Centralni granični teorem. Završni rad

Transcript

1 Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Sveučiliši preddiplomsi studij matematie Daria Solić Cetrali graiči teorem Završi rad Osije, 2017.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeu Odjel za matematiu Preddiplomsi studij matematie Daria Solić Cetrali graiči teorem Završi rad Metor: doc. dr. sc. Sloboda Jelić Osije, 2017.

3 Sažeta. U ovom radu se aaliziraju osovi pojmovi iz teorije vjerojatosti, ao što su vjerojatosi prostor, slučaja varijabla i Beroullijeva distribucija, a oji su potrebi za isazivaje i doazivaje cetralog graičog teorema. Isazat će se lasiči cetrali graiči teoremi oji su se pojavljivali roz povijest i ojima su zastveici postupo dolazili do općeg cetralog graičog teorema. Nadalje, aalizirati će se i uiforma overgecija u cetralom graičom teoremu, araterističa fucija, ifiitezimali sistem te još ei pojmovi. Koačo, isazat će se i doazati opći cetrali graiči teorem. Ključe riječi: vjerojatosi prostor, slučaja varijabla, Beroullijeva shema, overgecija po distribuciji, araterističa fucija, ifiitezimali sistem, de Moivre Laplaceov teorem, cetrali graiči teorem Abstract. This paper will reiterate the basic cocepts of the probability theory such as probability space, radom variable ad Beroulli s distributio that are eeded to demostrate ad prove cetral limit theorem. It will aalyze classical cetral limit theorems which scietists used throughout history that helped them to discover geeral theory of cetral limit theorem. It will also aalyze characteristic fuctio, ifiitesimal system, uiform covergece i cetral limit theorem ad other cocepts. Fially, it will show ad prove geeral cetral limit theorem. Key words: probability space, radom variable, Beroulli s scheme, covergece by distributio, characteristic fuctio, ifiitesimal system, de Moivre Laplace s theorem, cetral limit theorem. 2

4 Sadržaj 1 Uvod 1 2 Osovi pojmovi iz teorije vjerojatosti 2 3 Cetrali graiči teorem Klasiči cetrali graiči teoremi Itegrali obli cetralog graičog teorema Uiforma overgecija u cetralom graičom teoremu Opći cetrali graiči teorem Literatura 20 3

5 1 Uvod Nei od ajvažijih dijelova modere teorije vjerojatosti su cetrali graiči teoremi. Ovaj termi uveo je ma darsi matematičar George Polya ao bi aglasio da je graičo poašaje iza S, N, gdje je X, N iz ezavisih slučajih varijabli, a S = =1 X N, u smislu overgecije po distribuciji bilo u cetru istraživaja u teoriji vjerojatosti od 18.stoljeća. Četrdesetih godia prošlog stoljeća objavljeo je potpuo rješeje proširee verzije cetralog graičog problema, a za čije rješavaje će se oristiti metoda araterističih fucija, pripadim svojstvima araterističih fucija, teoremom iverzije i teoremom epreidosti. Prvi rezultat cetralog graičog teorema početom 18. stoljeća relativo jedostavim matematičim metodama doazali su Abraham de Moivre i Pierre-Simo Laplace za Beroullijevu shemu. Zbog boljeg razumijevaja cetralih graičih teorema, u poglavlju 2, defiiramo osove pojmove iz teorije vjerojatosti s aglasom a Beroullijevu shemu. U poglavlju 3 isazali smo Levyjev teorem oji je priroda geeralizacija de Moivre-Laplaceovog teorema te još ee teoreme oji su astali astojajem da se taj teorem geeralizira. Rad se bavi itegralim de Moivre Laplacovim teoremom oji je poseba slučaj cetralog graičog teorema te aalizira uiformu overgeciju cetralog graičog teorema. Koačo, defiirati će se opći cetrali graiči teorem za čije rješeje je potreba složea teorija besoačo djeljivih distribucija. 1

6 2 Osovi pojmovi iz teorije vjerojatosti Kao bismo mogli bolje razumjeti cetrali graiči teorem, defiirajmo prvo osove pojmove iz teorije vjerojatosti o ojima se može više sazati u [1]. Defiicija 2.1 Ure deu troju Ω, F, P eprazog supa elemetarih doga daja, σ algebre F a Ω i fucije P : F R oja je vjerojatost zovemo vjerojatosi prostor. Za vjerojatosi prostor ažemo da je disreta ao je σ algebra F a Ω jedaa partitivom supu od Ω, pišemo Ω, PΩ, P. Za primjee vrlo važa slučaj iza poovljeih ezavisih pousa je tzv. Beroullijeva shema. Defiicija 2.2 Beroullijeva shema je disreta vjerojatosi prostor Ω, PΩ, P gdje je Ω = Ω 1, P = P 1. Pri tome je Ω 1 = {0, 1} dvočlai sup i P 1 = PΩ 1 [0, 1] vjerojatost a Ω 1 tava da je P 1 {1} = p, P 1 {0} = q = 1 p, za 0 p 1. Dale, Beroullijeva shema metematiči je model za ezavisih pousa, oje azivamo Beroullijevi pousi, od ojih svai ima samo dva moguća ishoda "uspjeh" 1 i "euspjeh" 0 pri čemu je vjerojatost uspjeha u svaom pousu ista. Defiicija 2.3 Nea je Ω, F, P vjerojatosi prostor i BR σ algebra a R odre dea svim otvoreim podsupovima a R oju zovemo Borelova σ algebra. Svaa fucija X : Ω R za oju je sup {ω Ω : Xω B} F, za svai B BR zove se slučaja varijabla. Slučaja varijabla može biti epreida ili disreta, oviso o tome je li joj slia epreida ili disreta sup. Defiicija 2.4 Nea je da vjerojatosi prostor Ω, F, P i fucija X : Ω R za oju vrijedi {ω Ω : Xω x} F, za svai x R i PX x = P{ω Ω : Xω x} = x f tdt, gdje je f : R R fucija gustoće slučaje varijable X. Tada ažemo da je X : Ω R apsoluto epreida slučaja varijabla. Defiicija 2.5 Slučaja varijabla X : Ω R a vjerojatosom prostoru Ω, F, P je disreta ao postoji disreta sup D R taav da je PX D = 1. Teorem 2.1 Na disretom vjerojatosom prostoru Ω, PΩ, P je svaa fucija X : Ω R slučaja varijabla i to disretog tipa. Teorem je isaza i doaza u [1]. Defiicija 2.6 Nea je X, N iz slučajih varijabli s pripadim izom fucija distribucije F, N. Ao postoji fucija distribucije F tao da F x overgira u Fx, za svai x R u ojem je fucija distribucije F epreida, oda ažemo da iz slučajih varijabli X, N overgira po distribuciji prema slučaoj varijabli X ojoj je F fucija distribucije. Ozaa X D X. Kovergecija po distribuciji zači da, za dovoljo veli, PX x možemo aprosimirati Fx. Sada ćemo avesti ee od glavih primjera parametarsi zadaih disretih slučajih varijabli. 2

7 Slučaja varijabla X je Beroullijeva ao može poprimiti točo dvije vrijedosti, odoso ao joj je slia ei dvočla sup. Distribucija Beroullijeve slučaje varijable izgleda ovao: X = p p Očeivaje Beroullijeve slučaje varijable je EX = p, a varijaca VarX = p1 p. Navedimo jeda primjer Beroullijeve slučaje varijable. Primjer 2.1 Slučaja pous sastoji se od bacaja simetričog ovčića. Nea je X Beroullijeva slučaja varijabla ojom modeliramo ishod bacaja pismo ili glava. Primjerice, smatramo da je uspjeh ao je palo pismo, a euspjeh ao je pala glava. Distribucija slučaje varijable je X = 0 1 1/2 1/2., 1 palo je pismo, 0 pala je glava. Slučaja varijabla X čija je realizacija broj uspjeha u ezavisih poavljaja Beroullijevog pousa aziva se bioma slučaja varijabla. Slia biome slučaje varijable je sup {0, 1,..., }, a pripade vjerojatosti su p i = PX = i = i pi 1 p i, N, p 0, 1. Ozaa X B, p. Očeivaje biome slučaje varijable je EX = p, a varijaca VarX = p1 p. Primjer 2.2 Stroj proizvodi CD-ove. Vjerojatost da bude proizvede eisprava CD je p. Zaima as broj eispravih CD-ova ao s besoače trae uzimamo jih 100. Slučaja varijabla ojom modeliramo broj eispravih CD-ova me du 100 odabraih jest bioma slučaja varijabla X s parametrima = 100 i p, a zadaa je sljedećom tablicom distribucije: X =, p 1 p 2... p 100 gdje je p i = PX = x i = 100 p i 1 p 100 i, i {0, 1,..., 100}. i Osim disretih slučajih varijabli, važe su i parametarsi zadae epreide slučaje varijable. Jeda od tavih je ormala slučaja varijabla. Slučaja varijabla X ima ormalu distribciju s parametrima µ = EX i σ 2 = VarX ao joj je fucija gustoće daa s f x = 1 x µ 2 σ 2π e 2σ 2, x, µ R, σ 2 0, +. Ozaa: X N µ, σ 2. Najčešće se oristi jediiča stadarda ormala slučaja varijabla za oju je araterističo da joj je očeivaje µ = 0 i varijaca σ 2 = 1. Beroullijeva shema bita je jer su prvi tip cetralog graičog teorema doazali de Moivre i Laplace upravo za ju, što ćemo razmatrati u sljedećem poglavlju. 3

8 3 Cetrali graiči teorem Nea je X, N iz ezavisih slučajih varijabli i ea je S = =1 X, N. U ovome poglavlju proučavat ćemo graičo poašaje iza S, N u smislu overgecije po distribuciji. 3.1 Klasiči cetrali graiči teoremi Prvi rezultat tipa cetralog graičog teorema doazali su de Moivre i Laplace za Beroullijevu shemu. Teorem 3.1 de Moivre-Laplace Nea je S B, p, N, 0 < p < 1. Tada vrijedi S p p1 p D N 0, 1 za. 1 Doaz. Slijedi iz teorema 3.2 oji je jegova priroda geeralizacija. Općeito, cetrali graiči teoremi govore o uvjetima pod ojima iz fucija distribucije stadardiziraih suma slučajih varijabli overgira prema fuciji distribucije stadarde ormale slučaje varijable, pa avedimo ee od jih. Teorem 3.2 Levy Nea je X, N iz ezavisih, jedao distribuiraih slučajih varijabli s očeivajem µ i varijacom σ 2, σ 2 0, +, µ R i ea je S = =1 X, N. Tada vrijedi S ES σ D N 0, 1 za +. 2 Napomea 3.1 Izimo, ao je X, N iz jedao distribuiraih Beroullijevih slučajih varijabli 0 1 X 1 =, p 0, 1, 1-p p tada je S B, p, ES = p, VarS = p1 p, pa možemo zaljučiti da S ES VarS = S p p1 p D N 0, 1. Dale, za velie vjerojatosti po biomoj distribuciji mogu se približo račuati oristeći ormalu distribuciju. Primjer 3.1 Nea je X B500, 0.4. Tada zamo da je 500 PX 175 = i 175 i=0 0.4 i i. Budući da je izračuavaje te sume omplicirao, a veli, za izraču vjerojatosti PX 175 možemo oristiti aprosimaciju biome distribucije ormalom distribucijom. Uočimo da je p = 200 i p1 p = 10.95, pa slijedi da je PX 175 = P X = P 4 X PZ 2.28,

9 gdje je Z stadarda ormala slučaja varijabla. Prethodu vjerojatost možemo izračuati orištejem priladog matematičog softvera: PX Aalogim postupom možemo aprosimirati i moge druge vjerojatosti - tao je, pr. P175 < X Poažimo sada primjeu teorema 3.2 a aritmetiču srediu. Nea je X, N iz ezavisih jedao distribuiraih slučajih varijabli s očeivajem µ i varijacom σ 2 i S obzirom da je očito je Dale, prema teoremu 3.2 slijedi da pa ažemo da se X µ σ X = 1 X i. i=1 X = 1 S, EX = µ, VarX = σ2, S ES = X µ. VarS σ X µ σ D N 0, 1, D N 0, 1 asimptotsi poaša ao slučaja varijabla s distribucijom N 0, 1, odoso da X asimptotsi ima N µ, σ2 distribuciju. U teoremu 3.2, vrlo jaa pretpostava je da su slučaje varijable jedao distribuirae. Kao bi geeralizirali taj teorem, u sljedećem teoremu je da prvi opći dovolja uvjet za overgeciju po distribuciji prema ormaloj razdiobi. Teorem 3.3 Ljapuov Nea je X, N iz ezavisih slučajih varijabli i ea je S = =1 X, a s 2 = VarS = =1 VarX, N. Pretpostavimo da je s 1 > 0 i da postoji δ > 0 taav da je E X 2+δ < za sve i da vrijedi lim 1 s 2+δ Tada S ES s D N 0, 1 za. E[ X EX 2+δ ] = 0. 3 =1 U ovome teoremu ja zahtjev je da se traži oačost mometa reda većeg od 2. Teorem ećemo doazivati, jer ćemo poazati da je o posljedica sljedećeg općeitijeg teorema. No prije toga defiirajmo mjeru i itegraciju po mjeri o čemu se može više sazati u [5]. 5

10 Defiicija 3.1 Nea je A σ-algebra 1 a supu X. Mjera a A svao je presliavaje µ : A R s ovim svojstvima: i eegativost µa 0 za svai A A, ii µ = 0, iii σ-aditivost ili prebrojiva uija Za svai iz A i i N iz disjutih supova iz A vrijedi µ i=1 i = µa i. i=1 4 Za µa aže se da je mjera supa A. Troja X, A, µ zove se prostor mjere. Kažemo da je mjera µ oača ao je µx <. Mjera µ je σ-oača ao se sup X može priazati ao prebrojiva uija eih supova oače µ-mjere, tj. ao postoji iz A i i N supova iz A tavih da je X = i=1 A i i µa i < za svai i N. Sup A A je σ-oača s obzirom a mjeru µ ao se može priazati ao prebrojiva uija eih supova oače µ-mjere. Za bolje razumjevaje defiicije avedimo eolio primjera. Primjer 3.2 a Ao za svai A A stavimo µa = 0, dobivamo tzv. trivijalu mjeru. b Fucija µ : A [0, ] defiiraa formulom { 0, ao je A = µa :=, ao je A = je mjera. c Fucija µ : A [0, ] defiiraa formulom { 0, ao je A = µa := 1, ao je A = ije mjera. Zaista, ao su A 1,A 2 disjuti eprazi supovi iz A, oda je µa 1 A 2 = 1, µa 1 + µa 2 = 2, što am govori da ije σ-aditiva fucija. 1 Familiju A podsupova supa X azivamo σ-algebrom supova a supu X, ao oa ima sljedeća svojstva: σ 1 X A, σ 2 A A A c A, σ 3 uija prebrojivo mogo elemeata iz A je elemet iz A. Za ure dei par X, A ažemo da je izmjeriv prostor, a elemete iz A azivamo izmjerivim supovima. Nea su X, A i Y, B izmjerivi prostori, A X sup i f : A Y fucija. Fucija f je izmjeriva u paru σ-algebri A i B, ili raće A - B izmjeriva, ao je f 1 B A za svai B B. Pritom f 1 B ozačava origial supa B, tj. f 1 B = {x A : f x B} A. 6

11 Defiicija 3.2 Itegral izmjerive fucije Nea je X, Σ, µ prostor mjere, a f : X [, ] Σ-izmjeriva fucija. 1. Ao je barem jeda od brojeva f + dµ i f dµ oača, oda se defiira broj f dµ := f + dµ f dµ i zovemo ga itegral fucije f s obzirom a mjeru µ ili raće itegral fucije f. fuciju f ažemo da je itegrabila ao je f dµ oača. Za 2. Nea je E Σ izmjeriv sup. Ao je defiira itegral χ E f dµ, oda broj f dµ := χ E f dµ E zovemo itegral fucije f a supu E s obzirom a mjeru µ ili raće itegral fucije f a supu E. Za fuciju f ažemo da je itegrabila a supu E ao je E f dµ <. Za raj defiirajmo itegraciju a izmjerivom supu. Defiicija 3.3 Nea je X, Σ, µ prostor mjere, f : X [, ] izmjeriva fucija i A Σ. Ao je defiira itegral f χ A dµ, oda broj f dµ := f χ A dµ A zovemo itegral fucije f a supu A s obzirom a mjeru µ. Fucija f je itegrabila a supu A Σ ao je A f dµ oača broj. Teorem 3.4 Lideberg Nea je X, N iz ezavisih slučajih varijabli s oačim varijacama i ea je S = =1 s 1 > 0. Ao za svai ε > 0 vrijedi lim 1 s 2 Tada S ES s D N 0, 1 za. X, m = EX, s 2 = VarS, N. Pretpostavimo da je x m 2 df x x = 0, 5 =1 {x; x m εs } Doaz. Bez smajeja općeitosti možemo pretpostaviti da je m = 0 za sve. Zaista, ao je teorem doaza za taj slučaj, stavimo Tada imamo S ES S {x; x m εs } X = X m dale je EX = 0 = S ES S S = X =1 i vrijedi x m 2 df X x = E[X m 2 K { X m εs }] = = E[X 2 K { X εs } ] = 7 {x; x εs } x 2 df X x.

12 Sada poažimo da Ljapuovljev uvjet 3 povlači Lidebergov uvjet 5. Napomea 3.2 Nea iz X, N zadovoljava uvjete teorema 3.3. Vrijedi Prema tome, imamo 1 s 2 =1 {x; x m εs } E[ X EX 2+δ ] = {x; x m εs } ε δ s δ x m 2+δ df x x x m δ x m 2 df x x {x; x m εs } x m 2 df x x 1 ε δ s 2+δ x m 2 df x x. E[ X EX 2+δ ] 0 za. =1 Poažimo da Lidebergov uvjet ije uža za overgeciju prema N 0, 1. Najprije doažimo da, ao je ispuje Lidebergov uvjet, tada za svai ε > 0 vrijedi { } lim max P X m ε = 0, 1 u tome slučaju ažemo da su slučaje varijable X m s s uiformo asimptotsi zaemarive ili da čie ifiitezimali sistem vidi defiiciju. Zaista, vrijedi 1 x m 2 df x x s 2 =1 {x; x m εs } ε 2 P{ X m εs } =1 ε 2 max P{ X m εs }. 1 Dale, ao a demo primjer iza oji ije uiformo asimptotsi zaemariv i S ES N 0, 1, tada imamo overgeciju prema N 0, 1 bez Lidebergovog uvjeta. S druge strae, ao su slučaje varijable uiformo asimptotsi zaemarive, tada je Lidebergov uvjet uža i dovolja za overgeciju prema N 0, 1. Ta tvrdja je isazaa i doazaa u [2]. Kao bismo bolje razumjeli prethodo razmatraje, defiirajmo još ee pojmove. Defiicija 3.4 Familiju slučajih varijabli oblia X 11, X 12,..., X 11 X 21, X 22,..., X X 1, X 2,..., X, gdje je lim = zovemo dvostrui iz slučajih varijabli i ozačavamo sa {{X }}. 8 s D

13 Defiicija 3.5 Kažemo da je dvostrui iz {{X }} ifiitezimala sistem slučajih varijabli ao za svai ε > 0 vrijedi lim max P{ X ε} = 0. 1 Općeito, lasiči cetrali graiči teoremi bave se overgecijom po distribuciji S iza b, N prema mogućoj edegeeriraoj distribuciji, gdje su a, N a i b, N izovi ostati, a X, N iz ezavisih slučajih varijabli i S = =1 X. 3.2 Itegrali obli cetralog graičog teorema U ovom poglavlju govorit ćemo o itegralom Moivre-Laplaceovom teoremu oji je specijala slučaj cetalog graičog teorema. Za početa isažimo i doažimo loali Moivre Laplaceov teorem oji je potreba za doaz itegralog oblia. Teorem 3.5 Loali Moivre-Laplaceov teorem Nea je 0 < p < 1, X B, p i x = p pq, K = 0, 1, 2,..., N. Tada vrijedi 2πpqPX = = 1, 6 lim e x2 2 i to uiformo a svaome ograičeomm segmetu [a, b], a x b, za sve i. Doaz. Nea su a, b R, a < b i stavimo = m. Iz a x b lim = lim p + x pq =, lim m = lim q x 7 pq =. Za svao r N vrijedi Stirligova formula Odavdje izlazi gdje je t = t t t m. Tada je r! = 2πrr r e r e t r, PX = =!!m! p q m = 1 2π m 0 < t r < r p q m e t, 9 m t < m Budući da je = p + x pq p + a pq = p 1 + q a q b pq = q 1 b p q t < 1 12, iz 10 slijedi p 1 + a q p q 1 b p p q i m = q x pq. 11

14 Prema tome, ocjea 11 vrijedi uiformo po x [a, b], a odatle slijedi da za fator e t iz 9 uiformo za x [a, b] overgira prema 1. Tada imamo K = p q m. 12 m l K = l p m l m q = q = p + x pq l 1 + x p q x pq l 1 x p q. Za dovoljo veli, za svao x [a, b] q izrazi x p i x p q Za tave ačiimo razvoj u red potecija q l 1 + x p p l 1 x q = x q p qx2 2p + R 1x, = x p q px2 2q + R 2x. Stavimo Q = max{ a, b }. Tada za svao x [a, b] vrijedi R 1 x R 2 x Q =3 Q =3 Iz 13 slijedi da je uiformo za x [a, b], R 1 x = O Sada imamo l K = p + x pq q + x pq s tim da je lim 1 = 0 uiformo za x [a, b]. Iz 12 i 14 slijedi je uiformo za x [a, b] vrijedi lim p proizvoljo su blizu uli. q 2 p 13 p 2. q 1, R 2 x = O 1 lim O 1 = 0. q x p qx2 2p + R 1X K x p q px2 2q + R 2X K q m m e x = = x2 2 + O1, 14 = 1. 15

15 Dalje imamo m Odavdje dobijemo pg pq = p + x q x = pq + q px pq pqx 2. uiformo za x [a, b]. Sada 6 slijedi iz 9, 15 i 16. lim m pq = 1 16 Formula 6 za primjee ima ovu iterpretaciju: ao je dovoljo veli i X B, p, 0 < p < 1, tada je 1 PX = e p2 2pq. 17 2πpq Primjetimo da iz uvjeta teorema 3.5 slijedi da iz slijedi da i tao da od primjee relacije 17, ao želimo dovoljo dobar rezultat, e treba uzimati "suviše" malo. U izrazu 17 pojavljuje se Gaussova ili ormala fucija oja je u vezu sa jediičom ormalom razdiobom, a defiiria je s ϕx = 1 2π e x2 2, x 0 11

16 Fucija je para, a jezi graf izgleda ovao orm.pg Slia 1: Graf ormale distribucije Dale relacija 17 prelazi uz x = p pq u PX = 1 pq ϕx. 18 Navedimo sad primjer u ojem pri rješavaju oristimo izraz 18. Primjer 3.3 Vjerojatost da pojedii proizvod izabra asumce iz velie serije proizvoda bude šarta jest Kolia je vjerojatost da će me du asumce izabraih proizvoda iz te serije biti točo 100 šartova? Sa X ozačimo slučaja broj šartova u ovom uzoru od proizvoda. Tada je X B10000, 0.01, dale = 10000, p = 0.01, q = 0.99, = 100, p = 100, pq = 99 = Dalje je p pq = 0, pa iz 18 slijedi PX = ϕ0 = Defiirali smo sve što am je potrebo za itegrali de Moivre-Laplaceov teorem pa isažimo ga oda. Teorem 3.6 Itegrali Moivre-Laplaceov teorem Nea je 0 < p < 1 i X B, p N. Tada za proizvolje a, b R, a < b, vrijedi lim P a X p pq b = 1 2π Doaz. Nea je x = p pq, = 0, 1,...,. Tada imamo P a X p b = pq x [a,b] b a e x2 2 dx. 19 PX =. 20 Iz teorema 3.5 slijedi da za proizvolji ε > 0 postoji prirodi broj 0 ε taav da je PX = 1 pq ϕx PX = 12 < ε 3, 0ε,

17 uiformo po za oje je x [a, b]. Odavdje slijedi 1 PX = ϕx pq < ε 3 x [a,b] x [a,b] Zbog x = x +1 x = 1 pq 21 prelazi u P a X p pq b x [a,b] PX = ε x [a,b] ϕx x < ε 3, 0ε. 22 Nea je = mi{; = 0, 1,...,, x [a, b]}, = max{; = 0, 0,...,, x [a, b]} i x = p pq, x = p pq. Tada je ϕx x itegrala suma fucije ϕx = 1 e x2 2 a segmetu [x, x ]. = 2π +1 Budući da dijametar subdivizije ojoj odgovara ova itegrala suma 1 pq teži uli za, to za dao ε > 0 postoji broj 1 ε N taav da je x [a,b] ϕx x x x ϕxdx < ε 3, 1ε. 23 No x a, b x 1 pq i ϕx < 1, x R pa postoji 2 ε N taav da vrijedi x x ϕxdx b a ϕxdx < ε 3, 2ε. 24 Nea je ε = max{ 0 ε, 1 ε, 2 ε}. Tada iz 22, 23 i 24 slijedi P a X p b 1 b e x2 2 pq 2π < ε, ε, dale vrijedi 19. U slučaju da imamo velie vrijedi P a < X p < b F b F a, p1 p a odoso Pa < X < b F b p F a p. p1 p p1 p 13

18 Gdje je F x fucija distribucije stadarde ormale distribucije defiiraa s F = 1 2π x e t2 2 dt, x R. Kao bismo ovo što bolje razumjeli avedee izraze primjeimo a eom jedostavom primjeru. Primjer 3.4 Vjerojatost da ovoro deće bude mušo ili žeso je 1/2. Kolia je vjerojatost da me du 1000 ovoro dečadi bude barem 490 muših? Rješeje: X B, p, = 1000, p = 1/2. Trebamo izračuati PX 490 = 1 PX X p 490. Prema itegralom Moivre-Laplaceovom teoremu N 0, 1,, i vrijedi p1 p aprosimacija Pa < X < b F b p F a p. p1 p p1 p PX 190 F = F 10 = 1 F 10 = = 1 F 0.63 = = PX 490 = 1 PX = Itegrali de Moivre-Laplaceov teorem za relative frevecije biome slučaje varijable ima ešto drugačiji obli, tj. lim P X p < ε 2 lim F ε = 1. pq Ova relacija ima sljedeću iterpretaciju: ao je u Beroullijevoj shemi dovoljo velio, tada je vjerojatost da se relativa frevecija uspjeha u pousa X po apsolutoj vrijedosti razliuje od vjerojatosti uspjeha u svaome pojediom pousu p za maje od proizvoljog, uaprijed zadaog broja po volji blizu 1. Potrijepimo to sljedećim primjerom. Primjer 3.5 Kolia je vjerojatost da priliom 3600 bacaja simetričog ovčića relativa frevecija pisama po apsolutoj vrijedosti razliuje od 1/2 za maje od 0.01? Nea je X B3600, 1/2. Imamo X P < 0.01 = P1764 < X < F = 2F Uiforma overgecija u cetralom graičom teoremu Nea je X, N iz ezavisih slučajih varijabli s oačim varijacama, ea je S = X, a = ES, s 2 = VarS N i ea T = 1 S ES D N 0, 1 za S =1, S je približo Na, s 2, tj. vrijedi F S x = 1 S 2π x t a 2 e 2s 2 d 0 za

19 Nea je X N 0, 1 i X Na, s 2. Tada imamo PS x PX x = P T x a S = x F a x a T F X. S S P X x a S = Odavde slijedi: 25 vrijedi ao F T F X uiformo a R. Ova tvrdja proizlazi iz sljedeća dva teorema. Teorem 3.7 Nea su F, F 1, F 2,... ograičee fucije distribucije a R i ea je S gust podsup od R oji sadrži sve toče preida od F. Ao vrijedi F F F F F x Fx za sve x S, F x F x za sve x S, 26 tada F F uiformo a R. Teorem 3.8 Nea su F, F 1, F 2,... ograičee fucije distribucije a R i ea je F = 0. w Pretpostavimo da je F svuda epreida i da F F. Tada F overgira prema F uiformo a R. 3.4 Opći cetrali graiči teorem Prije ego što isažemo i doažemo Opći cetrali graiči teorem potrebo je isazati odre dee tvrdje i teoreme oji su potrebi za jegovo doazivaje. Počimo s araterističom fucijom i tvrdjama vezaim za ju. Defiicija 3.6 Karaterističa fucija od F jest fucija ϕ defiiraa sa ϕt = e itx dfx = cos txdfx + i si txdfx, t R. 27 Za svao t R fucija x e itx je epreida i budući da je e itx = 1, ϕ je dobro defiiraa, tj. imamo ϕ : R C. Defiicija 3.7 Nea je X slučaja varijabla s fucijom distribucije F X. Karaterističa fucija ϕ X od X je araterističa fucija od F X. Defiicija 3.8 Karaterističa fucija ϕ besoačo je djeljiva ao za svao N postoji araterističa fucija ϕ tava da je ϕ = ϕ. Defiicija 3.9 Fucija distribucije F besoačo je djeljiva ao je jezia araterističa fucija besoačo djeljiva. Defiicija 3.10 Slučaja varijabla X besoačo je djeljiva ao je jezia araterističa fucija ϕ x odoso fucija distribucije F X besoačo djeljiva. 15

20 Teorem 3.9 Nea su ϕ N i ϕ araterističe fucije različite od ule. Tada iz ϕ, N overgira prema ϕ ao i samo ao iz l ϕ, N overgira prema l ϕ. Propozicija 3.10 Besoačo djeljiva araterističa fucija igdje e iščezava. Propozicija 3.11 Produt od oačo mogo besoačo djeljivih araterističih fucija jest besoačo djeljiva araterističa fucija. Propozicija 3.12 Karaterističa fucija oja je limes iza besoačo djeljivih araterističih fucija, tao der je besoačo djeljiva. Propozicija 3.13 Nea su Y, X 1, X 2,... ezavise slučaje varijable, pri čemu je Y Pλ, a X, N su jedao distribuirae sa zajedičom araterističom fucijom ϕ. Tada je Z = X X Y besoačo djeljiva slučaja varijabla s araterističom fucijom e λϕ 1. Navo dejem svih ovih tvrdji vezaih za araterističe fucije, zaljučujemo da oe imaju ljuču ulogu u rješavaju cetralog graičog problema. Nadalje, ao bi mogli isazati sljedeći teorem oji am je potreba, ajprije trebamo defiirati Levy-Hičiov par. Teorem 3.14 Levy-Hiči Fucija ϕ je besoačo djeljiva araterističa fucija ao i samo ao postoji γ R i ograičea fucija distribucije G a R tava da je ϕt = exp iγt + e itx 1 itx 1 + x x 2 x 2 dgx, t R. 28 Osim toga, ova reprezetacija je jedistvea. Dale, relaciju 28 zovemo Levy-Hičiova reprezetacija od ϕ. Ure de par γ, G zovemo Levy-Hičiov par pridruže ϕ odoso jezioj fuciji distribucije. Sada možemo isazati teorem oji ćemo oristit u doazu općeg cetralog graičog teorema. Teorem 3.15 Nea je F, N iz besoačo djeljivih fucija distribucije s pridružeim w Levy-Hičiovim parovima γ, G N. Ao F F, pri čemu je γ, G par pridruže w F, tada γ γ i G G za. Obrato, ao postoje γ R i ograičea fucija w w distribucije G tavi da γ γ i G G za, tada F F, pri čemu je F besoačo djeljiva s pridružeim parom γ, G. Osim tvrdji vezaih za araterističu fuciju za doaz su potrebe i ee tvrdje oje vrijede za ifiitezimala sistem ojeg smo defiirali u poglavlju 3.1. Propozicija 3.16 Dvostrui iz {{X }} ifiitezimala je sistem ao i samo ao vrijedi lim uiformo a svaom ograičeom itervalu. max ϕ t 1 = 0, 29 1 Propozicija 3.17 Dvostrui iz {{X }} ifiitezimala je sistem ao i samo ao vrijedi lim max 1 x x 2 df x =

21 Korolar 3.1 Ao je {{X }} ifiitezimala sistem, tada je i {{X a }} ifiitezimala sistem. Teorem 3.18 Nea je {{X }} ifiitezimala sistem oji je ezavisa po recima i ea je c, N iz ostati taav da iz X c, N overgira po distribuciji. Tada =1 postoji ostata C oja zavisi samo o τ, tava da za sve vrijedi gdje je a = x <τ =1 xdf x i τ > 0. Teorem 3.19 Nea je {{X }} ifiitezimala sistem i ea je β t = x x 2 df x + a < C, 31 e itx 1dF x + a. 32 Tada postoji ostata C oja zavisi samo od τ i t tava da za sve vrijedi =1 β t C =1 x x 2 df x + a. 33 Defiicija 3.11 Nea je {{X }} ifiitezimala sistem slučajih varijabli oji je ezavisa po recima, tj. za svao su X 1,..., X ezavise lim =. Stavimo Z = X X c N, gdje je c, N iz u R. Niz Z, N zovemo iz cetriraih suma ezavisih slučajih varijabli iz iifitezimalog sistema, a c zovemo ostate cetriraja. Sada imamo sve što am je potrebo pa isažimo opći cetrali teorem. Teorem 3.20 Cetrali graiči teorem Nea je {{X }} ifiitezimala sistem slučajih varijabli oji je ezavisa po recima i ea je c, N iz ostati. Niz cetriraih suma X c, N overgira po distribuciji prema slučaoj varijabli Z, oja je uži besoačo djeljiva, ao i samo araterističe fucije =1 { [ ϕt = exp ic t + ia t + e itx df x + a ] } 34 =1 overgira prema ϕ Z. Doaz. Koristeći se propzicijom 3.13 i propozicijom 3.11, zaljučujemo da je fucija ϕ defiiraa sa 34 besoačo djeljiva araterističa fucija. Prema toma, ϕ igdje e iščezava propozicija 3.10, dale je l ϕ t defiirao za sve t. 17

22 Nea je Ψ araterističa fucija od X c N. Prema teoremu epreidosti uža i dovolja uvjet za X c ϕ Z t = lim Ψ t = lim D Z za jest da vrijedi [ exp ic t ϕ t Nea je ϕ araterističa fucija od X a, dale vrijedi Stavimo ϕ t = exp[ ia t]ϕ t = ], t R. 35 e itx df x + a. 36 β t = ϕ t Prema orolaru 3.1 {{X a }} je ifiitezimala sistem, pa iz propozicije 3.16 slijedi lim max β t = 0, 38 uiformo a svaome ograičeom itervalu. Osim toga imamo [ Ψ t = exp ] ic t + it a ϕ t. 39 Iz 38 i 39 slijedi da je za svai ograičei iterval i dovoljo veli, Ψ t različito od ule, dale je defiira l Ψ t. Koristeći se 34, 36, 37 i 39 dobijemo l Ψ t l ϕ t = [l ϕ t β t]. 40 Nea je dovoljo veli tao da je β t < 1 2 eoviso o. Tada imamo l ϕ t = l[1 + β t] j=1 1 j+1 [β t] j, 41 j pa iz 40 slijedi 1 2 =1 l Ψ t l ϕ t β t 2 1 β t [max =1 j=2 β t ] β t j =1 j β t. 42 Koristeći se teoremom 3.19, zaljučujemo da za dovoljo velie vrijedi l Ψ t l ϕ t C 1 [max β t ] 18 x x 2 df x + a, 43

23 pri čemu ostata C 1 e ovisi o. Pretpostavimo sada da iz X c, N overgira po distribuciji prema slučajoj varijabli Z. Prema teoremu 3.18 postoji ostata C 1 > 0 oja e ovisi o, tava da za sve vrijedi Iz 38, 43 i 44 slijedi x x 2 df x + a < C lim l Ψ t l ϕ t = 0, 45 a budući da je prema 35 ϕ Z t = lim Ψ t, zaljučujemo vidi teorem 3.9 da vrijedi ϕ Z t = lim ϕ t za sve t R. ϕ Z je besoačo djeljiva prema propoziciji Obrato, pretpostavimo da iz ϕ, N overgira prema eoj araterističoj fuciji ϕ Z. Defiirajmo fuciju G a R sa G x = x y y 2 df y + a, x R. 46 Tada imamo ϕ t = exp iγ t + e itx 1 itx 1 + x x 2 x 2 dg x, 47 gdje je γ = c + a + x 1 + x 2 df x + a. 48 ϕ Z je besoačo djeljiva araterističa fucija prema propoziciji 3.12, pa je oa jedozačo odre dea svojim Levy-Hičiovim parom γ, G. Prema teoremu 3.15 imamo w γ γ i G G za. Specijalo imamo G = x x 2 df x + a G za. 49 Odavdje zaljučujemo da je iz G, N ograiče, dale postoji ostata C 2 oja e ovisi o tava da za sve vrijedi 44. Budući da 38 i 43 vrijede, zaljučujemo da vrijedi 40, a odatle slijedi ϕ Z t = lim D Ψ t za sve t, tj. X c Z za. 19

24 Literatura [1] M. Bešić, N. Šuva, Uvod u vjerojatost i statistiu, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeu, Odjel za matematiu, Osije,2014. [2] R. Durrett, Probability Theory ad Examples, Fourth Editio, Cambridge Uiv. Press, [3] G. R. Grimmett, D. R. Stirzaer, Probability ad Radom processes, Oxford Uiv. Press, [4] N. Sarapa, Teorija vjerojatosti, Šolsa jiga, Zagreb, [5] D. Juić, Mjera i itegral, Sveučilište J. J. Strossmayera, Odjel za matematiu, Osije,