ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ

Σχετικά έγγραφα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

Περιεχόμενα μεθόδευση του μαθήματος

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

Σχόλια στα όρια. Γενικά

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΜΑΘΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΣΤΑ ΟΡΙΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες.

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες. Kglykos.

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η Δίνεται η συνάρτηση:

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

Φ3: ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ. Παρατήρηση: Για να εφαρμόσουμε τον τύπο πρέπει μία από τις δύο συναρτήσεις να είναι ή να την γράψουμε υπό μορφή παραγώγου

T Ш. κεφαλαιο1. οριο - συνεχεια συναρτησης. τ κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. γ λυκειου. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1. κεφαλαιο 1

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Διαφορικός Λογισμός. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

f(x) = και στην συνέχεια

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

1) κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία x = x0 =± ( ηλαδή η ευθεία x = x0. είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν ένα τουλάχιστον από τα δύο πλευρικά όρια

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης

ΧΡΗΣΙΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΩΝ

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

ΑΝΑΛΥΣΗ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

Μαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο

Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός ὁ γιγνώσκων γιγνώσκει τὶ ἢ οὐδέν;

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

ΔΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ xo ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΟΥ ( x. 2 lim χ + χ 5χ. χ 5χ+ lim. χ χ. lim.

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις & Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Transcript:

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΩΝ o A. Ρητή της μορφής (0/0), με παραγοντοποίηση εμφανίζουμε το (χ-χ ο ) σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και στη συνέχεια κάνουμε αντικατάσταση σε ό,τι έμεινε! 6 1 7 8 64 1 4 5 1 8 16 Β. Όριο άρρητης (0/0) με τετραγωνικές ρίζες. Συζυγή παράσταση όπου υπάρχουν παραστάσεις με ρίζες που μηδενίζονται, εμφανίζουμε και πάλι τον παράγοντα (χ-χ ο ), απλοποιούμε, αντικαθιστούμε με χ ο. 1 1 5 8 4 Γ. Όριο άρρητης (0/0) με κυβικές ρίζες. Συζυγή παράσταση όπου απαιτείται, ενεργούμε στη συνέχεια όπως και στο βήμα Β. 5 1 7 6 1 9 5 8 8 Δ. Όριο άρρητης (0/0) με ριζικά διαφόρων τάξεων ή παραστάσεις όπου απαιτείται διάσπαση. Προσοχή, τα όρια στα οποία θα «σπάσουμε» το αρχικό, πρέπει να διατηρούν τη μορφή (0/0). 5 6 6 1 7 7 6 1 1 4 1 Ε. Όριο παράστασης με απόλυτη τιμή, όπου αυτό που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο δεν μηδενίζεται. Βγάζουμε την απόλυτη τιμή κρίνοντας το πρόσημο της παράστασης μέσα σε αυτό, προχωρούμε όπως στο βήμα Α. 4 5 1 7 1 10 1. lim. lim ΣΤ. Όριο παράστασης με απόλυτη τιμή, όπου αυτό που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο μηδενίζεται. Ελέγχουμε μήπως ο όρος που μηδενίζεται με το απόλυτο, μπορεί να βγει κοινός παράγοντας σε αριθμητή και παρονομαστή. Αν όχι, φτιάχνουμε πινακάκια για το πρόσημο των παραστάσεων που μηδενίζονται και παίρνουμε πλευρικά όρια. 1 1 1 8 1 5 5 4 4 Ζ. Χρήση κριτηρίου παρεμβολής, όταν η f() δίνεται εγκλωβισμένη από την αρχή ή όταν δίνεται σχέση της μορφής f() <g(), την οποία εμείς μετατρέπουμε σε διπλή ανίσωση για να λύσουμε. Υπάρχει ακόμα η περίπτωση του να πολ/με παράσταση που τείνει στο 0 με κάποια τριγωνομετρική που παίρνει τιμές μεταξύ -1 και 1. Βάζουμε εμείς απόλυτη τιμή, μετατρέπουμε σε διπλή ανίσωση και κάνουμε πάλι χρήση του

κριτηρίου παρεμβολής. 1. ύ f() 5 4, ί lim f().. ύ έ :, ί lim f().. ί : lim[ 4 ] f() 1 5 Η. Τριγωνομετρικά όρια τα οποία στηρίζονται στις σχέσεις: Ξεκινάμε με τις πιο απλές μορφές. 1 lim 1 lim 0. 0 0 5 1 5 4. lim 0 0 7 0 0 9 5. lim 6. lim 7. lim 4 0 0 0 4 5 Θ. Υπολογισμός ορίων της μορφής (0/0) όπου απαιτείται αλλαγή μεταβλητής: 1 4 1 1 ( ) 6 1 1 9 Ι. Όταν δίνεται το όριο μιας παράστασης και ζητείται το όριο ενός «τμήματος» αυτής. Στην περίπτωση αυτή, ακολουθούμε τη διαδικασία Θ.Λ.L (θέτω, λύνω, limαρω!!!). Ονομάζω με μια βοηθητική συνάρτηση την παράσταση της οποίας γνωρίζω το όριο, λύνω ως προς αυτό του οποίου ζητείται το όριο και βάζω lim και στα δύο μέλη. f() f() 7 f( 7) 1. ύ lim 5, ί : lim f(), lim, lim f( 1) f() f( 1) 1. ύ lim 7, ί : lim, lim f(), lim 4 16 ΙΑ. Όταν είμαστε στην περίπτωση a, γνωρίζουμε ξεκινώντας πως τελικά το όριο θα είναι άπειρο. 0 Αρκεί να προσδιορίσουμε το πρόσημο του παρονομαστή. Οπότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις : α. Ο παρονομαστής διατηρεί πρόσημο, οπότε η απάντηση είναι άμεση. Θυμίζω πως εκτός από τις κλασικές περιπτώσεις όπου έχουμε παρονομαστές της μορφής: ποσότητες : v A(), A (), A(), διατηρούν πρόσημο και οι 0 ό 0 e 1 0 ό 0. ί, ό (1 ) (1 ) ί έ. β. Ο παρονομαστής δεν διατηρεί πρόσημο. Τότε, φροντίζουμε να εμφανίσουμε στον παρονομαστή την ποσότητα (χ-χ ο ) και να πάρουμε πλευρικά όρια. 5 5 1 4. lim 0 5 6 4 6 4

Χρήσιμες (και κρίσιμες!) συμβουλές 1. Μην «σπάτε» το ζητούμενο όριο σε επιμέρους όρια αν δεν έχετε αποδείξει ότι τα επιμέρους όρια υπάρχουν! Κρατήστε όλη την παράσταση μέσα σε αγκύλη αν χρειαστεί να τη διασπάσετε σε άθροισμα ορίων.. Αν μέσα στην ίδια παράσταση έχετε ριζικά διαφορετικών τάξεων της ίδιας παράστασης, ονομάστε με βοηθητικό άγνωστο το ριζικό με τάξη που ισούται με το ΕΚΠ των τάξεων των ριζικών. Αν, για παράδειγμα στο ίδιο όριο υπάρχουν τα 1, 4 1, 1, ονομάστε 1 y 1.. Αν μια συνάρτηση έχει δοθεί ως άρτια ή περιττή, θα χρειαστεί να ονομάσετε y το (-). 4. Αν ισχύει ότι f()>g() ή f() g() και υπάρχουν τα όρια τους καθώς το τείνει στο o, τότε μπορείτε να ισχυριστείτε ότι ισχύει: lim f() lim g(). o o 5. Αν σας ζητείται να βρείτε τις τιμές κάποιων παραμέτρων, ώστε να υπάρχει το όριο μιας παράστασης που τα περιέχει και να ισούται με γνωστό αριθμό, ξεκινήστε ονομάζοντας g() το όριο, απαλείψτε τους παρονομαστές και βάλτε lim και στα δύο μέλη. Έτσι θα βρείτε την τιμή μιας παραμέτρου ή μια συνθήκη. Αντικαταστήστε την τιμή ή την συνθήκη στο αρχικό όριο, κάντε απλοποιήσεις και συνεχίστε με παραγοντοποίηση και απλοποίηση. a a a 6. Τα όρια lim lim, πρέπει να τα αποδεικνύετε κάθε φορά, πολ/ντας την 0 0 αρχική σχέση με και θέτοντας y=a. 7. Η ανισοτική σχέση, η οποία ισχύει για κάθε χ πραγματικό, με την ισότητα να ισχύει μόνο για χ=0, δίνει ενδιαφέροντα συμπεράσματα για τη λύση ανισώσεων ή εξισώσεων. Ο ασφαλέστερος τρόπος να δείτε τι ακριβώς και πότε ισχύει, είναι με τη χρήση γραφικής παράστασης: Στην πρώτη γραφική είναι οι ημχ και χ, ενώ στη δεύτερη γραφική είναι χαραγμένες οι (ημχ), (-ημχ) (χ) και (-χ). Κοιτάξτε για παράδειγμα την ανίσωση: ( ()) A() A() 0 αφού η γραφική παράσταση του ημχ βρίσκεται πάνω από την y= για χ<0.

Α. Όταν πρέπει να βρούμε όριο πολυωνυμικής ή ρητής συνάρτησης, κρατάμε το μεγιστοβάθμιο όρο, ή το λόγο των δύο μεγιστοβάθμιων στις ρητές. Β. Αν πρέπει να βρούμε όριο ρίζας, βρίσκουμε το όριο της υπόριζης ποσότητας και αν αυτό είναι συν άπειρο, τότε το αποτέλεσμα είναι συν άπειρο. Γ. Απροσδιοριστία της μορφής με άρρητες παραστάσεις σε αριθμητή ή/και παρονομαστή. Για να άρουμε την απροσδιοριστία, βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο σε αριθμητή και παρονομαστή. Προσοχή!!! Αυτό που βγάζετε εκτός ρίζας πρέπει να είναι μη αρνητική ποσότητα, συνεπώς του βάζουμε απόλυτη τιμή ή καλύτερα κρίνουμε το πρόσημο ανάλογα με το αν το χ τείνει στον συν ή το πλην άπειρο. Προσοχή ακόμα αν η τάξη της ρίζας είναι διαφορετική από το βαθμό της υπόριζης ποσότητας. Δείτε στα παρακάτω παραδείγματα πως βγάζουμε τον κοινό παράγοντα: Ό : 5 1 4 1 7 4 4 5 1 1, 7, 5 5 4 4 4 Ό : 5 1 1 7 4 5 1 1, 7, 5 5 4 4 Δ. Απροσδιοριστία της μορφής με άρρητες παραστάσεις. Αθροίζουμε (πρόχειρα, με το μάτι!) τους μεγιστοβάθμιους όρους και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: α. Αν το άθροισμα είναι μηδέν, κάνουμε συζυγή παράσταση και στη συνέχεια έχουμε βρεθεί στην περίπτωση (Γ). Είναι δυνατόν να απαιτείται διάσπαση σε κλάσματα όταν υπάρχουν πάνω από δύο ριζικά στον αριθμητή και σε αυτήν την περίπτωση χρειάζεται να προσθαφαιρέσουμε κατάλληλες ποσότητες ώστε να διατηρείται στο μηδέν το αλγεβρικό άθροισμα. Δείτε το παρακάτω παράδειγμα: lim 4 1 5 lim 4 1 5 1 5 1 5 lim... 4 1 5 4 4 β. Αν το άθροισμα δεν είναι μηδέν, βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο. 1. lim 4 1 5. lim 4 1. lim 9 5 5 4 4. lim 1 Ε. Αν έχουμε τριγωνομετρικά όρια με το χ να τείνει στο άπειρο, διακρίνουμε δύο βασικές περιπτώσεις: α. Αν εμφανίζεται το (ημ(1/χ)), φροντίζουμε να «κολλήσουμε» δίπλα του το χ, ώστε να πρέπει να βρούμε

1 y 1 το lim lim 1, ό y. y0 y β. Τα όρια της μορφής τείνουν στο μηδέν. lim, lim, δείχνουμε με τη βοήθεια του κριτηρίου παρεμβολής ότι v v γ. Γενικά, σε οποιαδήποτε παράσταση περιέχει τριγωνομετρικούς όρους, πρώτα ελέγχουμε αν μπορούμε να εμφανίσουμε την περίπτωση (α), διαφορετικά κάνουμε κριτήριο παρεμβολής. 5 1. lim. lim. lim e 4. lim 5. lim 5 4 ΣΤ. Όταν έχουμε να βρούμε όριο εκθετικής-λογαριθμικής, σε περίπτωση απροσδιοριστίας (άπειρο/ άπειρο), αν το χ τείνει στο συν άπειρο, βγάζουμε κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή τον όρο με τη μεγαλύτερη βάση, οπότε κατ αναλογίαν βγάζουμε κοινό παράγοντα τον όρο με τη μικρότερη βάση όταν το χ τείνει στο μείον άπειρο. Με τον τρόπο αυτό, το όριο των ποσοτήτων της μορφής δημιουργούνται, είναι μηδέν. e e 4 4 1 1 1 1 1 ln 1 που