzikružie). Častice dopadajúce do tohoto medzikružia sú rozptýlené tiež rovnakým spôsobom. Odlišný zrážkový parameter znamená odlišný uhol rozptylu. To znamená, že častice dopadajúce do oblasti 3 sú rozptýlené pod odlišným uhlom, ako častice dopadajúce do oblasti 4. Na druhú stranu častice dopadajúce do oblasti 2 jedného jadra sú rozptýlené pod rovnakým uhlom, ako častice dopadajúce do oblasti 2 druhého jadra. Tento uhol rozptylu je iný, ako uhol rozptylu častíc dopadajúcich do oblastí 1,3,4,5, či šedý pás. Treba povedať tiež to, že označili sme v prípade jedného atómu až tri oblasti číslom 2. Z týchto oblastí sú častice rozptýlené inam, ale pod rovnakým uhlom rozptylu. Ďalej, zo zhodných oblastí jedného a druhého atómu (napr. oblasť 4 u ľavého atómu a oblasť 4 u pravého atómu) sú častice rozptýlené pod rovnakým uhlom, ale tiež do zhodného smeru inými slovami: zaregistruje ich ten istý detektor. Oblasť 1 sme nevyšráfovali. V skutočnosti je atómové jadro obklopené elektrónmi atómu (elektrónový obal). Tento obal má polomer okolo m, kým jadro má polomer rádovo m. Oblasť 1 je mimo atóm a tu ešte na bombardujúcu časticu nepôsobia žiadne sily (atóm je v celku elektricky neutrálny). Rutherfordova formula s týmto nepočíta. Uvažuje o atóme akoby mal len jadro. Popis pohybu častíc α, ktorý sa uvádza v učebniciach, platí v skutočnosti len v priestore medzi elektrónovým obalom a jadrom atómu. Tento nedostatok nebudeme brať do úvahy.

79 Rozptyl na jednom terčíkovom jadre Predstavme si, že máme jediné rozptylové centrum a za týmto rozptylovým centrom máme detektor s okienkom, do ktorého keď doletí bombardujúca častica, tak detektor ho zaregistruje. Plocha okienka nech je S d. Detektor má makroskopické rozmery a inštaluje sa relatívne ďaleko od rozptylového centra. Relatívne tu znamená toľko, že vzdialenosť r medzi detektorom a rozptylovým centrom je podstatne väčšia, než typický rozmer terčíkového jadra. 16 Predstavme si rovinu, v ktorej leží terčíkové jadro. Rovinu si zvolíme tak, aby bombardujúce častice dopadali kolmo na túto rovinu. Vymedzime malú časť Σ tejto roviny, a plocha tejto malej časti nech je S. Terčíkové jadro bombardujeme časticami, ktoré dopadajú náhodne a rovnomerne, pokrývajú malú časť Σ rovnomerne. Pod rovnomerným rozumieme to, že keď za čas t dopadne na plôšku Σ (s plochou S) N častíc (N je veľké číslo), potom na polovicu tejto plochy dopadá N/2 častíc a na plochu veľkosti ks dopadá kn častíc. Bombardujúce častice budeme považovať za častice, ktoré letia vo zväzku, a tento zväzok je v čase stály, tj. ak na plôšku Σ s plochou S dopadne za čas t N častíc, potom za čas 2t ich tam dopadne 2N a za čas kt zase kn častíc. Hovoríme o homogénnom zväzku častíc, ktorú charakterizuje veličina j, hustota toku bombardujúcich častíc j = N S t, (3.10) ktorého fyzikálny rozmer je m 2 s 1. Predstavme si, že terčíkové jadro bombardujeme so zväzkom častíc, ktorého hustota toku je j = cm 2 s 1. To, čo detektor registruje je tiež prúd častíc (prúd rozptýlených častíc). Hustota prúdu j d týchto častíc v mieste okna detektoru môžeme zapísať ako j d = n S d t, (3.11) kde n je počet častíc zaregistrovaných detektorom n. Nech plocha S d okna detektoru je S d = 1 cm 2. Z akej veľkej plochy dσ sa rozptylujú bombardujúce častice do okna detektora, ak detektor za čas t = 1 s registruje n = 1000 častíc (prúd častíc 16 Plocha okna detektora je orientovaná tak, aby cez neho sa dostalo čo najviac rozptýlených častíc do detektoru, tj. kolmo na trajektóriu rozptýlených bombardujúcich častíc.

80 75 v mieste detektora je j d = 1000 cm 2 s 1 )? Odpoveď je, že registruje práve tie častice, ktoré dopadli na plochu dσ, teda musí platiť, že z čoho jdσt = n = j d S d t, (3.12) dσ = n tj = j ds d j (3.13) Plocha dσ je teda v takom pomere menšia od plochy detektora S d, v akom je menší pomer prúdu rozptýlených častíc j d v okne detektoru k prúdu častíc j dopadajúcich na terčíkové jadro. V našom prípade dσ = cm 2 = 10 3 barn. Je zrejmé, že pokiaľ prúd bombardujúcich častíc bude dopadať na dvojicu jadier vedľa seba, potom aj prúdj d zachytený detektorom bude dvakrát taký, než v prípade jednej častice. Ak rozptylujúcich častíc bude n terčík, potom aj prúd zachytený detektorom bude n terčík krát väčší. Diferenciálny účinný prierez rozptylu na jednom jadre teda bude daný vzťahom dσ = n tj = j ds d jn terčík. (3.14) Počet terčíkových jadier n terčík sa určí jednoducho. Aspoň v Rutherfordovom experimente, kde sa rozptyluje na tenkej fólii. Fólia s jednotkovou plochou (S 0 = 1 m 2 ) má hmotnosť m terčík, a hmotnosť jedného atómu zlata (terčíkového atómu) je m j, potom vo fólii s plochou S terčík je n terčík = m terčík m j S terčík S 0 atómov zlata, tj. rozptylových centier. Veľkosť plochys terčík je veľkosť prierezu zväzku bombardujúcich častíc. Všetky tieto parametre sú nastaviteľné v experimente. Zrovna tak poznáme v experimente veľkosť plochy okna detektoru S d a počet častíc zaregistrovaných detektorom za jednotku času. Detektor registruje častice rozptýlené pod uhlom ϑ a tým poznáme aj účinný prierez dσ tohoto rozptylu. Ak rozptyl na jadre atómu zlata je riadený Coulombovým zákonom, potom detektorom meraný diferenciálny účinný prierez dσ musí závisieť od uhla rozptylu ϑ tak, ako to vyjadruje Rutherfordova formula (3.1) na strane 67. Experiment ukazuje, že tomu tak je, na základe čoho Rutherford dospel k záveru, že hmota atómu je sústredená do kladne nabitého jadra, ktorého rozmery sú tak malé, že v experimente mohol uvažovať o bodovom jadre.

81 76

82 Kapitola 4 Bohrov model atómu Po experimentálnom potvrdení existencie jadra atómu, v ktorej je sústredená skoro celá hmota atómu, vznikla potreba vysvetlenia, prečo atóm nežiari tak, ako to predpovedajú Maxwellove zákony elektromagnetického poľa. Pokiaľ tomu tak už raz je, ako vypadá atóm? Najjednoduchším atómom je atóm vodíka. Má najmenšiu hmotnosť, má len jediný elektrón. Pokiaľ ho stratí, napríklad pri ionizácii, potom z atómu zostane len jeho jadro s jednotkovým kladným nábojom a s hmotnosťou okolo 1, kg. Vo vyriešení problému hrala úlohu veľká zbierka experimentálnych údajov z z optickej spektrometrie. 4.1 Série spektrálnych čiar Pokiaľ sa vodíkový plyn zohreje, alebo pokiaľ sa cez vodíkový plyn vedie elektrický výboj, vodíkový plyn začne žiariť, svieti na rôznych vlnových dĺžkach. Platí to o každom plyne. Pri pozorovaní žiarenia vodíkového plynu Johann Balmer v roku 1885 zistil, že vodík žiari len na určitých vlnových dĺžkach. Objavil zákonitosť, ktorá popísala vlnové dĺžky žiarenia v tvare a λ = B m2 m 2, kde m = 3,4,5,... (4.1) 4 B = 364,56 nm. Balmerova séria spadá do viditeľnej oblasti svetla. Je veľmi významná aj v astronómii. V medzihviezdnom priestore je veľa vodíku a tento vodíkový 77

83 78 plyn býva vybudený žiarením blízkych hviezd. Vodíkové plyny potom žiaria a najintenzívnejšie žiaria na vlnovej dĺžke, ktorá zodpovedá vlnovej dĺžke prvého člena Balmerovej série (m = 3, teda λ = 9 5 B = 652,6 nm). Tejto spektrálnej čiare sa hovorí H α. Vodík teda nežiari spojitým spektrom, akým je tepelné žiarenie, žiari však veľmi intenzívne na vlnových dĺžkach Balmerovej série. Nakoľko vo vesmíre je veľa vodíkového plynu, pozorovanie oblohy na spektrálnej dĺžke H α sa stal mimoriadne dôležitým. Dôvodom je, že sa dajú zhotoviť špeciálne filtre, ktoré prepúšťajú len svetlo s touto vlnovou dĺžkou (presnejšie svetlo v úzkom spektrálnom pásme okolo tejto vlnovej dĺžky). Tým sa dá odfiltrovať väčšina svetelných rušivých vplyvov pri pozorovaní vesmíru zo Zeme. Rydberg Balmerov vzťah upravil do tvaru ( 1 1 λ = Ry H m 2 ), m = 3,4,5,... (4.2) Neskôr, v roku 1906, Theodor Lyman zistil, že vodíkový plyn žiari aj v ultrafialovej oblasti a vlnové dĺžky, na ktorých žiari, sa dajú popísať podobnou formulou, akou ju popísal Balmer a neskôr Rydberg ( 1 1 λ = Ry H m 2 ), m = 2,3,4,... (4.3) Keď sa Bohr dozvedel o existencii Balmerovej a Lymanovej sérii a jeho popisu pomocou Rydbergových formúl, behom niekoľkých minút si vytvoril správnu predstavu o možnom riešení problému atómového modelu. V priebehu roku 1913 zverejnil svoj model atómu, ktorý dnes poznáme ako Bohrov model atómu. 4.2 Bohrov model atómu a jeho úspechy Bohr začal skúmať možnosť navrhnúť spektrum pre vodíkový atóm. Vodíkový atóm, ako sme už uviedli vyššie, má medzi ostatnými atómami najjednoduchšiu štruktúru. Ním navrhnutý model vychádzal z najjednoduchších možných predstáv o pohybe elektrónu v elektrónovom obale (takto nazývame oblasť priestoru okolo jadra atómu, kde sa nachádzajú elektróny atómu). Predpokladal kružnicovú trajektóriu (prvý postulát). predpokladal tiež, veľmi logicky, že žiarenie atómu vodíka je dôsledkom zákona zachovania energie. Ak sa zmení celková energia atómu vodíka (tým, že elektrón sa presunie na inú vzdialenosť od jadra atómu), rozdiel energie musí byť vyžiarený v

84 79 podobe elektromagnetického žiarenia za predpokladu, že elektrón sa presunul na hladinu s nižšou energiou. Elektrón sa môže presunúť na energeticky vyššiu trajektóriu, pokiaľ zvonka dostane energiu (v podobe elektromagnetického žiarenia). Z existencie Balmerovej série a Lymanovej série je zrejmé, že atóm vodíka vyžaruje len fotóny s presne definovanými energiami (Rydbergov vzťah (4.2) a (4.3) neskôr sa našli ďalšie série, ktoré zapadali do Bohrovho modelu veľmi presne). Z týchto skutočností vyplynulo, že elektrónu v atóme vodíka je dovolené existovať (bez vyžarovania podľa Maxwellových rovníc) len na niektorých vybraných trajektóriach. Pri prechode z jednej trajektórie na inú, sa musí vyžiariť, alebo pohltiť energia tak, aby nebol porušený zákon zachovania energie. Toto vyžiarenie, alebo pohltenie sa môže diať len v jedinom kvante (balíku) energie. Keby sa porušila ktorákoľvek z uvedených požiadaviek, vodík by musel vyžarovať spojité spektrum energie. Energia veľkosti E, ktorá sa pohltí, alebo vyžiari, je elektromagnetická a kvantum tejto energie je potom fotón s frekvenciou ν, pričom E = hν, ako to ukázal Einstein pri vysvetlení fotoelektrického javu a Planck pri vysvetlení žiarenia absolútne čierneho telesa. Posledná podmienka pre úspešný model atómu musel zabezpečiť výber dovolených trajektórií a súlad s experimentálnymi údajmi. Poznámka 4.1. Predpokladajme bodovú časticu s elektrickým nábojom veľkosti q a s hmotnosťou m, ktorá obieha na kružnicovej trajektórii iný, veľmi ťažký bodový náboj s veľkosťou náboja Q. Obiehaním rozumieme, že náboje sa priťahujú. Polomer trajektórie označme r. Rovnováhu síl (coulombovskej príťažlivej sily a zotrvačnej sily), ktoré pôsobia na obiehajúcu bodovú časticu (píšeme len veľkosti síl) môžeme písať v tvare k r 2 = mv2, kde k = qq < 0, (4.4) r 4πε 0 kde ε 0 je permitivita vákua a qq < 0, nakoľko uvažujeme o príťažlivých silách medzi nabitými časticami. Vidíme, rovnováhu môžeme nastoliť pre trajektóriu s ľubovoľným polomerom r, lebo stačí zvoliť správne rýchlosť obiehania v k v = mr. (4.5) Celková energia systému sa dá napísať ako súčet kinetickej energie E k a potenciálnej energie E p obiehajúcej častice, kde E k = 1 2 mv2 > 0 a E p = k r < 0. (4.6)

85 80 Ak však porovnáme výraz (4.4) s výrazmi pre kinetickú a potenciálnu energiu v (4.6) zistíme, že pre tento pohyb platí Pre celkovú energiu teda dostaneme E k = 1 2 E p. (4.7) E = E k +E p = 1 2 E p = 1 2 k r. (4.8) Energia systému teda môže byť ľubovoľná, stačí nastaviť vhodný polomer trajektórie, na ktorej častica bude obiehať (rýchlosťou v určenej pre rovnováhu vzťahom (4.5)). Nakoľko rovnováha síl nepredstavuje žiadne obmedzenie na polomer trajektórie, môže častica prechádzať z jednej trajekt=orie na druhú, pričom vyžiari rozdiel energie prislúchajúce daným trajektóriám (alebo pohltí uvažujme však len jeden prípad, prechod z hladiny s vyššou energiou na hladinu s nižšou energiou). Jasne vidíme, že si môžeme zvoliť ľubovoľne hodnotu vyžiarenej energie, príslušné trajektórie vždy nájdeme. Povedané zjednodušene: tento systém môže vyžarovať ľubovoľné kvantá energie (fotóny), bude vyžarovať spojité spektrum. Bohrove postuláty 1. postulát Elektrón v atóme sa môže pohybovať po dovolených kružnicových trajektóriach bez toho, aby vyžaroval. 2. postulát Elektrón, ktorý prejde z jednej dovolenej trajektórie na druhú, vyžiari (alebo pohltí) fotón, ktorého energia garantuje zákon zachovania energie. 3. postulát Dovolené trajektórie sú tie, na ktorých elektrón má moment hybnosti L rovný celočíselnému násobku, teda L = n, kde n = 1,2,3,..., (4.9) a = h 2π = 1, Js je redukovaná Planckova konštanta. Aký je polomer r L dovolených trajektórií? Index L poukazuje na skutočnosť, že konkrétna hodnota momentu hybnosti L určí polomer trajektórie. Z rovnováhy síl (4.4), po vynásobení výrazom mr 3 dostaneme kmr = r 2 m 2 v 2 = L 2, (4.10)

86 81 odkiaľ r = L2 k m a celková energia elektrónu, využitím vzťahu (4.8), je (4.11) E = 1 2 mk 2 L 2. (4.12) Bohr jasne chápal, že pokiaľ vyjde z prvých dvoch postulátov, bez použitia tretieho postulátu, elektrón vo vodíkovom atóme by mohol mať ľubovoľnú energiu. Pri prechode z jednej trajektórie na druhú, by systém vyžiaril fotón s energiou hν, ktorá môže byť potom v princípe ľubovoľne veľká a spektrum žiarenia by muselo byť spojité. Nakoľko experiment ukazuje, že tomu tak nie je, musí byť určité obmedzenie na moment hybnosti systému. Rýchle dospel k riešeniu v podobe tretieho postulátu, ktorý dával výsledky súhlasné s experimentálnymi hodnotami. Ak za hodnotu momentu hybnosti dosadíme podľa predpisu tretieho postulátu L = n (n = 1,2,3,... ), dostaneme pre energiu elektrónu (a tým aj atómu vodíka) E n = 1 2 mk 2 n 2 2 = E 1 1, n = 1,2,3. (4.13) n2 Jednotlivé trajektórie sa v Bohrovom modeli charakterizujú hodnotou celého čísla n (neskôr nazvaným hlavným kvantovým číslom). V prípade atómu vodíka je k = e2 4πε 0, a pre trajektóriu s hlavným kvantovým číslom n = 1 dostávame energiu 1 E 1 = m ee 4 8ε 2 = 13, ev. (4.14) 0h2 Tu m e je hmotnosť elektrónu. Pre polomer n tej trajektórie elektrónu dostaneme zo vzťahu (4.10) a z kvantovacej podmienky L = n kde r n = r B n 2, (4.15) 1 Hodnotu potrebných konštánt používame v celej publikácii z [5] (uvedené tiež v [6]), ktoré sú pripojené v dodatku. Aktualizované údaje možné nájsť na

87 82 Bohrov polomer atómu 2 r B = 2 k m = ε 0h 2 πe 2 m = 5, m sa nazýva Bohrov polomer atómu. Poznámka 4.2. Bohr vo svojej práci venovanej výstavbe svojho modelu (pozri [7] str. 9) uviedol zaujímavý dôsledok polomeru trajektórie elektrónu. Všinol si, že v laboratórnych podmienkach (využitím vákuovej trubice) sa nepodarilo spozorovať viac, než 12 línií Balmerovej série, kým v prípade spektra niektorých nebeských telies sa pozoruje až 33 čiar. Ako vysvetlenie navrhuje celkom logicky veľkosť polomeru trajektórie. K pozorovaniu prvých 12 čiar Balmerovej série potrebujete prechody až z trajektórie n = 14 na trajektóriu n = 2. Trajektória s n = 14 má skoro 200 krát väčší priemer (14 2 = 196), než prvá trajektória s n = 1, tj. priemer okolo dvoch tisícin milimetra ( m). Táto vzdialenosť je porovnateľná so strednou vzdialenosťou medzi molekulami vodíkového plynu pri tlaku7 Hgmm (tj. tlaku okolo Pa). Priemer trajektórie s n = 33 by už bolo okolo stotiny milimetra a za uvedeného tlaku vďaka susedným molekulám sa nemôže obsadiť. Bohr robí záver, že žiarenie vesmírneho telesa vzniká vo veľmi riedkom prostredí, a aby intenzita bola dostatočná k pozorovaniu, tieto žiariace oblasti musia byť veľmi rozsiahle. Úloha 4.3. Odhadnite hustotu atomárneho vodíkového plynu vo vákuovej komore, u ktorého pozorujeme 12 čiar Balmerovej série. Riešenie. Vychádzame z Bohrovho modelu atómu. Ako vyššie bolo povedané, k pozorovaniu 12 čiar Balmerovej série je potrebné, aby elektrón mohol byť excitovaný až na trajektóriu s momentom hybnosti L = 14. Polomer príslušnej trajektórie je r 14 = 14 2 r B = 196 5, m = 1, m. To znamená, že vo vnútri gule s polomerom r 1 4 sa nachádza jeden atóm vodíka, ktorého hmotnosť je približne m H 1 u = 1, kg. Hustota plynu je teda ρ = m H 4 3, kgm 3. 3 πr3 14 Takáto hustota atomárneho vodíkového plynu sa pri normálnej teplote dosahuje pri tlaku okolo 800 Pa, teda veľmi nízkom tlaku.

88 83 Úloha 4.4. Odhadnite hustotu medzihviezdneho atomárneho vodíkového plynu, u ktorého pozorujeme 33 čiar Balmerovej série. Koľko atómov vodíka pripadá na jeden centimeter kubický tohoto plynu? Rydbergova formula Bohrov model atómu dáva jasnú predstavu o tom, že čo sa deje v atóme,keď produkuje čiarové emisné spektrum (spôsobuje čiarové absorpčné spektrum). Elektrón, ktorý sa nachádza na relatívne vysokej trajektórii, pod čím rozumieme trajektóriu s vysokým hlavným kvantovým číslom n, zoskočí na nižšiu trajektóriu (s hlavným kvantovým číslom m, ktoré je menšie, ako n, tj. m < n.) Energia elektrónu sa z hodnoty E n zníži na energiu E m a rozdiel energie E nm = E n E m sa vyžiari v podobe jediného fotónu s energiou E nm = hν nm, kde ν nm je frekvencia vyžiareného fotónu. Platí teda ( 1 hν nm = E nm = E n E m = E 1 n 2 1 ) m 2 = m ee 4 ( 1 8ε 2 0 h2 n 2 1 ) m 2 (4.16) Rydbergovu formulu v Bohrovom modeli atómu obdržíme využitím toho, že ν = c λ, a potom 1 = E 1 λ nm hc ( 1 n 2 1 m 2 ), m < n, m,n = 1,2,3,... (4.17) z čoho plynie, že Ry = E 1 hc = m ee 4 8ε 2 0 h3 c = 1, m 1. Vzťah pre Lymanovu sériu obdržíme, ak v Rydbergovej formele, alebo čo je to isté v (4.17) položíme m = 1, Balmerovu sériu ak položíme m = 2. Ostatné série, ktoré boli objavené neskôr dostaneme pre ostatné hodnoty m nasledovne

89 84 m n pomenovanie série 1 2,3,4,... Lymanova séria 2 3,4,5,... Balmerova séria 3 4,5,6,... Paschenova séria 4 5,6,7,... Brackettova séria 5 6,7,8,... Pfundova séria 6 7,8,9,... Humphreyho séria Tabuľka 4.1: Rydbergova formula ( 1 = E1 1 λ nm hc m 1 ) 2 n 2 je platná pre všetky známe spektrálne série vodíkového atómu. Stačí položiť m rovnú príslušnej celej hodnote. Porovnanie Bohrom predpovedanej hodnoty Rydbergovej konštanty s experimentálnou hodnotou pre vodík síce ukazuje výbornú zhodu, ale predsa je jasne merateľný rozdiel Ry Bohr = 1, m 1, Ry H,exp = 1, m 1, kde tučne sme zvýraznili líšiace sa časti (jasne vidieť, že rozdiel je výrazne väčší, než hranica presnosti dnešných údajov). Vysvetlenie je však relatívne jednoduché. Odvodenie, ktoré sme robili nebral do úvahy skutočnosť, že jadro atómu vodíka je síce ťažké, ale nemá nekonečnú hmotnosť. Elektrón neobieha po kružnicovej trajektórii okolo jadra atómu vodíka (protónu), ale okolo ich spoločného hmotného stredu. Táto problematika je v teoretickej mechanike dobre známa. Riešením je 2, že hmotnosť elektrónu m e sa vo výsledných vzťahoch nahradí redukovanou hmotnosťou µ systému. Táto zámena predstavuje započítanie pohybu jadra jadro a elektrón atómu sa pohybujú okolo spoločného hmotného stredu. m p µ = m em p = m e = 0, m e. (4.18) m e +m p m e +m p Bohrom odvodená hodnota Rydbergovej konštantyry Bohr sa označuje všeobecne ako Ry. Presnejšie povedané sa dedfinuje vzťahom 2 Pre podrobnosti pozri dodatok. Ry = m ee 4 8ε 2 0 h3 c. (4.19)

90 85 Poukazuje na predpoklad Bohrovho odvodenia, že elektrón obieha jadro atómu, pokiaľ ten má nekonečnú hmotnosť ( ) a jeho poloha je totožná s polohou hmotného stredu. Ak urobíme zámenu m e µ, (4.20) dostaneme E H,1 = µe4 8ε 2 0 h2 = Pre Rydbergovu konštantu Ry H,Bohr = m p m e +m p E 1 = 13, ev. (4.21) µe 4 8ε 2 0 h3 c = m p m e +m p Ry = 0, , m 1 = 1, m 1. (4.22) Vidíme, že započítaním hmotnosti jadra atómu je zhoda medzi Ry H,Bohr a Ry H,exp vynikajúca, relatívna odchýlka 3 je len Vodíku podobné atómy Bohrove riešenie atómu vodíka využíva jedinečnú vlastnosť. Jednoduchú riešiteľnosť pohybu dvojice telies, ktoré na seba pôsobia coulombovskou silou. V prípade, že by vzájomne pôsobili viaceré častice (tri, štyri, alebo viac), takéto jednoduché riešenie neexistuje. Inými slovami, Bohrov prístup sa nedal priamočiaro použiť už ani pre elektricky neutrálny atóm hélia, kde okolo jadra atómu hélia sa pohybuje dvojica elektrónov. Predstava, že elektróny sa znova pohybujú po kružnicových trajektóriach, ako planéty v slnečnej sústave, sa ukázala byť neplodnou. Získané výsledky nedávali ani zhruba správne údaje o spektre žiarenia atómu hélia. Atóm vodíka, vďaka svojej jednoduchej štruktúre, je testovacím systémom pre každú teóriu. Pokiaľ teória nie je schopná dať výsledky súhlasiace s experimentom ani pre atóm vodíka, zavrhuje sa. Napriek obmedzenosti Bohrovho modelu atómu na atóm vodíka, našla sa ďalšia skupina atómov, pre ktoré sa dá použiť úspešne. Pre vodíku podobné atómy. 3 Relatívna odchýlka je definovaná ako RyH,exp Ry H,Bohr Ry H,exp.

91 86 Vodíku podobným atómom rozumieme He +,Li 2+,Be 3+,... Všetky tieto atómy majú jedno spoločné. Jadro atómu je doprevádzané len jedným jediným elektrónom (pravý horný index hovorí o tom, koľkonásobne je atóm ionizovaný, koľko elektrónov bolo vytrhnutých z elektrónového obalu elektricky neutrálneho atómu). Nakoľko vodíku podobné atómy predstavujú tiež dvojčasticový systém, nie je prekvapujúce, že Bohrov model aj v ich prípade vedie k správnym výsledkom. Veľkosť F coulombovskej sily pôsobiacej medzi jadrom atómu a jeho jediným elektrónom má tvar F = k r 2, kde k = e2 Z 4πε 0. (4.23) Tu Z je atómové číslo, počet protónov v jadre. Aby takýto atóm bol vodíku podobný, musí byť Z 1 násobne ionizovaný (musí z elektrónového obalu stratiť Z 1 elektrónov, aby tam zostal jediný elektrón). Použitím tejto hodnoty k pre celkovú energiu systému danej vzťahom (4.12) a použitím Bohrovho tretieho postulátu, že moment hybnosti elektrónu je L = n (n = 1,2,3,... ), dostaneme pre energiu vodíku podobného atómu (porovnaj s (4.13) a (4.14)) E n = m ee 4 8ε 2 0 h2 Z 2 n 2 = E 1 Z 2 n 2. = 13,6 ev Z 2 n 2. (4.24) Samozrejme, experimentálne hodnoty vlnových dĺžok spektra vodíku podobných atómov znova nesedia presne s Bohrovým modelom. Dôvod je ten istý, ako v prípade atómu vodíka, že elektrón lomcuje jadrom. Zhoda sa získa, pokiaľ hmotnosť elektrónu nahradíme redukovanou hmotnosťou µ systému (pozri (4.24)) µ = m em m e +M = m 1 e 1+ m, (4.25) e M kde M je hmotnosť jadra vodíku podobného atómu. Je zrejmé, že čím je hmotnosť M jadra atómu väčšia, tým je redukovaná hmotnosť µ bližšia k hmotnosti elektrónu. Rydbergovu konštantu vypočítanú podľa Bohrovho modelu dostaneme, keď predpokladáme, že jadro atómu má nekonečne veľkú hmotnosť (M ), vtedy totiž µ = m e 1+ m e M M m e.

92 87 Označujeme preto túto Rydbergovu konštantu ako Ry, teda Ry = E 1 hc = m ee 4 8ε 2 0 h3 c = 1, m 1. (4.26) Pre vodíku podobný atóm X sa potom použije Rydbergova konštanta Ry X 1 Ry X = Ry 1+ m, e M X kde M X je hmotnosť jadra vodíku podobného atómu X (X je symbol pre H, He +, Li 2+,... ) Využiteľnosť Bohrovho modelu atómu však tým stále nekončí. Henry Moseley v roku 1913 publikoval článok [8], v ktorom referoval o zákonitosti rentgenovského žiarenia chemických prvkov Moseleyho zákon Röntgenovské žiarenie vzniká, pokiaľ sa urýchlené elektróny nechajú dopadnúť na materiál. Poznámka 4.5. Röntgenovské žiarenie je tiež elektromagnetické vlnenie, ale spektrálne zloženie sa skúma inou metódou, než sa skúmalo spektrum žiarenia vo viditeľnej oblasti na začiatku 20-ho storočia. Viditeľné svetlo sa rozkladá pomocou skleneného hranolu a z uhlu lomu sa dá určiť vlnová dĺžka pozorovanej časti spektra. V prípade röntgenovského žiarenia je táto metóda nepoužiteľná, lebo röntgenovské žiarenia sklom prechádza bez lomu. Dôvodom je, že vlnová dĺžka röntgenovského žiarenia je porovnateľná so vzdialenosťou medzi atómami v pevnej látke. Meranie vlnovej dĺžky röntgenovského svetla rozpracoval William Lawrence Bragg, a metódu prezentoval v roku 1912 (v roku 1915 získal Nobelovu cenu za fyziku). Metóda využíva vlnovú povahu röntgenovského žiarenia a jeho extrémne krátku vlnovú dĺžku, porovnateľnú s mriežkovou konštantou kryštálov. Ohybové javy sa dajú dobre pozorovať, pokiaľ vlnová dĺžka ohýbaných vĺn je porovnateľná s periodicitou štruktúry (vzdialenosť medzi vrypmi optickej mriežky, či vzdialenosť medzi rovinami mriežky), na ktorej k ohybu dochádza. Bragg zistil, že röntgenovské žiarenie sa na kryštáloch ohýba a pomocou tohoto ohybu sa dá zmerať vlnová dĺžka röntgenovského žiarenia.

93 88 charakteristické röntgenovské žiarenie Moseley použil Braggovu metódu merania vlnových dĺžok röntgenovského žiarenia a zistil, že röntgenovské žiarenie chemických prvkov, ktoré bombarduje rýchlymi elektrónmi, sú veľmi charakteristické pre daný chemický prvok. Dá sa podľa tohoto žiarenia chemický prvok jednoznačne rozpoznať hovoríme o charakteristickom röntgenovskom žiarení. Poznámka 4.6. Charakteristické röntgenovské žiarenie sa využíva na colniciach, ako pokročilá technológia na zistenie chemického zloženia kontrolovaných predmetov, a zvyšuje pravdepodobnosť odhalenia nebezpečných predmetov, výbušnín a podobne. Charakteristické röntgenovské žiarenie vykazuje značnú podobnosť s Lymanovou a s Balmerovou sériou pre vodíku podobné atómy, ktoré Bohrov model atómu vysvetlil s mimoriadnym úspechom. Najenergetickejšia séria sa označuje písmenom K a jednotlivé čiary série ako K α,k β,k γ,... Druhá najenergetickejšia séria sa potom označuje ako séria L a jednotlivé čiary série ako L α,l β,l γ,... ďalšie série sa označujú M,N,... podľa abecedy. Moseley objavenú závislosť publikoval v tvare (porovnaj s [8]) pre K línie a ν Z 1 = 3 4 ν 0 ν Z 7,4 = 5 36 ν 0 (4.27) (4.28) pre L línie, kde Z je počet protónov v jadre daného chemického prvku, a ν 0 je frekvencia fotónu zodpovedajúca tzv. Rydbergovej energii 4 Moseleyho zákon ν 0 = Ry c h = E 1 h. Dnes je zvykom písať Moseleyho zákon v tvare ν = f1 (Z f 2 ), (4.29) kde f 2 = 1 pre K línie a f 2 = 7,4 pre L línie. Ukážeme, ako Bohrov model atómu dokáže vysvetliť Moseleyho zákon. Na druhú stranu, z Moseleyho zákona (z experimentálnych zistení) sa dozvieme niečo o počte elektrónov v mnohoelektrónových systémoch. Nezabudnime, že Bohrov model atómu dáva správne výsledky len v prípade, 4 Frekvencia fotónu, ktorý vyžiari atóm vodíka, pri zachytení voľného elektrónu s nulovou kinetickou energiou inými slovami ionizačná energia vodíkového atómu v základnom stave.

94 89 keď v elektrónovom obale sa nachádza jeden jediný elektrón. Informáciu o počte elektrónov nám poskytnú číselné hodnoty na ľavej strane rovníc (4.27) a (4.28). Majme teda atóm, ktorý v jadre máz protónov, ale v elektrónovom obale jeden jediný elektrón (je Z 1 násobne ionizovaný). Nech tento elektrón sa nachádza na druhej najnižšej trajektórii (n = 2) a v zápätí zoskočí na trajektóriu s nižšou energiou, na trajektóriu, ktorá je najbližšie k jadru (n = 1). Podľa Bohrovho postulátu, atóm vyžiari fotón s energiou E = hν = E 2 E 1 = E 0 Z E 0 Z = 3 4 E 0Z 2 = 3 4 hν 0Z 2. Tu ν je frekvencia vyžiareného fotónu a využili sme Rydbergov vzťah (4.24). Jednoduchou úpravou môžeme tento výsledok prepísať do tvaru, ktorý je mimoriadne podobný Moseleyho zákonu ν Z = 3 4 ν 0 Jediný rozdiel je v tom, že vľavo nachádzame počet protónov Z v jadre, kým v Moseleyho zákone je vľavo Z 1, teda počet protónov v jadre znížený o jednotku. Tento rozdiel sa vysvetľuje tzv. tienením. Bohrov model nepredpovedal o štruktúre viacelektrónových atómov nič. Nepovedal, že koľko elektrónov sa môže nachádzať na trajektóriach s momentom hybnosti n, dokonca ani to, aký bude tvar týchto trajektórií (či bude možné stále predpokladať, že sú kružnicové). Moseleyho zákon však napovedal, že na najnižšej trajektórii sa v mnohoelektrónových atómoch nachádzajú dva elektróny. Keď sa tento systém ožiari vysokoenergetickými elektrónmi (Braggov experiment), bombardujúce elektróny povyrážajú z elektrónového obalu atómu (kde je veľa elektrónov) niektoré elektróny. Môže sa stať, a stáva sa, že sú to elektróny, ktoré sú najbližšie k jadru. Na najnižšej trajektórii (s momentom hybnosti, teda n = 1) sa nachádzajú dva elektróny. Ak jeden z nich je vyrazený, zvyšný elektrón dokáže odtieniť jeden elementárny náboj jadra. V klasickej fyzike by sme takéto odtienenie dosiahli tým, že jadro sféricky symetricky obklopíme tieniacim nábojom. Elektrón je bodový náboj, preto v klasickej fyzike podobný efekt sa dosiahne, pokiaľ elektrón bude obiehať okolo jadra dostatočne rýchle. Je to násilná predstava, ale klasická fyzika lepšie nevie poslúžiť (kvantová fyzika áno). Podľa Bohrovho modelu atómu v atóme by mali byť elektróny len s momentom hybnosti n, kde n je celé číslo. Na trajektórii s n = 2 elektrony. tienenie jadra

95 90 nebudú cítiť celý náboj Ze jadra, len náboj (Z 1)e v dôsledku odtienenia. Jeden z elektrónov nakoniec zoskočí zo svojej pôvodnej trajektórie s n = 2 na uvoľnenú pozíciu na trajektórii s n = 1, nakoľko tá je energeticky výhodnejšia. Vyžiari pritom fotón, ktorého energia zodpovedá rozdielu energií na vyššej a nižšej trajektórii. Tým dostávame vysvetlenie Moseleyho zákona pre K-línie. Poznámka 4.7. Pozorný čitateľ zrejme postrehol dve zvláštnosti: 1. Elektróny na vyšších trajektóriách nevplývajú na energiu elektrónov na nižších trajektóriách, 2. Bohrov model predpovedá v skutočnosti odlišný výsledok, než hovorí Moseleyho zákon. Prvá zvláštnosť sa dá dobre pochopiť aj z pohľadu klasickej fyziky, pokiaľ sme už prijali spôsob, akým odtieni elektrón na najnižšej trajektórii jeden elementárny náboj jadra. Ak je rozloženie elektrického náboja aj na vyšších trajektóriách sféricky symetrické, elektróny vyšších trajektórií neovplyvňujú pohyb elektrónov na nižších trajektóriách. Z klasickej fyziky je známe, že ak povrch gule nabijeme rovnomerne elektrickým nábojom, vo vnútri gule nie je žiadne elektrické pole, inými slovami, na elektrický náboj vo vnútri gule nepôsobí žiadna elektrická sila od nábojov na povrchu gule (presnejšie, výslednica síl je nulová). Druhá zvláštnosť sa týka toho, že vychádzajúc z Bohrovho modelu a z prijatého spôsobu tienenia jadra vieme povedať o energii elektrónu pred a po zoskoku na najnižšiu trajektóriu nasledujúce. Energia elektrónu na trajektórii s n = 2 je E 2 = E 0 (Z 1) Vidíme tienenie jadra jediným elektrónom na trajektórii s n = 1. Na druhú stranu elektróny s n = 2, ani s n > 2 jadro netienia. Po zoskoku na trajektóriu n = 1 je energia elektrónu (ktorý zoskočil z vyššej trajektórie, aby obsadil energeticky výhodnejšiu trajektóriu) E 1 = E 0 Z Tu by elektrón na rovnakej (n = 1) trajektórii už nemal tieniť. Zo zákona

96 91 zachovania energie by mala byť energia vyžiareného fotónu ( (Z 1) 2 hν = E 2 E 1 = E Z2 1 2 = hν 0 (Z 1) 2 4Z 2 4 ) = hν 0 3Z 2 2Z 1 4 (4.30) Riešením tejto rovnice dostávame Z 1 3 = ν 3 4 ν 0 Zdá sa, že rozdiel je markantný, v skutočnosti však nie je taký dramatický, ako to ukazuje aj graf na obrázku Obr. 4.1: Rozdiel medzi Moseleyovym experimentom a predpoveďou podľa Bohrovho modelu. Modrá línia zodpovedá Moseleyovmu zákonu, červená Bohrovmu modelu. Je vidieť, že rozdiel je dramatický pre atómy s malým počtom protónov v jadre. Na vodorovnej osi je vynesená hodnota ν/ν 0, na zvislej osi hodnota Z. V skutočnosti je situácia ešte zložitejšia, nakoľko pri prechode jedného elektrónu na najnižšiu trajektóriu, sa mení energia nie len prechádzajúceho elektrónu, ale všetkých elektrónov, ktoré pociťujú zmenu tienenia jadra. To sa týka prinajmenšom elektrónov na trajektórii, odkiaľ elektrón prechádza na najnižšiu trajektóriu. Príslušné výpočty sú však výrazne závislé na predstavách o rozložení elektrónov v elektrónovom obale a presahuje možnosti Bohrovho modelu atómu.

97 92 Moseleyho zákon v tomto je v tomto ohľade významnejší, lebo je experimentálnym zistením. Úspechom Bohrovho modelu vo vysvetlení Moseleyho zákona je smernica závislosti počtu protónov na ν/ν 0. Podľa Moseleyho zistenia je táto smernica 4/3, čo predpovedá aj Bohrov model atómu. Bohrov model atómu dáva správne vysvetlenie tiež pre K-línie charakteristického žiarenia, a dáva správnu predpoveď aj pre L-línie. Tienenie je však v tomto prípade 7,4 a nie 1. Prijalo sa vysvetlenie, že L-línia charakteristického žiarenia vzniká, keď sa uvoľní miesto na druhej trajektórii (n = 2), ktorú obsadí elektrón z tretej trajektórie (n = 3). Elektrón z tretej trajektórie však nevidí celý náboj jadra. Ten je odtienený v značnej miere elektrónmi na nižších trajektóriach. Moeseleyho zistenie bolo, že z celkového náboja jadra sa vždy odtieni 7, 4 elementárneho náboja. Záver, ktorý je možné urobiť je, že kým na prvej trajektórii je možné mať celkom dva elektróny, na druhej trajektórii je ich počet vyšší, aspoň 6. Dnes vieme, že je ich v skutočnosti 8. Moseleyho zistenia boli veľmi významné. Dovolil presne určiť počet protónov v jadre atómu. Odhalil mimo iné, že poradie niklu (Ni) a kobaltu (Co) bolo v Mendelejevovej tabuľke určené nesprávne. Pred Moseleyho zákonom ich polohu určili z atomárnej hmotnosti (kobalt má väčšiu hmotnosť ako nikel, čo súvisí s existenciou izotopov a nie je predmetom fyziky mikrosveta). V skutočnosti však kobalt má v jadre len 27 protónov, kým nikel 28. Na obrázku 4.2 je graf s výsledkami Moseleyho merania, ako to bolo zverejnené v [8]. 5 Úloha 4.8. Ukážte, vychádzajúc z Bohrovho modelu atómu, že smernica pre L línie v Moseleyho zákone (4.28) je skutočne 36/ Franckov-Hertzov pokus Moeseleyho zákon ukazuje, že Bohrova idea kvantovania je správna aj v mnoho elektrónových systémoch. Nech už kvantovanie pre mnoho elektrónové systémy vyzerá akokoľvek, ukazuje sa, že elektróny nemôžu mať v atóme ľubovoľnú energiu, len určité konkrétne hodnoty. Môžeme povedať, že elektróny pri prechode v atóme z jedného pohybového stavu do druhého stavu zmenia svoju energiu (presnejšie energiu atómu) o presne danú hodnotu. Tento rozdiel energie je charakteristický pre daný atóm a pohybový stav elektrónu v atóme.

98 Obr. 4.2: Graf s výsledkami merania Moseleyho, ako to bolo zverejnené v [8]. 93

99 94 Správna je aj idea, že pri prechode elektrónu do iného pohybového stavu, kde má inú energiu, je doprevádzaný buď vyžiarením, alebo pohltením jediného fotónu. Elektrón nezmení svoj pohybový stav, pokiaľ nedodáme správne množstvo energie také množstvo energie, ktoré zodpovedá rozdielu energií stavov, medzi ktorými elektrón prechádza. V roku 1914 realizoval James Franck a Gustav Ludwig Hertz 5 experiment, ktorý potvrdzuje kvantovanosť stavu atómov. Obr. 4.3: Vľavo James Franck, vpravo Gustav Ludwig Hertz. Keď analyzujeme možnosti zrážky dvoch hmotných bodov, sú len dva principiálne prípady. Buď je zrážka pružná, alebo nepružná. Pri pružnej zrážke sa zachováva kinetická energia žiadna energia sa nespotrebuje na zmenu vnútornej štruktúry zrážajúcich sa častíc. Pokiaľ je jedna z častíc veľmi hmotná (atóm ortuti s hmotnosťou M), kým druhá častica má malú hmotnosť (elektrón s hmotnosťou m M), kinetická energia častice s hmotnosťou m sa skoro nezmení. Podstatne sa môže zmeniť kinetická energia elektrónu jedine, pokiaľ zrážka je nepružná. Pri nepružnej zrážke sa spotrebuje kinetická bombardujúceho energia elektrónu, na zmenu štruktúry atómu na vybudenie jeho elektrónového obalu. Vybudenie atómu znamená, že jeden z jeho elektrónov sa presunie an vyššiu trajektóriu. Podľa Bohra však energetické hladiny elektrónového obalu sú kvantované. K požadovanému prechodu nemôže dôjsť, pokiaľ bombardujúca častica (elektrón z katódy) nemá aspoň takú kinetickú energiu, ktorá je potrebná na vybudenie. Vo Franckovom-Hertzovom experimente sa elektrón urýchľuje rovnomerne (elektrické pole medzi katódou a mriežkou je homogénne). Jeho kinetická 5 James Franck a Gustav Ludwig Hertz získali Nobelovu cenu za fyziku v roku 1925 za objav zákonov, ktorými sa riadia elektróny zrážajúce sa s atómami.

100 95 katóda mriežka anóda I A V U km U ma Obr. 4.4: Schematické usporiadanie Franckovh-Hertzovho experimentu. Plyn ortuti je uzavretý v sklenej banke.do trubice je zatavená katóda, mriežka a anóda. Katóda je žhavená a uvoľňuje elektróny. Na katódu a mriežku je pripojený zdroj napätia, ktoré urýchľuje elektróny uvoľnené katódou a priťahuje ich k mriežke. Urýchlené elektróny svojou zotrvačnosťou preletia cez mriežku a letia ďalej k anóde. Na mriežku a anódu je pripojený iný zdroj napätia, ktoré brzdí elektróny. Elektróny pri svojom lete sú najprv urýchlené napätím U km, potom brzdené napätím U ma. Napätie U km (merané voltmetrom V) sa zvyšuje a pri konštantnom brzdnom napätí U ma sa meria prúd ampérmetrom A. Závislosť prúdu preťekajúceho medzi mriežkou a anódou v závislosti na urýchlovacom napätí hovorí o procesoch počas zrážky urýchlených elektrónov s atómami plynu ortuti.

101 96 katóda mriežka anóda I 4,9 V 4,9 V ddu A V +12 V 2,5 V Obr. 4.5: Schematické usporiadanie Franckovh-Hertzovho experimentu pri napätí U km = 12 V medzi katódou a mriežkou. Pokiaľ by v trubici nebol žiardny plyn, alebo atómy ortuti sa nedali vybudiť (zrážky by boli vždy pružné) urýchlené elektróny by na úrovni mriežky mali kinetickú energiu 12 ev (elektróny vystupujú z katódy skoro s nulovou kinetickou energiou). Brzdné napätie U ma = 2,5 V by ich nedokázal zabrzdiť a všetky by dopadli na anódu. Čím by bolo urýchlovacie napätie U km väčšie, tým by bol väčší aj prúd meraný ampérmetrom A. Situácia je však iná. V modre označených oblastiach urýchlené elektróny majú už kinetickú energiu rovnú 4, 9 ev. V tejto oblasti kinetická energia urýchlených elektrónov je dostačujúca k vybudeniu atómu ortuti a zrážky s atómami sa stanú nepružnými. Po nepružnej zrážke bombardujúce elektróny stratia svoju kinetickú energiu a ich rýchlosť začína narastať v podstate z nulovej hodnoty. V druhej modrej oblasti (bližšej k mriežke) už znova majú kinetickú energiu 4, 9 ev a zrážky sa stanú znova nepružnými. Celý proces sa opakuje. Vo zvyšnej časti elektróny sú urýchlované až dorazia k mriežke. Tam budú mať kinetickú energiu 2, 2 ev. Zotrvačnosťou preletia mriežkou, ale anódu nedosiahnu, nakoľko sú zabrzdené brzdným napätím medzi mriežkou a anódou, ktorá má hodnotu 2, 5 V. Takéto brzdné napätie by dokázalo zabrzdiť elektróny s kinetickou energiou až 2, 5 ev. Pri hodnotách nastavených na obrázku ampérmetrom A nepotečie prúd (alebo len minimálny). V modre označených oblastiach bude ortuťový plyn žiariť, ako dôsledok spätného prechodu (deexcitácie) atómu do pôvodného stavu. Deexcitácia je doprevádzaná vyžiarením fotónov s energiou 4,9 ev (ultrafialová oblasť).

102 97 energia narastá až do okamihu, keď dosiahne hodnotu, ktorá je postačujúca na vybudenie atómu ortuti. V tom okamihu sa zrážky stanú nepružnými. Kinetická energia bombardujúcich elektrónov (pochádzajúcich z katódy) sa spotrebuje na vybudenie atómu ortuti a bombardujúci elektrón sa fakticky zastaví. Celí urýchľovací proces sa začne odznova. Tak ako budeme zvyšovať urýchľovacie napätie, bude prúd (meraný ampérmetrom A pozri obrázok 4.5) medzi mriežkou a anódou narastať. Zvyšujme teda urýchľovacie napätie z nulovej hodnoty až na hodnotu 2, 5 V. Ampérmeter neukazuje prakticky žiadny prúd, lebo elektróny, ktoré dorazia k mriežke, a zotrvačnosťou preletia k anóde, sú zastavené brzdným napätím 2, 5 V. Ďalším zvyšovaním urýchľovacieho napätia prúd meraný ampérmetrom začne pozvoľna narastať. V okamihu, keď dosiahne hodnotu 4,9 V v oblasti mriežky už prebiehajú nepružné zrážky, v ktorej bombardujúce elektróny stratia svoju rýchlosť. Brzdné napätie im nedovolí prelet na anódu, a ampérmeter ukáže prakticky nulový elektrický prúd. Ďalším zvyšovaním urýchľovacieho napätia sa celý cyklus procesov zopakuje. Pri hodnote U km = 4,9 + 2,5 = 7,4 V prúd začne pozvoľna narastať a pri hodnote U km = 2 4,9 = 9,8 V prúd prudko poklesne (pozri obrázok 4.6). Interpretácia Franckovho-Hertzovho ezperimentu bola taká, že energetický stav elektrónov v atóme je kvantovaný. Pravdepodobne majú svoje striktne predpísané trajektórie v elektrónovom obale a prechod z jednej trajektórie na druhú vyžaduje presne definované množstvo energie. Túto energiu možno dodať aj zrážkami, pokiaľ kinetická energia bombardujúcej častice je dostatočne veľká. Franckov-Hertzov pokus sa dá vykonať aj na iných plynoch (napríklad neóne) s obdobným výsledkom (pre neon je možné vybudiť atóm až energiou 19 ev). Poznámka 4.9. Stojí za poznámku, že spôsob žiarenia plynu (vo vrstvách) bol známy už aj v druhej polovine 19-ho storočia. Tento jav je najmarkantnejší, pokiaľ tlak plynu znížime na cca. 100 Pa.

103 98 I 4,9 V 9,8 V U km Obr. 4.6: Závislosť prúdu I nameraného ampérmetrom A pri napätí U km medzi anódou a mriežkou (pozri obrázok 4.4). Pri napätí U km = 4,9 V dochádza k prudkému poklesu meraného prúdu. Prúd síce v reálnom experimente nepoklesne k nulovej hodnote, ale podstatný je hlavne prudký pokles elektrického prúdu v dôsledku nepružných zrážok. Oblasť mriežky pri napätí U km = 4,9 V vyžaruje ultrafialové svetlo vlnovej dĺžky λ = 253 nm (fotóny s energiou 4,9 ev.). Pri ďalšom zvyšovaní urýchľovacieho napätia dochádza druhému prudkému poklesu prúdu pri napätí U km = 9,8 V. Prvá žiarivá oblasť pritom nezanikne, ale so zvyšovaním napätia U km sa postupne posúva ku katóde, kým pri napätí (9,8 V) sa objaví ďalšia žiarivá oblasť v okolí mriežky. Obidve oblasti budú žiariť na vlnovej dĺžke λ = 253 nm.

104 Kapitola 5 Kvantové čísla Úspechy Bohrovho modelu boli mimoriadne. Zlepšujúcimi sa experimentálnymi prístrojmi sa však množili otázky, ktoré si vyžiadali hlbšie preskúmanie modelu. 5.1 Bohrov-Sommerfeldov model atómu Ukázalo sa, že spektrálne čiary Balmerovej série (ktoré Bohrov model dokázal vysvetliť), sa skladajú z viacerých čiar (pozri tabuľku 5.1 a obrázok 5.1). Bohr, Ehrenferst a Sommerfeld hľadali odpoveď na otázku 1. v akom vzťahu je Bohrov model atómu s klasickou fyzikou a so zákonom žiarenia z elektrodynamiky, 2. ako sa dá zovšeobecniť Bohrova kvantovacia podmienka. Odpoveď na tieto otázky našli postupne Bohr, Ehrenferst i Sommerfeld. Ponúkla sa myšlienka, že Bohrov model je príliš jednoduchý vďaka predpokladu, že elektróny sa pohybujú len po kružnicových trajektóriach. Kružnicová trajektória je veľmi symetrická, pohyb po kružnici (r = konst.) je v Bohrovom modeli rovnomerný (p = konst.). Bohrova kvantovacia podmienka mala preto jednoduchý tvar (rp = n ). Zovšeobecnenie Bohrovej kvantovacej podmienky vyslovili v tvare p q dq = n q h, (5.1) 99

105 100 prechod z m na n λ Bohr /nm λ (r) Bohr /nm λ exp/nm , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabuľka 5.1: Porovnanie predpovedanej vlnovej dĺžky prechodu v Bohrovom modeli (s fixovaným jadrom) λ Bohr, s vlnovou dĺžkou prechodu v Bohrovom modeli s redukovanou hmotnosťou λ (r) Bohr s nameranými vlnovými dĺžkami λexp. Experimentálne údaje sú čerpané z [9] a predstavujú merania vykonané vo vákuu.

106 101 Obr. 5.1: Dole vidíme Balmerovu sériu (B α,b β,b γ) pri horšom rozlíšení, v súlade s Bohrovim modelom. Pri vysokom rozlíšení sa ukáže, že zdanlivo jednoduché čiary sa skladajú z viacerých čiar (majú štruktúru.) kde q je tzv. zovšeobecnená súradnica a p q je prislúchajúca zovšeobecnená hybnosť. Poznámka 5.1. V kartézskej súradnej sústave sa k popisu polohy používajú súradnice x,y a z. K súradnici x prislúcha hybnosť p x = mv x, kde v x je rýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou m v smere osi x. V mnohých prípadoch je výhodnejšie používať namiesto kartézskej sústavy inú súradnú sústavu, napríklad polárnu, či sférickú. V týchto súradných sústavách sú tiež súradnice (napr. v polárnej sústave vzdialenosť r od centra a azimutálny uhol ϕ). Azimutálnej súradnici ϕ prislúcha zovšeobecnená hybnosť p ϕ = mr 2 ϕ, kde ϕ je uhlová rýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou m. V Bohrovom modeli sa elektróny pohybujú po kružnici a zovšeobecnená hybnosť p ϕ je rovná momentu hybnosti. Moment hybnosti sa zachováva (je konštantná) a integrál p ϕ dϕ = Ldϕ = 2πL = n ϕ h. Uzavretý integrál predstavuje integrovanie po uzavretej trajektórii elektrónu. Táto trajektória je kružnica, a integrovanie konštanty L po azimutálnom uhlu ϕ je rovný 2πL. Táto zovšeobecnená podmienka nám teda vráti späť (v prípade kružnicových trajektórií Bohrovho modelu) Bohrovu kvan-

107 102 tovaciu podmienku L = n ϕh 2π = n ϕ. Problematika zovšeobecnených súradníc a zovšeobecnených hybností je predmetom teoretickej mechaniky. Podobne sa môže napísať kvantovacia podmienka pre radiálnu súradnicu r p r dr = n r h. Bohrov- Sommerfeldov model 3 Pre kružnicovú trajektóriu však radiálna zložka hybnosti p r = mṙ = 0, preto ani nevstupuje do Bohrovho modelu atómu. Zovšeobecnená kvantovacia podmienka (5.1) umožnila skonštruovať vylepšený Bohrov model, kde elektróny sa mohli pohybovať aj po eliptických trajektóriách. Tento model nazývame Bohrovým-Sommerfeldovým modelom atómu. Napriek eliptickým trajektóriám však nesplnila očakávania. Bohrov-Sommerfeldov model atómu s eliptickými trajektóriami predpovedal rovnaké spektrum, ako Bohrov model atómu s kružnicovými trajektóriami. Nedal teda vysvetlenie na štruktúru jednotlivých čiar, ktoré sme spomenuli vyššie. V Bohrovom modeli atómu bola trajektória elektrónu vo vodíkovom atómu kružnica a bola jednoznačne spojená s celým číslom n z Bohrovej kvantovacej podmienky L = n. Príklad 5.2. Určte Bohrov polomer atómu vodíka (v základnom stave) a polomer trajektórie elektrónu s momentom hybnosti n. Riešenie. Využitím vzťahu (4.11) a kvantovacej podmienky L = n dostaneme r = n 2 2 km = n24πε 0 2 e 2 m. Bohrov polomer atómu (označuje sa bežne r B ) je polomer trajektórie elektrónu v najnižšom energetickom stave, tj. s momentom hybnosti (n = 1). r B = 4πε 0 2 e 2 m = 0, m. Pokiaľ započítame efekt redukovanej hmotnosti, potom r H = 4πε 0 2 e 2 µ = 0, m.

108 103 l = 4 l = 3 n = 5 l = 2 l = 1 l = 0 Obr. 5.2: Príklad trajektórií elektrónu v Bohrovom-Sommerfeldovom modeli atómu vodíka. Trajektórie sú načrtnuté pre n = 5 a l = 0, 1, 2, 3, 4. Všetky elipsy majú spoločné jedno ohnisko, v ktorom sa nachádza jadro atómu vodíka (protón). Eliptická trajektória elektrónu v Bohrovom-Sommerfeldovom atóme sa popisuje dvojicou celých čísiel n a l. Veľkosť veľkej polosi a n je rovnaký, aký je polomer kružnicových trajektórií v Bohrovom modeli atómu, tj. a n = n 2 r B, kde n = 1,2,3,... Hlavná polos teda nezávisí od celého čísla l. Vedľajšia polos však závisí a má tvar b n,l = l+1 n r B, kde l = 0,1,2,...,n 1. Poznámka 5.3. Celé čísla n a l sa objavia z kvantovacích podmienok p r dr = n r h, p ϕ dϕ = n ϕ h. Tieto celé čísla sú vzájomne prepojené nasledovne n = n r +n ϕ, l = n ϕ 1

109 104 l = 0 l = 1 n = 5 l = 2 l = 3 l = 4 Obr. 5.3: Eliptickým trajektóriám by sme mali pripisovať moment hybnosti iným spôsobom, než vyplýva z Bohrovho-Sommerfeldovho modelu atómu. Trajektória, ktorá ma najvyššiu symetriu ( je najmenej deformovaná ) má moment hybnosti rovný nule. Tieto poznatky však plynú z dnešnej úrovni znalostí, ktoré pri rozpoznávaní kvantových vlastností prírody, pred Schrödingerom a Heisenbergom známe nemohli byť Nedostatky Bohrovho-Sommerfeldovho modelu 1. Zrovna tak ako v Bohrovom modeli, aj v Bohrovom-Sommerfeldovom modeli sa elektróny pohybujú len v rovine. V prípade atómu vodíka to znamená znova, že atóm by mala byť placka. 2. Zovšeobecnená kvantovacia podmienka (5.1) umožňuje kvantovať daný systém v ľubovoľnej súradnej sústave (to bolo účelom). Žiaľ, ako sa ukázalo, voľba súradnej sústavy mala vplyv na predpovedané fyzikálne javy, čo je neprípustné. Chovanie sa fyzikálneho systému (napríklad spektrálne čiary) nemôžu závisieť od toho, či systém popíšeme pomocou kartézskych, sférických, alebo iných súradníc. 3. Na obrázku 5.2 sú uvedené eliptické trajektórie chrakterizované celými číslami n a l, kde význam veľkosti momentu hybnosti hrá hodnota l. V tomto smere nastal oproti Bohrovmu modelu atómu posun, nakoľko tam sa veľkosť momentu hybnosti spájal s hodnotou n ako to vyplynulo z odvodenia. Napriek všetkému, ani jedna interpretácia nie je správna. Pokiaľ by sme chceli, aby Bohrov-Sommerfeldov model atómu vodíka bol čo najbližšie k našim dnešným znalostiam, potom by sme pripísali hodnoty veľkosti momentu hybnosti skôr hodnote (n l 1), ako to ukazuje obrázok 5.3

110 105 Nesporným prínosom zovšeobecnenej kvantovacej podmienky (5.1) však bolo zavedenie kvantových čísiel. 5.2 Kvantové čísla Rozdiel medzi klasickou a kvantovou fyzikou sa videl hlavne v tom, že hodnoty zachovávajúcich sa veličín (energia, hybnosť, moment hybnosti, a pod.) môžu mať len určité diskrétne, kvantované hodnoty. Platí to hlavne pre viazané systémy (elektrón viazaný v atóme vodíka, elektróny viazané v mnohoelektrónových atómoch, v kryštáloch kde sa atómy viažu vzájomne a podobne). kvantové čísla Túto diskrétnosť mali vyprodukovať zovšeobecnené kvantovacie podmienky (5.1) p q dq = n q h, kde n q nazývame kvantovým číslom veličiny q, ktorá je spojená s integrálom (5.1). V klasickej mechanike sa pohyb hmotného bodu popisoval pomocou súradníc hmotného bodu (napríklad súradnice x, y, z v kartézskej súradnej sústave, alebo r, ϕ, ϑ vo sférickej súradnej sústave). Počet súradníc potrebných na popis pohybu jedného hmotného bodu je 3. Hovoríme, že počet stupňov voľnosti hmotného bodu je 3. Pohyb sa dá charakterizovať nie len pomocou súradníc a hybností, ale tiež pomocou zachovávajúcich sa veličín ako energia, hybnosť, moment hybnosti a podobne. Pomocou týchto veličín sa dá tiež jednoznačne zrekonštruovať v klasickej mechanike trajektória pohybujúceho sa bodu. Pravda, máme tu na mysli tvar a umiestnenie trajektórie v priestore, nie okamžitú polohu hmotného bodu. Môžeme teda povedať, že až na znalosť okamžitej polohy a rýchlostí hmotného bodu, pohybový stav hmotného bodu sa dá popísať aj pomocou zachovávajúcich veličín (hovorí sa im integrály pohybu). Pokiaľ prijmeme takúto interpretáciu, pohybového stavu, môžeme pochopiť aj to, prečo elektrón nežiari. Podľa Maxwellových rovníc by elektrón, ktorý zrýchľuje (tj. mení svoj pohybový stav), musí žiariť. Elektrón, ktorý je viazaný v atóme vodíka, nežiari, pokiaľ jeho kvantové čísla sa nemenia. To sú odpovede na dvojicu základných otázok, ktoré si kládli Bohr, Ehrenferst a Sommerfeld, ale nie len oni. Táto éra sa nazýva érou starej kvantovej mechaniky.

111 106 Kvantové čísla spin elektrónu Kým zavedenie zovšeobecnenej kvantovacej podmienky je viac-menej technická záležitosť, zmena interpretácie pohybového stavu je radikálna. Táto radikálna zmena predznamenáva reinterpretáciu mnohých pojmov, ktoré klasická fyzika zaviedla to však bude predmetom ďalších kapitol. Čo sú kvantové čísla? Vo viazaných systémoch hovorme konkrétne o atóme vodíka sú zachovávajúce sa veličiny. Hodnota týchto veličín nemôže byť ľubovoľná, každá dovolená hodnota sa viaže k celému číslu. Tieto celé čísla nazývame kvantovému číslu danej veličiny a sú bezrozmerné (kým samotné fyzikálne veličiny bezrozmerné nie sú). Poznámka 5.4. Zoberme príklad Bohrovho modelu atómu (bez ohľadu na problémy s dnešnou interpretáciou kvantového čísla n). Podľa Bohrovho postulátu veľkosť momentu hybnosti L je rovný celočíselnému násobku, tj. L = n. V tomtom zmysle bol n kvantovým číslom momentu hybnosti. Súčasne však n popisoval aj energiu prostredníctvom vzťahu E n = E 1 /n 2. Mohli sme teda chápať n tiež ako kvantové číslo energie. Zrovna tak by sme číslo n mohli použiť ako kvantové číslo veľkosti hybnosti elektrónu, či veľkosti polomeru jeho trajektórie. Zavedenie zovšeobecnenej kvantovacej podmienky (5.1) situáciu zmenila interpretácia čísla n. Eliptické trajektórie sú v Bohrovom-Sommerfeldovom modeli atómu vodíka charakterizované dvomi celými číslami n a l. Z tohoto modelu vyplýva, že n skutočne charakterizuje skôr energiu, než moment hybnosti. Číslo l zase (zdalo sa) udáva veľkosť momentu hybnosti pomocou vzťahu L = l. Dnes vieme, že tomu tak nie je. Pomenovanie kvantových čísiel je teda z väčšej časti konvenciou Kvantové čísla elektrónov v atóme Elektrón, ako hmotný bod má tri stupne voľnosti, preto nie je prekvapujúce, že pohybový stav elektrónu v atóme je plne popísateľný tromi kvantovými číslami. Tieto kvantové čísla sú spojené s pohybom elektrónu okolo jadra atómu. Okrem toho elektrón má jeden tzv. vnútorný stupeň voľnosti, vlastný moment hybnosti, spin. Spin si môžeme často predstaviť, ako rotáciu elektrónu okolo svojej vlastnej osi. Úplný popis pohybového stavu elektrónu v atóme sa uskutočňuje štvoricou kvantových čísiel: hlavné kvantové číslo 1 sa väčšinou označuje ako n a určuje v podstatnej 1 V angličtine sa nazýva principal quantum numnber, alebo radial quantum number

112 107 miere energiu elektrónu; jeho hodnoty sú celé čísla n = 1,2,3,...; (5.2) vedľajšie kvantové číslo 2 sa väčšinou označuje l a spája sa s veľkosťou momentu hybnosti; jeho hodnoty sú obmedzené hlavným kvantovým číslom n nasledovne l = 0,1,2,...,n 1. (5.3) magnetické kvantové číslo 3 sa väčšinou označuje m a spája sa s priemetom magnetického momentu na smer vonkajšieho magnetického poľa; jeho hodnoty sú obmedzené vedľajším kvantovým číslom l nasledovne m = l, l+1, l +2,..., 1,0,1,...,l 2,l 1,l; (5.4) spinové kvantové číslo sa väčšinou označuje s a jeho hodnoty sú s = 1 2,+1 2. (5.5) Bohrov-Sommerfeldov model atómu mal za poslanie vysvetliť tzv. jemnú štruktúru spektrálnych čiar. Tým sa má na mysli skutočnosť, ktorú sme uviedli v úvode kapitoly, že Lymanova, Balmerova a ostatné série spektrálnych čiar vodíka nepozostávali z jednoduchých čiar, ktoré Bohrov model atómu vysvetlil na základe predpokladu, že okolo jadra atómu krúžia elektróny na kružnicových trajektóriách. Tieto dobre viditeľné čiary pri lepšom rozlíšení spektroskopov vykazovali určitú štruktúru. Tým sa rozumie, že v skutočnosti pozostávali z viacerých čiar blízko k sebe (pozri obrázok 5.1 na strane 101). Podľa Bohrovho-Sommereldovho modelu to súviselo s tým, že elektróny s odlišným orbitálnym momentom hybnosti mali odlišnú aj energiu, tj. energia elektrónov nezávisela len od hlavného kvantového čísla n, ale aj od vedľajšieho kvantového čísla l. Pre označenie stavov, v ktorých elektrón mal rovnakú energiu sa zaviedlo označenie term. Nakoľko pokrokom experimentálnej techniky sa ukázalo, že i čiary jemnej štruktúry môžu mať štruktúru (hyperjemná štruktúra), termín term sa začal používať vo viacerých významoch. Niekedy sa používa na označenie kvantového stavu elektrónu (daná štvoricou kvantových čísiel), 2 V angličtine sa nazýva azimutal quantum number 3 V angličtine sa nazýva magnetic quantum number.

113 108 Term niekedy zase na označenie stavov elektrónov s rovnakou energiou. V spektroskopii sa používa na označenie stavov s rovnakým orbitálnym momentom hybnosti l (pritom sa neberie do úvahy hodnota hlavného kvantového čísla n). Na tomto mieste i ďalej budeme definovať termy, ako súbor kvantových stavov, v ktorých elektrón má v danom atóme rovnakú energiu. Táto definícia, ako v ďalšom uvidíme, je závislá na modeli, resp. na rozlíšení, ktoré berieme do úvahy. K tejto otázke sa vrátime pri vysvetlení pojmu degenerácie a tiež pri mnohoelektrónových systémoch. Presný zmysel termínu term však bude vždy zrejmé z kontextu. Poznámka 5.5. Uvedieme príklad pre možné hodnoty kvantových čísiel n,l,m,s (pozri tabuľku 5.2 na strane 109) Význam hlavného kvantového čísla Hlavné kvantové číslo n v Bohrovom i Bohrovom-Sommerfeldovom modeli je jednoznačne spojené s energiou atómu vodíka podľa vzťahu 1 E n = E 1 n 2, kde E. 1 = 13,6 ev. Presný výraz pre E 1 (ktorý nazývame tiež základnou energiou vodíkového základná energia atómu) je daný formulou (4.13) na strane??. Je dobré si pamätať, že v Bohrovom modeli atómu (a v Bohrovom- Sommerfeldovom modeli tiež) majú elektróny s rovnakým hlavným kvantovým číslom n rovnakú energiu. Experimentálne údaje zhrnuté v tabuľke 5.1 na strane 100 síce ukazujú, že nie je to úplne pravda. Na druhú stranu treba priznať, že zhruba to platí a energia jednotlivých elektrónov s rovnakým hlavným kvantovým číslom sa líši len nepatrne. vrstva V prípade mnohoelektrónových systémov platí toto zistenie tiež a preto hovoríme o elektrónoch s rovnakým hlavným kvantovým číslom ako o elektrónoch z vrstvy s hlavným kvantovým číslom n (alebo o elektrónoch na vrstve). vedľajšie kvantové číslo Význam vedľajšieho kvantového čísla a magnetického kvantového čísla Tieto dve kvantové čísla sú so sebou úzko spojené. Vedľajšie kvantové číslo l kvantuje veľkosť momentu hybnosti. V Bohrovom Sommerfeldovom modeli

114 109 hlavné kvantové číslo vedľajšie kvantové číslo magnetické kvantové číslo spinové kvantové číslo n = 1 l = 0 m = 0 s = 1 2 s = n = 2 l = 0 m = 0 s = 1 2 s = l = 1 m = 1 s = 1 2 s = m = 0 s = 1 2 s = m = +1 s = 1 2 s = n = 3 l = 0 m = 0 s = 1 2 s = l = 1 m = 1 s = 1 2 s = m = 0 s = 1 2 s = m = +1 s = 1 2 s = l = 2 m = 2 s = 1 2 s = m = 1 s = 1 2 s = m = 0 s = 1 2 s = m = +1 s = 1 2 s = m = +2 s = 1 2 s = Tabuľka 5.2: Príklad možných kvantových čísiel l, m, s pre n = 1, 2 a 3

115 110 je toto kvantovanie jednoduché a má tvar L = l, l = 0,1,...,n 1, (5.6) kde L označuje veľkosť momentu hybnosti, ktorý je spojený s pohybom elektrónu v atóme. Hovoríme mu preto orbitálny moment hybnosti alebo tiež orbitálny impulzmoment. Jedná sa ale o moment hybnosti L, a ako taký je vektorová veličina. Má veľkosť a smer. Už v prípade energie sme videli, že spojenie kvantového čísla s príslušnou fyzikálnou veličinou nemusí byť len v podobe násobku konštanty a kvantového čísla, ako to ukazuje napríklad vzťah (5.6), ale môže byť komplikovanejšie. Vzťah (5.6) je produktom starej kvantovej mechaniky, a ako taký, je nesprávny. V skutočnosti je spojenie veľkosti momentu hybnosti a vedľajšieho kvantového čísla L = l(l+1). (5.7) Jeho odvodenie však spadá do modernej kvantovej mechaniky a nie je predmetom fyziky mikrosveta. Spomenuli sme tento vzťah len pre úplnosť, a ako predzvesť komplikácií pri sčítavaní dvoch momentov hybností. Orbitálny moment hybnosti L je vektorová veličina. V klasickej fyzike je kolmá na rovinu obehu elektrónu okolo jadra. Trajektória elektrónu je uzavretá, a môžeme sa na elektrón (obiehajúci neustále dokola) pozerať, ako na elektrický prúd vo vodiči. Vieme, že elektrický prúd v uzavretom vodiči vytvára okolo seba magnetické pole. V prípade atómu vodíka (alebo iného atómu) je táto myslená slučka vodiča (trajektória elektrónu) tak malá, že sa nám javí ako miniatúrny magnet. Pokiaľ ho umiestníme do magnetického poľa, bude sa snažiť orientovať, podobne magnetickej ihle kompasu. V tomto prípade tak, že rovina obehu elektrónu (tj. rovina v ktorej leží trajektória) bude kolmá vonkajšiemu magnetickému poľu. Platí to v klasickej mechanike. V prírode je to v skutočnosti inak a dáva na to odpoveď magnetické kvantové číslo. V klasickej fyzike je magnetický moment µ elektrónu vektorová veličina µ = e 2m e L. (5.8) Tu m e je pokojová hmotnosť elektrónu a vidíme, že až na násobok s konštantou, je magnetický moment µ zhodný s orbitálnym momentom hybnosti L elektrónu. Z klasickej fyziky sa tiež vie, že magnet vo vonkajšom magnetickom poli má určitú (magnetickú) energiu. Ak magnet chceme otočiť, musíme konať

116 111 prácu. Túto prácu vieme vypočítať zo základného vzťahu udávajúceho magnetickú energiu magnetu vo vonkajšom poli s magnetickou indukciou B E m = µ B = µbcosα, (5.9) kde µ je magnetický moment magnetu. pri konštantnej veľkosti B indukcie vonkajšieho magnetického poľa a konštantnej sile magnetu (veľkosti µ jeho magnetického momentu) je treba konať prácu, pokiaľ magnet chceme pootočiť. Pootočiť znamená zmeniť uhol α. Zapíšme tento vzťah pomocou priemetu µ 3 magnetického momentu 4 µ na smer magnetickej indukcie B takto E m = µ B = µ 3 B. (5.10) Z tohoto vzťahu za chvíľu budeme vidieť, že magnetické kvantové číslo je spojené s momentom hybnosti, že predstavuje jednu jeho zložku. Naše úvahy sme začali prúdovou slučkou, ktorú vytvára elektrón obiehajúci jadro atómu. Ak priemet momentu hybnosti L elektrónu na indukciu B vonkajšieho magnetického poľa označíme L 3, potom pre magnetickú energiu môžeme písať E m = µ 3 B = el 3 2m e B. Moment hybnosti L je vektorová veličina, ktorá má tri zložky. Môžeme písať L = (L 1,L 2,L 3 ). Magnetické kvantové číslo m sa spája práve s treťou zložkou L 3 momentu hybnosti L. Toto spojenie je jednoduché L 3 = m. (5.11) Zhrňme to, čo vieme o kvantovaní orbitálneho momentu hybnosti L. 4 Je zvykom pri popise zvoliť súradnú sústavu tak, že z ová alebo (čo je to isté) tretia os ukazovala v smere vonkajšieho magnetického poľa. Má to výrazný vplyv na jednoduchosť tvaru matematických výrazov skoro vo všetkých situáciách. Z toho dôvodu označujeme priemet do smeru indukcie magnetického poľa indexom 3, ako tretiu zložku (µ 3) danej fyzikálnej veličiny (v tomto prípade magnetického momentu µ). Môžeme sa stretnúť aj formuláciou, že tretia zložka vektoru je určená fyzikálne významným smerom. Fyzikálne významný smer je v tomto prípade smer magnetickej indukcie B. V iných situáciách to môže byť smer gravitačného zrýchlenia g, alebo smer intenzity elektrického poľa E. Vždy závisí od toho, čo práve riešime. Dôležité je však chápať, že index 3 znamená túto konvenciu, dohodu.

117 112 kvan- spinové tové číslo Orbitálny moment hybnosti L je vektorová veličina s veľkosťou L a so zložkami L 1,L 2,L 3. Veľkosť orbitálneho momentu hybnosti je kvantovaný a je určený vedľajším kvantovým číslom l podľa vzťahu L = l(l+1). (5.12) Ak je prítomné fyzikálne významné vonkajšie pole (v prípade elektrónu v atóme je to vonkajšie magnetické pole), potom je kvantovaná zložka momentu hybnosti v smere fyzikálne význameného smeru, tj. L 3. V prípade elektrónu v atóme ho určuje magnetické kvantové číslo m nasledovne L 3 = m. Veľkosť momentu hybnosti L je väčší ako ktorákoľvek jeho zložka, tj. tiež ako L 3 a platí m l, pričom m Z, tj. m je celé číslo. Všimnime si, že posledná nerovnosť je ekvivalentný zápisu, kde sme možné hodnoty magnetického kvantového čísla m vypísali explicitne m = l, l+1,..., 1,0,1,...,l 1,l Spinové kvantové číslo Povedali sme, že spin elektrónu je vlastný moment hybnosti elektrónu. Môžeme si ho síce predstaviť, ako rotáciu elektrónu, ale to by sme elektrónu museli pripísať nejaký rozmer a následne by sme narazili na problém, že rýchlosť rotácie elektrónu by musela prekročiť rýchlosť svetla (na svojom rovníku i v najpriaznivejšom prípade 137 krát). Predstava elektrónu ako rotujúcej guličky nám často pomôže, ale v skutočnosti jeho spin nie je spojený s rotáciou elektrónu. Elektrón jednoucho má vlastný moment hybnosti spin. Spin je teda tiež moment hybnosti, a ako taký spĺňa všetko, čo sme povedali o orbitálnom momentu hybnosti. Má veľkosť, ktorá je kvantovaná a pokiaľ je prítomné vonkajšie pole, tak je kvantovaný aj jeho priemet na fyzikálne významný smer určený týmto poľom (magnetickým poľom). Vlastný moment hybnosti, spin elektrónu označujeme S a jeho tretiu zložku S 3. Príslušné kvantové čísla zase malými písmenami s a s 3. Platí, že S = S = s(s+1). (5.13) a S 3 = s 3. (5.14)

118 113 Platí aj obmedzenie kvantového čísla tretej zložky kvantovým číslom veľkosti spinu v tvare s 3 = s, s+1,...,s 1,s. (5.15) Vnútorný (nie orbitálny) charakter spinu zvýrazňuje aj to, že príslušné kvantové čísla (v prípade elektrónu) nie sú celé čísla, ale tzv. polocelé čísla. Kvantové číslo s veľkosti spinu S je s = 1 2. (5.16) Možné hodnoty kvantového čísla s 3 priemetu S 3 spinu S na fyzikálne významný smer sú len dve s 3 = 1 2,+1 2. Poznámka 5.6. Vo fyzike mikrosveta hovoríme číslam 1 2, 3 2, 5 nepárne celé číslo,..., 2 2 polocelé čísla (aj záporne vzatým číslam). Ich význam sa odkrýva v plnej miere až v modernej kvantovej teórii. My sa s dôsledkom ich existencie stretneme nižšie, pri Pauliho vylučovacom princípe. Nakoľko veľkosť spinu elektrónu je vždy tá istá hodnota, kvantové číslo veľkosti spinu je vždy 1 2, pod spinovým kvantovým číslom rozumieme kvantové číslo s 3 tretej zložky. Veľmi často sa v značení vypúšťa aj písanie indexu 3. Poznámka 5.7. V odborných textoch, ale aj v učebniciach sa často prenecháva na čitateľovi, aby rozpoznal, že v danom prípade sa hovorí o fyzikálnej veličine, alebo o jeho kvantovom čísle. Stáva sa to hlavne v prípade momentu hybnosti (či už orbitálneho momentu hybnosti, spinu, alebo celkového momentu hybnosti). V hantýrke hovoríme, že máme elektrón so spinom 1/2. Jednoznačne sa tu hovorí o kvantovom čísle a nie o samotnom spine. Naviac, ako sme spomenuli vyššie, len z kontextu môže byť jasné, či máme na mysli kvantové číslo veľkosti, alebo tretej zložky spinu. Táto hantírka je prípustná. Bolo by nepríjemné sa vyjadrovať tak, že povieme máme elektrón s veľkosťou spinu 3/4. Namiesto toho povieme, že máme elektrón s veľkosťou spinu 1/2. Zrovna tak nepovieme, že elektrón s hlavným kvantovým číslom 8 (tj. n = 8) môže mať moment hybnosti maximálne 72, ale povieme môže mať moment hybnosti maximálne 7, čím máme na mysli kvantové číslo l = n 1 = 7. veríme, že ani v našom prípade to neprivodí nepochopenie textu. V prípade nutnosti, na príslušnom mieste, uvedieme poznámku. (5.17) polocelé čísla hantýrka

119 Skladanie momentov hybnosti Orbitálny moment hybnosti a spin elektrónu sú síce odlišné svojim pôvodom 5, ale svojim charakterom sa jedná o rovnaké fyzikálne veličiny. Ak sa pozeráme na elektrónový obal atómu vodíka, tento obal má moment hybnosti J. Skladá sa z orbitálneho momentu hybnosti L a spinu elektrónu S. najprv sa pozrime na to, že ako to vypadalo v klasickej fyzike. V klasickej fyzike sme pre výsledný moment hybnosti zapísali J = L+S. Tento súčet znamenal to, že komponenty výsledného vektoru J sme získali sčítaním komponentov tých vektorov, z ktorých sa skladal, tj. ako súčet komponentov vektorov L a S J 1 = L 1 +S 1, J 2 = L 2 +S 2, J 3 = L 3 +S 3. V prírode (tj. na kvantovej úrovni) je však situácia komplikovanejšia. Povedali sme, že moment hybnosti má kvantovanú veľkosť a pokiaľ je prítomné fyzikálne významné pole, tak má kvantovanú aj jednu zo svojich komponent. O ostatných komponentách sme nepovedali nič. Nepovedali sme nič, lebo nevieme o nich nič povedať. Vieme povedať len to, že výsledný moment hybnosti J bude mať kvantovanú veľkosť J a tretiu zložku J 3, pričom bude platiť J = j(j +1), j = 0,1,2,... (5.18) J 3 = j 3, j 3 = j, j +1,...,j 1,j. (5.19) kde j je kvantové číslo veľkosti J celkového momentu hybnosti J, a j 3 je kvantové číslo tretej zložky J 3 momentu hybnosti J. V klasickej mechanike sme vedeli jednoznačne, že ako sa tieto veličiny spájajú to sme uviedli. Pokiaľ máme čo do činenia so skútočnými (kvantovanými) veličinami, tak vieme povedať nasledujúce j 3 = l 3 +s 3, (5.20) tj. presne ako v klasickej fyzike, ale pre veľkosť dostávame len určitú nerovnosť j = l s, l s+1,...,l+s. (5.21) 5 Orbitálny moment hybnosti je dôsledkom pohybu elektrónu, kým spin je vnútroná vlastnosť elektrónu a nie je spojený s pohybom.

120 115 Tým, že výsledok nie je jediné číslo, sme chceli povedať, že pri meraní získame jedno z týchto čísiel. Nevieme ktoré, ale bude jedno z týchto čísiel. (Moderná kvantová teória vie povedať akou pravdepodobnosťou získame ktoré číslo. To je maximum, čo sa dá povedať.) Ozrejmime to na príklade. Príklad 5.8. Majme atóm vodíka, a nech v jeho elektrónovom obale sa nachádza elektrón s kvantovými číslami n = 4,l = 2,m = 2,s 3 = 1 2. Aký je celkový moment hybnosti elektrónu a aká je jeho tretia zložka? Riešenie. Tretia zložka momentu hybnosti elektrónu (kvantové číslo) je 2 j 3 = m+s = = 3 2 Tretia zložka celkového momentu hybnosti elektrónu je teda J 3 = 3 2 1, Js. Elektrón má spin (kvantové číslo s veľkosti) s = 1 2. Kvantové číslo j veľkosti celkového momentu hybnosti J je určený kvantovým číslom l veľkosti orbitálneho momentu hybnosti elektrónu (vedľajšie kvantové číslo) a kvantovým číslom s veľkosti spinu elektrónu. Pre kvantové číslo veľkosti celkového momentu hybnosti platí j = = 3 2, = = 5 2, teda j = 3 2, 5 2. To sú možné kvantové čísla. Pri meraní zistíme, že kvantové číslo bolo 3 2, alebo zistíme, že bolo 5 2. Žiadny iný výsledok dostať nemôžeme z jediného merania. Moderná kvantová teória vie povedať, že pokiaľ merania zopakujeme mnoho krát, ako váhou dostaneme jeden výsledok a akou druhý. Vďaka tomu vie povedať, že aká bude priemerná hodnota meraní (to vie povedať úplne presne). To však presahuje rámec predmetu fyziky mikrosveta. Pre úplnosť uvedieme, že váha, ktorou nameriame výsledok 3 2 je 1 5, a váha, ktorou nameriame výsledok 5 2 je 4 5. To sú samozrejme výsledky vyjadrené kvantovými číslami. Fyzikálne hodnoty sú možné teda dve a sú to J = 2 2, 7 2 2

121 116 alebo číselne J = 2, Js alebo J = 3, Js. Priemerná hodnota J z mnohých meraní potom je (len pre úplnosť) J = 1 5 2, Js , Js = 2, Js. 5.3 Pauliho vylučovací princíp Pauliho vylučovací princíp Mnoho elektrónové atómy majú v elektrónovom obale viac, než jeden elektrón. Ani Bohrov, ani Bohrov-Sommerfeldov model atómu nedáva odpoveď na otázku, ako vypadajú trajektórie elektrónov a energie elektrónov v takýchto systémoch. Moseleyho zákon dal určitú (síce nie príliš jasnú) odpoveď na túto otázku. Ukázalo sa, že všetky atómy majú na trajektórii, ktorá je najbližšie k jadru atómu maximálne dva elektróny. Poukázala aj na skutočnosť, že na druhej najbližšej trajektórii je viac elektrónov a ich počet by sa mohol pohybovať okolo 6. Presnejšie povedané, približne 6 elektrónov obieha jadro v rovnakej vzdialenosti a vytvára druhú najbližšiu vrstvu k jadru atómu. Pri skúmaní spektrálnych čiar atómov sa ukázalo, že vonkajšie magnetické pole spôsobuje tzv. rozštiepenie spektrálnych čiar. Pod rozštiepením rozumieme jav, keď pôvodná spektrálna čiara sa premení na sériu veľmi blízkych čiar v spektre atómu. Miera, v akej sú tieto čiary od seba vzdialené je úmerné intenzite magnetického poľa, ktoré toto rozštiepenie spôsobuje. Týmito nástrojmi sa dospelo k poznaniu, že v každom atóme sa nachádza vždy len jeden elektrón v danom pohybovom stave. Toto poznanie vyslovíme ako Pauliho vylučovací princíp. V atóme sa nenachádzajú dva elektróny, ktoré by mali všetky štyri kvantové čísla (hlavné, vedľajšie, magnetické a spinové) rovnaké. Poznámka 5.9. Moderná kvantová mechanika formuluje Pauliho vylučovací princíp iným spôsobom. Mnohé skúsenosti z experimentov ukázali, že Pauliho vylučovací princíp sa neobmedzuje na elektróny v elektrónovom obale atómov. Ako sme už uviedli, pohybový stav častíc sa dá (hlavne vo viazaných systémoch) charakterizovať jednoznačne kvantovými číslami. Pauliho vylučovací

122 117 princíp hovorí, že v jednej a tej istej časti priestoru sa v tom istom okamihu nemôžu nachádzať dva identické fermióny v rovnakom pohybovom stave. Identickými časticami sa rozumejú častice, rovnakého druhu. Napriklad dva elektróny sú identické. Neexistuje spôsob, akým by sme elektrón označili a neskôr ho vedeli na základe tohoto označenia rozpoznať od iných elektrónov. Dva protóny sú tiež identické a podobne dva neutróny, či dva fotóny a podobne. Protón a neutrón však už netvorí dvojicu identických častíc. Častice, ktoré sa riadia Pauliho vylučovacím princípom, sa nazývajú fermióny a ich spin je vždy polocelý. Fermiónmi sú napríklad elektrón, protón, neutrón, kvarky (s = 1 2 ) Častice, ktoré sa neriadia Pauliho vylučovacím princípom, sa nazývajú bozóny a ich spin je vždy celý. Bozóny v rovnakom pohybovom stave sa môžu nachádzať v tej istej časti priestoru. Bozónom je napríklad fotón (s = 1). Príkladom odlišného správania sa fermiónov a bozónov môže byť nasledujúci. Ak skrížime svetelný lúč dvoch bateriek, lúče prenikajú cez seba a nerušene pokračujú vo svojej ceste. Vysvetlením je, že svetlo sa skladá z fotónov a fotón má spin 1 (je bozón). To isté nemôžeme urobiť s dvomi prúdmi vody striekajúcich z hadíc. Ak tieto prúdy skrížime, prúdy vody cez seba neprenikajú, ale roztrieštia sa na kvapky letiace na všetky možné strany. Vysvetlením je, že voda sa skladá atómov a tie zase z elektrónov a protónov, čo sú fermióny. V špeciálnych prípadoch sa aj atómy, či pár elektrónov môže začať chovať ako bozóny a je s tým spojených niekoľko skutočne kurióznych javov (supratekutosť, supravodivosť). Príklad Za určitých špecifických podmienok sa v kryštále môže vytvoriť pevná väzba medzi dvojicou elektrónov (Cooperove páry). Nech ich orbitálny moment hybnosti je pritom nulový. Táto dvojica sa správa ako jediná častica. Aký môže byť spin tejto častice? Riešenie. Označme spin prvého elektrónu s (1) a spin druhého s (2) máme na mysli kvantové číslo veľkosti spinu. Nakoľko orbitálny moment hybnosti nevstupuje do celkového momentu hybnosti dvojice elektrónov, výsledné kvantové číslo j momentu hybnosti dvojice elektrónov bude 3 j = s (1) s (2) = 0, s (1) +s (2) = 1. Výsledkom merania momentu hybnosti tejto dvojice viazaných elektrónov bude 0 alebo 1. Tak či tak, sa budú chovať ako bozón.

123 118

124 Kapitola 6 Mnoho elektrónové systémy Mnoho elektrónové systémy sa v klasickej teórii nedali vyriešiť. Napriek tomu, že teoretické úspechy sa dosiahli čiastočne až v novej kvantovej teórii, experimentálne pozorovania umožnili klasifikáciu a rozpoznanie kvantových stavov aj v prípade mnoho elektrónových atómov (definovaných v termínoch rozpoznaných u vodíkového atómu, tj. atómu s jediným elektrónom). Hlavným prínosom Bohrovho modelu atómu vodíka, a nasledujúcich experimentov (Moseley, Franck-Hertz), bolo pochopenie faktu, že atóm má kvantovanú energiu. Má ju nezávisle na počte elektrónov v elektrónovom obale. Ako treba rozumieť tejto vete? Elektróny v elektrónovom obale sa nemôžu nachádzať v ľubovoľnom pohybovom stave (na ľubovoľných trajektóriách), len na trajektóriách určených štvoricou kvantových čísiel (n,l,m,s). Tieto kvantové čísla boli zdôvodnené pre atóm vodík s jedným elektrónom. V atómoch, v ktorých je elektrónovom obale viac elektrónov, sa elektróny budú pohybovať iným spôsobom, budú mať (viac alebo menej) odlišné trajektórie než jediný atóm v atóme vodíka, predsa sa ich trajektórie (každého jedného elektrónu) dajú charakterizovať znova štvoricou kvantových čísiel n, l, m, s. Ak atóm má v elektrónovom obale viac elektrónov, nenachádzajú sa tam dva elektróny s rovnakou štvoricou kvantových čísiel (Pauliho vylučovací princíp). Ak je stav každého elektrónu daný štvoricou jeho kvantových čísiel, aj energia atómu bude kvantovaná, lebo jeho energia je daná súčtom kvantovaných energií elektrónov v jeho elektrónovom obale. Bohrov model atómu dáva síce dobré výsledky pre vodíku podobné atómy, ale predsa len približné. Exaktné riešenie, ktoré počíta aj s relativistickými efektmi, a je výsledkom modernej kvantovej mechaniky, má komplikovanejší tvar 119

125 120 E n,j = ( 1+ m e c 2 n (j+ 1 2 )+ Zα (j+ 1 2 )2 (Zα) 2 ) 2, (6.1) kde n je hlavné kvantové číslo, j kvantové číslo celkového momentu hybnosti elektrónu a α = e2 4πε 0 c 1 137, (6.2) ktorá sa nazýva konštantou jemnej štruktúry. Energia E n,j je relativistická celková energia elektrónu, teda obsahuje aj pokojovú energiu m e c 2 elektrónu. Tento vzťah je výsledkom Diracovej teórie a presahuje rámec fyziky mikrosveta. Ako sme už povedali, predstavuje relativistické riešenie atómu vodíka, ktoré pochádza od Diraca. Poznámka 6.1. Pozorný čitateľ si oprávnene kladie otázku, či v Diracovej formule sa nemá namiesto hmotnosti elektrónm e uvažovať redukovaná hmotnosť µ X = m e m X /(m e +m X )? Odpoveď znie, že aj v Diracovej teórii sa musí zobrať do úvahy konečná hmotnosť jadra atómu. Na druhú stranu však treba poznamenať, že v Diracovej teórii nemôžeme zaviesť redukovanú hmotnosť spôsobom, akým sa robila v nerelativistickej fyzike. Pohyb zvyšuje hmotnosť elektrónu i jadra (relativistický efekt), kým väzbová energia znižuje hmotnosť celkového atómu je to teda komplikovaná záležitosť. S touto otázkou sa zaoberá kvantová elektrodynamika a stručný popis uvažovaných korekcií (vrátane odkazov na pôvodné zdroje) možno nájsť v [5]. Pre naše účely však bude plne vyhovovať korekcia zavedená ako v nerelativistickej fyzike, tj. náhrada hmotnosti elektrónu m e s redukovanou hmotnosťou µ X = m e m X /(m e +m X ). Zdôvodníme to nasledovne. 1. Bohrov i Bohrov-Sommerfeldov model atómu je nerelativistickým priblížením Diracovej formule, Diracova formula dáva len veľmi málo odlišné výsledky. V Bohrovom a Bohrovom-Sommerfeldovom modeli je zámena dobre opodstatnená a dá sa očakávať, že bude dobre slúžiť aj v Diracovom modeli. 2. Z Bohrovho odvodenia vieme, že kinetická energia elektrónu vo viazanom stave je rovná polovici väzbovej energie (až na znamienko kinetická energia je kladná). V prípade vodíkového atómu je táto energia rádovo E kin 10 ev. Relativistická hmotnosť elektrónu m e,rel od nerelativistickej m e sa líši o kinetickú energiu E kin spôsobom m e,rel c 2 = m e c 2 +E kin.

126 121 Pokojová energia elektrónu jem e c 2 = 511 kev. V prípade atómu vodíka teda relativistická korekcia nie je významná. Diracov model svoje prednosti ukázal v správnom započítaní elektromagnetickej interakcie. Diracov vzťah uvádzame z dvoch dôvodov. 1. Prvým z nich je, že dokazuje, Bohrove výsledky sú nerelativistické výsledky pre atóm vodíka. Môžeme sa o tom presvedčiť z rozvoja (6.1) nasledovne. Relativistická energia elektrónu E n,j zhŕňa v sebe aj jeho pokojovú energiu m e c 2, rozvoj robíme pre ich rozdiel využitím Diracovho relativistického vzťahu (6.1) a pomocného vzťahu (1+x) 1/ x+ 3 8 x2 s nasledujúcim výsledkom E n,j m e c 2. m e c 2 (αz) 2 = 2n 2 m ec 2 (αz) 4 2n 3 ( 1 j ) 3. (6.3) 4n Korekcia je v súlade s korekciou, ktorú dal Sommerfeldov-Bohrov model atómu vodíka. Obidva výsledky sú však len priblížením exaktného Diracovho výsledku (6.1). Prvý člen rozvoja predstavuje Bohrov výsledok (energiu termu s hlavným kvantovým číslom n) pre vodíku podobný atóm. Druhý člen je korekciou a za ním nasledujú ďalšie korekčné členy, ktoré predstavujú len malú korekciu. 2. Druhým dôvodom je, že z relativistického vzťahu (6.1), ktorý je exaktné relativistické riešenie, jasne vidíme: energia elektrónu závisí od dvojice kvantových čísiel. Hlavného kvantového čísla n a celkového momentu hybnosti elektrónu j. Inými slovami, elektrón v atóme vodíka bude mať rovnakú energiu v dvoch odlišných stavoch, pokiaľ v týchto dvoch stavoch bude mať rovnaké hlavné kvantové číslo n a rovnaké kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti j. Táto zjednodušená závislosť energie termov na dvojici kvantový čísiel mala zásadný vplyv na tzv. spektroskopické značenie orbitálov elektrónov v atóme vodíka, ale tiež v mnohoelektrónových systémoch. 6.1 Orbitály V Bohrovom modeli atómu sa elektróny pohybovali po kružnicových trajektóriach. Elektróny s rovnakým hlavným kvantovým číslom n mali rovnaký polomer trajektórie (kružnice), a tiež rovnakú energiu.

127 122 V Bohrovom-Sommerfeldovom modeli sa elektróny mohli pohybovať aj po eliptických trajektóriach a príslušné trajektórie sa od seba líšili popri hlavnom kvantovom čísle n aj vedľajším kvantovým číslom l. Hlavné kvantové číslo určovalo veľkosť veľkej polosy eliptickej trajektórie, kým l určil jej excentricitu (mieru sploštilosti ). Postupné pochopenie fyziky na mikroskopickej úrovni viedlo k tomu, že pohybový stav elektrónu sa popisoval (a popisuje) skôr kvantovými číslami, než parametrami, ktoré dávajú predstavu o trajektórii elektrónu v atóme v termínoch klasickej fyziky. Triedenie pohybových stavov elektrónu pomocou kvantových čísiel sa tradične odvíja od tzv. spektroskopického značenia, systematizácie vyvinutého z pozorovania spektrálnych čiar žiarenia atómov (akými boli napríklad Lymanova, Balmerova a iné série). Hovoríme o triedení, z toho dôvodu, že spektroskopické značenie nerozlíši všetky možné stavy elektrónu, nakoľko nevyužíva všetky štyri kvantové čísla. Inými slovami, jedna trieda v sebe zahŕňa viac kvantových stavov (charakterizovaných odlišnými štvoricami kvantových čísiel). Z hľadiska spektroskopických pozorovaní však stavy v jednej triede majú veľmi podobnú energiu. Ich energia sa dokázala rozpoznať až rozvojom meracích aparatúr a metód pozorovania. Všeobecný tvar značenia má tvar nl j, (6.4) kde n je hlavné kvantové číslo, l je vedľajšie kvantové číslo a j je kvantové číslo veľkosti celkového momentu hybnosti elektrónu (tj. orbitálneho momentu hybnosti a spinu elektrónu spolu). Spektroskopické značenie zavádza písmenné značenie vedľajšieho kvantového čísla podľa tabuľky l spektroskopické značenie s p d f g h i k l m n o q... Tabuľka 6.1: Spektroskopické značenie vedľajšieho kvantového čísla. Prvé štyri písmenné značenia sa odvinuli vyslovene z pozorovania s sharp (ostrý), p principal (hlavný, základný), d diffuse (difúzny), f fundamental (základný). Ostatné značenia pokračovali v abecednom poradí (vynechaním j a už použitého p) pozri [10] (druhé vydanie je dostupné voľne na adrese 2ed.pdf). Poznámka 6.2. Pojem orbitál je možné použiť vo viacerých významoch. V literatúre sa môžeme stretnúť až tromi možnými spôsobmi použitia termínu.

128 Dva elektróny sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnaké kvantové čísla n,l,l 3. V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite (v uvedenom význame) najviac Dva elektróny sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnaké kvantové čísla n, l, j. V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite (v uvedenom význame) aspoň 2 (pozri nasledujúce príklady). 3. Dva atómy sú v atóme na tej istej orbite, pokiaľ majú rovnaké kvantové čísla n,l a sú superpozíciou stavov s kvantovým číslom l 3 = ±k (k = 1,2,...,l). V jednom atóme ich môže byť na jednej orbite (v uvedenom význame) najviac 2. Posledný význam orbity chce ďalšie vysvetlenie, ktoré sa opiera o modernú kvantovú mechaniku. Kvantový svet má tú vlastnosť, že pokiaľ elektrón môže existovať v dvoch rôznych stavoch, označme ich A a B, potom sa môže nachádzať aj v stave C, ktorý je nejakou superpozíciou stavov A a B. S termínom superpozície sa v klasickej fyzike stretneme pri skladaní vlnení, keď sa zložia dve rôzne vlnenia do jedného výsledného (superponovaného) vlnenia. K fyzikálnemu významu kvantovomechanickej superpozície sa vrátime neskôr. Termín orbitál budeme používať hlavne v prvých dvoch významoch a konkrétny význam bude zrejmý z kontextu. Príklad 6.3. Čo môžete povedať o kvantových číslach elektrónu (elektrónov) na orbite 1s 1/2? Riešenie. Úlohou je určiť všetky možné kombinácie štvorice kvantových čísiel elektrónu, ktoré vyhovujú zadaniu. Štvorica kvantových čísiel jen,l,m,s 3, čo môžeme písať tiež ako n,l,l 3,s 3, nakoľko magnetické kvantové číslo m nie je nič iné (ako sme povedali), než kvantové číslo l 3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L. 6 Hlavné kvantové číslo n = 1. Vedľajšie kvantové číslo l = 0. Magnetické kvantové číslo m (tj. l 3 ) a spinové kvantové číslo s 3. Pre kvantové čísla tretích zložiek momentu hybnosti máme dané nerovnosti l 3 l, tj.l 3 = l, l+1,...,l 1,l

129 124 a s 3 s, tj.s 3 = s, s+1,...,s 1,s. Vo všeobecnosti dospejeme k sérii možných hodnôt, v našom prípade pre l 3 dostávame číslo jediné l 3 = 0, a pre s 3 (vždy) dvojicu možných hodnôt s 3 = 1 2,+1 2. Tieto hodnoty l 3 a s 3 musíme skombinovať tak, aby obdržané hodnoty j 3 boli dovolené reláciou j 3 j, tj. j 3 = j, j +1,...,j 1,j. Ako sme uviedli, l 3,s 3 a j 3 sú kvantové čísla tretích zložiek L,S a J, kde L je orbitálny moment hybnosti elektrónu, S je spin (vlastný moment hybnosti) elektrónu a J je celkový moment hybnosti elektrónu, teda J = L+S. Pre kvantové čísla tretích zložiek platí rovnosť 1 j 3 = l 3 +s 3. (6.5) Trojica kvantových čísiel l 3,j 3 a s 3 teda nie sú od seba nezávislé, spája ich relácia (6.5) a vyššie získané možnosti môžeme prehľadne uviesť v tabuľke j 3 l Tabuľka 6.2: V prvom riadku tabuľky sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla l 3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L elektrónu, kým v prvom stĺpci sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla j 3 tretej zložky celkového momentu hybnosti J elektrónu. V zvyšnej časti sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla s 3 spinu S elektrónu, aby bola splnená nutná podmienka j 3 = l 3 +s 3. 1 Pripomíname, že pre kvantové čísla veľkostí l,s,j platí nerovnosť l s j l+s, tj. 1 2 j 1 2.

130 125 Na orbite 1s 1/2 môžu byť elektróny v dvoch odlišných stavoch. Štvorice kvantových čísiel sú n = 1,l = 0,m = l 3 = 0 a s 3 = +1/2 alebo s 3 = 1/2. Poznámka 6.4. Pripomíname, že tučné symboly (L, J, S) označovali vektorové (fyzikálne) veličiny, kýml,j,s ich veľkosti. Veľké symboly (L 3,J 3,S 3 ) označujú označujú tretie zložky fyzikálnych veličín, kým malé symboly (l 3,j 3,s 3 ) príslušné kvantové čísla. V prípade kvantových čísiel momentov hybností sme sa nestretli s tučnými symbolmi, nakoľko meraním sa dá určiť len jedna z nich (tú označujeme podľa dohody ako tretiu zložku). Nezávisle od jednej zložky sa dá určiť ešte kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti táto vlastnosť je typická pre moment hybnosti. Každá fyzikálna veličina môže mať takéto zvláštnosti (ale nemusí). V kvantovej mechanike sa môžeme stretnúť s kvantovaním hybnosti elektrónu uzavretého v krabici. Kvantové čísla každej zložky hybnosti sa dajú určiť, nie len jedna, či dve zložky. Príklad 6.5. Čo viete povedať o elektrónoch na orbite 3d 3/2? Riešenie. Hlavné kvantové číslo n elektrónov je n = 3. 6 Vedľajšie kvantové číslo l elektrónov je l = 2. magnetické kvantové číslo a spin. Kvantové číslo j veľkosti celkového momentu hybnosti je j = 3/2. Z uvedený veľkostí, vieme určiť možné hodnoty kvantového čísla l 3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti, aj j 3 kvantového čísla tretej zložky celkového momentu hybnosti. l 3 = 2, 1,0,+1,+2, j 3 = 3 2, 1 2,+1 2,+3 2. Pre tretiu zložku spinu (s 3 ) elektrónu platí stále s 3 = 1 2,+1 2. Uvedieme maximálnu možnú informáciu o tretích zložkách jednotlivých kvantových čísiel využitím j 3 = l 3 +s 3.

131 126 Výsledok možností pre orbitu 3d 3/2 zhrnieme do nasledujúcej tabuľky j 3 l Tabuľka 6.3: V prvom riadku tabuľky sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla l 3 tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L elektrónu, kým v prvom stĺpci sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla j 3 tretej zložky celkového momentu hybnosti J elektrónu. V zvyšnej časti sú uvedené prípustné hodnoty kvantového čísla s 3 spinu S elektrónu, aby bola splnená nutná podmienka j 3 = l 3 + s 3. napríklad v tretom riadku nachádzame údaje k j 3 = 1/2. V treťom stĺpci (l 3 = 1) tohoto riadku je uvedené +1/2 (tj. s 3 = +1/2), lebo j 3 = 1/2 = 1 + 1/2. Vo štvrtom stĺpci (l 3 = 0) je 1/2 (tj. s 3 = 1/2,) lebo 1/2 = 0 1/2. Vidíme, že na orbite 3d 3/2 sa elektrón môže nachádzať celkom v ôsmich rôznych stavoch (rozlíšených aspoň hodnotou jedného kvantového čísla Pauliho vylučovací princíp). Možnosti zhŕňa tabuľka Príklad 6.6. V koľkých odlišných stavoch sa môže nachádzať elektrón na orbite 4d 3/2? Riešenie. V ôsmich, rovnako ako na orbite 3d 3/2. Hlavné kvantové číslo nehrá úlohu v otázke. Všetko je určené kvantovými číslami j a l. (Pozri riešenie predchádzajúcej úlohy.) Podvrstva Stáva sa, že pri orbite sa nezadá celkový moment hybnosti j (máme na mysli samozrejme kvantové číslo). Povie sa napríklad elektróny na podvrstve 2p, alebo tiež elektróny na 2p vrstve. Tým sa myslia všetky možné elektróny, ktoré majú rovnaké hlavné kvantové číslo n a vedľajšie kvantové číslo (veľkosť orbitálneho momentu hybnosti) l. Na danej podvrstve sú elektróny na rôznych orbitách (líšiacich sa kvantovým číslom j). Zo skladania momentov hybností vieme, že pre kvantové čísla veľkostí momentov hybností platí l s j l+s, tj. j = l s, l s +1,...l+s 1,l +s.

132 127 Veľkosť spinu elektrónu je však vždys = + 1 2, preto predchádzajúcu nerovnosť môžeme písať nasledovne l 1 2 j l+ 1 2, tj. j = l 1 2, l Ak l = 0 máme len jednu hodnotu pre j a to j = + 1 2, pre (l = 0) pokiaľ l > 0, teda l = 1,2,..., potom sú možné dve hodnoty j = l 1 2,l pre l = 1,2,... Príklad 6.7. Aké sú orbity na podvrstve 2s a aké na podvrstvách 2p a 4d? Riešenie. Na podvrstve 2s je orbitálny moment hybnosti 2 l = 0 a je tu jediná orbita, 2s 1. 2 Na podvrstve 2p je orbitálny moment hybnosti l = 1 a sú tu orbity 2p 1/2 a 2p 3/2. Na podvrstve 4d je orbitálny moment hybnosti l = 2 a sú tu orbity 4d 3/2 a 4d 5/2. V mnoho atómových systémoch je značenie orbít a podvrstiev rovnaké, ako sme uviedli vyššie. V dôsledku Pauliho vylučovacieho princípu na danej podvrstve, či danej orbite môže byť len konečný počet elektrónov, nakoľko sa musia líšiť aspoň v jednom z kvantových čísiel. Počet elektrónov r na danej orbite, či podvrstve, je zvykom značiť pravým horným indexom nad spektroskopickou značkou momentu hybnosti l. Napríklad, skutočnosť, že na podvrstve 1s máme dva elektróny, značíme 1s 2. Maximálny počet elektrónov na danej podvrstve je 2(2l +1), kde l je vedľajšie kvantové číslo. Ak na danej podvrstve je maximálny počet elektrónov, povieme, že podvrstva je uzavretá. Maximálny počet na jednotlivých podvrstvách uvedieme v nasledujúcej tabuľke 2 Máme samozrejme na mysli kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti využili sme možnosti žargónu, lebo z kontextu je zrejmé, že máme na mysli kvantové čísla a nie fyzikálnu veličinu samotnú. Ďalej už nebudeme tieto samozrejmosti komentovať. 4 pod- uzavretá vrstva

133 128 l spektroskopické značenie max. počet elektrónov s p d f g h i k l Tabuľka 6.4: Počet elektrónov na uzavretých podvrstvách daného typu. Hlavné kvantové čísla neuvádzame, nakoľko maximálny počet elektrónov na podvrstvách 1s, 2s, 3s,... je rovnaký, rovný 2. Obdobne pre 2p,3p,4p,... je maximálny počet elektrónov rovný 6, atď Vrstva Vrstvou sa rozumie súbor tých podvrstiev, ktoré majú rovnaké hlavné kvantové číslo n. Prvú vrstvu teda tvorí sama o sebe podvrstva 1s (n = 1). Nasledujúcu vrstvu (n = 2) tvoria podvrstvy spolu 2s a 2p. Tretia vrstva (n = 3) je tvorená podvrstvami 3s,3p a 3d. Mohli by sme pokračovať ďalej obdobným spôsobom. Pre vrstvy sa zavádza spektroskopické označenie, s ktorým sme sa stretli v prípade Moseley-ho zákona. Uvádzame ich v nasledujúcej tabuľke n spektroskopické značenie max. počet elektrónov K L M N O P Q R Tabuľka 6.5: Maximálny počet elektrónov na vrstve je 2n 2. Poznámka 6.8. Z terminológického hľadiska hovoríme o vrstvách a podvrstvách, alebo len o vrstvách, potom ale povieme K vrstva, L vrstva (tj. vrstvy, K,L,... ), alebo s vrstva, p vrstva (tj. podvrstvy s,p,...). 6.2 Degenerácia energetických hladín Ak máme vo vodíkovom atóme k odlišných stavov (teda líšiacich sa aspoň jedným zo štvorice kvantových čísiel), ku ktorým prislúcha rovnaká energia

134 129 E elektrónu (presnejšie atómu), potom hovoríme, že energia E je k násobne degenerovaná Degenerácia v Bohrovom modeli atómu V Bohrovom modeli atómu sa líšili svojou energiou len stavy, ktoré sa líšili práve v hlavnom kvantovom čísle n. Príklad 6.9. Koľko násobne je degenerovaná energia E 2 vodíkového atómu v Bohrovom modeli atómu, ak vieme, že platí Pauliho vylučovací princíp? Riešenie. Inými slovami otázka znie, koľko štvoríc kvantových čísiel je možných, ak hlavné kvantové číslo je n = 2. Pre n = 2 vedľajšie kvantové číslo môže nadobúdať len hodnoty l = 0,1. Pre l = 0 môže byť magnetické kvantové číslo len m = 0. Pre l = 1 magnetické kvantové číslo môže nadobudnúť hodnoty m = 1,0,+1. V každej z týchto štyroch možností môže spinové kvantové číslo mať hodnoty s 3 = 1/2 a s 3 = +1/2. Počet všetkých možností je teda 8 (pozri tiež tabuľku 5.2 na strane 109). Energia E 2 vodíkového atómu je degenerovaná v Bohrovom modeli atómu 8 násobne. Príklad Koľko násobne je degenerovaná energia E n vodíkového atómu v Bohrovom modeli atómu, ak vieme, že platí Pauliho vylučovací princíp? Riešenie. Počet odlišných stavov s pevne danou trojicou kvantových čísiel n,l,m je 2 (s 3 = 1/2 a s 3 = +1/2). Počet stavov s pevne danou dvojicou kvantových čísiel n,l je 3 3 +l m= l 2 = 2(2l +1). Počet odlišných stavov s pevne daným kvantovým číslom n je n 1 2(2l +1) = 4 l=0 n l=0 n 1 l+2 l=0 1 = 4 n(n 1) 2 +2n = 2n 2. Energia E n je V Bohrovom modeli atómu degenerovaná 2n 2 násobne. Vidíme, že v Bohrovom modeli atómu sú degenerované tie energetické hladiny (termy), ktoré patria do tej istej hlavnej vrstvy.

135 Degenerácia v pokročilejších modeloch Pokiaľ pozorovacie prístroje, napríklad optický spektrometer nemá rozlíšenie lepšie, než 0, 02 nm, v prípade atómu vodíka nedokážeme rozpoznať, že spektrálne čiary Balmerovej série majú jemnejšiu štruktúru (pozri experimentálne hodnoty v tabuľke 5.1 na strane 100). Pokiaľ však rozlišovacia schopnosť spektroskopu dostane pod hranicu 0,01 nm, jemná štruktúra čiar Balmerovej série sa stanú zrejmými. Zrovna tak zrejmým sa stane potreba nového modelu k vysvetleniu jemnejších štruktúr. Nové modely berú do úvahy viac a viac okolností a vlastností modelovaného systému (v tomto prípade atómu vodíka). Postupným zlepšovaním experimentálnych prístrojov a metód sa tento cyklus neustále opakuje, preto je pochopiteľné, že otázka degenerácie energetických haldín silne závisí od pokročilosti experimentov. Po teoretickej stránke zase i modely predpovedajú degeneráciu energetických hladín v závislosti od vlastností, ktoré zobrali do úvahy. Bohrov-Sommerfeldov model atómu Bohrovmu modelu atómu sme sa už venovali v predchádzajúcom paragrafe. Pozrime sa pre zaujímavosť na predpoveď Bohrovho-Sommerfeldovho modelu atómu. Energia elektrónu v atóme vodíka závisí nie len od hlavného kvantového čísla n, ale aj od vedľajšieho kvantového čísla l, ako to dobre ukazuje aj príslušný vzťah Bohrovho-Sommerfeldovho atómu E (B-S) n,l = µ Xc 2 (αz) 2 2n 2 [1 α 2Z2 n 2 ( n l kde µ X je redukovaná hmotnosť elektrónu v atóme s jadrom X µ X = m e M X M X +m e ( m e ), )], (6.6) M X je hmotnosť atómu (vodíka alebo vodíku podobného atómu). Z tohoto vzťahu jasne vidíme, že elektrón má rovnakú energiu na podvrstvách. Inými slovami, elektrón v stavoch s kvantovými číslami, ktoré majú rovnakú hodnotu hlavného kvantového čísla n a vedľajšieho kvantového čísla l, sú rovnaké. Stupeň degenerácie je 2(2l +1). Pri porovnaní predpovede Bohrovho a Bohrovho-Sommerfeldovho modelu spektrálnych čiar zistíme, že presnosť oboch modelov je približne rovnaká.

136 131 Rozdiel je v predpovedi počtu spektrálnych čiar vodíkového atómu. Určitým spôsobom sa jedná teda o pokrok (pozri tabuľku 6.6). Situácia je podobná, keď porovnáme hodnoty pre energetické hladiny vodíkového atómu (pozri tabuľku 6.7). V oboch prípadoch predstavuje Diracov model atómu vodíka výrazný pokrok. prechod z m na n λ (r) Bohr /nm λ(r) B-S /nm λ(r) D /nm λ exp/nm 3d 3/2 2p 1/2 656, , , , p 3/2 2s 1/2 656, , , s 1/2 2p 1/2 656, , , p 1/2 2s 1/2 656, , , d 5/2 2p 3/2 656, , , d 3/2 2p 3/2 656, , , s 1/2 2p 3/2 656, , , d 3/2 2p 1/2 486, , , , p 3/2 2s 1/2 486, , , s 1/2 2p 1/2 486, , , p 1/2 2s 1/2 486, , , d 5/2 2p 3/2 486, , , d 3/2 2p 3/2 486, , , s 1/2 2p 3/2 486, , , d 3/2 2p 1/2 434, , , , s 1/2 2p 1/2 434, , , p 3/2 2s 1/2 434, , , p 1/2 2s 1/2 434, , , d 5/2 2p 3/2 434, , , d 3/2 2p 3/2 434, , , s 1/2 2p 3/2 434, , , Tabuľka 6.6: Porovnanie teoretických výsledkov Bohrovho, Bohrovho-Sommerfeldovho a Diracovho relativistického modelu o vlnových dĺžkach vodíkom vyžiareného svetla. Vo všetkých prípadoch sa počítalo s redukovanou hmotnosťou elektrónu (vrátane Diracovho modelu). Rôzne modely predpovedajú rôzne degenerácie. Je dobre vidieť, že Diracov model popisuje experimentálne údaje výrazne úspešnejšie, než Bohrov, alebo Bohrov- Sommerfeldov model. Zmenšeným a skoseným typom písma sme zvýraznili časť, ktorá sa líši od experimentálnych údajov. Experimentálne údaje sú čerpané z [9] a predstavujú merania vykonané vo vákuu. Výsledky ukazujú, že použitie redukovanej hmotnosti v Diracovej formuli je opodstatnená a tiež to, že prednosti Diracovej formule spočívajú v správnom započítaní elektromagnetickej interakcie medzi elektrickým nábojom elektrónu a elektrickým nábojom jadra atómu.

137 132 Diracov model atómu Diracov model atómu je relativistickým modelom atómu vodíka. Ak sa pozrieme na vlnovú dĺžku spektrálnych čiar atómu vodíka v tabuľke 6.6 vidíme, že zhoda s experimentálnymi údajmi je výrazne lepšia než u Bohrovho alebo Bohrovho-Sommerfeldovho modelu atómu (10 až 100 krát). Diracov model atómu pritom vychádza z predstavy, že energia elektrónu vo vodíkovom atómu má tvar E = mc 2 k r, kde m je relativistická hmotnosť elektrónu, teda mc 2 = m e c 2 +E kin, kde m e je pokojová hmotnosť elektrónu. Naviac, Dirac riešil problém pomocou modernej kvantovej mechaniky, ktorá však presahuje rámec nášho výkladu. Veľmi poučné však je, ak sa pozrieme na energiu elektrónu na jednotlivých orbitáloch (pozri tab. 6.7). Pri porovnaní Diracovho modelu s experimentálnymi údajmi si môžeme všimnúť dve veci 1. Vzďaľujúc sa od jadra (stavy s rastúcim hlavným kvantovým číslom n), zhoda medzi Diracovim modelom a experimentálnymi údajmi sa zlepšuje. 2. Zhoda s experimentálnymi údajmi sa zlepšuje aj so zvyšujúcim sa momentom hybnosti J elektrónu. 3. Najhoršia zhoda medzi modelovou predpoveďou a experimentálnymi údajmi je vždy pre orbitály s. Energia elektrónu na s orbitách je rovnaká, ako na p orbitách. 4. pozorované energetické hladiny sú degenerované len vzhľadom na priemet spinu elektrónu (teda je dvojnásobná). Spin-orbitálna väzba Uvedená systematičnosť odchýlky Diracovho modelu od experimentálnych údajov ukazuje na fyzikálnu príčinu. Diracov model neberie do úvahy niektoré fyzikálne vlastnosti elektrónu a jadra atómu. Elektrón má magnetický moment, ktorý keď sa pohybuje v elektrickom poli jadra, vzniká silové pôsobenie, presnejšie interakcia, ktorá

138 133 modifikuje energiu elektrónu. Tento jav sa nazýva spin-orbitálna väzba a je úmerná skalárnemu súčinu spinu S elektrónu (ktorý predstavuje magnetické vlastnosti elektrónu) a celkového momentu hybnosti elektrónu J (ktorý predstavuje spôsob pohybu elektrónu v elektrickom poli jadra), tj. S J. Energia tejto väzby je tiež kvantovaná a mení energiu elektrónu o presne danú prídavnú energiu v závislosti na vzájomnej orientácii spinu a momentu hybnosti elektrónu. Tým sa narúša degenerácia v Diracovom modeli atómu. pripomíname, že v Diracovom modeli energia napr. orbít 2p 1/2 a 2s 1/2 je rovnaká. Z experimentálnych meraní však vidíme, že energia týchto orbít je v skutočnosti rôzna (pozri tabuľku 6.7). Diracov model jav spin-orbitálnej väzby neberie do úvahy. V prípade mnohoelektrónových systémov sa situácia stáva ešte zložitejšia, lebo dochádza aj k interakcii medzi magnetickými momentmi jednotlivých elektrónov pochádzajúcich z ich spinu, a tiež pochádzajúci z ich pohybu (orbitálneho momentu hybnosti). Obdobne, ako elektrón, aj jadro má magnetický moment, tkorý interaguje s magnetickým poľom, ktorý vytvára elektrón pohybujúci sa okolo jadra. Magnetický moment jadra je o tri rády menšia, než magnetický moment elektrónu a spomínaná interakcia modifikuje energiu elektrónu výrazne menej, než vyššie spomenutá spin-orbitálna väzba. Termín hyperjemná štruktúra hovorí o veľmi jemnom rozštiepení energetických hladín. V tabuľke 6.7 uvedené energetické hodnoty sú stále dvojnásobne degenerované (patria tam vždy stavy s dvomi možnými priemetmi spinu, tj. so spinovým kvantovým číslom s 3 = 1/2 a s 3 = +1/2). Hyperjemná štruktúra vzniká dôsledkom toho, že tieto dva stavy nemajú presne rovnakú energiu. Diracov mmodel nepočíta s magnetickým momentom jadra atómu a tento jav nepredpovedá. Elektróny môžu meniť svoj stav aj medzi týmito energeticky blízkimy energetickými stavmi a fotón, ktorý sa pritom emituje má mimoriadne malú energiu. Jeho vlnová dĺžka ktorá vzniká pri prechode medzi rozštiepenými stavmi orbity 1s 1/2 je λ = 21 cm a hrá mimoriadne dôležitú úlohu v astronómii. Na tejto vlnovej dĺžke žiari elektricky neutrálny vodík. Jeho pomocou sa dá zmapovať rozloženie (neutrálnych) vodíkových mračien vo vesmíre. Frekvencia tohoto žiarenia je mimoriadne úzka (ostrá čiara), čo umožňuje určiť využitím Dopplerovho javu relatívny pohyb vodíkových mračien voči pozorovateľovi (voči nám). Lambov 3 posun inicioval rozvoj modernej kvantovej teórie (kvantovej 3 Willis Lamb získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1955 za jeho objavy týkajúce Hyperjemná štruktúra Lambov-posun

139 134 elektrodynamiky). Vysvetlenie Lambovho posunu vyžaduje úplne iné nazeranie na prírodu, než akú ponúka klasická, nekvantová fyzika. Hovorí o tom, že vákuum nie je prázdne. neustále sa v nej objavujú častice a miznú skôr, než by sme ich existenciu mohli zaznamenať. Hovorí sa, že vákuum fluktuuje. Miera tejto fluktuácie vzrastie, ak v blízkosti sa nachádza nejaký objekt (napríklad elektrón, či protón, alebo iný objekt). Vďaka tejto fluktuácii, prítomnosť elektricky nabitých častíc dokáže vákuum polarizovať, akoby bol dielektrikom, čím sa mení energia interakcie medzi elektrónom a protónom. V konečnom dôsledku to má vplyv na energetické hladiny atómov i molekúl. S týtmo javom sa stretneme ešte pri Heisenbergovej relácii neurčitosti. Diracov model bol relativistickým dovŕšením kvantovej mechaniky a jeho problémy predzvesťou novej teórie, kvantovej elektrodynamiky. Ďalším javom, ktorý vplýva na energetické hodnoty v atómoch je skutočnosť, že jadro atómu nie je bodový náboj, ale má rozmer, rozloženie elektrického náboja vo svojom objeme. Podrobnosti o týchto efektoch možno nájsť v [5], ale vysoko presahujú rámec Fyziky mikrosveta. sa jemnej štruktúry spektra vodíkového atómu. Cenu získal spoločne s Polykarp-om Kusch-om.

140 Orbitál nl j Term 2S+1 L E (r) n,bohr /ev E(r) nl,b-s /ev E(r) nj,d /ev 135 E exp/ev 1s 1/2 2 S -13, , , , s 1/2 2 S -3, , , , p 1/2 2 P -3, , , p 3/2 2 P -3, , s 1/2 2 S -1, , , , p 1/2 2 P -1, , , p 3/2 2 P -1, , d 3/2 2 D -1, , , d 5/2 2 D -1, , s 1/2 2 S -0, , , , p 1/2 2 P -0, , , p 3/2 2 P -0, , d 3/2 2 D -0, , , d 5/2 2 D -0, , f 5/2 2 F -0, , , f 7/2 2 F -0, , s 1/2 2 S -0, , , , p 1/2 2 P -0, , , p 3/2 2 P -0, , d 3/2 2 D -0, , , d 5/2 2 D -0, , f 5/2 2 F -0, , , f 7/2 2 F -0, , g 7/2 2 G -0, , , g 9/2 2 G -0, , E (r) n,bohr nl,b-s Tabuľka 6.7: Energia elektrónov na orbitáloch podľa jednotlivých modelov (Bohrov, Bohrov-Sommerfeldov E(r) a Diracov E(r) nj,d ) v porovnaní s experimentálnymi údajmi (experimentálne údaje čerpané z [9]). Všetky modely počítajú s redukovanou hmotnosťou elektrónu. V prípade Bohrovho a Bohrovho Sommerfeldovho modelu sme vynechali opakujúce sa údaje (hodnotu degenerovaných stavov). V prípade Diracovho modelu sme uviedli aj hodnoty pre degenerované stavy (opakujúce sa hodnoty pre rovnaké n a j). Zmenšeným a skoseným typom písma je vyznačená presnosť jednotlivých modelov v porovnaní s experimentálnymi údajmi. Z presnosti je dobre vidieť, že Diracov model pre rastúce hlavné kvantové číslo n a rastúci moment hybnosti j dáva čoraz lepšie výsledky. V druhom stĺpci tabuľky sme uviedli značenie termov používané hlavne pre mnohoelektrónové systémy. Ich všeobecný tvar je 2S+1 L, kde S je kvantové číslo veľkosti celkového spinu S = isi,, kým L je kvantové číslo veľkosti celkového orbitálneho momentu hybnosti L = ili a súčet beží cez všetky elektróny elektrónového obalu atómu v oboch prípadoch. Číslo 2S + 1 udáva multiplicitu termu (koľko elektrónov sa môže nachádzať na danom terme. Číselná hodnota L sa nahrádza písmenným spektroskopickým značením ako v prípade orbitálov, ale veľkým písmenom (tj. S,P,D,F,...). V prípade atómu s jediným elektrónom je táto informácia nadbytočná, nakoľko S sa rovná vždy 1/2 a L má hodnotu kvantového čísla orbitálu, tj. l. V prípade mnohoatómových systémov tomu tak už nie je.)

141 Elektrónová konfigurácia Pri štúdiu vodíku podobných atómov sme sa zoznámili so základnými fyzikálnymi vlastnosťami a základnými pojmami, ktoré sú používané aj u mnohoelektrónových systémoch. Pod mnoho elektrónovými systémami rozumieme atóm, ktorý má vo svojom elektrónovom obale viac než jeden elektrón. Zhrňme tie vlastnosti, ktoré majú mnohoelektrónové systémy spoločné s vodíku podobnými atómami. Atóm (ako celok) sa môže nachádzať v rôznych stavoch, a tieto stavy majú kvantovanú energiu. To znamená, že dva stavy majú buď úplne rovnakú energiu (degenerácia), alebo sa ich energia líši o presne danú konečnú hodnotu. Prechod z energeticky nižšieho do energeticky vyššieho stavu je možné len dodaním príslušného kvanta energie (v podobe jediného fotónu). Jednotlivé elektróny sa dajú charakterizovať štvoricou kvantových čísiel n,l,l 3,s 3. V jednom atóme sa nemôžu nachádzať dva elektróny s rovnakým kvantovým číslom. Elektróny v atómoch sa nachádzajú na orbitách, podvrstvách a vrstvách. Tieto štruktúry sa organizujú podobným spôsobom, akým sme ich objavili vo vodíkovom atóme, aj keď určité odlišnosti tu sú. Elektrónový obal sa skladá z elektrónov, ktoré majú svoj orbitálny moment hybnosti a tiež spin, ktoré spoločne vytvárajú celkový moment hybnosti jednotlivých elektrónov. Na druhú stranu, orbitálny moment hybnosti a spin medzi sebou interagujú, ako tomu bolo už v prípade atómu vodíka. Vysvetlime podrobnejšie v čom táto interakcia spočíva. Výrazne nám v tom pomôže klasická predstava, podľa ktorej elektróny sa v atómovom obale pohybujú po uzavretých trajektóriách. Jedná sa len o vizualizáciu, pomocnú predstavu, ktorá však nemá vplyv na obsah nášho tvrdenia. Elektrón, ktorý obieha rýchlosťou v po kružnicovej trajektórii s polomerom r, generuje magnetické pole. Toto magnetické pole sa dá dobre charakterizovať magnetickým momentom. Magnetický moment hrá v magnetostatike podobnú úlohu, ako elektrický dipól v elektrostatike. Podobne ako elektrický dipól, má magnetický moment nie len veľkosť, ale tiež smer (vektorová veličina). Budeme ho značiť µ. Ak si predstavíme, že magnetické pole

142 137 magnetického dipólu vzniká z pohybu elektrónu po kružnici (tzv. Ampérov moment), potom veľkosť jeho magnetického momentu µ je µ = IS = Q t (πr2 ) = e 2πr v πr 2 = evr 2 = e(m evr) 2m e = e 2m e L, kde S je plocha, ktorú elektrón obieha, I je prúd, ktorý vytvára svojim obiehaním (elektrón má elektrický náboj e, ktorej veľkosť je e). Definičný vzťah sme previedli na vyjadrenie veľkosti magnetického momentu pomocou orbitálneho momentu hybnosti elektrónu. Tento vzťah naviac platí aj v prípade, že trajektória elektrónu je eliptická. Vektorový tvar je µ = e 2m e L. Náš elektrón krúžiaci po svojej trajektórii vytvára magnetické pole, ktoré dokážeme aj popísať, ale pre naše účely je postačujúce konštatovanie, že magnetické pole popisujeme pomocou magnetickej indukcie B, ktoré je v pevne danom mieste (braného voči magnetickému dipólu) lineárne úmerné magnetickému momentu µ B = B µ = µ. Linearitu treba chápať tak, že ak zvýšime magnetický moment na dvojnásobok (napríklad zvýšením momentu hybnosti na dvojnásobok), magnetická indukcia bude v bode, kde sme merali aj predtým, tiež dvojnásobná (smer sa nemení, pokiaľ sme nemenili smer magnetického momentu). Magnetické pole jedného elektrónu (ktorý krúži po kružnici) pôsobí na pohyb iného elektrónu (ktorý krúži tiež po nejakej kružnici). Hovoríme, že na seba vzájomne pôsobia, alebo povieme, že interagujú. Pre naše účely je podstatná energia tejto interakcie. Označme magnetický moment prvého elektrónu µ (1) a magnetický moment druhého elektrónu µ (2). V mieste, kde sa nachádza prvý elektrón, je indukcia magnetického poľa pochádzajúca od druhého elektrónu B (2). Energia interakcie je potom E = µ (1) B (2) = e 2m e L (1) B (2), kde L (1) je orbitálny moment hybnosti prvého elektrónu. Pre prvý elektrón je fyzikálne významným smerom smer B (2) vektora magnetickej indukcie, ktoré pochádza od druhého elektrónu (v mieste, kde je prvý elektrón, samozrejme). Priemet magnetického momentu L (1) na tento

143 138 smer je už spomínanou treťou zložkou orbitálneho momentu hybnosti elektrónu, ktorý označíme L (1) 3. Kvantovanosť znamená, že L (1) 3 = l (1) 3, kde l (1) 3 je kvantové číslo tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti prvého elektrónu, ktoré sme nazývali tiež magnetickým kvantovým číslom. Poznámka Úvahu sme mohli robiť aj pre druhý elektrón v poli prvého elektrónu, čím by sme boli dostali E = B (1) µ (2) = e 2m e B (1) L (2), Nie je preto udivujúce, že energia interakcie sa dá vyjadriť ako E = AL (1) L (2), gyromagnetický faktor elektrónu kde A je koeficient úmernosti, ku ktorému sa vrátime neskôr. Tým sme si vyjasnili na jednoduchom príklade dôvod terminológie, ktorá sa zaviedla pre popis stavov mnohoelektrónových systémov. To, čo sme znázornili na príklade dvoch elektrónov krúžiacich po kružnicových trajektóriách, platí v širšom rámci. Hovorili sme o magnetických poliach vyvolaných pohybom elektrónu (v magnetickom poli sa preto objavil orbitálnym moment hybnosti). Elektrón však má aj spin (vlastný moment hybnosti) a ten je tiež spojený s magnetickým momentom, ktorý nazývame vlastným magnetickým momentom elektrónu 4. Magnetický moment elektrónu sa udáva v tvare q e µ e = g e S, q e = e, 2m e kde S je spin elektrónu a g e je tzv. gyromagnetický faktor elektrónu, a je bezrozmerným číslom. Experimentálne bolo zistené, že gyromagnetický faktor elektrónu je rovný približne 2. 5 Na preklopenie spinu elektrónu vo vonkajšom magnetickom poli B potrebujeme energiu E = g e e 2m e S B = g e e 2m e S 3 B = g e e 2m e B, 4 Prívlastok vlastný ani orbitálny nebudem uvádzať, pokiaľ bude zrejmý z kontextu, že v akom význame hovoríme o magnetickom momente 5 V skutočnosti táto hodnota je dnes známa výrazne presnejšie g e = 2,

144 139 nakoľko jediná možná zmena hodnoty tretej zložky spinu elektrónu je S 3 =. V mnohoelektrónovom systéme máme elektróny, a každý z nich má orbitálny moment hybnosti i spin. Vzájomná interakcia elektrónov, energia tejto interakcie, je tiež kvantovaná. To si môžeme predstaviť tak, že vzájomná orientácia orbitálnych momentov hybností a spinov je v atóme fixovaná. Pri každej zmene energie atómu sa zmení táto vzájomná orientácia. Je zrejmé, že možných kombinácií je veľmi veľa. Zaujímavé však je, že u atómov v základnom stave dominuje takzvaná L-S väzba. Tým sa rozumie, že interakčná energia všetkých elektrónov v obale sa dá vyjadriť v tvare L-S väzba E L S, kde L je výsledný orbitálny moment hybnosti všetkých elektrónov v elektrónovom obale, tj. N L = L (i), i=1 a súčet beží cez orbitálne momenty hybnosti L (i) všetkých N elektrónov. Obdobne S predstavuje výsledný spin všetkých elektrónov v elektrónovom obale, tj. N S = S (i), i=1 a súčet beží cez spiny S (i) všetkých N elektrónov. Z tohto typu väzby (L S) vychádza aj značenie mnohoelektrónových atómov (pozri tabuľku 6.13). Pravda, máme príklad troch atómov, ktoré sa touto väzbou neriadia už ani v základnom stave (Pa, U, Np). Ako sme povedali, vo všeobecnosti, energia elektrónového obalu skladajúca sa z interakcie medzi elektrónmi by musela obsahovať všetky kombinácie medzi i tým a k tým elektrónom (i k), tj. členy L (i) L (k), L (i) S (k) a S (i) S (k). Z týchto kvantovaných veličín sa v základnom stave ustália práve tie, ktoré predstavujú najväčšiu väzbovú energiu (zmena ktorých by vyžiadala dodanie najväčšieho množstva energie). Atómy v základnom stave sa v naprostej väčšine prípadov ustália v stave, v ktorom sa elektróny viažu spomínanou L S väzbou. V prípade Pa, U a Np je však väzba v základnom stave iná. V prípade atómu vodíka sme už spomenuli hyperjemnú štruktúru, kde väzba medzi orbitálnym momentom hybnosti a spinom (jediného) elektrónu je sprostredkovaná elektrickým poľom jadra. V prípade veľmi ťažkých jadier, ktoré pozostávajú z veľkého počtu protónov (akými sú aj aktinoidy), energia väzby

145 140 jj-väzba medzi orbitálnym momentom hybnosti L (i) a spinom S (i) toho istého elektrónu je silná. Dôsledkom je, že orbitálny moment hybnosti a spin elektrónu sa voči sebe fixujú do celkového momentu hybnosti J i. Energia interakcie bude preto daná členmi typu J (j) J(k). Tomuto typu hovoríme jj-väzba. Značenie jj-väzieb presahuje rámec nášho snaženia. Záujemci sa môžu dozvedieť podrobnosti na stránke National Institute of Standards end Technologies (NIST) Poznámka To, čo sme povedali ol S väzbe ajj-väzbe sa dá povedať aj nasledovne. Keď orbitálne momenty a spiny elektrónov sú v atóme dobre pozorovateľné, vzniká L S väzba. Pokiaľ však nie sú samostatne dobre pozorovateľné (obidva sú momenty hybnosti, a príroda nerozlišuje pôvod momentu hybnosti) býva dobre pozorovateľný celkový moment hybnosti elektrónov a vzniká jj-väzba. Keď hovoríme o L S väzbe, magnetický moment pochádzajúci z pohybu elektrónu (úmerný orbitálnemu momentu hybnosti) a magnetický moment pochádzajúci zo spinu toho istého elektrónu (úmerný spinu elektrónu) interagujú relatívne slabo. Okrem toho, elektrón interaguje s ostatnými elektrónmi, a dochádza ku kvantovaniu magnetickej energie pochádzajúcej od pohybu elektrónu samostatne a spinu elektrónu samostatne. Existujú teda kvantové čísla l,l 3 spojené s pohybom, a s,s 3 spojené so spinom elektrónu samostatne. V prípade silnej interakcie medzi pohybom a spinom toho istého elektrónu, interakcia s ostatnými elektrónmi túto väzbu vďaka jej veľkosti a kvantovanosti nevie zmeniť. Magnetická energia pochádzajúca od pohybu a od spinu elektrónu vstupujú vo viazanej podobe. V tejto viazanej podobe sa kvantuje interakcia s ostatnými elektrónmi a dá sa popísať kvantovými číslami j,j 3 celkového momentu hybnosti. V kvantovej mechanike sa hovorí, že kvantové čísla orbitálneho momentu hybnosti l,l 3 a spinu s,s 3 elektrónu prestávajú byť dobrými kvantovými číslami. V prípade, že v atómoch sa uplatňuje L S väzba, pre popis ich termov sa používa analogická konvencia, ako pre označenie termov elektrónu vo vodíkovom atóme n 2S+1 L J, (6.7) kde n je hlavné kvantové číslo (nezaplnenej vrstvy), S je kvantové číslo veľkosti súhrnného spinu všetkých elektrónov elektrónového obalu, L je kvantové číslo veľkosti súhrnného orbitálneho momentu hybnosti všetkých elektrónov elektrónového obalu a J kvantové číslo veľkosti súhrnného celkového momentu hybnosti všetkých elektrónov elektrónového obalu.

146 141 1s 2s 2p 3s 3p (4s, 3d) 4p (5s, 4d) 5p (6s, 4f, 5d) 6p (7s, 5f, 6d) Tabuľka 6.8: Tabuľka ukazuje univerzálnu štruktúru podvrstiev, ktorá je nezávislá od počtu protónov v jadre. Elektróny patriace k tej istej vrstve sa nazývajú ekvivalentnými (o ekvivalencii elektrónov hovoríme aj v inom zmysle, s tým sa stretneme neskôr). Energie stavov uvedených v zátvorkách sú veľmi blízke a poradie podvrstiev u niektorých atómov môže byť odlišná. Naproti tomu, stavy podvrstiev, ktoré sú od seba oddelené dvojitou čiarou, majú vždy pomerne veľký rozdiel v energii. Treba si všimnúť, že počet stavov medzi dvomi dvojitými čiarami zodpovedá dĺžke periód v periodickej (Mendelejevovej) tabuľke prvkov. V prípade atómu vodíka a vodíku podobných atómov, kde je v elektrónovom obale vždy len jeden elektrón, sa neuvádza v značení tzv. multiplicita 2S + 1. Dôvodom je, že elektrón má veľkosť spinového kvantového čísla vždy s = 1 2 a multiplicita je preto vždy 2S +1 = 2 (S = s). Ďalšie odlišnosti uvedieme v časti na strane 141. Nech je však situácia akokoľvek zložitá, je podstatné zistenie, že v atómoch (v základnom stave) sa obsadzujú jednotlivé orbitály (identifikované už vo vodíkovom atóme) v dobre definovanom poradí, nezávisle na počte protónov v jadre (pozri tabuľku 6.8). Atómy, ktoré v základnom stave nemajú žiadne neúplne obsadené d alebo f vrstvy, tvoria hlavnú skupinu. Ostatné tvoria tvoria päť vedľajších skupín: 1. skupina železa (zaplňuje sa 3d vrstva), 2. skupina paládia (zaplňuje sa 4d vrstva), 3. skupina platiny (zaplňuje sa 5d vrstva), 4. vzácne zeminy (zaplňuje sa 4f vrstva), 5. aktinoidy (zaplňuje sa6d a4f vrstva teda dve sú neúplné súčasne) Spektroskopické značenie Spektroskopické značenie mnohoelektrónových atómov je relatívne komplikované, pokiaľ chceme vystihnúť všetky prípady, nie len základné stavy. Nie je našim cieľom túto komplikovanosť uvádzať v celej šírke, ale len základné prvky, ktoré dokreslia fyzikálny význam L S väzby. Pri podrobnom spektroskopickom značení viacelektrónových atómov 6 sa 6 Pokiaľ nepovedie k nejednoznačnosti, budeme ďalej hovoriť o mnohoelektrónových atómoch len ako o atómoch. Hlavná skupina Vedľajšie skupiny

147 142 používa spoločne jednočasticové značenie, spolu so značením hodnoty L S väzby. Hélium a héliu podobné atómy Jadro systému spektroskopického značenia možno demonštrovať už na atóme hélia, ktorý v elektricky neutrálnom stave má v elektrónovom obale dva elektróny. Héliu podobné atómy nazývame tie atómy, ktoré majú v jadre atómu viac, než dva protóny, ale sú ionizované do tej miery, že v ich elektrónovom obale sa nachádzajú,len dva elektróny. Héliu podobnými atómami sú napríklad Li +,Be 2+,B 3+,... Spektroskopické značenie, ako sme uviedli vyššie, pozostáva zo spojenia jednočasticového značenia, z ktorého je možné vyčítať základné charakteristiky (veľkosť spinu a orbitálneho momentu) individuálnych elektrónov, a z viacčasticovej charakteristiky, ktorá vzniká v dôsledku L S. V dôsledku tejto väzby dvojica elektrónov, ako celok, má konkrétnu hodnotu veľkosti spinu S a konkrétnu hodnotu veľkosti orbitálneho moemntu L. jednočasticové značenie (tzv. konfigurácia) je značenie používané pre elektrón vodíka v tvare nl k, kde n je hlavné kvantové číslo, l je kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti a k je počet elektrónov na podvrstve, tj. s rovnakými kvantovými číslami n a l. Napríklad hélium v základnom stave má dva elektróny s kvantovým číslom n = 1 a s kvantovým číslom l = 0, čo zapisujeme ako 1s 2. V excitovanom stave však jeden z elektrónov už nebude mať hlavné kvantové číslo n = 1, ale napríklad n = 3, pričom l = 2. V takom prípade píšeme pre elektrónový obal informáciu o stave individuálnych elektrónov v héliu ako 1s3p. Pokiaľ je na podvrstve len jeden elektrón, počet elektrónov sa nevypisuje (teda nepíšeme 1s 1 3p 1 ). Individuálne elektróny medzi sebou interagujú a táto interakcia v prípade L S väzby vedie k tomu, že elektróny vytvárajú malé skupinky (tzv. term), ktoré majú (ako skupinka) konkrétnu výslednú hodnotu spinu (S) a orbitálneho momentu hybnosti (L), čo zapisujeme nasledovne { n (i) l (i)k(i)} 2S+1 L.

148 143 V zložených zátvorkách nachádzame informáciu o kvantových číslach jednotlivých elektrónov v skupinke (pomocou jednočasticového zančenia), kým skupinu uzatvára informácia o multiplicite (2S +1) a orbitálnom momente L vymenovanej skupiny elektrónov pre L sa použije písmenné značenie S,P,D,F,G,... podľa hodnoty L (v uvedenom poradí sú to hodnoty 0,1,2,3,4,... ). Číslo 2S+1 sa nazýva multiplicitou. podľa hodnoty multiplicity hovoríme o singlete (2S + 1 = 1), dublete (2S + 1 = 2), triplete (2S + 1 = 3), všeobecne o multiplete. Vyznačená skupina elektrónov sa L S väzbe medzi nimi navonok prejavuje ako objekt so spinom S a s orbitálnym momentom hybnosti L (napríklad pri interakcii s vonkjším magnetickým poľom, alebo magnetickým poľom iných elektrónov, či iných skupín elektrónov). multiplicita, multiplety Príklad Hélium v základnom stave má spektroskopické označenie 1s 2 1 S. Aké informácie je možné vyčítať z uvedeného spektroskopického značenia základného stavu hélia? Riešenie. Jednočasticové značenie 1s 2 prezrádza, že v elektrónovom obale sa nachádzajú dva elektróny v stave s, tj. s orbitálnym momentom l = 0. Tieto dva elektróny interagujú spolu tak, že ich výsledný spin je nulový (S = 0, teda multiplicita je 2S + 1 = 1) a ich výsledný orbitálny moment hybnosti je L = 0, ktorého spektroskopickým značením je veľké písmeno S. Príklad Základný stav hélia je jednoznačne daný (atóm hélia má vtedy najnižšiu energiu o určení tohoto jednoznačného stavu sa budeme venovať v časti na strane 156). Excitovaných (energeticky vybudených) stavov je nekonečne veľa. Uvedieme pár príkladov (bez nároku na to, či taký term bol pozorovaný, alebo nie) s2s 1 P, 1s2s 3 S, 2s 2 1 S, 2p 2 1 S, 2p 2 1 P, 2p 2 1 D, 2p 2 3 S,... Aké informácie je možné vyčítať z uvedeného spektroskopického značenia jednotlivých vybudených stavov hélia? Riešenie. Význam jednotlivých spektroskopických značení je nasledujúci. 1s2s 1 P: Jeden z elektrónov je na prvej hlavnej vrstve (jeho hlavné kvantové číslo je n (1) = 1), pričom jeho orbitálny moment hybnosti je nulový

149 144 (l (1) = 0). Druhý elektrón je na druhej hlavnej vrstve (n (2) = 2) a jeho orbitálny moment hybnosti je tiež nulový (l (2) = 0). Nevieme síce aký je priemet spinu jednotlivých elektrónov, ale vieme, že L S väzba medzi nimi vytvára výslednú veľkosť spinu s kvantovým číslom S = 0, nakoľko multiplicita je 2S+1 = 1 (jedná sa teda o singlet). S L väzba vytvára celkový nulový orbitálny moment hybnosti elektrónového obalu hélia (spektroskopické značenie je S, teda L = 0). V tomto prípade vieme povedať o zložkách spinu elektrónov povedať to, že spiny sú vzájomne opačne orientované. Pri skladaní momentov hybnosti sa tretie zložky sčítajú (S = s (1) 3 + s (2) 3 ). Nakoľko však výsledný spin je S = 0, jeho priemetom môže byť jedine S 3 = 0, teda s (1) 3 +s (2) 3 = S 3 = 0. 1s2s 3 S: Individuálne elektróny sú ako v predchádzajúcom prípade, ale L S väzba ich vzájomne zviazala tak, že výsledná hodnota veľkosti spinu je 3 (triplet, 2S + 1 = 3, teda S = 1), a výsledná hodnota veľkosti orbitálneho momentu je L = 0 (v spektroskopickom značení S). V tomto špeciálnom prípade vieme ešte povedať, že l (1) 3 +l (2) 3 = 0, nakoľko L = 0, a jediná možná hodnota tretej zložky výsledného orbitálneho momentu hybnosti jel 3 = 0. Dovolené jednočasticové kombinácie sú l (1) = l (2) = 0, potom l (1) = 1, l (2) = +1 a l (1) = +1, l (2) = 1. 2s 2 1 S: V tomto prípade sa nachádzajú obidva elektróny na tej istej vrstve (n (1) = n (2) = 2), dokonca aj na tej istej podvrstve (l (1) = l (2) = 1). L S väzba medzi týmito elektrónmi realizovala konkrétnu výslednú hodnotu veľkosti spinu S = 1, nakoľko sa jedná o triplet (2S+1 = 3), a konkrétnu hodnotu veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L = 0. 2p 2 1 S: Väzba L S ich drží v takej väzbe, že výsledná veľkosť spinu má hodnotu S = 0 (singlet), a výsledný orbitálny moment hybnosti má hodnotu L = 1. 2p 2 1 P: Znova sa jedná o singlet (S = 0) s celkovým orbitálnym momentom hybnosti L = 0. 2p 2 1 D: Jedná sa o singlet s celkovým orbitálnym momentom hybnostil = 1. 2p 2 3 S: Jedná sa o triplet (S = 1) s celkovým orbitálnym momentom hybnosti L = 0.

150 145 Poznámka Existujú spoľahlivé voľne dostupné databáze s energiou termov, ako aj s experimentálne pozorovanými prechodmi medzi termami (pozri napr. [9]). Pokiaľ sa pozrieme na energiu termov hélia pre databázový vstup He I, zistíme, že energetický rozdiel medzi termom 1s2s 1 S a termom 1s2s 3 S je 0,7962 ev. Rímská jednotka označuje elektricky neutrálny atóm, kým rímska dvojka (II) jeden krát ionizovaný atóm, atď.. Poznámka Mohli by sme sa domnievať, že podobne prípadom, keď bolo L = 0 a robili sme závery ohľadom l (1) 3,l(2) 3, (l(1) 3 + l (2) 3 = 0) by sme mohli robiť podobný záver aj v prípade L = 1 v podobe l (1) 3 + l (2) 3 = 1. Musíme však upozorniť, na to, že L je kvantové číslo veľkosti (celkového) orbitálneho momentu, ktorého priemety môžu byť L 3 = +1,0, 1. Viac zavádzajúcim by mohol ešte príklad, keď zoberieme excitovaný stav hélia 2p 2 1 D, keď L = 2. Nakoľko elektróny na podvrstve p môžu mať orbitálny moment maximálne l 3 = 1, mohli by sme sa domnievať, že k vytvoreniu celkového orbitálneho momentu hybnosti s veľkosťou L = 2 je nutné, aby priemety orbitáleho momentu individuálnych elektrónov boli napr. l (1) 3 = l (2) 3 = 1, lebo len vtedy vznikne taký celkový priemet (L 3 = 2), ku ktorému veľkosť L = 2 je už potrebná. Nie je tomu však tak. L S väzba fixuje len veľkosti spinu S a orbitálneho momentu hybnosti L. V 2p 2 1 D je veľkosť výsledného orbitálneho momentu hybnosti L = 2 a jeho možné priemety sú L 3 = 2, 1,0,1,2. Tu je vidieť že musíme rozlišovať medzi kvantovým číslom veľkosti a kvantovým číslom tretej zložky veľmi dôsledne. Ostatné atómy V ostatných prípadoch máme čo do činenia s viac, než dvomi elektrónmi. Spektroskopické značenie prípadov, v ktorých dominuje L S väzba, sa odvíja od základu, ktorý sme ukázali pre hélium. Poznámka Na tomto mieste zavedieme dočasné značenie, ktoré nám pomôže graficky lepšie ilustrovať ako L S väzba vytvára energetickú štruktúru elektrónového obalu, a ako sa to prejavuje v spektroskopickom značení. Následne uvedieme aj bežne používané značenie, ktoré bude logickým pretvorením nášho dočasného značenia. Zdôrazňujeme, že tu uvedené štruktúry nie nutne boli experimentálne pozorované. Elektróny v elektrónovom obale atómu vytvárajú malé skupinky (dvojice, trojice, atď.) elektrónov, ktoré sa vďaka L S väzbe vyznačujú konkrétnou hodnotou veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L. Tieto

151 146 skupinky sa voči ostatným elektrónom, či skupiniek elektrónov prejavujú pri vytváraní L S väzieb, len cez tieto skupinové hodnoty spinu S a orbitálneho momentu hybnosti L. Skupinky sa potom zhlukujú do väčších skupín, ktoré znova majú konkrétnu hodnotu veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti ( L). Tento mechanizmus štrukturalizácie elektrónového obalu pokračuje do konečného štádia, keď nakoniec hierarchia skupiniek, skupín skončí v jedinom objekte, v konečnom elektrónovom obale, ktorý má konkrétnu hodnotu veľkosti spinu S (obal) a veľkosti orbitálneho momentu L (obal). Uzavreté podskupiny do výsledného spinu a orbitálneho momentu hybnosti uzavreté podvrstvy neprispievajú, nakoľko uzavretá podvrstva má celkový nulový spin a orbitálny moment hybnosti. Ozrejmíme to na základe príkladov 1. [3d 7 ] 4 F 7/2, 2. [[3d 7 ]( 4 F)[4s4p( 3 P)]] 6 F 9/2, 3. [[4f 7 ]( 8 S)[6s6p 2 ]( 4 P)] 11 P 5, 4. [[3p 5 ]( 2 P)[3d 2 ]( 1 G)] 2 F 7/2, 5. [[[4f 7 ]( 8 S)5d] ( 7 D)6p] 8 F 13/2, 6. [[[[4f 7 ]( 8 S)5d] ( 9 D)6s] ( 8 D)7s] 9 D 5, 7. [[[4f 7 ]( 8 S)5d] ( 9 D)[6s6p]( 3 P)] 11 F 8, 8. [[[[4f 7 ]( 8 S)5d 2 ]( 1 G)] ( 8 G)6p] 7 F 0, 9. [[4f]( 2 F) [[5d 2 ]( 1 G)6s]] ( 2 G) 1 P 1. V prvom príklade 7 elektrónov z podvrstvy 3d sa zlúčil prostredníctvom L S väzby do skupinky s celkovou veľkosťou spinu 3/2 (multiplicita je 4) a s orbitálnym momentom hybnosti veľkosti 3 (príslušné spektroskopické označenie je F). Veľkosť celkového momentu hybnosti je J = 7/2. Toto sú výsledná veľkosť spinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnosti celkového elektrónového obalu (uzavreté podvrstvy nie sú vypísané). V druhom príklade sa 7 elektrónov z podvrstvy 3d sa zlúči do skupinky 4 F, dvojica elektrónov 4s4p sa najprv zlúčia do skupiny 3 P. Tieto skupiny potom vytvoria výsledný elektrónový obal 6 F 9/2. Všimnite si, že výsledné značenie 6 F 9/2 nie je v zátvorke a je od nižších hierarchií oddelený medzerou. Tretí a štvrtý príklad je analogický.

152 147 V piatom príklade máme o jednu hierarchickú vrstvu viac. 7 elektrónov podvrstvy 4f sa zlúči do skupiny 8 S. Táto skupina sa zlúči s elektrónom 5d do skupiny 7 D, ktorá sa zlúči s elektrónom 6p do celkového elektr=onového obalu 8 F 13/2. Na zvýraznenie toho, že elektrón 5d sa zlúči najprv so skupinou 8 S slúži aj medzera v označení. K ďalšiemu zlúčení s elektrónom 6s dochádza až potom (a vzniká 8 F 13/2 ). V šiestom príklade máme o jednu hierarchickú štruktúru viac. V siedmom prílklade sa najprv zlúčia elektróny 6s6p do skupiny 3 P. Potom až dochádza k zlúčeniu štruktúry 3 D s 3 P. Tu vidíme pravidlo v značení, ktoré nedáva medzeru za skupinou elektrónov, ktoré ešte nemajú hierarchickú štruktúru (pred 3 P nie je medzera). Posledné dva príklady sa dajú pochopiť pomocou interpretácie hranatých zátvoriek. Poznámka V oficiálnom spektroskopickom značení sa vypúšťajú hranaté zátvorky, ale medzery sa zachovávajú, a značenie je aj takto jednoznačné. Našim cieľom však, zdôrazňujeme znova, nebolo vytýčiť si za cieľ dôkladné osvojenie si spektroskopického značenia v celej svojej zložitosti (okrem L S väzieb bývajú ešte prítomné ďalšie tri typy väzieb jj a miešané). Našim cieľom bolo ilustrovať hierarchickú štruktúru elektrónového obalu mnohoatómového systému, keď atóm nie je v základnom stave Hierarchické štruktúry Pri vyššie uvedených príkladoch sme zdôrazňovali hierarchické štruktúry, ktoré v elektrónovom obale vznikajú. Uvedieme pomenovanie aspoň niektorých z hierarchických štruktúr atómového obalu, ktoré sú štrukturované L S väzbou. Konfigurácia {n i l k i i } rozdelenie elektrónov na podvrstvách, napr. 3s2, alebo 5d 3 4f 7 a podobne (ich symboly sú malé písmená). polyády {n i l i } k i2s+1 (L 1 L 2,...) zoskupenie elektrónov danej konfigurácie do zhluku s danou hodnotou veľkosti spinu S, tj. s danou multipliciou 2S + 1. Napríklad V prípade Ca I (neionizovaný vápnik) 3d4p 3 (P DF) predstavuje triádu tripletov. Táto konfigurácia má aj triádu singletov 3d4p 1 (P DF). Konfigurácia 3d4s však má len monádu 1 D a monádu 3 D. Uzavreté podvrstvy Ca I sme nevypísali. Všetky príklady predstavovali vybudený (ale neionizovaný) vápnik (Ca I). term {n i l i } k i2s+1 L zoskupenie elektrónov danej konfigurácie do zhluku s konkrétnou hodnotou veľkosti spinu S a veľkosti orbitálneho momentu

153 148 hybnosti L. hladina {n i l i } k i2s+1 L J jedná sa o štruktúru termu. Zoskupenie elektrónov v terme, ktoré majú konkrétnu hodnotu veľkosti celkového momentu hybnosti J stav {n i l i } k i2s+1 L J 3 J Zoskupenie elektrónov hladiny s konkrétnou hodnotu tretej zložky J 3 celkového momentu hybnosti J. Pri zmene stavu elektrónového obalu sa pohlcujú (absorbujú), alebo vyžarujú (emitujú) fotóny. Fotóny registrujeme ako svetlo danej vlnovej dĺžky a radíme ich do hierarchických štruktúr v závislosti od toho, aká zmena štruktúry elektrónového obalu ich vysvetľuje Súbor prechodov mení sa konfigurácia elektrónového obalu. Napríklad v prípade Ca I prechod 3d4s 3d4p predstavuje relatívne početný energeticky odlišných prechodov (patriacich do tohoto súboru prechodov). Tieto prechody sa potom delia na supermultiplety, multiplety, čiary a čiarové komponennty. Supermultiplety len tie prechody daného súboru prechodov, ktoré sa dejú medzi konkrétnymi polyádmi príslušných konfigurácií. Napríklad v prípade Ca I medzi monádom 3d4s 3 D a triádom 3d4p 3 P DF. Multiplety len tie prechody supermultipletu, ktoré sa dejú medzi konkrétnymi termami, napríklad prechod medzi 3d4s 3 D a 3d4p 3 P. Ćiary len tie prechody multipletu, ktoré sa dejú medzi konkrétnymi hladinami, napríklad prechod medzi 3d4s 3 D 1 a 3d4p 3 P 0. Čiarové komponenty len tie prechody čiar, ktoré sa dejú medzi konkrétnymi stavmi tj. pri ktorých sa mení len tretia zložka J 3 celkového momentu hybnosti J. Napríklad prechod medzi 3d4s 3 D 1 1 a 3d4p 3 P 0 0. Je dôležité si uvedomiť, že práve prechody a ich analýza nám umožňuje zrekonštruovať stavy, hladiny, termy, polyády a v konečnom dôsledku konfigurácie. Z princípu nie je možné merať priamo hodnotu spinu, či momentu hybnosti (či už orbitálneho, alebo celkového)

154 Zostrojenie termov a hladín pre danú konfiguráciu Do tohoto okamihu sme sa venovali spektroskopickému značeniu hierarchických štruktúr v rámci L S väzieb. Stretli sme sa so štruktúrami ako konfigurácie, polyády, termy a pod.. Nevenovali sme sa však podstatnej otázke aké štruktúry môžu vzniknúť v rámci konkrétnej konfigurácie. Odpoveď na túto otázku dáva zákon zachovania momentu hybnosti. Použitie aparátu kvantovej mechaniky, či teórie grúp na tomto stupni znalostí nie je na mieste. Existuje však konštrukčná metóda, ktorá relatívne jednoduchým spôsobom je schopná danú otázku zodpovedať. Ukážeme si to na príklade analýzy neionizovaného hélia He I, analýzou konfigurácie 2p 2. Konštrukcia mikrostavov. Mikrostavom rozumieme takú realizáciu konfigurácie, pri ktorej sú určené konkrétne stavy jednotlivých elektrónov, tj. ich tretích zložiek spinu a orbitálneho momentu hybnosti. Nepíšu sa mikrostavy, ktoré porušujú Pauliho vylučovací princíp. V prípade konfigurácie 2p 2 sú to nasledujúce. Konštrukcia sumarizačnej tabuľky. V tomto okamihu vyplníme sumarizačnú tabuľku, ktorá povie, Rozklad na elementárne tabuľky. Elementárnou tabuľkou rozumieme obdĺžnikovu tabuľku jednotiek (tj. 1 ), ktorá maximálnym možným spôsobom pokrýva nenulové časti sumarizačnej tabuľky. Ak nájdeme prvú takú tabuľku, odčítame ju zo sumarizačnej tabuľky a opakujeme celú procedúru, než vynulujeme sumarizačnú tabuľku. V našom prípade sú elementárne tabuľky ukázané v tabuľke 6.11 na strane 151. Priradenie spektroskopického označenia. K elementárnej tabuľke je možné jednoznačne priradiť spektroskopické označenie termu. Elementárna tabuľka má 2L + 1 stĺpcov a 2S + 1 riadkov. Počet riadkov je teda rovný multiplicite a z počtu stĺpcov možno určiť veľkosť orbitálneho momentu hybnosti L. V tabuľke 6.11 máme vypísané postupne tri elementárne tabuľky. Prvá z nich má 1 riadok (multiplicita sa rovná

155 150 l S 3 L Tabuľka 6.9: Možné mikrostavy. Symbol predstavuje elektrón s treťou zložkou spinu s 3 = +1/2, symbol elektrón s treťou zložkou spinu s 3 = 1/2. Neexistuje mikrostav s elektrónmi, ktoré by mali l 3 rovnaké a tiež s 3 rovnaké. Taktiež, pre danú hodnotu l 3 (rovnaké u oboch elektrónov) niet rozdielu medzi a, nakoľko elektróny sú nerozlíšiteľné nejedná sa o odlišné mikrostavy. V pravej časti sme vyznačili výslednú hodnotu tretej zložky spinu S 3 a tretej zložky orbitálneho momentu hybnosti L 3 konfigurácie 2p 2. L S Tabuľka 6.10: V každej kolonke je uvedené, koľko mikrostavov má danú hodnotu S 3 a L 3

156 151 1) a 5 stĺpcov, z čoho plynie, že veľkosť orbitálneho momentu hybnosti je L = 2. Jedná sa teda o term 1 D. Nakoľko poznáme hodnoty veľkosti spinu a orbitálneho momentu hybnosti (S = 0,L = 2), z pravidiel pre skladanie momentov hybnosti, poznáme aj možné hodnoty veľkosti celkového momentu hybnosti J, ktorej hodnota je v tomto prípade J = 2, a tento term má len jedinú hladinu, 1 D 2 Vo všeobecnosti platí, že J nadobúda hodnoty L = L S, L S +1,...,L+S. S = 0,L = 2,J = 2 hladina 1 D 2 L S S = 1,L = 1,J = 0,1,2 hladiny 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2 L S S = 0,L = 0,J = 0 hladina 1 S 0 L 3 0 S Tabuľka 6.11: Vo vrchnej elementárnej tabuľke vidíme, že rozpätie priemetov S 3 je 0, preto veľkosť S = 0, kým rozpätie L 3 je 2, 1,0,1,2, teda veľkosť je L = 2. Zo sčítacích pravidiel pre veľkosti momentov hybnosti potom jednoznačne plynie, že veľkosť celkového momentu hybnosti je J = 2. Nasledujúca tabuľka analogickým spôsobom určuje hodnotu veľkosti spinu ako S = 1, veľkosť orbitálneho momentu hybnosti ako L = 1, a na základe princípu skladania momentov hybnosti (J = L S, L S +1,...,L + S,) je J = 0,1,2. Jedná sa o hladiny 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2 termu 3 P. Posledná elementárna tabuľka ukazuje jednoznačne hladinu 1 S 0. V prípade, že sa elementárne tabuľky opakujú, neberú sa do úvahy

157 152 Druhá elementárna tabuľka má 3 riadky a tri stĺpce. Jedná sa teda o triplet (S = 1) a L = 1. Označenie termu je 3 P. Možné hodnoty celkového momentu hybnosti sú J = 0,1,2 a triplet má tri hladiny, ktorých označenie je 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2. Tretia tabuľka má jeden riadok a jeden stĺpec (S = 0,L = 0) a jedná sa o singlet 1 S. Celkový moment hybnosti je J = 0 a term má len jednu hladinu, 1 S 0.

158 153 Príklad Zostrojte tabulku mikrostavov pre konfiguráciu 2p3p. Riešenie. V tomto prípade elektróny sa nachádzajú na odlišných vrstvách (líši sa u nich hlavné kvantové číslo), a preto Pauliho princíp nevylúči žiadny z mikrostavov. Mikrostavy sú znázornené v tabuľke l 3 (2p) l 3 (3p) S 3 L Tabuľka 6.12: Možné mikrostavy pre konfiguráciu 2p3p.

159 154 3 Príklad Zostrojte na základe tabuľky mikrostavov konfigurácie 2p3p sumarizačnú tabuľku a pomenujte termy a hladiny konfigurácie 2p3p. Riešenie. Sumarizačná tabuľka mikrostavov je nasledujúca. Elementárne tabuľky sú nasledujúce L S L S Počet riadkov je 3 (teda S = 1) a počet stĺpcov je 5 (teda L = 2) a jedná sa o term 3 D. Možné hodnoty J sú teda 1,2,3 a hladiny termu sú 3 D 1, 3 D 2, 3 D 3. Ďalšou elementárnou tabuľkou je L S Tabuľka má 3 riadky (S = 1) a 3 stĺpce (L = 1), preto sa jedná o triplet 3 p. Veľkosť momentu hybnosti môžu byť J = 0,1,2 a term má hladiny, 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2. Nasledujúcou elementárnou tabuľkou je L S Hľadané hodnoty sú S = 1, L = 0 a je len jediná možná hodnota J = 1. Hľadaný term je 3 S s hladinou 3 S 1. Ďalšou elementárnou tabuľkou je

160 155 L S Hodnota veľkosti spinu je S = 0 a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L = 2. Jedná sa o term 1 D s jedinou hladinou 1 D 2. Nasledujúcou elementárnou tabuľkou je L S Hodnota veľkosti spinu je S = 0 a veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L = 1. Jedná sa o term 1 P s jedinou hladinou 1 P 1. Poslednou elementárnou tabuľkou je L 3 0 S Príslušný term je 1 S (S = 0,L = 0) s hladinou 1 S 0 (J = 0). Hľadané termy (s hladinami uvedenými v zátvorkách) sú teda triplety 3 D ( 3 D 1, 3 D 2, 3 D 3 ), 3 P ( 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2 ), 3 S ( 3 S 1 ) a singlety 1 D ( 1 D 2 ), 1 P ( 1 P 1 ) a 1 S ( 1 S 0 ). Úloha Ukážte, že sumarizačná tabuľka pre konfiguráciu 3d 2 je nasledujúca L S Úloha Ukážte, že v predchádzajúcej úlohe sa sumarizačná tabuľka rozkladá na elementárne tabuľky zodpovedajúce termom 3 F, 3 P, 1 G, 1 D a 1 S. Úloha Ukážte, že hladiny termov z úlohy 6.22 sú nasledujúce 3 F: 3 F 2, 3 F 3, 3 F 4, 3 P: 3 P 0, 3 P 1, 3 P 2, 4 3 3

161 156 1 G: 1 G 4, 1 D: 1 D 2, 1 S: 1 S 0. 4 V prípade konfigurácií s viacerými elektrónmi (3,4,...) je postup analogický, len tabuľky mikrostavov sú výrazne objemnejšie. Úloha Ukážte, že konfigurácia 1s2p 2 má nasledujúcu sumarizačnú tabuľku mikrostavov. L / S 3 +1/ / / Úloha Nájdite termy a hladiny konfigurácie 1s2p 2. [Nápoveda: Term s najvyššou multiplicitou je 4 P s hladinami 4 P 1/2, 4 P 3/2, 4 P 5/2, a je jedným zo štyroch hľadaných termov.] Madelungov princíp a Hundove pravidlá Do tohoto okamihu sme hovorili o elektrónovom obale mnohoelektrónových atómov vo všeobecnosti. Nepredpokladali sme, že by atóm bol v základnom stave, tj. v stave, v ktorom má najnižšiu energiu. Uvedené techniky určenia stavov, hladín, termov, polyád a konfigurácií sa dajú uplatniť aj pre atómy excitované, dokonca atómy ionizované. V tejto časti sa budeme venovať atómom v základnom stave, kde princíp výstvaby 7, či Madelungov princíp 8 a Hundové pravidlá 9 Madelungov princíp hovorí o energetickom usporiadaní podvrstiev v elektrónovom obale. Jedná sa o približné pravidlo. Pokiaľ by platilo exaktne, elektrónový obal atómu v základnom stave by bol obsadzovaný po podvrstvách v takom poradí, ako to uvádza Madelungovo pravidlo (pozri obr. 6.1). V prípade uzavretých hlavných vrstiev tento princíp platí. V prípade nekompletných hlavných vrstiev elektróny nesledujú Madelungov princíp striktne. 7 V anglosaskej literatúre nazývaný tiež Aufbau principle. 8 Erwin MADELUNG nemecký fyzik ( ) 9 Friedrich Herman HUND nemencký fyzik ( )

162 157 Madelungov princíp predpovedá správne obsadzovanie podvrstiev až po 23V (vanádium). Od chrómu začínajúc sa začínajú objavovať výnimky. Hundové pravidlá hovoria o organizácii elektrónov v neuzavretých podvrstvách atómu, ktorý je v základom stave. Predpokladom použiteľnosti Hundovho pravidla je, aby štruktúra elektrónového obalu sa riadila L S väzbami. V základnom stave je tento predpoklad (až na 4 výnimky: Ce, Pa, U, Np) splnený. Hundovo pravidlo sa menšími úspechmi môže aplikovať aj na vybudený stav s najnižšou energiou, ale výnimiek je tu výrazne viac. Poznámka Hundové pravidlá je zvykom vysloviť spôsobom, ktorý sa opiera o rekonštrukciu termov pre danú konfiguráciu. Tieto pravidlá potom znejú nasledovne. (1) Pre danú konfiguráciu má najmenšiu energiu ten term, ktorý má najväčšiu multiplicitu (najväčšiu hodnotu celkového spinu atómu uzavreté podvrstvy majú nulový spin). (2) Ak takých termov je viac než jeden, najmenšiu energiu z nich má ten, ktorý má najväčšiu hodnotu celkového orbitálneho momentu L (uzavreté podvrstvy majú nulový orbitálny moment). (3) Pokiaľ v takých termov je viac hladín, uplatní sa nasledujúce pravidlo. Ak je podvrstva zaplnená najviac do polovice, potom hladina s maximálnou hodnotou J má najmenšiu energiu. V ostatných prípadoch hladina s minimálnou hodnotou J má minimálnu energiu. Takto vyslovené pravidlá majú ten nedostatok, že v prípade ťažších prvkov neuzavreté vrstvy obsahujú relatívne veľa elektrónov a určenie všetkých termov je pracné (ich počet je veľký). Druhým nedostatkom je, že 3. pravidlo nehovorí ako interpretovať napríklad také prvky, ktoré v základnom stave majú viac, než jednu neuzavretú podvrstvu. Takýchto prvkov máme 12 (teda vyše 10% všetkých chemických prvkov v základnom stave). Sú to (prevzaté z [9])

163 n l 1s 2 2s 2p 3 3s 3p 3d 4 4s 4p 4d 4f 5 5s 5p 5d 5f 5g 6 6s 6p 6d 6f 6g 6h 7 7s 7p 7d 7f 7g 7h 7s 1s2s2p3s3p4s3d4p5s4d5p6s4f 5d6p7s5f 6d7p... Obr. 6.1: Princíp výstavby podvrstiev nazývaný Aufbau princíp, alebo tiež Madelungov princíp. V elektrónovom obale atómov v základnom stave sa podvrstvy zapĺňajú v poradí, ako ukazuje princíp výstavby. Princíp hovorí, že z dvoch elektrónov, ktoré patria k iným podvrstvám, má väčšiu energiu ten z nich, pre ktroý je súčet hlavného a vedľajšieho kvantového čísla (n + l) väčší. Ak je súčet rovnaký, potom ten elektrón má väčšiu energiu, ktorého hlavné kvantové číslo n je väčší. 3ípky na obrázku (postupujúc zhora nadol) ukazujú ako rastie energia podvrstiev. Tento princíp dobre funguje pre väčšinu atómov, ale existujú aj výnimky (pozri dodatok s konfiguráciou elektrónových obalov v základnom stave.)

164 159 prvok konfigurácia hladina základného stavu 24Cr 3d 5 4s 7 S 3 41Nb 4d 4 5s 6 D 1/2 42Mo 4d 5 5s 7 S 3 44Ru 4d 7 5s 5 F 5 45Rh 4d 8 5s 4 F 9/2 58Ce 4f5d6s 2 1 G 4 64Ga 4f 7 5d6s 2 9 D 2 78Pt 4f 14 5d 9 6s 3 D 3 91Pa 5f 2 6d7s 2 4 K 11/2 92U 5f 3 6d7s 2 5 L 6 93Np 5f 4 6d7s 2 6 L 11/2 96Cm 5f 7 6d7s 2 9 D 2 Hviezdičkou označené prvky majú elektrónový obal, kde sa neuplatňuje len L S väzba, preto nie je prekvapujúce, že pre nich Hundovo pravidlo (pozri nižšie) nedáva správne výsledky hladiny základného stavu. Tu uvedené hladiny sú experimentálne zistené hodnoty. Poznamenajme ešte, že ani experimentálne zistená hladina 1 G 4 prvku 58 Ce svojou multiplicitou nezodpovedá Hundovmu pravidlu. Hundové pravidlá vyslovíme spôsobom, ktorý nevyžaduje určenie termov a dá sa uplatniť aj v prípade, že sa týka konfigurácií s viacerými neuzavretými podvrstvami. Základom pre našu formuláciu je práca s tretími zložkami spinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnosti elektrónov v neuzavretých podvrstvách. Pre tieto zložky (i príslušné kvantové čísla) platí striktne rovnosť s (j) 3 + l (j) 3 = j (j) 3, kde j indexuje j-tý elektrón neuzavretých podvrstiev pravidlo Elektróny otvorených podvrstiev sa organizujú tak, aby tretia zložka ich celkového spinu S 3 = s (1) 3 + s (2) 3 bola maximálna. Tu predstavuje s (j) 3 tretiu zložku spinu j-tého elektrónu v otvorenej subvrstve. To znamená, že subvrstva sa zapĺňa najprv s elektrónmi, ktoré majú rovnakú orientáciu spinu (rovnaká hodnota s (j) 3 ). Pauliho princíp však neumožňuje, aby mali všetky elektróny rovnakú hodnotu s (j) 3. Potom, čo subvrstva je zpola zaplnená, ďalšie elektróny majú už opačnú orientáciu spinu. Kvantové číslo celkového spinu S neuzavretých podvrstiev je rovný 10 V skutočnosti by sme nemuseli hovoriť o elektrónoch neuzavretých podvrstiev, ale o elektrónoch elektrónového obalu. Vieme totiž, že pre uzavreté podvrstvy je s (i) 3 = 0, l (i) 3 = 0 a potom tiež j (i) 3 = 0 kde súčty bežia cez elektróny uzavretej podvrstvy.

165 160 S 3. Číslo S sa nazýva multiplicitou. Prvé Hundovo pravidlo sa môže vysloviť tak, že neuzavreté podvrstvy sa obsadia tak, aby multiplicita bola maximálna. 2. pravidlo Ak maximálna multiplicita neuzavretej vrstvy sa dá realizovať viacerými spôsobmi, realizuje sa ten spôsob, pri ktorom je tretia zložka celkového orbitálneho momentu hybnosti L 3 = l (1) 3 +l (2) 3 + maximálna. Horné indexy znova číslujú rôzne elektróny neuzavretých podvrstiev. Kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti L je potom rovný L pravidlo Ak term určený pravidlami 1. a 2. má viac hladín, najnižšiu energiu má tá hladina, ktorej celkový moment hybnosti J je rovný J 3, kde J 3 = S 3 +L 3. Všetky tri Hundové pravidlá sa dajú splniť, pokiaľ elektróny v podvrstvách sa obsadzujú spôsobom, ktorý je znázornený na obr. 6.2 (strana 161). Samotný výpočet hodnôt S,L,J je doplnený na obr. 6.3 (strana 162). V prípade, že máme v konfigurácii viac neuzavretých podvrstiev, uvedené pravidlá sa aplikujú priamočiaro. (Nezabudnime, že konfigurácia určuje, koľko elektrónov je v každej podvrstve.) 1. Elektróny sa v každej podvrstve rozmiestnia tak, ako to hovorí 1. a 2. Hundovo pravidlo. Tj., najprv sa usporiada konfiguráciou určený počet elektrónov v prvej otvorenej podvrstve podľa pravidiel 1. a 2.. Procedúra sa zopakuje s druhou otvorenou podvrstvou (s počtom elektrónov, ktorú určuje konfigurácia). Keby bolo otvorených podvrstiev viac, tak sa pokračuje až do vyčerpania všetkých otvorených podvrstiev. Atómy v základnom stave však majú otvorených maximálne dve podvrstvy (ich zoznam je možno nájsť v poznámke 6.26 na strane 157). Postup je graficky znázornený na obr. 6.2 na strane Sčítame tretie zložky spinu elektrónov všetkých otvorených odvrstiev, čím získame S 3. To isté urobíme pre tretiu zložku momentu hybnosti a získame L 3. Hodnoty S,L,J sú dané ako v Hundových pravidlách, tj. S = S 3, L = L 3 a J = J 3 = S 3 +L 3.

166 161 l l s 1 3d 1 1s 2 3d 2 3d 3 l d 4 2p 1 3d 5 2p 2 3d 6 2p 3 3d 7 2p 4 3d 8 2p 5 3d 9 2p 6 3d 10 Obr. 6.2: Princíp výstavby podvrstiev. Rastúcim počtom elektrónov v danej podvrstve sa zapĺňajú jednotlivé orbitály uvedeným spôsobom. Pri danom spôsobe zaplnenia je energia elektrónov na danej podvrstve minimálna. Orbitály sa zapĺňajú najprv elektrónmi tak, že ich spiny sú rovnaké (prvé Hundovo pravidlo) tým sa maximalizuje celkový spin s (S = S 3 ). Orbitály sa zapľňajú vtakom poradí, aby orbitálny moment hybnosti L(L = L 3 ) bol maximálny (druhé Hundovo pravidlo).

167 162 1s 1 s 3 l 3 j 3 s l j s 3 l 3 j 3 l d 1 l s l j s d d p 1 l d 4 3d p d p d p d p d p d Obr. 6.3: Stanovenie kvantových čísiel S, L, J hladiny atómu v základnom stave v prípade jednej neuzavretej podvrstvy (nutnou podmienkou je dominujúca L S väzba). Kvantové číslo S veľkosti spinu neuzavretej podvrstvy sa stanoví nasledovne. Určí sa celková hodnota tretej zložky spinu S 3 = i s(i) 3, kde súčet sa vykoná pre tretiu zložku s(i) 3 všetkých elektrónov i v neuzavretej podvrstve, a potom S = S 3. Inými slovami, hľadá sa najmenšia možná hodnota S veľkosti momentu hybnosti, ktorou sa dá realizovať priemet S 3. Nakoľko S S 3, táto hodnota je absolútna hodnota S 3. Rovnakým spôsobom sa nájdu aj hodnota L, pričom L 3 = i l(i) 3. Tu sú l(i) 3 treťou zložkou orbitálneho momentu hybnosti i-tého elektrónu v neuzavretej podvrstve. Hodnota J 3 = S 3 +L 3. Spôsob zapĺňania orbitálov znázornený na obrázku, a spôsob výpočtu S, L, J automaticky spĺňa tretie Hundovo pravidlo: (a) J = L S, ak podvrstva nie je zaplnená ani spola, (b) J = S, ak podvrstva je zaplnená presne napoly (vtedy L = 0), (c) J = L + S, ak podvrstva je zaplnená viac, než napoly. Všimnime si, že pokiaľ je podvrstva zaplnená úplne, všetky kvantové čísla (S 3,L 3,J 3 a následne aj S,L,J) sú nulové. To je dôvodom toho, že prečo uzavreté podvrstvy atómu neprispievajú k spinu, orbitálnemu momentu hybnosti a k celkovému momentu hybnosti elektrónového obalu atómu. Daný spôsob určenia spinu, orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnosti atómu v základnom stave (s L S väzbou) sa dá použiť aj pre prípad, keď v elektrónovom obale atómu je viac podvrstiev, ktoré nie sú uzavreté. V takom prípade súčty i bežia cez elektróny všetkých otvorených podvrstiev.

168 163 Príklad Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómu kyslíka. Riešenie. Neionizovaný atóm kyslíka má v elektrónovom obale 8 elektrónov. Madelungov princíp platí bez výnimiek až po vanádium (atómové číslo 23). Konfigurácia základnej hladiny 8 O je preto 1s 2 2s 2 2p 4. Príklad Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómu hliníka. Riešenie. Neionizovaný atóm hliníka má v elektrónovom obale 13 elektrónov. Madelungov princíp platí bez výnimiek až po vanádium (atómové číslo 23). Konfigurácia základnej hladiny 13 O je preto 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 4p. Úloha Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómu dusíka. Úloha Určte konfiguráciu základnej hladiny neionizovaného atómu vanádia. Príklad Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu hélia. Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovaného atómu hélia je podľa Madelungovho princípu1s 2. Jedná sa o uzavretú vrstvu, preto S = 0,L = 0 a J = 0. Hladinou základného stavu je 1 S 0. Príklad Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu kyslíka. Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovaného atómu kyslíka je podľa Madelungovho princípu 1s 2 2s 2 2p 4. Podvrstvy 1s a 2s sú uzavreté a neprispievajú k spinu, ani k orbitálnemu momentu hynosti, ani k celkovému hybnosti elektrónového obalu a nemajú vplyv na určenie základnej hladiny. Základnú hladinu určuje neuzavretá podvrstva 2p 4. Obsadenie tejto podvrstvy elektrónmi je podľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princíp konštrukcie je na obr. 6.2) l 3 = Z rozmiestnenia vyplýva, že S 3 = = 1 teda S = 1,

169 164 Z Atóm Konfigurácia základného stavu Hladina Ionizačná energia/ev 1 H 1s 2 S 1/2 13, He 1s 2 1 S 0 24, Li 1s 2 2s 2 S 1/2 5, Be 1s 2 2s 2 1 S 0 9, B 1s 2 2s 2 2p 2 P 1/2 8, C 1s 2 2s 2 2p 2 3 P 0 11, N 1s 2 2s 2 2p 3 4 S 3/2 14, O 1s 2 2s 2 2p 4 3 P 2 13, F 1s 2 2s 2 2p 5 2 P 3/2 17, Ne 1s 2 2s 2 2p 6 1 S 0 21, Na [Ne]3s 2 S 1/2 5, Mg [Ne]3s 2 1 S 0 7, Al [Ne]3s3p 2 P 1/2 5, Si [Ne]3s3p 2 3 P 0 8, P [Ne]3s3p 3 4 S 3/2 10, S [Ne]3s3p 4 3 P 2 10, Cl [Ne]3s3p 5 2 P 3/2 10, Ar [Ne]3s3p 6 1 S 0 15, K [Ar] 4s 2 S 1/2 4, Kr [Ar]3d 10 4s 2 4p 6 1 S 0 13, Rb [Kr] 5s 2 S 1/2 4, Xe [Kr]4d 10 5s 2 5p 6 1 S 0 12, Cs [Xe] 6s 2 S 1/2 3, Rn [Xe]4f 1 45d 10 6s 3 6p 6 1 S 0 10, Fr [Rn] 7s 2 S 1/2 4, Rf [Rn]5f 14 6d 2 7s 2? 3 F 2? 6,0? Tabuľka 6.13: Elektrónová konfigurácia elektrónového obalu atómov v základnom stave. V prvom stĺpci je protónové číslo Z atómu. V druhom stĺpci je symbol daného atómu. V treťom stĺpci je elektrónová konfigurácia, pričom konfigurácia uzavretých vrstiev sa značí v skratke v hranatých zátvorkách (symbolom vzácneho prvku s uzavretými vrstvami). Vo štvrtom stĺpci je hladina atómu v základnom stave podľa konvencie 2S+1 L J). V poslednom stĺpci je ionizačná energia príslušného atómu a dobre vidieť periodicky sa opakujúcu vlastnosť rastúcej ionizačnej energie, a skoku medzi ionizačnou energiou atómu s uzavretou vrstvou (vzácny prvok) a ionizačnou energiou nasledujúceho atómu. Kompletnú tabuľku je možné nájsť v dodatku.

170 165 a Hľadaná hladina je 3 P 2. L 3 = = 1 teda L = 1 J = S 3 +L 3 = 2. Príklad Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu vanádia. Riešenie. Konfigurácia základnej hladiny základného stavu neionizovaného atómu vanádia je podľa Madelungovho princípu [Ar]3d 3 4s 2, kde [Ar] označuje konfiguráciu argónu a obsahuje len uzavreté podvrstvy. Uzavretou je aj podvrstva 4s 2, preto hladinu základného stavu určuje len trojica elektrónov neuzavretej podrvstvy 3d 3. Obsadenie tejto podvrstvy elektrónmi je podľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princíp konštrukcie je na obr. 6.2) 4 Z rozmiestnenia vyplýva, že l 3 = S 3 = = 3 2 teda S = 3 2, a L 3 = 2+( 1)+0 = 3 teda L = L 3 = +3 J = S 3 +L 3 = ( 3) = 3 2. Hľadaná hladina je 4 F 3/2. Príklad Určte hladinu základného stavu neionizovaného atómu chrómu, ktorého konfigurácia je [Ar]3d 5 4s. Riešenie. V totmo prípade máme dve neuzavreté vrstvy, 3d a 4s Obsadenie týchto podvrstiev elektrónmi je podľa 1. a 2. Hundovho pravidla (princíp konštrukcie je na obr. 6.2 a uplatňuje sa samostatne pre obidve podvrstvy). 4 3d 5 l 3 = s l 3 = 0 Z rozmiestnenia vyplýva, že ( 1 S 3 = ) 2 3d ( ) 1 + = 3 teda S = 3, 2 4s

171 166 kde sme dolným indexom pri zátvorkách zdôraznili príspevky z vrstiev 3d a 4s L 3 = ( ) 3d +(0) 4s = 0 teda L = L 3 = 0 a J = S 3 +L 3 = 3+0 = 3. Hľadaná hladina je 7 S 3. 4 Úloha Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného neónu. 5 5 Úloha Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného fosforu. Úloha Nájdite hladinu základného stavu neionizovaného jódu, ktorého konfigurácia je [Kr]4d 10 5s 2 5p 5. Úloha Nájdite hladinu základného stavu nasledujúcich neionizovaného atómov: 7 N : [He]2s 2 2p 3, 15 P : [Ne]3s 2 3p 3, 33 As : [Ar]3d 10 4s 2 4p 3, 83 Bi : [Xe]4f 14 5d 10 6s 2 6p 3 Úloha Nájdite hladinu základného stavu nasledujúcich neionizovaného atómov: 5 B : [He]2s 2 2p, 6 C : [He]2s 2 2p 2, 7 N : [He]2s 2 2p 3, 8 O : [He]2s 2 2p 4, 9F : [He]2s 2 2p 5, 10 B : [He]2s 2 2p Úloha Ktoré sú hladiny základného stavu neionizovaných atómov u tých atómov, ktoré v základnom stave majú neuzavretú len jednu podvrstvu, a táto podvrstva je typu d. Uveďte výsledky pre všetky konfigurácie, tj. od d 1 až po d 10. Úloha Pre ktorý z nasledujúcich atómov dávajú Hundové pravidlá nesprávnu hladinu základného stavu: prvok konfigurácia hladina základného stavu 24Cr 3d 5 4s 7 S 3 58Ce 4f5d6s 2 1 G 4 64Ga 4f 7 5d6s 2 9 D 2 Úloha Pre ktorý z nasledujúcich atómov dávajú Hundové pravidlá nesprávnu hladinu základného stavu: prvok konfigurácia hladina základného stavu 78Pt 4f 14 5d 9 6s 3 D 3 91Pa 5f 2 6d7s 2 4 K 11/2 92U 5f 3 6d7s 2 5 L 6

172 pre- Zakázané chody 6.5 Výberové pravidlá 167 Pokiaľ sa pozorný čitateľ znova pozrie na tabuľku 6.6 spektrálnych čiar (λ exp ) na strane 131, všimne si, že mnohé prechody nie sú uvedené. Nenájde tam prechody typu 4d 3/2 2s 1/2, vlastne žiadny prechod z podvrstvy 4d na 2s, či z 5d na 2s. Niektoré prechody sú jednoducho zakázané. 11 Výklad celej problematiky je síce nad rámec našich cieľov, ale našťastie, podstatná časť vysvetlenia sa zakladá na zákonoch zachovania. Pri prechodoch rozdiel energie medzi termami odnáša fotón, ktorého energia sa rovná rozdielu energií termov. Je to dané zákonom zachovania energie. Zákon zachovania energie by však mohol dovoliť prechody medzi všetkými možnými termami. Keď sa však pozrieme na tabuľku 6.6 na strane 131, všimneme si, že orbitálny moment hybnosti elektrónu, ktorý prechádza zo začiatočnej orbitály na konečnú, sa nikdy nemení o viac než o jednu. Presnejšie, máme tu na mysli zmenu vedľajšieho kvantového čísla l (kvantové číslo veľkosti orbitálneho momentu hybnosti). Zrovna tak, ani celkový moment hybnosti j sa nemení nikdy o väčšiu hodnotu ako o 1. Príklad Indexujme stav elektrónu pred prechodom ako in a po prechode ako out a definujme zmenu l orbitálneho momentu hybnosti l = l (out) l (in). (6.8) Definujme analogicky zmenu j celkového momentu hybnosti j = j (out) j (in). (6.9) V oboch prípadoch sa jedná o zmenu kvantového čísla veľkosti príslušnej fyzikálnej veličiny (orbitálneho momentu hybnosti a celkového momentu hybnosti elektrónu). Určte l a j pre prechody uvedené v tabuľke 6.6 na strane 131. Riešenie. Riešenie demonštrujeme na prvom riadku tabuľky. Elektrón na orbitále 3d 3/2 má orbitálny moment hybnosti l (in) = 2 a celkový moment hybnosti rovný j (in) = 3 2. Na orbitále 2p 1/2 má orbitálny moment hybnosti l (out) = 1 a celkový moment hybnosti j (out) = 1 2. Zmena orbitálneho momentu hybnosti je preto l = l (out) l (in) = 1 2 = 1 11 Pokiaľ sa pozrie na domovskú stránku National Institute of Standards and Technology, na spektrálne čiary vodíkového atómu ( pl), zistí, že nenájde ani prechody z podvrstvy 5f na podvrstvu 3p, alebo 3s, a mnohé ďalšie prechody (sú zakázané).

173 168 a zmena celkového momentu hybnosti je j = j (out) j (in) = = 1. Výsledky pre ostatné údaje zhrnieme do nasledujúcej tabuľky Výberové pravidlo pre celkový moment hybnosti (exaktné) Uvedené prechody predchádzajúceho príkladu dobre demonštrujú, že fotón má moment hybnosti j = 1. Tým sa má na mysli kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti. Tento moment hybnosti je vlastný moment hybnosti fotónu, teda spin fotónu. Z tabuľky 6.14 sme odpozorovali, že j = 1,0,+1. Zákon zachovania momentu hybnosti (ako vektorovej fyzikálnej veličiny) pri prechode znamená J (in) = J (out) +J (f), kde J (in) je moment hybnosti elektrónu pred prechodom, J (out) po prechode a J (f) je moment hybnosti fotónu. Podľa pravidiel skladania momentov hybnosti bude platiť pre príslušné kvantové čísla j veľkostí momentov hybností j (out) j (f) j (in) j (in) +j (f). Nakoľko kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti fotónu je 1 j (out) 1 j (in) j (out) +1. V prípade atómu vodíka môžu nastať nasledujúce možnosti j (out) = 1 2, potom j(in) = 1 2, 3 2 a j = 0, 1 j (out) 3 2, potom j(in) = j (out) 1,j (out),j (out) +1 a j = 1,0,+1. Pre viac elektrónové systémy máme možnosť s nepárnym počtom elektrónov a výsledky sú rovnaké ako pre atóm vodíka (rozhodujúce je, že v takom prípade je celkový moment hybnosti polocelé číslo). Ak však počet elektrónov je párny, potom J (out) = 0, potom J (in) = 1 a J = 1 J (out) = 1, potom J (in) = 0,1,2 a J = 1,0,+1.

174 169 prechod zo stavu in do stavu out l j 3d 3/2 2p 1/ p 3/2 2s 1/ s 1/2 2p 1/ p 1/2 2s 1/ d 5/2 2p 3/ d 3/2 2p 3/ s 1/2 2p 3/ d 3/2 2p 1/ p 3/2 2s 1/ s 1/2 2p 1/ p 1/2 2s 1/ d 5/2 2p 3/ d 3/2 2p 3/ s 1/2 2p 3/ d 3/2 2p 1/ s 1/2 2p 1/ p 3/2 2s 1/ p 1/2 2s 1/ d 5/2 2p 3/ d 3/2 2p 3/ s 1/2 2p 3/ Tabuľka 6.14: Zmena orbitálneho a celkového momentu hybnosti pri experimentálne pozorovaných prechodoch elektrónu vo vodíkovom atóme. Hodnoty môžu byť jedine 1,0,+1.

175 170 J (out) 2, potom J (in) = J (out) 1,J (out),j (out) +1 a J = 1,0,+1. Všimnime si, že síce môže nastať možnosť J = 0, ale nikdy nie v podobe J (in) = J (out) = 0. Tým sme získali exaktné vyjadrenie výberového pravidla pre celkový moment hybnosti v podobe j = 0,±1, (j (in) = j (out) 0). Poznámka Čitateľ môže skúsiť predpokladať, že kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti fotónu nie je 1, zistí, že zo zákona zachovania momentu hybnosti vyplynú iné pravidlá, než sme odpozorovali z experimentálnych údajov. Môžeme to chápať ako potvrdenie skutočnosti, že fotón má moment hybnosti J (f) = 1. V skutočnosti je však situácia trošku komplikovanejšia k tejto komplikácii sa vrátime v záverečnej poznámke Výberové pravidlo tretej zložky celkového momentu hybnosti (atóm vodíka) Pre tretie zložky momentu hybnosti (samotných fyzikálnych veličín) elektrónu atómu vodíka platí odkiaľ pre kvantové čísla (J (in) ) 3 = (J (out) ) 3 +(J (f) ) 3, j (in) 3 = j (out) 3 +j (f) 3, a pre zmenu tretej zložky momentu hybnosti dostávame j = j (f). Kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti fotónu je 1, a preto možné hodnoty (kvantovaného) priemetu na vybraný fyzikálny smer sú j (f) 3 = 1,0,1. Z uvedeného vyplýva výberové pravidlo pre tretiu zložku momentu hybnosti j = 1,0,1.

176 Výberové pravidlo pre orbitálny moment hybnosti (atóm vodíka) Ukázané výberové pravidlo pre veľkosť momentu hybnosti je dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti, a skutočnosti, že fotón má vlastný moment hybnosti (spin) rovný (príslušné kvantové číslo je teda 1). Čo vyplýva zo zákona zachovanie momentu hybnosti pre orbitálny moment hybnosti? Príklad Orbitálny moment hybnosti elektrónu pred prechodom jel (in) a po prechode l (out). Aké sú možné zmeny l orbitálneho momentu hybnosti? Riešenie. Nakoľko spin elektrónu je vždy 1 2, potom s(in) = s (out) = 1 2 a 4 l (in) 1 2 j(in) l (in) Odtiaľto dostaneme možné hodnoty orbitálneho momentu hybnosti Rovnako pre koncový stav l (in) = j (in) 1 2,j(in) l (out) = j (out) 1 2,j(out) Možné hodnoty l = l (out) l (in) získame skombinovaním všetkých možných výsledkov (štyri možné kombinácie) ako l = j 1, j, j +1. Nakoľko možné hodnoty j = 1,0,+1, orbitálny moment hybnosti sa môže v atóme vodíka zmeniť len o hodnoty l = 2, 1,0,+1,+2. Tieto možné zmeny sú ale, ako to vyplynulo z ich výpočtu, dôsledkom len zákona zachovania momentu hybnosti. Pozorný čitateľ si všimne pri riešení príkladu 6.43 (s výsledkami v tabuľke 6.14), že orbitálny moment hybnosti sa nemôže meniť o hodnotu 0, an i o ±2 ( l = ±1). Toto pravidlo nijako nevyplynie zo zákona zachovania momentu hybnosti, ako to ukázalo riešenie príkladu Výberové pravidlo nás upozorňuje na skutočnosť, že fotón má okrem energie, hybnosti a momentu hybnosti ďalšiu fyzikálnu vlastnosť. Touto vlastnosťou je tzv. parita.

177 172 y fyzikálne rovnaké situácie fyzikálne zrkadlová situácia x z z 1 E 2 1 E 2 y 2 E 1 y z x x Obr. 6.4: Obrázok uprostred predstavuje základnú fyzikálnu situáciu, intenzitu elektrického poľa E medzi kladným a záporným nábojom. Obrázok od nej naľavo je tá istá fyzikálna situácia, ale na popis sa používa súradná sústavu so zrkadlenými osami. Zámena súradných osí samozrejme nemá vplyv na samotnú fyzikálnu situáciu, len na jej popis. V tomto novom popise (v zrkadlenej súradnej sústave) je vektor E intenzity elektrického poľa daný ako E = Ee y. Od stredného obrázku vpravo je situácia fyzikálne zrkadlená (sústava súradníc sa nemení). Vidíme, že aj v tomto prípade je E = Ee y. Nakoľko pri fyzikálnom zrkadlení sa mení znamienko intenzity elektrického poľa, povieme, že intenzita elektrického poľa má zápornú paritu Parita Čo je parita? Jedná sa o symetriu prírody voči zrkadleniu všetkých priestorových osí. Ako tomu treba rozumieť? Vysvetľujú to obrázky 6.4 a 6.5. Parita Zákon zachovania parity Parita je multiplikatívna veličina, na rozdiel od energie, hybnosti, či momentu hybnosti, ktoré sú aditívne. Aditívnosť v zákone zachovania (napríklad pre moment hybnosti) znamená J 1 +J 2 +J 3 + = konštanta, kde J 1,J 2,... sú momenty hybnosti častí systému, a súčet sa v čase zachováva. Pritom môžu prebiehať medzi časťami rôzne interakcie (napr. zrážky, premeny a pod.), ktoré systém môžu aj pretvoriť (zmení sa počet častíc a pod.). Zákony zachovania energie, hybnosti a momentu hybnosti sú globálne zákony zachovania. Zákon zachovania parity je multiplikatívny a má tvar π 1 π 2 π 3 = konštanta,

178 173 fyzikálne rovnaké situácia z fyzikálne zrkadlová situácia z y 4 x B 1 B y B x 2 x z y Obr. 6.5: Obrázok uprostred predstavuje základnú fyzikálnu situáciu, magnetické pole budené v začiatku kladným nábojom, ktorý obieha začiatok súradnej sústavy v kladnom smere (prechádzajúc postupne cez body 1,2,3,4,1,...). Obrázok od nej naľavo je tá istá fyzikálna situácia, ale na popis sa používa súradnú sústavu so zrkadlenými osami. Zámena súradných osí samozrejme nemá vplyv na samotnú fyzikálnu situáciu, len na jej popis. V tomto novom popise (v zrkadlenej súradnej sústave) je vektor B magnetickej indukcie poľa daný ako B = Be z. Od stredného obrázku vpravo je situácia fyzikálne zrkadlená (sústava súradníc sa nemení). Vidíme, že v tomto prípade je B = Be z. Nakoľko pri fyzikálnom zrkadlení sa znamienko indukcie magnetického poľa nemení, povieme, že indukcia magnetického poľa má kladnú paritu.

179 174 kde π 1,π 2,... sú rovné +1 alebo 1 a predstavujú paritu častí systému. Zákon zachovania hovorí, že celková parita systému, nech sa v systéme deje čokoľvek, sa zachováva. Poznámka V dobe klasickej fyziky prevládalo presvedčenie, že zákon zachovania parity je tiež globálny zákon. Prevládalo presvedčenie, že ak máme prístroj, alebo stroj, dá sa zrealizovat aj jeho fyzikálne zrkadlená kópia. Slovami fyzikálnych javov, ak parita pred nejakou interakciou je kladná, je kladná aj po interakcii. Ak je parita záporná, je záporná aj po interakcii. Po objave jadrových síl sa ukázalo, že existuje slabá interakcia, ktorá paritu nezachováva. Slabá interakcia je zodpovedná napr. za premeny jadier, v ktorých vzniká neutríno (resp. antineutríno). Príroda nie je invariantná voči zrkadleniu. Inými slovami, ak by sme postavili stroj, ktorý využíva nejakým spôsobom rádioaktívne premeny riadené slabou interakciou (tzv. β- premeny), zrkadlovo postavený stroj nebude mať úplne rovnaké vlastnosti. Dnes sme presvedčení, že takýto stroj by mal rovnaké vlastnosti jedine vtedy, pokiaľ by bol postavený z antihmoty 12. Gravitačná, elektromagnetická a silná interakcia však paritu striktne zachováva. Pri štúdiu elektrónového obalu sa stretávame jedine s elektromagnetickou interakciou. Klasická fyzika, ani stará kvantová mechanika si však nevie rady s vlastnou paritou častíc. Vlastná parita častíc nie je spojená s priestorovým zrkadlením, zrovna tak, ako vlastný moment hybnosti (spin) častíc nemá nič spoločného s priestorovým pohybom (napr. rotáciou elektrónu). Výberové pravidlá klasická fyzika nevie vysvetliť a zrovna tak si s nimi nevie rady ani stará kvantová mechanika. Moderná kvantová mechanika však hovorí, že atóm s N elektrónmi, má paritu π = ( 1) L, L = l 1 +l 2 + +l N kde l 1,l 2,...l N sú kvantové čísla orbitálneho momentu hybnosti elektrónov v elektrónovom obale atómu. V prípade vodíkového atómu, kde máme len jeden elektrón, potom π (H,in) = ( 1) l(in), a π (H,out) = ( 1) l(out). Zo zákona zachovania parity π (H,in) = π (H,out) π (f) 12 Antihmota sa skladá z antiatómov z ložených z antiprotónu, antineutrónu a z pozitrónov (antielektrónov). Všetky antičastice majú rovnakú hmotnosť a vlastnosti ako príslušné normálne častice, len ich náboje sú odlišné (napríklad antiprotón má záporný elektrický náboj a záporný baryónový náboj)

180 175 a pomocou momentov hybnosti odkiaľ ( 1) l(in) = ( 1) l(out) π (f) 1 = ( 1) l(out) l (in) π (f) = ( 1) l π (f). Z experimentu vieme, že l = ±1, a preto parita fotónu je záporná (π (f) = 1). Tým sa dostávame aj k pochopeniu súvislosti výberového pravidla pre orbitálny moment hybnosti s paritou l = ±1. Pri vyžiarení jedného fotónu sa parita atómu zmení na opačnú (z kladnej na zápornú, alebo zo zápornej na kladnú) Výberové pravidlo spinu Nakoľko v elektrónovom obale je jediný elektrón, výberové pravidlo je triviálne s = 0. Rovnaké výberové pravidlo platí pre viacelektrónové atómy (tam to už nie je triviálne, ale výklad by presiahol rámec tejto učebnice) Zhrnutie výberových pravidiel Vodík a vodíku podobné atómy Výberové pravidlá pre atóm vodíka sú zhrnuté v tabuľke 6.15 j j 3 l s 1,0,+1 (0 / 0) 1,0,+1 1,+1 0 Tabuľka 6.15: Súhrn výberových pravidiel pre atóm vodíka. Súhrn výberových pravidiel pre vodíku podobné atómy Mnoho elektrónové atómy Výberové pravidlá platia aj pre viacelektrónové atómy. Sú v podstate identické s pravidlami, ktoré sme zdôvodnili pre atóm vodíka, len sa týkajú zmien J, J 3, L a S, kvantových čísiel J,J 3,L a S. Tie sú kvantovými číslami

181 176 celkového momentu hybností J, jej tretej zložky (J) 3 orbitálneho momentu hybnosti L a spinu S (teda fyzikálnych veličín). Tieto fyzikálne veličiny sú zložením príslušných fyzikálnych veličín všetkých elektrónov elektrónového obalu atómu, teda J = (J) 3 = L = S = N J (i), i=1 N (J (i) ) 3, i=1 N L (i), i=1 N S (i). i=1 Tu J (i) je celkový moment hybnosti i tého elektrónu z N elektrónov tvoriacich elektrónový obal atómu. Obdobne (J (i) ) 3 je tretia zložka celkového momentu hybnosti i tého elektrónu, ktorého orbitálny moment hybnosti je L (i) a spin je S (i). Exaktné pravidlá sa týkajú celkového momentu hybnosti J a jeho tretej zložky(j) 3, teda príslušných kvantových čísiel J a J 3 J = 1,0,+1 okrem J = 0 keď J (in) = J (out) = 0 J 3 = 1,0,+1. Ostatné pravidlá platia len pre elektrónové obaly, v ktorých sa uplatňuje L S väzba (v prípade j j väzby neplatia). Nejedná sa teda o exaktné pravidlá, ale pre L S väzbu majú tvar L = 1,+1, S = 0.

182 177 Súhrnne Exaktné L S väzba J J 3 L S 1,0,+1 (0 / 0) 1,0,+1 1,+1 0 Súhrn výberových pravidiel pre mnoho elektrónové atómy Tabuľka 6.16: Súhrn výberových pravidiel pre mnoho elektrónový atóm. Pravidlá pre J a J 3 sú exaktné, pravidlá pre L a S platí pre atóm, v ktorého elektrónovom obale sa uplatňuje L S väzby. Poznámka Všetky tu uvedené výberové pravidlá sa týkajú tzv. elektrických dipólových prechodov. Uvedené pravidlá nezahŕňajú dipólové magnetické prechody, ktorých intenzita je cca. 137-krát nižšia, než intenzita elektrických dipólových prechodov. Okrem dipólových prechodov existujú kvadrupólové (elektrické a magnetické) prechody. Tie sú znova cca. 137-krát menej intenzívne, než príslušné dipólové prechody. Analogický vzťah patrí pre multipólové prechody vyššieho rádu. Pri multipólových prechodoch fotón môže odniesť vyšší moment hybnosti, než pri dipólovom elektrickom prechode. Vyjadrená v kvantových číslach, veľkosť odnášaného momentu hybnosti môže byť 2,3,4, atď., pričom intenzita takých prechodov je úmerne slabšia (úmera je α 2,α 3,α 4,...,α m kde α je konštanta jemnej štruktúry, ktorej hodnota je približne 1/137), a m je rád multipólu. Fotón multipólového žiarenia rádu m odnáša moment hybnosti m. Parita multipólového žiarenia tiež závisí od rádu multipólu. Parita elektromagnetického multipólového prechodu rádu m je ( 1) m, kým parita magnetického multipólového prechodu je ( 1) m+1. Multipólové prechody, tj. kvadrupólové (m = 2), oktupólové (m = 3), atď. sú významné vtedy, keď prechody nižšieho rádu sú zakázané výberovými pravidlami. Poznámka Pozorný čitateľ si určite všimol, že spomínaný prechod atómu vodíka, pri ktorom sa preklopí spin elektrónu v magnetickom poli jadra, patrí medzi zakázané prechody, lebo pri ňom l = 0 (elektrón zostáva na podvrstve 1s). Napriek tomu tento prechod existuje a hrá ústrednú úlohu v astronomických pozorovaniach. Vďaka tomu, že pravdepodobnosť tohoto prechodu je malá, príslušná emisná čiara, je veľmi ostrá inými slovami energia vyžiareného fotónu má veľmi malý rozptyl, za čo vďačí svojmu ústrednému postavevniu v astronómii.

183 178

184 Kapitola 7 Experimenty s kvantovými vlastnosťami V predchádzajúcej kapitole sme sa venovali mnoho elektrónovým systémom a ich kvantovým vlastnostiam. Experimenty, ktoré tieto vlastnosti potvrdzujú, boli vykonávané použitím vzoriek, ktoré sa skladali z mnohoelektrónových atómov. To bolo dôvodom, prečo sme tieto experimenty uvádzame až v tomto okamihu. 7.1 Moment hybnosti fotónu V roku 1936 vykonal Richard A. Beth experiment, v ktorom zmeral moment hybnosti fotónu. V prípade dipólového žiarenia sa skladá elektromagnetické pole elektrickej zložky popísanej elektrickým poľom E a magnetickej zložky popísanej indukciou magnetického poľa B. Tieto dve zložky elektromagnetického poľa sú kolmé (v prípade dipólového žiarenia) na smer šírenia žiarenia i navzájom. K pochopeniu Bethovho experimentu stačí, aby sme uvažovali len o elektrickej zložke elektromagnetického žiarenia (o elektrickom poli E). Elektromagnetické žiarenie môže byť polarizované. Pokiaľ elektrická zložka poľa kmitá v rovine, hovoríme o lineárne polarizovanom elektromagnetickom žiarení 1. Teraz si predstavme, že sa pozeráme do zdroja svetla a svetlo prechádza rovinou, ktorá sa nachádza pred nami. Ak vektor elektrického poľa E popisuje v tejto rovine kružnicu, hovoríme o kruhovej polarizácii. Ak hľadiac do zdroja 1 pokiaľ elektromagnetické žiarenie je vo viditeľnom pásme, tak hovoríme o lineárne polarizovanom svetle obdobné platí pre ostatné druhy polarizácií 179

185 180 je tento pohyb vektoru elektrického poľa v spomínanej rovine v smere chodu hodinových ručičiek (je pravotočivý), hovoríme o pravotočivej kruhovej polarizácii, v opačnom prípade o ľavotočivej. Druhy polarizácie sú znázornené na obrázku 7.1. Ak vektor elektrického poľa popisuje elipsu, polarizácia je eliptická. Ďalej o eliptickej polarizácii nebudeme uvažovať. 2 Jednotlivé prípady polarizácie sa dajú charakterizovať aj fázovým posunom ϕ zložiek elektrického poľa elektromagnetického žiarenia, ako to ukazuje obrázok 7.1. Ak je fázový posun 0 alebo π, elektromagnetické žiarenie je lineárne polarizované. Ak je fázový posun Pi 2, 3π 2, 5π 2... je elektromagnetické žiarenie kruhovo polarizované. Tento vzťah medzi druhom polarizácie a fázovým posunom sa dá využiť k zmene spôsobu polarizácie pomocou anizotropných materiálov. Pripomíname, že v anizotropnom materiále je rýchlosť, ktorou sa šíria zložky elektromagnetického poľa, odlišné. Ďalej budeme uvažovať o kryštále, v ktorom sa šíri elektromagnetické vlnenie v smere osi z a dvojica hlavných osí kryštálu určujú osi x a y. Zložka E x sa šíri v kryštále rýchlosťou c x, kým zložka E y rýchlosťou c y pozri obrázok 7.2. Vybrúsením anisotropného kryštálu správnej hrúbky (a pri správnej orientácie hlavných osí) môžeme vyrobiť tzv. λ/2 doštičku (obr. 7.2), ktorá spôsobí fázový posun ϕ = π medzi zložkami elektrického poľa. Z ľavotočivej kruhovej polarizácie vytvorí pravotočivú a naopak. Beth meral v experimente mechanické účinky monochromatického svetla prechádzajúceho cez λ/2 doštičku zavesenú na tenké kremíkové vlákno. Zistil, že kruhovo polarizované svetlo prechádzajúce cez λ/2 doštičku, pôsobí na doštičku momentom sily. Moment sily je najväčší práve pri kruhovej polarizácii svetla. Z prepočtu tohoto momentu sily na jeden fotón vychádzalo, že veľkosť z-vej zložky momentu hybnosti fotónu je (J) z = + pre pravotočivú polarizáciu a (J) z = pre ľavotočivú polarizáciu. 2 V rádioastronómii sa pravo- a ľavotočivosť sa posudzuje nie z pohľadu prijímača, ale vysielača. Táto konvencia, ktorá sa v rádioastronómii používa, sa označuje ako tradičná. Nami zavedená konvencia sa ozančuje ako prirodzená. V danom okamihu koncový vektor elektrického poľa popisuje tzv. helix (pozri obr. 7.1 časť (e) a (f)). Pre pravotočivú polarizáciu (chápanej podľa prirodzenej konvencie) je aj helix pravotočivý. Pre ľavotočivú polarizáciu je helix ľavotočivý.

186 181 z y z E ϕ = 0 ϕ = π/2 z y y x x J E (J) z = x (a) (c) (e) z y z ϕ = π ϕ = 3π/2 z y J y x (b) E x (d) E (J) z = + Obr. 7.1: Na obrázkoch vidíme znázornenú elektrickú zložku E elektromagnetického žiarenia v rôznych prípadoch. Elektromagnetické žiarenie sa šíri v smere osi z. Kolmo na tento smer kmitá elektrické pole E elektrického poľa. Vo všeobecnom prípade má zložku v smere osi x (obrázok (a)), aj v smere osi y (obrázok (b)). Tieto zložky majú priebeh E x = e xe xsin(k xz ωt) a E y = e ye ysin(k yz ωt ϕ), kde e x a e y sú jednotkové smery ukazujúce v smere osi x a y, ďalej ω je kruhová frekvencia elektromagnetického žiarenia, a k x = k y je vlnové číslo pre príslušné zložky elektrického poľa a platí pre nich ω k x = c x, a ω k y = c y, kde c x a c y je rýchlosť, ktorou sa šíri príslušná zložka elektrického poľa E v danom prostredí. Na obrázku c x = c y, tj. je táto rýchlosť rovnaké pre obidve zložky. V prípade, že elektrické pole E má len jednu zložku, elektromagnetické žiarenie je lineárne polarizované (obr. (a) a obr. (b)). Superpozíciou dvoch takýchto vlnení vznikne lineárne vlnenie, pokiaľ fáza ϕ medzi maximami vlnení je posunuté o celočíselné násobky π (pozri obr. (c), kde ϕ = 0 a obr. (d) kde ϕ = π). Ak fázový rozdiel je ϕ = π/2, hovoríme o kruhovej polarizácii obr. (e). Ak sa pozrieme do zdroja svetla, vektor elektrického poľa E sa v pevne vybranej rovine (cez ktorú prechádza žiarenie kolmo) točí v kladnom smere. Hovoríme tiež, že príslušné fotóny sú ľavotočivé (ak palec ľavej ruky ukazuje do zdroja, ostatné prsty ukazujú smer, v ktorom sa točí vektor E elektrického poľa v pevne zvolenej rovine, cez ktorú prechádza). Obrázok (f) ukazuje elektrické pole pravotočivých fotónov. V tomto prípade je fázový posun medzi zložkou E x a E y rovný ϕ = 3π. Pre pravotočivé 2 fotóny ukazuje moment hybnosti fotónov v smere letu (obr. (f)), kým pre ľavotočivé fotóny ukazuje proti smeru letu (obr. (e)). x (f)

187 182 z c y y c x x Obr. 7.2: Princíp činnosti lambda pol doštičky. V anizotropnom kryštále je rýchlosť šírenia svetla odlišná pre zložky elektrického poľa, ktoré kmitajú v rôznych rovinách. Na obrázku sme znázornili prípad, keď elektromagnetické pole sa šíri v smere osi z. Rýchlosť, ktorou sa šíri zložka E x elektrického poľa E je c x, kým rýchlosť, ktorou sa šíri zložka E y elektrického poľa E je c y. Pre anizotropný kryštál sú tieto rýchlosti odlišné. Na obrázku sme znázornili prípad, keď c x = 5 cy. Pri tomto pomere rýchlostí na znázornenej vzdialenosti zložka E x vykoná 3 celé kmity, kým zložka E y len 5 kmitu. Pre ľubovoľné pomery 6 2 rýchlostí možno nájsť takú hrúbku kryštálu, pri ktorej medzi zložkou E x a zložkou E y vznikne fázový rozdiel zodpovedajúci polovici vlnovej dĺžky, tj. π. v takom prípade hovoríme o λ pol doštičke. Ak fázový rozdiel je len π, potom hovoríme o λ/4 doštičke. 2 Ak lineárne polarizované svetlo dopadá λ/4 doštičku tak, že rovina kmitu elektrického poľa je súhlasná s jednou z hlavných osí kryštálu (tj. s osou x resp. s osou y), svetlo zostane lineárne polarizované. Pokiaľ však rovina kmitov lineárne polarizovaného svetla dopadá do kryštálu tak, že rovina kmitov s hlavnými osami uzatvára uhol 45, potom medzi po počas prechody svetla kryštálom vznikne medzi zložkami E x a E y fázový rozdiel π/2 a svetlo sa stáva kruhovo polarizovaným.

188 183 Silové účinky sú dôsledkom zákona zachovania momentu hybnosti. Fotón má moment hybnosti, ktorého priemet na smer šírenia je v prípade kruhovej pravotočivej polarizácii +, kým v prípade ľavotočivej polarizácii. Pri prechode λ/2 doštičkou sa mení orientácia momentu hybnosti fotónu na opačnú. Zo zákona zachovania momentu hybnosti vyplýva, že rozdiel v momente hybnosti preberá λ/2 doštička a vzniká tým moment sily, ktorým pôsobí svetlo na doštičku, ktorá sa pootočí okolo bodu závesu (kremíkové vlákno pôsobí ako torzné kyvadlo). Z veľkosti výchylky sa dá určiť moment sily a veľkosť momentu hybnosti odovzdanej fotónmi za jednotu času. Na obrázku 7.3 je schematické usporiadanie Bethovho experimentu. 7.2 Einsteinov de Haasov experiment Bethov experiment ukázal, že častice môžu niesť moment hybnosti, a to aj v prípade, keď sa jedná o častice fyzikálneho poľa. Predstava, že častica môže mať vlastný moment hybnosti v prípade častíc fyzikálnych látok, nie je taká prekvapivá. Keď si predstavíme koleso, ktoré sa točí okolo svojej osi, alebo guľôčku, ktorá sa točí okolo svojej osi 3, tak je prirodzené, že predpokladáme spojenie momentu hybnosti s rotáciou kolesa, či guľôčky. Táto predstava však nie je taká prirodzená, pokiaľ spomínaný objekt nemá rozmer, alebo je otázne, či disponuje s nejakým rozmerom. V prípade elektrónu, ktorý obieha v atóme, sme povedali, že vďaka uzavretej trajektórii jeho pohyb vytvára magnetický moment, ktorého veľkosť je µ = q e 2m e L, kde q e je je elektrický náboj elektrónu, m e je hmotnosť elektrónu a L je veľkosť orbitálneho momentu hybnosti elektrónu na danej trajektórii (Ampérov magnetický moment). Einstein a de Haas 4 už v roku 1910 navrhli experiment (teda štvrť storočia pred Bethovým experimentom), ktorý by bol schopný merať pomer µ L. 3 Pod pojmom okolo svojej osi rozumieme os prechádzajúcu ťažiskom telesa a spojenú s ťažiskom telesa. 4 Wander Johannes de Haas, holandský fyzik

189 184 zrkadlo kremíkové vlákno meracie zrkadlo osvetlenie λ/4 stupnica λ/ polarizátor monochromatický zdroj svetla Obr. 7.3: Schematický náčrt Bethovho experimentu. Svetlo z monochromatického zdroja prechádza polarizátorom pozostávajúceho z Niklovho hranola a λ/4 doštičky. Za polarizátorom je svetlo kruhovo polarizované. Na obrázku tenké šípky so znázornenou rotáciou vektoru elektrického poľa znázorňujú fotóny. Hrubá šípka ukazuje moment hybnosti. V pozícii 1 máme fotón s pravotočivou polarizáciou. Po prechode λ/2 doštičkou. Po prechode má fotón ľavotočivú polarizáciu (pozícia 3). Zo zákona zachovania momentu hybnosti vyplýva, že λ/2 doštička získala moment hybnosti, aký ukazuje hrubá šípka v pozícii 2 (súčet momentu hybnosti znázornenej v pozícii 3 s momentom hybnosti v pozícii 2 je rovný moemntu hybnosti fotónu v pozícii 1). Následne fotón dopadne na zrkadlo. Predtým však prejde λ/4 doštičkou a po odraze prejde znova. Výsledkom je fotón v pozícii 4 (schematicky ho kreslíme symetricky). Odrazený fotón znova prejde λ/2 doštičkou a ďalej zvýši moment hybnosti doštičky. Doštička sa spolu s vláknom pootočí. Pootočenie sa meria pomocou svetla odrazeného od meracieho zrkadla prilepeného ku kremíkovému vláknu. Smer otočenia je znázornený vektorom pri číslici 7.

190 185 Pokiaľ Ampérova predstava o pôvode magnetických vlastnostiach látok je správna, potom tento pomer musí byť e 2m e. (7.1) Podľa Ampéra magnetické vlastnosti látok, aké majú napríklad ferromagnetiká, majú svoj pôvod v pohybe elektrónov po uzavretej trajektórii. Schematický náčrt Enisteinovho de Haaseho experimentu je na obrázku 7.4. Valec z ferromagnetickej látky je zavesené na tenké kremíkové vlákno, vytvárajúc spolu torzné kyvadlo. Valec sa nachádza vo vnútri cievky (nedotýkajú sa). Pokiaľ v cievke tečie elektrický prúd, v cievke sa indukuje silné magnetické pole, ktoré núti magnetický dipól vytváraný elektrónmi, aby sledovali orientáciu magnetického poľa (znažia sa zaujať stav s najmenšou magnetickou energiou E m = µ B). Ak je s magnetickým momentom magnetických dipólov spojený aj moment hybnosti, pri každej zmene orientácie magnetického poľa bude pôsobiť na valec moment sily, snažiaci sa pootočiť valec striedavo jedným smerom, potom druhým. Jedná sa o nútené kmity. Správnou voľbou frekvencie striedavého prúdu je možné dosiahnúť rezonančnú frekvenciu kyvadla a zmerať zmenu veľkosti momentu hybnosti pri každom prepólovaní zdroja. Precízne merania vykonané v roku 1919 (E.Back) priniesli prekvapivý výsledok. Pomer veľkosti magnetického momentu a momentu hybnosti bol dvakrát taký veľký, než zodpovedalo ampérovej predstave, tj. µ L = e m e. (7.2) Vysvetlenie navrhol o dva roky neskôr Compton. Za magnetické vlastnosti ferromagnetík zodpovedá nie pohyb elektrónov po uzavretej trajektórii, ale vlastný magnetický moment elektrónov. Elektrón (okrem toho, že má elektrický náboj), chová sa ako miniatúrny magnet a má aj vlastný moment hybnosti (spin). Pomer veľkosti magnetického momentu a veľkosti zmeny momentu hybnosti je µ L = g e e, (7.3) 2m e kde faktorg e = 2 sa nazýva gyromagnetickým faktorom, alebo tiež g-faktorom. Dlhú dobu sa považovala hodnota g e = 2 za presnú, čo pôsobilo dojmom záhadného geometrického faktoru. Dnes poznáme jej hodnotu výrazne

191 186 ~ Obr. 7.4: Schematické usporiadanie Einsteinovho de Haasovho experimentu. Ferromagnetický valec zavesený na kremíkovom vlákne sa zmagnetizuje pomocou silného vonkajšieho magnetického poľa. Silné vonkajšie magnetické pole prinúti elektróny zorientovať sa rovnakým spôsobom (minimalizuje sa tým ich magnetická energia) Pri zmene orientácie magnetického poľa sa zmení aj orientácia elektrónov. Táto zmena je doprevádzaná zmenou orientácie momentu vlastného hybnosti (spinu) elektrónov. V dôsledku zákona zachovania momentu hybnosti sa valec pootočí na keramickom vlákne (Richardsonov jav [11]). Striedaním orientácie na rezonančnej frekvencii torzného kyvadla (tvoreného ferromagnetickým valcom a kremíkovým vláknom) sa efekt otáčania stáva merateľným a je určiť pomer veľkosti magnetického momentu a spinu elektrónu.

192 187 presnejšie g e = 2, (4). Nejedná sa teda o záhadný geometrický faktor, ale odráža magnetickú vlastnosť elektrónu, ako elementárnej častice (tak, ako jeho elektrický náboj odráža jeho elektrické vlastnosti). Vzťahy, a predstavy, ktoré sme doteraz použili pri popisovaní Einsteinovho de Haasovho experimentu boli dôsledne klasické. Použitím vzťahu (7.3) dostávame pre tretiu zložku magnetického momentu elektrónu e e µ 3 = g e S 3 = g e s 3, (7.4) 2m e 2m e kde s 3 je kvantové číslo tretej zložky spinu S 3. Veličina µ B = e 2m e (7.5) sa používa ako jednotka magnetického momentu v mikrosvete a nazýva sa Bohrovym magnetónom. Veľkosť magnetických momentov sa vyjadruje v násobkoch Bohrovho magnetonu µ B. Tretia zložka magnetického momentu má veľký význam, nakoľko magnetická energia magnetického dipólu sa dá vyjadriť nasledovne E m = µ B = µ 3 B, kde B = B. (7.6) Poznámka 7.1. Často spôsobuje ťažkosti v chápaní problematiky približná hodnota gyromagnetického faktoru g e 2 a hodnota tretej zložky spinu s 3 = 1/2, ktoré sa vzájomne skoro kompenzujú. Ak vyjadríme veľkosť tretej zložky magnetického momentu elektrónu, dostávame totiž µ 3 = g e µ B s 3 µ B = e 2m. Nesmie nás to však mýliť, nie je to zhoda s Ampérovou predstavou o pomere magnetického momentu a momentu hybnosti. Ďalšie experimenty, ako napríklad Sternov-Gerlachov experiment, či Zeemanov jav tiež dokazujú, že spin elektrónu je s = 1/2. Pri akomkoľvek zakolísaní, si pomeňme, že gyromagnetický faktor elektrónu nie je presne 2. Kým Bethov experiment ukázal, že spin fotónu má zhodné mechanické vlastnosti ako moment hybnosti, Einsteinov de Haasov experiment (založený na Richardsonovom jave) ukázal, že spin elektrónu má tiež zhodné mechanické vlastnosti, ako moment hybnosti. Poznamenajme ešte, že rotujúce elektricky neutrálne teleso vykazuje spontánnu magnetizáciu, čo je obráteným Richardsonovým javom a nazýva sa Barnettovým javom.

193 188 Poznámka 7.2. Veľmi často je užitočná predstava, že elektrón je pevná guľôčka s hmotnosťou m e, ktorého spin vzniká rotáciou okolo vlastnej osi. Elektrický náboj na povrchu, či v objeme tejto guľôčky potom generuje magnetické pole. Podrobnejšími (nie príliš komplikovanými) výpočtami sa však dá ukázať, že táto predstava nevie vysvetliť veľkosť magnetického momentu elektrónu (µ e µ B ).Teória relativity popiera, že by sa mohlo niečo pohybovať rýchlejšie, ako svetlo vo vákuu a to platí aj pre časti rotujúcej guľôčky (elektrónu). Toto rýchlostné obmedzenie bráni tomu, aby rotácia častí hypotetickej guľôčky mohla byť dostatočne rýchla a mohla vygenerovať magnetické pole zodpovedajúce magnetickému momentu elektrónu. Magnetické vlastnosti elektrónu sú jemu vlastné a nezodpovedajú ampérovej predstave vzniku v dôsledku pohybu elektricky nabitých častí hmoty. 7.3 Sternov Gerlachov experiment Sternov Gerlachov experiment dokazuje, že orientácia magnetického momentu atómov vo vonkajšom magnetickom poli nie je ľubovoľná. Ich magnetická energia E m = µ B je kvantovaná, a s tým je spojená naša klasická predstava, že uhol medzi vektorom µ magnetického momentu atómu a vektorom B magnetickej indukcie vonkajšieho magnetického poľa nemôže byť ľubovoľná. Táto predstava je veľmi ilustratívna, ale prístup cez kvantovanie magnetickej energie je výrazne jednoduchšie. Zoberme napríklad elektrón, ktorého magnetická energia vo vonkajšom magnetickom poli s magnetickou indukciou B je E m = µ e B = (µ e ) 3 B = g e µ B s 3 B, (7.7) kde s 3 je kvantové číslo tretej zložky spinu elektrónu. Silové účinky na magnetický moment elektrónu vo vonkajšom magnetickom poli budú F m = E m = g e µ B s 3 (B), z čoho vyplýva, že silové účinky pri hodnote s 3 = budú presne opačné, ako v prípade s 3 = 1 2. Pokiaľ gradient (B) magnetického poľa bude veľké, silové účinky rozdelia zväzok elektrónu do dvoch častí. To je základná idea Sternovho Gerlachovho experimentu, pravda, elektr=ony nie sú vhodným objektom pre tento experiment, nakoľko nie sú elektricky neutrálne a pri prechode magnetickým poľom na nich pôsobí Lorenetzova sila F L = q e v B. Sterna a Gerlach svoj experiment realizovali na elektricky neutrálnych atómoch. Schematický náčrt experimentu je znázornený na obrázku 7.5.

194 189 N S N S kolimátory zdroj častíc Obr. 7.5: Schematický náčrt Sternovho Gerlachovho experimentu. Zdrojom častíc bol v pôovodnom experimente platinový drôt s postrebreným povrchom. žhavením platinového drôtu sa zo striebornej vrstvy uvoľnili atómy striebra. Preletom cez kolimátory sa vytvoril tenký zväzok, ktorý pri prechode nehomogénnym magnetický poľom sa rozdelili do dvoch zväzkov. Základná energetická hladina atómu striebra je 2 S 1/2. Počet zväzkov, ako ukázali ďalšie experimenty, je 2J + 1, kde J je kvantové číslo celkového momentu hybnosti atómu. Na ľavom obrázku je znázornené rozdelenie zväzku striebra do dvoch častí ( = 2). Na ľavom obrázku je náčrtok rozdelenia zväzku atómov striebra (neskôr bol tento experiment zopakovaný aj s vodíkom ( 2 S 1/2 )). Na pravom obrázku vidíme schematický náčrt v prípade titánu (základná hladina je 3 F 2).

195 190 Atóm striebra v základnom stave je na energetickej hladine 2 S 1. Prechodom cez nehomogénne magnetické pole sa zväzok atómov striebra rozdelil 2 na dva zväzky a na tienidle vytvorili svetelný bod, symetricky voči nulovej polohe (pôvodného smeru letu atómov). Ďalšie experimenty ukázali, že počet zväzkov po prechode nehomogénnym magnetickým poľom je rovný 2J + 1, kde J je kvantové číslo veľkosti celkového momentu hybnosti atómov. To dokazuje, že magnetický moment je spojený s celkovým momentom hybnosti atómu. (V prípade voľného elektrónu je celkový moment hybnosti vlastný moment hybnosti elektrónu, tj. jeho spin.) Jednotlivé zväzky zodpovedajú jednotlivým hodnotám tretej zložky J 3 celkového momentu hybnosti J. Poznámka 7.3. Niekoho by mohlo napadnúť, že vybratím zväzku s konkrétnou hodnotou J 3 by bolo možné a tomto zopakovať meranie. Opakovaním takého merania však už zväzok nerozdelí na dve časti, lebo všetky atómy v danom zväzku majú rovnakú hodnotu tretej zložky J 3. Ďalším nápadom by mohlo byť, že zopakovaním experimentu ale s aparatúrou pootočenou o 90 by bolo možné zmerať zložku J 2 celkového momentu hybnosti a potom aj J 1. Tieto experimenty je možné vykonať a zväzok sa rozdelí (napríklad pri meraní J 2 ) na dva zväzky, čo nie je prekvapivé, lebo meriame zložku vektoru v inom smere, než pri meraní zložky J 3. Kvantovou vlastnosťou prírody však je, že po takomto meraní (meraním zložky v inom, než v pôvodnom smere), má vplyv na stav atómov. Meranie zložky J 2 zasiahne do hodnoty zložky J 3. Pred meraním zložky J 2 sme vyfiltrovali tie atómy, ktoré mali konkrétnu hodnotu J 3 (napr ). Zmeraním J 2, sa medzi atómami znova budú atómi, ktorých hodnota tretej zložky bude J 3. Vysvetlíme túto vlastnosť pomocou 200 farebných hračiek. Hračky tu predstavujú kocky a guľôčky, oba môžu byť zelené i červené. Keby farba a tvar hračiek mali medzi sebou taký vzťah, ako dve odlišné zložky momentu hybnosti (napr. J 3 a J 2 ), vyššie popísané kvantové vlastnosti by vyzerali nasledovne. Najprv hračky rozdelíme na guľôčky (skupina A) a kocky (skupina B), bez ohľadu na ich farbu (výber zložky J 3 ). Ak zoberieme vytriedené guľôčky (nech je ich 108 kusov a kociek je 92 kusov) a znova ich ideme triediť podľa tvaru, už dostaneme len jednu skupinu so 108 guľôčkami, lebo všetky sú guľôčky (J 3 sa nezmenilo). Urobíme teraz na tejto hromade 108 guľôčok (skupina A) triedenie podľa farieb a vzniknú (dajme tomu) dve kôpky, 50 červený hračiek (skupina C) a 58 zelených (skupina Z) dve možné hodnoty J 2. Nemôžeme však tvrdiť, že je to 50 červených a 58 zelených guľôčok (tj. nemôžeme tvrdiť, že po zmeraní

196 191 J 2 je hodnota J 3 taká istá ako pred meraním J 2 ). Experiment totiž ukazuje, že (používajúc stále analógiu hračiek) keď teraz vyberieme napríklad skupinu 58 zelených hračiek (skupina Z) a ideme ich triediť podľa ich tvaru, nájdeme medzi nimi guľôčky ale aj kocky napríklad 36 guľôčok (skupina G) a 22 kociek (skupina K). Príklad 7.4. Vychádzajúc z predchádzajúcej poznámky určte, že koľko bolo guľôčok a koľko bolo kociek po všetkých vykonaných procedúrach s hračkami? Riešenie. Správna odpoveď je, že nevieme, lebo skupinu C, ktorá vznikla po delení hračiek podľa farieb, sme už netriedili podľa tvaru. Podľa nášho vysvetlenia tam môžu byť guľôčky aj kocky. Vieme však povedať, že kociek je aspoň 114 (skupina B, ktorú po triedení podľa farieb sme už nechali nepozmenenú, a skupina K, ktorá vznikla na konci experimentu). Guľôčok je aspoň 36 (skupina G). O zvyšných hračkách nevieme, koľko z nich sú guľôčky a koľko kocky. Úloha 7.5. Koľko je červených a koľko zelených hračiek na konci všetkých procedúr v analógii, ktorá je uvedená v poznámke 7.3? Úloha 7.6. Koľko je červených kociek na konci všetkých procedúr v analógii, ktorá je uvedená v poznámke 7.3? 7.4 Zeemanov jav Na konci 19-ho storočia sa nazbieralo veľké množstvo experimentálnych dát o spektrách atómov. Spektrá atómov stali veľmi užitočným nástrojom pri určovaní chemickej skladby látok. Štruktúra spektrálnych čiar spektra však bola nerozlúsknuteľným orieškom pre klasickú fyziku. Skúmanie spektrálnych čiar, keď žiarič je vystavený účinkom vonkajšieho magnetického poľa bola nová myšlienka, ktorou prišiel Pieter Zeeman v roku Zeeman zistil, že spektrálne čiary žiariacich atómov sa rozštiepia. Pôsobením vonkajšieho magnetického poľa spektrum žiariacich atómov sa stáva ešte kompikovanejšou. Tento vzrast komplikovanosti sa dá riadiť vonkajším magnetickým poľom a vďaka tomu je možné (po zložitej analýze) pochopiť, ako táto štruktúra vzniká. Získame tým aj informáciu o samotnej štruktúre atómov. V predchádzajúcej kapitole sme ukázali, ako interakcia medzi elektrónmi elektrónového obalu atómu sprostredkovaná nimi generovaným magnetickým poľom určuje kvantovanú energiu atómu, jeho jednotlivých stavov. Z tohoto pohľadu Zeemanov jav nie je prekvapením. Pravda je však tá, že

197 192 práve Zeemanov jav prispel k poznatkom, ktoré sme zhrnuli v predchádzajúcej kapitole. Pieter Zeeman 5 Zee- normálny manov jav Experimentálne usporiadanie Zeemanovho experimentu je na obrázku 7.6. Na obrázku je znázornené schematické pozorovanie normálneho Zeemanovho javu. normálny Zeemanov jav sa dá vysvetliť prostriedkami klasickej fyziky. Magnetický dipól umiestnený vo vonkajšom magnetickom poli vykonáva precesný pohyb okolo vektoru magnetickej indukcie vonkajšieho poľa. Frekvencia tejto precesie je ν L tzv. Larmorova frekvencia. Klasické odvodenie vychádza z predstavy, že magnetický dipól vzniká v dôsledku pohybu elektrónu na uzavretej trajektórii (pre jednoduchosť si môžeme predstaviť kružnicu). Frekvencia ν, ktorou obieha elektrón okolo jadra, je výrazne väčšia, ako Larmorova frekvencia ν L, ktorou táto kružnicová trajektória vykonáva precesný pohyb. To, čo je znázornené na obrázku 7.6 môžeme ľahko pochopiť aj bez toho, že by sme sa pustili do klasického odvodenia. Predstavme si, že sa pozeráme na elektrón z veľkej vzdialenosti (vzhľadom na rozmery trajektórie elektrónu, je pri reálnom experimente tento predpoklad splnený). Nevidíme detaily pohybu elektrónu, registrujeme len elektromagnetické vlnenie, ktoré elektrón vytvára svojim zrýchleným pohybom. Kým nemáme zapnuté magnetické pole (časť (a) obrázku 7.6), frekvencia tohoto zrýchleného pohybu je ν a mi registrujeme elektromagnetické vlnenie s frekvenciou ν. Zapneme teraz vonkajšie magnetické pole (časť (b) obrázku 7.6) a tento smer budeme označovať ako smer osi z. Pozeráme sa na elektrón zo smeru y,ktorý je kolmý na magnetické indukčné čiary obklopujúce náš elektrón. Elektrón obieha po kružnicovej trajektórii s frekvenciou ν. Os kružnicovej trajektórie uzatvára s magnetickým poľom pevný uhol, a otáča sa okolo vektoru magnetickej indukcie s Larmorovou frekcenciou ν L. Pozriem sa najprv na zložku elektrického poľa, ktorá ukazuje v smere vonkajšieho magnetického poľa. Táto je generovaná zložkou z pohybu elektrónu. Táto frekvencia je zrejme rovná ν. Máme teda lineárne polarizovanú zložku (rovina polarizácie je daná smerom magnetických indukčných čiar) s frekvenciou ν. 5 Holandský fyzik Pieter Zeeman ( ) získal Nobelovu cenu za fyziky v roku 1902 spolu s Hendrikom Lorentzom za ich výskum a prispenie k vysvetleniu javov žiarenia za prítomnosti magnetického poľa.

198 193 (a) N S (b) N S (c) Obr. 7.6: Schematické znázornenie experimentálneho usporiadania pre pozorovanie Zeemanovho javu. Na obrázku (a) vidíme banku s excitovaným plynom, ktorého svetlo sa vedie cez kolimátor do spektroskopu (hranol) a pozorujeme konkrétnu spektrálnu čiaru zodpovedajúcu prechodu medzi dvomi hladinami. Na obrázku (b) vidíme situáciu s rozdielom, že excitovaný plyn je vložený do magnetického poľa. Spektroskopom sa pozorujú lúče, ktoré z plynu vychádzajú kolmo na smer magnetických indukčných čiar. Pôvodná spektrálna čiara (s frekvenciou ν) sa rozštiepi na tri spektrálne čiary. Jedna z nich je na pôvodnom mieste (frekvencia ν), dve sú posunuté symetricky na obe strany (s frekvenciou ν ν a ν + ν). Na obrázku je naznačená lineárna polarizácia. Prostredná čiara (s pôvodnou frekvenciou) je lineárne polarizovaná v smere magnetických indukčných čiar, čiary s posunutou frekvenciou sú lineárne polarizované kolmo k magnetickým indukčným čiaram. Ba obrázku (c) sa pozorovanie vykonáva v smere magnetických indukčných čiar. V tomto prípade sa pozorujú len dve spektrálne čiary (ν ν a ν + ν). Ich polarizácia je kruhová. Pozn.: počet čiar, na ktoré sa pôvodná rozštiepi, závisí od kvantového čísla veľkosti celkového momentu hybnosti atómov plynu.

199 194 Priemet pohybu elektrónu na rovinu xy už odráža aj Larmorovu frekvenciu. Príslušná zložka elektrického poľa bude superpozíciou dvoch elektromagnetických vlnení, z ktorých jedna má frekvenciu ν ν L a druhá frekvenciu ν + ν L. Máme teda dve lineárne polazirované zložky s odlišnými frekvenciami, ktorých rovina polarizácie je kolmá na smer magnetických indukčných čiar. Ak sa pozrieme na časť (c) obrázku 7.6, v tomto prípade sa pozoruje pohyb elektrónu po trajektórii, zo smeru magnetického poľa (os z). Tu nevidíme zložku pohybu elektrónu v smere magnetického poľa, preto nie je prítomné elektromagnetické vlnenie s frekvenciou ν. Vidíme však zložky pohybu v rovine kolmej na magnetické pole (rovina xy). Aj v tomto prípade vidíme dve zložky, jednu s frekvenciou ν ν L, druhú s frekvenciou ν +ν L. Naviac, elektrón sa pohybuj po kružnici a vektore elektrického poľa sa otáča tiež po kružnici. Je preto prirodzené, že elektromagnetické žiarenie s týmito dvomi frekvenciami je kruhovo polarizované. Poznámka 7.7. Klasický popis Zeemanovho javu trpí množstvom nedostatkov. Zrovna tak, ako planetárny model atómu, bez Bohrovej podmienky kvantovania, vychádza z Maxwellových rovníc. Elektrón žiari v dôsledku zrýchleného pohybu. Výkon žiarenia je mimoriadne veľký (rádovo10 8 W na jediný elektrón). Pri takomto výkone žiarenia strata energie elektrónu je tak rýchla, že nie je splnená podmienka pre stálu frekvenciu (ν) obehu elektrónu. Jediný elektrón prispieva do všetkých spektrálnych rozštiepených čiar, čo odporuje zisteniu, že elektromagnetické žiarenie pozostáva z fotónov, z kvánt elektromagnetického žiarenia (fotoelektrický jav). Klasický popis nevie vysvetliť prípady, keď jednoduchá čiara sa štiepi za prítomnosti magnetického poľa na iný, než tri spektrálne čiary, nevie napríklad vysvetliť, prečo charakteristická žltá spektrálna čiara sodíku (označovaný ako D 1 a D 2 ) sa štiepi celkom na 10 čiar (D 1 na 4 a D 2 na 6). Anomálny Zeemanov jav S týmito problémami si vie kvantová predstava rady. Zeemanovsnké štiepenie spektrálnych čiar, ktoré sa nedajú vysvetliť klasickým spôsobom, sa nazývajú anomálnym Zeemanovým javom. Nastáva to vždy v prípade, keď za magnetické vlastnosti atómu zodpovedá magnetický moment elektrónu (spojený s jeho spinom).

200 195 J z J z +3/2 2p 1/2 +1/2 1/2 2p 3/2 +1/2 1/2 3/2 +1/2 +1/2 2s 1/2 1/2 2s 1/2 D 1 D 2 1/2 Obr. 7.7: Schematický náčrt energetických hladín D 1 ad 2, a ich štiepenia pri anomálnom Zeemanovom jave. Pri neprítomnosti magnetického poľa vzniká charakteristická dvojitá čiara sodíku (nazývaný sodíkový dubletd 1,D 2) prechodom valenčného elektrónu z hladiny 2p 1/2 na hladinu 2s 1/2 (čiara D 1), a prechodom z hladiny 2p 3/2 na hladinu 2s 1/2 (čiara D 2). Za prítomnosti magnetického poľa sa hladiny rozštiepia. Počet vzniklých stavov je daný kvantovým číslom J veľkosti celkového momentu hybnosti pôvodnej hladiny (v súľade so Sternovým Gerlachovým experimentom). Počet stavov je rovný 2J +1. Vpravo od stavov sme uviedli hodnotu tretej zložky celkového momentu hybnosti J z po rozštiepení hladín. Šípkami sme vyznačili tie dipólové prechody, ktoré výberové pravidlá dovoľujú. Nie sú tu prechody 2p +1/2 1/2 2p 1/2 1/2, kde by bolo l = 0 (platí pre dipólový prechod), ani ostatné prechody tohoto typu. Pri D 2 tu nie je napríklad ani prechod 2p +3/2 3/2 2s 1/2 1/2, kde by bolo J 3 = 2 (exaktné pravidlo), ani ostatné prechody tohoto typu. Štiepenie znázornené je síce len schematické, ale zdôraznili sme, že štiepenie hladiny 2s 1/2 je väčšie vďaka väčšiemu gyromagnetickému faktoru elektrónu (podrobnejšie vysvetlenie pozri v texte).

201 196 Pôvod anomálneho Zeemanovho javu je schematicky znázornený na obrázku 7.7, kde sme značenie uvádzali pre valenčný elektrón. Poznámka 7.8. Ako sme už povedali, uzavreté vrstvy a podvrstvy neprispievajú do orbitálneho momentu, spinu, ani celkového momentu hybnosti atómu, preto v prípade sodíka, ktorý má jediný valenčný elektrón, spektroskopické značenie energetických hladín a stavov sa zhoduje s jednočasticovým značením valenčného elektrónu. V tomto prípade by sme mali hladiny (značením konfigurácie len pre neuzavreté podvrstvy) 2p 2 P 1/2, 2s 2 S 1/2 a 2p 2 P 3/2. Stavy by boli značené ako 2p 2 P +1/2 1/2,2p 2 P 1/2 1/2,2p 2 P +3/2 3/2,2p 2 P +1/2 3/2,... Štiepenie hladín 2 S 1/2 je z energetického hľadiska väčšie vďaka väčšiemu gyromagnetickému faktoru elektrónu. V prípade atómov má každá hladina (v princípe) odlišný magnetický moment µ hladina, alebo gyromagnetický faktor g hladina, kde µ hladina = g hladina µ B. (7.8) Pred vyjadrením tohoto gyromagnetického faktoru zhrnieme poznatky, ku ktoré sme uviedli už v predchádzajúcich kapitolách. Príroda nerozpoznáva medzi momentom hybnosti pochádzajúceho z orbitálneho pohybu L a medzi vlastným momentom hybnosti elektrónu (častíc) S. Magnetický moment atómu m h na hladine h je preto (ako vektorová veličina) úmerná celkovému momentu hybnosti J h na tejto hladine µ h J h. Na druhú stranu, pri L S väzbe predsa dominujú orbitálny moment hybnosti L h a S h danej hladiny. Magnetické vlastnosti sú spojené s magnetickým momentom mu L pochádzajúceho z orbitálneho momentu hybnosti, ktorý je súčtom orbitálnych momentov hybnosti jednotlivých elektrónov atómu. Je však rovnocenne spojený aj s magnetickým momentom µ S, ktorý je spojený so spinom atómu rovným so súčtom spinov jednotlivých elektrónov. Platí pritom µ L = q e L, (7.9) 2m tj. gyromagnetický faktor je g L = 1, kým pre spin q e µ S = g e S. (7.10) 2m Uvedené argumenty vedú k očakávanému vzťahu µ h = J [ ] J (µ J J L +µ S ), (7.11)

202 197 kde J J je jednotkový vektor ukazujúci v smere celkového momentu hybnosti J. Tento vzťah vyjadríme pomocou orbitálneho momentu hybnosti L a spinu S atómu µ h = J 1 J 2 µ B(g L J L+g e J S) (7.12) Uviedli sme, že v kvantovej fyzike je vzťah medzi veľkosťou momentu hybnosti J a príslušným kvantovým číslom J J 2 = 2 J(J +1). Skalárne súčiny J L a J S tiež prevedieme na kvantové čísla veľkostí využitím definície skalárneho súčinu odkiaľ S 2 = (J L) 2 = J 2 +L 2 2J L, J L = 1 2 ( J 2 +L 2 S 2) = 2J(J +1)+L(L+1) S(S +1). (7.13) 2 Rovnakým postupom dostaneme J S = 1 2 ( J 2 +S 2 L 2) = 2J(J +1)+S(S +1) L(L+1). (7.14) 2 Dossadením do vzťahu (7.12) a usporiadaním čelnov dostaneme µ h = Jµ B (g L +g e )J(J +1)+(g L g e )L(L+1)+(g e g L )S(S +1) 2J(J +1) (7.15) Ak teraz využijeme toho, že g L = 1 a s veľkou presnosťou g e 2 získame µ h = Jµ B 3J(J +1) L(L+1)+S(S +1) 2J(J +1) (7.16) Pre gyromagnetický faktor hladiny h je potom g h = 1+ J(J +1) L(L+1)+S(S +1) 2J(J +1) (7.17) Príklad 7.9. Vypočítajte gyromagnetický faktor pre hladinu 2 S 1/2 rozoberaný na obrázku 7.7.

203 198 Riešenie. Pre hladinu 2 S 1/2 je J = 1/2, L = 0, S = 1/2 a g2 S 1/2 = = 2. Úloha Ukážte, že gyromagnetický faktor pre hladinu 2 P 1/2, rozoberaný na obrázku 7.7, je g2 P 1/2 = 2 3. Úloha Vypočítajte gyromagnetický faktor pre hladinu 2 P 3/2, rozoberaný na obrázku 7.7. Zo znalosti gyromagnetického faktoru sa dá určiť energia rozštiepených hladín (tj. stavov) ako E = g h µ B j 3 B, (7.18) Paschenov- Backov jav kde B je veľkosť magnetickej indukcie, ktorá vyvoláva Zeemanov jav. Uvedená väzba magnetického momentu atómu a vyššia hodnota gyromagnetického momentu elektrónu dobre popisujú normálny, aj anomálny Zeemanov jav. Gyromagnetický faktor prislúchajúci jednotlivým hladinám dáva veľkosť rozštiepenia energetických hladín tiež v súlade s experimentom. V prípade, keď celkový spin atómu je S = 0, vďaka výberovému pravidlu S = 0 pre dipólové žiarenie, sú dovolené len prechody medzi stavmi so spinom 0. V taktomto prípade je gyromagnetický faktor daných hlkadín rovný 1, lebo J = L. Tieto prechody sa dajú popísať klasickými predstavami, ktoré sme naznačili vyššie lebo pôvodná spektrálna čiara sa štiepi na tri čiary. Uvedené úvahy sú platné hlavne pre L S väzbu. V prípade veľmi silných vonkajšieho magnetického poľa 6, sa väzba medzi orbitálnym momentom hybnosti elektrónového obalu a medzi spinom elektrónového obalu môže zaniknúť. V takomto prípade atóm môže vyžiariť fotón aj pri prechode, kde sa mení len orbitálny moment hybnosti. Štruktúra spektrálnych čiar sa zmení. Tento jav sa nazýva Paschenovým-Backovým javom. Pri Paschenovom-Backovom jave je zmena energie stavov daný ako E = µ B B(g L L 3 +g e S 3 ) µ B B( 3 +2S 3 ). (7.19) Tento vzťah je platný len v prípade, keď vonkajšie magnetické pole je také silné, že L S väzby v atómovom obale sa zrušia úplne. 6 Veľmi silnou rozumieme pole,. ktorej magnetická indukcia je porovnateľná s magnetickou indukciou generovanou elektrónmi v elektrónovom obale, resp. ešte väčšia.

204 Starkov jav Starkov jav je elektrickým analógom Zeemanovho javu. Pokiaľ zdroje elektromagnetického žiarenia je pod vplyvom vonkajšieho elektrického poľa, dochádza k rozštiepeniu hladín, podľa ich degenerácie 7. Posun spektrálnych čiar je lineárne závislá na intenzite vonkajšieho elektrického poľa E. Pri silných elektrických poliach 8 je tento posun závislí na kvadráte intenzity vonkajšieho elektrického poľa. Poznámka Kvantifikovaný popis javu si vyžaduje nástroje kvantovej mechaniky a prekračuje rámec tejto učebnice. Starkov jav má mimoriadny význam pre kvantovú mechaniku a využitie aj komunikačných technológiach založených na optoelektronických prvkoch (ktoré komunikujú medzi sebou optickými vláknami). Príklad Na koľko hladín sa rozštiepi hladina základného stavu atómu síry pod vplyvom slabého vonkajšieho magnetického poľa? Riešenie. Hladina základného stavu síry je 3 P 2 (pozri dodatok D). Zo spektroskopického značenia vyplýva, že S = 1,L = 1,J = 2. Počet vzniklých stavov je 2J +1 = 5. Úloha Ukážte, že hladina základného stavu kobaltu sa vplyvom slabého vonkajšieho magnetického poľa sa rozštiepi na 10 stavov. Úloha Na koľko stavov sa rozštiepi hladina základného stavu paládia pod vplyvom slabého vonkajšieho magnetického poľa? Príklad Aká je veľkosť magnetickej energie magnetického dipólu vo vonkajšom magnetickom poli s magnetickou indukciou veľkosti B = 1, 000 T, ak priemet magnetického momentu dipólu na smer magnetického poľa sa rovná jednému bohrmagnetónu? Výsledok vyjadrite v elektronvoltoch. Riešenie. Magnetická energia je daná ako E m = µ B = µ 3 B. Veľkosť magetickej energie je µ 3 B. podľa zadania µ 3 = µ B = e 2m e E m = 1, C 1, Js 2 9, kg 1,000 T = 9, J, čo v elektronvoltoch je E m = 5, ev. 7 Ak v elektrónovom obale sa nachádzajú elektróny s rovnakou energiou, hovoríme, že energetická hladina je degenerovaná. Vonkajšie elektrické pole túto degeneráciu zruší. 8 keď intenzita elektrického poľa je porovnateľná s intenzitou elektrického poľa generovaného elektrónmi superponovaného s elektrickým poľom jadra atómu;

205 200 6 Úloha Ak pôsobením magnetického poľa jadra atómu vodíka sa hladina základného stavu 2 S 1/2 rozštiepi na stav 2 S +1/2 1/2 a 2 S 1/2 1/2, pri prechode elektrónu z energeticky vyššieho stavu energeticky nižšieho, vyžiari fotón s vlnovou dĺžkou 21 cm. Aká je stredná hodnota magnetickej indukcie jadra atómu vodíka, ktorá spôsobuje toto rozštiepenie? [Nápoveda: energia fotónu je 5, ev, gyromagnetický faktor hladiny základného stavu je 2, E fotón = E m = g e µ B J 3 B jadro, 5, T.]

206 Kapitola 8 Vlnová mechanika Počas prvých dvoch desaťročí zrodu kvantovej mechaniky, dualita časticového a vlnového charakteru svetla sa vyvíjala spolu s hlavným prúdom kvantovej mechaniky zase niekedy samostatne od nej. Svetlo javí časticové vlastnosti vo fotoelektrickom jave, aj pri Comptonovom rozptyle. Na druhú stranu javí jasné vlastnosti pri interferenčných experimentoch. Mladý Louis Victor Prince de Broglie s veľkým nadšením čítal zápisnicu z prvej Solvay-skej konferencie konanej v Bruseli v roku Mladý de Broglie skúmal otázku, ako sa dá spojiť predstava vlnovej i časticovej povahy svetla. Odpoveď nasšiel v spojení vlnovej optiky so špeciálnou teóriou relativity. Svetlo (fotón) má vo vákuu energiu E = hν (8.1) a hybnosť p = h λ, (8.2) kde ν je frekvencia svetla, λ je jeho vlnová dĺžka a h je Planckova konštanta. 1 Slávne Solvayské konferencie boli založené belgickým priemyselníkom Ernestom Solvayom. Konferencie sa konali raz za tri roky a bolo možné sa na nej zúčastniť len na základe pozvania. Prvá Solvayská konferencia sa konala v roku 1911 za účasti najslávnejších fyzikov a chemikov (M Brillouin, E. Solvay, H. Lorentz, J. Perrin, W. Wien, M. Curie, H. Poincaré, M. Planck, A. Sommerfeld, Mauricius de Broglie (brat Lois de Brodlie, ktorého zápisnicu spomíname), E. Rutherford, Kammerling Onnes, A. Einstein a mnohí iní). Najslávnejšia bola prvá a piata konferencia. Svetové vojny spôsobovali väčšie prestávky medzi konferenciami, než sa pôvodne plánovali. Konferencie sa venovali najvzrušujúcejším otvoreným otázkam fyziky a chémie. Prvá konferencia bola venovaná práve kvantovej problematike, ktorá v tú dobu nemala pevné matematické základy, ani ujednotenú filozófiu. 201

207 202 Vo vákuu platí, že νλ = c = ms 1. (8.3) Fotón však nie je príliš dobrým adeptom na vyriešenie problému, nakoľko je veľmi špeciálna častica. Jeho rýchlosť je rovná rýchlosti svetla vo vákuu c a je hraničná (podľa teórie relativity sa žiaden objekt nemôže pohybovať väčšou rýchlosťou). Táto hraničná rýchlosť má rovnakú veľkosť pre každého pozorovateľa, inými slovami fotón sa vo vákuu pohybuje len jednou rýchlosťou, rýchlosťou svetla c. Vo vlnovej optike je definovaný pojem fázovej rýchlosti v f a grupovej rýchlosti v gr nasledovne v f = ω k = ν κ, a v gr = ω k = ν κ, (8.4) kde ω je kruhová frekvencia svetla, k = 2π λ je tzv. vlnové číslo a κ = 1 λ je redukované vlnové číslo. Grupovú rýchlosť ľubovoľného vlnenia môžeme vyjadriť aj pomocou fázovej rýchlosti, nasledovne alebo pomocou vlnovej dĺžky v gr = (κv f) κ v gr = v f +κ v f λ V prípade svetla vo vákuu je fázová rýchlosť rovná = v f +κ v f κ, (8.5) dλ dκ = v f λ v f λ. (8.6) v f = ν κ = νλ = c a je nezávislá od vlnovej dĺžky svetla, preto aj grupová rýchlosť je rovná c. Keď si predstavíme vlnový balík, v ktorej sa koncentruje energia a šíri sa v priestore, musíme si byť vedomí toho, že vlnový balík, aký je aj na obrázku 8.1, je superpozíciou vlnení s odlišnými frekvenciami a amplitúdami. V mieste, kde sa sústreďuje energia, tieto vlny interferujú konštruktívne, kým mimo vlnový balík je interferencia deštruktívna. V princípe má každá frekvenčná zložka vlnového balíka odlišnú rýchlosť (fázová rýchlosť), preto grupová rýchlosť sa môže líšiť od fázovej. V prípade závislosti fázovej rýchlosti od vlnovej dĺžky hovoríme o disperzii. Napríklad, v skle je fázová rýchlosť svetla závislá na jeho vlnovej dĺžke. Vďaka tejto disperzii sa lámu jednotlivé farebné zložky bieleho svetla pod odlišným uhlom a môžeme vidieť farby dúhy.

208 203 Vo vákuu je však rýchlosť svetla nezávislá od jeho vlnovej dĺžky, disperzia je nulová. Vďaka tomu (v súľade so vzťahom (8.6)) je grupová rýchlosť, ktorou sa premiestňuje v priestore vlnový balík prenášajúca energiu, rovná fázovej rýchlosti a je rovná maximálnej možnej rýchlosti c. Poznámka 8.1. Keby sme definovali energiu fotónu ako E = hc λ a hybnosť ako p = hν c, by sme vďaka nezávislosti fázovej rýchlosti na vlnovej dĺžke, dospeli k rovnakému výsledku. Konštantná rýchlosť svetla vo vákuu stiera rozdiel medzi definíciou energie pomocou frekvencie a definíciou pomocou vlnovej dĺžky celá záležitosť s ich definíciou sa zdá byť len formálna. Obdobné tvrdenie platí pre definíciu hybnosti svetla. Tu vidíme, že špeciálna vlastnosť svetla bráni, aby sme videli hlbšie do prepojenia vlnovej a časticovej povahy svetla (nezávislosť rýchlosti svetla na vlnovej dĺžke). Louis de Broglie, aby videl hlbšie prepojenie medzi vlnovou a časticovou povahou fotónu, vyslovil hypotézu, že aj objekty, akými sú elektróny a iné častice, majú vlnovú povahu. Ich frekvencia je ν = E h, (8.7) a ich vlnová dĺžka je λ = h p. (8.8) Tým je definovaná vlnová povaha častíc, kým korpuskulárna (časticová) povaha je daná základnými reláciami špeciálnej teórie relativity a E = mc 2 = m 0c 2, (8.9) 1 v2 c 2 p = mv = m 0v, (8.10) 1 v2 c 2 kde m je relativistická hmotnosť častice, m 0 je jej pokojová hmotnosť a v je jej rýchlosť. Časticová definícia energie E a hybnosti p umožňuje vyjadrenie energie pomocou hybnosti (vylúčením rýchlosti v) z rovníc (8.9) a (8.10). Ak teraz použijeme de Brogliem navrhnuté relácie (8.7) a (8.8) na vyjadrenie vlnovej povahy častíc, získame funkčnú závislosť frekvencie ν od vlnovej

209 204 v gr v gr v č v č Obr. 8.1: Schematické znázornenie de Broglieho myšlienky. Častica, ako elektrón, má sústredenú svoju energiu (E = mc 2 ) do svojej hmoty (časticová predstava) guľôčka vľavo dole, ktorej rýchlosť je v. Vlnový balík prenáša energiu vo vlnovom balíku vlnová predstava. Energia je sústredená do oblasti, kde vlnenie nie je nulové. Tento balík sa pohybuje grupovou rýchlosťou. Ak časticová a vlnová predstava si nemajú protirečiť časticovo vlnový dualizmus (obrázok vpravo) rýchlosť, ktorou sa premiestňuje energia, nemôže byť závislá od toho, či časticu popisujeme ako vlnu, alebo ako časticu. Grupová rýchlosť sa musí rovnať rýchlosti hmotnej guľôčky predstavujúcu časticu (v gr = v č.) dĺžky častíc λ. Z tejto funkčnej závislosti môžeme určiť grupovú rýchlosť v gr, ktorou sa šíri energia v de Broglieho hypotéze. Ak je de Broglieho hypotéza správna, tak táto grupová rýchlosť v gr je rovná rýchlosti častice v časticovej predstave, lebo tam častica koncentruje do seba všetok energie podľa Einsteinovho vzťahu E = mc 2. Vyššie popísaný postup môžeme výrazne zjednodušiť, keď použijeme reláciu, ktorú spĺňa energia E a hybnosť p častice s pokojovou hmotnosťou m 0 E 2 p 2 c 2 = m 2 0 c4. (8.11) V tejto relativistickej relácii vyjadríme energiu pomocou frekvencie (8.7) a hybnosť pomocou vlnovej dĺžky (8.8) a dostaneme h 2 ν 2 h 2 c 2 κ 2 = m 2 0c 4. (8.12) Rovnicu predelíme 2h 2 a potom zderivujeme podľa κ, čím dostaneme Pre grupovú v gr rýchlosť dostávame ν ν κ c2 κ = νv gr cκ = 0. (8.13) v gr = c2 κ ν = c2 νλ = c2 v f = v, (8.14)

210 205 kde sme využili toho, že v f = ν κ = νλ = E h h p = E p = mc2 mv = c2 v. (8.15) Hypotéza, ktorú de Broglie použil, garantuje, že grupová rýchlosť vlny je rovnaká, ako rýchlosť častice. Inými slovami, rýchlosť, ktorou sa transportuje energia, je rovnaká z hľadiska vlnového náhľadu i časticového náhľadu. Opak by bol neprijateľný. Poznámka 8.2. V prípade fotónu je možné energiu definovať ako E = hc λ a hybnosť ako p = hν c, ale ich použitie pre hmotnú časticu vedie k rozporu. Zopakovaním vyššie uvedeného postupu by sme dostali h 2 c 2 κ 2 h 2 ν 2 = m 2 0c 4. Po delení s 2h 2 a derivácii podľa κ dostaneme Po vyjadrení grupovej rýchlosti c 2 κ = ν ν κ = νv gr. v gr = c 2κ ν = c2 v f = c2 v > c. Tu sme využili toho, že fázová rýchlosť pri uvedenej definícii je rovná v v f = ν κ = νλ = pc h E hc = pc2 E = mvc2 mc 2 = v. Rozpor už je v tom, že grupová rýchlosť sa nerovná rýchlosti častice energia sa transportuje inou rýchlosťou pri vlnovom pohľade, ako pri časticovom. Rozporné je aj to, že rýchlosť, ktorou sa šíri energia vo vlnovom popise, prekračuje maximálnu možnú rýchlosť, rýchlosť svetla vo vákuu c. Výber definície frekvencie častice pomocou vzťahu (8.7) a vlnovej dĺžky častice pomocou vzťahu (8.8) nebola zo strany Broglieho svojvoľná. 8.1 de Broglieho hypotéza a Bohrova kvantovacia podmienka Ak sa vrátime k Bohrovmu modelu atómu vodíka, kde elektrón obieha okolo jadra na kružnicovej trajektórii, zistíme, že dĺžka dovolených kružnicových

211 206 Obr. 8.2: Znázornenie elektrónov v podobe de Broglieho vĺn, na bohrovských (dovolených hladinách). Ak skombinujeme Bohrov model atómu vodíka s de Broglieho hypotézou, elektrón okupuje dovolené trajektórie v dobe vĺn s vlnovou dĺžkou λ n a obieha okolo jadra atómu s príslušnou grupovou rýchlosťou (nejedná sa o stojaté vlny). trajektórií je celočíselným násobkom de Broglieho vlnovej dĺžky elektrónu vypočítanej podľa vzťahu λ = h/p. Skutočne, Bohrova kvantovacia podmienka kladená na moment hybnosti L n = r n p n = n, (8.16) kde L n je moment hybnosti elektrónu na kružnicovej trajektórii s hlavným kvantovým číslom n, a r n je polomer tejto kružnicovej trajektórii, a p n je hybnosť elektrónu. Podľa de Broglieho hypotézy λ n = h p n = hr n r n p n = hr n n = 2πr n n. Dostávame skutočne, že obvod kružnice dovolených trajektórií je celočíselným násobkom de Broglieho vlnovej dĺžky elektrónov na tejto trajektórii 2πr n = nλ n.

212 207 Vieme, že polomer dovolených trajektórií je rovný n 2 r n. Z toho vyplýva, že λ n = nλ B, (8.17) kde λ B je vlnová dĺžka elektrónu na najnižšej trajektórii (keď n = 1). 8.2 Experimentálne overenie de Broglieho hypotézy Louis de Broglie hneď, po vypracovaní svojej hypotézy navrhol kolegovi svojho brata, aby zostavil experiment, kde by overil vlnovú povahu elektrónov pomocou interferencii na kryštálovej mriežke. Dotyčný kolega však bol príliš zaneprázdnený, aby tento významný experiment uskutočnil. Príklad 8.3. Odrazové optické mriežky, sú vytvárané pomocou precíznych vrypov v odrazovom materiály. Kvalitné mriežky môžu mať až 1000 vrypov na jeden milimeter. Na takýchto odrazových mriežkach je možné vyvolať interferenciu svetla s vlnovou dĺžkou, ktorá je porovnateľná s mriežkovou konštantou (tj mm). Vypočítajte energiu elektrónu, ktoré by prejavili rovnako dobrú interferenciu na takejto optickej mriežke, ako svetlo pre ktoré je mriežka určená. Riešenie. Vlnová dĺžka elektrónov by musela byť rádovo porovnateľná, ako k mriežkovej konštante, teda λ 10 6 m. Odtiaľ dostávame pre hybnosť elektrónu p = h p 6, Js 10 6 m Kinetická energia elektrónu je potom = Jsm 1. 4 E kin = p2 2m = 1, J 2 s 2 m 2 2 9, kg = J = ev Poznámka 8.4. Aby sme mali predstavu aké ťažké je také elektróny pripraviť, predstavme si, že elektróny pripravené pre experiment sa chovajú ako ideálny plyn. Teplota tohoto plynu nech je T. Stredná kinetická energia elektrónov v tomto plyne je daná ako 3 2 kt, kde k je Boltzmannova konštanta. Stredná kinetická energia by sa musela rovnať nami určenej kinetickej energii a dostávame pre teplotu plynu hodnotu T = 2E kin 3k = K.

213 208 To je teplota v blízkosti absolútnej nuly. V dobu začiatkov kvantovej mechaniky nebola k dispozícii kryogénna technika, ktorá by dovolila vyrobiť elektróny s tak nízkou knetickou energiou. Práve preto bol návrh Louisa de Broglieho použiť k vyvolaniu interferenčných javov geniálna. Žiaľ, experiment bol uskutočnený neskôr a v podstate len náhodou. 4 Úloha 8.5. Vypočítajte kinetickú energiu elektrónu v elektrónvoltoch, ktorého (de Broglieho) vlnová dĺžka λ je porovnateľná s mriežkovou konštantou kryštálov. Konkrétne, nech λ = 1,00 Å. [Nápoveda: 10 2 ev] V roku 1927 C. Davisson a L. Germer experimentálne overili vlnovú povahu elektrónov. Z elektrónového dela namierili úzky zväzok elektrónov na monokryštál niklu (kolmo k kryštalickej rovine (1, 1, 1)). Prúd odrazených elektrónov merali pomocou galvanometra a zistili, že elektróny sa odrážajú veľmi intenzívne len vo vybraných smeroch. Zmenou urýchlovacieho napätia elektrónového dela v rozpätí V overili, že vlnová dĺžka elektrónov sa mení v súlade s de Broglieho hypotézou. 2 Otáčaním kryštálu okolo normály kryštalickej roviny (1,1,1) sa maximum objavil vždy po pootočení o uhol 120 (pozri obr. 8.3) Braggova formula Pri Moseleyho zákone sme spomenuli, že k určeniu vlnovej dĺžky röntgenového žiarenia sa využíva interferencia röntgenového žiarenia na kryštále. Vďaka veľkej prenikavosti röntgenového žiarenia (malá vlnová dĺžka) je metóda učinná, pokiaľ dopadajúci zväzok zviera s kryštalickou rovinou len malý uhol. 2 Pri urýchlení elektrónu napätím U, získa elektrón kinetickú energiu E kin = eu. Pri urýchlovacom napätí, ako v uvedenom experimente, je možné pre výpočet hybnosti elektrónov použiť klasický vzťah medzi kinetickou energiou a hybnosťou E kin = p2 2m e. Hybnosť elektrónu je potom p = 2m eeu, a jeho vlnová dĺžka je λ = h/ 2meU. Pravda, Davisson a Germer zistili, že v rozsahu nimi použitého urýchlovacieho napätia vlnovú dĺžku elektrónov popisuje skôr relácia λ = h 2m ee(u +U Ni), kde U Ni 10V poukazuje na to, že elektróny prenikajú do kryštálu niklu, kde získavajú vďaka vnútornému potenciálu niklu prídavnú kinetickú energiu veľkosti 10 ev. 3 Objav, ktorý Davisson a Germer urobili, bol vecou šťastnej náhody. Pôvodne sa zaoberali s meraním odrazu elektrónov od polykryštálu niklu. Evakuovaná nádoba obsahujúca polykryštál niklu sa však poškodil. Aby z povrchu niklu odstránili prípadnú oxidáciu po vniknutí vzduchu do nádoby, nikel dlho žíhali. Pri žíhaní sa vytvoril monokryštál. Pôvodné usporiadanie experimentu znázornené na obrázku 8.3 nie príliš vhodný na meranie vlnovej dĺžky elektrónu. Je vhodnejšie mať detektor nastavený pod pevným uhlom a následne meniť urýchľovacie napätie elektrónového dela pri hľadaním maxima v odraze.

214 209 elektrónové delo detektor (galvanometer) ϑ Obr. 8.3: Schematické usporiadanie Davissonovho-Germerovho experimentu. Elektrónové delo urýchli elektróny s napätím U, čím získajú kinetickú energiu E kin = eu a majú podľa de Broglieho hypotézy vlnovú dĺžku λ = h/ 2m eeu. Elektrónovým delom vytvorený úzky zväzok elektrónov dopadá kolmo na kryštalickú rovinu (1,1,1) monokryštálu niklu. V dôsledku interferencie s periodickou štruktúrou kryštálu je intenzita odrazeného elektrónového zväzku silne závislá na smere odrazu (znázornená krivkou polárneho grafu nakresleného do schematického náčrtu experimentu). Maximum intenzity odrazených elektrónov sa objavuje pri danom urýchlovacom napätí len pri určitom konkrétnom uhle odrazu ϑ. Otáčaním kryštálu okolo normály kryštalickej roviny (1, 1, 1) maximum mizne a objavuje sa znova, vždy po pootočení o 120.

215 210 V opačnom prípade má odrazené žiarenie mlú intenzitu. Rovnaká skutočnosť platí aj pre elektróny, ktorých vlnová dĺžka je porovnateľná, ba (pri vyšších energiách) výrazne menšia, než bežného röntgenového žiarenia. Určenie konštruktívnej interferencie je znázornené na shcematickom obrázku 8.4. Zväzok elektrónov dopadá na kryštalickú rovinu zvierajúc s ňou uhol α. Preniká čiastočne do kryštálu a odráža sa od každej kryštalografickej vrstvy. Bez ujmy na všeobecnosti nám stačí uvažovať dvojicu susedných (rovnobežných) vrstiev atómov. Pod uhlom sa budú odrážať elektróny zosilnené konštruktívnou interferenciou, pokiaľ dráhový rozdiel vznikajúci pri odraze zo susedných vrstiev bude celočíselným násobkom vlnovej dĺžky λ elektrónov = AB AC = nλ, n = 0,1,2,... Z geometrického usporiadania znázorneného na obr. 8.4 vyplýva pre dráhový rozdiel = d (1 cos(α+β)) = nλ, sinα kde d je vzdialenosť medzi dvomi susedným rovnobežnými kryštalickými vrstvami (mriežková konštanta). Je zrejmé, že pre daný uhol α je možné nájsť hodnotu uhla β, pre ktorý je interferencia konštruktívna. Ak však zoberieme do úvahy, že intenzita odrazeného zväzku prudko klesá pre väčšie uhly, maximálna intenzita sa dosiahne, ako uhol dopadu α i uhol odrazu β budú rovnako malé (zo symetrie vyplýva že rovnaké: α = β). Potom využijúc toho, že 1 cos(2α) = 2sin 2 α obdržíme tzv. Braggovu formulu = 2dsinα = nλ. (8.18) Výrazne jednoduchšie experimentálne usporiadanie navrhol pre meranie vlnovej dĺžky elektrónov G.P. Thomson 4 Jeho experimentálne usporiadanie je zhodné s Debey-Scherrerovou metódou používanou pre röntgenové žiarenie. Pri tejto metóde sú elektróny urýchlené niekoľko kilovoltovým napätím a nechajú sa dopadnúť na tenkú fóliu monokryštálu kryštálu. Elektróny prenikajúce fóliou interferujú konštruktívne len v niektorých smeroch. Na fotografickej doske za fóliou zanechávajú na fotografickej pravidelný vzor bodov, z ktorej je možné získať informácie aj o štruktúre kryštálu. Ak fóliu necháme otáčať sa okolo smeru 4 G.P. Thomson získal spoločne s C. Davissonom Nobelovu cenu za fyziku za experimentálne overenie vlnových vlastností elektrónu v roku G.P. Thomson bol synom J.J. Thomsona, ktorý získal Nobelovu cenu za fyziku v roku 1906.

216 211 C d α A β α B Obr. 8.4: Schematický náčrt interferencie elektrónového zväzku pri odraze od atómov vytvárajúcich kryštalické roviny. Vzdialenosť medzi kryštalickými rovinami je d. Zväzok elektrónov dopadá pod uhlom α (meraným pod kryštalickej roviny) a odráža sa vo všetkých možných smeroch ako vlnenie s vlnovou dĺžkou λ. Pri odraze nastáva interferencia. Ak dráhový rozdiel = AB AC medzi dvojicou odrazených lúčov je celočísleným násobkom vlnovej dĺžky elektrónov, tj. = nλ, potom dochádza ku konštruktívnej interferencii a v tomto smere sa elektróny odrážajú s veľkou intenzitou. pokiaľ k = nλ+λ/2, dochádza k deštruktívnej interferencii a elektróny sa v tomto smere neodrážajú. určeného zväzkom dopadajúcich elektrónov, elektróny dopadajúce na fotografickú dosku zanechajú stopu v podobe sústredných kružníc. Thomson použil ešte jednoduchšiu variantu experimentu, keď namiesto tenkej fólie monokryštálu použil kryštalický prach zlisovaný do tenkej vrstvy. Nakoľko malé kryštalické zrniečká sú v zlisovanej vrstve orientované úplne náhodne, sú medzi nimi aj také, ktoré sú voči sebe len pootočené. Po prechode zlisovanou vrstvou kryštalických zŕn elektróny znova vytvárajú obrazec sústredných kružníc. Poznámka 8.6. Pozorného čitateľa zrejme napadlo, že kryštalické zrná v zlisovanej vrstve môžu byť orientované aj iným spôsobom, než čo zodpovedá pootočeniu voči jednému vybranému kryštáliku. Tu však hrá dôležitú úlohu malosť a rovnosť uhla dopadu a odrazu používaného pri odvodení Braggovej formule. Len pre malé a rovnaké uhly (α = β) je intenzita konštruktívnej interferencie dostatočne veľká.

217 212 Z vz DS zv (a) F Obr. 8.5: Na obrázku (a) ukazuje schematické usporiadanie Thomsonovho experimentu, kde monoenergetický zväzok elektrónov (Z) dopadá na vzorku (V), ktorá je zlisovaným kryštalickým prachom. Po prechode smery konštruktívnej interferencie vytvárajú Debyeove-Scherrerove kúžele pozdĺž ktorých dolieetajú prešlé elektróny na fotografickú dosku (F). Na obrázku (b) vpravo je vidieť vyvolanú fotogradickú dosku, na ktorú boli nafotené pomocné špirály identifikujúce príslušné koncentrické kružnice. Zo stredu vychádzajúca polopriamka určuje časť špirál, ktoré sa majú uplatniť pri dnom urýchlovacom napätí elektrónov. Jednotlivé špirály sú označené idexami kryštalických rovín. (b)

218 Schrödingerova vlnová mechanika Poznámka 8.7. Nedostatky Bohrovho modelu V predchádzajúcich kapitolách sme ukázali, že Bohrov model so svojou kvantovacou podmienkou momentu hybnosti, a postulátom pre žiarenie pri prechode medzi dvomi stacionárnymi trajektóriami, dokázal vysvetliť veľké množstvo javov (hlavne po rozšírení na Bohrov-Sommerfeldov model). Dosiahol úspechy pri vysvetlení čiarových spektier, ale tiež pri objasnení Zeemanovho normálneho javu a Starkovho javu. Navzdory všetkému však Bohrov model má mnoho nedostatkov. Jedným z nich je, že má jasný klasický charakter, a atóm vodíka by mal byť plochým diskom. Ďalej, Bohrov model atómu sa nedá použiť pre viacelektrónové systémy nedáva správne predpovede ohľadne spektrálnych čiar. Sú problémy s interpretáciou kvantových čísiel. Nevie vysvetliť prečo kvantové číslo veľkosti momentu hybnosti j určuje veľkosť momentu hybnosti j v tvare j = j(j +1) (obdobne pre orbitány moment hybnosti a spin). Taktiež nevie predpovedať intenzitu spektrálnych čiar aspoň pár z nedostatkov. Erwin Schrödinger 5, po začiatočnom zavrhnutú de Broglieho myšlienky v roku 1923, publikoval v rokoch 1926 (v tesnom slede za sebou) 5 článkov, v ktorých sformuloval základy tzv. vlnovej mechaniky založenej práve na myšlienke vlnovej povahy elektrónov. Vychádzal z myšlienky, že klasická (nekvantová) mechanika dáva len približný popis fyzikálnych javov, a je limitným prípadom inej, bohatšej fyziky. Podobný prípad nastáva v optike, keď geometrická optika je len limitným prípadom vlnovej optiky. Geometrická optika vy dobre popísať javy, kde vlnová dĺžka svetla je zanedbateľne malá oproti rozmeru typických telies, s ktorými sa dostáva do interakcie (napríklad s rozmermi šošoviek v ďalekohľade a pod.). Schrödinger, pri zdôvodnení základnej rovnice vlnovej mechaniky, vychádzal zo základnej pohybovej rovnice vlnovej optiky Ψ 1 2 ψ vf 2 2 t, (8.19) kde Ψ(x, y, z, t) je vlnovou funkciou častice (popisujúca nejakým spôsobom časticu pomocou jeho vlnových vlastností), je Laplaceov diferenciálny operátor 2 x y z a v 2 f je fázová rýchlosť vlnenia. 5 Rakusky teoretický fyzik Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger ( ) a anglický teoretický fyzik Paul Adrien Maurice Dirac, obdržali Nobelovu cenu za fyziku spoločne v roku 1933, za objav nových výkonných nástrojov pre atómovú fyziku

219 214 Ak častica, popísaná vlnovou funkciou Ψ(x, y, z, t), má jednu konkrétnu hodnotu E, potom podľa de Broglieho hypotézy má presne danú frekvenciu ν = E h. Ak predpokladáme periodický priebeh vlnovej funkcie Ψ v čase, môžeme ho písať v tvare Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)e 2πiνt, (8.20) kde ψ(x, y, z) obsahuje už len závislosť od priestorových premenných, a i predstavuje komplexnú jednotku 1. Ak tento tvar vlnovej funkcie Ψ dosadíme do vlnovej rovnice (8.19), dostaneme ψ + 4π2 ν 2 v 2 f ψ = 0. (8.21) Nakoľko pre grupovú rýchlosť platí v f = λν, v získanej rovnici sa môžeme zbaviť závislosti od fázovej rýchlosti a získame ψ + 4π2 ψ = 0. (8.22) λ2 Cieľom Schrödingera bolo zostaviť pre časticu vlnovú rovnicu, ktorá obsahuje časticové charakteristiky. V uvedenej rovnici treba už len eliminovať vlnovú dĺžku λ. Podľa de Broglieho hypotézy λ = h p = h 2m(E V), (8.23) Schrödingerova bezčasová rovnica kde m je hmotnosť častice, E je jeho celková energia a V jeho potenciálna energia. Jeho kinetická energia je potom p2 2m = E V. Prítomnosť potenciálnej energie V je v absolútnom súlade s experimentálnym zistením Davissona a Germera (pozri Davissonov-Germerov experiment vyššie). Po dosadení do (8.22) získame tzv. Schrödingerovu bezčasovú rovnicu ψ + 8π2 (E V)ψ = 0, (8.24) h2 ktorý sa dnes píše skôr v tvare 2 ψ +Vψ = Eψ. (8.25) 2m

220 215 časová Schrödingerova rovnica Ľavá strana tejto rovnice predstavuje vlnový operátor energie (tzv. Hamiltonov operátor) pôsobiaci na vlnovú funkciu častice. Hamitlonov operátor potom má tvar 2 +V (8.26) 2m Pokiaľ vlnovú funkciu Ψ(x, y, z, t) nemôžeme písať v tvare (8.20), potom pravá Schrödingerova rovnica má tvar 2 Ψ+VΨ = i Ψ 2m t. (8.27) Túto rovnicu nazývame časovou Schrödingerovou rovnicou. Poznámka 8.8. Schrödingerova pôvodná konštrukcia, ani nami uvedená konštrukcia nie je odvodením Schrödingerovej rovnice, ale zdôvodnením jeho tvaru, využívajúcou vlnovú rovnicu. Všimnime si, že pokiaľ použijeme pre časovú Schrödingerovu rovnicu, s vlnovou funkciou v tvare Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)e iet/, rovnica prejde do bezčasovej Schrödingerovej rovnice. 8.4 Interpretácia Vo vlnovej mechanike sa stretávame s novým popisom fyzikálnych javov, ku ktorej sa Schrödinger dopracoval na základe predstavy, že častica je popísaná vlnovou funkciou Ψ, ktorá sa je riešením vlnovej rovnice (8.19). Uplatnením de Broglieho hypotézy, že každá častica má aj vlnový charakter, kde frekvencia častice je daná ako ν = E/h a vlnová dĺžka častice je λ = h/p. Tieto úvahy ho doviedli k vlnovej rovnici (k Schrödingerovej rovnci), kde už nevystupuje fázová rýchlosť v f (vlnová charakteristika častice), ale vyslovene časticové vlastnosti (pozri (8.25) pre stacionárny prípad a (8.27)pre nestacionárny prípad). Vzniká však prirodzeným spôsobom otázka, aký je fyzikálny význam vlnovej funkcie a aký je fyzikálny význam samotnej Schrödingerovej rovnice (bezčasovej, či časovej). Fyzikálny význam vlnovej funkcie čiastočne vyplynula z de Broglieho hypotézy (pozri obr. 8.1). Častica je v tejto hypotéze konštruktívna interferencia vĺn, ktoré na seba viažu energiu častice a množstvo tejto energie je E = mc 2, kde m je hmotnosť častice. Kde je vlnová funkcia nulová, tam častica nie je. Z toho vyplýva, že častica je tam, kde vlnová funkcia nie je nulová. vlnová funkcia

221 216 Bola veľmi lákavou myšlienkou uvažovať o častici ako nie hmotnom bode, ale ako o objekte, ktorý je v priestore rozmazaný. Táto myšlienka však tú slabú stránku, že vlnová funkcia môže byť rôzna od nuly v dvoch bodoch súčasne, pritom tieto dva body môžu byť od seba na svetelné roky ďaleko. Ak v jednom z bodov zaregistrujeme časticu, v druhom (ktorý je veľmi ďaleko), už ho nemôžeme zaregistrovať. Ako však informácia prekonať tak obrovskú vzdialenosť za zlomok sekundy? Odporovalo by to existencii maximálnej rýchlosti. Namiesto interpretácii o rozmazanej častici sa ujala iná interpretácia, ktorá je v súlade s výsledkami experimentov. Vlnová funkcia hovorí o pravdepodobnosti, kde sa častica nachádza. Ak sa častica v nejakom mieste zaregistruje, vlnová funkcia stráca svoj zmysel. Je to podobné tomu, keď na večierku sa predajú tomboly. Než sa vytiahne víťazná tombola, majú všetky tomboly rovnakú šancu na výhru. Výhra sa môže ocitnúť na stole ľubovoľného majiteľa tomboly. (Ak niekto kúpil viac lístkov v tombole, zvýšil svoju šancu úmerne počtu kúpených lístkov.) V okamihu, keď sa však oznámi, že ktorý lístok vyhral v tombole, všetky ostatné lístky sa stávajú bezcennými. Toto prirovnanie je kupodivu relatívne presné, len počet lístkov nezodpovedá hodnote vlnovej funkcie, ale kvadrátu jej absolútnej hodnoty Ψ 2. Túto konštrukciu navrhol Einstein. Kvadrát absolútnej hodnoty vlnovej funkcie w(x,y,z,t) = Ψ(x,y,z,t) 2 (8.28) zodpovedá hustote pravdepodobnosti w výskytu častice v bode so súradnicami (x,y,z) a v čase t.

222 Dodatok A Počet módov elektromagnetického žiarenia v dutine Cieľom tohoto dodatku je ukázať, ako sa určí počet módov elektromagnetického žiarenia v dutine tvaru hranola, ktorého steny tvoria dokonalé zrkadlá takáto dutina sa tiež správa ako dokonale čierne teleso. Dutina je teda hranol s dĺžkou strán L x,l y,l z (pozri obrázok A.1) V dutine je vákuum a rýchlosť svetla vo vákuu je c. Teplota stien je T a riešime úlohu po dosiahnutí tepelnej rovnováhy. Počet módov je daný počtom riešení v tvare stojatých vĺn, nakoľko pomocou stojatých vĺn sa dá vyjadriť akákoľvek elektromagnetická vlna vyhovujúca podmienke tepelnej rovnováhy, ako lineárna kombinácia stojatých vĺn. Rovnováha znamená v tomto prípade, že nedochádza k žiadnym zmenám čo sa rozdelenia energie týka. z L z y x Ly L x Obr. A.1: Dutina v tvare hranola s dĺžkou hrán L x,l y,l z. Vzťažná sústava je zvolená tak, že jej osy ukazujú v smere hrán hranola (dutiny). Objem dutiny je V = L xl yl z. 217

223 218 Riešenie problému sa opiera o Maxwellove rovnice, z ktorých potrebujeme len vlnovú rovnicu 2 F x F y F z F c 2 t 2 0, (A.1) kde F je ľubovoľná zložka elektromagnetického poľa (napr. E x, E y či E z mohli by sme zvoliť aj magnetické zložky, ale k tejto otázke sa vrátim až záverom). O zložke F budeme ďalej hovoriť len ako o poli F. Vzhľadom k tomu, že steny dutiny sú dokonalé zrkadlá, v týchto miestach (na povrchu stien) bude mať pole F uzlové body. Vzťažnú sústavu zvolíme tak, aby jej osi bežali pozdĺž hrán hranola, ako ukazuje obrázok A.1. Riešenie vlnovej rovnice (A.1), pri takýchto okrajových podmienkach, môžeme získať separačnou metódou: pole F(x, y, z, t) zapíšeme v tvare F(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t), (A.2) tj. ako súčin štvorice funkcií, z ktorých každá závisí len od jednej premennej. Po spätnom dosadení do vlnovej rovnice (A.1) a predelení F vyjadrenej ako v (A.2) dostaneme X (x) X(x) + Y (y) Y(y) + Z (z) Z(z) 1 c 2 T (t) T(t) 0, (A.3) kde f (s) označuje druhú deriváciu príslušnej funkcie podľa jej argumentu, tj. X (x) = d 2 X(x)/dx 2, Y (y) = d 2 Y(y)/dy 2, atď. Člen X (x) X(x) je len funkciou jedinej premennej, x, zbytok vlnovej rovnice (A.3) od premennej x nezávisí. Napriek tomu ich súčet musí byť identicky rovný 0 (identicky znamená, pre všetky hodnoty všetkých premenných). Z toho vyplýva, že X (x)/x(x) nemôže závisieť ani od x, je konštanta. X (x) X(x) = k x 2 = const.,

224 219 a zrovna tak sa rovná konštante zbytok vlnovej rovnice. Opakovaním argumentácie pre Y (y)/y(y), Z (z)/z(z) A T (t)/t(t) dostaneme X (x) X(x) Y (y) Y(y) Z (z) Z(z) Z (z) Z(z) = k x 2 = const. (A.4a) = k y 2 = const. (A.4b) = k z 2 = const. (A.4c) = ω 2 = const. (A.4d) Poznámka A.1. Za prvé: prečo sme konštantu pravých strán v rovniciach (A.4) zvolili so znamienkom? Konštanty objavujúce sa pri riešení diferenciálnych rovníc sú vždy (v princípe) komplexné čísla. Fyzikálne podmienky však vedú k tomu, že ich možno v konečnom dôsledku zvoliť za reálne. Nami urobená voľba je dovolená a rýchlejšie k výsledku. Za druhé: tradične sa k t označuje ako ω, lebo bude mať význam kruhovej frekvencie elektromagnetického žiarenia. Určíme možné hodnotyk x. Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (A.4a), ktorú prepíšeme do tvaru X (x) = k x 2 X(x), (A.5) je X(x) = A x sink x x+b x cosk x x, (A.6) kde A x a B x sú konštanty. Podmienka, že elektromagnetické žiarenie musí mať na povrchu dokonalého zrkadla uzlové body, sa dá vyjadriť nasledovne X(0) = 0, X(L x ) = 0. Prvá podmienka z tejto dvojice okamžite implikuje, že B x = 0. Druhá podmienka zúži možné hodnoty k x, lebo sa dá splniť, pokiaľ A x sin(k x L x ) = 0 k x L x = πn x, k x = π L x n x,

225 220 kden x je celé číslo, tj.n x = 0,±1,±2,... Obdobne postupujeme pre určenie možných hodnôt k y a k z. Hodnota ω je potom daná už rovnicou ω = c kx 2 +ky 2 +kz, 2 (A.7) ktorá vznikne dosadením všeobecného riešenia F do vlnovej rovnice (A.3). ( ) ( ) ( ) πnx πny πnz F(x,y,z,t) = Asin x sin y sin z sin(ωt), (A.8) L x L y L z kde A je konštanta. Musíme si uvedomiť, že trojice čísiel (n x,n y,n z ), ( n x, n y,n z ), ( n x,n y, n z ), (n x, n y, n z ) dávajú to isté riešenie F, teda riešenia obmedzíme len na kladné n x,n y,n z. Ďalšie obmedzenie už nie je. Nakoľko ω hrá v tomto riešení skutočne úlohu kruhovej frekvencie, je spojená s frekvenciou ν podľa vzťahu ω = 2πν. Položme si teraz otázku, že koľko módov máme takých, ktorých frekvencia (určená kladnými celými číslami n x,n y,n z ) je menšia ako pevne zvolená hodnota frekvencie ν? Zapíšme túto podmienku matematicky. ( kx 2 +k2 y +k2 z ω2 2πν c 2 = c Dosaďme do ľavej strany zak x,k y,k z vyjadrenia pomocou celých čísieln x,n y,n z a dostaneme ) 2 ( πnx L x ) 2 ( πny + L y ) 2 ( πnz + L z ) 2 ( 2πν c ) 2. Túto rovnicu predelíme pravou stranou nerovnosti a dostaneme n 2 x a 2 x + n2 y a 2 y + n2 z a 2 z 1, (A.9) kde a x = 2νL x c, a y = 2νL y c, a z = 2νL z c. (A.10)

226 221 a z a x a y Obr. A.2: Elipsoid s poloosami a x,a y,a z v kladnom oktante. Na obrázku vľavo vidíme naukladané jednotkové kocky pozdĺž osi y tak, aby prvá kocka mala jeden z vrcholov v začiatku súradnej sústavy a ostatné sa radia napravo od neho, pozdĺž osi y. Na obrázku vpravo vidíme všetky jednotkové kocky, ktoré možno do kladného oktantu umiestniť vo vnútri elipsy. Vypĺňajú približne objem elipsoidy (v kladnom oktante). Ich počet určuje počet módov a preto objem elipsoidy zodpovedá približne počtu módov tak, ako je uvedené v texte Táto rovnica je zhodná s rovnicou pre vnútrajšok elipsoidu známej z geometrie x 2 a 2 x + y2 b 2 + z2 c 2 1, kde a, b a c sú poloosy elipsoidy. Objem tejto elipsoidy je 4 3 πabc, tj. vojde do jeho vnútra takýto počet jednotkových kociek. Kladné poloosy x, y, z vymedzujú z celkového objemu jeho osminu a to je početn 1 (ν) trojícn x,n y,n z, ktoré spĺňajú nerovnosť (A.9) (pozri obrázok), tj. N 1 (ν) = π 6 a xa y a z = 8π 6c 3 L xl y L z ν 3 = 4π 3c 3 Vν3, kde V = L x L y L z je objem dutiny. (A.11) Poznámka A.2. Vyjasnime si vzťah medzi objemom elipsoidu a počtom trojíc celých čísiel n x,n y,n z. Predstavte si elipsoid s osami a x, a y a a z, ktoré sú dané vzťahmi (A.10). Tieto čísla sú v praxi veľké čísla. Zoberme napríklad dutinu v tvare kocky s dĺžkou strany 1 cm a a frekvenciu viditeľného svetla, ktorej vlnová dĺžka je 500 nm. Potom a x = 2νL x c = 2L x λ = 10 2 m m = 105.