8 Μαΐου 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ. 58 Α4. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος Θέμα Β z z 4 w 5w B. Έστω z yi,, y yi yi 4 yi yi 4 y y 4 y y 4 y 4 y y Οι εικόνες μοναδιαίο κύκλο. Nz κινούνται σε κύκλο με κέντρο το O0,0 και, δηλαδή στον
Β. zz z z 3 z, z 4 z z z z z z z z zzzz zzzz z z zzzz z z z z z z z z 0 5 οπότε z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 άρα z z Γεωμετρικά Αν Μ (z ), Μ (z ) τότε z z και επειδή και, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα άρα το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές και ορθογώνιο. 3 3 Αν Μ (z z ) τότε το είναι παραλληλόγραμο με ίσες πλευρές και ορθογώνιο, δηλαδή είναι τετράγωνο Οπότε z z z z 3 3
Β3. Έστω w yi,,y w 5w w 5w 44 yi 5 yi 44 4 6yi 44 6 36y y 44 44 9 4 6 36y 44 y Επειδή η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής με α = 3 και β = τότε, 9 4 αφού w (ON) όπου Ν(w) η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο που ανήκει στην έλλειψη και είναι γνωστό β ( ) α τότε w 3 άρα w 3 (OA ) (OA ) ma min w (OB ) (OB ) 3
Β4. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ z w και γεωμετρικά ισχύει: 3 4 Αφού Μ z κινείται στον κύκλο και Ν w 4 ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ κινείται στην έλλειψη τότε: z w z w w 3 4, αφού w 3, z ma z w w z w w min z w 4 Θέμα Γ Γ. f ln, 0 f παρ/ται στο 0, ως πράξη βασικών παρ/μων συναρτήσεων με: ln fln lnln ln 4
Για να βρω το πρόσημο της f αρκεί να βρω το πρόσημο του αριθμητή. Θέτω gln Αν : 0 και ln 0 αφού ln 0 στο, και 0 στο, άρα g 0 ως άθροισμα θετικών στο, και g 0 g f 0 στο, f συνεχής στο, οπότε f στο, Αν 0 : ln 0, 0 ln 0 και 0 ητικών στο 0, g f 0 στο 0, f συνεχής στο 0, άρα g ln 0 ως άθροισμα αρν οπότε f στο 0, 0 f f + ελάχιστο το f ln f f f 0, f,lim f, 0 0 0 0 0 lim f lim ln διότι: lim 0 οπότε lim ln lim ln 0 f f f, f, lim f, lim f lim ln διότι: Άρα f 0, f( ) f( ), lim οπότε lim ln lim ln 5
Γ. 0 03 ln 03 ln 03 ln 03 ln 0 Αν χρησιμοποιήσω την f του Γ η γράφεται: f 0 Επειδή f,, το 0 f Δ άρα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα 0, η οποία είναι μοναδική αφού η f είναι στο 0,. άρα είναι. Επειδή f,, το, η οποία είναι μοναδική αφού η f είναι στο 0 f Δ άρα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα,. άρα είναι. Τελικά υπάρχουν ακριβώς ρίζες της f 0, μία στο 0, και μια στο, που είναι θετικές. Γ3. Αφού, οι ρίζες της f 0 f 0 ισχύει f 0 Θέτω h f 0 H h είναι παραγωγίσιμη ως πράξη παραγωγισίμων στο 0, f είναι παρ/μη όπως επεξηγήθηκε στο Γ άρα είναι και συνεχής. ε h h Θεωρώ το διάστημα, και την συνάρτηση h Η h είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, με h f f 0 h f 0 0 0 0 h f 0 0 0 0 οπότ άρα ισχύει Θ.Roll για την h οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, o τέτοιο ώστε h 0 f f 0 0 o o o o o o o 0 o o o o o o o f f 0 0 f f 0 0 f f 0 6
Γ4. gfln ln Η C g τέμνει τον ' όταν g 0 ln 0 E g d ln d 0 για ln0 για ln d ln d ln ln d ln d ln ln d 4 4 4 3 3 τ.μ. 4 4 4 4 4 Θέμα. f είναι συνεχής στο 0,, άρα έχει αρχική στο0, την G() f(t)dt παραγωγίσιμη με G () f(t)dt f() H παραγωγίζεται στο και έχει σύνολο τιμών το 0,,στο οποίο η G() είναι παραγωγίσιμη, οπότε: f(t)dt G είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων με f(t)dt G f 7
Θέτω g() f(t)dt Η g παραγωγίζεται ως πράξη παραγωγισίμων ( ) g() f( )() ( ) f( )( ) ( ) f( ) () Παρατηρώ ότι g() f(t)dt 0 Τότε η δοσμένη ανίσωση γράφεται g() g() για κάθε (0, ) άρα η g παρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο του (0, ) στο οποίο είναι παραγωγίσιμη άρα λόγω Θ. Frmat g() 0. () g() f() 0f() Αφού η f είναι συνεχής στο (0, ) και f() 0, από συνέπεια του Θ. Bolzano η f διατηρεί πρόσημο στο (0, ). Δείξαμε ότι f() 0, άρα f() 0 στο (0, ). Οπότε f f ln t t ln dt f () f(t) ln t t ln dt f () f(t) Θα βρώ το πρόσημο της ln h() h() ln h() 0 στο 0, και h() 0 στο, οπότε παρουσιάζει μέγιστο στο το h(), δηλ. ισχύει h() h h() 0 στο 0, 8
ln t t αφού ln 0, f 0 για κάθε (0,+ ) θα ισχύει dt 0 f(t) ln ό :f() () ln t t dt f(t) ln ln t t συνεχής στο (0,+ ) ως πηλίκο συνεχών άρα έχει αρχική την dt f() f(t) ln t t που είναι παρ/μη οπότε και dt είναι παρ/μη f(t) Ομοίως ln παρ/μη στο (0,+ ) Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως πηλίκο παραγωγισίμων. f() ln ln t t dt, οπότε f(t) ln ln t t ln ln dt f() f(t) f() f() άρα από εφαρμογή σχ.βιβλίου, θα ισχύει: ln ln (ln ) c, για κάθε (0,+ ) f(),c 3 f() c c 3 (ln) αφού f() c c c Τελικά f() (ln ), (0, ). ln f ln ln lim f lim 3 0 0 0 διότι lim 0 0 lim ln Ισχύει f 0 και lim f άρα lim 0 0 0 f 9
Θέτω u f και έχω βρει lim 0 δηλ. lim u 0 τότε: f u 0 f 0 lim f ημ f lim f ημ lim ημu u 0 f 0 f f u0 u lim ημuu0 u0 lim u 0 lim ημu u DLH u0 ημu u συνu lim lim u0 u ημu u,u παρ/μη στο 0,α u0 u 0 u u u u 0 στο 0,α συνu συνu lim lim 0 0 u0 u u0 u 3. f ln είναι συνεχής στο 0,, άρα έχει αρχική την ' f παραγωγίσιμη F f F f t dt, D 0, α Η f είναι παραγωγίσιμη, άρα και η ' F με:. ln ln F f ln ln ln ln Από υπόθεση δίνεται ότι: ln ln 0 Ισχύει: 0 στο 0, Άρα: ln 0 στο 0, για κάθε άρα και στο 0, 0 0
Οπότε F 0 στο 0, F: κυρτή στο 0, F συνεχής στο 0, Οπότε F στο 0, Ισχύει 0, άρα ορίζω τα διαστήματα:, και, 3 και τη συνάρτηση F. F συνεχής στο F παραγωγίσιμη στο 0, άρα και στα, και, 3 0, άρα και στα, και, 3 Ισχύει το Θ.Μ.Τ για την F σε καθένα από αυτά, άρα υπάρχουν ξ,, ξ, 3 τέτοια ώστε: F F F F Fξ F3 F F3 F Fξ 3 Όμως F στο 0, ξ <ξ 3 οπότε:, F F F3 F F 0 ξ ξ F ξ F ξ F F <F 3 F F F 3 +F 4. Θεωρώ συνάρτηση: h FFβF3β και το β,β F συνεχής ως παρ/μη στο 0, άρα και η h συνεχής ως παρ/μη στο 0, οπότε και στο β,β h βfβfβf3β FβF3β 0 διότι F παρ/μη με Ff 0 από Δ F συνεχής στο 0, άρα F στο 0, F β 0 άρα β 3β F β F3β F β F3β 0
h β F β F β F3β 0 διότι στο Δ αποδείξαμε ότι F F 3 F για κάθε 0 άρα και για β ισχύει: FβF3β Fβ FβFβF3β 0 3,3 hβ h β 0 οπότε ισχύει Θ. Bolzano άρα υπάρχει ξ β,β τ.ω. h 0F F β F3β 0 F F β F3β Ακόμα ισχύει h F f 0 άρα h στο 0, h συνεχής στο 0, Οπότε είναι - άρα το ξ που βρήκα είναι μοναδικό. 3