Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί και δείγματα 23 Εφαρμογή της στατιστικής στις επιχειρήσεις 25 Σχέση μεταξύ πιθανοτήτων και στατιστικής 26 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 29 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 31 Μέτρα κεντρικής τάσης: μέσος, διάμεσος, και επικρατούσα τιμή 31 Μέσος 32 Διάμεσος 33 Επικρατούσα τιμή 35 Μέτρα διασποράς: διακύμανση και τυπική απόκλιση 36 Διακύμανση 39 Τυπική απόκλιση 40 Ιστογράμματα συχνοτήτων 46 Ομαδοποιημένα δεδομένα 49 Το ιστόγραμμα 54 Άλλα γραφήματα 57 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 67 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 68 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 70

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 75 Το στρίψιμο του κέρματος 75 Υπολογισμός των πιθανοτήτων 77 Χρήση παραγοντικών 80 Έλεγχος υποθέσεων 82 Η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική υπόθεση 83 Αποφυγή των σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 84 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 90 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 91 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 93 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 97 Ερμηνείες των πιθανοτήτων 97 Η ερμηνεία των πιθανοτήτων από το χαρτοπαίκτη 98 Χώροι πιθανοτήτων 99 Πιθανότητα ενός ενδεχόμενου 102 Πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο 102 Πιθανότητα να μη συμβεί ένα ενδεχόμενο 104 Πιθανότητα μιας ένωσης 105 Πιθανότητα μιας τομής 107 Η πολλαπλασιαστική αρχή 112 Δειγματοληψία με επανάθεση 113 Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση 115 Μεταθέσεις 117 Συνδυασμοί 119 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 133 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 134 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 139 5 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 143 Υπολογισμός δεσμευμένων πιθανοτήτων 144 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα 148 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 152 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 153 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 155

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 6 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 159 Συναρτήσεις πιθανοτήτων 161 Αναμενόμενη τιμή 166 Διακύμανση 169 Δόκιμες Bernoulli 172 Διακύμανση ενός αθροίσματος 174 Τυχαία δείγματα 177 Υπολογισμός της μέσης τιμής 181 Ο νόμος των μεγάλων αριθμών 183 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 183 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 184 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 186 7 ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON ΚΑΙ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 189 Η διωνυμική κατανομή 190 Υπολογισμός της μαθηματικής ελπίδας και της διακύμανσης μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής 193 Εφαρμογές της διωνυμικής κατανομής 194 Υπολογισμός της αναλογίας των επιτυχιών 197 Η κατανομή Poisson 198 Εφαρμογή της κατανομής Poisson: Θεωρία ουρών 199 Άλλες εφαρμογές της κατανομής Poisson 200 Υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής Poisson 201 Η υπεργεωμετρική κατανομή 201 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 204 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 205 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 207 8 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 211 Η ομοιόμορφη κατανομή 211 Η καμπύλη με το σχήμα καμπάνας 213 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές 214 Συναρτήσεις συνεχών αθροιστικών κατανομών 215 Συναρτήσεις πυκνότητας συνεχών πιθανοτήτων 218

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ορισμός της συνάρτησης πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 220 Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 222 Η κανονική κατανομή 222 Ιδιότητες της κανονικής κατανομής 222 Η αθροιστική ιδιότητα των κανονικών τυχαίων μεταβλητών 224 Η τυπική κανονική κατανομή 226 Το κεντρικό οριακό θεώρημα 232 Η κατανομή χ 2 239 Η κατανομή t 241 Η κατανομή F 243 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 244 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 245 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 249 9 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 253 Από κοινού συναρτήσεις πιθανοτήτων 253 Περιθώριες συναρτήσεις πιθανοτήτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών 256 Συναρτήσεις δεσμευμένων πιθανοτήτων 258 Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές 260 Συνδιακύμανση και συσχέτιση 261 Συνδιακύμανση 261 Συσχέτιση 263 Τυχαίες μεταβλητές με τέλεια συσχέτιση 265 Διακύμανση ενός αθροίσματος 266 Χαρτοφυλάκια μετοχών 268 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 271 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 272 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 274 10 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ 279 Εκτίμηση του μέσου 280 Εκτιμήτριες μέγιστης πιθανοφάνειας 282 Συνεπείς εκτιμήτριες 283 Αμερόληπτες εκτιμήτριες 283

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 285 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 286 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 287 11 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 291 Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης του μέσου όταν είναι γνωστή η διακύμανση 292 Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης με χρήση της κατανομής t 295 Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διακύμανσης 299 Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διαφοράς δυο μέσων 300 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 304 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 304 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 306 12 ΔΗΜΟΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΕΣ 309 Σφυγμομετρήσεις 309 Μέθοδοι για την επιλογή δείγματος 311 Χρήση της διωνυμικής κατανομής 313 Διαστήματα εμπιστοσύνης αναλογιών 314 Με χρήση της κανονικής κατανομής 314 Ανάλυση του ποσοστιαίου σφάλματος σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος 319 Είδη μεθόδων δειγματοληψίας 323 Δειγματοληψία κατά συστάδες 323 Στρωματοποιημένη δειγματοληψία 324 Ευκαιριακές δειγματοληψίες 324 Έρευνες αγοράς 326 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 329 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 330 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 330 13 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 333 Στατιστικά ελέγχου 335 Έλεγχος μιας μηδενικής υπόθεσης 336 Αποφυγή σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 336 Έλεγχος της τιμής του μέσου 340 Ο έλεγχος μιας ουράς 344

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έλεγχος υποθέσεων που αφορούν την πιθανότητα επιτυχίας 346 Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων 348 Το στατιστικώς σημαντικό είναι και άξιο λόγου; 351 Δείγματα κατά ζεύγη 353 Έλεγχος της διαφοράς δυο αναλογιών 354 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 357 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 358 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 359 14 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ Χ 2 361 Ο πίνακας συνάφειας 361 Ανάπτυξη ενός κριτηρίου ελέγχου 362 Εφαρμογή του ελέγχου χ 2 367 Έλεγχοι καλής προσαρμογής 369 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 372 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 373 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 375 15 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 381 Έλεγχος της ισότητας πολλών μέσων 381 Άθροισμα τετραγώνων 386 Ολικό άθροισμα τετραγώνων 387 Άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων 389 Άθροισμα τετραγώνων των αγωγών 389 Μέση τετραγωνική διακύμανση 389 Πίνακας ANOVA 390 Δυο λεπτά σημεία στη χρήση ελέγχων ανάλυσης διακύμανσης 392 Ανάλυση διακύμανσης με δείγματα άνισων μεγεθών 392 Ανάλυση διακύμανσης δυο παραγόντων 394 Αθροίσματα τετραγώνων γραμμών, στηλών και σφαλμάτων 398 Πίνακας ANOVA δυο παραγόντων 399 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 404 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 405 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 406 16 ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 409 Η γραμμή παλινδρόμησης 410 Υπολογισμός μιας γραμμής παλινδρόμησης 417

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 Ακρίβεια της γραμμής παλινδρόμησης 422 Συσχέτιση 425 Στατιστική ανάλυση της παλινδρόμησης 428 Πρόβλεψη τιμών της μεταβλητής y 435 Τέσσερα σημεία που χρειάζονται προσοχή κατά την πρόβλεψη τιμών 435 Πρόβλεψη των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής 438 Ανάλυση υπολοίπων 440 Μετασχηματισμοί με λογάριθμους 445 Εφαρμογή: Ανάλυση χαρτοφυλακίου 449 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 451 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 452 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 453 17 ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 457 Πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές 457 Ένα παράδειγμα χρήσης της πολλαπλής παλινδρόμησης 458 Δυο διαφορές μεταξύ της απλής παλινδρόμησης και της πολλαπλής παλινδρόμησης 459 Αποτελέσματα της πολλαπλής παλινδρόμησης 461 Η τιμή R 2 462 Η στατιστική F 465 Έλεγχος μεμονωμένων συντελεστών 466 Περαιτέρω ανάλυση των μοντέλων παλινδρόμησης 468 Παράρτημα: μαθηματικοί τύποι παλινδρόμησης 472 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 476 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 477 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 478 18 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 481 Προσημικός έλεγχος 482 Έλεγχος friedman F r 483 Έλεγχος αθροίσματος βαθμίδων του Wilcoxon 486 Έλεγχος Kruskal Wallis H 488 Προσημικός βαθμολογικός έλεγχος Wilcoxon 488 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 491 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 491 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 496

12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 19 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ 501 Ακαθάριστο εγχώριο προϊόν 502 Οδηγίες για τον υπολογισμό του ΑΕΠ 503 Δείκτες τιμών 507 Ο δείκτης τιμών καταναλωτή 511 Ο δείκτης τιμών παραγωγού 513 Χρονολογικά δεδομένα 513 Συνιστώσες των χρονολογικών δεδομένων 516 Προσδιορισμός της τάσης με τον υπολογισμό κινητών μέσων 517 Προσδιορισμός της τάσης με την παλινδρόμηση 520 Εκθετική εξομάλυνση 523 Προσαρμογή λόγω εποχικότητας 526 Η ανάγκη για προσαρμογές λόγω εποχικότητας 526 Η μέθοδος του λόγου ως προς τον κινητό μέσο 529 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 534 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 535 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 536 20 ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 537 Το δένδρο αποφάσεων 538 Αντικειμενικές μεταβλητές 540 Πίνακας αμοιβών 540 Αναμενόμενη αμοιβή 542 Ωφελεία και ρίσκο 545 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 547 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 548 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 549 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑTA ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Γλωσσάρι 553 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Υπολογισμοί 573 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 Στατιστικοί πίνακες 587 ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΩΝ 597 EΥΡΕΤΗΡΙΟ 607

Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t 241 Εικόνα 8-21 Δυστυχώς, δεν υπάρχει κάποιος απλός τύπος για την αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής χ 2. Ο μοναδικός τρόπος για να υπολογιστούν οι τιμές της F(y) είναι με τη χρήση υπολογιστή. Ο Πίνακας Α3-3 παραθέτει μερικά αποτελέσματα. Η τυχαία μεταβλητή χ 2 είναι πολύ σημαντική στη στατιστική εκτίμηση. Για παράδειγμα, η κατανομή της διακύμανσης ενός τυχαίου δείγματος που επιλέχθηκε από την κανονική κατανομή θα σχετίζεται σε μεγάλο βαθμό με μια κατανομή χ 2. (Δείτε το Κεφάλαιο 11.) Επίσης, η κατανομή αυτή παρέχει τη βάση για ένα σημαντικό στατιστικό έλεγχο (στατιστικό τεστ) που είναι γνωστός ως έλεγχος χ 2. (Δείτε το Κεφάλαιο 13.) Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ t Μια άλλη σημαντική κατανομή που σχετίζεται με την κανονική κατανομή είναι η κατανομή t. Ας υποθέσουμε ότι οι Ζ και Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές. Έστω επίσης ότι η Ζ είναι μια τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή (με μέσο όρο 0

242 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ και διακύμανση 1) και ότι η Y είναι μια μεταβλητή χ 2 με m βαθμούς ελευθερίας. Θα ορίσουμε μια νέα μεταβλητή T: Τ = Ζ Υ/m Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι η μεταβλητή Τ έχει κατανομή t με m βαθμούς ε- λευθερίας. (Η κατανομή t ονομάζεται μερικές φορές και κατανομή Student.) Η κατανομή δεν είναι μόνο για φοιτητές (students). Αυτό ήταν το ψευδώνυμο που χρησιμοποίησε ο William Gossett όταν έγραψε για πρώτη φορά για την κατανομή το 1908. Ο Gossett ήταν στατιστικολόγος που εργαζόταν για τη βρετανική ζυθοποιία Guinness και φοβόταν μην απολυθεί αν χρησιμοποιούσε το όνομά του στη δημοσίευση. Η Εικόνα 8-22 δείχνει ένα παράδειγμα συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας κατανομής t. Η συνάρτηση πυκνότητας έχει σχήμα καμπάνας που μοιάζει περίπου με αυτό της κανονικής κατανομής. Όπως και η τυπική κανονική κατανομή, μια κατανομή t είναι συμμετρική ως προς την κορυφή της στο 0. Γενικά, όμως, η κατανομή t έχει παχύτερες "ουρές" από την κανονική κατανομή. Με άλλα λόγια, μια τυχαία μεταβλητή t έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να βρεθεί μακριά από το 0 απ' ό,τι μια τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή. Παρόλα αυτά, όσο αυξάνεται ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας (m), η κατανομή t προσεγγίζει όλο και περισσότερο την τυπική κανονική κατανομή. Δείτε τους Πίνακες Α3-4 και Α3-5 του Παραρτήματος. Εικόνα 8-22

Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ F 243 Η ΚΑΤΑΝΟΜΗ F Θα αναφερθούμε τώρα σε μια άλλη κατανομή που σχετίζεται με την κατανομή χ 2 και έχει σημαντικές εφαρμογές στη στατιστική. Αν οι Χ και Y είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή χ 2 με m και n βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, τότε η τυχαία μεταβλητή F = Χ / m Υ / n θεωρείται ότι έχει κατανομή F με m και n βαθμούς ελευθερίας. Σημειώστε ότι η σειρά των m και n έχει μεγάλη σημασία. Στην Εικόνα 8-23 βλέπετε ένα παράδειγμα της συνάρτησης πυκνότητας μιας τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί κατανομή F με 10 και 4 βαθμούς ελευθερίας. Όπως και στην περίπτωση της κατανομής χ 2, μια τυχαία μεταβλητή F δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές. Η κατανομή F χρησιμοποιείται στην ανάλυση διακύμανσης και παλινδρόμησης, όπως θα δούμε στα Κεφάλαια 15 έως 17. Σε γενικές γραμμές, μας ενδιαφέρει να μάθουμε την τιμή που οριοθετεί το ακραίο 5% του συνολικού εμβαδού, όπως φαίνεται στην Εικόνα 8-24 για μια κατανομή F με 3 και 30 βαθμούς ελευθερίας. Αν ανατρέξουμε στον Πίνακα Α3-6 στο Παράρτημα 3 θα δούμε πως η συγκεκριμένη τυχαία μεταβλητή έχει πιθανότητες 95% να παίρνει τιμές μικρότερες από 2,92. Εικόνα 8-23. Κατανομή F με 10 και 4 βαθμούς ελευθερίας

244 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Εικόνα 8-24. Κατανομή F με 3 και 30 βαθμούς ελευθερίας ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ 1. Οι κατανομές χ 2, t, και F είναι κατανομές που σχετίζονται με την κανονική κατανομή και χρησιμοποιούνται ευρύτατα στη στατιστική συμπερασματολογία. 2. Για τον προσδιορισμό μιας συγκεκριμένης κατανομής χ 2 ή t πρέπει να οριστούν οι βαθμοί ελευθερίας. 3. Για τον προσδιορισμό μιας συγκεκριμένης κατανομής F πρέπει να οριστούν οι βαθμοί ελευθερίας τόσο του αριθμητή όσο και του παρονομαστή. ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΞΕΡΕΤΕ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ; Ελέγξτε αν κατανοήσατε τις έννοιες του Κεφαλαίου 8 απαντώντας στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Θα ήταν σωστό να αναπαραστήσουμε τις συνολικές εβδομαδιαίες πωλήσεις μιας αυτοκινητοβιομηχανίας με μια κανονική κατανομή; 2. Αν τα ύψη των ανθρώπων κάποιου πληθυσμού έχουν κανονική κατανομή με μέσο όρο 167 εκατοστά και τυπική απόκλιση 12,5 εκατοστά, είναι δυνατό κάποιος από αυτόν τον πληθυσμό να έχει ύψος 218 εκατοστά;

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 245 3. Πότε μπορεί η κανονική κατανομή να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής; Για ποιο λόγο είναι κατάλληλη αυτή η προσέγγιση; Ποια είναι τα πλεονεκτήματα που έχουμε κάνοντας αυτή την προσέγγιση; 4. Μπορείτε να εξηγήσετε με δικά σας λόγια γιατί ισχύει το κεντρικό οριακό θεώρημα; 5. Αν προσθέσετε δύο τυχαίες μεταβλητές που έχουν κανονικές κατανομές, θα έχει το αποτέλεσμα κανονική κατανομή; 6. Γιατί πρέπει το εμβαδόν κάτω από τη συνάρτηση πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής να είναι πάντα ίσο με 1; 7. Γιατί είναι αδύνατο για την αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής να γίνει κάποτε φθίνουσα; Για τις Ερωτήσεις 8 έως 10, θεωρήστε ότι η Ζ είναι μια τυπική κανονική τυχαία μεταβλητή. 8. Είναι η πιθανότητα Pr(Ζ < 1) ίδια με την πιθανότητα Pr(Ζ 1); 9. Για ποιο λόγο Pr(Ζ < a) = Pr(Ζ > a); 10. Για ποιο λόγο Pr(Ζ > a) = 1 Pr(Ζ < a); ΟΡΟΙ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ βαθμοί ελευθερίας κατανομή χ 2 κανονική κατανομή κεντρικό οριακό θεώρημα κατανομή F συνεχής τυχαία μεταβλητή κατανομή t τυπική κανονική κατανομή ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Ας υποθέσουμε ότι το ύψος της ετήσιας βροχόπτωσης σε κάποια πόλη έχει κανονική κατανομή με μέσο όρο 40 και τυπική απόκλιση 5. Ποια είναι η πιθανότητα να δεχθεί η πόλη λιγότερο από 33 εκατοστά βροχής τον επόμενο χρόνο; Ποια είναι η πιθανότητα να δεχθεί η πόλη περισσότερα από 38 εκατοστά βροχής; 2. Ας υποθέσουμε ότι ο βαθμός που θα πάρει ένας φοιτητής σε κάποιες εισαγωγικές εξετάσεις είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανομή

246 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ με μέσο όρο 550 και διακύμανση 900. Αν ο βαθμός που χρειάζεστε για να πετύχετε στις εξετάσεις είναι 575, ποια είναι η πιθανότητα να τα καταφέρετε; Αν ο βαθμός που χρειάζεστε για να πετύχετε είναι 540, ποια είναι η πιθανότητα να τα καταφέρετε; 3. Ας υποθέσουμε ότι μετράτε την ταχύτητα του φωτός. Το αποτέλεσμα της μέτρησής σας δίνεται από μια κανονική τυχαία μεταβλητή της οποίας ο μέσος όρος είναι η πραγματική τιμή και η διακύμανσή της είναι 5 10 9 εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. Ποια είναι η πιθανότητα να απέχει η μέτρησή σας το πολύ 2 10 9 εκατοστά ανά δευτερόλεπτο από την πραγματική τιμή; 4. Ας υποθέσουμε ότι διαχειρίζεστε ένα αναψυκτήριο. Ο αριθμός των αναψυκτικών που πουλάτε κάθε μέρα δίνεται από μια κανονική τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο 15 και τυπική απόκλιση 10. Ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσετε τουλάχιστον 120 αναψυκτικά σε μια εβδομάδα (7 ημέρες); Ποια είναι η πιθανότητα να πουλήσετε τουλάχιστον 100 αναψυκτικά; Είναι σωστό να παραστήσετε μια μεταβλητή σαν τα ποτήρια αναψυκτικού που καταναλώνονται με μια κανονική τυχαία μεταβλητή; Στις Ασκήσεις 5 έως 13, έστω Χ μια κανονική τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους μ και σ 2, συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X (x), και αθροιστική συνάρτηση κατανομής F X (α). Χρησιμοποιήστε τον Πίνακα Α3-1 για να υπολογίσετε τη Φ(x). 5. Αν μ = 0 και σ 2 = 100, βρείτε την πιθανότητα Pr(5 < Χ < 10). 6. Αν μ = 3, σ 2 = 9, και F X (a) = 0,6, βρείτε το a. 7. Αν μ = 0 και F X (5) = 0,8, βρείτε το σ 2. 8. Αν μ = 3, γιατί δεν μπορεί F X (4) = 0,4; 9. Αν μ = 73 και σ 2 = 81, βρείτε την πιθανότητα Pr( Χ > 100). 10. Αν μ = 25 και σ 2 = 100, βρείτε την πιθανότητα Pr(Χ = 25). 11. Αν μ = 1 και σ 2 = 64, για ποιες τιμές του a ισχύει 0,1 < F X (a) < 0,3; 12. Αν η συνάρτηση f X (Χ) έχει ως ελάχιστο την τιμή 5 στο σημείο x = 10, υπολογίστε τα μ και σ 2. 13. Αν η Χ είναι μια κανονική τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο μ 1 και τυπική απόκλιση σ 1, και η Y είναι μια κανονική τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο μ 2 και τυπική απόκλιση σ 2, βρείτε την πιθανότητα Pr(Y > Χ). 14. Ας υποθέσουμε ότι έχετε να επιλέξετε ανάμεσα σε δύο δουλειές. Το ετήσιο εισόδημά σας από μια δουλειά σε βιομηχανία θα έχει κανονική κατανομή με

ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 247 μέσο όρο 15.000 ευρώ. και τυπική απόκλιση 2.000 ευρώ. Το ετήσιο εισόδημά σας αν εργαστείτε ως εμπορικός αντιπρόσωπος θα έχει κανονική κατανομή με μέσο όρο 12.000 ευρώ και τυπική απόκλιση 10.000 ευρώ. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίζετε περισσότερα από τη δουλειά του εμπορικού αντιπροσώπου; 15. Ας υποθέσουμε ότι είστε διευθυντής σε μια τράπεζα όπου τα ποσά των ημερήσιων καταθέσεων και αναλήψεων δίνονται από ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή. Για τις καταθέσεις, ο μέσος όρος είναι 12.000 ευρώ και η τυπική απόκλιση 4.000 ευρώ., ενώ για τις αναλήψεις ο μέσος όρος είναι 10.000 ευρώ και η τυπική απόκλιση 5.000 ευρώ. Για κάποια συγκεκριμένη ημέρα, υπολογίστε την πιθανότητα καθενός από τα παρακάτω ενδεχόμενα: (α) Οι καταθέσεις να ξεπεράσουν το ποσό των 13.000 ευρώ. (β) Οι αναλήψεις να ξεπεράσουν το ποσό των 13.000 ευρώ. (γ) Οι αναλήψεις να ξεπεράσουν τις καταθέσεις. (δ) Οι αναλήψεις να ξεπεράσουν τις καταθέσεις κατά 5.000 ευρώ. 16. Ας υποθέσουμε ότι έχετε ανακαλύψει ότι τα ύψη των ενηλίκων μιας πόλης 10.000 κατοίκων ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο όρο 173 εκατοστά και τυπική απόκλιση 13 εκατοστά. (α) Πόσοι κάτοικοι είναι ψηλότεροι από 198 εκατοστά; (β) Πόσοι κάτοικοι έχουν ύψος από 183 έως 198 εκατοστά; (γ) Πόσοι κάτοικοι έχουν ύψος από 173 έως 183 εκατοστά; (δ) Πόσοι κάτοικοι έχουν ύψος από 163 έως 173 εκατοστά; (ε) Πόσοι κάτοικοι έχουν ύψος μικρότερο από 163 εκατοστά; 17. Ας υποθέσουμε ότι η διάρκεια ζωής ενός συγκεκριμένου ηλεκτρονικού κυκλώματος έχει κανονική κατανομή με μέσο 50.000 ώρες και τυπική απόκλιση 8.000 ώρες. (α) Αν επιλέξετε στην τύχη ένα από αυτά τα κυκλώματα, ποια είναι η πιθανότητα να είναι η διάρκεια ζωής του μικρότερη από 30.000 ώρες; (β) Ποια είναι η πιθανότητα να είναι η διάρκεια ζωής του κυκλώματος που ε- πιλέξατε στην τύχη μεγαλύτερη από 55.000 ώρες; (γ) Ας υποθέσουμε ότι αγοράζετε δύο κυκλώματα. Όταν χαλάσει το πρώτο κύκλωμα, θα το αντικαταστήσετε με το δεύτερο. Έστω Χ μια τυχαία μετα-

248 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ βλητή που αναπαριστά το άθροισμα της διάρκειας ζωής του πρώτου κυκλώματος και της διάρκειας ζωής του δεύτερου κυκλώματος. Ποια είναι η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ, ποιος είναι ο μέσος της, και ποια είναι η διακύμανσή της; (δ) Ποια είναι η πιθανότητα να είναι η X μεγαλύτερη από 80.000 ώρες; 18. Ας υποθέσουμε ότι είστε ο διοργανωτής ενός επίσημου δείπνου. Ο αριθμός των ανθρώπων που προσέρχονται στο επίσημο δείπνο του Εμπορικού Επιμελητηρίου που οργανώνετε δίνεται από μια κανονική κατανομή με μέσο όρο 65 και τυπική απόκλιση 4. Πόσες θέσεις πρέπει να ετοιμάσετε αν η πιθανότητα εμφάνισης υπεράριθμων καλεσμένων πρέπει να είναι μικρότερη από 3%; 19. Ας υποθέσουμε ότι μια πόλη έχει 100.000 κατοίκους. Αν παίρνατε τους κοινούς (δεκαδικούς) λογάριθμους των εισοδημάτων κάθε οικογένειας, θα ανακαλύπτατε ότι τα αποτελέσματα θα είχαν κανονική κατανομή με μέσο όρο 4,3010 και τυπική απόκλιση 0,3. (Αν δεν είστε ακόμη εξοικειωμένοι με τους λογάριθμους, ρίξτε μια ματιά στην ανάλυσή τους, στο Κεφάλαιο 15.) Πόσες από τις οικογένειες αυτής της πόλης έχουν εισόδημα μεταξύ 10.000 ευρώ και 15.000 ευρώ; Μεταξύ 15.000 και 20.000 ευρώ; Μεταξύ 20.000 και 25.000 ευρώ; Μεταξύ 25.000 και 30.000 ευρώ; 20. Ας υποθέσουμε ότι ο βαθμός που παίρνει ένας φοιτητής σε κάποιο συγκεκριμένο μάθημα δεν είναι απόλυτα αντιπροσωπευτικός, καθώς υπάρχουν πολλοί αστάθμητοι (τυχαίοι) παράγοντες που θα μπορούσαν να έχουν αποτέλεσμα να είναι ο βαθμός υψηλότερος ή χαμηλότερος από αυτόν που αντιστοιχεί στις πραγματικές δυνατότητες του φοιτητή. Ας υποθέσουμε ότι ο βαθμός δίνεται από μια τυχαία μεταβλητή με κανονική κατανομή με μέσο 8,75 και τυπική α- πόκλιση 0,625. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο βαθμός του φοιτητή σε κάποιο συγκεκριμένο μάθημα θα είναι από 8,5 έως 9; Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένας φοιτητής παρακολουθεί 36 μαθήματα και ότι οι βαθμοί του σε αυτά τα μαθήματα έχουν όλοι την ίδια κανονική κατανομή. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο μέσος βαθμός για όλα τα μαθήματα θα είναι από 8,5 έως 9; 21. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή χ 2 με 3 βαθμούς ελευθερίας να είναι μεγαλύτερη από 4; 22. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή χ 2 με 5 βαθμούς ελευθερίας να είναι μικρότερη από 2; 23. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή t με 5 βαθμούς ελευθερίας να βρίσκεται μεταξύ 0 και 1;

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 249 24. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή t με 10 βαθμούς ελευθερίας να βρίσκεται μεταξύ 2 και 1; 25. Θα πιστεύατε κάποιον που θα σας έλεγε ότι παρατήρησε την τιμή 16 ως αποτέλεσμα μιας τυχαίας μεταβλητής χ 2 με 12 βαθμούς ελευθερίας; 26. Θα πιστεύατε κάποιον που θα σας έλεγε ότι μια τυχαία μεταβλητή χ 2 με 16 βαθμούς ελευθερίας πήρε την τιμή 5; 27. Θα πιστεύατε κάποιον που θα σας έλεγε ότι μια τυχαία μεταβλητή που επιλέχθηκε από μια κατανομή t με 3 βαθμούς ελευθερίας πήρε την τιμή 2,3; 28. Θα πιστεύατε κάποιον που θα σας έλεγε ότι μια τυχαία μεταβλητή που επιλέχθηκε από μια κατανομή t με 12 βαθμούς ελευθερίας πήρε την τιμή 0,7; ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Οι πωλήσεις είναι πιθανό να ακολουθούν κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή. Θα χρειαζόταν να παρακολουθήσουμε τις πωλήσεις για αρκετές ε- βδομάδες και μετά να σχεδιάσουμε ένα διάγραμμα συχνοτήτων για να δούμε αν η κανονική κατανομή είναι κατάλληλη. Σημειώστε ότι η κανονική κατανομή δεν μπορεί να αναπαραστήσει με ακρίβεια αυτή την περίπτωση καθώς η κανονική κατανομή είναι μια συνεχής κατανομή, ενώ ο αριθμός των είναι πάντα ακέραιος αριθμός. 2. Θα ήταν εξαιρετικά απίθανο να έχει κάποιος ύψος που βρίσκεται τέσσερις τυπικές αποκλίσεις επάνω από το μέσο όρο, αλλά δεν είναι αδύνατο να συμβεί. 3. Η κανονική κατανομή μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής όταν το πλήθος των δοκιμών είναι μεγάλο. Η διωνυμική κατανομή μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα n ανεξάρτητων πανομοιότυπων τυχαίων μεταβλητών Bernoulli, και έτσι ισχύει το κεντρικό οριακό θεώρημα. Η προσέγγιση αυτή έχει το πλεονέκτημα ότι οι υπολογισμοί που βασίζονται στην κανονική κατανομή είναι ευκολότεροι από αυτούς που απαιτούνται για την ε- πίλυση του τύπου της διωνυμικής κατανομής. 4. Αν παρατηρήσετε πολλές φορές μια τυχαία μεταβλητή και πάρετε τη μέση τιμή, είναι απίθανο αυτή η μέση τιμή να βρίσκεται μακριά από το μέσο όρο της κατανομής. Για παράδειγμα, η μέση τιμή θα βρίσκεται μακριά από το μέσο όρο μόνο αν οι περισσότερες από τις τιμές που παρατηρήθηκαν βρίσκονται

250 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ πάνω από το μέσο όρο, πράγμα απίθανο. Η κανονική κατανομή ισχύει σε πολλές τέτοιες περιπτώσεις όπου οι ακραίες τιμές είναι λιγότερο πιθανές από τις "μεσαίες" τιμές. 5. Το αποτέλεσμα θα έχει κανονική κατανομή αν οι δύο τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες. Αν δεν είναι ανεξάρτητες, δεν μπορείτε να γνωρίζετε με βεβαιότητα ποια θα είναι η κατανομή του αθροίσματος. 6. Υπάρχει πιθανότητα ίση με 1 ότι η τυχαία μεταβλητή θα πάρει τιμή ανάμεσα στο μείον άπειρο και το συν άπειρο. έτσι, το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη από το μείον άπειρο έως το συν άπειρο θα πρέπει να είναι 1. 7. Αν a < b, και Χ μια συνεχής τυχαία μεταβλητή, τότε η πιθανότητα Pr(Χ < a) πρέπει να είναι μικρότερη από (ή ίση με) την πιθανότητα Pr (Χ < b). Για παράδειγμα, η πιθανότητα Pr(Χ < 2) πρέπει να είναι μικρότερη από (ή ίση με) την πιθανότητα Pr(Χ < 3). 8. Ναι. Αν η Χ είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή και το a είναι οποιοσδήποτε αριθμός, τότε Pr(Χ < a) = Pr(Χ a). Η ιδιότητα αυτή δεν ισχύει για τις διακριτές τυχαίες μεταβλητές. 9. Επειδή η καμπύλη της τυπικής κανονικής κατανομής είναι συμμετρική ως προς το 0, το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη δεξιά από το a πρέπει να είναι ίσο με το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη αριστερά από το a. 10. Αφού το Ζ πρέπει να είναι είτε μεγαλύτερο από το a είτε μικρότερο από το a, συνεπάγεται ότι η πιθανότητα Pr(Ζ > a) πρέπει να είναι ίση με 1 Pr(Ζ < a). ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1. 0,08, 0,66 2. 0,20, 0,63 3. 0,31 4. 0,28, 0,58. Η κανονική κατανομή μπορεί να αναπαραστήσει αυτή την περίπτωση μόνο προσεγγιστικά, μιας και ο αριθμός των αναψυκτικών που πουλήθηκαν είναι διακριτή τυχαία μεταβλητή. 5. 0,15 6. 2,25 7. 35,43

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 251 8. F(3) = F(μ) = Φ(0) = 0,5, που είναι μεγαλύτερο από το F(4) = 0,4. επομένως, έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι η F πρέπει να είναι αύξουσα συνάρτηση. 9. 0 10. 0 11. 9,24 < α < 3,16 12. Μέσος όρος = 10, διακύμανση = 0,0064 13. 1 Φ μ 1 μ 2 σ 2 2 1 + σ 2 14. 0,39 15. (α) 0,4013 (β) 0,2743 (γ) 0,3783 (δ) 0,1379 16. (α) 227 (β) 1.892 (γ) 2.881 (δ) 2.881 (ε) 2.119 17. (α) 0,0062 (β) 0,2676 (γ) Κανονική κατανομή, μέσος όρος = 100.000, διακύμανση = 128.000.000, (δ) 0,9616 18. 73 19. 17.850, 16.280, 12.550, 9.690 20. 0,3108, 0,9836 21. Λίγο μικρότερο από 0,25 22. Περίπου 0,10 23. Περίπου 0,30 24. Περίπου 0,15 25. Υπάρχει πιθανότητα περίπου 0,2 ότι αυτή η τυχαία μεταβλητή θα μπορούσε να έχει μέχρι και την τιμή 16, και έτσι μπορείτε να τον πιστέψετε. 26. Η πιθανότητα να είναι αυτή η τυχαία μεταβλητή μικρότερη από 5 είναι μικρότερη από 0,005 και έτσι δεν θα πρέπει να πιστέψετε αυτόν τον ισχυρισμό. 27. Καθώς υπάρχει πιθανότητα μόνο 0,05 να είναι αυτή η τυχαία μεταβλητή μικρότερη από 2,3, θα πρέπει να αντιμετωπίσετε με δυσπιστία αυτή την τιμή, αλλά δεν μπορείτε και να την αποκλείσετε με βεβαιότητα. 28. Ναι.

9 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (independent random variables): δύο τυχαίες μεταβλητές που δεν επηρεάζουν η μία την άλλη. η γνώση της τιμής της μιας μεταβλητής δεν μας δίνει καμία πληροφορία γα την άλλη μεταβλητή. συνδιακύμανση (covariance): μια ένδειξη του βαθμού στον οποίο σχετίζονται μεταξύ τους δύο ποσότητες. έχει σχέση με τη συσχέτιση αλλά η τιμή της δεν περιορίζεται από 1 μέχρι 1. συσχέτιση (correlation): μια ένδειξη του βαθμού στον οποίο σχετίζονται μεταξύ τους δύο ποσότητες. η τιμή της είναι πάντα μεταξύ 1 και 1. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο διακριτές τυχαίες μεταβλητές, τις X και Y, και μας ενδιαφέρουν οι πιθανότητες να πάρουν κάποιες συγκεκριμένες τιμές. Όπως συμβαίνει και στην περίπτωση μιας τυχαίας μεταβλητής, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση πιθανότητας και μια συνάρτηση αθροιστικής κατανομής. Ας πούμε ότι η X έχει έξι δυνατές τιμές (τις X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, και X 6 ) και ότι η Y έχει και αυτή έξι δυνατές τιμές (τις Y 1, Y 2, Y 3, Y 4, Y 5, και Y 6 ). Θα εκτελέσουμε ένα πείραμα τύχης στο οποίο θα παρατηρήσουμε τις τιμές των X και Y. Το αποτέλεσμα του πειράματος θα αποτελείται από δύο αριθμούς: την τιμή που θα παρατηρήσουμε για την X και την τιμή που θα παρατηρήσουμε για την Y. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν 36 δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. (Γενικά, όταν

254 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ υπάρχουν m δυνατές τιμές για την X και n δυνατές τιμές για τη Y, θα υπάρχουν mn δυνατά αποτελέσματα.) Για να χαρακτηρίσουμε το πείραμα πλήρως, θα πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα καθενός από τα 36 δυνατά αποτελέσματα. Μπορούμε να παραθέσουμε τα αποτελέσματά μας με τη μορφή ενός πίνακα. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι το X είναι ο αριθμός που εμφανίζεται στο πάνω μέρος ενός ζαριού όταν το ρίχνουμε και το Y είναι ο αριθμός που υπάρχει στο κάτω μέρος του ζαριού. Έτσι, ο πίνακας πιθανοτήτων θα είναι ο εξής: Y X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 X = 5 X = 6 1 0 0 0 0 0 1/6 2 0 0 0 0 1/6 0 3 0 0 0 1/6 0 0 4 0 0 1/6 0 0 0 5 0 1/6 0 0 0 0 6 1/6 0 0 0 0 0 (Ο πίνακας έχει αυτή τη μορφή επειδή οι αριθμοί που βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές ενός ζαριού έχουν άθροισμα 7.) Για να δούμε ένα άλλο παράδειγμα, υποθέστε ότι τα X και Z είναι οι αριθμοί που φέρνουμε όταν ρίχνουμε δύο διαφορετικά ζάρια. Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας πιθανοτήτων θα έχει αυτή τη μορφή: Ζ X = 1 X = 2 X = 3 X = 4 X = 5 X = 6 1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 2 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 (Σε αυτή την περίπτωση, όπως είναι προφανές, καθένα από τα 36 δυνατά αποτελέσματα είναι το ίδιο πιθανό.) Όταν υπάρχουν πολλές δυνατές τιμές είτε για το X είτε για το Y, η δημιουργία ενός πίνακα είναι πρακτικά αδύνατη. Γενικά, πάντως, μπορούμε να ορίσουμε μια από κοινού συνάρτηση πιθανότητας (joint probability function) που θα συμβολίζουμε f(x, y) ως εξής: f(x, y) = Pr[(X = x) και (Y = y)] = Pr[(X = x) (Y = y)]

ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 255 Σε αυτή την περίπτωση, η f είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. (Η συνηθισμένη συνάρτηση πιθανότητας είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής.) Σημειώστε ότι f(x, y) = 0 όταν το (x, y) δεν ανήκει στα δυνατά αποτελέσματα των X και Y. Το ά- θροισμα όλων των δυνατών τιμών της συνάρτησης f(x, y) πρέπει να είναι 1. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε την αθροιστική συνάρτηση της από κοινού κατανομής (joint cumulative distribution function): F(x, y) = Pr[(X x) και (Y y)] = Pr[(X x) (Y y)] Η αθροιστική συνάρτηση της από κοινού κατανομής για δύο συνεχείς τυχαίες μεταβλητές μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο. Μπορούμε να αντιληφθούμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας δύο συνεχών τυχαίων μεταβλητών με την α- κόλουθη περιγραφή. Φανταστείτε ένα μικρό λόφο σχεδιασμένο επάνω σε ένα επίπεδο στο οποίο έχουν χαραχθεί οι άξονες X και Y. Ο συνολικός όγκος που καλύπτει ο λόφος πρέπει να είναι 1. Τότε, η πιθανότητα ότι οι τιμές των μεταβλητών X και Y θα βρίσκονται σε ένα δεδομένο ορθογώνιο αυτού του επιπέδου ισούται με τον όγκο του λόφου επάνω από αυτό το ορθογώνιο. Η οπτική αναπαράσταση από κοινού συναρτήσεων πυκνότητας για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές είναι δύσκολη επειδή θα πρέπει να γίνει σε τρεις διαστάσεις. Η Εικόνα 9-1 είναι ένα διάγραμμα προοπτικής που απεικονίζει την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας f(x,y) = 12x 2 y 3, με 0 x 1 και 0 y 1. Το Excel θα επιχειρήσει να σχεδιάσει τέτοιου είδους διαγράμματα αν εισάγετε ένα δισδιάστατο πίνακα με τις τιμές της f(x,y). Επιλέξτε «Επιφάνεια» (Surface) από το μενού με τις κατηγορίες γραφημάτων. Η Εικόνα 9-2 παρουσιάζει την εκδοχή του Excel για την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας δύο ανεξάρτητων, κανονικών, τυχαίων μεταβλητών. Το Excel χρησιμοποιεί διαφορετικά χρώματα για να υποδείξει τα ύψη που αντιστοιχούν σε διαφορετικά σημεία. Εικόνα 9-1

256 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Εικόνα 9-2 ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Υποθέστε ότι μας ενδιαφέρει η τιμή της μεταβλητής X αλλά όχι και της Y. (Για παράδειγμα, τους περισσότερους δεν τους ενδιαφέρει καθόλου ο αριθμός που βρίσκεται στη βάση του ζαριού που μόλις έριξαν.) Σε αυτή την περίπτωση, η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μας δίνει πολύ περισσότερες πληροφορίες από όσες χρειαζόμαστε. Αυτό που πραγματικά μας ενδιαφέρει είναι να βρούμε κάποιον τρόπο για να διατυπώσουμε τη συνάρτηση πιθανότητας μόνο του X. [Συμβολίζουμε τη συνάρτηση πιθανότητας του X με f X (x).] Ας εξετάσουμε την από κοινού συνάρτηση πιθανότητας των X και Y που είδαμε παραπάνω. Θα πρέπει κανονικά να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την πληροφορία για να βρούμε την πιθανότητα να ισούται το X με 1. Όπως μπορείτε να διαπιστώσετε από τον πίνακα, το πείραμα έχει έξι δυνατά αποτελέσματα στα οποία το X είναι ίσο με 1: