Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ Ημερήςιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 6 Μαίου Απαντήσεις Θεμάτων Θεμα Α Α. Θεωρία από το ςχολικό βιβλίο (Θεώρημα Fermat) Α. Θεωρία από το ςχολικό βιβλίο (Οριςμόσ αςύμπτωτησ) Α. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ Θεμα Β Β. Για το μιγαδικό ιςοδύναμα έχουμε: () Επομένωσ, ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλοσ με κέντρο το ςημείο, και ακτίνα. Β. Από τη ςχέςη () ιςοδύναμα έχουμε:, αφού Β. Για το μιγαδικό έχουμε:, με ρήςη τησ Οπότε: Άρα, αφού. B4. Είναι: Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
χρηςιμοποιώντασ τη ςχέςη (). ΘΕΜΑ Γ Γ. Από τη ςχέςη : ιςοδύναμα παίρνουμε Άρα υπάρχει ώςτε: Για έ ουμε, αφού Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη η οποία είναι παραγωγίςιμη ςτο με Έ ουμε τον πίνακα μονοτονίασ ακροτάτων Η παρουςιάζει ελάχιςτο για το Άρα για κάθε είναι Δηλαδή για κάθε Δηλαδή η ςχέςη γράφεται :, αφού για κάθε Άρα υπάρχει ώςτε:. Για παίρνουμε:, αφού ρα, Γ. Η είναι παραγωγίςιμη ωσ διαφορά και ςύνθεςη με : Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
Λύνουμε την εξίςωςη, και την ανίςωςη, αφού για κάθε Έχουμε τον πίνακα μονοτονίασ ακροτάτων Η είναι γνηςίωσ φθίνουςα ςτο, και γνηςίωσ αύξουςα ςτο (,. Η παρουςιάζει ολικό ελάχιςτο για το. Γ. H είναι παραγωγίςιμη ςτο με : Λύνουμε την εξίςωςη Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη H είναι παραγωγίςιμη με Θέτουμε και Άρα προκύπτει ο πίνακασ μονοτονίασ ακροτάτων για την Η παρουςιάζει μέγιςτο για το Ο.Μ. Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
πίςησ γιατί και Επειδή η είναι ςυνεχήσ και γνηςίωσ αύξουςα ςτο,,,, Επειδή η είναι ςυνεχήσ και γνηςίωσ φθίνουςα ςτο,,,, Επειδή και η είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο διάςτημα αυτό, η εξίςωςη έχει μια ακριβώσ λύςη ςτο,, αφού Αντίςτοιχα, επειδή και η είναι γνηςίωσ φθίνουςα ςτο διάςτημα αυτό, η εξίςωςη έχει μια ακριβώσ λύςη ςτο, αφού Για είναι: ενώ για είναι. Δηλαδή η παρουςιάζει ςημείο καμπήσ ςτο. Αντίςτοι α, για είναι και για είναι:. Δηλαδή η παρουςιάζει ςημείο καμπήσ ςτο. Συνοπτικά, έ ουμε τον παρακάτω πίνακα : ς.κ ς.κ Άρα η θέςεισ παρουςιάζει δύο ακριβώσ ςημεία καμπήσ ςτισ και Γ4. Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη με,, η οποία είναι ςυνεχήσ ςτο διάςτημα αυτό. Είναι και ερ τημα Γ Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
Παρατηρούμε ότι Επομένωσ, από το Θεώρημα Bolzano υπάρχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο, Η είναι παραγωγίςιμη ςτο, με ΘΕΜΑ Δ για κάθε, γιατί για ρα η είναι γνηςίωσ αύξουςα και ςυνεπώσ η ρίζα είναι μοναδική. Δ. Ιςχύει για κάθε : Στην παραπάνω ιςότητα, θέτουμε: Oπότε:, ενώ για τα άκρα τησ ολοκλήρωςησ: όταν είναι και όταν είναι. Η () ιςοδύναμα γράφεται: Για τη ςυνάρτηςη παρατηρούμε ότι:. Όμοια προκύπτει: Για τη ςυνάρτηςη παρατηρούμε ότι:. Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
Επειδή η ςυνάρτηςη είναι ςυνεχήσ ςτο, ωσ πηλίκο και ςύνθεςη ςυνεχών οι ςυναρτήςεισ f, g είναι παραγωγίςιμεσ ςτο. Παραγωγίζοντασ παίρνουμε: και Διαιρώντασ κατά μέλη προκύπτει: και ιςοδύναμα παίρνουμε: Άρα υπάρχει ώςτε: Για παίρνουμε:. Άρα ιςχύει:. Δ. Η ςχέςη () γράφεται: Άρα υπάρχει ώςτε:. Για δίνει:. Άρα ιςχύει: () Επειδή ιςχύει για κάθε, είναι και επειδή η είναι ςυνεχήσ διατηρεί ςταθερό πρόςημο ςτο Αφού, θα ιςχύει. Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999
Άρα λόγω τησ ςχέςησ () ιςχύει:. Δ. Έχουμε:, θέτοντασ, όταν, τότε αφού: και ςε διάςτημα τησ μορφήσ,, με. Δ4. Το ζητούμενο εμβαδό είναι: με για κάθε οπότε η είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο. Για κάθε είναι: Για κάθε, ιςχύει: ρα: τ μ Επιμέλεια: Γιάννης Μερτίκας, Δημήτρης Βλάχος, Μάριος Παπαδιαμαντής, Ηρώ Μαρκάκη Βουλιαγμένησ & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999