ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ= Β Αφού οι εικόνες των μιγαδικών, ανήκουν στο κύκλο επομένως Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε Είναι επίσης Άρα αφού Β3 Θέτουμε w yi Επομένως, w 5w yi 5 5yi 4 6yi 6 36y 44
y 9 4 Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι έλλειψη με a 3,, 9 4 5 5 και εστίες 5,, 5, Η μέγιστη τιμή του w είναι α=3 ενώ η ελάχιστη είναι α= Επομένως είναι και w 3 Β4 ος τρόπος Γεωμετρικά έχουμε, Η μέγιστη τιμή του Άρα w 4 ος τρόπος w είναι a 3 4 και η ελάχιστη τιμή του είναι Είναι w 3 w 3 3 w 4 Επίσης είναι w w 3 3 w 3 w και άρα w Τέλος είναι και w 3 w 3 w 3 3 Από τριγωνική ανισότητα και τις σχέσεις (), (), (3) έχουμε,
w w w w w, 3 w w 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δύο φορές παραγωγίσμη στο, με f ln ln Προφανής ρίζα η αφού f Είναι f και επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα Το πρόσημο της συνάρτησης f είναι για f f άρα f f για f f είναι f f, ενώ Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση το f Είναι lim f lim ln Επίσης lim f lim ln Επομένως είναι f f, lim f f f, f, lim f, f, και άρα το σύνολο τιμών είναι A, f Γ Η εξίσωση γίνεται, 3 ln 3 f 3 f 3 ln ln f και η συνάρτηση f γνησία μονότονη στο τότε η f έχει μοναδική ρίζα στο Ομοίως η εξίσωση Αφού το εξίσωση 3
f έχει μοναδική ρίζα στο Άρα η εξίσωση ακριβώς δύο θετικές ρίζες 3 έχει Γ3 Θεωρούμε την συνάρτηση h f, Η h συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων Η h παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με h f f Είναι και h f και h f Άρα από το θεώρημα Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον, h f f f f, έτσι ώστε Γ4 Είναι g f ln, Λύνουμε την εξίσωση ln ή ln ή Οπότε g άρα Για κάθε είναι ln Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν είναι, οπότε g ln στο, E gd gd ln 4 ln d 3 4 ln d ln d 4
ΘΕΜΑ Δ Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση g f t dt συνεχής άρα ολοκληρώσιμη Επομένως η h f t άρα η f Η συνάρτηση f είναι dt είναι παραγωγίσιμη, h είναι παραγωγίσιμη σαν σύνθεση παραγωγίσιμων με h Είναι g g για κάθε Το εσωτερικό σημείο του A, ακρότατο στο Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει τοπικό Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη με g f Επομένως από θεώρημα Frmat είναι g f f Επειδή η f είναι συνεχής στο, και f για κάθε, τότε η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο, και αφού f, τότε f για κάθε Θεωρούμε την συνάρτηση s με τύπο s ln, s είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με s g Η συνάρτηση s + - s Η συνάρτηση s παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση ίσο με s Άρα ln t t s s ln Επομένως dt f, άρα f t ln t t ln dt, επομένως f Άρα αφού το δεύτερο μέρος f t ln t t dt f t είναι πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, 5
ln ln t t Άρα dt f f t ln παραγωγίσιμη με G Οπότε, f G G G G Θεωρούμε τη συνάρτηση G G ln t t f t dt G G G για κάθε και επομένως c G c Για είναι G επομένως c και άρα G G με ln G Συνεπώς ο τύπος της συνάρτησης είναι f f ln, Δ ln Είναι lim f lim και lim f, Επομένως lim f Είναι lim f f Θέτουμε t Για τότε t f f Άρα το όριο γίνεται lim f f f t t t lim lim lim t t t t t D L H Δ3 Η συνάρτηση F είναι παραγωγίσιμη αφού η f είναι συνεχής και επομένως F f ολοκληρώσιμη με ln F αφού ln Άρα f ln από υπόθεση και για κάθε Επομένως F για κάθε, και άρα η συνάρτηση F είναι κυρτή και άρα η F γνησίως αύξουσα Η F είναι παραγωγίσιμη στο, και στο, 3 ΘΜΤ υπάρχουν, και με, Άρα εφαρμόζοντας το F F, 3 F και 6
3 F F F Είναι και επειδή η συνάρτηση F γνησίως αύξουσα είναι και F F F F F3 F F F3 F Δ4 Θεωρούμε τη συνάρτηση F F F 3 στο, Η συνεχής στο, ως πράξεις συνεχών Είναι F F3 και F F F3 Είναι F f άρα η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα στο, Επομένως για 3 F F και άρα F F F3 από το Δ3 Επίσης Άρα και επομένως από το θεώρημα Bolano υπάρχει τουλάχιστον ένα, με Όμως f, άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο, και επομένως το ξ είναι μοναδικό 7