ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β ) G( α ) B B α (Μονάδες ) Πότε λέµε ότι µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της (Μονάδες ) Να δώσετε την γεωµετρική ερµηνεία του παράγωγου αριθµού στο σηµείο Μ, f της γραφικής παράστασης της f ( (Μονάδες ) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν z z + = και z, z C αναγκαστικά z =z = g α lim g α lim f y = l τότε β) Αν κοντά στο µε = και ( ) lim f g = l γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [α, β] και συνάρτησης, τότε κατ ανάγκη θα είναι = y α f β µέγιστη τιµή της f β δ) Αν µία συνάρτηση f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα, τότε f > ε) Αν µία συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και f στο [ ] f d τότε,, (Μονάδες )
ΘΕΜΑ ο + w Οι µιγαδικοί αριθµοί z, w συνδέονται µε τη σχέση z = και η εικόνα του w w Κ και ακτίνα ρ = ανήκει στον κύκλο µε κέντρο (,) α) Να δείξετε ότι η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο µε κέντρο το Ο(, ) και ακτίνα ρ = β) Αν z= () και z, z, z οι εικόνες τριών µιγαδικών αριθµών για τους οποίους ισχύει η σχέση () να δείξετε ότι: z+ z z+ z z+ z i) Ο αριθµός α= + + είναι πραγµατικός z z z (Μονάδες 7) ii) Αν επιπλέον z +z +z = τότε να αποδείξετε ότι: z z z Re + + = z z z (Μονάδες 7) γ) ίνεται η ευθεία (ε): + y = Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των εικόνων του µιγαδικού w από την ευθεία (ε) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f :(, ) + ισχύουν f = f e + και f = α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g = e + είναι - β) Να δείξετε ότι f ln = για κάθε > γ) Να µελετήσετε τη συνάρτηση h βρεθεί το σύνολο τιµών της + R τέτοια, ώστε για κάθε > (Μονάδες ) f = ως προς την µονοτονία και να
συν ηµ ηµ συν δ) Να λύσετε την εξίσωση π = αν e e, (Μονάδες ) ε) Να εξετασθεί η h ως προς κυρτότητα και να δείξετε ότι για κάθε, µε h h > > ισχύει e ΘΕΜΑ ο Έστω συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιµη και τέτοια, ώστε u f t dt du 6 για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α) f ( t) dt= (Μονάδες 7) β) Αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (, f ()) είναι η ευθεία + y = να υπολογίσετε το γ) Αν για κάθε ισχύει f > και ότι για κάθε > ισχύει h h > t f ( t) dt lim (Μονάδες ) h = f ( t) dt, να αποδείξετε δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) f ( ξ ) + = ξ (Μονάδες 7) ξ τέτοιο, ώστε
Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο σελ Β σελ Β σελ Γ α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο + w z = w z w = + w w w + zw = z w( + z) = z z z w = ( z ) w + = + z + z + z + z + z + w + = = z + z + Από την υπόθεση w+ = Άρα z + w + = = z + = z + z + α) Έχουµε z + = z + z + z + = z + z + z zw = + w zz + z + z + = zz + z + z + z = z = β) i) Έχουµε z = z = zz = z =, z =, z = z z z Επειδή z R z = z (Πρέπει να αποδειχθεί) αρκεί να δείξουµε ότι α= α
ii) Οπότε γ) ος Τρόπος z z z z z z z z z z z z α + + + ɶ z z z z z z z = + + + + + = z z z z z + + + + + = z z z z z z z z z z z z z+ z z+ z z+ z = + + = α z z z z z z z z z + + + + + z z z z z z z z z Έχουµε Re + + = = z z z z z z z z z z+ z z z z z + + + + + + + + + z z z z z z z z z = = z z z z z z = = = + + = + + + + + = z z z z z z z z z Έχουµε ( ) + d ( Kε, ) = = = + Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: AM = d K, ε ρ = = και µέγιστη ος Τρόπος BM = d K, ε + ρ= + = ε δ λ δ βρούµε το Μ λύνουµε το σύστηµα Έχουµε = Άρα + y = (, y) =, άρα M y + = ( KM ) = + + = = δ : y = + y + = Για να,
Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ( AM ) = ( KM ) ρ = = και µέγιστη ( BM ) = ( KM ) + ρ = + = ΘΕΜΑ ο α) Είναι g = e + () Τότε g e Άρα η συνάρτηση g είναι ως γνησίως αύξουσα = + > για κάθε (, ) β) Έχουµε + f f = f ( e + ) = + f e + f f e f f + = + ( e + f ) = ( + ln ) f e + f = + ln + c Για = έχουµε f () e + f () = + c µε c = Άρα f ln ln ln ( ) = ( ln ) Αλλά η g είναι - Άρα f ln e + f = + = e + και λόγω της () έχουµε g f g γ) Είναι h Τότε h f = ( ln ln ) ln = = = = ή ln = ή ln= ή = e Αν h e h () h() + Έχουµε h h( e ) + = + H h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε (, e H h είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε [ e, + ) lne ma = = = e e Πεδίο τιµών : lim h = lim ( ln ) = ( + )( ) = + +
ln ( ln ) lim h = lim = lim = lim = + + + + ( ( ( ) h A = lim h, h e lim h, h e =,,, = + + e e e συν ηµ ηµ συν δ) Έχουµε = e e π Για κάθε, ισχύει ηµ, συν > > e e Λογαριθµίζουµε τη σχέση και έχουµε: συν ηµ ln ηµ συν ηµ συν = ln συν ln = ηµ ln e e e e ln( ηµ ) ln( συν) συν ( ln( ηµ ) lne) = ηµ ( ln( συν) lne) = ηµ συν h( ηµ ) = h( συν ) () π Για κάθε, ισχύουν οι σχέσεις < ηµ <, < συν < και (,) (,e ) Η h είναι - ως γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (,e Από τη () έχουµε π ηµ = συν ή εφ = ή = ln h = και ( ln ) ln ( ln ) ln h + = = = = h = ή ln = ή ln= ή = e / Η h είναι κοίλη στο διάστηµα (,e e / h () ++ Η h είναι κυρτή στο διάστηµα e /, + ) h () ε) Έχουµε / / ln e h min ( e ) = = = e e / ( e )
Τότε ΘΕΜΑ ο h για κάθε > e, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Η h είναι συνεχής στο [ ] Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως πηλίκο παραγωγίσιµων ln συναρτήσεων µε h = Από το ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον h h( ) ξ (, ) ώστε h ( ξ ) = () Αλλά για κάθε > εποµένως και για το ξ > ισχύει h ( ξ ) () e h h Από τις () και () έχουµε e u α) Θεωρούµε την συνάρτηση g = f ( t) dt du + 6 g g και η g παρουσιάζει ελάχιστο για = Έχουµε g() = Τότε Από το Θεώρηµα Fermat ισχύει g = f t dt g = Αλλά και για = έχουµε g = f ( t) dt - = ή β) Για = και y = f() έχουµε + f = f = και f = Έχουµε : ( ) f t dt= t f ( t) dt t f t dt f - lim lim lim DLH = = = f f f () = lim = lim = f = = γ) ος Τρόπος Για κάθε > η ανίσωση γίνεται: h > h h h >
6 Θέτουµε K = ( ) h h = ( ) f h για [, ) + Έτσι έχουµε K = f + ( ) f h = f + ( ) f f = = f > για κάθε > Άρα η K είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) αφού είναι συνεχής στο [,+ ) Εποµένως K K ( ) h h ος τρόπος > > > Θεωρούµε την συνάρτηση h( u) = f ( t) dt, u [, ] u = Η h είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ) µε h ( u) f ( u) Από το ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε h ( ξ ) h h h() = Αλλά h() = f ( t) dt = οπότε h ( ξ ) = () Επίσης h = f και h = f > Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε και για ξ< έχουµε h ( ξ ) < h () Από τις σχέσεις () και () έχουµε h h > δ) Θεωρούµε την συνάρτηση, ϕ = f t dt + R Η φ είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων Η φ είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε ϕ = f + ϕ = = = f t dt + = Είναι ϕ() ϕ() ϕ 9 9 Από το Θεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ϕ ( ξ ) = f ( ξ ) + ξ = f ( ξ ) + = ξ ξ ώστε 6