Θέμα Α Α1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα 018-19 «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων,g :, 0 ή g 0» ισχύει ότι g 0 αν και μόνο αν α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 5) Μονάδες 7 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις και g έχουν πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [, 3], τότε ορίζεται η g με πεδίο ορισμού το [0, 1] και σύνολο τιμών το [, 3]. β) Η συνάρτηση, 0 είναι σταθερή. γ) Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε η go είναι γνησίως αύξουσα στο. δ) Αν μια άρτια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακρότατου στο σημείο 0. ε) Αν i. go ln και g e, τότε:, ii. og, 0 A3. Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Μονάδες 8 Θέμα B Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι 8 15 για κάθε. Β1. Να δείξετε ότι 4 3. Β. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της και στη συνέχεια να βρείτε γραφικά το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ημ α,β στο οποίο να περιέχεται η. Να γράψετε διάστημα της μορφής τετμημένη των κοινών τους σημείων. Β3. Αν g 1, 3,, να ορίσετε τη συνάρτηση. g Β4. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει στο συνάρτηση h για την οποία ισχύει ότι h h 1,. Μονάδες 8
Θέμα Γ Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που έχει πεδίο ορισμού το 0,. Δίνεται επίσης η συνάρτηση g, 0. Γ1. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να δείξετε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε. Γ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση g 0 είναι αδύνατη στο διάστημα,. Γ4. Να δείξετε γραφικά ότι η εξίσωση g 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο 0,. Γ5. Να λύσετε την ανίσωση. Θέμα Δ Έστω συναρτήσεις h e 1, 0. με,g : 0, για τις οποίες ορίζεται στο Δ1. Να δείξετε ότι g 0 για κάθε 0. Δ. Να δείξετε ότι η h είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. Δ3. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, Δ4. Αν 0 α β, να δείξετε ότι Δ5. Έστω ότι g e, 0. β e e α β α) Να δείξετε ότι ln 1. α e αβ β) Να βρείτε τη ρίζα και το πρόσημο της.. 0, η συνάρτηση h g τότε και η g είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 3 Μονάδες 3 Καλή Επιτυχία!
Λύσεις Θέμα Α Α1. α) Ψ β) Θεωρούμε τις συναρτήσεις: Παρατηρούμε ότι για 1 είναι, δηλαδή g 0 g 0 e 0 συναρτήσεις,g να είναι ίση με το 0 για κάθε. Α. α) Λ β) Λ γ) Σ δ) Σ ε) i. Λ ii. Λ, 1 0, 1 και g. 0, 1 e, 1 g 0 0 και για 1, είναι για κάθε χωρίς όμως κάποια από τις Α3. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με.για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: Θέμα B Β1. Έστω z z, τότε 4 3,. : A z z 8 z 15 z 4z 4 8z 16 15 z 4z 3 για κάθε z, οπότε και 4 3 4 4 1 1. Β. Η γραφική παράσταση της προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της y κατά μονάδες δεξιά και μία μονάδα κάτω. Σχεδιάζοντας και την y ημ στο ίδιο σχήμα, παρατηρούμε ότι τέμνει την y σε δύο σημεία, το ένα με τετμημένη στο διάστημα 0,1 και το άλλο με τετμημένη στο 3,π. Β3. Αν τότε για να ορίζεται η /g πρέπει g 0 1 1 3 3,,1 1,. 4 3 g 1` Αν g 1 τότε για να ορίζεται η /g πρέπει 3 1 1,,3 3, 3, οπότε g 0 3, οπότε Β4. Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση h που ικανοποιεί αυτή τη σχέση. Τότε: Για 1 h 1 h 1 1 1 h 0 h 1 1 1 Για 3 είναι είναι h 3 h 3 1 3 h0 h1 3. Από συνάρτηση. 1, δεν υπάρχει τέτοια
Θέμα Γ Γ1. Παρατηρούμε στο σχήμα ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. Έστω 1, 0, με 1 1, τότε 1 και από 1 g g g10, 1 1 1 Γ. Παρατηρούμε στο σχήμα ότι η έχει ελάχιστο το - για 0 0 (4). Από, δηλαδή 0 (3) για κάθε 3 4 g g 0, άρα η g έχει ελάχιστο το - για 0. Γ3. Παρατηρούμε ότι 0 οπότε για κάθε. g1 g g άρα g 0 για κάθε Γ4. g 0 0. Στο ίδιο σχήμα σχεδιάζουμε τη C και την ευθεία y. Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία μόνο σε ένα σημείο με τετμημένη στο 0,, δηλαδή υπάρχει 0 τέτοιο ώστε 0, Γ5. Αρχικά για να ορίζεται η g 0 0 0 0 πρέπει D 0 που ισχύει για κάθε. g 1 g g Θέμα Δ Δ1. Η g ορίζεται όταν Ag 0. ga g 0 Δ. Έστω, 0, 1 1 1 με 1 (1), τότε e e e e 1 1 e 1e 1 () 1 1 1 Από (1) + () e 1 e 1 h h h 0, Δ3. 1ος τρόπος με 1 Έστω ότι υπάρχουν 1, 0, γνησίως φθίνουσα ισχύει ότι γνησίως αύξουσα. Άρα για κάθε 1, A 0,. 1. τέτοια, ώστε g g 1 1 1, τότε επειδή η είναι g g h h που είναι άτοπο αφού η h είναι ισχύει g g 1 ος τρόπος 1, 0, με 1,τότε αφού η h είναι γνησίως αύξουσα έχουμε Έστω και g γνησίως φθίνουσα στο 1 1 1 1 h h g g g g g g. Δ4. 1 ος τρόπος β α αβαβ0 β α e e αβ β α αβ e e βαβ ααβ e e e e α β α β e e α β αβ αβ α β e e 1 β α β α β e α e β e 1 α e 1 h β h α β α h > ισχύει.
ος τρόπος 0 και e e e e 0 οπότε β e e α β α 0 e αβ Δ5. α) Έστω g ω e ω 0 ln ω ln ω. Τότε η σχέση h g e 1 γίνεται ω ln ω ω 1, ω 0, άρα β) Έστω 1, 0 με 1 τότε 1 1 1 1 και ln 1 ln ln 1 ln είναι γνησίως φθίνουσα. Παρατηρούμε ότι ln 1, 0. (). Με πρόσθεση των (1) και () έχουμε 1 1 ln111 0. Για κάθε 1 1 0 και για κάθε άρα η 0 1 1 0.