iii) x + ye 2xy 2xy dy

ΕΚΠΑ - Τμήμα Μαθηματικών Διαφορικές Εξισώσεις Ι Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παραδόσεις Ε. Κόττα-Αθανασιάδου Ασκήσεις (Είναι οι ασκήσεις που αφήνονται για «λύση στο σπίτι» στις παραδόσεις της διδάσκουσας. Η παρακάτω λίστα καθώς και οι υποδείξεις λύσεων γράφονται από ομάδα φοιτητών και δεν ελέγχονται από τη διδάσκουσα για να ανέβουν.) 1 06 Οκτωβρίου 2016 1. Να βρεθεί ολοκληρωτικός παράγοντας της μορφής μ=μ(t + y 2 ) για τη διαφορική εξίσωση (3t + 2y + y 2 )dt + (t + 4ty + 5y 2 )dy = 0, t > 0. 2. Για ποιες τιμές του a είναι ακριβείς οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις; i) x + ye 2xy 2xy dy + axe = 0 dx ii) 1 x 2 + 1 + ax+1 dy y 2 y 3 dx = 0 iii) x + ye 2xy 2xy dy + axe = 0 dx 3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση x 2 y = y 2 + 2xy, αν είναι γνωστό ότι δέχεται ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής μ=μ(y). 4. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση (4x 2 y+2y 2 )dx+(3x 3 +4xy)dy = 0, αν είναι γνωστό ότι δέχεται ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής μ(x, y)=x α y β. 1

2 13 Οκτωβρίου 2016 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση L(y) = 0 με τον μετασχηματισμό γίνεται τύπου Riccati. y(t) = e u(t)dt 2. Να μετασχηματιστεί η εξίσωση L(y) = 0 σε ισοδύναμη διαφορική εξίσωση χωρίς τον πρωτοτάξιο όρο. [ Υπόδειξη: Εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό y(t) = u(t)v(t). ] 3. Εστω η ομογενής εξίσωση L(y) = y + a 1 y + a 2 y = 0, όπου a 1 και a 2 πραγματικές σταθερές. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι Εστω a 2 1 4a 2 < 0 και οι δύο ρίζες της (γ,δ R). p(r) = r 2 + a 1 r + a 2 = 0. r 1 = γ + iδ, r 2 = γ iδ i) Να αποδειχθεί η γραμμική ανεξαρτησία των λύσεων y 1 (t) = e (γ+iδ)t, y 2 (t) = e (γ iδ)t. ii) Να βρεθούν δύο πραγματικές και γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης (Να αποδειχθεί η γραμμική ανεξαρτησία τους) και η γενική λύση της εξίσωσης με τιμές στο R. 3 20 Οκτωβρίου 2016 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση t 2 y 5ty + 25y = 0, t > 0. 2

4 27 Οκτωβρίου 2016 1. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις: i) x (t) 3x (t) + 2x(t) = 0 ii) x (t) + x (t) + x(t) = 0 iii) x (t) + 4x (t) + 4x(t) = 0 2. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 2 t y + 2 y = 6t 2, t > 0, t 2 αν είναι γνωστό ότι μια λύση της αντίστοιχης ομογενούς είναι η y 1 (t) = t 2. 5 03 Νοεμβρίου 2016 1. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 4y = f(t), όπου: i) f(t) = e 3t, ii) f(t) = e 2t, iii) f(t) = e t, iv) f(t) = t 2, v) f(t) = t 3, vi) f(t) = 1 + e t, vii) f(t) = e t + e 2t, viii) f(t) = t 2 + e 2t, ix) f(t) = e t + t. 2. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 4y + 3y = e 2t cost. [ Υπόδειξη: y ε (t) = e 2t (Asint + Bcost) ] 6 10 Νοεμβρίου 2016 (Επαναληπτικές) 1. Να βρεθεί η γενική λύση μίας μη ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, αν είναι γνωστό ότι είναι λύσεις της οι: 3

φ 1 (t) = t 2 φ 2 (t) = t 2 + e t φ 3 (t) = 1 + t 2 + 2e t [ Υπόδειξη ( Οχι στην εκφώνηση): Για τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς μπορούν να επιλεγούν οι διαφορές φ 2 (t) φ 1 (t) = e t και φ 3 (t) φ 2 (t) = 1 + e t (Τότε, η ορίζουσα W ronski θα είναι ίση με e t ). Για ειδική λύση μια απλή επιλογή είναι η φ 1. ] 2. Να βρεθεί η γενική λύση μίας μη ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης, ορισμένης για t > 0, αν είναι γνωστό ότι είναι λύσεις της οι: φ 1 (t) = t 2 + t 3 lnt φ 2 (t) = t + t 2 + t 3 lnt φ 3 (t) = t + 2t 2 + t 3 lnt 3. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις: i) y 5y + 6y = 2cost e 3t ii) y + 5y + 6y = 2cost e 3t iii) y 4y + 3y = e t + e 2t 4. Να λυθεί το Π.Α.Τ.: (1 + t 2 )y + 2ty = 1, y(0) = 1. [ Υπόδειξη ( Οχι στην εκφώνηση): [ (1 + t 2 )y ] =1 ] 5. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση e y dt + (te y + 2y)dy = 0 [ Εκτός της εκφώνησης: Είναι ακριβής. ] 6. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + y = ty 2. [ Εκτός της εκφώνησης: Είναι Bernoulli. ] 7. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + y = 2cost + sint. [ Υπόδειξη: y ε (t) = t(acost + Bsint) ] 4

8. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + y + y = t 2. [ Υπόδειξη: y ε (t) = αt 2 + βt+γ ] 9. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y + 8y = 3e 2t. 10. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 4y + 4y = 0, αν είναι γνωστό ότι η φ 1 (t) = e 2t είναι λύση της. [ Υπόδειξη: Μπορεί να λυθεί είτε μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης είτε με τη μέθοδο υποβιβασμού τάξης. ] 11. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y 2t ότι η φ 1 (t) = t είναι λύση της. t 2 +1 y + 2 t 2 +1 y = 0, αν είναι γνωστό 12. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση (x 2 y + y 2 )dx x 3 dy = 0, αν είναι γνωστό ότι δέχεται ολοκληρωτικό παράγοντα της μορφής μ(x, y)=μ(xy). 13. Να βρεθούν όλες οι διαφορίσιμες συναρτήσεις f με f(0) = 2 για τις οποίες η διαφορική εξίσωση 1 + y 2 sint + f(t)yy = 0 είναι ακριβής. 7 24 Νοεμβρίου 2016 Οι παρακάτω ασκήσεις είναι από το Κεφάλαιο 5 του βιβλίου «Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις - Ν.Δ. Αλικάκος, Γ.Η. Καλογερόπουλος». 1. Να βρεθεί η λύση της εξίσωσης (t 2 4)y + 3ty + y = 0, που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y(0) = 4, y (0) = 1. ( Είναι το λυμένο παράδειγμα 5.6. [Σελίδες 215-216] ) 2. Να βρεθούν λύσεις της μορφής n=0 a nx n για τις παρακάτω διαφορικές εξισώσεις. 5

α) y y = 0. β) y = 2xy. γ) y + y = 0. Απαντήσεις: α) y = a 0 n=0 β) y = a 0 n=0 x n n! = a 0 e x, x R. x 2n n! = a 0 e x2, x R. γ) y = a ( 1) n x 2n 0 n=0 + a ( 1) n x 2n+1 (2n)! 1 n=0 (2n+1)! = a 0 cosx + a 1 sinx, x R. ( Είναι ερωτήματα της άσκησης 5.1. [Σελίδα 242] ) 3. Να βρεθούν δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις σε μορφή δυναμοσειρών (δυνάμεων του x) της διαφορικής εξίσωσης y xy + y = 0. Για ποιες τιμές του x συγκλίνουν οι δυναμοσειρές; Απάντηση: φ 1 (x) = x, φ 2 (x) = n=0 x 2n n!2 n (2n 1). ( Είναι το πρώτο ερώτημα της άσκησης 5.2. [Σελίδα 243] ) 8 08 Δεκεμβρίου 2016 (Επαναληπτικές) 1. ( Να λυθεί με τη Μέθοδο των ) Δυναμοσειρών το πρόβλημα αρχικών τιμών (1 + t 2 )y + 3ty + y = 0 y(0) = 1, y. (0) = 2 2. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση t 2 y 2ty + 2y = t 4, t > 0. 3. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση y y 2y = e 3t + sin(2t). 4. α) Εστω η διαφορική εξίσωση M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0, όπου M, N : D R 2 R συναρτήσεις με συνεχείς μερικές παραγώγους ( ) 1 M και D απλά συνεκτικό σύνολο. Αν N 0 και N = g(t) N y t (δηλαδή συνάρτηση μόνο του t), να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας μ=μ(t). β) Να λυθεί η διαφορική εξίσωση (t 2 + y 2 + t)dt + tydy = 0, t > 0. 6

9 15 Δεκεμβρίου 2016 1. Εστω A = [ ] 1 2. Να βρεθεί ο e 0 3 At. [ Οχι με τον τύπο του αθροίσματος. ] [ ] t 2 t 2. α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας Φ(t) = 1 2t t 2, t > 0 είναι θεμελιώδης πίνακας λύσεων του συστήματος [ ] 0 1 y (t) = 2t 2 y(t), t > 0. 0 β) Να βρεθεί [ ] η λύση του συστήματος, αν ικανοποιεί την αρχική συνθήκη 1 y(1) =. 1 3. (Επαναληπτική) Δίνεται η διαφορική εξίσωση ydt+(t 2 y t)dy = 0, t > 0. Να βρεθεί ένας ολοκληρωτικός παράγοντας της μορφής μ=μ(t) και να λυθεί, με την επιπλέον υπόθεση ότι y(1) = 2. 7