I Elemente de geometrie 3. 1 Reprezentări în plan 4. 2 Vectori Funcţii trigonometrice Curbe plane 33. II Elemente de algebră 40

Cuprins I Elemente de geometrie 3 1 Reprezentări în plan 4 2 Vectori 11 3 Funcţii trigonometrice 17 4 Curbe plane 33 II Elemente de algebră 40 5 Numere complexe 41 6 Matrice 56 7 Determinanţi 63 8 Sisteme liniare 67 III Elemente de analiză matematică 73 9 Şiruri şi funcţii 74 10 Funcţii 82 11 Integrale 93 2

Partea I Elemente de geometrie 3

Capitolul 1 Reprezentări în plan 4

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN 1.1 Reper cartezian Fie un reper cartezian xoy cu axe ortogonale (perpendiculare) în planul P, cu originea în punctul O(0;0) şi cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin săgeţi (axa orizontală a absciselor sens de la stânga la dreapta şi axa verticală a ordonatelor cu sensul de jos în sus). Fiecărui punct M din planul xoy îi corespund în acest reper două coordonate carteziene, notatie M(x,y). În Fig. 1 punctul M are coordonatele carteziene (5,4). Figura 1.1: Reper cartezian Pagina 5

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN 1.2 Drepte în plan Distanţa între două puncte în plan A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) Coordonatele mijlocului unui segment AB unde A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k Ecuaţia dreptei determinata de coordonatele unui punct Mo(x0,y0) si de panta sa. Ecuaţia dreptei determinata de punctele A(x1,y1) si B(x2,y2). Drepte paralele cu axa Oy Drepte paralele cu axa Ox Ecuaţia generala a unei drepte Poziţia relativa a dreptelor d1 si d2: d1=d2 Poziţia relativa a dreptelor d1 si d2: d1 d2 Poziţia relativa a dreptelor d1 si d2: d1 se intersecteaza cu d2 Distanţa de la un punct M(x 0,y 0 ) la o dreapta h reprezentata prin ecuaţie ax+by+c=0 Unghiul determinat de doua drepte cu pantele m1 si m2 AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 x = x 1 + x 2, y = y 1 + y 2 2 2 x = x 1 + kx 2 1 + k, y = y 1 + ky 2 2 y y 0 = m (x x 0 ) y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) x=a y=a ax+by+c=0 a 1 = b 1 = c 1 a 2 b 2 c 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 c 1 c 2 a 1 a 2 b 1 b 2 d(m, h) = a x 0 + b y 0 + c a2 + b 2 tg(α) = m 2 m 1 m 1 m 2 1 1 + m 1 m 2 d 1 perpendicularape d 2 m 1 m 2 = 1 Pagina 6

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN 1.3 Sistem polar In sistemul de coordonate polar, poziţia unui punct P faţa de origine este descrisa prin specificarea distanţei r si a unghiului α dintre linia r si direcţia pozitiva a axei x, numita axa polara. Coordonatele polare ale punctului P sunt P(r,α ), unde r 0, α [0, 2π). Figura 1.2: Coordonate polare Conversia între cele doua sisteme Transformarea coordonatelor polare în coordonate carteziene se face dupa relaţiile: Convertire din coordonate polare in coordonate carteziene Convertire din coordonate carteziene in coordonate polare Distanta intre doua puncte definite prin coordonate carteziene (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) este Distanta intre doua puncte definite prin coordonate polare (r 1, α 1 ), (r 2, α 2 ) x = r cos α y = r sin α r = x 2 + y 2 α= arctg ( y x), x > 0, pentru cadranele I si IV d = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 d = r 2 1 + r 2 2 2 r 1 r 2 cos(α 1 α 2 ) Pagina 7

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN Figura 1.3: Coordonate polare vs. coordonate carteziene 1.4 Exerciţii Exerciţiul 1. Să se determine lungimea segmentului [AB] unde A(1,3) şi B(5,-1) Exerciţiul 2. Să se determine coordonatele mijlocului segmentului [AB] unde A(1,3) şi B(5,-1). Exerciţiul 3. Se dau dreptele de ecuaţii: AB: 5x + 2y - 11=0 AC: x - y + 2=0 BC: 2x + 5y + 4=0 Să se găsească: 1. Coordonatele vârfurilor triunghiului ABC; 2. Aria triunghiului ABC; 3. Distanţa de la originea sistemului de axe xoy la dreapta AC; 4. Ecuaţia medianei duse din C pe AB; 5. Ecuaţia înălţimii duse din A pe BC; 6. Coordonatele punctului D astfel încât ACBD să fie paralelogram; 7. Lungimea laturii AB; 8. Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC; 9. Coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului ABC. Exerciţiul 4. Se dă triunghiul de vârfuri A(-1,3), B(2,-1), C(3,6). Să se determine: Pagina 8

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN 1. ecuaţia dreptei AC; 2. ecuaţia paralelei prin B la AC; 3. ecuaţia mediatoarei segmentului [BC]; 4. ecuaţia medianei din C; 5. ecuaţia înălţimii din C. Exerciţiul 5. Ştiind că A(1,2) este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d, să se scrie ecuaţia dreptei d. Exerciţiul 6. Să se găsească proiecţia punctului B(-2,1) pe dreapta d : 2x + y + 1 = 0. Exerciţiul 7. Să se scrie ecuaţia dreptei ce trece prin punctul C(1,3) şi este echidistantă de punctele A(-1,0), B(1,-1). Exerciţiul 8. Să se determine coordonatele simetricelor punctului A(-1,2) faţă de dreapta d : x + y + 1 = 0 ]csi apoi faţ]ua de punctul B(-1,-4). Exerciţiul 9. Să se determine coordonatele punctului B, stiind ca C(3,5) este mijlocul segmentului AB si ca A(2,4). Exerciţiul 10. Să se determine m R pentru care distanta dintre punctele A(2,m) si B(-m,-2) este egala cu 4 2. Exerciţiul 11. In reperul cartezian xoy se considera punctul A(2,3). Stiind ca punctele B si C sunt simetricele punctului A fata de axele Ox si Oy, sa se calculeze lungimea segmentului BC. Exerciţiul 12. Sa se calculeze coordonatele punctului de intersectie al dreptelor de ecuatii 2x+y-4=0 si x+y-3=0. Exerciţiul 13. Sa se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul A(1,-1) si este paralela cu dreapta y=x. Exerciţiul 14. In reperul cartezian xoy se considera punctele A(3,0), B(x,y), C(5,-2). Sa se determine numerele reale x si y astfel incat punctul B sa fie mijlocul segmentului AC. Exerciţiul 15. Sa se reprezinte in coordonate polare urmatoarele puncte: (2,2), (-3,4), ( 2, 2 3), (1, 1). Exerciţiul 16. Sa se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte: (2, π 2 ), (1, 3π 4 ), (2, π 3 ). Pagina 9

CAPITOLUL 1. REPREZENTĂRI ÎN PLAN Exerciţiul 17. Transformati in coordonate polare ecuatia x 2 + y 2 = 9. Exerciţiul 18. Gasiti coordonatele carteziene ale curbei 2 = 1 + cos θ. r Pagina 10

Capitolul 2 Vectori 11

CAPITOLUL 2. VECTORI 2.1 Vectori in plan O mărime este vectorială dacă este determinată de următoarele trei elemente: mărime, direcţie şi sens. Se numeşte direcţie a dreptei d mulţimea formată din dreapta d şi toate dreptele paralele cu ea. Se numeşte direcţia segmentului [AB], A B, direcţia dreptei AB. Fie dreapta d pe care se fixează două puncte A,B A B. Punctele dreptei d pot fi parcurse de la A spre B (un sens de parcurgere) sau de la B spre A (al doilea sens de parcurgere). Prin această metodă s-au definit două sensuri pe dreapta d, numite sensurile dreptei. Parcurgerea unui segment [AB], A B, se poate face de la A spre B sau de la B spre A. Astfel pe segmentul [AB], sunt definite două sensuri (opuse). O pereche A, B se numeşte segment orientat sau vector legat şi se notează AB, unde A este originea, iar B este extremitatea. Dacă A B dreapta determinată de punctele A şi B se numeşte dreaptă suport. Vectorul AB se numeşte vector nul. Doi vectori legaţi nenuli AB şi CD au aceeaşi direcţie dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid. Dacă A, B, C, D sunt patru puncte necoliniare, vectorii AB şi CD au acelaşi sens dacă au aceeaşi direcţie şi punctele B şi D sunt n acelaşi semiplan determinat de dreapta AC. Se numeşte lungimea sau norma vectorului AB numărul real şi pozitiv care reprezintă distanţa d(a, B) ntre punctele A şi B şi se simbolizează prin AB. Doi vectori legaţi AB şi CD sunt egali dacă şi numai dacă A=C şi B=D. Doi vectori legaţi se numesc echipolenţi şi se notează AB CD dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi acelaşi modul. Se numeşte vector liber mulţimea tuturor vectorilor legaţi echipolenţi cu un vector legat dat a (Un vector este liber dacă originea sa poate fi aleasă n mod arbitrar n plan. Se spune că vectorul liber AB este determinat de vectorul legat AB sau că vectorul legat AB este un reprezentant al vectorului liber AB. Dacă A=B, atunci vectorul liber AA se numeşte vector nul, notat 0, de modul 0, direcţie şi sens arbitrar. Doi vectori liberi sunt egali dacă au: aceeaşi direcţie (adică pot fi situaţi pe aceeaşi dreaptă suport sau pe drepte suport paralele), acelaşi sens, acelaşi modul. Vectorul liber u de normă 1 se numeşte versor. Se consideră o dreaptă x x pe care se fixează punctul O (originea). In origine ca punct de aplicaţie, se consideră un versor situat pe dreaptă, notat cu i = OA, reprezentnd versorul dreptei. Prin fixarea versorului pe dreaptă, aceasta devine axă. Astfel pe această dreaptă există o origine, un sens de parcurgere şi o unitate de măsură a lungimilor. Doi vectori se numesc ortogonali dacă direcţiile lor sunt perpendiculare. Pagina 12

CAPITOLUL 2. VECTORI Doi vectori care au aceeaşi direcţie şi acelaşi modul, dar sensuri opuse se numesc vectori opuşi. Dacă a, b sunt vectori opuşi, atunci se scrie b = a. Proprietate: Fiind dat un punct O n plan si un vector liber a există un unic punct M n plan, astfel nct om = a. 2.2 Operaţii elementare cu vectori liberi 2.2.1. Adunarea a doi vectori Suma a doi sau mai mulţi vectori este tot un vector, care se poate obţine cu ajutorul unei construcţii geometrice efectuate asupra acestora. a) Adunarea a doi vectori după regula paralelogramului Fie doi vectori liberi a, b şi OA = a, OB = b. Se construieşte paralelogramul OBCA. de laturi OA şi OB: OBCA. Vectorul c, de reprezentant OC, (care porneşte din originea comună) reprezintă prin definiţie suma vectorilor a şi b şi se notează prin c = a + b. Această regulă prin care s-a obţinut vectorul sumă se numeşte regula paralelogramului. b) Adunarea a doi vectori după regula triunghiului. Se poate ajunge la acelaşi rezultat cu ajutorul unei alte construcţii. Fie aceiaşi vectori liberi a, b. Se consideră OA = a, AC = b. Atunci vectorul sumă a vectorilor a si b este vectorul c reprezentat de OC. Această regulă de adunare a doi vectori se numeşte regula triunghiului. Este uşor de văzut că vectorul sumă c este vectorul care nchide conturul format de vectorii a si b, avnd originea n originea unuia dintre vectori şi extremitatea n extremitatea celuilalt vector. Este evident că triunghiul construit prin regula triunghiului este jumătatea paralelogramului construit prin regula paralelogramului. Observaţie: Dacă a + b + c = 0, atunci cu vectorii a,b,c se poate forma un triunghi. c) Metoda pentru adunarea a n vectori (regula poligonului). Dacă trebuie adunaţi trei (sau mai mulţi) vectori liberi a, b, c, se aplică succesiv regula triunghiului. Din extremitatea lui a se duce un vector egal cu b, iar din extremitatea acestui al doilea vector se duce un vector egal cu c. Astfel s-a format un contur poligonal din vectori. Vectorul v care nchide conturul (adică uneşte originea primului vector cu extremitatea ultimului vector) reprezintă suma vectorilor daţi: v = a + b + c. Regula de obţinere a sumei mai multor vectori se numeşte regula poligonului. Observaţie: n cazul n care conturul de vectori se nchide, astfel nct extremitatea unuia să coincidă cu originea următorului vector, suma vectorilor reprezintă vectorul nul. Proprietăţi ale adunării vectorilor liberi n plan. 1. Adunarea vectorilor este asociativă, adică: ( a + b ) + c = a + ( b + c ). 2. Adunarea vectorilor este comutativă, adică: a + b = b + a. Pagina 13

CAPITOLUL 2. VECTORI 3. Vectorul nul 0 este elementul neutru pentru adunare, adică: a + 0 = a 4. Pentru orice vector a, există a, pentru care a + ( a ) = a + a = 0. Vectorul a se numeşte opusul vectorului a. 2.2.2. Înmulţirea unui vector cu un scalar Definiţie: Fie α R, a 0. Produsul dintre numărul real α şi vectorul liber a este vectorul notat α a avnd: - aceeaşi direcţie cu a ; - aceeaşi acelaşi sens cu a, dacă α > 0; sens contrar lui a, dacă α < 0; - modulul egal cu produsul dintre ]alpha şi modulul vectorului a. Proprietăţi ale nmulţirii unui vector cu un scalar 1. α( a + b ) = α a + α b. (nmulţirea cu scalari este distributivă faţă de adunarea vectorilor). 2. (α + β) a = α a + β b. (nmulţirea cu scalari este distributivă faţă de adunarea scalarilor). 3. α(β a ) = (αβ) a. (Asociativitatea scalarilor). 4. 1 a = α a. (Numărul 1 este element neutru pentru nmulţirea cu scalari). 2.2.3. Coliniaritatea a doi vectori Definiţie: Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcţie. n caz contrar se numesc necoliniari. Se admite că vectorul nul este coliniar cu orice vector. Teoremă de coliniaritate: Doi vectori nenuli a, b sunt coliniari dacă şi numai dacă există α astfel nct a = α b. 2.3 Reper cartezian n plan Descompunerea unui vector după două direcţii date. Bază. Definiţie: Cuplul a,bformat din doi vectori liberi necoliniari se numeşte bază pentru mulţimea vectorilor din plan V. O bază formată din versori ortogonali se numeşte bază ortonormată. Componentele unui vector ntr-o bază. Fie a, b doi vectori necoliniari fixaţi, iar u un vector arbitrar. Dacă a, b sunt necoliniari, atunci cele două direcţii pe care le definesc sunt distincte. Se consideră reprezentanţii OA = a şi OB = b. Prin extremitatea M a vectorului OM, se duc paralele la OB şi, respectiv OA care intersectează pe OA n M1 şi pe OB n M2. Conform regulii paralelogramului OM = OM1 + OM2. Există constantele reale x, y astfel nct OM1 = x OA, OM2 = y OB. Rezultă că OM = x OA + y OB, sau ca vectori liberi: u = x a + y b. Se mai spune că vectorul u a fost descompus după direcţiile a doi vectori b şi b. Numerele reale x şi y se numesc coordonatele vectorului liber u n raport cu baza a, b. Descompunerea u = x a + y b este unică. Fie Oxy un system de axe ortogonale. Fie i si j versorii axelor Ox si Oy. Pagina 14

CAPITOLUL 2. VECTORI Definirea vectorului u din plan u = i x + j y Definirea vectorului AB AB = i (x B x A ) + j (y B y A ) Modulul unui vector u u = i x + j y u = x 2 + y 2 u = i x 1 + j y 1 Suma a doi vectori u si v v = i x 2 + j y 2 u + v = (x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j Conditia de paralelism u v x 1 x 2 = y 1 y 2 pt x 2, y 2 0 Conditia de perpendicularitate u v x 1 x 2 +y 1 y 2 = 0 Produs scalar, intre doi vectori u v = u v cos θ care formeaza unghiul θ Produs scalar a doi vectori perpendiculari u v = 0 2.4 Exerciţii Exercitiul 1. Sa se determine numarul real a stiind că vectorii u = i 2 + j a si v = i 3 + j (a 2) sunt coliniari. Exercitiul 2. In reperul cartezian (O, i, j) se considera vectorii u = 3 i + 2 j si v = 5 i j. Să se determine coordonatele vectorului 5 u + 3 v. Exercitiul 3. Dacă u = 4 i + 9 j si v = 3 i + 2 j atunci calculati: u v, v u, u u, v v Exercitiul 4. Sa se gaseasca produsul scalar al vectorilor 5 i si 8 j. 2.2. Vectori (In spaţiu) Coordonatele unui punct în spaţiu. Vectorul de poziţie al unui punct. Vectorul determinat de două puncte. Distanţa dintre două puncte ca mărime a vectorului. Coliniaritatea a doi vectori. Orice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea egala cu distanta dintre aceste dou puncte. Daca P(a,b,c) si P (a,b,c ) sunt doua punce din spatiul tridimensional R 3, atunci vectorul care trece prin cele doua puncte este u=(x,y,z) cu u = (a a, b b, c c ). Vectorul u este reprezentat ca o sageata de la P la P. Adunarea vectorilor u + v = (x + x, y + y, z + z ) u = (x, y, z) si v = (x.y, z ) Multiplicarea cu un scalar a cu = (cx, cy, cz) vectorului u = (x, y, z) Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de poziţie al unei drepte. Vectorul normal al unui plan. Produsul mixt al trei vectori numit şi produsul triplu se defineste ca produsul scalar dintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlalţi doi. În consecinţă produsul mixt este un scalar. Produsul mixt are semnifcaţia geometrică următoare : volumul determinat de( cei trei ) vectori. Exemplu: a b x c Pagina 15

CAPITOLUL 2. VECTORI Exerciţiul 1. Să se determine produsul scalar al vectorilor w 1?i w 2. Comentaţi rezultatul obţinut : w 1 = 2 i 5 j si w 2 = 10 i +4 j +3 k Exerciţiul 2. Să se determine produsul vectorial al vectorilor w 1 si w 2. Comentaţi rezultatul obţinut : w 1 = 3 i 2 j si w 2 = 5 j +3 k Exerciţiul 3. Să se determine produsul mixt al vectorilor w 1, w 2?i w 3. Comentaţi rezultatul obţinut : w 1 = 4 i 3 j ; w 2 = 2 i +6 j +2 k si w 3 = 2 i +2 k Exercitiul 4. Sa se calculeze produsele mixte a trei vectori w 1 ( w 2 x w 3 ), w 2 ( w 3 x w 1 ) si w 3 ( w 1 x w 2 ) daca w 1 = 3 i 2 j, w 2 = 5 i 3 k, w 3 = 6 i + 2 k. Sa se demonstreze ca prin permutari circulare rezulta: w 1 ( w 2 x w 3 ) = w 2 ( w 3 x w 1 ) = w 3 ( w 1 x w 2 ). Pagina 16

Capitolul 3 Funcţii trigonometrice 17

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 3.1 Cercul si functii trigonometrice în triunghi Pagina 18

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 3.2 Formule de baza ( π ) sin 2 t ( π ) = cos (t), cos 2 t = sin (t) sin (π t) = sin (t), cos (π t) = cos (t) sin (π + t) = sin (t), cos (π + t) = cos (t) sin (2 π t) = sin (t), cos (2 π t) = cos (t) sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y) cos (x + y) = cos (x) cos (y) sin (x) sin (y) sin (x y) = sin (x) cos (y) cos (x) sin (y) cos (x y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y) sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x), cos (2 x) = 2 (cos (x)) 2 1 Pagina 19

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 3.3 Funcţii trigonometrice directe Fie cercul trigonometric (cercul cu centrul în origine şi de rază 1) şi un punct M(x M, y M ) situat pe acest cerc. Figura 3.1: Cercul trigonometric Cu aceste notaţii se definesc funcţiile: - sinus sin t = y M - cosinus cos t = x M - tangentă tg t = sin t dacă expresia are sens cos t - cotangentă ctg t = cos t dacă expresia are sens. sin t Pagina 20

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia sinus sin : R [ 1.1] Figura 3.2: Funcţia sinus Pagina 21

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Pagina 22

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia cosinus cos : R [ 1.1] Figura 3.3: Funcţia cosinus Pagina 23

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia tangentă { } (2k + 1)π tg : R\, k Z R 2 Figura 3.4: Funcţia tangentă Pagina 25

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia cotangentă ctg : R\ {kπ, k Z} R Figura 3.5: Funcţia cotangentă Pagina 27

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE 3.3 Funcţii trigonometrice inverse Funcţia arcsinus Figura 3.6: Funcţia arcsinus Pagina 29

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia arccosinus Figura 3.7: Funcţia arccosinus Pagina 30

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia arctangentă Figura 3.8: Funcţia arctangentă Pagina 31

CAPITOLUL 3. FUNCŢII TRIGONOMETRICE Funcţia arccotangentă Figura 3.9: Funcţia arccotangentă Pagina 32

Capitolul 4 Curbe plane 33

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE 4.1 Cercul Definiţie Se numeşte cerc de centru C(x 0, y 0 ) şi rază r, r > 0, mulţimea punctelor din plan M(x, y) care verifică relaţia d(m, C) = r. (4.1) Observaţie Mulţimea punctelor din plan M(x, y) care aparţin cercului de centru C(x 0, y 0 ) şi rază r, r > 0, verifică relaţia (x x + 0) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. (4.2) care reprezintă ecuaţia carteziană implicită a cercului de centru C(x 0, y 0 ) şi rază r, r > 0. Ecuaţia x 2 + y 2 + 2ax + 2by + r = 0 (4.3) unde a 2 + b 2 = c > 0, (4.4) este ecuaţia carteziană generală a cercului. Aceasta corespunde cercului de centru C(x 0, y 0 ), unde x 0 = a, y 0 = b şi de rază r = (a 2 + b 2 c). Pagina 34

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE 4.2 Elipsa Definiţie Se numeşte elipsă mulţimea punctelor din plan M(x, y) a caror suma a distantelor la doua puncte fixe F 1 si F 2 este constanta. Aceste puncte verifică relaţia unde a > 0. d(m, F 1 ) + d(m, F 2 ) = 2a, (4.5) Dacă alegem un sistem de axe ortogonal, astfel încât F 1 ( c, 0) şi F 2 (c, 0), atunci punctele elipsei verifica ecuatia (x + c)2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a, (4.6) sau echivalent ecuatia redusa a elipsei x 2 a + b2 = 1, (4.7) 2 b2 unde b = a 2 c 2. Pentru elipsa descrisa prin ecuatia redusa (4.7) identificam: - Punctele F 1 ( c, 0) si F 2 (c, 0) numite focarele elipsei; - a si b se numesc semiaxele elipsei; - Punctele A(a, 0), A ( a, 0), B(0, b), B (0, b) se numesc varfurile elipsei; - Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) elipsei; - Numarul e = c se numeste excentricitatea elipsei. a Pagina 35

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE 4.3 Hiperbola Definiţie Se numeşte hiperbolă mulţimea punctelor din plan M(x, y) care au proprietatea ca modulul diferentei distantelor la doua puncte fixe F 1 si F 2 este constanta. Aceste puncte verifică relaţia unde a > 0. d(m, F 1 ) d(m, F 2 ) = 2a, (4.8) Dacă alegem un sistem de axe ortogonal, astfel încât F 1 ( c, 0) şi F 2 (c, 0), atunci punctele elipsei verifica ecuatia sau echivalent ecuatia redusa a elipsei (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a, (4.9) x 2 a b2 = 1, (4.10) 2 b2 unde b = a 2 c 2. Pentru hiperbola descrisa prin ecuatia redusa (4.10) identificam: - Punctele F 1 ( c, 0) si F 2 (c, 0) numite focarele hiperbolei; - a si b se numesc semiaxele hiperbolei; - Punctele A(a, 0), A ( a, 0) se numesc varfurile hiperbolei; - Punctul O(0, 0) se numeste centrul (de simetrie al) hiperbolei; - Numarul e = c se numeste excentricitatea hiperbolei. a Pagina 36

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE 4.4 Parabola Definiţie Se numeşte parabolă mulţimea punctelor din plan M(x, y) care au proprietatea ca distanta de la M la un punct fix F este egala cu distanta de la M la o dreapta fixa. Aceste puncte verifică relaţia d(m, F ) = d(m, ). (4.11) Dacă alegem un sistem de axe ortogonal, astfel încât F ( p, 0) şi : x = p, atunci 2 2 punctele elipsei verifica ecuatia ( x p ) 2 + y2 = x + p, (4.12) 2 2 sau echivalent ecuatia redusa a parabolei y 2 = 2px. (4.13) Pentru parabola descrisa prin ecuatia redusa (4.13) identificam: - Punctul F 1 (p/2, 0) numite focarul parabobolei; - Punctul O(0, 0) se numeste varful parabolei; - Dreapta x = p/2 se numeste directoarea parabolei; Pagina 37

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE 4.5 Conice (ecuatii generale) In coordinate carteziene, conicele reprezinta multimea punctelor care satisfac o ecuatie de forma Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 (4.14) Daca = B 2 4AC < 0 atunci ecuatia corespunde unei elipse. Daca = B 2 4AC > 0 atunci ecuatia corespunde unei hiperbole. Daca = B 2 4AC = 0 atunci ecuatia corespunde unei parabole. Schimband convenabil coordonatele se obtin ecuatiile clasice (curbele fiind simetrice fata de una sau ambele axe). Adica - Cerc x 2 + y 2 = r 2 - Elipsa x2 a 2 + y2 b 2 = 1 - Hiperbola x2 a y2 2 b = 1 2 - Parabola y 2 = 2px Aceste { curbe pot fi descrise si parametric x = r cos t - Cerc, t [0.2π] { y = r sin t x = a cos t - Elipsa, t [0.2π] y { = b sin t x = a cosh t - Hiperbola, t [0.2π] { y = b sinh t x = 2pt 2 - Parabola, t [0.2π] y = 2pt Pagina 38

CAPITOLUL 4. CURBE PLANE Exerciţii Exercitiul 1. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,0) si este tangent axei Oy. Exercitiul 2. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(a,b) si este tangent axei Oy si axei Ox. Exercitiul 3. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul C(1,-2) si care trece prin punctul O(0,0). Exercitiul 4. are R=1. Sa se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul O(0,0) si care Exercitiul 5. ecuatia: Sa se determine pozitia punctului B(2,2) fata de cercul descris de (x 3) 2 + (y + 1) 2 25 = 0 Exercitiul 6. S se gseasc ecuaia cercului determinat de punctele M(-1,1), N(2,-1) si P(1,3). Exercitiul 7. Sa se scrie ecuatia elipsei care are semiaxele 4 si 2. Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axa mare 2a=18 si excentrici- Exercitiul 8. egala cu a=8. Exercitiul 9. Exercitiul 10. tatea e=4/3. Sa se scrie ecuatia elipsei care contine punctul A(2,-1) si axa mare Sa se scrie ecuatia hiperbolei care are axele 2a=10 si 2b=8. Exercitiul 11. Sa se scrie ecuatia parabolei dispusa simetric fata de axa Oy, care are varful in punctul O(0,0) si care trece prin punctul D(1,-2). Exercitiul 11. Ce puncte de intersectie are dreapta y=mx si cercul care are ecuatia (x 2) 2 + (y 2) 2 1 = 0. Reprezentati grafic. Pagina 39

Partea II Elemente de algebră 40

Capitolul 5 Numere complexe 41

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE 5.1 Mulţimea numerelor complexe Notând cu R mulţimea numerelor reale s-a încercat extinderea acesteia în mulţimea numerelor complexe notată C, astfel ca orice ecuaţie de gradul al doilea să aibă soluţii în noua mulţime. Ca mulţime, C nu diferă de R 2, adică C este mulţimea perechilor ordonate de numere reale C = {(x, y) x R, y R} (5.1) Pe mulţimea se C definesc două operaţii algebrice interne, adunarea şi înmulţirea, astfel ca (C, +, ) să fie corp, iar (R, +, ) să poată fi asimilat cu un subcorp al lui C. Avem, oricare ar fi numerele complexe z = (x, y) şi z = (x, y ), z + z = (x + x, y + y ), (5.2) z z = (xx yy, xy + x y). Elementele neutre al corpului C se notează 0 = (0, 0), 1 = (1, 0). (5.3) Numărul complex (0, 1) a fost notat de Euler prin i, numit unitatea complexă. Avem i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Numărului complex z i se asociază în planul xoy (mulţimea R 2 ) punctul M de coordonate carteziene (x, y) numit imaginea geometrică a lui z. Reciproc fiecărui punct M(x, y) i se asociază un număr complex z numit afixul lui M. Axa Ox se numeşte axa reală, axa Oy se mai numeşte axa imaginară, iar planul xoy se mai numeşte planul complex sau planul lui Gauss al variabilei z. Pentru orice z = (x, y) C avem z = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) de unde, prin identificarea x (x, 0), se obţine scrierea uzuală a numerelor complexe z = x+iy. Pentru orice z = x+iy C se defineşte conjugatul z = x iy, partea reală Rsez = x şi partea imaginară Imz = y. Avem Rez = z + z 2, Imz = z z. 2i Pentru orice z C se defineşte modulul său z = x 2 + y 2 = z z. Au loc următoărele proprietăţi: z = 0 dacă şi numai dacă z = 0; z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1, z 2 C (inegalitatea triunghiului); z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1, z 2 C; Rez z, Imz z. Pagina 42

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Pentru orice z C\ {0}, unicul număr real ϕ astfel încât cos ϕ = x y sin ϕ = z şi z, se numeşte argumentul lui z (determinarea principală a argumentului) şi se mai notează arg z. Mulţimea soluţiilor în R a sistemului de ecuaţii de mai sus se numeşte argumentul numărului complex z şi o notăm cu Arg z. Argumentul numărului complex 0 = (0, 0) nu este definit. Avem Arg z = arg z + 2kπ, k Z. Fie z C\ {0} arbitrar. Notând ρ = z şi folosind ϕ cu semnificaţia de mai sus rezultă x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. Rezultă z = x + iy = ρ (cos ϕ + i sin ϕ) numită forma trigonometrică a numărului complex z. Două numere complexe scrise sub forma trigonometrică sunt egale dacă şi numai dacă Folosind celebra formulă a lui Euler obţinem forma exponenţială a lui z z 1 = ρ 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = ρ 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ), ρ 1 = ρ 2, ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z. e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R, z = ρe iϕ. De exemplu se verifică imediat că avem 1 + i = ( 2 cos π 4 + i sin π ) = 2e iπ/4. 4 Scrierea numerelor complexe în forma trigonometrică sau exponenţială are avanteje evidente în operaţiile de înmulţire, împărţire, ridicare la putere sau extragere de rădăcină. Avem z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos (ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 + ϕ 2 )) = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos (ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin (ϕ 1 ϕ 2 )) = ρ 1 ρ 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ) Pagina 43

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE z n = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ) = ρ n e inϕ. Dacă în formula de mai sus luăm ρ = 1 se obţine formula lui Moivre (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ. Avem de asemenea n ( z = n ρ cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ) n n De exemplu se verifică imediat că ecuaţia rescrisă astfel are soluţiile z 4 + 1 = 0 z 4 = 1 = e iπ z k = e i(π+2kπ)/4, k = 0, 1, 2, 3. = n ρe i ϕ+2kπ n, k = 0, 1, 2,..., (n 1). Inegalităţile între numere complexe nu au sens, corpul C nefiind total ordonat. Se pot scrie inegalităţi doar între numere reale asociate numerelor complexe. Pe mulţimea C se poate defini o distanţă prin d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2, z 1, z 2 C şi se cunoaşte că (C, d) este un spaţiu metric complet deci un spaţiu Hilbert. Fie z 0 C şi r > 0. În planul complex o vecinătate a punctului z 0 este discul deschis centrat în z 0 de rază r B(z 0, r) = {z C z z 0 < r} Se ştie că mulţimile deschise dintr-un spaţiu metric formează o topologie, deci orice spaţiu metric este în mod natural un spaţiu topologic. O mulţime D C este deschisă dacă z D, r > 0 astfel ca B(z, r) D. Dacă C\A este deschisă se spune ca A este închisă. O mulţime D C este conexă dacă orice două puncte din D pot fi unite printrun contur poligonal conţinut în D. Mulţimile deschise şi conexe se numesc domenii. Mulţimea M C este mărginită dacă este conţinută într-un disc. O mulţime K C este compactă dacă este închisă şi mărginită. Un şir de puncte {z n } n 0 din C este convergent către un punct z 0 C dacă d(z n, z 0 ) = z n z 0 tinde către zero când n. Ţinând cont că z n = (x n, y n ) R 2, n 0, rezultă că şirul de numere complexe {z n = x n + iy n }, n N, este convergent în C dacă şi numai dacă şirurile de numere reale {x n } n N, {y n } n N sunt convergente în R. Pagina 44

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Se spune că şirul de numere complexe {z n } n N are limita infinită dacă lim n z n = + în R. Aici R = R {, + } poartă numele de dreaptă reală încheiată sau compactificată. Este util după modelul dreptei reale să extindem modelul numerelor complexe prin introducerea, de data aceasta, a unui singur punct la infinit, notat cu simbolul. Pe mulţimea C = C { } numit planul complex compactificat s-au extins operaţiile de adunare şi de înmulţire cu anumite reguli de calcul în cazul când unul din elemente este. Avem prin definiţie a + = + a =, a C a = a =, a C\ {0} a 0 =, a C\ {0} Prin definiţie = iar operaţiile +, şi 0 nu se definesc. Pe C se introduce o topologie în care mulţimile deschise sunt reuniuni oarecare de discuri deschise. Putem lua drept vecinătăţi ale lui complementarele unor mulţimi compacte din C. În particular, exteriorul unui cerc cu centrul în origine este o vecinătate a punctului de la. Dacă considerăm şirurile cu limită infinită, deci şirurile {z n } n N C cu proprietatea lim z n = + în R n vom observa că numai un număr finit de termeni ai acestui şir se află în interiorul unui cerc cu centrul în origine. Pentru aceste şiruri putem scrie lim n z n =. În figura 1.2 se observă cum punctele lui C pot fi reprezentate pe o sferă (sfera lui Riemann) prin proiecţie stereografică. Punctului M oarecare de pe sferă (distinct de N, opus lui O) îi corespunde M din C obţinut prin intersecţia dreptei NM cu planul. Dacă punctului N îi asociem punctul de la infinit şi reciproc, se realizează o bijecţie între punctele de pe sfera lui Riemann şi planul lui Gauss. Funcţii complexe de o variabilă reală Dacă se ţine seama de bijecţia între mulţimea numerelor complexe C şi mulţimea R 2 z C (Rez, Imz) R 2 rezultă că o funcţie complexă de o variabilă reală este o funcţie vectorială bidimensională de o variabilă reală Pagina 45

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE (t [α, β] R z(t) C) (t [α, β] R (x(t), y(t) R 2 ) Funcţia z(t) poate fi privită ca un drum parametrizat în C dacă este continuă pe [α, β]. Deci reprezentarea parametrică a curbei ν { x = x(t) y = y(t), t [α, β] poate fi scrisă în notaţie complexă z = z(t), t [α, β] unde z(α) = a şi z(β) = b. În această reprezentare nu există nici o indicaţie asupra modului în care se obţine z(t) pentru un t dat în [α, β] ci numai că z = z(t) ν, t [α, β]. În electrotehnică, unde funcţiile complexe de o variabilă reală se întâlnesc frecvent, se folosesc aşa numitele diagrame, adică curba ν reprezentată de ecuaţia z = z(t) însoţită de un procedeu grafic de corespondenţă între valorile variabilei (parametrul t) şi punctele de pe curbă. Este utilă de asemenea o reprezentare în complex a funcţiilor sinusoidale reale. O funcţie y : R R, y(t) = A sin(ωt + ϕ) cu A 0 şi ϕ real se numeşte funcţie sinusoidală de pulsaţie ω. A 0 se numeşte amplitudinea funcţiei, iar ϕ este faza la momentul iniţial. Fie S ω mulţimea funcţiilor sinusoidale de aceeaşi pulsaţie ω. Orice funcţie y S ω este evident periodică de perioadă principală T = 2π. Funcţia x(t) = ω A cos(ωt + ϕ) se mai numeşte conjugata lui y. Dacă notăm z(t) = x(t) + iy(t), avem z(t) = A [cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ)] = Ae i(ωt+ϕ) = Ae iϕ e iωt Se observă că odată fixată pulsaţia ω, funcţia z(t) ( deci şi y(t) ) este perfect determinată de valorile A şi ϕ, adică de cunoaşterea numărului complex Ae iϕ. Aplicaţia F : S ω C, prin care lui y S ω, arbitrar îi corespunde Ae iϕ = A C, se numeşte reprezentarea lui Fresnel a mărimilor sinusoidale reale în complex sau transformarea lui Fresnel A = F(y) se numeşte imaginea în complex a funcţiei sinusoidale y. Aplicaţia F este evident o bijecţie. Avem y(t) = Im(A e iωt ) t R şi este echivalentă cu y = F 1 (A). Importanţa transformării Fresnel constă în faptul că reduce unele operaţii cu funcţii sinusoidale reale de o aceeaşi pulsaţie ω la operaţii corespunzătoare efectuate numai cu imaginile lor. Avem a) Imaginea derivatei y (t) a unei funcţii sinusoidale (care este tot sinusoidală de aceeaşi pulsaţie ω) se obţine din imaginea A a funcţiei y(t) prin înmulţire cu ωi. Pagina 46

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Demonstraţie Din y(t) = A sin(ϖt + ϕ) avem prin derivare y (t) = Aω cos(ωt + ϕ) = Aω cos(ωt + ϕ + π ). Rezultă că imaginea derivatei va fi 2 A = ωae i(ϕ+ π 2 ) = ωe i π 2 Ae iϕ = ωi A În acelaşi mod se demonstrează: b) Imaginea unicei primitive sinusoidale de aceeaşi pulsaţie ω cu a funcţiei date y(t) se obţine prin împărţirea cu ωi imaginii lui y(t), adică A 1 = 1 ωi A c) Imaginea sumei a două funcţii sinusoidale de pulsaţie ω (care este tot sinusoidală de pulsaţie ω) este egală cu suma imaginilor celor două funcţii. d) Pentru orice constantă reală K, imaginea funcţiei Ky(t) este A 1 = K A. Aceste proprietăţi permit transformarea unor relaţii între funcţii sinusoidale, derivatele şi primitivele lor, în relaţii în care nu intervin decât operaţii algebrice. Example 1 Să se determine diferenţa de potenţial la bornele unui circuit în serie format dintr-un rezistor cu rezistenţa R, o bobină cu inductanţa L şi un condensator de capacitate C, prin care circulă un curent alternativ de intensitate i(t) = I sin(ωt+ϕ). Ecuaţia circuitului se ştie că este de forma u(t) = R i(t) + L di dt + 1 C i(t)dt. Imaginea Fresnel U a lui u(t) se obţine folosind proprietăţile acesteia. Avem aplicând transformarea Fresnel U = R I + LI ωi + 1 [ Cωi I = R + (Lω 1 ] Cω )i I = Z I Numărul complex Z = R + (ωl 1 )i se numeşte impedanţa complexă a circuitului. ωc Avem U = Z I relaţie analoagă cu legea lui Ohm din cazul curentului continuu. Vom avea u = F 1 (U) deci u(t) = I Z sin(ϖt + ϕ + θ); unde θ = arg Z 5.2 Funcţii olomorfe. Condiţiile Cauchy-Riemann Prin definiţie se numeşte funcţie complexă de variabilă complexă, aplicaţia f : D C C Pagina 47

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Funcţia f poate fi privită fie ca funcţie de variabila z = x + iy D, fie ca funcţie de variabilele independente x şi y cu (x, y) D. Se poate deci nota Se pun în evidenţă aplicaţiile f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) z u(x, y) = Ref(z) z v(x, y) = Imf(z) care sunt funcţii complexe particulare şi anume sunt funcţii reale de o variabilă complexă. Se observă că definiţia lui f(z) este echivalentă cu definirea simultană a două funcţii reale u şi v, de varibile reale x şi y. Topologia planului complex, fiind de fapt topologia spaţiului E 2 (unde am notat cu E 2 mulţimea R 2 cu structura topologică de spaţiu euclidian real de dimensiune doi) noţiunile de limită şi continuitate se extind cu uşurinţă şi în complex, considerând o funcţie complexă de variabilă complexă ca o funcţie vectorială f : D R 2 R 2. Unde se va deosebi o funcţie complexă de o variabilă complexă de o funcţie vectorială bidimensională de două variabile reale este în problema derivabilităţii. Pe când la acestea din urmă se studiază doar existenţa şi proprietăţiile matricei formate din derivatele parţiale ale funcţiilor componente, la funcţii complexe de o variabilă complexă se pune problema existenţei unei derivate globale a funcţiei complexe (nedesfăcute în componente reale). Ajungem astfel la importanta noţiune de olomorfie a unei funcţii complexe de variabilă complexă (olos = întreg, morfos = forma). Definiţie Funcţia f : D C se numeşte derivabilă sau monogenă (olomorfă) într-un punct z 0 D dacă există şi este finită limita f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 z z 0 Limita, dacă există, se notează f (z 0 ). Funcţia f se numeşte olomorfă pe D, dacă este derivabilă în fiecare punct al lui D. Observând că în ipoteza existenţei derivatei, relaţia de definiţie a ei are aceiaşi structură formală ca în domeniul real, se deduc exact aceleaşi reguli formale de derivare şi în C ca şi în R. Se va vedea că funcţiile olomorfe au unele proprietăţi pe care funcţiile real derivabile nu le au, deoarece în conceptul de olomorfie existenţa limitei de definiţie a derivatei Pagina 48

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE implica independenţa ei de direcţia de tindere a lui z către z 0 (ceea ce este mai restrictiv decât trecerea la limită pe dreapta reală) prin care z tinde către z 0 (figura 1.5) Dacă f este olomorfă în z 0 atunci conform definiţiei f f(z 0 + h) f(z 0 ) (z 0 ) = lim h 0 h şi ţinând cont că f = u(x, y) + iv(x, y), avem = lim h 0 f(z 0 + ih) f(z 0 ) ih f (z 0 ) = u(x 0 + h, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x 0 + h, y 0 ) v(x 0, y 0 ) lim + ilim h 0 h h 0 h = u(x 0, y 0 + h) u(x 0, y 0 ) v(x 0, y 0 + h) v(x 0, y 0 ) lim + ilim h 0 ih h 0 ih Dacă presupunem că u şi v admit derivate parţiale în raport cu x şi y în punctul (x 0, y 0 ) rezultă prin trecere la limită că f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = 1 u i y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ) de unde înlocuind punctul (x 0, y 0 ) cu unul oarecare se deduc celebrele condiţii Cauchy- Riemann = (C-R) { u x = v y u = v y x Observaţie Într-un punct oarecare avem formulele de calcul f (z) = u x + i v x = v y i u y Cauchy a descoperit condiţiile C-R efectuând cercetări privind integralele duble reale (realizând ca ele conţin esenţa teoriei de trecere de la complex la real) în timp ce Riemann a ajuns la aceleaşi condiţii efectuând cercetări în domeniul ecuaţiilor cu deerivate parţiale. Criteriu de olomorfie Fie D C o mulţime deschisă şi f : D C, f = u + iv. Dacă u, v C 1 (D) şi dacă în orice punct z D au loc condiţiile C-R atunci funcţia f este olomorfă pe D. Example 2 Fie funcţia f = u + iv de forma f = (x 2 y 2 ) + i 2xy. a) Să se verifice că f este olomorfă în tot planul b) Să se aducă f la forma w = f(z). Pagina 49

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE a) Funcţiile polinomiale u = x 2 + y 2 şi v = 2xy sunt de clasă C 1 în tot planul, în plus condiţiile C-R se verifică în fiecare punct din C, deci f este olomorfă în C conform criteriului de olomorfie. b) Se ştie că funcţiile olomorfe w = u(x, y) + iv(x, y), pot fi puse sub forma w = f(z) = u(z, 0) +iv(z, 0), adică în expresia lui w, înlocuim pe x cu z şi pe y cu 0. Avem w = f(z) = z 2. Example 3 Să se verifice că în coordonate polare condiţiile C-R, sunt: u r = 1 v v şi r θ r = 1 u r θ Pentru a arăta egalităţiile de mai sus este suficient să se exprime derivatele parţiale u, u, v, v u în funcţie de derivatele parţiale, u, v, v şi ţinând seama de x y x y r θ r θ condiţiile Cauchy-Riemann în coordonate carteziene rezultă condiţiile Cauchy-Riemann în coordonate polare. Una din contribuţiile matematicianului român Dimitrie Pompeiu în analiza complexă a fost definirea derivatei areolare. Se porneşte de la faptul că dacă u şi v au derivate parţiale în raport cu x şi y rezultă că şi f are derivate parţiale în raport cu x şi y (ca sumă de două funcţii, neavând importanţă că f are valori complexe). Avem: Notăm f x = u x + i v x, f y = u y + i v y f z = 1 2 ( f x i f y )şi f z = 1 2 ( f x + i f y ) Prin definiţie numărul f z (z 0) se numeşte derivata areolară a lui f în punctul z 0 D. Importanţa acestei noţiuni este dată de următoarea teoremă. Theorem 4 Fie D C este o mulţime deschisă şi f : D C, f = u + iv. Dacă u, v C 1 (D) şi f = 0 pe D, atunci funcţia f este olomorfă pe D. z Example 5 Se dă funcţia f : C C definită prin f(z, z) = z 5 + zz 2z + 4z. Să se determine punctele din plan în care f este derivabilă. Evident funcţiile u şi v sunt de clasă C 1 în tot planul. Rămâne să verificăm condiţiile C-R; vom utiliza derivata areolară. Avem { f x = 4 z = z + 4 = 0 x + iy + 4 = 0 y = 0 Rezultă că f este derivabilă într-un singur punct, (-4,0). Pagina 50

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Se reaminteşte în continuare că o funcţie u : D R de clasă C 2 pe deschisul D se numeşte armonică dacă avem u = 2 u + 2 u = 0, în fiecare punct al lui D. x 2 y 2 Theorem 6 Fie D C o mulţime deschisă şi f : D C, f = u+iv cu u, v C 2 (D). Dacă f este olomorfă pe D, atunci funcţiile u, v sunt funcţii armonice pe D. Demonstraţie În fiecare punct din D avem 2 u x + 2 u 2 y = 2 x ( u x ) + y ( u y ) C R = x ( v y ) + y ( v x ) = 2 v x y 2 v y x = 0 conform criteriului lui Scwarz. Deci u = 0 pe D. Asemănător se verifică v = 0. Dacă pentru f(z) = u(x, y) + iv(x, y) se dă de exemplu u(x, y) de clasă C 2 (D), atunci, putem determina pe v(x, y) astfel ca f să fie olomorfă pe D. Avem: şi dv(x, y) = v x v(x, y) = (x,y) (x 0,y 0 ) dx + v y u dy = udx + x y dy ( u u )dx + dy + K (K R) x y integrala fiind independentă de drum, condiţionată de armonicitatea lui u(x, y) în D. Analog putem proceda dacă ni se dă v(x, y). Example 7 Să se determine funcţia olomorfă, f = u + iv, ştiind că u(x, y) = x 2 y 2 şi f(0) = 0. Verificăm dacă u = 0; Avem u x Rămâne să determinăm funcţia v(x, y). = 2x; u y = 2y; 2 u x + 2 u 2 y = 2 + ( 2) = 0 2 Metoda 1 Folosim expresia diferenţialei lui v dv(x, y) = v v C R dx + dy x y = u y u dx + dy = 2ydx + 2xdy x Pagina 51

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Expresia 2ydx + 2xdy este o diferenţială totală, deoarece am verificat că funcţia u este armonică; integrând, obţinem: x y v(x, y) = 2 0 dt + 2xdt + K = 2xy + K 0 0 Rezultă: f = u + iv = (x 2 y 2 ) + i(2xy + K) x=z,y=0 = z 2 + ik Dar f(0) = 0 K = 0, deci f(z) = z 2 Metoda 2 Folosim expresia derivatei lui f obţinută în decursul demonstraţiei condiţiilor C-R. Avem f = u x + i v x = u x i u y = 2x + i 2y x=z,y=0 = 2z Deoarece şi funcţia f este olomorfă, aşa cum se va vedea ea admite o primitivă pe C. Integrând avem f(z) = z 2 + K. Deoarece f(0) = 0 rezultă K = 0, deci f(z) = z 2. Metoda 3 Deoarece conform condiţiilor C-R: { u x = v y u = v y x { v x = 2y v y = 2x Integrăm în raport cu x prima ecuaţie şi folosind drept constantă de integrare g(y) pentru a obţine pe v drept funcţie de două variabile, avem v(x, y) = 2xy + g(y) Funcţia v astfel obţinută trebuie să verifice ecuaţia a doua. 2x + g (y) = 2x g (y) = 0 g(y) = K Deci v(x, y) = 2xy + K. În continuare procedăm ca la metoda 1. Prin definiţie un punct a D, este pentru f : D C, punct ordinar, dacă există o vecinătate a lui a în care f este olomorfă. Cazuri particulare de puncte ordinare sunt zerourile lui f. Definiţie Dacă f(z) se poate prezenta sub forma f(z) = (z a) p g(z) unde p N; g(a) 0 şi g(z) olomorfă în vecinătatea lui a, atunci punctul a este zero de ordinul p al lui f. Pagina 52

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE Se numesc puncte singulare ale lui f toate punctele planului C care nu sunt puncte ordinare. Ele pot fi puncte singulare izolate şi respectiv neizolate. În primul caz există o vecinătate a lui a, în care nu există alte puncte singulare ale lui f diferite de a. În al doilea caz punctul singular a, apare ca punct de acumulare a mulţimii singularităţilor lui f. Definiţie Punctul singular a se numeşte pol pentru f (şi anume de ordinul p N), dacă este un zero (respectiv de ordin p) pentru 1 f(z). Deci din definiţia polului a de ordin p, rezultă că el este un punct ordinar ce nu este zero pentru g(z) = f(z)(z a) p şi că putem scrie: f(z) = g(z) (z a) p. Definiţie Orice punct singular al lui f care nu este pol se numeşte punct singular esenţial. El poate fi izolat sau nu. Definiţie Se numeşte punct singular aparent (sau singularitate înlăturabilă) un punct a D pentru care f nu este definită, însă există limita finită: lim z a f(z). Pentru a determina natura punctului C, pentru o funcţie f, se consideră h(z) = f( 1 ) şi se studiază natura punctului 0 faţă de h. z Example 8 Să se studieze singularităţile funcţilor f 1 (z) = z2 4 z 2 + z 2 f 2 (z) = 1 (z i) 3 f 3 (z) = 1 sin 1 z Scriind funcţia f 1 (z) = z2 4, se observă că z = 2 este un zero de z 2 +z 2 (z 1)(z+2) ordinul întâi, z = 2 este singularitate înlăturabilă iar z = 1 este un pol de ordinul întâi. Funcţia f 2 (z) are pe z = i drept pol de ordin 3. Cercetăm polii funcţiei f 3 (z). Avem sin 1 = 0 deci a z k = 1 (k Z) sunt poli = (z 2)(z+2) simplii. Se observă că numărul 0 apare ca punct de acumulare a mulţimii polilor deci este un punct singular esenţial neizolat. Punctul z = este un pol simplu. Funcţii elementare kπ Acestea sunt extensiile la mulţimea C ale funcţiilor elementare definite pe R. Pagina 53

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE a) Funcţia f : C C, f(z) = z n, este olomorfă pe C. Într-adevăr, z 0 C, avem: z n z0 n lim z z 0 z z 0 = nz n 1 0 deci f (z) = nz n 1, z C. Rezultă că funcţiile polinomiale sunt olomorfe pe C (ca sume de funcţii olomorfe). Funcţia polinomială este evident o funcţie întreagă având (conform teoriei fundamentale a algebrei) atâtea zerouri (distincte sau nu) cât este gradul său n, iar punctul îi este pol de ordinul n. De asemenea funcţiile raţionale sunt olomorfe pe domeniul lor de definiţie; întradevăr, dacă f = P, cu P, Q polinoame, atunci f este olomorfă pe deschisul C \ {z C Q(z) = 0}. Q Zerourile lui f coincid cu ale lui P iar singularităţile lui f sunt poli ce coincid cu zerourile lui Q, cu ordinele de multiplicitate corespunzătoare. Rezultă că f, funcţie raţională este o funcţie meromorfă în tot planul. b) Funcţia exponenţială complexă: f : C C, f(z) = e z este funcţia f(z) = ρe iϕ, unde ρ = f(z) = e x şi ϕ = arg f(z) = y. Într-adevăr, putem scrie ez = e x+iy = e x e iy = ρ e iϕ ; z C. Funcţia exponenţială a fost definită astfel încât să se menţină şi în C, relaţia funcţională caracteristică exponenţialei reale: f(z 1 + z 2 ) = f(z 1 ) f(z 2 ); z 1, z 2 C Se verifică uşor că e z este o funcţie întreagă şi are punctul ca punct singular esenţial: Dacă ϕ R are loc celebra formulă: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (formula lui Euler); ϕ R Rezultă că funcţia exponenţială este periodică de perioadă 2πi. Funcţiile circulare şi cele hiperbolice se definesc prin funcţia exponenţială în modul următor: cos z = 1 2 (eiz + e iz ); sin z = 1 2i (eiz e iz ) şi respectiv: tg z = sin z cos z ; ctg z = 1 tg z ch z = 1 2 (ez + e z ); sh z = 1 2i (ei e z ) th z = sh z ch z ; cth z = 1 th z Pagina 54

CAPITOLUL 5. NUMERE COMPLEXE c) Funcţia logaritm natural: w = f(z) = Ln z Această funcţie se defineşte ca o funcţie inversă a exponenţialei. Fie deci ecuaţia e w = z, z C \ 0 Ecuaţia aceasta admite o infinitate de soluţii. Într-adevăr, notând w = u + iv, fie z = ρe iϕ. Avem e u+iv = ρe iϕ e u (cos v + i sin v) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) Din egalitatea modulelor rezultă e u = ρ, deci u = ln ρ = ln z = ln x 2 + y 2 Pentru argumente avem Rezultă v = ϕ + 2kπ = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2,... deci Ln z = ln x 2 + y 2 + i(arctg y x + 2kπ), (x, y) R2 {(0, 0)}, k Z Re(Ln z) = ln x 2 + y 2 ; Im(Ln z) = arctg y x + 2kπ, (x, y) R2 {(0, 0)}, k Z Se observă că pentru un număr complex z = x + iy dat, z 0, partea imaginară a numărului Ln z nu este unic determinată (fiind dependentă de parametrul k Z, ea poate lua o infinitate de valori). În fapt, funcţia logaritmică complexă asociată fiecărui număr z C, z 0, nu o singură imagine (ca în cazul funcţiei logaritmice reale), ci o infinitate de imagini (corespunzătoare valorilor k Z). O astfel de funcţie se numeşte multiformă. Funcţia multiformă Ln z are o infinitate de determinări sau ramuri distincte Ln 0 z = ln z + i arg z; k = 0 Ln 1 z = ln z + i(arg z + 2π); k = 1 Ln 1 z = ln z + i(arg z 2π); k = 1. Se poate fixa o determinare principală a lui Ln z, dacă practicăm de exemplu o tăietură pe axa reală pozitivă. Considerăm argumentul lui z ca fiind cuprins între 0 şi 2π. Pentru z situat pe tăietură (figura 1.6) pe partea y pozitiv, luăm ϕ = 0. Dacă descriem un contur închis în jurul punctului z = 0, ajungem pe partea tăieturii situată înspre y-cii negativi, avem ϕ = 2π. Dacă nu traversăm niciodată tăietura T = {z C Imz = 0, Rez 0} funcţia Ln z este bine determinată convenind să luăm k = 0. Se spune că ea este uniformă pe C \ T. Pagina 55

Capitolul 6 Matrice 56

CAPITOLUL 6. MATRICE Pagina 57

Capitolul 7 Determinanţi 63

CAPITOLUL 7. DETERMINANŢI Pagina 64

Capitolul 8 Sisteme liniare 67

CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE Pagina 68

CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE Exerciţii 1. Fie matricile A = ( 2 1 1 3 0 1 x, y, u, v numere reale dacă AB = C. ), B = 2. Rezolvaţi ecuaţia matricială XA = B, unde A = ( ) 1 1 B =. 1 1 0 1 2 3. Aflaţi rangul matricii 1 2 4. 1 3 6 1 3 x 4. Aflaţi x R dacă matricea 0 1 4 1 2 1 este singulară (adică are determinantul nul). x 1 y u şi C = 1 v ( 3 2 4 3 ) şi ( 9 3 10 3 ). Aflaţi x + y + 2z = 1 5. Rezolvaţi sistemul algebric 2x y + 2z = 4 ( 4x ) + y + 4z ( = 2 ) 1 0 2 3 6. Se dau matricile A = şi B =. Aflaţi matricea AB BA. 1 2 1 4 7. Se dau matricile A = Aflaţi det(ab). 3 1 0 1 4 2 0 2 1 8. Aflaţi matricea coloană din ecuaţia şi B = 3 1 1 1 1 2 1 1 1 9. Aflaţi numărul real x astfel încât matricea 2 3 3 0 1 1 1 2 4 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 x 0 x y z. = 4 2 2. să aibă rangul 2. ( ) 2 3 10. Fie matricea A =. Formaţi matricea A λi 2 3 2, unde I 2 este matricea unitate de ordin 2, iar λ R. Aflaţi ( toate valorile ) lui ( λ dacă) det(a λi 2 ) = 0. 1 2 2 4 11. Aflaţi numerele reale x şi y dacă x + y = O 1 2 1 2 2, unde O 2 este matricea nulă de ordin 2. ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 6 12. Fie matricile A =, B = şi C =. Există 2 0 1 0 2 0 x, y, z R nu toate nule astfel încât xa + yb { + zc = O 2? x 2y + z = 0 13. Aflaţi mulţimea soluţiilor sistemului x + 3y 2z = 0 Pagina 71

CAPITOLUL 8. SISTEME LINIARE x + y + 2z = 1 14. Arătaţi că sistemul 2x + 2y + z = 1 x + y z = 2 este compatibil simplu nedeterminat şi aflaţi mulţimea soluţiilor. 15. Rezolvaţi sistemul algebric 16. Arătaţi că sistemul x + y + z + t = 1 x + y + z t = 0 x + y z + t = 2 4x + y 2z = 0 x 2y + z = 0 11x 4y z = 0 este compatibil dublu nede- nulă. x 2y + z + t = 6 17. Arătaţi că sistemul 2x + y 5z t = 14 4x 3y 3z + t = 2 terminat şi aflaţi mulţimea soluţiilor. 18. Aflaţi valorile parametrului a pentru care sistemul admite şi soluţii diferite de cea nulă. admite şi alte soluţii decât cea x ay + z = 0 ax + y 2z = 0 3x + y + 3z = 0 Pagina 72

Partea III Elemente de analiză matematică 73

Capitolul 9 Şiruri şi funcţii 74

CAPITOLUL 9. ŞIRURI ŞI FUNCŢII Pagina 75

Capitolul 10 Funcţii elementare. Funcţii continue. Funcţii derivabile 82

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia putere f : R R, f(x) = x 2n, n N Figura 10.1: Funcţia putere f(x) = x 2n, n N Pagina 83

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia putere f : R R, f(x) = x 2n+1, n N Figura 10.2: Funcţia putere f(x) = x 2n+1, n N Pagina 84

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia radical de indice par f : (0, ) (0, ), f(x) = 2n x, n N Figura 10.3: Funcţia radical f(x) = 2n x, n N Pagina 85

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia radical de indice impar f : R R, f(x) = 2n+1 x, n N Figura 10.4: Funcţia radical f(x) = 2n+1 x, n N Pagina 86

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia putere f : R R, f(x) = 1 x 2n+1, n N Figura 10.5: Funcţia putere f(x) = 1 x 2n+1, n N Pagina 87

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia putere f(x) = 1, n N x2n Figura 10.6: Funcţia putere f(x) = 1, n N x2n Pagina 88

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia exponenţială f : R (0, ), f(x) = a x, a (1, ) Figura 10.7: Funcţia exponenţială f(x) = a x, a (1, ) Pagina 89

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia exponenţială f : R (0,, f(x) = a x, a (0, 1) Figura 10.8: Funcţia exponenţială f(x) = a x, a (0, 1) Pagina 90

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia logaritmică f : (0, ) R, f(x) = log a x, a (1, ) Figura 10.9: Funcţia logaritmică f(x) = log a x, a (1, ) Pagina 91

CAPITOLUL 10. FUNCŢII Funcţia logaritmică f : (0, ) R, f(x) = log a x, a (0, 1) Figura 10.10: Funcţia logaritmică f(x) = log a x, a (0, 1) Pagina 92

Capitolul 11 Integrale 93

CAPITOLUL 11. INTEGRALE Primitive. Integrale nedefinite Lista integralelor nedefinite uzuale x n dx = xn+1 + C, n Z\{ 1} (11.1) n + 1 1 x dx = x 1 dx = ln x + C (11.2) 1 x dx = x 2 dx = 1 + C, a 0 (11.3) 2 x x α dx = xα+1 + C, α R\{ 1} (11.4) α + 1 1 x dx = 2 x + C, α R\{ 1} (11.5) 1 dx = ln x + a + C (11.6) x + a 1 x 2 + a dx = 1 ( x ) 2 a arctg + C, a 0 (11.7) a 1 x 2 a dx = 1 2 2a ln x a x + a + C, a 0 (11.8) 1 ( x2 + a dx = ln x + ) x 2 + a 2 + C, a 0 (11.9) 2 1 x2 a 2 dx = ln x + x2 a 2 + C, a 0 (11.10) 1 ( x ) a2 x dx = arcsin + C, a 0 (11.11) 2 a a x dx = ax + C, a > 0 (11.12) ln (a) e x dx = e x + C (11.13) sin (x) dx = cos (x) + C (11.14) cos (x) dx = sin (x) + C (11.15) tg (x) dx = ln cos (x) + C (11.16) ctg (x) dx = ln sin (x) + C (11.17) Pagina 94

CAPITOLUL 11. INTEGRALE 1 dx = tg(x) + C (11.18) cos 2 x 1 sin 2 dx = ctg(x) + C (11.19) x Metode de calcul pentru integrale nedefinite 1) Metoda directă (conform definiţiei) Dacă f : I R este continuă pe I R, I interval, şi F : I R este o primitivă a lui f, atunci f(x)dx = F (x) + C (11.20) Altfel scris, dacă F : I R este o funcţie derivabilă pe intervalul I R, atunci F (x)dx = F (x) + C (11.21) 2) Metoda integrării prin parţi Dacă f : I R şi g : I R sunt funcţii derivabile pe I R, I interval, atunci f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx (11.22) 3) Metoda schimbării de variabilă Dacă f : J R este continuă pe intervalul J R, F : J R este o primitivă a lui f şi u : I J este funcţie derivabilă pe intervalul I R, atunci f(u(x))u (x)dx = f(t)dt = F (t) + C = F (u(x)) + C (11.23) Practic notăm t = u(x), apoi dt = u (x)dx, inlocuim in integrala nedefinita, continuăm calculele şi în final revenim la variabila x. (11.24) (11.25) (11.26) (11.27) (11.28) Pagina 95

CAPITOLUL 11. INTEGRALE Integrale definite Metode de calcul pentru integrale definite 1) Metoda directă (Formula Leibniz-Newton) Dacă f : [a, b] R este continuă pe [a, b] şi F : [a, b] R este o primitivă a lui f, atunci b a f(x)dx = F (x) b a = F (b) F (a) (11.29) 2) Metoda integrării prin parţi Dacă f : [a, b] R şi g : [a, b] R sunt funcţii derivabile pe [a, b], atunci b a b f (x)g(x)dx = f(x)g(x) b a f(x)g (x)dx (11.30) Pagina 96 a