ΘΕΜΑ Α: A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 99 A.. α) Ψ, β) Η συνάρτηση f ( ) = είναι - αλλά δεν είναι, > γνησίως μονότονη. (σελ. 5 σχολικό βιβλίο) A.. Σχολικό Βιβλίο σελ. 6 A.4 α)λάθος β)λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β: B.. ff() = 4, DD ff = RR.H f είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. ff () = + 8 4 = + 8 = + 8, DD ff = RR + 8 f = = + 8= = 8 = + 8 f > > + 8 > Λύνουμε ( ) και ( ) ( ) - + + 8 - + + - - + + 8 + - + ( )
Άρα f ( ) > ( + 8) > (, ) (, + ) Επομένως προκύπτει ο παρακάτω πίνακας μελέτης: - + ff + - + ff Επομένως : η ff είναι γν.αύξουσα στα διαστήματα (, ] και (, + ) η ff είναι γν.φθίνουσα στο διάστημα [,) και η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο = -, το οποίο είναι το ff( ) = B.. H ff είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ff () = 4, εε 4 RR. Παρατηρούμε ότι ff () < για κάθε εε RR 4, > για κάθε + ff - - ff H f είναι κοίλη στα διαστήματα (, ) και (, + ) και δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. Β.. Κατακόρυφες Ασύμπτωτες Άφού η f ορίζεται στο (,) (, + ) και είναι συνεχής, τότε η μοναδική πιθανή θέση κατακόρυφης ασύμπτωτης είναι =. Έχουμε ff() = 4 = γιατί και = 4 = ( =, > κοντά στο και - 4<). Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της CC ff.
Πλάγιες-Οριζόντιες Ασύμπτωτες Έστω yy = λλ + ββ η ασύμπτωτη στο. ff() = 4 = 4 = 4 = (ff() ) = 4 = 4 =. Άρα, η ευθεία yy = είναι ασύμπτωτη της CC ff στο. Έστω yy = λλ + ββ η ασύμπτωτη στο +. ff() + = + 4 = 4 + = + 4 = (ff() ) = + 4 = + 4 + =. Άρα η ευθεία yy = είναι ασύμπτωτη της CC ff στο +. Β.4. DD ff = RR και f είναι συνεχής. ff() = 4 = 4 = και = ff() = 4 + + = + + 4 = + και = +
Πίνακας Μεταβολών - + ff - - - ff + - + ff Τ.Μ Με βάση όλα τα παραπάνω προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ff(). ΘΕΜΑ Γ. Γ.. Έστω, y τα δυο τμήματα. ( y είναι το τμήμα από το οποίο κατασκευάζουμε τον κύκλο)
Το τετράγωνο έχει περίμετρο, άρα η πλευρά του είναι ίση με. 4 Το εμβαδό του τετραγώνου είναι: ΕΕ ττττττττ = 4 = 6. Αν ρρ είναι η ακτίνα του κύκλου και yy είναι η περίμετρος του κύκλου, τότε yy = ππππ ρρ = yy 8 ρρ = ππ ππ. Άρα, το εμβαδό του κύκλου είναι: ΕΕ κκύκκκκκκκκ = ππρρ = ππ 8 ππ 64 6 + 64 6 + = ππ 4ππ =. 4ππ Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: 64 6+ π + 4( 64 6 + ) Ε( ) = Ετετρ + Εκύκλου = + = = 6 4π 6π ( π+ 4) 64+ 56 = 6π Πρέπει > και y> 8 > < 8. Άρα η συνάρτηση ( ) Ε έχει πεδίο ορισμού το D (,8) E =. Γ. Η συνάρτηση EE() είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (,8) με ΕΕ () = ((ππ + 4) 64) = (ππ + 4). 6ππ 8ππ Έχουμε: ΕΕ () = (ππ + 4) = (ππ + 4) = = 8ππ ππ + 4. ΕΕ () > (ππ + 4) > (ππ + 4) > > 8ππ ππ + 4. - π+4 8 + Ε () + - Ε () + Η συνάρτηση ΕΕ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο =, το ππ+4 οποίο είναι το ΕΕ 6 =. ππ+4 ππ+4
Τότε η πλευρά του τετραγώνου είναι 4 = 4(ππ + 4) = 8 ππ + 4. Η διάμετρος του κύκλου είναι: δδ = ρρ = yy ππ = 8 ππ = 8 ππ ππ+4 = 8ππ + ππ(ππ + 4) = 8ππ ππ(ππ + 4) = 8 ππ + 4. Παρατηρούμε ότι δδ =. 4 Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου. Γ.. Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση Ε( ) = 5 έχει μοναδική ρίζα στο (,8). Η Ε είναι γνησίως φθίνουσα στο, π + 4, οπότε: ( π 4) 64 56 E, Ε( ), E( ) + + Ε, π 4 = = = + 4 π + + + 6π π + 4 6 6 =, π+ 4 π 6 5 < 5π < 6 που ισχύει π 6 < 5 6 < 5π + 4 < 5π που ισχύει π + 4 6 6 5 E, =, π 4, άρα η εξίσωση EE() = 5 + π+ 4 π, π + 4 η Ε είναι γν.φθίνουσα στο, π + 4.,8 π + 4, οπότε: 6 ( π+ 4) 64+ 56 E,8 Ε, E( ), π 4 = π 4 = = 8 π 4 8 + + + 6π 6 =,4 π + 4 6 5 E,8 =,4 π 4, άρα η εξίσωση EE() = 5 + π + 4,8 π + 4. Έχουμε ότι: Επομένως, έχει μοναδική ρίζα στο Η Ε είναι γνησίως αύξουσα στο Προφανώς, δεν έχει καμία ρίζα στο Τελικά η εξίσωση ( ) 5 Ε = έχει μοναδική ρίζα στο (,8).
ΘΕΜΑ Δ: Δ. Έχουμε ff() = ee aa, R, με aa >. Επομένως, ff () = ee aa, R ff () = ee aa, R. Έχουμε: ff () > ee aa > ee aa > aa > > aa. Ομοίως, ff () < < aa ff () = = aa. α + ff () - + ff() Επομένως, η γραφική παράσταση της ff έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής που είναι το ΑΑ αα, ff(αα), δηλαδή το σημείο ΑΑ(αα, αα ), με αα >. Δ. Ισχύει ότι: ff () = ee aa, R ff () = ee aa, R α + ff () - + ff () Η ff είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, aa] και άρα ff (, aa] = ff (aa), ff () = [ aa, + ), : ff () = (ee aa ) = ( ) = +. Το ανήκει στο διάστημα ff (, aa] = [ aa, + ) (διότι αα > και άρα αα < ). Επομένως, υπάρχει (, aa] έτσι ώστε ff ( ) =, και μάλιστα είναι μοναδικό στο διάστημα (, aa], διότι η ff είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, aa]. Επίσης α ( αν = α, τότε f' = f' α = α,ά τοπο ) Άρα (, ) α. ( ) ( )
Ακόμη: < ff ff () > ff ( ) ff () > < aa ff ff ( ) > ff () > ff (). Η ff είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα (αα, + ) και άρα εφόσον: ff (αα, + ) = ff (aa), + ff () = + (ee aa ) = = (+ ) (+ ) = +, ee aa + + ff () = ( aa, + ), = + ee aa = +. ee aa + = Το ανήκει στο διάστημα ff (αα, + ) = ( aa, + ), και άρα υπάρχει (aa, + ) έτσι ώστε ff ( ) =, και μάλιστα είναι μοναδικό στο διάστημα (αα, + ), διότι η ff είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (αα, + ). Ακόμη: ff > ff () > ff ( ) ff () > Τελικά: aa < < ff ff () < ff ( ) ff () <. α + ff () + - + ff() Άρα υπάρχουν μοναδικά, R με < έτσι ώστε η ff να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο. Δ. ος τρόπος f ' () e α α = = e < Έχουμε ( ) e α α α> α< < e e <. Επομένως (,), σε αυτό το διάστημα και μόνο σε αυτό η f' παίρνει αρνητικό πρόσημο. Για κάθε α (, ) έχουμε ( ) f, < <α< < f( ) > f( α ) > f( ) Άρα η εξίσωση f( ) = f( ) είναι αδύνατη στο διάστημα ( ) α,.
ος τρόπος Η συνάρτηση ff είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (αα, ), άρα ff (aa, ) = ff( ), ff(aa) = (ff( ), aa ). Ακόμη, ff() = ee aa. Για να είναι η εξίσωση ff() = ff() αδύνατη στο (αα, ), αρκεί να δείξουμε ότι ff() ff (aa, ). Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι: ff() > ff(aa) ee aa > aa ee aa + aa >, για aa >. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = ee +, με πεδίο ορισμού DD h = [, + ). Η h είναι παραγωγίσιμη με h () = ee +, [, + ). h () = ee + >, γγγγγγ κκάθθθθ [, + ) h [, + ) Άρα h h () h () = (η ισότητα ισχύει μόνο για =) + h () + h () Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) άρα, αα > h(aa) > h() ee aa + aa > ff() > ff(aa). Συνεπώς, ff() ff (aa, ). Άρα, η εξίσωση ff() = ff() είναι αδύνατη στο (αα, ). Δ4. Αν αα =, έχουμε ότι η συνάρτηση ff είναι κυρτή στο διάστημα [,]. Επίσης ff() = και ff () =. Η εφαπτομένη (εε) της CC ff στο = είναι: (εε): yy ff() = ff ()( ) yy ( ) = ( ) yy = +. Αφού η ff είναι κυρτή στο [,], σύμφωνα με γνωστό σχόλιο του σχολικού έχουμε: ff() + για κάθε [,] (η ισότητα ισχύει μόνο για = ). Επομένως, ff() ( + ) για κάθε [,] (η ισότητα ισχύει μόνο για = ). Άρα, ff() dddd > ( + ) dddd ()
Έστω ΙΙ = ( + ) dddd. Θέτουμε uu = οοοοόττττ = uu +, και επομένως dddd = uuuuuu. Επίσης, για = έχουμε uu =, και για = έχουμε uu =. Άρα, ΙΙ = ( uu 4 + ) uu uu dddd = ( uu 4 + ) uu dddd = ( 4uu 4 4uu ) dddd = 4uu5 5 4uu Τελικά από την () έχουμε ότι: ff() dddd = 4 5 4 = 5. > 5. Δεύτερος τρόπος υπολογισμού του ολοκληρώματος ΙΙ = ( + ) dddd. Θέτουμε uu = = uu +. Επομένως, dddd = dddd. Επιπλέον, για = έχουμε uu = και για = έχουμε uu =. Άρα, ΙΙ = ( uu 4 + ) uudddd = ( uu ) uudddd = ( uu ) uu dddd = uu uu dddd = uu 5 5 uu = 4 uu 5 4 5 uu = 4 5 4 = 5