Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo................................. 9
Radi materijal 2
Poglavlje 2 TEORIJA PROCJENA Teorija procjee sastoji se u kostrukciji metoda za ocjeu vrijedosti jedog ili više parametara pozate distribucije slučaje varijable. U prethodom poglavlju smo za slučaju varijablu X (statističko obilježje) promatrali vrijedosti x, x 2,..., x kao uzorak veličia. U ovom poglavlju ćemo vrijedosti x, x 2,..., x promatrati kao pojediače vrijedosti iza od ezavisih slučajih varijabli X, X 2,..., X koje imaju istu distribuciju kao i slučaja varijable X. Defiicija 2. (SLUČAJNI UZORAK veličie ) Neka je X slučaja varijabla (statističko obilježje populacije) s fukcijom distribucije F(x). Slučaji uzorak veličie za slučaju varijablu X je slučaji vektor (X, X 2,..., X ), gdje su sve slučaje varijable X i,,...,, ezavise sa zajedičkom fukcijom distribucije vjerojatosti F(x). Vrijedost slučajog uzorka je uredea -torka (x, x 2,..., x ) ako je izmjerea vrijedost slučajih varijabli X i jedaka x i R(X),,...,. Ako je X diskreta slučaja varijabla (R(X) je koača ili prebrojiv), oda je (X, X 2,..., X ) diskreti slučaji uzorak, a ako je X kotiuiraa slučaja varijabla (R(X) R), oda je (X, X 2,..., X ) kotiuirai slučaji uzorak. Defiicija 2.2 (STATISTIKA) Ako je Y = h(x, X 2,..., X ), gdje je h fukcija od varijabli, oda se slučaja varijabla Y aziva statistika. NAPOMENA 2. Odabrai elemeti uzorka veličie iz populacije trebaju biti izabrai slučajo. Trebamo koristiti tablicu slučajih brojeva za izbor slučajih brojeva ili program za geeriraje slučajih brojeva. 3
PRIMJER 2. Zadaa je diskreta slučaja varijabla X s fukcijom vjerojatosti x i 0 2 p i 2 Što je uzorak veličie 2 za ovu slučaju varijablu? Odredi sve moguće vrijedosti slučajog uzorka veličie 2 za X. 3 6 Rješeje: Slučaji uzorak veličie 2 za slučaju varijablu X je slučaji vektor (X, X 2 ), gdje su sve slučaje varijable X i X 2 ezavise i jedake fukcije distribucije kao i X. Slika slučaje varijable X je R(X) = {0,, 2}. Slučaje varijable X i X 2 mogu poprimiti iste vrijedosti kao i X. Vrijedost slučajog uzorka je uredea dvojka (x, x 2 ) elemeata iz R(X), tj. to je varijacija s poavljajem r = 2-og razreda od = 3 elemeata. Broj svih takvih varijacija je V (2) 3 = 3 2 = 9. Sve moguće vrijedosti slučajog uzorka veličie 2 za slučaju varijablu X: (0,0), (0,), (0,2), (,0), (,), (,2), (2,0), (2,), (2,2). Radi materijal 4
2. TEORIJA PROCJENA 2. TOČKASTE PROCJENE PARAMETARA MOTIV 2. Koliki uzorak iz ormale razdiobe s varijacom 8 treba biti da bi s vjerojatošću 0.9544 apsoluta razlika uzoračke aritmetičke sredie i očekivaja bila maja od 5.5? Slučaja varijabla je odredea svojom fukcijom distribucije. Moga statistička obilježja imaju zajedičku teorijsku fukciju distribucije pa govorimo o pozatim distribucijama (razdiobama): bioma, uiforma, ormala, Poissoova,... Svaka razdioba karakteriziraa je svojim parametrima, p, a, b, µ, σ 2, λ,...: X B(, p), X U(a, b), X N(µ, σ 2 ), X Po(λ),... Ako želimo odrediti vezu izmedu teorijske i statističke razdiobe postavljaju se dva zadatka:. parametarske procjee, kada pretpostavimo teorijsku razdiobu i moramo odrediti (procijeiti) parametre te razdiobe. 2. eparametaske procjee, kada moramo odabrati razdiobu. Defiicija 2.3 (PROCJENITELJ ILI ESTIMATOR) Procjeitelj epzatog parametra t je fukcija slučajog uzorka T = h(x, X 2,..., X ). Procjeitelj je statistika. Zadatak je odrediti procjeitelj T za parametar t koji će ajbolje procijeiti t. Za procjeu jedog parametra možemo izabirati raze procjeitelje (fukcije h). Defiicija 2.4 (NEPRISTRANI PROCJENITELJ) Procjeitelj T je epristra za parametar t ako je očekivaje od T jedako vrijedosti parametra t: E( T) = t. Defiicija 2.5 (ASIMPTOTSKI NORMALAN PROCJENITELJ) T t Procjeitelj T je asimptotski ormala za parametar t ako slučajoj varijabli Var( T) asimptotski, kad, pripada stadarda ormala razdioba (distribucija) N(0,). 5 Radi materijal
2.. TOČKASTE PROCJENE Defiicija 2.6 (UZORAČKA ARITMETIČKA SREDINA) Statistika X = h(x, X 2,..., X ) = X i zove se uzoračka aritmetička sredia. Vrijedost uzoračke aritmetičke sredie račua pomoću r x = h(x, x 2,..., x ) = x i, x = x k f k. TEOREM 2. (Svojstva uzoračke aritmetičke sredie) (i) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ, i varijacom σ 2, 0 < σ 2 <, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). Uzoračka aritmetička sredia X je pouzda procjeitelj za µ: E(X) = µ. (ii) Var(X) = σ2. (iii) X N(µ, σ2 ) ako je ormala distribucija. (iv) Uzoračka aritmetička srediax je asimptotski ormala procjeitelj za µ: X = X µ N(0, ). Var(X) Dokaz:tko želi zati više (i) E(X) = E( X i ) = (ii) (iii) prema (i) i (ii). E(X i ) = Var(X) = Var( µ = µ. X i ) = 2 Var( X i ) = 2 Var( X i ) = 2 Var(X i ) = 2 Var(X i) = σ2. (iv) Prisjetimo se cetralog graičog teorema: Neka je S = X + X 2 +... + X,tada slučaja varijabla S µ σ kovergira k N(0, ). X = X µ = Var(X) S µ S µ = σ σ2 kovergira ( ) k N(0, ). Radi materijal 6
2. TEORIJA PROCJENA PRIMJER 2.2 Izračuati P(69 < X < 75), ako je X uzoračka aritmetička sredia uzorka veličie =36 iz ormale razdiobe X N(70, 44). Rješeje: Ako je X N(70, 44) i = 36, oda je X N(70, 4), X = X µ σ = X 70 2 N(0, ). P(69 < X < 75) = F ( 75 µ ) F ( 59 µ ) σ σ = F 75 70 ( ) F 69 70 ( ) = F (2.5) F ( 0.5) = 0.68. 2 2 Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.3 motiv Koliki uzorak iz ormale razdiobe s varijacom 8 treba biti da bi s vjerojatošću 0.9544 apsoluta razlika uzoračke aritmetičke sredie i očekivaja bila maja od 5.5? Rješeje: Neka je X N(µ, 8) i P( X µ < 5.5) 0.9544. Trebamo odrediti veličiu uzorka. Zamo da je X N(µ, 8 ), a X = X µ σ = X µ 9 N(0, ). P( X µ < 5.5) = P( X µ σ < 5.5 σ ) = P( X 5.5 σ ) = 2F ( 5.5 σ ). Iz zadae vjerojatosti dobivamo: 2F ( 5.5 σ ) 0.9544, F ( 5.5 σ ) 0.9772 5.5 σ 2. Defiicija 2.7 (UZORAČKA VARIJANCA) Statistika Σ 2 = (X i X) 2 zove se uzoračka varijaca. Σ 2 = X 2 i X 2 Vrijedost uzoračke varijace račua se formulom σ 2 = (x i x) 2 = x 2 i x 2. 7 Radi materijal
2.. TOČKASTE PROCJENE σ 2 = r (x k x)2 f k = r (x k )2 f k x 2. TEOREM 2.2 (Svojstva uzoračke varijace) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ i varijacom σ 2, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). procjeitelj za σ 2 : E( Σ 2 ) = σ2. Dokaz:tko želi zati više Prisjetimo se da je Var(X)=E(X 2 ) E(X) 2 i Var(X) = σ2. E( Σ 2 ) = E( = X 2 i X 2 ) = Uzoračka varijaca Σ 2 ije pouzda E(X 2 i ) E(X2 ) [Var(X i ) + E(X i ) 2 ] [Var(X) + E(X) 2 ] = [Var(X i ) + E(X i ) 2 ] [Var(X) + E(X) 2 ] = [σ 2 + µ 2 ] [ σ2 + µ 2 ] = σ2. Defiicija 2.8 (KORIGIRANA UZORAČKA VARIJANCA) Statistika Ŝ2 = (X i X) 2 zove se korigiraa uzoračka varijaca. Ŝ 2 = Σ 2 = ( X 2 i X 2 ). Vrijedost korigirae uzoračke varijace račua se formulom ŝ 2 = ŝ 2 = (x i x) 2 = ( x 2 i x 2 ). r (x k x)2 f k = r ( (x k )2 f k x 2 ). TEOREM 2.3 (Svojstva korigirae uzoračke varijace) Neka je X slučaja varijabla s teorijskim očekivajem µ i varijacom σ 2, koju ispitujemo pomoću slučajog uzorka (X, X 2,..., X ). Korigiraa uzoračka varijaca Ŝ2 je pouzda procjeitelj za σ 2 : E(Ŝ2 ) = σ 2. Radi materijal 8
2. TEORIJA PROCJENA Dokaz: Prisjetimo se da je E( Σ 2 ) = σ2. E(Ŝ2 ) = E( Σ 2 ) = E( Σ 2 ) = σ2 = σ 2. TEOREM 2.4 (O VEZI Ŝ2, Σ 2 I DISTRIBUCIJA χ 2 ( ), t( )) Neka su X, Ŝ2, Σ 2 statistike slučajog uzorka (X, X 2,..., X ) iz ormale razdiobe X N(µ, σ 2 ). Tada vrijedi: (i) Statistika σ 2 Ŝ2 = σ 2 Σ 2 χ 2 ( ), (ii) Statistika X µ Ŝ Dokaz: tko želi zati više = X µ Σ t( ). (i) Dokaz je slože i koristi svojstvo χ 2 () distribucije: Y χ 2 () ako je Y = Y 2 + Y2 2 +... + Y2, Y i N(0, ). (ii) Koristimo svojstvo Studetove distribucije s stupjeva slobode t() : Z t() ako je Z = Y U, za Y N(0, ), U χ2 (). Račuamo za X N(µ, σ 2 ), X N(µ, σ2 ), X = X µ σ N(0, ) : X µ Ŝ = X µ σ = X µ σ σ. σ 2 Ŝ2 Ŝ2 = X µ σ σ 2 Ŝ2 Prema tvrdji (i) zaključujemo X µ t( ). Koristeći Ŝ2 = Ŝ Σ 2 možemo dobiti i tvrdju X µ t( ). Σ PRIMJER 2.4 Izračuati uzoračku aritmetičku srediu, uzoračku varijacu i korigirau uzoračku varijacu u primjeru težia studeata. x ksr f k 6 5 64 8 67 42 70 27 73 8 =00 9 Radi materijal
2.. TOČKASTE PROCJENE Rješeje: x = x = r x k f k. r = 349 20 x ksr f k = (6 5 + 64 8 + 67 42 + 70 27 + 73 8) 00 = 67, 45 ŝ 2 = ( r (x k )2 f k x 2 ) ŝ 2 = r ( (x ksr )2 f k x 2 ) = 379 44 = 8, 636 σ 2 = r (x k )2 f k x 2. σ 2 = r (x ksr )2 f k x 2 = 34 400 = 8, 5275 Radi materijal 0
2. TEORIJA PROCJENA 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA MOTIV 2.2 Deformacije x [mm] i Briellova tvrdoća y [ kg mm 2 ] za eki tip čelika dai su tablicom x 06 09 3 22 26 28 33 35 y 68 67 65 53 44 40 37 28 34 32 Odredite pravce regresije, uzorački koeficijet regresije i uzorački koeficijet korelacoje. Jesu li deformacija i Briellova tvrdoća jako korelirae? Defiicija 2.9 (UZORAČKA KOVARIJANCA. UZORAČKI KOEFICIJENT KORELACIJE) Neka je za zadai slučaji 2-dim vektor (X, Y) dobive slučaji uzorak (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ). Statistika µ XY = (X i X)(Y i Y) zove se uzoračka kovarijaca. Vrijedost korigirae uzoračke kovarijace račua se formulom µ xy = (x i x)(y i y) Neka su σ i σ 2 uzoračke stadarde devijacije od X i Y. Uzorački koeficijet korelacije kompoeti X i Y slučajog vektora je defiira s ρ xy = µ xy σ σ 2. ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2. NAPOMENA 2.2 (regresijska aaliza) Regresijska aaliza (egl. regressio aalysis) je statistička metoda za odedivaje veze medu slučajim varijablama. Promatramo u slučajom vektoru (X, Y) jedu slučaju varijablu (pr. X) kao ezavisu-kotrolirau (jee vrijedosti zadajemo). Druga varijabla Y je slučaja varijabla i zaima as kako oa ovisi o X. Prema Napomei?? u poglavlju Dvodimezioali slučaji vektor račuamo uzoračke pravce regresije. Ako je X ezavisa varijabla i Y = ax + b, parametre a i b možemo odrediti metodom ajmajih kvadrata tako da E((Y (ax + b)) 2 ) ima miimalu vrijedost. Radi materijal
2.2. REGRESIJSKA ANALIZA a = ρ xy σ 2 = µ XY σ σ 2 je uzorački koeficijet regresije Y po X. b = y ρ xy σ 2 x = y µ xy σ σ 2 x y y = µ xy σ 2 (x x), y y = ρ XY σ2 σ (x x) je pravac regresije Y po X. Aalogo, ako je X=aY+b a = ρ xy σ = µ XY σ 2 σ 2 je uzorački koeficijet regresije X po Y 2 x x = µ xy σ 2 (Y y) 2 x x = ρ xy σ σ 2 (y y) je pravac regresije X po Y. PRIMJER 2.5 U tablici su zapisai uzorci visia x i y od 2 mama i jihovih kćeri. x 65 60 70 63 73 58 78 68 73 70 75 80 y 73 68 73 65 75 68 73 65 80 70 73 78 Oderedite uzorački pravac regresije Y u odosu a X i uzorački pravac regresije X u odosu a Y. Odredite uzorački koeficijet korelacije i uzorački koeficijet regresije Y po X. Jesu li visie mama i kćeri jako korelirae? Rješeje: Trebamo odrediti a i b u jedadžbi y = ax + b : a = µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 b = y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 Račuamo: x = 2033, y = 206, x 2 = 344.95, x y = 349.42, y 2 = 354.22. Uzorački koeficijet regresije Y po X je a = 0.48, b = 90.9 pa je pravac regresije Y Radi materijal 2
2. TEORIJA PROCJENA po X y = 0.48x + 90.9. Trebamo odrediti a i b u jedadžbi x = a y + b : a = µ xy σ 2 2 = x y ( x) ( y) y 2 ( y) 2 b = x µ xy σ 2 y = ( x) ( y 2 ) ( y) ( x y) y 2 ( y) 2 Uzorački koeficijet regresije X po Y je a =.02, b = 5.2 pa je pravac regresije X po Y x =.02x 5.2. Uzorački koeficijet korelacije je ρ xy = µ xy σ σ 2. ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 = 0.69. Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.6 motiv Deformacije x [mm] i Briellova tvrdoća y [ kg mm 2 ] za eki tip čelika dai su tablicom x 06 09 3 22 26 28 33 35 y 68 67 65 53 44 40 37 28 34 32 Odredite pravce regresije, uzorački koeficijet korelacije i uzorački koeficijet regresije. Jesu li deformacije i Brieellova tvrdoća jako korelirae? Rješeje: Trebamo odrediti a i b u jedadžbi y = ax + b : a = µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 b = y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 Račuamo: x = 83, y = 440, x 2 = 4665, x y = 770, y 2 = 23232. Uzorački koeficijet regresije Y po X je a =.32, b = 75.72 pa je pravac regresije 3 Radi materijal
2.2. REGRESIJSKA ANALIZA Y po X y =.32x + 75.72. Trebamo odrediti a i b u jedadžbi x = a y + b : a = µ xy σ 2 2 = x y ( x) ( y) y 2 ( y) 2 b = x µ xy σ 2 y = ( x) ( y 2 ) ( y) ( x y) y 2 ( y) 2 Uzorački koeficijet regresije X po Y je a = 0.72, b = 55.72 pa je pravac regresije X po Y x = 0.72x + 55.72. Uzorački koeficijet korelacije je ρ xy = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 = 0.97 Budući je ρ xy slučaje varijable su liearoj vezi, jako korelirae. Radi materijal 4
2. TEORIJA PROCJENA 2.3 METODA NAJVEĆE VJEROJATNOSTI (ML) tko želi zati više U ovom poglavlju istakuli smo primjere s ozakom važo u kojima su dai procjeitelji za parametre osovih distribucija u smislu ajveće vjerojatosti. MOTIV 2.3 U četiri mjereja Rockwellove tvrdoće jede ploče radici du dobili sljedeće vrijedosti: 64.9, 64., 63.8, 64.0. (a) Izračuajte vrijedost procjeitelja (u smislu ajveće vjerojatosti) za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. (b) Izračuajte vrijedost epristraih procjeitelja za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. Defiicija 2.0 (FUNKCIJA VJERODOSTOJNOSTI) Neka je X slučaja varijabla (statističko obilježje) sa teorijskom fukcijom distribucije F(x,t) s epozatim parametrom t i sa fukcijom vjerojatosti za diskretu razdiobu i fukcijom gustoće vjerojatosti za kotiuirau f(x,t). Neka je (x, x 2,..., x ) vrijedost slučajog uzorka (X, X 2,..., X ) za promatrau varijablu. Za diskretu razdiobu fukcija vjerodostojosti L(t) defiira se kao fukcija vjerojatosti slučajog uzorka (slučajog vektora): L(t) = P(X = x, t) P(X = x 2, t)... P(X = x, t). Za kotiuirau razdiobu fukcija vjerodostojosti L(t) defiira se kao fukcija gustoće vjerojatosti slučajog uzorka (slučajog vektora): L(t) = f (x, t) f (x 2, t)... f (x, t). Metoda ajveće vjerojatosti (ML = maximum likelihood method), za odredivaje procjeitelja T = h(x, X 2,..., X ) za epozati parametar t sastoji se u izboru oe fukcije h takve da fukcija vjerodostojosti L(t) (ili ll(t)) dostiže ajveću vrijedost za t = h(x, x 2,..., x ). PRIMJER 2.7 važo d dt L(t) = 0 t = h(x, x 2,..., x ) T = h(x, X 2,..., X ). Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj za parametar λ u populaciji s Poisoovom razdiobom Po(λ) jedak T = X. 5 Radi materijal
2.3. ML-PROCJENITELJI tko želi zati više Rješeje: Neka je X Po(λ). Teorijska fukcija vjerojatosti je f (x, λ)=p(x = x, λ) = λx x! eλ. Trebamo aći ML-procjeitelj za λ. Fukcija vjerodostojosti je L(λ) = P(X = x, λ) P(X = x 2, λ)... P(X = x, λ) = λx x! eλ λx2 x 2! eλ... λx x! eλ = λ x i x!x 2!...x! e λ. Tražimo maksimum fukcije vjerodostojosti l L(λ): l L(λ) = λ + x i l λ l(x i!), λ = h(x, x 2,..., x ) = d dλ l L(λ) = + x i. λ d dλ l L(λ) = 0 λ = x i = x. x i T = h(x, X 2,..., X ) = X i. ML-procjeitelj za λ u Poisoovoj razdiobi je T = X. Možemo pokazati da je T epristrai procjeitelj E( T) = λ. Prisjetimo se da je E(X)=λ i da je X epristrai procjeitelj za očekivaje. E( T) = E(X) = E(X) = λ. PRIMJER 2.8 važo Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj (a) za parametar µ jedak T = X u populaciji s Normalom razdiobom N(µ, σ 2 ) ako je σ 2 pozato (b) za parametar σ 2 u populaciji s Normalom razdiobom N(µ, σ 2 ) ako je µ pozato jedak T = Σ 2. Rješeje: Neka je X N(µ, σ 2 ). Teorijska fukcija gustoće vjerojatosti je f (x, µ, σ 2 ) = (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2. Trebamo aći ML-procjeitelje za µ i σ 2. Fukcija vjerodostojosti je: L(µ, σ 2 ) = f (x, t) f (x 2, t)... f (x, t) = ( σ 2π ) e Radi materijal 6 2σ 2 (xi µ) 2.
2. TEORIJA PROCJENA l L(µ, σ 2 ) = 2σ 2 (x i µ) 2 l σ l 2π. (a) d dµ l L(µ, σ2 ) = (x σ 2 i µ) = 0, d dµ l L(µ, σ2 ) = 0 µ = x i = x, ML-procjeitelj za očekivaje u ormaloj razdiobi je T = X. To je epristrai procjeitelj za µ jer je E( T)=µ. (b) d dσ l L(µ, σ2 ) = (x σ 3 i µ) 2 σ = 0, d dσ l L(µ, σ2 ) = 0 σ 2 = (x i µ) 2 = σ, uzoračka varijaca. ML-procjeitelj za varijacu u ormaloj razdiobi je T = Σ 2. To ije epristrai procjeitelj za σ 2 jer je E( T)= σ2. Prisjetimo se motivacijskog primjera: PRIMJER 2.9 motiv U četiri mjereja Rockwellove tvrdoće jede ploče radici du dobili sljedeće vrijedosti: 64.9, 64., 63.8, 64.0. (a) Izračuajte vrijedost procjeitelja (u smislu ajveće vjerojatosti- ML-procjeitelj ) za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. (b) Izračuajte vrijedost epristraih procjeitelja za očekivaje i varijacu tvrdoće ako pretpostavimo ormalu distribuciju. Rješeje: (a) ML-procjeitelj za očekivaje µ je uzoračka aritmetička sredia X. x = x i = 64.2 ML-procjeitelj za varijacu σ 2 je uzoračka varijaca Σ 2. σ 2 = (x i x) 2 = 0.75 (b)nepristrai procjeitelj za očekivaje µ je uzoračka aritmetička sredia X. x = x i = 64.2 Nepristrai procjeitelj za varijacu σ 2 je korigiraa uzoračka varijaca Ŝ2. ŝ 2 = (x i x) 2 = 0.233. 7 Radi materijal
2.3. ML-PROCJENITELJI tko želi zati više PRIMJER 2.0 važo Metodom ajveće vjerojatosti pokažite da je procjeitelj za parametar p u populaciji s Biomom razdiobom B(m, p) uz pretpostavku da je m pozato jedak T = X m Rješeje: Neka je X B(m, p). Teorijska fukcija vjerojatosti je f (x, m, p)=p(x = x, m, p) = ( ) m x ( p) m x p x. Trebamo aći ML-procjeitelj za p. Fukcija vjerodostojosti je L(p) = P(X = x, m, p) P(X = x 2, m, p)... P(X = x, m, p) = ( ) m ( p) m x i p x i xi Tražimo maksimum fukcije vjerodostojosti l L(p): ( ) m l L(p) = [l + (m x i ) l( p) + x i l p], xi p = h(x, x 2,..., x ) = m d l L(p) = (m x i ) + x i dp p p d dλ l L(λ) = 0 p = m x i = m x T = h(x, X 2,..., X ) = m X i = m X. x i = m x. ML-procjeitelj za p u Biomoj razdiobi B(m, p) s pozatim m je T = m X. Možemo pokazati da je T epristrai procjeitelj E( T) = p. Prisjetimo se da je E(X)=mp i da je X epristrai procjeitelj za očekivaje. E( T) = E( m X) = m E(X) = m E(X) = mp = p. m Radi materijal 8
2. TEORIJA PROCJENA 2.4 Poovimo PROCJENITELJI PARAMETARA ZADANE DISTRIBUCIJE s očekivajem µ i varijacom σ 2 slučaji uzorak statistika (X, X 2,..., X ) : Ω R T = h(x, X 2,..., X ), T : Ω R procjeitelj T = h(x, X 2,..., X ) epristrai procjeitelj za parametar t E( T) = t uzoračka aritm. sredia X = (X + X 2 +... + X ) uzoračka varijaca uzoračka stad. devijacija E(X) = µ, Var(X) = σ2 X µ N(0, ) σ Σ 2 = i(x i X) 2 σ 2 = i(x i x) 2 korigiraa uzoračka varijaca E( Σ 2 ) = σ2 Ŝ 2 = i(x i X) 2 ŝ 2 = i(x i x) 2 korigiraa uz. stad. devijacija ŝ σ E(Ŝ2 ) = σ 2 PROCJENITELJI PARAMETARA ZADANE DISTRIBUCIJE (ML) distribucija ; parametar Po(λ); λ N(µ, σ 2 ); µ procjeitelj T = X T = X N(µ, σ 2 ); σ 2 T = Σ 2 (B(m, p); p T = m X STATISTIKE PARAMETARA NORMALNE DISTRIBUCIJE N(µ, σ 2 ) slučaji uzorak za X statistika T = h(x, X 2,..., X ) (X, X 2,..., X ) : Ω R distribucija σ X N(µ, ) X µ σ N(0, ) X µ t( ) Ŝ σ 2 Ŝ2 χ 2 ( ) 9 Radi materijal
2.4. Poovimo REGRESIJSKA ANALIZA slučaji uzorak za (X, Y) (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x, y ) uzoračka kovarijaca µ xy = i(x i x)(y i y) uzorački koef. korelacije ρ xy = µ xy σ σ 2 x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y 2 ( y) 2 Y = ax + b a- uzorački koef. regresije a b pravac regresije Y po X pravac regresije X po Y µ xy σ 2 = x y ( x) ( y) x 2 ( x) 2 y µ xy σ 2 x = ( y) ( x 2 ) ( x) ( x y) x 2 ( x) 2 y y = µ xy σ 2 (x x) x x = µ xy σ 2 (y y) 2 Radi materijal 20