8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky

Transcript

1 8 Elektromagnetické vlny a základy vlnovej optiky 8. Úvod Zo vzájomnej väzby a vzťahov medzi vektormi elektrickej intenzity a intenzity magnetického poľa vyjadrených Mawellovými rovnicami vyplývajú vlnové rovnice pre E a H a eistencia postupnej elektromagnetickej vlny. Pod elektromagnetickým vlnením rozumieme v priestore sa šíriace zmeny elektrického a magnetického poľa. Tieto sú neoddeliteľne spojené, nemôžu eistovať samostatne, preto hovoríme o elektromagnetickom vlnení. Elektromagnetické vlnenie je vlnenie priečne a v neohraničenom vákuu, alebo izotropnom prostredí, sú vektory E a H navzájom kolmé a sú tiež kolmé na smer šírenia vlnenia. Fázová rýchlosť elektromagnetického vlnenia vo vákuu je v c. Skutočnosť, že táto rýchlosť sa rovná rýchlosti svetla vo vákuu viedla Mawella k domnienke, že svetlo je vlastne elektromagnetické vlnenie vysokej frekvencie. V dielektriku je fázová rýchlosť elektromagnetickej vlny určená vzťahom v. r r Pre absolutný inde lomu n, ktorý je definovaný ako podiel rýchlosti svetla vo vákuu a v danom c prostredí platí n rr. v Elektromagnetická vlna je lineárne polarizovaná, ak kmity vektora E resp. H ležia v jednej rovine. Na obr. 8. sú zobrazené vektory E a H rovinnej lineárne polarizovanej monochromatickej y E z H Obr. 8. elektromagnetickej vlny postupujúcej vo vákuu, alebo v izotropnom dielektriku, ktorej vektor elektrickej intenzity kmitá v smere osi y. Pre takúto vlnu sú fázy elektrického a magnetického poľa rovnaké a elektromagnetickú vlnu môžeme vyjadriť napr. vlnovými funkciami E E cos( ) t k a cos ( ) π c H z H t k, kde k je vlnové číslo definované vzťahom k.vlnová dĺžka. f Rýchlosť elektromagnetickej vlny vo vákuu t.j. rýchlosť svetla c je základná prírodná konštanta a po rôznych meraniach bola stanovená na hodnotu c = ms. (Dnes slúži za základ pre definíciu ďalších konštánt a jednotky dĺžky!) Veľkosti okamžitých hodnôt elektrickej intenzity a magnetickej intenzity spolu súvisia a pre ich pomer platí E E. Pre vákuum si ľahko zapamätáme, že platí c H B, resp. E c Z. H Charakteristická impedancia vákua Z je tiež jedna z prírodných konštánt, jej hodnota je Z = 376,73. Hustotu toku energie prenášanej elektromagnetickou vlnou za jednotku času vyjadruje Poyntingov vektor S = E H. Veľkosť S sa rovná okamžitej hodnote energie prenášanej 3 y

2 elektromagnetickou vlnou jednotkovou plochou kolmou na smer šírenia vlnenia za jednotku času. Smer vektora S určuje v každom bode smer šírenia energie. Pre rovinnú elektromagnetickú vlnu je smer Poyntingovho vektora rovnaký ako smer fázovej rýchlosti. Vo vákuu pre veľkosť okamžitého E toku energie platí S E c Z. Praktický význam má časová stredná hodnota S, ktorej E hovoríme intenzita elektromagnetickej vlny. Vo vákuu platí Eef, kde Eef. c ntenzita závisí na vzdialenosti od zdroja. Ak je zdroj bodový a izotropný a jeho výkon je P, P potom intenzita vo vzdialenosti r od zdroja sa rovná. 4πr Elektromagnetické vlnenie má okrem energie aj hybnosť a jej dôsledkom je radiačný tlak. Ak rovinná vlna dopadá kolmo na absorbujúcu, resp. odrazovú plochu, potom pri úplnej absorbcii je radiačný tlak pr, pri úplnom odraze je radiačný tlak dvojnásobný. c Nepolarizované svetlo pozostáva z elektromagnetických vĺn s náhodne orientovanými smermi E. Svetlo možno polarizovať odrazom, dvojlomom, alebo polarizátormi. Smer polarizácie polarizátora definujeme ako smer, v ktorom bez pohltenia prechádza vektor elektrickej intenzity. Ak intenzita nepolarizovaného svetla dopadajúceho na polarizátor je, po polarizácii je jeho intenzita. Ak na polarizátor dopadá už polarizovaná vlna a uhol medzi rovinou kmitov E a smerom novej polarizácie je, potom pre intenzitu vlnenia prejdeného polarizátorom platí cos. Ak na rozhranie prostredí dopadá svetelná vlna môže dochádzať k odrazu a lomu. Odrazený aj lomený lúč ležia v rovine určenej kolmicou na rozhranie a dopadajúcim lúčom. Nech je uhol medzi kolmicou dopadu a odrazeným lúčom a je uhol medzi kolmicou a lomeným lúčom. Pre odraz platí, zákon odrazu, podľa ktorého uhol odrazu rovná sa uhlu dopadu =. Pre lom platí zákon lomu Snellov zákon, podľa ktorého n sin n sin, kde n, n sú absolútne indey lomu daných prostredí. Ak svetlo prechádza rôznymi prostrediami, mení sa jeho vlnová dĺžka. Väčšiemu indeu lomu odpovedá menšia vlnová dĺžka. Ak dokonale monochromatické svetlo má vo vákuu vlnovú dĺžku, potom v prostredí s absolútnym indeom lomu n jeho vlnová dĺžka bude n. Fázový n rozdiel medzi dvomi svetelnými vlnami sa môže zmeniť, ak prechádzajú rôznymi prostrediami. Na rozhraní prostredí dochádza k úplnému odrazu ak svetlo dopadá pod uhlom väčším, alebo rovným medznému uhlu, pre ktorý platí m arcsin n. n Pri odraze dochádza k úplnej polarizácii odrazeného lúča ak lúč dopadá na rozhranie pod Brewsterovým uhlom B arctg n. n Vlnový charakter svetla sa okrem polarizácie prejavuje interferenciou, difrakciou a disperziou svetla. nterferencia svetla je skladanie svetelných vlnení, prejavujúce sa zosilením a zoslabením intenzity svetla. nterferenciu môžeme pozorovať ak interferujúce lúče sú koherentné. Koherentné sú svetelné vlny rovnakej frekvencie, ktorých fázový rozdiel kmitov a smer je v čase konštantný. V reálnej svetelnej vlne je problém koherencie zložitejší, pretože prísne vzaté ideálne monochromatická vlna v prírode neeistuje. Hovoríme preto o časovej a priestorovej koherencii. V prírode často pozorovaná interferencia je interferencia na tenkej vrstve. Pri interferencii na tenkej vrstve hrúbky d s indeom lomu n pozorujeme interferenčné maimá a minimá v prejdenom a v odrazenom svetle. Ak svetlo dopadá z prostredia s indeom lomu n na tenkú vrstvu s indeom lomu n, potom pozorujeme v odrazenom svetle maimá ak nd cos k, minimá ak n d cos k pre k =,,,... V prejdenom svetle sú podmienky pre maimá a minimá opačné. 4

3 Pri prechode svetla prostredím pre posúdenie interferencie musíme uvažovať optickú dráhu. Optická dráha je súčin geometrickej dráhy a indeu lomu daného prostredia. Pod difrakciou svetla rozumieme javy, ku ktorým dochádza pri šírení svetla v prostredí s ostrými nehomogenitami, napr. pri prechode svetla otvorom, štrbinou, rozhraním medzi priezračným a nepriezračným prostredím. Difrakcia sa prejavuje odchýlkami od priamočiareho šírenia svetla. Tieto sú tým menšie, čím je menšia vlnová dĺžka. Principiálne nie je fyzikálny rozdiel medzi interferenciou a difrakciou. Prejavom obidvoch javov je prerozdelenie intenzity svetla a príčinou obidvoch javov je superpozícia vlnení. Nech na dlhej štrbine šírky b dochádza k difrakcii rovinnej svetelnej vlny. Označme odchýlku od priamočiareho šírenia uhlom. Potom na tienidle pozorujeme minimá v miestach, pre ktoré: bsin k, k =,, 3,.... Minimá oddeľujú maimá, pre ktoré približne platí: bsin (k ). sin πb Pre intenzity ohybových maím platí, kde sin. Pre spektroskopiu je významná difrakcia na sústave štrbín tvoriacich difrakčnú mriežku. Nech d je vzdialenosť štrbín mriežky, potom pre maimá platí d sin k, kde k =,,,... Číslo k označuje rád maima. Pre rozlišovaciu schopnosť mriežky je významná pološírka difraktovanej spektrálnej čiary. Pre pološírku čiary difraktovanej pod uhlom platí /, kde N je Nd cos počet štrbín mriežky. Pološírka čiary je definovaná ako uhol medzi maimom čiary a susedným minimom na grafe intenzity (). Rozlišovacia schopnosť mriežky R je definovaná ako podiel priemeru vlnových dĺžok, ktoré ešte možno považovať za separované a rozdielu ich vlnových dĺžok. stred. R. Rozlišovaciu schopnosť mriežky pre spektrum rádu k možno vyjadriť jednoduchým vzťahom R = N k. Významným nástrojom na určovanie štruktúry kryštálov je difrakcia röntgenového žiarenia. Na atómoch kryštálovej štruktúry dochádza k rozptylu a interferencii, čo spôsobuje vznik maím a miním difraktovaného žiarenia. Podmienku pre maimá vyjadruje Braggov zákon. Ak d je vzdialenosť kryštálových rovín a je uhol medzi kryštálovou rovinou a dopadajúcim lúčom (Braggov uhol), pre maimá platí d sin k, kde k =,, 3, Otázky a problémy. Aké základné vlastnosti má elektromagnetická vlna?. Elektrické pole rovinnej lineárne polarizovanej elektromagnetickej vlny kmitá rovnobežne s osou a je určené rovnicou E cos ( ) E t kz. V ktorom smere kmitá vektor intenzity magnetického poľa a ktorým smerom sa vlna šíri? 3. Vektor elektrickej intenzity lineárne polarizovanej elektromagnetickej vlny má smer osi y a vektor magnetickej indukcie má smer osi. V ktorom smere sa šíri energia elektromagnetického vlnenia? 4. Ak amplitúda elektrickej intenzity elektromagnetickej vlny šíriacej sa vo vákuu je E, aká je amplitúda intenzity magnetického poľa a amplitúda indukcie magnetického poľa? 5. Rovinná lineárne polarizovaná elektromagnetická vlna sa šíri v zápornom smere osi y. V danom mieste má elektrická intenzita smer osi a veľkosť Vm. Akú veľkosť a smer v danom mieste má intenzita magnetického poľa? 6. Nepolarizované svetlo dopadá na tri polarizátory umiestnené za sebou. Svetlo vystupujúce zo sústavy je rovinne polarizované pod uhlom 3 v smere hodinových ručičiek a jeho intenzita je polovičná vzhľadom k intenzite dopadajúceho svetla. Aká je orientácia polarizátorov? 7. Rovinná svetelná vlna sa šíri v osi z a je lineárne polarizovaná tak, že kmity vektora E sú rovnobežné s osou. V osi z je umiestnený polarizátor, ktorého rovina je kolmá na os z a smer polarizátora je rovnobežný s osou y. Ak polarizátor pootočíme v smere hodinových ručičiek bude 5

4 sa intenzita prejdeného svetla zväčšovať, alebo zmenšovať? Ako sa zmení intenzita svetla ak polarizátor pootočíme proti smeru hodinových ručičiek? 8. Monochromatické svetlo na obr.8. prechádza postupne tromi prostrediami. Zoraďte indey lomu prostredí podľa ich veľkosti! 9. Čo je to optická dráha?. Pulz monochromatického svetla prechádza tromi paralelnými prostrediami s indeami lomu podľa obrázku 8.3. a) Ktorým prostredím prejde svetelný pulz najskôr a ktorým bude prechádzať najdlhšie? b) Usporiadajte vlnové dĺžky v prostrediach podľa veľkosti! n n n 3 n =,3 n =,6 n 3 =,4 Obr. 8. Obr Platia podmienky pre maimá a minimá uvedené v úvode pre interferenciu na tenkej vrstve aj v prípade, že máme tri prostredia a pre indey lomu prostredí platí n 3 n n? Svetlo dopadá na vrstvu s indeom lomu n z prostredia n.. Aký tvar budú mať interferenčné pásy, ak ploskovypuklú šošovku položíme na sklenú platňu a budeme pozorovať interferenciu v odrazenom svetle? 3. Vysvetlite, prečo je miesto kontaktu šošovky so sklenou platňou v predchádzajúcej úlohe tmavé. 4. Aké podmienky musia byť splnené, aby sme pri difrakcii na jednej štrbine pozorovali maimá, resp. minimá, a aké podmienky pre maimá a minimá platia na sústave štrbín difrakčnej mriežke? 5. Svetlo frekvencie f dopadá na úzku dlhú štrbinu, za ktorou na tienidle pozorujeme difrakčný obrazec. Zúži, alebo rozšíri sa tento obrazec ak použijeme svetlo frekvencie a),5 f, b),5 f? 6. Monochromatické svetlo dopadá vo vzduchu na úzku dlhú štrbinu a vzdialenosť prvých dvoch miním na tienidle je d. Zväčší, alebo zmenší sa táto vzdialenosť, ak celé zariadenie ponoríme do vody? 7. Aký musí byť pomer šírky štrbiny a vlnovej dĺžky, aby prvé difrakčné minimum vzniklo pod uhlom 3? 8. Ak na difrakčnú mriežku dopadá biele svetlo, akú farbu bude mať centrálne maimum? 9. Ak na difrakčnú mriežku dopadá biele svetlo, ktorá farba bude najviac difraktovaná?. Ako sa zmení rozdiel dvoch spektrálnych čiar, ktoré ešte môže daná mriežka rozlíšiť ak sa vlnová dĺžka zmenší?. V ktorom ráde spektra je rozdiel dvoch spektrálnych čiar, ktoré ešte môže daná mriežka rozlíšiť väčší v prvom, alebo v treťom?. Aká podmienka musí byť splnená, aby sme pri difrakcii röntgenového žiarenia na kryštáloch mohli pozorovať maimá intenzity difraktovaného žiarenia? 8.3 Riešené príklady 8. Elektrická intenzita elektromagnetickej vlny je E =, E y =, E z 3,cos 4 t c Vm-, kde c 3 8 ms. Vyjadrite zložky intenzity magnetického poľa, ak sa vlna šíri v kladnom smere osi a vo vákuu. Vektorový súčin E H udáva smer šírenia vlny. Ak E má smer osi z potom H musí mať smer osi ( y), aby sa vlnenie šírilo v kladnom smere osi. Pre pomer amplitúd elektromagnetickej vlny vo 6

5 E vákuu platí H E Pre magnetickú intenzitu danej vlny teda platí: H, H z a Z H y 5 3,cos t c = 3 5 H y 7, 95. cos t c Am. Poznámka: Na určenie smeru H sme využili smer Poyntingovho vektora. Rovnaký výsledok získame analyticky B využitím Mawellovej rovnice rote. t 8. Dokážte, že pre elektromagnetickú vlnu sa hustota energie elektrického poľa rovná hustote energie magnetického poľa. Pre hustotu energie elektrického poľa platí we E. Dosaďme pre amplitúdy elektromagnetickej vlny platný vzťah E c H. Potom: we c H H H wm a dokázali sme požadované tvrdenie. 8.3 Žiarovku s výkonom W pokladajme za izotropný bodový zdroj svetla. Aké sú efektívne hodnoty intenzity elektrického poľa a indukcie magnetického poľa v mieste vzdialenom od žiarovky o r = m? Pre intenzitu elektromagnetickej vlny platí E c ef. ntenzita vlny klesá so vzdialenosťou a P pre izotropný bodový zdroj platí, kde P je výkon zdroja. Z uvedených vzťahov dostávame 4π r E c P c P = 7,38 Vm, 4π r r π 4 π π ef E ef Bef = 9,3 8 T. Poznámka: Hodnota elektrickej intenzity je dosť veľká a preto aj prístroje na meranie, resp. detekciu elektromagnetického vlnenia sú založené na detekcii elektrickej intenzity. Ako sme však videli v predchádzajúcom príklade hustota energie elektrického aj magnetického poľa elektromagnetickej vlny je rovnaká. 8.4 Stredný výkon vyžarovaný Slnkom je P S = 3,9 6 W. Ak chvost kométy vytvárajú guľové prachové častice z materiálu hustoty = 3 3 kgm 3, pre aký polomer častíc sa sila spôsobená tlakom žiarenia rovná gravitačnému priťahovaniu častice Slnkom? Hmotnosť Slnka je M S =,99 3 kg, gravitačná konštanta = 6,67 Nm kg. Predpokladajte, že žiarenie je časticami absorbované. Tlak žiarenia súvisí s intenzitou vzťahom Častica prachu polomeru R je priťahovaná Slnkom silou P p. ntenzita vo vzdialenosti r od Slnka. c 4π r F G 3 M S 4π R. Žiarenie tlačí na plochu 3r c 7

6 S 3P R. 6πc M S π R. Z rovnosti síl dostávame pre polomer guľovej prachovej častice hodnotu Po dosadení číselných hodnôt dostávame pre polomer častice chvosta kométy, pre ktorú gravitačné priťahovanie sa rovná repulznej sile od tlaku žiarenia S 6 33,9 R 6 π 3 3 6,67, =,948 7 m. Poznámka: Všimnite si, že R nezávisí od toho ako ďaleko sa kométa nachádza od Slnka. Pre častice s väčším polomerom bude prevažovať príťažlivá sila Slnka, pre častice s menším polomerom tlaková sila žiarenia. 8.5 Pôvodne nepolarizované svetlo šíriace sa v osi z prechádza postupne dvomi polarizátormi, z ktorých druhý je vzhľadom k prvému pootočený o 3. Aká je intenzita vychádzajúceho svetla vzhľadom k intenzite dopadajúceho svetla? Dopadajúce svetlo je nepolarizované, preto z prvého polarizátora vychádza svetlo intenzity = ½. Na druhý polarizátor dopadá už polarizované sveto a pre prejdené svetlo plati zákon. Po dosadení dostávame cos 3, 375. dop cos 8.6 Nepolarizované svetlo intenzity = mwm prechádza polarizátorom. a) Aká je amplitúda elektrickej intenzity harmonickej svetelnej vlny prejdenej polarizátorom, b) akým tlakom pôsobí svetelná vlna na polarizátor? a) Dopadajúce svetlo nie je polarizované, pre intenzitu prejdenej vlny platí svetelnej vlny a amplitúdou jej elektrickej intenzity platí E c. Z nich dostávame E c c a po dosadení číselných hodnôt E =,75 Vm. b) Tlak na polarizátor vytvára iba pohltená časť svetelnej vlny. Potom a medzi intenzitou p = 3,33 Pa. c 8.7 Bodový zdroj svetla je ponorený m pod povrchom vody. Aký bude polomer kruhu svetla vystupujúceho z vody, ak inde lomu vody je n =,33 a inde lomu vzduchu budeme pokladať za rovný jednej? Chod lúčov je zobrazený pre všeobecný prípad na obr. 8.4.Na vzduchu sa lúč láme od kolmice a medzný uhol, ktorý vymedzuje polomer kruhu svetla vychádzajúceho z vody bude uhol = 9. Zo Snellovho zákona potom n sin n sin 9, odkiaľ,33 r h tg,4, 8 m. vody arcsin 48, 75. Pre polomer kruhu platí: vzd. Obr

7 8.8 Optické vlákno sa skladá zo skleného jadra s indeom lomu n a z obalu s indeom lomu n, kde n n. Ukážte, že maimálny uhol vzhľadom k osi vlákna, pod ktorým svetlo môže dopadať a šíriť sa ďalej vláknom je arcsin n n. n Na obale vlákna musí dochádzať k úplnému odrazu. Podmienka pre úplný odraz je sin. n Kritický uhol, pod ktorým sa lúč dopadajúci zo vzduchu láme v skle, bude dopadajúceho zo vzduchu potom podľa Snellovho zákona platí: n nvzd sin n sin( ) n cos n n 9. Pre uhol lúča. Pretože n vzd. =, dostávame arcsin n n. 8.9 Viditeľné svetlo má vlnové dĺžky z intervalu,76 m,38 m. Ak rozdiel optických dráh bieleho svetla je =,8 m, ktoré vlnové dĺžky sa pre tento dráhový rozdiel budú: a) maimálne zosilňovať, b) maimálne zoslabovať? a) Zosilňovať sa budú vlnové dĺžky, pre ktoré = k, kde k je prirodzené číslo. Do uvedeného intervalu spadajú vlnové dĺžky, pre k = 3 a 4, t.j. vlnové dĺžky,6 m a,45 m. b) Zoslabovať sa budú vlnové dĺžky, pre ktoré (k ). Z intervalu viditeľného svetla to budú vlnové dĺžky pre k =, 3, 4, t.j. vlnové dĺžky,7 m,,54 m a,4 m. 8. Na masívnej sklenej podložke s indeom lomu n 3 =,6 je tenká vrstva materiálu s indeom lomu n =,4. Pri osvetlení monochromatickým svetlom vlnovej dĺžky =,6 m, dopadajúcim kolmo na tenkú vrstvu, sa odrazené svetlo maimálne zoslabuje. Aké hrúbky môže mať daná tenká vrstva? nde lomu vzduchu n =,9. Na obr. 8.5 je zobrazený odraz a lom lúča prechádzajúceho tenkou vrstvou pre všeobecný prípad, keď dopadajúci lúč zviera s kolmicou dopadu uhol. Zobrazená je interferencia v odrazenom svetle. Podľa obrázku je optický dráhový rozdiel interferujúcich n AB BC n DC. Z trigonometrie vidíme, že platí: lúčov AB=BC= d / cos, AC= d tg, DC=ACsin.. B Využijeme Snellov vzťah, podľa ktorého n sin n sin, dosadíme Obr. 8.5 a po úprave dostávame d n cos. Všimnime si teraz odraz lúčov. Lúč DC sa v bode C odráža od opticky hustejšieho prostredia, fáza sa zmení na opačnú. Pre lúč ABC v bode B taktiež nastáva odraz od opticky hustejšieho prostredia a fáza aj tohto lúča sa mení na opačnú. Keďže sa zmení fáza obidvoch lúčov v ich interferencii sa táto zmena neprejaví. Podmienkou pre maimálne zoslabenie lúčov je k, k,,, 3,... Ak uhol k dopadu je, potom aj = a n d. Pre možné hrúbky vrstvy dostávame d. 4 n Dosaďme k =,,, 3,.. a hrúbky vrstvy na skle budú d =, m, d =,3 m, d =,54 m, atď. Poznámka: Tento príklad vysvetľuje fyzikálny princíp, pomocou ktorého možno dosiahnuť zmenu odrazivosti na plochách šošoviek a optických prístrojov. Optické prístroje sa pokrývajú tenkými vrstvami práve na zníženie odrazu svetla. n n n 3 A D C d

8 8. Ploskovypuklá šošovka je položená na rovinnú sklenú platňu. Medzi šošovkou a platňou je vytvorená tenká vzduchová vrstva premenlivej hrúbky. Na zariadenie dopadá monochromatické svetlo vlnovej dĺžky =,5 m. Určte a) hrúbku h vzduchovej vrstvy v mieste, kde pozorujeme v odrazenom svetle 5. svetlý Newtonov krúžok, b) polomer zakrivenia šošovky, ak polomer 5. svetlého krúžku je r 5 = mm. a) Ako je vidieť na obrázku 8.6 interferujú v odrazenom svetle lúče r odrážajúce sa od rozhrania šošovka vzduch a lúče odrazené od sklenej platne. Pri odraze od rozhrania šošovka vzduch dochádza k r k odrazu od opticky redšieho prostredia a teda vo fáze, pri odraze od h sklenej platne sa fáza mení na opačnú. Rôznym odrazom vzniká dodatočný dráhový rozdiel. Zmena fázy pri rôznych druhoch Obr. 8.6 odrazu je príčinou, že stred sa v odrazenom svetle javý tmavý. Celkový dráhový rozdiel je potom h. nterferenčné maimá budeme pozorovať ak k, k =,,.., minimá ak ( k ). Pre k výšku vzduchovej vrstvy dostávame pri maimách h ( k ), pri minimách h, kde k =, 4 9, 3,.... Hrúbka vzduchovej vrstvy pri 5. maime je h,5μm =,5 μm. 4 b) Z obr. 8.6 platí r r ( r h) r h h. Pretože h r môžeme zanedbať druhý člen a položiť r k k rh. Pre polomer zakrivenia šošovky z údajov pre 5. svetlý krúžok dostávame 3 ( ) r,5 6,78 m. 8. Monochromatické svetlo vlnovej dĺžky = 5 m dopadá kolmo na štrbinu šírky b = 3 5 m. a) Určte vzdialenosť medzi prvými ohybovými minimami symetricky rozloženými okolo hlavného maima, ktoré sa zobrazia na plátne vzdialenom od štrbiny o = m. b) Aký je pomer intenzity prvých dvoch ohybových maím vzhľadom k intenzite centrálneho maima? A b Obr. 8.7 B C a) Podmienka pre ohybové minimá pri usporiadaní eperimentu podľa obr.8.7 je bsin k, k =,, 3,... Pre prvé minimum je bsin. Z pravouhlého trojuholníka ABC platí: BC tg sin. b Hľadaná vzdialenosť =,67 m. b b) Pre ohybové maimá približne platí podmienka: bsin k, k =,, 3,.... Pre intenzitu platí sin πb, kde sin. Po dosadení z predchádzajúceho vzťahu dostávame k π a pre pomer intenzít bude platiť: / = 4,5 -, / =,6 -.

9 8.3 Kolmo na difrakčnú mriežku šírky w =,5 m s rovnomerne rozmiestnenými štrbinami dopadá rovinná svetelná vlna vlnovej dĺžky =,5 m. Optická sústava umiestnená blízko mriežky premieta difrakčný obraz na tienidlo vzdialené od mriežky o =,5 m. Vzdialenosť na tienidle medzi dvoma maimami prvého rádu je =,4 m. Vypočítajte: a) vzdialenosť štrbín d, b) počet štrbín mriežky N, c) počet maím, ktoré budeme pozorovať, d) maimálny uhol odklonu lúčov difrakčného maima, e) minimálny rozdiel vlnových dĺžok, ktoré na danej mriežke ešte môžeme rozlíšiť v spektre. rádu. a) Pre ohybové maimá na mriežke platí d sin k, kde d je vzdialenosť štrbín, k =,, 3,... je rád spektra vlnovej dĺžky. Podľa obr. 8.8 tg. Vzhľadom na to, že je malé platí d tg sin a pre vzdialenosť štrbín mriežky zo spektra. rádu dostávame d 6,5 m. b) Počet štrbín mriežky je: w,5 N 4. d 6 6, 5 c) Počet maím, ktoré poskytuje mriežka získame Obr. 8.8 tak, že určíme maimálny rád spektra, t.j. maimálnu hodnotu k. Maimálna hodnota k vyplýva z podmienky maimálnej hodnoty sin =. d sin Platí kma,5. Rád spektra je však prirodzené číslo, preto môže mať maimálnu hodnotu k ma =. Na tienidle budeme pozorovať hlavné maimum a po obidvoch stranách hlavného maima ďalších k ma maím, spolu k ma + = 5 maím. ma d) Maimálny odklon lúča bude pre k = a ma arcsin k = 73,7. d e) Rozlíšiteľnosť čiar je, kde R = N k, je rozlišovacia schopnosť mriežky. R Pre spektrum prvého rádu R = 4. Mriežka môže rozlíšiť čiary líšiace sa minimálne o 7 5, 5 m. R Röntgenové žiarenie vlnovej dĺžky =, nm má na kryštále LiF maimá druhého rádu pod Braggovým uhlom = 8. Aká je vzdialenosť reflených rovín v kryštáli? Pre refleiu platí Braggová podmienka d sin k. Pre vzdialenosť reflených rovín dostávame: d k, sin sin 8 9,56 m. 8.4 Neriešené príklady 8.5 Vektor intenzity magnetického poľa svetelnej vlny vo vákuu kmitá rovnobežne s osou z a je daný vzťahom H sin ( ) z H t ky. Určte, v akom smere sa šíri elektromagnetická vlna a vyjadrite vektor elektrickej intenzity tejto vlny.

10 8.6 Elektromagnetická vlna sa šíri v smere zápornej osi y. V určitom mieste má v čase t elektrická intenzita smer kladnej osi z a jej veľkosť je Vm. Aký je smer a veľkosť magnetickej intenzity v tomto časovom okamžiku? 8.7 Dokážte, že pre postupnú rovinnú harmonickú elektromagnetickú vlnu je intenzita vlny, t.j. stredná energia, ktorá prejde jednotkovou plochou za jednu periódu daná vzťahom: E cb S c. 8.8 Aká je intenzita postupnej harmonickej vlny ak amplitúda intenzity magnetického poľa je H 79,58 Am? 8.9 ntenzita slnečného svetla na hranici zemskej atmosféry má hodnotu 4 Wm. Ak by slnečné svetlo bolo rovinnou harmonickou vlnou, aká by tejto intenzite odpovedala amplitúda intenzity elektrického poľa a aká amplitúda indukcie magnetického poľa? 8. Stredný výkon vyžarovaný Slnkom je P S = 3,9 6 W. Aká veľká by musela byť plocha odrážajúca svetlo na kozmickej lodi hmotnosti m = kg, aby sa táto vplyvom tlaku svetla pohybovala von zo slnečnej sústavy? Hmotnosť Slnka je M S =,99 3 kg, hmotnosť kozmickej plachty zanedbajte! 8. *Na časticu z materiálu hustoty = 3 kgm 3 majúcu tvar guľôčky pôsobí tlakom svetla Slnko. Predpokladajte, že guľôčka svetlo dokonale odráža. Aký by musel byť polomer guľôčky, aby mohla byť tlakom svetla vypudzovaná zo slnečnej sústavy? Využite údaje z predchádzajúceho príkladu! 8. Žiarovku s výkonom 5 W považujte za izotropný bodový svetelný zdroj. Akou silou tlačí svetlo na dokonale pohlcujúcu plochu S =,4 m umiestnenú od žiarovky vo vzdialenosti d = m a kolmú na smer dopadajúceho svetla? 8.3 Svetlo sodíkovej výbojky je žlté a vo vákuu má vlnovú dĺžku = 589 nm. Aká je vlnová dĺžka a frekvencia tohto svetla vo vode, ak inde lomu vody je n =,33? 8.4 Optická sústava je vytvorená tromi rovinnými prostrediami, ktoré majú postupne indey lomu n =,6 n =,33 n 3 =,6. Na túto sústavu dopadajú zo vzduchu dva lúče. Jeden kolmo a druhý pod uhlom 4 vzhľadom k prvému. a) Pod akým uhlom vyjde zo sústavy kolmý lúč? b) Pod akým uhlom vyjde zo sústavy lúč dopadajúci pod uhlom 4? 8.5 Aký minimálny inde lomu musí mať materiál tyče valcovitého tvaru, aby všetky lúče dopadajúce na jej čelnú stenu úplným odrazom prechádzali ďalej len materiálom tyče? Okolitým prostredím je vzduch a inde lomu vzduchu pokladajte za rovný jednej. 8.6 Vo vode je ponorená sklená doštička s indeom lomu n S =,5. Pod akým uhlom musí vo vode dopadať na doštičku svetelný lúč, aby odrazený lúč bol úplne polarizovaný? nde lomu vody je n V =, Pozdĺž nanoštruktúry, ktorej dĺžka je 5 nm sa môže šíriť svetlo. Ak pri dopade na nanoštruktúru má harmonická monochromatická svetelná vlna maimum, aký bude jej priebeh pri výstupe z nanoštruktúry, ak vlnová dĺžka svetla je a) 5 nm, b) nm? 8.8 Nepolarizovaný lúč svetla dopadá na dva polarizátory, ktorých smery polarizácie zvierajú navzájom uhol = 6. Koľkokrát sa zmenší intenzita svetla pri prechode len jedným polarizátorom a koľko pri prechode celou sústavou? Riešte pre prípady ak: a) straty absorbciou a

11 odrazom od polarizátora zanedbávame, b) straty absorbciou a odrazom od polarizátora predstavujú 5%. 8.9 Vertikálne polarizované svetlo s intenzitou prechádza postupne sústavou 9 ideálnych polarizátorov. Smer prvého polarizátora je otočený o od vertikálneho smeru a o je otočený každý ďalší polarizátor. Aká je intenzita svetla prechádzajúceho cez túto sústavu? 8.3 *Vertikálne polarizované svetlo s intenzitou prechádza postupne sústavou 9 ideálnych polarizátorov. Rovina prvého polarizátora je otočená o od vertikálneho smeru a o je otočený každý ďalší polarizátor. Aká je intenzita svetla prechádzajúceho cez túto sústavu? 8.3 Chceme otočiť smer polarizácie polarizovaného svetelného paprsku o 9. a) Aký minimálny počet polarizátorov musíme použiť? b) Aký minimálny počet rovnomerne pootočených polarizátorov potrebujeme, aby intenzita prejdeného svetla bola väčšia ako 6% pôvodnej intenzity? 8.3 Na sústavu troch polarizátorov dopadá nepolarizované svetlo. Prvý polarizátor je orientovaný vertikálne, druhý je otočený o 45 a tretí je v horizontálnom smere. a) Aká je intenzita svetla prechádzajúceho sústavou vzhľadom k pôvodnej intenzite? b) Aká bude intenzita svetla ak stredný polarizátor vyberieme? 8.33 Tenká planparalelná vrstva vytvorená z materiálu s indeom lomu n =,5 je osvetlená svetlom vlnovej dĺžky λ = 55 nm. Aká môže byť hrúbka vrstvy, aby pri dopade svetla pod uhlom α = 3 nastal minimálny odraz? nde lomu prostredia, z ktorého svetlo dopadá je rovný jednej Na optické prístroje sa nanášajú tenké vrstvy, aby sa zmenšil odraz svetla. Aká musí byť hrúbka tenkej vrstvy vytvorenej z materiálu indeu lomu n =,38 nanesenej na skle s indeom lomu n S =,5, aby pre kolmo dopadajúce svetlo vlnovej dĺžky 55 nm (maimálna citlivosť ľudského oka) bol odraz minimálny? 8.35 Zelená čiara ortuťovej výbojky vlnovej dĺžky = 546 nm sa odráža od vzduchovej vrstvy premenlivej hrúbky medzi dvomi sklenenými platňami. Začínajúc z nulovej medzery určte prvé štyri hrúbky medzier, pri ktorých v odrazenom svetle nastáva minimum Ploskovypuklá šošovka s polomerom krivosti R = m je položená na rovinnej sklenej doske a zhora osvetlená svetlom vlnovej dĺžky = 55 nm. V odrazenom svetle pozorujeme interferenčné minimá a maimá (Newtonove krúžky). Nájdite polomer prvých dvoch interferenčných maím! 8.37 Ploskovypuklá šošovka s polomerom krivosti R = m je položená na rovinnej sklenej doske a zhora osvetlená svetlom vlnovej dĺžky = 55 nm. V odrazenom svetle pozorujeme interferenčné minimá a maimá (Newtonove krúžky). Nájdite polomer prvých dvoch interferenčných miním! 8.38 Ako sa zmení polomer Newtonovho krúžku patriacemu určitému číslu k, ak vlnová dĺžka dopadajúceho svetla sa zdvojnásobí? 8.39 Svetlo vlnovej dĺžky = 546 nm dopadá na úzku štrbinu. Na tienidle, ktoré je vo vzdialenosti L = m sme namerali vzdialenosť medzi druhým difrakčným minimom a centrálnym maimom =,5 m. Vypočítajte šírku štrbiny! 8.4 Monochromatické svetlo dopadá na úzku štrbinu. Vypočítajte pomer intenzít prvých troch ohybových maím vzhľadom k centrálnemu maimu! 3

12 8.4 V difrakčnej mriežke pripadá n = 8 5 m vrypov na jednotku dĺžky. Maimum. rádu sme našli pod uhlom 7 po obidvoch stranách od priameho lúča. a) Aká je vlnová dĺžka elektromagnetického vlnenia? b) bude pozorovateľné maimum 3. rádu? 8.4 *Difrakčná mriežka má hustotu vrypov n = 6 m. Žlté svetlo sodíkovej výbojky je dublet dvoch čiar vlnových dĺžok 588,95 nm a 589,59 nm. Ak takúto mriežku použijeme na štúdium sodíkového spektra, aký uhol bude medzi maimami sodíkového dubletu v spektre prvého rádu? Môže táto mriežka rozlíšiť uvedené dve spektrálne čiary v spektre prvého rádu, ak celková šírka mriežky je w =,m? 8.43 Na difrakčnú mriežku kolmo dopadá biele svetlo, ktorého vlnové dĺžky sú z intervalu,76 nm.38 nm. Môže nastať pre toto svetlo prekryv čiary spektra prvého rádu s ktoroukoľvek čiarou spektra druhého rádu? 4