Μαθηματικά προσανατολισμού ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ

Ε Μαθηματικά προσανατολισμού ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Μπάμπης Στεργίου - Χρήστος Νάκης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Τάκης Χρονόπουλος (5-5-8) ΛΥΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ : 4 ος ΚΥΚΛΟΣ (Θέματα 4 46) 4 Δίνεται η συνάρτηση f() = α + λ, λ, α, η οποία παρουσιάζει στο = τοπικό ακρότατο Λύση α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Df Αφού η f παρουσιάζει στο σημείο, το οποίο είναι εσωτερικό του και στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη, τοπικό ακρότατο, σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat πρέπει f ( ) f ( ) Είναι όμως f () α, οπότε: f ( ) α α β) Για α είναι f () λ, οπότε: f () και f () 6 f () ( ) ( ή ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ) Η f μηδενίζεται στο, είναι κοίλη στο (, ] και κυρτή στο [, ) γ) Παρατηρούμε ότι: lim f () lim ( λ) lim lim f () lim ( λ) lim f ( ) ( ) λ λ f () λ λ Από το διπλανό σχήμα βλέπουμε ότι για να έχει η εξίσωση f () τρεις ακριβώς ρίζες πρέπει και αρκεί f ( ) και f () Έτσι:

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f ( ) λ λ () f () λ λ () Από τις σχέσεις () και () παίρνουμε ότι λ (, ) δ) Για να έχει η εξίσωση f () δύο ακριβώς ρίζες, πρέπει και αρκεί f ( ) ή f () i) Έστω ότι f ( ) λ Στην περίπτωση αυτή η μία ρίζα είναι το και η άλλη η Με σχήμα Hornr προκύπτει ότι (σχ α) (σχ β) ii) Έστω f () λ Μία ρίζα είναι το και η άλλη είναι η Ξανά με σχήμα Hornr παίρνουμε ότι (σχ β) Και στις δύο περιπτώσεις η B(, ) C f εφάπτεται με τον άξονα, στην πρώτη στο σημείο A(, ) και στη δεύτερη στο Ας παρατηρήσουμε ότι για λ η C f ( C ) προκύπτει από την C (σχ α) αν την "ανεβάσουμε" κατά 4 μονάδες Για λ το εμβαδόν μεταξύ του άξονα και της Για λ θα είναι επίσης (σχ β): Παρατήρηση Επειδή lim f () πρώτη στήλη τα εξίσωση f () C f (σχ α) είναι: 4 E f ()d ( )d 4 6 7 τμ 4 4 4 E ( )d 4 7 (4 6 4) 6 τμ 4 4 4, f ( ) λ, f () λ και lim f (), f ( ), f(), lim f (), σχηματίζουμε τον πίνακα, βάζοντας στην lim f () Οι αλλαγές προσήμου σε κάθε στήλη δείχνουν πόσες ρίζες έχει η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

Ε Από τον πίνακα βλέπουμε ότι: Για λ έχουμε μόνο μία αλλαγή προσήμου (στην η στήλη), οπότε η εξίσωση f () έχει ακριβώς μία ρίζα στο (, ) Για λ, βλέπουμε ότι μία ρίζα είναι το και μία άλλη ρίζα υπάρχει στο (, ) Για λ (, ) έχουμε (στη η στήλη) τρεις αλλαγές προσήμου, οπότε έχουμε τρεις ακριβώς ρίζες Για λ μία ρίζα είναι η και μία άλλη έχουμε στο (, ) Για λ (από την η στήλη) βλέπουμε ότι η εξίσωση f () έχει μόνο μία ρίζα στο (, ) 4 Δίνεται η συνάρτηση f() = + συν Λύση α) Είναι Df Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με: f () ( συν ) ημ ( ημ) f () ημ ημ, αφού ημ και η ισότητα ισχύει μόνο για Η f είναι συνεχής και μη μηδενική για Άρα διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα (, ) και (, ) Είναι f (π) π, οπότε f (), για κάθε και f ( π) π, οπότε f (), για κάθε Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ) Το f () είναι ολικό ελάχιστο της f Επομένως: f () f () συν συν συν, β) Είναι: f () ( ημ) συν f () συν κπ, κ f () για κάθε κπ Άρα, αφού η f είναι συνεχής, η f είναι τελικά γνησίως αύξουσα και έτσι η f θα είναι κυρτή Για το σύνολο τιμών της f έχουμε ότι: Η f είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στα Δ (, ] και Δ [, ) συν lim f () lim ( συν ) lim ( ) (), διότι: συν συν, οπότε Είναι lim lim Από το κριτήριο παρεμβολής συν προκύπτει ότι είναι lim f (), οπότε f f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ) συνεχής 4

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Όμοια είναι lim f (), οπότε f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ) Επομένως: f συνεχής f ( ) f (Δ ) f (Δ ) [, ) Σημειώνουμε ότι η εύρεση του Δ είναι περιττή, αφού το f () είναι ελάχιστο και lim f () γ) Η γραφική παράσταση έχει τη μορφή του σχήματος, αφού δεν υπάρχουν ασύμπτωτες Η f είναι συνεχής στο, άρα δεν έχει κατακόρυφες α- σύμπτωτες και επιπλέον: f () συν συν lim lim lim Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E f ()d ( συν )d 8 ημ ημ ημ, τμ δ) Η ανισότητα γράφεται: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () Θέτουμε g() f ( ) f () και έτσι η () παίρνει τη μορφή g( ) g( ) () Από την βασική ανισότητα ln, θέτοντας όπου το, παίρνουμε ln, Είναι g () f ( ) f (), διότι η f είναι γνησίως αύξουσα και Άρα g (), που σημαίνει ότι η g είναι γνησίως αύξουσα Άρα: και συνεπώς η () αποδείχθηκε g g( ) g( ), ε) Το f () είναι ελάχιστο της f και έτσι f (), για κάθε, με την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 8 στ) Είναι f f ( ), για κάθε και ( ) για κάθε Η ισότητα στη δεύτερη ανισότητα ισχύει μόνο για Αρκεί λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση: f f ( ) (αφού f () ) f ( ) f ( ) Άρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι η, εφόσον ικανοποιούνται συγχρόνως και οι δύο ισότητες Παρατήρηση Είναι: 8 f f ( ) ( ) 8 Πρέπει να ισχύει παντού η ισότητα, οπότε ( ) Για είναι: f f ( ) f f () f ( ) f () Άρα μοναδική ρίζα της εξίσωσης είναι η 4 Δίνεται η συνάρτηση, f() =, > ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 5

Ε Λύση α) Στο (, ) είναι f (), που είναι συνεχής ln Στο (, ) είναι f (), η οποία είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών Στο είναι: lim f () lim ( ) lim f () lim lim lim, διότι: ln u u f () Επειδή ln lim ( ln ) lim lim lim DLH lim f () lim f () f (), η f είναι συνεχής και στο Άρα η f είναι συνεχής στο β) Για είναι f () ( ) Για είναι: ln ln f () ( ln ) ( ln ) Για έχουμε: f () f () lim lim lim ( ) DLH ln ln f () f () (ln ) lim lim lim lim, διότι DLH Επομένως, αφού ln lim lim y y lim ( ln ) και f () f () f () f () lim lim, η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο Αναφέρουμε εδώ ότι τελικά το είναι κρίσιμο σημείο της f Για είναι f (), απορρίπτεται Για είναι f () (ln ), f () ln Αφού f () στο (, ), και η f είναι συνεχής στο,, θα είναι γνησίως φθίνουσα στο, και α- φού f () στο, και η f είναι συνεχής στο,, θα είναι γνησίως αύξουσα στο, Το f είναι τοπικό ελάχιστο (αλλά και ολικό) Επίσης το είναι κρίσιμο σημείο γ) Στο διάστημα (, ) είναι f (), οπότε η f είναι κυρτή στο (, ] Στο διάστημα (, ) είναι: f () ( ln ) ( ln ) ( ln ) 6

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Επομένως η f είναι κυρτή και στο διάστημα [, ) Ας βρούμε τώρα το σύνολο τιμών της f Η f είναι συνεχής στα διαστήματα Δ, και Δ, Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ Είναι επίσης: lim f () lim ( ) Άρα η f έχει σύνολο τιμών το f ( ) f (Δ ) f (Δ ), u ln ln u lim f () lim lim lim u u / δ) Η f είναι συνεχής στο Άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες DLH f () lim lim lim ( ) λ, lim f () lim ( ) lim β Άρα η y είναι πλάγια ασύμπτωτη της f στο f () ()ln u ()ln u lim lim lim lim lim u u Άρα δεν υπάρχει ασύμπτωτη στο Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο σχήμα: ε) Από τη γραφική παράσταση (ή τη μονοτονία της f) παρατηρούμε ότι: Για είναι f () f () f (), αφού η f είναι, ως γνησίως μονότονη, στο, Για είναι f () f () f (), διότι η f είναι, ως γνησίως μονότονη, στο, Τελικά η εξίσωση f () έχει δύο ρίζες, τις και Για το ολοκλήρωμα είναι: I f () ln(f () d f ()d f ()d f ()ln f ()d d d ln d J d ln d ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 7

Ε Είναι όμως: J d () d ( ln )d (8 ) ( ln )d 7 d ln d Άρα I 7, αφού οι υπόλοιποι όροι διαγράφονται ως αντίθετοι ανά δύο 44 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln λ( ), >, λ Λύση α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με: f () ln λ( ) ln λ λ f () ln λ λ f () ln λ λ, f () ln λ λ Για λ λ λ λ λ λ λ λ λ : f ( ) ln λ( ) (λ ) λ λ λ λ λ λ Η μονοτονία της f φαίνεται στον πίνακα: λ Η f είναι συνεχής στο Δ (, ] και f λ () στο (, ), οπότε λ είναι και γνησίως φθίνουσα στο Δ Η f είναι συνεχής στο Δ [, ) και f λ () στο (, ), οπότε είναι και γνησίως αύξουσα στο Δ Το λ λ f ( ) λ είναι ολικό ελάχιστο της f λ λ β) Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο Δ [, ) lim f () lim ( ln λ( )) λ, διότι ln lim ( ln ) lim lim DLH f ( λ λ ) λ Άρα f (Δ ) [f ( ), lim f ()) [λ, λ) λ λ lim f () lim ln λ λ ( )( λ ) Άρα f (Δ ) [f ( ), lim f ()) λ [λ, ) λ Επομένως f (D ) f (Δ ) f (Δ ) [λ, ) f λ γ) Η ελάχιστη τιμή της f είναι η g(λ) λ, λ λ g (λ) λ g (λ) λ λ g (λ) λ Όμοια g (λ) λ Η g είναι συνεχής στο (, ] και g (λ) στο (, ), οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Επίσης η g είναι συνεχής στο [, ) και g (λ) στο (, ), οπότε g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Από τον πίνακα μονοτονία της g παρατηρούμε ότι η μέγιστη τιμή της g είναι: g() Άρα η μέγιστη τιμή της ελάχιστης τιμής της f είναι και συμβαίνει για λ Στην περίπτωση που λ έχουμε f () Έτσι: f () f () ln ( ) ln, 8

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ λ δ) Με Δ, και λ Δ, έχουμε βρει ότι: λ και λ f (Δ ) λ, f (Δ ) λ, λ Αν λ, τότε f (Δ ), οπότε η εξίσωση f () δεν έχει ρίζα στο Δ Έχει όμως μοναδική ρίζα στο Δ, αφού λ λ για κάθε λ και f γνησίως αύξουσα στο Δ Ε- πομένως για λ η εξίσωση f () έχει μοναδική ρίζα λ (, ) Για λ (, ) έχουμε f (Δ ) και f (Δ ), οπότε η εξίσω- λ λ ση f () έχει δύο ρίζες τις (, ), (, ) και είναι μοναδικές αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, λ γνησίως αύξουσα στο Δ και f ( ) όταν λ (, ) Για λ έχουμε ήδη βρει ότι η εξίσωση f () έχει μοναδική ρίζα την, αφού f () f () για κάθε ( ) Για λ έχουμε f (Δ ) και f (Δ ), οπότε η εξίσωση λ λ f () έχει δύο ρίζες, τις (, ), (, ) και είναι μοναδικές διότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, γνησίως αύξουσα στο Δ και f ( ) όταν λ λ ε) Για λ είναι f () ln, οπότε: f () ln, f () Η f είναι κυρτή και δεν έχει σημεία καμπής Είναι επίσης: f () lim lim ln, οπότε δεν υπάρχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη στο Επιπλέον lim f (), επομένως δεν υπάρχει ούτε κατακόρυφη ασύμπτωτη Έτσι η γραφική παράσταση έχει τη μορφή του σχήματος στ) Με οδηγούμαστε στην εξίσωση f () και η διερεύνηση γίνεται όπως στο ερώτημα (δ) Είναι όμως προτιμότερο να σχεδιάσουμε την ln g(), αφού h() g () ( ), όπου h() ln, η οποία είναι θετική, αφού ln και το ίσον ισχύει μόνο για Έτσι η g είναι γνησίως αύξουσα στα Δ (, ) και Δ (, ) ln Επειδή lim ( ln ) και lim lim ( ln ) DLH Αν λ, η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού λ g(d g ) Αν λ (, ) έχουμε μοναδική λύση, όπως επίσης και αν λ (, ), είναι g(δ ) (, ) και g(δ ) (, ) Δεν είναι απαραίτητο να γίνει η γραφική παράσταση της f, αλλά ένα απλό διάγραμμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 9

Ε 45 Δίνεται η συνάρτηση f() = ln, > α) Να βρείτε την παράγωγο της f, τα κρίσιμα σημεία της και στη συνέχεια να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της α) Είναι f () ln ln, Έτσι: ln, Λύση f () ( ln ), f () f () ln lim lim lim DLH Επομένως η f δεν παραγωγίζεται στο Έτσι f () (ln ), f () f () ln lim lim, f (), Το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f είναι το, αφού η f δεν παραγωγίζεται στο, ενώ f () για κάθε D f (, ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ) Το f () είναι ολικό ελάχιστο Η f είναι συνεχής στα Δ (, ] και Δ [, ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ lim f () και lim f () Άρα f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ), f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ) και έτσι: f (D f ) f (Δ ) f (Δ ) [, ) f () β) Είναι lim και lim f () Άρα δεν υπάρχει ασύμπτωτη της μορφής y λ β, με λ, β Είναι επίσης lim f (), οπότε μοναδική κατακόρυφη ασύμπτωτη της C είναι η Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο σχήμα: f γ) Έχουμε:

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ α α f () α ln α (ln α ή ln α) ( ή ), f α (), οπότε f α ( ), f ( α ) α, α α Παρατηρούμε ότι f ( )f ( ) ( ) Άρα οι εφαπτομένες της C f στα Α και Β είναι κάθετες δ) Είναι: Σημείωση Είναι α E(α) (α ln )d (α ln )d α ln α ln α α α α α α α α (α ) (α α ) (α α ) (α ) α α α α α α β β ln d () β β ln d α ln d ln α α α Μία αρχική λοιπόν της g() ln είναι η G() ln, α β α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

Ε Έτσι: α α α α α α Ε(α) ( ) ( ) Ν lim lim lim lim α α α α α α α DLH DLH α α α α Ε(α) M lim lim lim α α α α α α α α α E(α) α DLH α α lim lim α α α Άλλος τρόπος α α α M lim lim (πολλαπλασιάσαμε τους όρους του κλάσματος με α α α α α ε) i) K lim lim ( ), διότι f () ln ii) Λ lim lim lim f () ln ln ln για και lim ln α ) 46 Δίνεται η συνάρτηση f() = +, > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Λύση α) Είναι D f (, ) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με: ( ) f () ( ) Είναι: f () Όπως φαίνεται στον διπλανό σχήμα: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) Το f () είναι τοπικό (και ολικό) ελάχιστο της f β) Η f είναι συνεχής στα Δ (, ] και Δ [, ) Η f είναι επίσης γνησίως φθίνουσα στο Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ Επιπλέον: lim f () lim ( ) lim f () lim ( ) Άρα f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ) και f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ) Επομένως: f (, ) f (Δ ) f (Δ ) [, ) Το είναι ολικό ελάχιστο της f, ενώ, αφού f (, ) [, ), δεν υπάρχει ολικό μέγιστο ( ) γ) Είναι f (), οπότε: f ()

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Είναι f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 Η f είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, ) ενώ το σημείο 4 M, είναι σημείο καμπής της C f Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα Μοναδική ασύμπτωτη της f είναι η, αφού: lim f (), f () lim και lim f () είναι: δ) Επειδή f () για κάθε, το ζητούμενο εμβαδόν 4 4 E d d 4 4 4 6 4 4 τμ ε) Παρατηρούμε ότι: y 4 f () f (y) 4 y Όμως f () και f (y), με την ισότητα να ισχύει μόνο για και y Άρα είναι αναγκαστικά y 47 Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα f(ln) = ln + ln +, με > α) Να αποδείξετε ότι f() = + +, Λύση β) Είναι f (), οπότε: Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο Έτσι: Η f είναι συνεχής στο Η f είναι γνησίως αύξουσα f (), για κάθε ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ

Ε Α lim f () lim ( ), διότι: lim και lim ( ) Β lim f () lim ( ), διότι: lim και lim ( ) Επομένως η f έχει σύνολο τιμών το: f ( ) (Α, Β) (, ) γ) Είναι: f () ( ) 6 Η f είναι συνεχής στο [, ] f ( ) 6 και f (), δηλαδή f ( ) f () Σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η εξίσωση f () έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, ) () Επίσης είναι f () 6, οπότε η ρίζα αυτή είναι η μοναδική σε ολόκληρο το Όπως προκύπτει από τον πίνακα, το είναι θέση σημείου καμπής της και μάλιστα η μοναδική δ) Η f είναι γνησίως μονότονη και έχει σύνολο τιμών το f ( ) Επειδή 8f ( ), η εξίσωση f () 8 έ- χει μοναδική ρίζα 48 Μια συνάρτηση f : έχει την ιδιότητα: C f f( + y) f( y) y y, για κάθε, y Θεωρούμε τη συνάρτηση g :, με g() = f(), g( + h) g( h) α) Να αποδειχθεί ότι lim =, για κάθε h h Λύση β) Έχουμε ήδη αποδείξει ότι: Έστω α, β Υπάρχουν τότε, y με: Η σχέση () δίνει τότε: Άρα: g( y) g( y) y (), για κάθε, y α β y α y β α β y (α β) g(α) g(β), για κάθε α, β 4 ( y) g() g(y), για κάθε, y 4 γ) Η παραπάνω σχέση γράφεται: g() g(y) y y 4, y 4

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Επειδή y y y g() g(y) y 4 y 4 y y lim lim, από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε: 4 4 g(y) g() lim g (), g() c y y Οι συναρτήσεις αυτές επαληθεύουν την αρχική σχέση, αφού: που ισχύει για κάθε, y f () c f () c, c ( y c) ( y c) y y y, δ) Έστω ότι η C f εφάπτεται με την C h, όπου h() ln, στο σημείο A(, f ( )), Τότε: c ln f ( ) h( ) c ln c f ( ) h ( ) Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι η: f () Είναι ln, οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι: E ( ) ln d ( )d ln d E ( )d τμ τμ E ln d ln d Άρα E E E τμ 49 Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() = ( ) α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της α) Είναι Df Η Λύση f () είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με: f () f () ( ή ) ( ή ή ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα (, ], [, ] και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [, ], [, ) Τα f ( ) και f () είναι τοπικά ελάχιστα ενώ το f () είναι τοπικό μέγιστο της f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 5

Ε Σχόλιο Το είναι ολικό ελάχιστο της f, κάτι που προκύπτει και από την ανισότητα, αφού:, δηλαδή, με την ισότητα να ισχύει αν Η f είναι συνεχής στα διαστήματα Δ (, ], Δ [, ], Δ [, ] και Δ 4 [, ) Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα Δ, Δ και γνησίως αύξουσα στα Δ, Δ 4 lim f () lim, διότι lim και lim lim lim DLH f ( ), f (), f () Ομοίως lim f () ( lim f ()), οπότε: f (Δ ) [f ( ), lim f ()) [, ), f (Δ ) [f ( ), f ()],, f (Δ ) f (), f (),, f (Δ 4) [f (), lim f ()) [, ) f ( ) f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) [, ) Άρα 4 και β) Είναι g() ( ) με Dg, οπότε: g () 4( ) και g () 4 Η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ) και είναι κοίλη στο Το g() είναι ολικό μέγιστο Επειδή επιπλέον η g είναι συνεχής lim g() Είναι συνεχής g((, ]) ( lim g(), g()] (, ] g συνεχής g g([, ) ( lim g(), g()] (, ] Άρα το σύνολο τιμών της g είναι το g( ) g((, ]) g([, )) (, ] γ) Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f () g() Είναι: όπου h() ( ) Είναι: f () g() ( ) h(), h () 4( ) 4, h () h () 4 Η h είναι γνησίως αύξουσα με μοναδική ρίζα την Είναι: h h () h (), οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα h h () h (), οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα Επομένως: h h() h() h h() h() Επομένως h() μόνο για Άρα η τιμή είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f () g() σημείο των C f, C g είναι το A(, ), οπότε το κοινό 6

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ε) Κοινό σημείο των C f, C g είναι το A(, ) Για να έχουν οι C f, f () g() f () g () f () g () C g κοινή εφαπτομένη στο Α, αρκεί: f (), με f () g () 4( ), με g () Άρα f () g () και αφού f () g(), οι C f, C g εφάπτονται στο σημείο A(, ) + 4 Δίνονται οι συναρτήσεις φ() =, ω() = και f = φ ω α) Να ορίσετε τη συνάρτηση f = φ ω καθώς και την ω φ α) Είναι Dφ και ω Λύση D D / ω() D / D Έτσι f ω φ Πρέπει λοιπόν: Άρα Df και επιπλέον: Για να ορίζεται η συνάρτηση ω ω() ( ) D, και () φ φ() ω φ f () (φ ω)() φ ω() φ( ) ω φ πρέπει Dω και Dφ και φ() Είναι φ(), οπότε, με, β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με: ( ) ( ) f () ( ), ( ) ( ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στα Δ (, ) και Δ (, ) Είναι επίσης: f () ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Η f είναι κυρτή στο (, ) και κοίλη στο (, ), γ) Η f είναι συνεχής στα Δ (, ), Δ (, ) και γνησίως αύξουσα σε καθένα απ' αυτά Επιπλέον: lim f () lim DLH lim f () lim lim, lim f () lim ( ), διότι για και lim ( ) lim f () lim ( ) Επομένως f (Δ ) ( lim f (), lim f ()) (, ) και f (Δ ) ( lim f (), lim f ()) (, ) Άρα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 7

Ε f ( ) f (Δ ) f (Δ ) (, ) (, ) Ασύμπτωτες της C, όπως έχει ήδη βρεθεί, είναι οι ευθείες:, αφού f lim f (), y στο, αφού lim f () lim f () y στο, αφού lim f () δ) Ας δούμε αν η f είναι Έστω, Df με: f ( ) f ( ) Άρα η f είναι, οπότε ορίζεται η f Επειδή f (D f ) (, ) (, ) Θα βρούμε τον τύπο της f Είναι: f () y y y y ( y) y Επομένως f () ln, (, ) (, ) ε) Ο πίνακας μεταβολών της f είναι: είναι D f (D f ) (, ) (, ) y f y ή y y y ln y y Η γραφική παράσταση της f έχει την παρακάτω μορφή: Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: 8

Ε όπου: Επομένως παίρνουμε: Άρα: Όμως α α E(α) ( f ())d d α I α α I d d α α α u, α α ( ) α d ln( ) α α α ln( ) ( ln( )) α ln( ) ln( ) α ( ) lim ln lim ln u, αφού E(α) α α ln( ) ln( ) α α ln( ) ln( ) lim Ε(α) lim ln( ) ln( ) α α ( ) lim ln( ) ln α α α α α lim lim α α α Επομένως α α lim Ε(α) ln α 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f : (, + ) και g : με g() = + Έστω επιπλέον ότι (g f)() = + ln για κάθε > α) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής α) Είναι g(), με Dg Έχουμε: g () Λύση, g (), Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή Η g δεν έχει τοπικά ακρότατα ούτε σημεία καμπής β) Είναι: lim g() lim lim g() lim Επειδή λοιπόν η g είναι επιπλέον συνεχής και γνησίως αύξουσα, θα είναι g( ) ( lim f (), lim f ()) Αφού 8g( ), η εξίσωση g() 8 έχει μία τουλάχιστον ρίζα, που είναι μάλιστα μοναδική, διότι η g είναι γνησίως αύξουσα Η g είναι συνεχής στο [, ] g( ) και g(), δηλαδή g()g( ) Από το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() έχει ρίζα στο (, ) Αυτή είναι μοναδική αφού η g είναι γνησίως αύξουσα γ) Η g δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, επειδή είναι συνεχής στο ( Είναι επίσης lim g() και lim g() g( ), για κάθε lim g(), οπότε η g δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη Επίσης είναι: ) 4

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ DLH g() lim lim lim DLH g() lim lim lim lim g() lim lim Επομένως η g δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο, έχει ό- μως στο, την ευθεία y Από τη μονοτονία, την κυρτότητα και τις ασύμπτωτες της g προκύπτει ότι η γραφική παράσταση της g έχει την διπλανή μορφή δ) Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα και επομένως ln Για έχουμε: (g f )() ln gf () ln gf () ln Παρατηρούμε ότι: g: gf () g(ln ) f () ln, K() ln (ln ή ln ) ( ή ) Έτσι, η (ε): y τέμνει την C K στα σημεία A(, Κ( )) και B(, K( )) Είναι K() ln, ln, Άρα K () ln,, Η συνάρτηση Κ() δεν είναι παραγωγίσιμη στο, αφού: K() ln lim lim lim, DLH K() ln lim lim lim DLH K ( )K ( ) Επειδή K ( )K ( ), οι εφαπτομένες της C K στα Α, Β είναι κάθετες ε) Είναι f () ln, για κάθε [, ] Επομένως: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 4

Ε E f ()d ln d () ln d ln d ln ( ) ( ) τμ 4 Δίνεται η συνάρτηση f() = α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα α) Είναι D f [, ) (, ], διότι πρέπει: Λύση [, ] Η f είναι συνεχής στο f () D f και παραγωγίσιμη στο (, ) (, ) με: Η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο Δ [, ), γνησίως φθίνουσα στο Δ (, ] Το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο και το f () είναι τοπικό ελάχιστο της f β) Επειδή f () f () Τα κοίλα φαίνονται στον πίνακα:, είναι f () ( ) ( ) ( ) Τα σημεία καμπής είναι τα M,, N, 4

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ γ) Η f είναι συνεχής στο Δ [, ) και Δ (, ] Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα αυτά Επιπλέον: lim f () lim, lim f () lim, f ( ) f () Άρα οπότε: Αφού την Αφού την f (Δ ) ( lim f (), f ( )] (, ] και f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ), lim f (), η lim f (), η f (D f ) f (Δ ) f (Δ ) C f έχει στο κατακόρυφη ασύμπτωτη C f έχει στο κατακόρυφη ασύμπτωτη Η ευθεία είναι η μοναδική ασύμπτωτη της f δ) Έστω A(, f ()) με (, ] Δ Η f είναι περιττή, αφού για Df είναι D f και f ( ) f () για κάθε Df Άρα: (AB) (OA) f (), (, ] Δ Γνωρίζουμε ότι αν α, τότε μόνο για α Έτσι: AB α με την ισότητα να ισχύει α Η ισότητα ισχύει για, αφού Έτσι η ελάχιστη απόσταση των Α, Β είναι και παρουσιάζεται όταν A(, ) και B(, ) Άλλος τρόπος Αν g(), με, είναι: g () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 4

Ε 4 ( )( ) ( )( )( ) g (), που ισχύει για κάθε (, ) g 4 (), αφού Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο,, οπότε το g() είναι ολικό ελάχιστο της g στο Δ, 4 Δίνεται η συνάρτηση f() =, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια και να εξετάσετε αν ορίζεται η f () και η f (), α) Είναι f (), Λύση lim f () lim, lim f () lim ( ), f () Επειδή lim f () lim f () f (), η f είναι συνεχής στο Η f είναι προφανώς συνεχής στα (, ), (, ) ως πολυωνυμική f () f () lim lim lim, Είναι f (),, οπότε:, f () f () lim lim, f () f () lim lim f () f () f () f () Επειδή lim lim, η f δεν είναι παραγωγί- σιμη στο β) Αν σχεδιάσουμε την C f (πρόκειται για βασική συνάρτηση), προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το, αφού οι προβολές των σημείων της C f, δίνουν ολόκληρο το Με χρήση παραγώγου έχουμε: f () για κάθε Η f είναι συνεχής στο Επομένως f είναι γνησίως αύξουσα Η f είναι συνεχής στο (, ) και γνησίως αύξουσα Επειδή: και lim f () lim ( ) lim f () lim ( ), συμπεραίνουμε ότι η f έχει σύνολο τιμών το f ( ) ( lim f (), lim f ()) γ) Η γραφική παράσταση της f έχει τη μορφή του σχήματος Δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες, αφού η f είναι συνεχής στο και δεν έχει πλάγιες (ή οριζόντιες) ασύμπτωτες αφού lim lim lim Είναι f () κυρτή στο [, ) αφού f () για κάθε και κοίλη στο (, ] αφού f () για κάθε [Η εύρεση της f μπορεί να αποφευχθεί, λόγω της απλής μορφής της f] Θα εξετάσουμε αν η f είναι περιττή Df για κάθε Df 44

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f ( ) ( ) f () Άρα f ( ) f () για κάθε, οπότε η f είναι περιττή δ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η f αντιστρέφεται και η αντίστροφή της έχει πεδίο ορισμού το f ( ) Για είναι f () και f [, ) [, ) Έτσι: f () y y y y, y Για είναι f () και f (, ] (, ] Έτσι:, Άρα f (), f () y y y y y, y Όπως και στο ερώτημα (γ) αποδεικνύουμε ότι η f είναι περιττή Πρόταση Αν η f είναι αντιστρέψιμη και περιττή στο, τότε και η f είναι περιττή Απόδειξη Πράγματι, αν yf ( ), τότε yf ( ), αφού η f είναι περιττή και έτσι y f () f ( ) f ( ) Έστω ότι f ( y), yf ( ) Τότε: y f () y f ( ) f (y) f (y) () () Άρα f ( y) f (y) για κάθε yf ( ), που σημαίνει ότι η f είναι περιττή Για τη συγκεκριμένη συνάρτηση παρατηρούμε ότι: Αν, τότε f () Αλλά, οπότε f ( ) ( ) f () Αν, τότε f () Αλλά, οπότε f ( ) f () Για την περίπτωση που είναι f () f () και έτσι f ( ) f () για κάθε ε) Για είναι f () Έτσι: 5 (AM) y 5 5 5 4 4 4 9 9 9 ( 4 4) ( ) 4 4 4 Η απόσταση ΑΜ γίνεται ελάχιστη για και η ελάχιστη απόσταση είναι ίση με Το σημείο που απέχει από το Α την ελάχιστη απόσταση είναι το Μ(, ) Είναι f () για κάθε Έτσι: f ym ya () λam 5 M A Παρατηρούμε ότι f () λ ΑΜ ( ), οπότε AM (ε) στ) i) Έστω Ν α, 4 και B(, f ( )) με το σημείο επαφής της εφαπτομένης της C f από το Ν Τότε: (εφ): y f ( ) f ( )( ) y ( ) () () N α, (εφ) (α ) α 4 4 4 α () 4 Επειδή Δ 4α για κάθε α, η () έχει δύο ακριβώς ρίζες Οι ρίζες όμως είναι ετερόσημες, αφού έχουν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 45

Ε γινόμενο αρνητικό, οπότε δεκτή είναι μόνο η μία, η θετική Για α δεν έχουμε εφαπτομένη στην C : y ii) Όμοια, αν, έχουμε f (), οπότε: (εφ): (α ) α α () 4 4 4 Είναι Δ 4α, όταν α ή α Οι ρίζες της () είναι ομόσημες και αφού θέλουμε η μία τουλάχιστον να είναι αρνητική, πρέπει και οι δύο να είναι αρνητικές Πρέπει λοιπόν S α α Άρα α Αλλά για α έχουμε μία ακόμα εφαπτομένη προς την y, δηλαδή συνολικά τρεις προς την C f iii) Για α έχουμε την εφαπτομένη στο Ν Cf και μία προς την C : y 44 Δίνονται οι συναρτήσεις f() = και g() =, D g = (, ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να εξετάσετε αν f = g Αν όχι, ποιό είναι το μεγαλύτερο διάστημα Δ, στο οποίο είναι f = g ; α) Είναι Df Για είναι: και Λύση Επειδή Df Dg είναι f g D g (, ) Άρα στο διάστημα Δ (, ) είναι f g β) i) Είναι g () f () g(), για κάθε Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα (κάτι που είναι επίσης γνωστό, 4 αφού η g είναι βασική συνάρτηση) Επίσης g () Η g είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο Δ (, ) Είναι επίσης: lim g() lim Άρα g(δ) ( lim g(), lim g()) (, ), για κάθε Άρα η g είναι κοίλη lim g() lim και ii) Επειδή: lim g() lim g(), οι ευθείες και y είναι αντίστοιχα κατακόρυφη και οριζόντια ασύμπτωτη (στο ) Η γραφική παράσταση της g φαίνεται στο διπλανό σχήμα γ) i) Η g, ως γνησίως μονότονη, είναι Έτσι ορίζεται η g και έχει πεδίο ορισμού το D g(δ) (, ) Είναι: Επομένως g g (), g() y y y, y 46

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Ας παρατηρήσουμε ότι g g, αφού D D g g και g() g () για κάθε Dg D g ii) Επειδή f () g() για κάθε, είναι: δ) Επειδή για, είναι, έχουμε ότι E g() d d ln ln, f () Επομένως:, lim lim, f () f () f () Επειδή lim lim, το όριο δεν υπάρχει u f () u u lim lim lim, διότι u lim ε) Έστω M α, α, με α Η εφαπτομένη της C f έχει εξίσωση: y f (α) f (α)( α) y ( α) α α () Για παίρνουμε: y y 4 Δ α α α Για y από την () προκύπτει: α ( α) α α Γ α α α 4 Επομένως Γ(α, ) και Δ, Έτσι, το μέσο του ΓΔ έχει συντεταγμένες: α 4 Γ Δ α yγ yδ M α y α M α Συνεπώς το Μ α, είναι μέσο του ΓΔ α Για το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ είναι: 4 α OΓ ΟΔ Γ yδ α (ΟΓΔ) 4 τμ Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείο Μ, είναι δηλαδή σταθερό 45 Δίνεται η συνάρτηση f() = και η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : [, π] με την ιδιότητα (f g)() = συν για κάθε [, π] α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της Λύση α) Πρέπει [, ], οπότε D f [, ] Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 47

Ε με: f () Με βάση τον πίνακα προσήμου της f προκύπτει ότι: Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, ] Το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο, το f () είναι τοπικό μέγιστο (και ολικό) και το f () είναι τοπικό ελάχιστο Αφού η f είναι συνεχής στο [, ], σύνολο τιμών είναι το [, ], μιας και μέγιστο είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστο το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα (Τονίζουμε ότι αυτό συμβαίνει αφού η f είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα) Προφανώς το σύνολο τιμών είναι το f (D f ) f (Δ ) f (Δ ) [, ], με Δ [, ] και Δ [, ] β) Έχουμε: (f g)() συν f g() συν g () συν g () συν g () συν g() ημ, [, π] Είναι g() ημ ( ή π ή π) Άρα η g, ως συνεχής, διατηρεί πρόσημο στα διαστήματα (, π) και (π, π) Όπως δείχνει ο πίνακας υπάρχουν τέσσερις συνεχείς συναρτήσεις με αυτή την ιδιότητα: ημ, [, π] α) g() ημ ημ, [π, π] ημ, [, π] β) g() ημ, [, π] ημ, [π, π] ημ, [, π] γ) g() ημ, [, π] ημ, [π, π] ημ, [, π] δ) g() ημ ημ, [π, π] Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g είναι οι παρακάτω: Από τις τέσσερις αυτές συναρτήσεις, μόνο δύο είναι παραγωγίσιμες στο [, π] Αυτές είναι και οι ζητούμενες: g () ημ και g () ημ Για παράδειγμα, όταν g() ημ, είναι: g() g(π) ημ ημ lim lim lim lim συν π π π π π π DLH π 48

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ g() g(π) ημ ημ lim lim lim lim συν π π π π π π DLH π Άρα, η g() ημ δεν παραγωγίζεται στο π και συνεπώς το ίδιο συμβαίνει και με την g() ημ π γ) Αφού g, είναι: g() ημ, [, π] Έστω Μ(, g( )) το σημείο επαφής (ΝΜ): y g( ) g ( )( ) y ημ συν ( ) π π Ν (ΝΜ) ημ συν π ημ πσυν συν συν πσυν ημ π Θεωρούμε τη συνάρτηση h() συν πσυν ημ π, [, π] Είναι: h () συν ημ πημ συν (π )ημ h() π π h(π) π π π Ας μελετήσουμε την h ως προς τη μονοτονία: h h π π h() h() π h() h(π) π π h(π) h() Από τη μονοτονία της h προκύπτει ότι h() για κάθε (, π) (π, π] Συνεπώς, οι μοναδικές ρίζες της h είναι οι και π, οπότε οι εφαπτομένες της C g από το Ν έχουν εξισώσεις: Για την εύρεση του εμβαδού του χωρίου μεταξύ των εφαπτομένων: της (ε ) : y ημ συν ( ) y (ε ) : y ημπ συνπ ( π) y π C g Παρατηρούμε ότι: (ε ) : y, (ε ) : y π π π E π ημd π π π π συν τμ 4 4 4 h Άλλος τρόπος Λόγω της συμμετρίας του σχήματος (για [, π] ) ως προς την ευθεία π είναι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 49

Ε π E ( ημ)d (αφού (ε ) : y ) π π π συν ( ) τμ 8 4 διότι δ) Επειδή D g [, π], όταν είναι Είναι: συν συν συν A lim lim lim g () ημ ημ ημ ημ ημ, συν lim και lim ημ ημ Η ε) Έστω y, y Έτσι: y y C f είναι λοιπόν ημικύκλιο και έτσι το I f ()d δηλαδή το εμβαδόν τεταρτοκυκλίου με ακτίνα και κέντρο Ο(, ) Συνεπώς: π I π 4 4 4 46 Δίνεται η συνάρτηση f() = α + 6 4 +, α α) Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη τιμή του α για την οποία η συνάρτηση είναι κυρτή είναι η α = Λύση 4 α) Είναι Df Είναι f () α 6 4, οπότε: f () 4 6α 4, f () α ( α ) Η συνάρτηση f είναι κυρτή για εκείνες τις τιμές του α που f () για κάθε αλλά και για εκείνες που η f είναι γνησίως αύξουσα Η f είναι τριώνυμο και έτσι όλα εξαρτώνται από το πρόσημο της διακρίνουσας Δ α 4 i) Αν Δ, τότε η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν των ριζών της, οπότε δεν είναι κυρτή ii) Αν Δ, τότε f () για κάθε Αρκεί λοιπόν: Δ α 4 α (, ) iii) Δ α 4 (α ή α ) Για τις τιμές αυτές του α, το πρόσημο της f φαίνεται στους πίνακες Έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα που σημαίνει ότι η f είναι κυρτή Άρα οι τιμές α, α είναι δεκτές Συνεπώς η f είναι κυρτή μόνο για α [, ] και έτσι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του α είναι η α 4 β) Για α είναι f () 4 6 4 και έτσι: 5

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ f () 4 4 4( ) 4( ) f () 4( ) Το πρόσημο της f φαίνεται στον πίνακα Έτσι η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) γ) Η εξίσωση γράφεται: 4 4 6 4 4 4 6 4 f () Παρατηρούμε ότι η f έχει ελάχιστο το f () και μάλιστα μόνο για, αφού για είναι f () Επομένως f () Μοναδική λοιπόν λύση της δοσμένης εξίσωσης είναι η δ) Η f είναι συνεχής στο, το f () είναι ολικό ελάχιστο της f και: lim f () lim Παρατηρούμε ότι λόγω της μονοτονίας και της συνέχειας παίρνουμε: f f ((, ]) [f (), lim f ()) [, ) συνεχής f συνεχής f ([, )) [f (), lim f ()) [, ) Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το f ( ) [, ) Επειδή η f είναι κυρτή, τελικά η γραφική παράσταση έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα Θυμίζουμε ότι η f, ως πολυωνυμική μεγαλύτερου του ου βαθμού δεν έχει ασύμπωτες στα και, ούτε όμως και κατακόρυφες ασύμπτωτες, αφού ως συνεχής ισχύει ότι lim f () f ( ) για κάθε 4 ε) Για την εύρεση των ορίων έχουμε: f ( ) ημ A lim f ( ) συν 4 ( ) 4( ) 6( ) 4( ) ημ lim ( ) 4 4( ) 6( ) 4( ) συν 4 4 6 4 ημ 4 4 lim 4 4 6 4 συν 4 4 ημ Όμως και συν ημ συν, δηλαδή και Επειδή 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 lim lim 4, 4 ημ συν από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε ότι lim και lim Άρα Α 4 4 Σχόλιο Για τον υπολογισμό του ορίου γράψαμε 4 4 4 4 ( ) 4 άλλους όρους Στο τέλος διαιρέσαμε αριθμητή και παρονομαστή με το B lim lim ( ) f ( ) ημ f ( ) ημ και όμοια εργαστήκαμε και για τους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 5

Ε Όμως f (), οπότε lim f ( ) ημ και f ( ) για κάθε Έτσι f ( ) ημ για κάθε, αφού η f είναι συνεχής, οπότε τελικά B, αφού: lim ( ) και lim f ( ) ημ στ) Η ανίσωση γράφεται στη μορφή: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ), όπου g() f ( ) f () Αλλά g () f ( ) f (), διότι η f είναι γνησίως αύξουσα και Άρα: g( ) g( ) ( ) (, ) (, ) 5

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 47 Δίνονται οι συναρτήσεις f() = (ln), > και g() = ln +, > α) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα και τις ασύμπτωτες Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της g και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση α) Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με: g () ln g () Λύση Η g είναι συνεχής στο (, ], και g () στο (, ), οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] Η g είναι συνεχής στο [, ) και g () στο (, ), οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) g () g () Η g είναι κυρτή στο (, ], κοίλη στο [, ) και το Μ, ln είναι σημείο καμπής της C g Για την εύρεση των ασύμπτωτων παρατηρούμε ότι: ln lim g() lim ln ln lim Όμως lim ln lim lim lim Επομένως lim g() lim DLH ( ln ) Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της g g() ln lim lim ln, διότι lim lim lim g() lim ln Επομένως η g δεν έχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη Για την εύρεση του συνόλου τιμών παρατηρούμε ότι: H g είναι συνεχής στα Δ (, ], Δ [, ) Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και γνησίως αύξουσα στο Δ lim g(), lim g() g(), lim g() Επομένως: DLH ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 5

Ε και: g g(δ ) [g(), lim g()) [, ) συνεχής g g(δ ) [g(), lim g()) [, ) συνεχής Άρα: g(d g ) g(δ ) g(δ ) [, ) Η γραφική παράσταση της g φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα β) Θα υπολογίσουμε τώρα το όριο Είναι: f () L lim f () (ln ) ln L lim lim lim ( ) διότι: DLH ln lim lim, από τον κανόνα του d L Hospital Είναι επίσης ln ln ln ()ln() L lim ( ) lim, αφού: DLH ln u lim ( ) ln( ) lim (u ln u) lim lim u u u u u u Άλλος τρόπος Μπορούμε να κάνουμε τα γνωστά με το ln τεχνάσματα για να περάσουμε σε βασικά όρια Γράφουμε λοιπόν: Όμως, όπως και πριν, είναι: (ln ) (ln ) ln ln L lim lim lim (ln ) ln ln DLH lim lim και μένει να βρούμε το L lim (ln ), κάτι που μπορεί να γίνει και ως εξής: ()ln(ln ) L lim ln lim, ln(ln ) L lim( ) ln(ln ) lim lim ln ( ) 54

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τελικά είναι ( ) lim lim ln L Άλλος τρόπος Από τη βασική ανισότητα ln, θέτοντας όπου το, παίρνουμε ln ln Επομένως για κάθε ισχύει ότι: ln Αυτή για δίνει: Όπως και παραπάνω όμως παίρνουμε ότι: (ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ln ) ()ln(ln ) u L lim ln lim lim, αφού u lim( ) ln(ln ), γ) Επειδή είναι ln ln ln και ln(ln ) Έτσι για κάθε (αφού πρέπει ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln (ln ) ln(ln ) ln(ln ) ln(ln ) f (ln ) (ln ) f () f () [, ), είναι: δ) Η δοσμένη σχέση γράφεται: Επειδή h (), είναι σχέση () δίνει: h () ( ) h () h () και h () ln h () h () g( ) g( ) () Αλλά η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και έτσι είναι Η h () h () h() () Επειδή, είναι h() για κάθε και έτσι η h, ως συνεχής (αφού είναι παραγωγίσιμη), θα διατηρεί πρόσημο Αλλά h(), οπότε η h είναι θετική Έτσι η () δίνει h(), Αφού h(), είναι: A lim ( ( ) ( ) ) lim ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Υπολογίζουμε τα όρια ξεχωριστά A lim lim lim, αφού lim A lim ( ) lim lim ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 55

Ε A lim ( ) lim Επομένως το ζητούμενο όριο είναι A ( ) 4 4 4 4 4 lim 4 4 4 4 4 Παρατήρηση Στο ερώτημα δ) η συνάρτηση h μπορεί να βρεθεί με τη βοήθεια της συνάρτησης σχέση παίρνει τη μορφή φ(h ()) φ( ), Αλλά, όταν φ () φ(), αφού η δοσμένη διότι και έτσι η φ είναι γνησίως αύξουσα (ά- ρα και ) στο διάστημα [, ) Άρα h () και συνεχίζουμε όπως και προηγουμένως 48 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [, ], με f(), η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσι- μη στο (, ) και έχει την ιδιότητα f () f() + = για κάθε (, ) α) Να αποδείξετε ότι f() = f( ) = Λύση α) Επειδή η f είναι συνεχής στα σημεία και, θα ισχύει f ( ) lim f () f () lim f () Από τη σχέ- ση f () f (), (, ) παίρνουμε: lim f () f () lim f () lim f () lim ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Όμοια, παίρνοντας όρια για, βρίσκουμε ότι f () γ) Η σχέση () γράφεται: f () f () f ()g() () Για από αυτή προκύπτει ότι f (), δηλαδή g() Για η δοσμένη δίνει f () ή f () Επειδή f (), είναι f () Άρα g() f () Η g() στο (, ) είναι συνεχής, ως άθροισμα συνεχών, και δεν μηδενίζεται Άρα διατηρεί πρόσημο και επειδή g(), θα είναι g() για κάθε (, ) δ) Η σχέση () δίνει f (), με g() για κάθε (, ) Είναι f () g() Η f είναι συνεχής στο [, ], f () στο (, ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] Η f είναι συνεχής στο [, ], f () στο (, ), οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] Προκύπτει έτσι ο διπλανός πίνακας προσήμου για την f Η f έχει λοιπόν τρία ακριβώς τοπικά ακρότατα: f ( ) (τε), f () (τμ), f () (τε) Η σχέση () γράφεται: Άρα η f είναι κοίλη f () f () f () f () f () g() 56

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ε) Από την υπόθεση έχουμε: f () f () f () f () 4 Έστω f () y, y Είναι: (f () ) 4 f () 4 g() g() 4 g() 4 f () 4 f () 4 y y 4 y 4 (y ) 4 (y ) 4 Η γραφική λοιπόν παράσταση της f είναι ημικύκλιο με διάμετρο το ΑΒ, όπου Α(, ), Β(, ), κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ρ Το εμβαδόν του ημικυκλίου αυτού είναι: πρ π Ε π τμ Το f ()d ισούται με το εμβαδόν του αντίστοιχου τεταρτοκυκλί- ου, συν το εμβαδόν του ορθογωνίου με διαστάσεις Έτσι: Ι f ()d π π τμ Ας υπολογίσουμε τώρα το ολοκλήρωμα J Πολλαπλασιάζουμε τη δοσμένη σχέση με f () και παίρνουμε: Αυτή δίνει: f ()f () f ()f () ( )f () f ()f ()d f ()f ()d ( )f ()d f () f () f ()( ) f ()d f () f () f () f () f () f () f ()d 7 6 6 4 ( 9) ( ) J 8 J J 8 J (ln ), > 49 Δίνεται η συνάρτηση f() =, = α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, όχι όμως δύο φορές παραγωγίσιμη στο Λύση α) Η f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ), με: f () (ln ) (ln ) 4 ln 6 4 ln 4 f () 4ln 4 4 4ln ln Παρατηρούμε αρχικά ότι lim ln lim lim lim Επομένως: DLH ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 57

Ε lim f () lim ln lim () ( ln ) f (), οπότε η f είναι συνεχής στο f () f () (ln ) lim lim lim ( ln ) lim ln, επομένως f () και έτσι: 4 ln 4, f (), f () f () 4 ln 4 lim lim lim 4 ln 4 Η f δεν παραγωγίζεται δεύτερη φορά στο και είναι τελικά f () 4ln, β) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη Για είναι f () 4(ln ), οπότε: f () ln f () ln Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ) Τα f () και f () είναι αντίστοιχα τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο (ολικό) Η f είναι συνεχής στα Δ [, ], Δ [, ) και: Επομένως lim f () lim (ln ), f (Δ ) f (), f () [, ] και f (Δ ) [f (), lim f ()) [, ), οπότε σύνολο τιμών είναι το f (D f ) f (Δ ) f (Δ ) [, ) γ) Για είναι f () 4ln Η f είναι κοίλη στο [, ], κυρτή στο [, ) και το σημείο Α(, ) είναι σημείο καμπής της f Έχουμε βρει ότι: lim f () f (), lim f (), οπότε η f δεν έχει ούτε κατακόρυφη ούτε οριζόντια ασύμπτωτη Είναι επίσης: f () lim lim ( ln ), οπότε η f δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο σχήμα 58

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ δ) Για είναι: ln ln ln ln (ln ) f () f () Αλλά η f παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο και για είναι f () f () Άρα η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η ε) Έστω Μια αρχική συνάρτηση της f στο (, ) είναι και η: φ() f (t)dt (t ln t t )dt t t ln tdt t dt ln tdt t t t t ln t dt ln dt t t ln 9 ln ln 9 9 9 9 Κάθε λοιπόν αρχική της f έχει τη μορφή: ln c, F() 9 α, Επειδή η F είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής στο Έτσι α lim F() lim ln c c Όμως 9 ln, α F(), οπότε c Έτσι, η ζητούμενη αρχική είναι η F() 9, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 59

Ε Είναι: (ln ) f () ή ή Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], είναι f () f () για κάθε προφανώς και από τη γραφική παράσταση της f Έτσι: E f () d f ()d F( ) F() F( ) ln 9 9 9 9, [, ] Αυτό προκύπτει 9 8 4 τμ 9 9 9 9 9 4 Δίνεται η συνάρτηση f(θ) = 4( + συνθ)ημθ, θ [, π] α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία α) Είναι f (θ) 4ημθ ( συνθ), οπότε: Λύση f (θ) 4συνθ ( συνθ) 4ημθ ( ημθ) 4συνθ 4συν θ 4ημ θ 4συνθ 4συν θ 4( συν θ) 4συνθ 4συν θ 4 4συν θ 8συν θ 4συνθ 4 4(συν θ συνθ ) f (θ) συν θ συνθ Είναι Δ 8 9, οπότε: Επειδή θ [, π], παίρνουμε: συνθ ή 4 συνθ 4 π συνθ θ και συνθ θ π Το πρόσημο της f (θ) στο [, π] φαίνεται στο διπλανό πίνακα εφόσον εί- π ναι συνεχής στα, και π, π και δεν μηδενίζεται σ' αυτά, οπότε διατηρεί πρόσημο Το πρόσημο μπορεί να προκύψει λοιπόν εύκολα με την π επιλεγμένη τιμή, αφού πχ f 4 και f () 8 Άρα f (θ) π στο, π και f (θ) στο π, Η f είναι συνεπώς γνησίως αύξουσα π στο, και γνησίως φθίνουσα στο π, π β) Η f έχει ολικό μέγιστο το: π π π Μ f 4ημ συν 4 Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το f ( ) και στο π, το f ( ) Επειδή f () f (π), η f παρουσιάζει ολκό ελάχιστο το m f () f (π) Άρα f συνεχής f ([, π]) [m, M] [, ] Άλλος τρόπος 6

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ π Αν Δ, και π Δ, π, τότε: Η f είναι συνεχής και επιπλέον γνησίως αύξουσα στο Δ και γνησίως φθίνουσα στο Δ f (Δ ),, f (Δ ),, οπότε f (D f ) f (Δ ) f (Δ ), γ) Αφού f (θ) 4(συν θ συνθ ), είναι: f (θ) 44συνθ( ημθ) ημθ 4ημθ(4συνθ ) Για να βρούμε το πρόσημο της f κατασκευάζουμε τον διπλανό πίνακα θ [,π] f (θ) ημθ ή συνθ (θ 4 π θ θ ) με συνθ, οπότε θ, π 4 ή θ π ή Ας παρατηρήσουμε ότι για την συνεχή συνάρτηση: A() 4συν π είναι A() 5 (ή A Επομένως το μοναδικό σημείο καμπής της ) και A(π) 4 C f είναι στη θέση θ Από τη μονοτονία και τα κοίλα της f, παίρνουμε τη γραφική παράσταση της f που φαίνεται στο σχήμα δ) Επειδή f (θ) για κάθε θ, π, είναι: π π Ε f (θ)dθ (4ημθ 4ημθσυνθ)dθ π συνθ (4ημθ ημθ)dθ 4συνθ π 4συνθ συνθ 4συνπ συνπ 4συν συν (4 ) ( 4 ) 4 4 8 τμ o ε) i) Έστω ΒΕ, ΑΖ ΓΔ Το τετράπλευρο ΑΖΕΒ είναι ορθογώνιο διότι ˆΕ 9, ΑΖ // ΕΒ, ΖΕ // ΑΒ Επομένως ΖΕ ΑΒ και ΑΖ ΕΒ Τότε: BE BΔ ημθ ημθ ΔE BΔ συνθ συνθ ΓΔ ΓΖ ΖΕ ΕΔ συνθ AB συνθ 4συνθ ΑΒ ΓΔ ( 4συνθ) (ΑΒΓΔ) ημθ (4 4συνθ)ημθ 4( συνθ)ημθ Επειδή η θ ΑΓΔ ˆ είναι γωνία του τραπεζίου ΑΒΓΔ ( ΑΒ ΓΔ ) είναι προφανές ότι θ, ως οξεία γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΖ π π ii) Σύμφωνα με το ερώτημα (β) είναι Ε(θ) f (θ), θ, Αλλά η f π γίνεται μέγιστη στο θ Έτσι, το κανάλι μεταφέρει τη μέγιστη ποσότητα π νερού για θ π ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 6

Ε, 4 Δίνεται η συνάρτηση f() =, > α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα, τις ασύμπτωτες και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση Έχει η f τοπικά ακρότατα και γιατί; α) Η f έχει πεδίο ορισμού το Df Η Λύση C προκύπτει και α- πευθείας, με γνώσεις δηλαδή των μικρότερων τάξεων Μπορούμε ωστόσο να τη μελετήσουμε και ως εξής: Για είναι: f () () ενώ για είναι: f () Επίσης η f είναι συνεχής στο Δ (,] και στο Δ (, ) Έτσι, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ και γνησίως φθίνουσα στο Δ Η f δεν έχει τοπικά ακρότατα, αφού το f () f δεν είναι ούτε τοπικό μέγιστο ούτε τοπικό ελάχιστο Πράγματι, σε κάθε διάστημα ( δ, δ) υπάρχουν,, ώστε f ( ) f () και f ( ) f () Δεν ικανοποιείται επομένως ο ορισμός του τοπικού ακροτάτου Είναι επίσης: f () () για και f () για Έτσι η f είναι κυρτή στο Δ lim f () lim, lim f () lim, lim f () lim lim f () lim Έτσι ευθεία είναι κατακόρυφη και η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο Επειδή f () lim lim και lim (f () ), η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη στο Με τις παραπάνω πληροφορίες, η γραφική παράσταση της f έχει τη μορφή του σχήματος β) Η f είναι στα Δ (,], Δ (, ), ως γνησίως μονότονη σε καθένα απ' αυτά, και επειδή για κάθε, με είναι f ( ) f ( ) Είναι τελικά f ( ) f ( ) για κάθε Άρα η f είναι, οπότε α- ντιστρέφεται Στο Δ (,] είναι y f () y y, y (, ] Έτσι f (), Στο Δ (, ) είναι: y f () y y, y Έτσι f, (),, οπότε f () Συνεπώς είναι f, f, αφού D D f f και f () f () για κάθε 6

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ γ) Η ευθεία y τέμνει την C f στο σημείο Α(, ), αφού: f () Η ευθεία α με α, τέμνει την C f στο σημείο Β α, α i) Αν, είναι (σχήμα β) E(α) α α, αφού πρόκειται για εμβαδόν ορθογωνίου με διαστάσεις και α Αν, τότε (σχήμα α): Ε(α) f ()d α α d Επομένως, σε κάθε περίπτωση, είναι: ln α ln α α, α Ε(α) ln α, α Ε(α) ln α ii) lim lim lim α α α α DLH α α α(t), α(t) iii) Είναι Ε(t) με α (t) 4 cm/min ln α(t), α(t) Τη στιγμή t είναι: Ας παρατηρήσουμε ότι για α(t) είναι Ε(t) Όμως, αφού α(t ) και α (t ) 4, έχουμε: Ε (t) α (t), α(t) Ε (t ) α (t ) 4 4 cm / min α(t ) Ε(t ) cm ln α(t ) α(t ) Είναι: δ) Για η C f έχει τη μορφή του σχήματος Έστω Α, Για, αυτή δίνει Για y (ΜΝ): y f ( ) f ( )( ) y ( ) Ν,, η παραπάνω εξίσωση δίνει: ( ) M Έτσι M(, ) Το μέσο λοιπόν του ΜΝ είναι,, του τριγώνου ΟΜΝ είναι:, δηλαδή το σημείο Α Άρα ΑΜ ΑΝ Το εμβαδόν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 6

Ε (ΟΜΝ) (OM) (ON) 4 τμ, δηλαδή το (ΟΜΝ) είναι σταθερό, ανεξάρτητο από τη θέση του Α 4 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : f() α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = με f() = και f () = f() για κάθε είναι σταθερή στο και f() = Λύση α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι g () για κάθε Είναι όμως: f () f () f () ( ) g () f () f () f () f (), f () Άρα η g είναι σταθερή Επομένως: g() c c f () c Αφού f (), παίρνουμε c, οπότε f () β) Επειδή f (), είναι: f () ( ), f () ( ) ( 4 ) ( ) f () Η f είναι συνεχής στο (, ], f () στο (, ), οπότε είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Η f είναι συνεχής στο [, ), f () στο (, ), οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Το f () είναι ολικό μέγιστο της f στο f () ( ) H f είναι κυρτή στα διαστήματα,,,,, κοίλη και παρουσιάζει καμπή στα σημεία, Προφανώς f ( ) f ( ) Σημεία καμπής είναι λοιπόν τα σημεία A,, B, Έστω Δ (, ] και Δ [, ) lim f () lim f (), f () f συνεχής f (Δ ) ( lim f (), f ()] (, ] f f (Δ ) ( lim f (), f ()] (, ] συνεχής Άρα το σύνολο τιμών είναι το f ( ) f (Δ ) f (Δ ) (, ] Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη στα και β) Παίρνοντας προαιρετικά υπόψη ότι η f είναι άρτια (είναι και f ( ) f () για κάθε ) και το γεγονός ότι η C f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y, προκύπτει η γραφική παράσταση που φαίνεται στο σχήμα 64

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σχόλιο Επειδή η f είναι άρτια, θα μπορούσαμε να την μελετήσουμε στο διάστημα [, ) και να εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία της C f ως προς τον άξονα y y γ) Παρατηρούμε ότι: I ( )f ()d ( ) d d d () d d d d δ) i) Έστω h() F(), Είναι: h () f (), h () h () f () h () Η h είναι λοιπόν γνησίως φθίνουσα στο [, ) Άρα: h h () h (), h h () h () Το h() είναι ολικό μέγιστο της h στο [, ), οπότε: h() h() F() F(), Η ισότητα ισχύει μόνο για ii) Από το ΘΜΤ υπάρχει ξ(), τέτοιο, ώστε: F( ) F() Fξ() f ξ(), ( ) Επομένως: F( ) F() f ξ() Όμως, όταν, είναι lim ξ() Έτσι: u lim F( ) F() lim f ξ() lim f (u) lim u u iii) Από την ανισότητα, θέτοντας όπου το παίρνουμε Η ισότητα δεν ισχύει παντού στο, (μόνο για ), οπότε: Η σχέση f ()d δίνει: iv) Επειδή t t, είναι t d ( )d t F() F() F() Έτσι για παίρνουμε: t t t dt dt ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 65

Ε Επομένως F() F() F() Άλλος τρόπος t t Για είναι t (αφού t ) και το ίσον δεν ισχύει παντού Έτσι: t t d t dt, οπότε F() F() F() v) Επειδή η F είναι αρχική της f, θα ισχύει ότι F () f () Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα, οπότε: 4 4 F( ) F( ) ( ) (, ) (, ) ε) Έστω I παίρνουμε: f () d Θέτουμε u, οπότε d du Έτσι, αφού f ( u) f (u), u f (u) f (u) f () I ( du) du d u u f () f () f ()( ) I I I du d d f ()d f ()d f ()d Θέτουμε στο α ολοκλήρωμα Έτσι παίρνουμε: t, οπότε d dt και: f ()d f ( t)( dt) f ( t) f (t) f (t)dt f ()d I f ()d f ()d I f ()d 4 Δίνεται η συνάρτηση f : α) Να αποδείξετε ότι f() =, με f() = και η οποία έχει την ιδιότητα: y f() f(y) + ( y), για κάθε, y Λύση α) Από την υπόθεση έχουμε: y y f () f (y) ( y) f () f (y) ( y) () Θέτουμε g() f (), οπότε η () γίνεται: y g() g(y) ( y) g() g(y) y g() g(y) g() g(y) y y y y y Όμως lim y lim y, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής παίρνουμε: y y g() g(y) lim g (y), y y y Η συνάρτηση λοιπόν g είναι σταθερή, οπότε: 66

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ g() c f () c f () c Είναι όμως f (), οπότε c c c Άρα f (), β) Η γραφική παράσταση της f προκύπτει από την y, αν την κατεβάσουμε μία μονάδα και έτσι έχει η μορφή του σχήματος Είναι επομένως f ( ) (, ) Σχόλιο Επειδή f (), η f είναι γνησίως αύξουσα Είναι επίσης κυρτή αφού f () Επιπλέον: lim f () lim lim f () lim Επειδή η f είναι συνεχής, θα είναι τελικά f ( ) ( lim f (), lim f ()) (, ) Η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο, οπότε η γραφική παράσταση της f έχει τη μορφή του σχήματος f () γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι K lim lim f () lim lim, διότι lim και lim (τονί- ζουμε ότι αφού, είναι lim ) Το όριο έχει λοιπόν τη μορφή και ο κανόνας D L'Hospital δίνει: ln ln K lim lim lim ln DLH ln Γίνεται αντιληπτό ότι με χρήση του κανόνα d L'Hospital η συνέχεια είναι αδύνατη Για το λόγο αυτό γράφουμε το αρχικό όριο ως εξής: K lim Όμοια βρίσκουμε ότι: L lim lim lim, διότι lim, αφού δ) i) Έστω Α(, f ( )) το σημείο επαφής της C με την ευθεία y α Είναι τότε: f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 67

Ε f ( ) α α f ( ) α α α Η πρώτη ισότητα μας οδηγεί στη συνάρτηση φ() Είναι: φ (), φ () Η φ είναι συνεχής στο (, ], φ () στο (, ), οπότε η φ είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] Η φ είναι συνεχής στο [, ), φ () στο (, ), οπότε η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ) Η φ έχει ολικό μέγιστο για, το φ() και φ(), για κάθε Άρα: φ(), οπότε το σύστημα (Σ) έχει τη μοναδική λύση (, α) (, ), αφού α ii) Έστω ότι οι C f, C g έχουν κοινή εφαπτομένη και ότι είναι Μ(α, f (α)), Ν(β, g(β)) τα σημεία επαφής με α β Θα είναι τότε: y f (α) f (α)( α) y f (α) [f (α) αf (α)] y g(β) g (β)( β) y g (β) [g(β) βg (β)] f (α) g (β) f (α) g (β) g(β) f (α) f (α) αf (α) g(β) βg (β) g (β) f (α) β α α β, β α β β α β α Η δεύτερη σχέση γίνεται: β β β β β β β β β β β ( β) ln( β) β α β ln( β) β β ( β) ln( β) () Αν ω() ( ) ln( ), με, τότε ω() και ακόμα: ω () ln( ) ( ) ln( ) ln( ), με ω () ω () Η ω είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα, οπότε η είναι η μοναδική της ρίζα ω ω () ω () και αφού η ω είναι συνεχής, θα είναι και γνησίως φθίνουσα στο (, ] ω ω () ω () και αφού η ω είναι συνεχής, θα είναι και γνησίως αύξουσα στο, ω ω() ω() Επομένως ω() για κάθε ω ω() ω() Προκύπτει έτσι ο διπλανός πίνακας, οπότε η είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης ω() α α Από την () παίρνουμε β, οπότε η πρώτη εξίσωση του συστήματος γίνεται β α, δηλαδή α β, άτοπο Συνεπώς οι C f, C g δεν έχουν κοινή εφαπτομένη σε μη κοινό τους σημείο Αν Ρ(γ, δ) είναι κοινό (Σ) 68

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ σημείο των C f, C g, για να έχουμε στο Ρ κοινή εφαπτομένη πρέπει: γ f (γ) g(γ) γ γ f (γ) g (γ) γ γ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 69

Ε Αυτές δίνουν: γ γ γ γ γ (γ ή γ ) Η τιμή γ απορρίπτεται, οπότε γ και έτσι οι C f, συνεπώς η ευθεία y C g εφάπτονται μόνο στο Ο(, ) και κοινή εφαπτομένη είναι ε) Ας βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β f () λ λ λ ln(λ ) Έτσι Αln(λ ), λ Για το σημείο Β είναι y, οπότε Βλ, λ Είναι ΑΒ λ ln(λ ), διότι: ln(λ) ln(λ) ln(λ ) λ ln(λ ) λ δηλαδή το μήκος του ΑΒ συναρτήσει του t δίνεται από τη συνάρτηση h(t) λ(t) ln(λ(t) ), λ Είναι λ (t) 4 cm/min, οπότε: λ (t) λ(t) 4λ(t) h (t) λ (t) λ (t) λ(t) λ(t) λ(t) Για t t είναι: ΑΒ ln λ ln(λ ) ln λ ln(λ ) ln 4 h(λ) h(), όπου h() ln( ), Είναι: h (), οπότε η h είναι γνησίως μονότονη, συνεπώς και Έτσι h(λ) h() λ Αλλά για λ βρίσκουμε: 4λ(t ) 4 λ(t ) h (t ) cm / min 44 Δίνεται η συνάρτηση f() =, α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα Λύση α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με: f () ( ), f () ( ) f () ( ) f () Στο διάστημα Δ (, ] η f είναι γνησίως αύξουσα, στο Δ [, ) γνησίως φθίνουσα και στο παρουσιάζει ολικό μέγιστο ίσο με f () 7

Ε ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ β) Είναι: f () ( ) ( ) f () ( ) Επίσης: και f () ( ) f () ( ) Στο διάστημα [, ) η f είναι κυρτή, στο διάστημα (, ] κοίλη και το είναι θέση σημείου καμπής, δηλαδή το M(, f ()) είναι σημείο καμπής, με f () γ) Στο διάστημα Δ (, ] η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα με f (Δ ) ( lim f (), f ()] (, ] αφού lim f () lim ( ) ( )( ) Στο διάστημα Δ [, ) η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα με f (Δ ) ( lim f (), f ()] (, ], επειδή DLH lim f () lim ( ) lim lim Άρα το σύνολο τιμών είναι το f (D f ) f (Δ ) f (Δ ) (, ] Προφανώς το δεύτερο όριο μπορεί να αποφευχθεί, αφού η συνάρτηση έχει μέγιστο το Είναι f () f () με το ίσον όταν Επομένως οι σχέσεις f (α), f (β), f (γ) δίνουν: f (α) f (β) f (γ), με το ίσον να ισχύει μόνο για α β γ Άρα f (α) f (β) f (γ) α β γ δ) H συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες αφού Df και η f είναι συνεχής Είναι επίσης lim f () Άρα ο άξονας ( y ) είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στην περιοχή του Είναι Επίσης lim f () Άρα η C f δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στην περιοχή του f () lim lim lim Άρα η δεν έχει ούτε πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή του 4 Είναι f (α) (α ) Το πρώτο ίσον ισχύει όταν α Το δεύτερο ίσον ισχύει όταν α Και τα δύο ίσον 4 ισχύουν συγχρόνως όταν α Άρα f (α) (α ) α ε) Είναι f () και f () για Το ζητούμενο εμβαδό είναι: E f ()d d ( ) d ( ) ( )d ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΒΙΒΛΙΟ ΚΑΘΗΓΗΤΗ 7