Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης της μορφής y f(x) y + g(x) y p, (A.) όπου f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο κοινό διάστημα Δ R του πεδίου ορισμού τους, και p R {0, }. Ο λόγος για τον οποίο αποκλείουμε τις τιμές 0 και για τον εκθέτη p, είναι ότι για αυτές τις τιμές η εξίσωση μετατρέπεται σε γραμμική (και ομογενή γραμμική όταν p.). Αν p > 0, τότε κάθε εξίσωση Bernoulli δέχεται ως ιδιάζουσα λύση την μηδενική συνάρτηση, y 0. Σε κάθε διάστημα που η συνάρτηση y(x) δεν μηδενίζεται, η εξίσωση (A.) μπορεί να ξαναγραφεί στη μορφή y p y f(x) y p + g(x). Παρατηρούμε ότι y p y p (y p ). Οπότε θεωρώντας μια νέα εξαρτημένη μεταβλητή u(x) y(x) p, μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η εξίσωση (A.) μετατρέπεται στην γραμμική διαφορική εξίσωση (για την νέα συνάρτηση u(x)) u ( p)f(x) u ( p)g(x). (A.) Λύνοντας την γραμμική σδε (A.), με γνωστή μας μέθοδο, βρίσκουμε την συνάρτηση u(x) κι επιστρέφοντας στην σχέση u(x) y p (x), μπορούμε πλέον να βρούμε τη συνάρτηση y(x), δηλαδή την γενική λύση της αρχικής σδε (A.). Μια άλλη κλάση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, είναι αυτή των σδε τύπου Riccati, δηλαδή των εξισώσεων της μορφής y f(x) + g(x) y + h(x) y, (A.3) με f, g και h συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο κοινό διάστημα Δ R του πεδίου οριμού τους. Όταν η συνάρτηση f(x) μηδενίζεται ταυτοτικά, δηλαδή f(x) 0, η σδε Riccati ανάγεται σε σδε Bernoulli (με εκθέτη p ), ενώ όταν η συνάρτηση h(x) 0 η σδε Riccati είναι γραμμική. Αν, με οποιονδήποτε τρόπο, μπορούμε να βρούμε μια ειδική λύση y ε (t) της σδε (A.3), τότε μέσω της αντικατάστασης y(t) y ε (t) + v(t), 0
η σδε Riccati (A.3) μετατρέπεται στην ακόλουθη γραμμική, μη ομογενή σδε, για την συνάρτηση v(t), v + (g(t) + h(t) y ε (t))v h(t). Λύνοντας την παραπάνω σδε για την συνάρτηση v(t), και στη συνέχεια αντικαθιστώντας στην σχέση y(t) y ε (t) +, βρίσκουμε την συνάρτηση v(t) y(t). Δηλαδή τη γενική λύση της εξίσωσης (A.3). Τέλος, ως ομογενής διαφορική εξίσωση, χαρακτηρίζεται κάθε διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής y y G ( x ). (A.4) Κάθε ομογενής διαφορική εξίσωση ανάγεται σε εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών ως εξής: Θέτουμε y(x) x z(x). Παραγωγίζοντας (ως προς x) και εφαρμόζοντας τον κανόνα παραγώγισης γινομένου του Leibniz έπεται ότι y (x) z(x) + x z (x). Έτσι, η εξίσωση y G(y/x) μετατρέπεται στην εξίσωση η οποία ισοδύναμα γράφεται και ως z + x z G(z), z G(z) z, x η οποία είναι μια σδε χωριζομένων μεταβλητών για την συνάρτηση z(x). Οι σταθερές συναρτήσεις z j που αποτελούν λύσεις της (αλγεβρικής) εξίσωσης G(z) z 0, παρέχουν τις ειδικές λύσεις της εξίσωσης (A.4), y j (x) z j x. Άσκηση. Να βρεθεί η γενική λύση της σδε y y + t y. Λύση. Ξαναγράφοντας την εξίσωση στην μορφή y y + ty /, βλέπουμε ότι αυτή είναι Bernoulli με εκθέτη p. Ισοδύναμα, η εξίσωση γράφεται και ως y / y y 3/ + t. (.4) Θέτουμε u(t) y(t) ( ) y(t) 3. Άρα, u 3 y y. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (.4), βρίσκουμε ότι 3 u u + t
ή ισοδύναμα u 3 u 3 t. Η εξίσωση αυτή είναι μια γραμμική σ.δ.ε. πρώτης τάξης και άρα η γενική της λύση δίνεται από τον τύπο Οπότε, 3 u(t) exp ( dt ) ( c + exp ( 3 dt 3 ) t dt, c R. ) u(t) e 3 t ( c + e 3 t 3 t dt ) e 3 t ( c + 3 ( e t ) t dt) e 3 t ( c e 3 t t + e 3 t dt ) e 3 t ( c e 3 t t 3 e 3 t ) c e 3 t t 3. Έτσι λοιπόν, c e 3 t t y(t) 3 3, και συνεπώς, η γενική λύση της αρχικής σδε, είναι η y(t) ( c e 3 t t 3) 3, c R. Από την μορφή της αρχικής σδε έχουμε περιοριστεί σ ένα διάστημα του t όπου y > 0. Άσκηση. Να βρεθεί η γενική λύση των παρακάτω σδε τύπου Riccati, αφού πρώτα δειχθεί ότι η αντίστοιχη συνάρτηση y ε αποτελεί ειδική λύση τους. α) y + y 6 x, y ε x β) y + x xy + y, y ε x Λύση. α) Η παράγωγος της συνάρτησης y ε είναι y ε(x). Έχουμε, λοιπόν, ότι x y ε + y ε x + ( x ) x + 4 x 8 x 6 x και άρα πράγματι, η συνάρτηση y ε αποτελεί ειδική λύση. Παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση είναι μη γραμμική και μάλιστα Riccati. Για να βρούμε την γενική της λύση λοιπόν, θέτουμε y(x) y ε (x) +, δηλαδή y(x) + και έχουμε ότι v(x) x v(x) y (x) + x v(x) v (x). Αντικαθιστώντας στην διαφορική εξίσωση, παίρνουμε ή x + v v + ( x + v ) 6 x x v v + 8 x + 8 xv + v 6 x
ή δηλαδή v v + 8 xv + v 0 v 8 v. x Η γενική λύση της εξίσωσης αυτής είναι η v(x) exp ( 8 x dx ) ( c + exp ( 8 x dx ) dx ) e 8 ln x ( c + e 8 ln x dx ) x 8 ( c + x 8 dx ) x 8 ( c 7 x 7 ) c x8 x, c R. 7 Άρα, η γενική λύση της (αρχικής) διαφορικής εξίσωσης είναι η η οποία γράφεται και ως y(x) x + c R, c x 8 x, 7 y(x) x + 7, C R. Cx 8 x β) Παρατηρούμε ότι η εξίσωση μπορεί να γραφεί και ισοδύναμα στην μορφή y + (x y), (.) από όπου προκύπτει αμέσως ότι πραγματικά η y ε (x) x αποτελεί ειδική λύση της σδε. Επειδή η σδε είναι τύπου Riccati, θέτουμε y(x) y ε (x) + v(x) x + v(x). Άρα y v v και η εξίσωση γίνεται δηλαδή v v + ( x x v ) v. ή v v v, Οπότε, v(x) x + c, c R και επομένως η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y + x xy + y δίνεται από τη σχέση y(x) x +, c R. c x Η μορφή (.) που παίρνει η συγκεκριμένη σδε μας οδηγεί και σε έναν εναλλακτικό, πιο άμεσο, τρόπο επίλυσής της. Η σδε γράφεται και ως (y x) (y x) Οπότε θέτουμε w(x) y(x) x και η σδε μετατρέπεται σε χωριζομένων μεταβλητών Οπότε Άρα d w w w w d x x + c w w x + c κι επιστρέφοντας στην αρχική συνάρτηση y έχουμε ότι y x + c x, c c Παρατήρηση. Στην άσκηση αυτή μας δόθηκε μια ειδική λύση της κάθε σδε Riccati. Στην περίπτωση που θα έπρεπε να βρούμε εμείς μια, θα ψάχναμε για μια ειδική λύση της μορφής y ε (x) Ax B, και για τις δύο εξισώσεις, αφού το δεξί τους μέλος είναι πολυώνυμο (ως προς x και y). 3
Άσκηση 3. Να βρεθεί η γενική λύση της y y x x y, και όλες οι ιδιάζουσες λύσεις που τυχόν δεν περιλαμβάνονται στην γενική λύση της. Λύση. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση αυτή είναι ομογενής. Πράγματι, y x((y/x) ) x( (y/x)) (y/x) (y/x) G(y/x). Θέτουμε, λοιπόν, y(x) x z(x) και άρα y (x) z(x) + x z (x). Οπότε δηλαδή z + x z z z x z z z z + z z z z z z. Η εξίσωση αυτή είναι χωριζομένων μεταβλητών, οπότε στα διαστήματα που το z δεν μηδενίζεται, έχουμε και άρα z z z x z z dz x dx + c ή z (z )(z + ) dz dx + c, x ή ισοδύναμα z dz ln x + c. (z )(z + ) z Η ανάλυση της συνάρτησης σε απλά κλάσματα δίνει (z )(z+) z (z )(z + ) z 3 z +. Επομένως, ln x + c z dz 3 z + dz ln z 3 ln z + Αναλυτικά, z (z )(z + ) A z + B z + Az + A + Bz B (z )(z + ) Άρα A + B και A B, από όπου έπεται ότι A και B 3. Άρα δηλαδή και επομένως ln z ln z + 3. ln x + c ln z ln z + 3 ln z (z + ) 3 z (z + ) 3 ec x ln x + c ln z (z + ) 3 ή z (z + ) 3 ± ec x Cx, (3.) για C R {0}. Οι ιδιάζουσες λύσεις της σδε για την z(x) είναι οι z 0, ή ισοδύναμα οι z ±. 4
) Η ιδιάζουσα λύση z, αντιστοιχεί στην τιμή της σταθερής C 0, στην προηγούμενη γενική λύση (3.). C x ) Αν z, τότε (z+)3, οπότε η άλλη ιδιάζουσα λύση αντιστοιχεί στην περίπτωση που C 0. Είναι προφανές ότι η σχέση (3.) z C x δεν μπορεί να περιγράψει και τις δυο ιδιάζουσες λύσεις για κατάλληλες τιμές της C, οπότε επιλέγουμε ως γενική λύση της σδε την σχέση (3.) με C R, και κουβαλάμε την ιδιάζουσα λύση z. Επιστρέφοντας στην αρχική μεταβλητή y x z, βρίσκουμε ότι η γενική λύση δίνεται έμμεσα από την σχέση ή ισοδύναμα y x (y + x) 3 x Cx y x (y + x) 3 C. Συνοψίζοντας, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y y x x y, δίνεται έμμεσα από την σχέση y x (y + x) 3 C, C R καθώς και η ειδική λύση y(x) x, που αντιστοιχεί στην ιδιάζουσα λύση z. Άσκηση 4. Να αποδείξετε ότι, αν η διαφορική εξίσωση M(x, y)dx + N(x, y)dy 0 είναι ομογενής, τότε δέχεται ως ολοκληρωτικό παράγοντα την συνάρτηση μ(x, y) xm(x, y) + yn(x, y). Λύση. Υποθέτουμε ότι η σδε είναι ομογενής, και συνεπώς μπορεί να γραφεί στην μορφή y G(y/x), για κάποια συνάρτηση G. Από την άλλη, η εξίσωση M(x, y)dx + N(x, y)dy 0 γράφεται ισοδύναμα και ως dy y) M(x, dx N(x, y) ή Πρέπει λοιπόν, y M(x, y) N(x, y). y y) G ( x ) M(x, N(x, y). 5
Εξ ορισμού, η συνάρτηση μ(x, y) αποτελεί ολοκληρωτικό παράγοντα της εξίσωσης M(x, y)dx + N(x, y)dy 0, αν την μετατρέπει σε ακριβή, δηλαδή αν ισχύει ότι (μ(x, y)m(x, y)) (μ(x, y)ν(x, y)). y x Έχουμε, και μ(x, y)m(x, y) μ(x, y)n(x, y) M(x, y) xm(x, y) + yn(x, y) x + y N(x,y) M(x,y) N(x, y) xm(x, y) + yn(x, y) x M(x,y) N(x,y) + y x y G(y/x) x G(y/x) + y. Θέτουμε y/x z z(x, y). Τότε, G(y/x) G(z) G(z(x, y)). Επομένως, και (μ(x, y)m(x, y)) y y x y G(z) y G(z) y ( ( x y G(z)) G y G ( x y G) G y x G (x G y) y ( x y G(z)) G(z)) ( x y G(z)) G x y G G x G ( x y G) + y G(z) ( G (z) z G(z) ) y ( x y G(z)) (μ(x, y)ν(x, y)) x x ( x G(z) + y) x ( x G(z) + y) ( x G(z) + y) G(z) x x (G(z)) ( x G(z) + y) y G + x ( x ) G G ( x G + y) G y x G (x G y). G(z) + x G z (z) x ( x G(z) + y) y x G ( x G + y) Οπότε, (μ(x, y)m(x, y)) y (μ(x, y)ν(x, y)) x, και συνεπώς η συνάρτηση μ(x, y) αποτελεί ολοκληρωτικό παράγοντα. 6
Άσκηση 5. Να βρεθεί η γενική λύση της σδε y 3x + y. xy Λύση. ος τρόπος: Ξαναγράφοντας την εξίσωση ως 3x + y + xy y 0 και θέτοντας M(x, y) 3x + y και N(x, y) xy, βλέπουμε ότι η διαφορική εξίσωση αυτή είναι ακριβής (στο R ) καθώς M y (x, y) y N x (x, y). Συνεπώς, υπάρχει συνάρτηση ψ C (R ) τέτοια ώστε ψ x (x, y) M(x, y) 3x + y (5.) ψ y (x, y) N(x, y) xy (5.) Ολοκληρώνοντας την (5.) ως προς x, βρίσκουμε ότι ψ(x, y) x 3 + xy + g(y) όπου g(y) τυχαία διαφορίσιμη συνάρτηση. Τότε όμως, ψ y (x, y) xy + g (y) και άρα από την (5.) παίρνουμε xy + g (y) xy ή g (y) 0 που σημαίνει ότι η συνάρτηση g(y) είναι σταθερή. Επιλέγοντας δίχως βλάβη της γενικότητας, την g να είναι η μηδενική συνάρτηση, έπεται ότι ψ(x, y) x 3 + xy και συνεπώς η λύση της διαφορικής εξίσωσης περιγράφεται από την σχέση x 3 + xy c, c R. Η γραφική παράσταση της λύσης για διάφορες τιμές της παραμέτρου c. ος τρόπος: Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα στην μορφή y x y 3 x y Άρα, είναι Bernoulli με εκθέτη p. Ισοδύναμα y y x y 3 x. και χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u(x) y(x) ( ) εξίσωση μετατρέπεται στην γραμμική σ.δ.ε. y(x), η ή αλλιώς u + x u 3 x u + u 3x. x Όμως, αυτή μπορεί να γραφεί και στην μορφή xu + u 3x ή ισοδύναμα, στην μορφή (xu) 3x. Οπότε, ολοκληρώνοντας ως προς x, παίρνουμε ότι xu x 3 + c, 7
για c R και συνακόλουθα, η γενική λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης δίνεται στην πεπλεγμένη μορφή x y x 3 + c, c R. 3ος τρόπος: Τέλος, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η αρχική σδε είναι και ομογενής, αφού y x (3 + (y /x )) xy x(3 + (y/x) ) y 3 + (y/x) (y/x) G(y/x). Θέτουμε y x z και η εξίσωση γίνεται δηλαδή z + x z 3 + z z x z 3 + z z z 3 + z + z z 3 + 3z z 3 + z. z Επειδή z + 0 για κάθε z R, από τον χωρισμό μεταβλητών παίρνουμε z + z z 3 x. Συνεπώς, ολοκληρώνοντας κατά μέλη έχουμε 3 ln x + c z + z dz ( + z ) dz ln( + z ). + z Άρα, + z x 3 e c ± x 3 e c Cx 3, C R. Έπεται, λοιπόν, ότι + (y/x) Cx 3, από όπου συμπεραίνουμε ότι η γενική λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης δίνεται έμμεσα από την σχέση x + y Cx, C R. Παρατηρήστε ότι όποιον δρόμο και να ακολουθήσει κανείς οδηγείται σε ταυτόσημα αποτελέσματα, όμως διαφορετικής δυσκολίας από πλευράς πράξεων. 8
Ασκήσεις για επίλυση Άσκηση. Βρείτε την γενική λύση (και τις ιδιάζουσες λύσεις, αν υπάρχουν) των παρακάτω σδε, με δυο (τουλάχιστον) διαφορετικούς τρόπους, που γνωρίζεται ως τώρα. Για παράδειγμα, η σδε vi) είναι τύπου Bernoulli και χωριζομένων μεταβλητών. i) x y y x 3 + y 3, ii) 3 y y + y 3 e x, iii) ( + y ) + x y y 0, iv) x y + y y ln x, x > 0, v) y + x y y e x, vi) y + x y x y, vii) x y y + x y. Άσκηση. Βρείτε την γενική λύση των παρακάτω σδε τύπου Riccati χρησιμοποιώντας την δοσμένη αντίστοιχη ειδική λύση: i) x y y + y x, y ε (x) x, ii) x y y + ( x + ) y x + x, y ε (x) x, iii) y y + e x y e x + e x, y ε (x) e x. Άσκηση 3. Θεωρούμε την σδε y a x + b y, a d b c. c x + d y α) Αφού ταυτοποιήσετε την σδε ως ομογενή, αποδείξτε ότι η γενική λύση της δίνεται από την σχέση x k G(y/x), όπου G(v) exp ( και k πραγματική σταθερή. a + b v b v + (a d) v c dv ) β) Έστω Α, Β, Γ δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί και k μια πραγματική παράμετρος. Αποδείξτε ότι η κωνική τομή Α x + Β x y + Γ y k, ικανοποιεί την σδε (Β x + Γ y) y + (Α x + Β y) 0. γ) Βρείτε τις ολοκληρωτικές καμπύλες της σδε (x + y) y x y. Τι παριστάνουν γεωμετρικά οι καμπύλες αυτές; 9