2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί εφαρμόζουμε τις ιδιότητες του μέτρου ή φέρνουμε πρώτα το μιγαδικό στη μορφή α+β.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΡΙΤΗΡΙΑ Ισχύουν οι ισοδυναμίες : I ή Αν C 5 I και ο μιγαδικός 5 5 5 είναι φανταστικός, να βρείτε το. 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 50 5 5 5 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Έστω ο μιγαδικός με 0. Να αποδείξετε ότι : ο μόνο αν ο είναι πραγματικός ή. είναι πραγματικός, αν και 0 0 0 0 ή ή ή ή 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕ ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΑΝΙΣΩΤΗΤΩΝ Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να αποδείξω ισότητες ή ανισότητες οι οποίες περιέχουν μέτρα, τότε υψώνω και τα δυο μέλη στο τετράγωνο και με ισοδυναμίες και χρήση της ιδιότητας στο ζητούμενο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Αν ισχύει, να βρείτε το. 6. 5 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. Να αποδειχθεί ότι αν Ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα τότε : Re 0 0 Re Re 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,. Να αποδειχθεί ότι αν Re 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 5 τότε : 0 0 0 Re 0 Re 0 7 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Για δυο μιγαδικούς αριθμούς,, να αποδείξετε ότι. «Κανόνας παραλληλογράμμου» Ξεκινώ από το ο μέλος και θα καταλήξω στο ο. Γενικά : όταν διαπιστώσουμε ότι σε μια ισότητα έχουμε ή μπορεί να έχουμε άθροισμα τετραγώνων των μέτρων του αθροίσματος και της διαφοράς δυο μιγαδικών τότε εφαρμόζουμε τον «κανόνα του παραλληλογράμμου», καταλήγω αλλά

και αντίστροφα όταν έχουμε το άθροισμα των διπλασίων τετραγώνων των μέτρων δυο μιγαδικών. Ο παραπάνω τύπος όταν χρησιμοποιείται σε άσκηση πρέπει να αποδεικνύεται όπως δείξαμε παραπάνω. Γεωμετρικά ο «κανόνας του παραλληλογράμμου» σημαίνει ότι το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του.,,, Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Αν μας δίνεται ισότητα της μορφής f g και ζητείται το h, τότε : ος Τρόπος θέτουμε h, λύνουμε ως προς και αντικαθιστούμε στην. Στη συνέχεια υψώνουμε και τα μέλη της στο τετράγωνο και καταλήγουμε στο h. ος Τρόπος υψώνουμε και τα μέλη της στο τετράγωνο, κάνουμε πράξεις και καταλήγουμε σε μια ισότητα. Έπειτα υψώνουμε και την σχέση h στο τετράγωνο και καταλήγουμε στην ίδια ισότητα με παραπάνω. 8 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει 7. Να βρείτε το. ος Τρόπος Θέτω τότε : 7 7 8 8 7 ος Τρόπος 7 7 7 7 7 7 8 6 6 0 0 5 Επίσης επειδή δεν μπορώ να βρω απευθείας το, θα υπολογίσω το Έχω : 5 άρα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει : 5 να αποδείξετε ότι. ος Τρόπος Θέτω τότε : 5 5 8 8 7 αδύνατο ή ος Τρόπος 5 5 5 5 7 7 8 5 5 5 8 56 0 7 0 Έχω : 6 0 7 0 που ισχύει λόγω της. a Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Χρήση της ιδιότητας : και a Έστω C με, όπου α>0. Τότε : a a Η σχέση αυτή μας επιτρέπει να εκφράζουμε τον συζυγή ενός μιγαδικού ως συνάρτηση του. Η σχέση σε συνδυασμό με την, δίνει συχνά λύση σε ενδιαφέροντα θέματα. Πιο συγκεκριμένα αν μας δίνεται ότι 0 και ζητείται να δείξουμε ότι f,, g,,, τότε Όπου ν=,,. Ξεκινώ από το ο μέλος της ισότητας, εκμεταλλεύομαι ότι, κάνω αντικατάσταση και πράξεις και με διαδοχικές ισότητες καταλήγω στο ζητούμενο. Δηλ. oέ : f,, f,,... oέ 0 Άσκηση 0 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ. Αν, να δείξετε ότι. Αν για τους μιγαδικούς,,..., ισχύει ότι... να αποδείξετε ότι...... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6.. ομοίως και Έχω............ Αν C,, και, να αποδειχθεί ότι :. Ο αριθμός είναι πραγματικός,. ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 005. Θέλουμε να δείξουμε ότι ο είναι πραγματικός. Οπότε θα ξεκινήσουμε από το συζυγή του και με διαδοχικές ισότητες θα καταλήξουμε πάλι στον. Θα εμφανιστούν όμως,, ενώ εγώ στο τελικό αποτέλεσμα θέλω να έχω, οπότε θα πρέπει να εκφράζουμε τους συζυγείς, ως συνάρτηση των, Έχω ομοίως και Άρα άρα. Έχω 7

Δ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Χρήση της ιδιότητας :. Προσοχή το αντίστροφο δεν ισχύει Έστω οι μιγαδικοί που ικανοποιούν την ισότητα. 0 0 0 0. Να αποδείξετε ότι 0 0 0 0 Αν, * N και, δυο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι I. 0 I, 0 Ε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : «ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ν - ΔΥΝΑΜΕΙΣ» * Να βρείτε το αν : 8 8 8 8 8 8 6 6 8 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

ΣΤ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ α. απόδειξη ανισοτήτων με χρήση τριγωνικής ανισότητας β. παρεμβολή μέτρου μεταξύ δυο θετικών αριθμών 5 Να αποδειχθούν στο σύνολο των μιγαδικών οι παρακάτω συνεπαγωγές :.αν και 8, ν.δ.ο. 7. 8. Στο εφαρμόζω τριγωνική ανισότητα και έχω : 8 8 7. Το μέτρο γράφεται με προσθαφαίρεση όρων. Έτσι είναι 5 5 Λόγω της σχέσης η γίνεται 5 5 8 8 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΡΑ f,, 0 Για να λύσουμε εξισώσεις που περιέχουν όρους της μορφής γράφω 6 Να λυθεί η εξίσωση : ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 00 Η λόγω της γίνεται : 0 ή. Άρα και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8,,, θέτω,, εκτελούμε τις πράξεις και καταλήγουμε σε ισότητα μιγαδικών. Τέλος λύνουμε το σύστημα των δυο εξισώσεων με, που προκύπτουν.

7 Να λυθεί η εξίσωση : και Η λόγω της γίνεται 6 6 πρέπει 0. Υψώνω και τα δυο μέλη της στο τετράγωνο και έχω : 6 6 απορρίπτεται ή δεκτή. Άρα 6 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 5Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν μας δίνεται μια σχέση για ένα μιγαδικό και ζητείται να βρούμε το γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει η εικόνα του τότε θέτουμε =+ και καταλήγουμε σε εξίσωση γραμμής ευθεία, κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή 8 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του C, για τον οποίο ισχύει :. [ ] [ ] 6 6 6 6 0 άρα η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ-, και ακτίνα ρ=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

5Β ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΚΥΚΛΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Η εξίσωση 0 με ρ>0 και 0 γνωστό μιγαδικό, παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα, 0 0 του 0, ακτίνα ρ και εξίσωση ή πιο απλά αν τότε η εξίσωση 0 0 0 0 0, 0 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα του 0, ακτίνα ρ αν 0 ο κινείται στο εσωτερικό του παραπάνω κύκλου, ενώ, αν 0 0 0 τότε ο κινείται στο εξωτερικό του παραπάνω κύκλου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού αριθμού στις παρακάτω περιπτώσεις :.. 5. 6.. 5. η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο,, ακτίνα ρ= και εξίσωση 6. 5 5 5 η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 5,, ακτίνα ρ= και εξίσωση 5. 6 0 6 η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο,0, ακτίνα ρ=6 και εξίσωση 6. 0 η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,, ακτίνα ρ= και εξίσωση. 5 0 0 5 η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,0, ακτίνα ρ=5 και εξίσωση 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Αν με α,β πραγματικοί αριθμοί τότε, άρα ο γεωμετρικός τόπος του είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=. 0 Άσκηση 6 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ Αν, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ=. Έχω άρα δηλ. η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,0, ακτίνα ρ= μοναδιαίος κύκλος και εξίσωση ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ Η εξίσωση όπου, γνωστοί μιγαδικοί με και εικόνες Α, Β παριστάνει τη μεσοκάθετο του ΑΒ. Για να βρω την εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας είτε θέτω =+ στη δοσμένη σχέση, είτε βρίσκω τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ και στη συνέχεια τον συντελεστή διεύθυνσης της μεσοκαθέτου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού αριθμού για τον οποίο ισχύει : άρα η εικόνα του ανήκει στη μεσοκαθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α, και Β-,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : 8 6 6 5 0 6 5 0 άρα : 6 5 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΕΛΛΕΙΨΗ Κάθε εξίσωση της μορφής, όπου α>0 και, σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, με, παριστάνει έλλειψη με εστίες Ε, Ε τις εικόνες των, και μεγάλο άξονα α αφού αν,, τότε με. Αν τότε ο γ.τ. είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΕΕ Θυμήσου!!! Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες Πρέπει: ΕΕ = γ<α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,0, Ε -γ,0 τότε:, β =α -γ. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε0,γ, Ε 0,-γ τότε:, β =α -γ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει : 8 και στη συνέχεια να γράψετε και την εξίσωση του. Έστω, η εικόνα του μιγαδικού και,0,,0 τότε η εξίσωση 8 γίνεται 8 και 8 άρα η εικόνα του ανήκει σε έλλειψη με εστίες,0,,0 και μεγάλο άξονα α=8. Για να βρω την εξίσωση της : γ= από την εστία, α= από το μεγάλο άξονα 6 άρα : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΥΠΕΡΒΟΛΗ Κάθε εξίσωση της μορφής, όπου α>0 και, σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, με, παριστάνει υπερβολή με εστίες τις εικόνες των, και απόσταση κορυφών α, αφού αν,, τότε με. Θυμήσου!!! Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α, από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες, Πρέπει: ΕΕ = γ>α Αν Μ, αυτά τα σημεία και Εγ,0, Ε -γ,0 τότε:, β =γ -α. Αν Μ, αυτά τα σημεία και Ε0,γ, Ε 0,-γ τότε:, β =γ -α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει : 5 5 8 και στη συνέχεια να γράψετε και την εξίσωση του. Έστω, η εικόνα του μιγαδικού και 0,5, 0, 5 τότε η εξίσωση 5 5 8 γίνεται 8 και 5 5 0 0 8 άρα η εικόνα του ανήκει σε υπερβολή με εστίες 0,5, 0, 5 και απόσταση κορυφών α=8. Για να βρω την εξίσωση της : γ=5 από την εστία, α= από την απόσταση κορυφών 5 6 άρα : 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

5Γ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ =f ΓΝΩΡΙΖΩ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ Η ΕΙΚΟΝΑ ΤΟΥ ΚΑΙ ΨΑΧΝΩ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ Η ΕΙΚΟΝΑ ΤΟΥ Έστω ότι δίνονται οι μιγαδικοί, τέτοιοι ώστε =f. Αν μας δίνεται ότι η εικόνα του κινείται στη γραμμή C και μας ζητείται γραμμή C στην οποία κινείται η εικόνα του τότε Α Μετατρέπω τον σε σχέση με μέτρα, λύνω ως προς τη δοσμένη σχέση και αντικαθιστώ τη σχέση που έλυσα ως προς, στη σχέση με μέτρα που αφορά τον. Β Αν δεν είναι εύκολο να λύσω ως προς, τότε παίρνω μέτρα και στα μέλη και μετά θέτω =+ και εκτελώ τις πράξεις. Σ αυτή την περίπτωση θα είναι της μορφής, και η εικόνα του θα κινείται σε κύκλο με κέντρο Ο0,0 και θα ζητεί να δείξουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του. Πάντως αυτού του είδους οι ασκήσεις λύνονται και με τη μέθοδο Α, αλλά με περισσότερες πράξεις Γ Αν δεν μπορώ να λύσω ως προς, ούτε αν πάρω μέτρα και στα μελή βγαίνει κάτι τότε : θέτουμε =α+β και =+, εκτελούμε τις πράξεις και βρίσκουμε : f, f a, g a, Σ g, Με τη βοήθεια της γραμμής C Απαλείφουμε από τις εξισώσεις Σ τα α,β και βρίσκουμε μια εξίσωση με μεταβλητές χ και. Αυτή είναι η εξίσωση της ζητούμενης γραμμής C. Επίσης αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η εικόνα του που μου δίνεται, κινείται σε ευθεία οπότε και δεν με βοηθούν καθόλου οι μέθοδοι Α και Β Αν η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ-,0 και ακτίνα ρ=5, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, όπου C. Είμαστε στην μέθοδο Α Αφού η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ-,0 και ακτίνα ρ=5, τότε 5, έχω. Η λόγο της γίνεται : 5 5 5 5 5 άρα η εικόνα του κινείται σε κύκλο με κέντρο Λ-,0 και ακτίνα 5. 5 Άσκηση 5 σελ.0 σχολικού βιβλίου Β ομάδας Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ=, να δείξετε ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού. Εδώ μπορούμε να δουλέψουμε όπως στην μέθοδο Α αλλά πολύ πιο εύκολα με τη μέθοδο Β Αφού η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ= τότε ή αν θέσω =+ ισχύει: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5 Έχω : άρα, άρα η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας ρ=. 6 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Αν και είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως και, να αποδείξετε ότι : όταν το κινείται σε κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας, τότε το κινείται σε έλλειψη. Παρατηρώ ότι εδώ δεν μπορώ να εφαρμόσω τις μεθόδους Α ή Β οπότε ακολουθω τη μέθοδο Γ Έστω και θέτω αυτόν που ξέρω με και αυτόν που ψάχνω και έχω : κινείται σε κύκλο κέντρου Ο0,0 και ακτίνας άρα ισχύει 6 επίσης : 6 : 6 6 6 5 5 5. Όμως λόγο της : 6 6 6 5 6 6 5 5, άρα η εικόνα του κινείται σε έλλειψη με : α=5, β= και 5 Μεγάλος άξονας α=0 και εστίες Ε,0, Ε -,0.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΚΥΚΛΟΣ ΕΥΘΕΙΑ Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται στην ευθεία : 0 τότε : Α Για να βρω το ελάχιστο μέτρο του : mn d, ma δεν υπάρχει 0 0 0 0 Σχήμα 7 Άσκηση σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Λίγο πιο εμπλουτισμένη Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών.. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Β Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο : Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, αρκεί να βρω τις συντεταγμένες του σημείου Μ σχήμα. Πιο συγκεκριμένα βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ΟΜ και λύνω σύστημα με την εξίσωση της ευθείας ε. Η διαδικασία είναι η εξής : ον, άρα και η ΟΜ διέρχεται από το Ο0,0 άρα έχει εξίσωση : :. ον Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : :, αν η λύση του είναι το 0 ζεύγος, τότε ο ζητούμενος μιγαδικός είναι :.. Να βρείτε ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο0,0.. Η εικόνα του ανήκει στη μεσοκαθετο ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α-,0 και Β0,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : mn ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6

. 8 6 8 5 0 άρα : 8 5 0 Για να βρω το ελάχιστο μέτρο του : 0 0 0 8 0 5 5 5 mn d, 8 68 68. Για να βρω το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο :, άρα και η ΟΜ διέρχεται 8 από το Ο0,0 άρα έχει εξίσωση : :. 5 Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : 8 5 0 60 5 60 5 60 Άρα :, δηλ. mn. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

ΚΥΚΛΟΣ Αν η εικόνα του μιγαδικού κινείται σε κύκλο με κέντρο 0, και ακτίνα ρ με εξίσωση : C : 0 0 τότε : Α Για να βρω το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο του : 0 mn 0 0 0 0 Σχήμα ma 0 0 ή 0 0 Β Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο : Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο, αρκεί να βρω τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β σχήμα. Πιο συγκεκριμένα βρίσκω την εξίσωση της ευθείας ΟΚ και λύνω σύστημα με την εξίσωση του κύκλου C. Η διαδικασία είναι η εξής : ον 0 0 0, η OK διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα : 0 0 0 0 :. 0 0 ον Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : 0 0 0 ον Από το Σ και το σχήμα προκύπτουν οι mn και ma 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους Ισχύει :. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών καθώς και η καρτεσιανή εξίσωση του.. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να βρεθούν αυτοί που έχουν το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο.. Έχω η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο 0,, ακτίνα ρ= και. εξίσωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8

Για να βρω το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο του : mn 0 0 0 ma 5 ή 5. Για να βρω τους μιγαδικούς με το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο : 0.., άρα η OK είναι κατακόρυφη δηλ. της μορφής 0 0 0 και επειδή η ΟΚ διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα : : 0 0 0 0 Στη συνέχεια λύνω το σύστημα : : ή 5 Από το Σ και το σχήμα προκύπτει Α0,- άρα mn και Β0,-5 άρα ma 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΜΕΓΙΣΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΕΥΘΕΙΑ ΣΗΜΕΙΟ Αν η εικόνα του ανήκει στην ευθεία ε και ο είναι σταθερό σημείο τότε : mn d, ma Δεν υπάρχει ΚΥΚΛΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο C και ο είναι σταθερό σημείο τότε : mn ma ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

ΕΥΘΕΙΑ ΚΥΚΛΟΣ Αν η εικόνα του ανήκει στην ευθεία ε και ο κινείται σε κύκλο C τότε : mn d, ma Δεν υπάρχει Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν 6 και τότε να βρείτε :. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. την ελάχιστη τιμή του. την ελάχιστη τιμή του ο ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 008. ος τρόπος: Έχω : 6 6 6 6 8 6 8 6 6 άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=. ος τρόπος: 6 6 6 τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι κύκλος κέντρου 0,0, άρα ο γεωμετρικός O και ακτίνας. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. Έχω : άρα ο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι η μεσοκαθετος ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ όπου Α,- και Β,-. Για να βρω την εξίσωση της ε θέτω =+ και έχω : 0 0 6 6 6 άρα 0 :.. 0 0, mn O d δες σχήμα παρακάτω., mn d ΔΥΟ ΚΥΚΛΟΙ Aν ο ανήκει σε κύκλο C και ο σε κύκλο C mn ma

ΣΤΟΝ ΙΔΙΟ ΚΥΚΛΟ Αν η εικόνα του και η εικόνα του ανήκουν στον ίδιο κύκλο τότε: ma δηλ. η εικόνες των, είναι αντιδιαμετρικά σημεία mn 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8: ΜΕΤΡΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ όπου Α η εικόνα του και Β η εικόνα του Το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές, και είναι. Ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ, αν και μόνο αν. Ισόπλευρο με ΑΒ=ΑΓ=ΒΓ, αν και μόνο αν. Ορθογώνιο με ˆ 0, αν και μόνο αν 0 Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Για να δείξω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές αρκεί να δείξω ότι ΑΒ=ΑΓ ή ΑΒ=ΒΓ ή ΑΓ=ΒΓ. Έχω : Άρα ΑΓ=ΒΓ οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Επίσης για να δείξω ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο θα δείξω ότι ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

που ισχύει. Άρα ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα και άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. Τελικά το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Άσκηση 7 σελ. 0 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Αν για το μιγαδικό ισχύει, να βρείτε την τιμή της παράστασης Έχω : Άρα. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα.. Έστω Α, B-,0 και Γ,0 τότε παρατηρώ ότι 0 0 άρα οπότε :. Δηλ. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α αφού ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Αυτό ήταν αναμενόμενο αφού το Α είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου, και τα Β,Γ είναι αντιδιαμετρικα σημεία του, άρα η γωνία Α βαίνει σε ημικύκλιο άρα είναι ορθή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. β. γ. δ. ε. _ στ. Αν ένας μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει. ζ. Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. η. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους. θ. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών άξονα. ι. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει., είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον κ. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: λ. Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης α +β+γ=0 με α,β,γ IR και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών. μ. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+β=0 α=0 ή β=0 ν. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει:. ξ. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει ΘΕΜΑ 00 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =α+β, όπου α,βir και = _ +, όπου _ είναι ο συζυγής του. α. Να αποδείξετε ότι Re=α β+ και Ιm=β α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση =, έχει το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ 005 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ α. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =+ και - = 5+5, να βρείτε τους,. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, ισχύουν και : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 5

. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, έτσι, ώστε = και. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 005 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α. Να αποδείξετε ότι και. και 0 006 006 β. Να αποδείξετε ότι 0 γ. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό Im=- ΘΕΜΑ 006 k k Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 0 α. Να αποδείξετε ότι:.., k,. και Re, με.να αποδείξετε ότι και β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν. ΘΕΜΑ 5 007 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με α ε IR. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ =. b. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο για α = 0 και α = αντίστοιχα.. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και.. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ 6 008 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 6

6 και τότε να βρείτε: α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. γ. την ελάχιστη τιμή του δ. την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 7 008 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης +β+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί. α. Να αποδείξετε ότι β= και γ=. β. Να αποδείξετε ότι γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού, για τον οποίο ισχύει: ΘΕΜΑ 8 00 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =λ++λ, λr Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 =- έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση όπου 0 ο μιγαδικός αριθμός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. 0 ΘΕΜΑ Για κάθε, u, C και α>0 να δειχθεί ότι ισχύουν :. a u u a. u u u ΘΕΜΑ 0 Για κάθε C να δειχθεί ότι ισχύει : 5 ΘΕΜΑ Δίνεται ο μιγαδικός και έστω f f,. α Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού β Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 00 γ Να αποδείξετε ότι f. f f είναι πραγματικός. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 7

δ Αν και Μ είναι η εικόνα του f στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το Μ ανήκει σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΘΕΜΑ Θεωρούμε τους μιγαδικούς, και, για τους οποίους ισχύουν : και * * a όπου a. Να αποδείξετε ότι αν το α μεταβάλετε στο και ισχύει :, a τότε η εικόνα του ανήκει σε υπερβολή. ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με Re 0 και η συνάρτηση : f. Να αποδείξετε ότι : f f.. Έστω =α+β με,,, και 0<α<β. Αν ο f είναι φανταστικός τότε : a. Να γράψετε τον f στη μορφή κ+λ με, b. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ, ανήκει σε έλλειψη. ΘΕΜΑ 5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =+, με,, για τους οποίους υπάρχει ώστε να ισχύει : a a. Να αποδείξετε ότι :. Αν Im=0, τότε α=,. Αν α=0, τότε 0,. Για το πραγματικό αριθμό α ισχύει 0 a,. Οι εικόνες Μ των μιγαδικών αυτών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο, του οποίο να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ΘΕΜΑ 5 Δίνονται οι μιγαδικοί, και. Με εικόνες τα σημεία Α, Β, Γ αντίστοιχα.. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Ορθογώνιο και Ισοσκελές.. Να αποδείξετε ότι η σχέση είναι η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου του ΑΒΓ. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται η συνάρτηση f με.. Αν f, να βρείτε τη γραμμή στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών.. Αν f, να αποδείξετε ότι Im και αντίστροφα. ΘΕΜΑ 7 Έστω μιγαδικός και η εικόνα του κινείται στο μοναδιαίο κύκλο. Αν. Να αποδείξετε ότι ο ανήκει στον ίδιο κύκλο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 8

. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει : και. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και καθώς και οι καρτεσιανές εξισώσεις τους.. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του και του. Να βρείτε τους μιγαδικούς για τους οποίους το και ελάχιστο. γίνεται μέγιστο ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : 0 και 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών τους. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο του καθώς και τους αντιστοίχους μιγαδικούς.. Αν, δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την να βρείτε τη μέγιστη τιμή. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς W που έχουν το ελάχιστο μέτρο.. Έστω, δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν την. Να βρεθεί το mn. ΘΕΜΑ 0 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ρίζα. δεν έχει πραγματική ΘΕΜΑ Αν, με, C και, 0, να αποδειχθεί ότι αν ισχύει : τότε: 0. ΘΕΜΑ Αν, δυο μιγαδικοί οι οποίοι ανήκουν στον ίδιο κύκλο με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 00 είναι πραγματικός. ΘΕΜΑ Αν, * N και, δυο μιγαδικοί, να αποδείξετε ότι I ΘΕΜΑ Αν, N, ν>, να δείξετε ότι ο είναι φανταστός.. ΘΕΜΑ 5 5 Να αποδείξετε ότι αν τότε Re 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΘΕΜΑ 6 00 Να αποδείξετε ότι αν τότε Re ΘΕΜΑ 7 00 Αν μιγαδικός με και Im 0. να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των.. Αν ο κινείτε στον παραπάνω γ.τ. ν.δ.ο ο τμήμα στον. κινείται σε ευθύγραμμο ΘΕΜΑ 8 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και ισχύουν και τότε να βρείτε: α. να αποδείξετε ότι : β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. γ. την ελάχιστη τιμή του δ. την ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 00 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός. Να δείξετε ότι :,,. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.. Να δείξετε ότι : ΘΕΜΑ 0 00 Δίνεται η εξίσωση, όπου C με 0.. Να βρείτε τις ρίζες, της εξίσωσης. 00 00. Να αποδείξετε ότι : 0.. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει : τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο.. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος να δείξετε ότι : 7. ΘΕΜΑ 00 ΕΣΠΕΡΙΝΑ Έστω ο μιγαδικός αριθμός με, R.. Αν ισχύει ότι, τότε να βρείτε τον μιγαδικό.. Αν =+, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει ότι :.. Αν =+ και 00 u, τότε να αποδείξετε ότι : u. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα 0

ΘΕΜΑ 00 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν : και 5. Να βρείτε τους μιγαδικούς,. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει η σχέση : να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με εξίσωση. Από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος, να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : Re Im 0. Αν, είναι δυο από τους μιγαδικούς του ερωτήματος με την ιδιότητα, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 00 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει :. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση.. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο.. Έστω και οι μιγαδικοί που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να αποδείξετε ότι : 8. ΘΕΜΑ 0 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, με, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις : και. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι. Να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός και ότι. Να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 5 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις : Im και. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή:. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος κέντρου Κ0, και ακτίνας. Να βρείτε τα σημεία Α,Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, με =.. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, και στη συνέχεια, να βρείτε τον μιγαδικό αριθμό u με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Λ, έτσι ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Α,Λ,Β να είναι τετράγωνο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει, καθώς και ο.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. Να εξετάσετε αν υπάρχουν μιγαδικοί για τους οποίους να ισχύει =. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ,0 και ακτίνα ρ=. ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση. Να βρείτε το f 7 f Re.. Αν η εικόνα του f βρίσκεται στη διχοτόμο της ης και ης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι 0. Αν ισχύει Re f Re, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών.. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του, να βρείτε τη μέγιστη τιμή του. ΘΕΜΑ 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : 8 και 5. Να βρείτε :. Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του και του. Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του. Τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του ΘΕΜΑ 007 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και, όπου, με 0. Δίνεται επίσης ότι.. Να αποδείξετε ότι.. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.. Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και 0, να υπολογίσετε τον και να 0 0 αποδείξετε ότι : 0. ΘΕΜΑ 0 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : και 5.. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Ο0,0 και ακτίνα ρ=.. Αν, είναι δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει, να βρείτε το. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση και στη συνέχεια να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του.. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να αποδείξετε ότι. ΘΕΜΑ 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με, για τους οποίους ο αριθμός είναι φανταστικός. Να αποδείξετε ότι :.. Ο αριθμός είναι πραγματικός.., όπου, δυο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς.. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει : u u, 0, ανήκουν στην υπερβολή. ΘΕΜΑ 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει ότι :.. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών, είναι κύκλος με κέντρο Κ,0 και ακτίνα ρ=. Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι.. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης 0, με μιγαδικό αριθμό,,, και Im Im τότε να αποδείξετε ότι και 5.. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 0,, οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός ν ικανοποιεί τη σχέση 0 τότε να αποδείξετε ότι : 0. Για τους μιγαδικούς αριθμούς, και εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών Εσπερινά 0 0 u να βρεθεί το, u, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα

ΣΥΝΟΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ Φανταστική μονάδα, Πραγματικό και φανταστικό μέρος του μιγαδικού Ισότητα δύο μιγαδικών, Re Re, Im, Im - και Πράξεις μεταξύ μιγαδικών Συζυγής μιγαδικού,,, Ιδιότητες συζυγούς, Δυνάμεις του όπου, N αν 0 αν αν - αν, ακέραιοι και 0, 0 Μέτρο μιγαδικού αριθμού Ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού,, 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα