2. Uklon rentgenskih žarkov na kristalih

Σχετικά έγγραφα
Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Tretja vaja iz matematike 1

VALOVANJE UVOD POLARIZACIJA STOJEČE VALOVANJE ODBOJ, LOM IN UKLON INTERFERENCA

Kotne in krožne funkcije

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

VEKTORJI. Operacije z vektorji

TRANSMISIJSKI ELEKTRONSKI MIKROSKOP - TEM

Kotni funkciji sinus in kosinus

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

8. Diskretni LTI sistemi

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

7 Lastnosti in merjenje svetlobe

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Funkcije več spremenljivk

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

7 Lastnosti in merjenje svetlobe

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

NAVOR NA (TOKO)VODNIK V MAGNETNEM POLJU

1. Trikotniki hitrosti

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

Osnove elektrotehnike uvod

V kristalu so atomi, ioni ali molekule geometrijsko urejeni po povsem določeni zakonitosti.

11. Valovanje Valovanje. = λν λ [m] - Valovna dolžina. hitrost valovanja na napeti vrvi. frekvence lastnega nihanja strune

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

Gauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MAGNETNI MATERIALI. 1. Mehkomagnetni materiali 2. Trdomagnetni materiali

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

SPEKTRI ELEKTROMAGNETNEGA VALOVANJA

e 2 4πε 0 r i r j Ze 2 4πε 0 r i j<i

Če je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):

primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE

5 Modeli atoma. 5.1 Thomsonov model. B. Golli, Izbrana poglavja iz Osnov moderne fizike 5 december 2014, 1

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

VAJE IZ MATEMATIKE za študente gozdarstva. Martin Raič

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kvantni delec na potencialnem skoku

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZVODI ZADACI (I deo)

2.1. MOLEKULARNA ABSORPCIJSKA SPEKTROMETRIJA

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Uklon svetlobe. P + r O )) rpˆn

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

antična Grčija - snov zgrajena iz atomov /rezultat razmišljanja/

Rentgenska fluorescenčna spektrometrija-xrf, RFA

Elektrooptični pojav

PROCESIRANJE SIGNALOV

Michelsonov interferometer

1 3D-prostor; ravnina in premica

4. Z električnim poljem ne moremo vplivati na: a) α-delce b) β-delce c) γ-žarke d) protone e) elektrone

Deformacije. Tenzor deformacija tenzor drugog reda. Simetrinost tenzora deformacija. 1. Duljinska deformacija ε. 1. Duljinska (normalna) deformacija ε

1. Duljinska (normalna) deformacija ε. 2. Kutna (posmina) deformacija γ. 3. Obujamska deformacija Θ

Spektroskopija. S spektroskopijo preučujemo lastnosti snovi preko njihove interakcije z različnimi področji elektromagnetnega valovanja.

Vektorski prostori s skalarnim produktom

GEOMETRIJA V RAVNINI DRUGI LETNIK

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Splošno o interpolaciji

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

- Geodetske točke in geodetske mreže

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Pravokotni koordinatni sistem; ravnina in premica

VAJE-Elektrooptika 2002/2003

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

slika: 2D pravokotni k.s. v ravnini

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Operacije s matricama

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

3. AMPEROV ZAKON. SLIKA: Zanka v magnetnem polju. Integral komponente magnetnega polja v smeri zanke je sorazmeren toku, ki ga zanka oklepa.

6 NIHANJE 105. (c) graf pospe²ka v odvisnosti od asa. Slika 32: Graf hitrosti, odmika in pospe²ka v odvisnosti od asa.

diferencialne enačbe - nadaljevanje

UNIVERZA V LJUBLJANI FMF, oddelek za fiziko seminar Laser na proste elektrone

Transcript:

Kristalne ravnine in indeksi Kristalne (mrežne) ravnine = geometrični koncept za prikaz pojava difrakcije na kristalnih strukturah 2. Uklon rentgenskih žarkov na kristalih Indeksi h k l (Miller-jevi indeksi) predstavljajo število delov na katere ravnine iz niza h k l razdelijo a, b in c rob osnovne celice. 52 Ravnine z vrednostmi M. indeksov (0kl) so vzporedne a-osi Ravnine z vrednostmi M. Indeksov (h0l) so vzporedne b-osi Ravnine z vrednostmi M. Indeksov (hk0) so vzporedne c-osi 53 Za ortogonalne sisteme (kubični, tetragonalni, ortorombski) velja: d hkl je razdalja med kristalimi ravninami (hkl), a, b in c so robovi osnovne celice Primeri kristalnih ravnin 54 55 Primer izračuna razdalje med kristalnimi ravninami iz podatkov za osnovno celico v ortogonalnem (ortorombskem) sistemu Za ne-ortogonalne sisteme (heksagonalni, trigonalni, monoklinski, triklinski) je enačba bolj zapletena: Razdalja med kristalnimi ravninami (123) v strukturi z ortorombsko celico a=0.82nm, b=0.94nm, c=0.75nm je: + 2hl cosβ / ac sin 2 β a.sinβ... Rezultat: d 123 = 0.21 nm 56 57 1

Nekatere kristalografske smeri v ortorombskem sistemu Thomsonovo sipanje in interferenca Kristal je tridimenzionalna periodična tvorba z dolžino periode velikostnega reda premera atomov (10-10 m = 1 Å). Zato se lahko valovanje s primerno valovno dolžino (primerljivo dolžini periode - nevtroni, elektroni, rentgenski žarki) na kristalih uklanja (Thomsonovo sipanje) in interferira. shema nastanka uklonske slike Podatki za reševanje strukture so intenzitete interferenčnih maksimumov in koti pri katerih ti nastanejo. Z matematičnimi metodami iz uklonske slike dobimo atomsko strukturo spojine. [001] kristalna smer je pravokotna na ravnino, ki jo določajo Millerjevi indeksi (001) 58 59 Sipanje rentgenskih žarkov na elektronih in atomih Ko rentgenski zadene elektron, se lahko zgodi več stvari (prenos energije, gibalne količine, sipanje...). Rentgenski žarki so elektromagnetno valovanje, t.j. valovanje električnega in magnetnega polja Za rentgenski difrakcijo je pomembno predvsem elastično sipanje rentgenske svetlobe na elektronih (valovna dolžina in faza se ohranita, pa spremeni smer). nič energije se ne izgubi (frekvenca oz. valovna dolžina se ohranita) sekundarni () se širi v vseh treh smereh (sferično) elastično sipanje vhodnega žarka na enem točkastem objektu elektromagnetni spekter 60 λ 61 Oscilirajoče električno polje vpadnega žarka prisili elektron k oscilaciji s frekvenco, ki jo določa to (električno) polje elektromagnetnega vala. elastično sipanje vhodnega žarka na pet enako oddaljenih točkastih objektih (elektronih): vpadni elektroni Poenostavimo, da je v kristalu sipni center atom. Žarki, na posameznih atomih, interferirajo - pod različnimi koti prihaja do ali oslabitev. (sekundarni) žarki oslabitev fazni kot ϕ Pri elastičnem sipanju vhodnega žarka na več točkastih objektih pride do interference (konstruktuvna in destruktivna) rentgenskih žarkov. 62 63 2

Če je sipnih centrov v vrsti več (n) in so razdalje med njimi enake, se pojavi še inerferenca na drugem, tretjem... sosedu in med glavnimi ukloni se pojavijo še manjši, glavni se zožijo. 0. reda 1. reda 2. reda 3. reda Do ojačitve pride, ko je razlika poti dveh h žarkov celoštevil tevilčni mnogokratnik valovne dolžine (nλ) Pri kristalih mora tako biti λ od 0.5 do 2.5 angstrema (10-10 m) n=5 n=10 n=20 napredujoče valovne fronte primarnega žarka n je red uklonskega maksimuma, večji n => večji uklonski kot. 64 Smer je odvisna od razdalje med najbližjima sosedoma, širina maksimuma pa od števila atomov v vrsti 65 V atomu je več elektronov, ki ne sipljejo neodvisno, sipanje atoma lahko obravnavamo kot celoto (atomski sipni faktor). Atom ne siplje v vse smeri enako močno, ker elektroni ne mirujejo. atomski sipni faktor (f) kot funkcija sin θ/ λ; θ je uklonski kot, λ je valovna dolžina valovni vektor k, velikost je valovno št. (1/λ) valovni vektor k h žarkov Intenziteta sipanja pri uklonskem kotu 0 je proporcionalna številu prisotnih elektronov. jedro Intenziteta sipanja (kvadrat amplitude sipanega žarka) se z uklonskim kotom zmanjšuje: kotno odvisnost amplitude sipanega žarka ponazarja sipni faktor atoma (f). 66 Sipni faktor je drugačen za različne primarne žarke. Pri rentgenskih žarkih in elektronih je odvisen od števila elektronov in pada z uklonskim kotom, kot je prikazano zgoraj, pri nevtronih je konstanten, ker je jedro atoma, na katerem se sipajo nevtroni, točkast objekt. 67 Braggov pogoj Z družine kristalnih ravnin (h k l) dobimo sekundarni takrat, ko je vpadni kot primarnega žarka na to družino ravnin enakθ(arcsin(λ /2d hkl )). Uklonski kot tega žarka je 2θ. Uklonski maksimum torej nastane, ko je na setu kristalnih ravnin izpolnjen Braggov pogoj. (ukon) oslabitev (ni ukona) Razlika poti = λ = 2 x d sinθ Braggov pogoj: 68 69 3

je primeren matematični koncept za razlago zakonov difrakcije (Ewald, 1921). Direktno mrežo definirajo 3 translacijski vektorji a, b, c. je definirna s 3 recipročnimi translacijskimi vektroji a*, b*, c*. Konstrukcija uklonske slike 2D primer povezave med direktnim in recipročnim prostorom Direktni prostor in kristalna struktura Povezava med vektorji direktne in reciporčne mreže: a*.b = a*.c = b*.a = b*.c = c*.a = c*.b = 0 a*.a = b*.b = c*.c = 1 a* = [b x c] / V, b* = [c x a] / V, c* = [a x b] / V, V=prostornina direktne mreže. Recipročni prostor in uklonska slika Skalarni produkt vektorjev: a.b=a.b.cosα Vektorski produkt vektorjev: axb=v=a.b.sinα Dolžina vektorja v je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja a in b, Smer v je pravakotna na ravnino, ki jo določata vektorja a in b 70 desnosučno pravilo za v 3 d* je pravokoten na odvisne ravnine in njegova dolžina je obratno sorazmerna 71 z d Točka v recipročni mreži predstavlja družino mrežnih ravnin v direktni kristalni mreži. (Pri difrakcijskem eksperimentu dobimo recipročno mrežo! ) se uporablja za grafično ponazoritev pojava difrakcije in razjasni povezavo med valovno dolžino primarnega (in sipanega) žarka, uklonskim kotom za dan uklon in recipročno mrežo kristala. RECIPROČNA MREŽA (pri eksperimentu jo generirajo fizikalni zakoni interference, matematično pa temu sledimo s prejšnjo definicijo) 72 shematski prikaz povezave med mi žarki, Ewaldovo kroglo (siva) in uklonsko sliko na zaslonu. 73 in 2D recipročna (a) in 2D recipročna (b) izhodišče izhodišče polmer krogle 1. izhodišče recopročne mreže postavimo v konec vpadnega valovnega vektorja k 0 2. dolžina vektorjev k 1 in k 0 je enaka, ker je k 0 = 1/ λ, λ pa je enaka pri vpadnem in sekundarnem (sipanem) žarku 3. položaj k 0 je fiksiran z izhodiščem recipročne mreže, vsi možni položaji k 1 pa 74 opišejo kroglo (sfero). Uklon dobimo samo, ko točka recipročne mreže pade na Ewaldovo sfero!!!! 75 4

in 3D recipročna Uklonska slika na monokristalu ete smer d i primarn ktorja Monokristal Uklonska slika na CCD detektorju fiksiran monokristal ( valovni vektor je pravokoten na ravnino slike) 76 Rotacija kristala spremeni orientacijo recipročne mreže. Značilnosti difrakcije polikristaliničnih materialov Uklonske slike: (a) fiksiran monokristal (b) rotirajoči monokristal, (c) polikristalinični vzorec z delno orientiranimi kristali (d) polikristalinični vzorec z naključno orientiranimi kristali (b) (c) 77 in uklonska slika praškastega vzorca Če želimo zbrati uklone z različnih ravnin, moramo monokristal sukati v prostoru. Če pa imamo v žarku prah (množico naključno orientiranih monokristalčkov), dobimo vse uklone hkrati (za vsako ravnino h k l je nekaj kristalčkov v Braggovem pogoju). (a) Uklonska slika na CCD detektorju monokristal rotira okrog c* smeri cona difrakcije detektor (d) 78 79 Intenziteta Izsek uklonske slike praškastega vzorca običajno podajanje uklonske slike praškastega vzorca je krivulja odvisnosti intenzitete od uklonskega kota 2θ = > metoda rentgenske praškovne difrakcije 80 5