ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 09 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡ/ΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΟΜΑΔΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ «ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ» ΘΕΜΑ Α Α. α) Σχολικό βιβλίο, σελ. 5 β) i. Σχολικό βιβλίο, σελ. 35 ii. Σχολικό βιβλίο, σελ. 35 36 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ. 4 Α3. Σχολικό βιβλίο, σελ. 35 Α4. α) Λ π.χ., x 0 f (x) (Σχολικό βιβλίο, σελ. 34), x 0 β) Λ π.χ. f(x), x x 3, x (Σχολικό βιβλίο, σελ. 7) Α5. γ ΘΕΜΑ Β u x x u Β. f(x) e λ e λ 0 λ x x u λ = Β. Έστω g(x) = f(x) x, x [, 3] g συνεχής [, 3] ως πράξεις (διαφορά) συνεχών EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία --
g() = f() = e + = e > 0 g(3) = f(3) 3 = e 3 + 3 = e 3 3 e = 0 3 3 e e Άρα g() g(3) < 0 Από Θεώρημα Bolzano στη g στο [, 3], υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (, 3): g(x 0 ) = 0 Είναι g παραγωγίσιμη [, 3] με g (x) = (e x + ) < 0 Άρα g γνησίως φθίνουσα στο [, 3] Επομένως x 0 μοναδική Β3. Είναι f παραγωγίσιμη στο με f (x) = e x < 0 Άρα f, άρα και ως γνησίως μονότονη Άρα, ορίζεται η f Είναι: f(x) e x x f(x) x x e 0 f f, f(x), f(x), συν x x Έστω y = f(x) y = e x + e x = y, y > lne x = ln(y ), y > x = ln(y ), y > x = ln(y ), y > Άρα f (x) = ln(x ), x > f x (x) x u x ln(x ) lnu ( ) u0 u0 Άρα η x = κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία --
ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού η f παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο, άρα και στο x 0 =. Τότε: f() f(x) f(x) α β α = β x x f παραγωγίσιμη στο x 0 =. Άρα: x f(x) f() x x f(x) f() x x x α α x e x x βx α x (x )(x ) x x e x x αx α x x e x x α(x ) x = + α α = 0 0 x x e e αφού: άρα β = x x DLH x Γ. (x) e f x, x, x x Στο (, ) η f παραγωγίσιμη με f (x) = e x + > 0 Στο (, + ) η f παραγωγίσιμη με f (x) = x > 0 Όμως η f είναι συνεχής στο x 0 = άρα f f(x), f(), Είναι: f, f συν x u x x x u Γιατί: e e 0 f x f u u, f(), f(x), συν x x, αφού f(x) e x 0 ( ) x x αφού f(x) (x x x ) x x Άρα f() = Γ3. i. 0 f([, + ), άρα δεν υπάρχει x 0 [, + ): f(x 0 ) = 0 0 f((, 0)), άρα υπάρχει από Θ.Ε.Τ. ένα τουλάχιστον x 0 (, 0): f(x 0 ) = 0 και επειδή f γνησίως μονότονη σ αυτό, το x 0 είναι μοναδικό f f(x), f(0), Διότι: f, συν x e EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -3-
ii. Έστω h(x) = f (x) x 0 f(x), x (x 0, + ) Έστω ότι η h(x) = 0 έχει ρίζα την x = x Τότε: h(x ) = 0 f (x ) x 0 f(x ) = 0 f(x )(f(x ) x 0 ) = 0 f(x ) = 0 ή f(x ) = x 0 Όμως f(x ) = 0 αδύνατη, αφού η f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = x 0 από Γ3(i). Επιπλέον η f(x ) = x 0 αδύνατη, αφού x > x 0 f f(x) > f(x 0 ) f(x) > 0 και x 0 < 0 Γ4. (ΜΟΚ)(t) = E(t) = x(t) y(t) x(t) (t) 3 (t) x(t) E (t) 3x (t) x(t) x(t) Την t = t 0 : x(t 0 ) = 3 μον y(t 0 ) = μον x (t 0 ) = μον/sec 3 3 56 8 τετρ. μον. / sec E (t0) y 0 M (x(t), y(t)) K(x(t), 0) x ΘΕΜΑ Δ Δ. f(x) = (x )ln(x x + ) + αx + β παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων Αφού η (ε): y = x + εφάπτεται της C f στο Α είναι: f() = και f () = f() = α + β = f (x) = ln(x x + ) + α + (x ) f () = α = x x Άρα β = Δ. Ε(Ω) = (x )ln(x x ) dx Είναι x 0 για κάθε x [, ] Έστω h(x) = ln(x x + ) EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -4-
h παραγωγίσιμη με h (x) = 0 για κάθε x [, ] x Είναι: x h (x) + h Άρα h(x) 0 για κάθε x [, ] Συνεπώς (x )ln(x x + ) 0 για κάθε x [, ] Άρα E(Ω) (x )ln(x x ) dx Θέτω u = x x + άρα du = (x )dx Για x =, u = Για x =, u = Τότε E(Ω) lnudu (u) lnudu ulnu du ln u ln τ. μον. Δ3. i. f (x) = ln(x x + ) + f (x) = (x )(x x x x 4(x )(x x (x ) x x ) f (x) 0 x x ) (x ) (x ) 4(x ) x x 4x 4 x x x f (x) + f 4(x ) 4x 3 (x ) 4 f (x) f () f (x) για κάθε x EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -5-
ii. f λ f(λ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο λ, λ f λ f(λ) Υπάρχει ξ λ, λ τέτοιο ώστε f'(ξ) = Από Δ3. i. έχουμε: f'(ξ) f λ f(λ) Δ4. Από Δ3(i) είναι f (x) για κάθε x. Το ίσον ισχύει για x = Αν δειχθεί ότι g (x) για κάθε x. Το ίσον ισχύει μόνο για x = 0. g (x) = 3x g (x) = 6x x 0 g (x) + g Μ Άρα g (x) g (0) g (x) Είναι g (0) = και f () = Άρα οι C f και C g δέχονται μοναδική κοινή εφαπτομένη στα σημεία Α(, ) και Β(0, ) αντίστοιχα με εξίσωση: (ε): y g(0) = g (0) (x 0) y = x y = x + Επαλήθευση (ε): y f() = f ()(x ) y = (x ) y = x + ΣΧΟΛΙΟ: Τα φετινά θέματα εξέταζαν αρκετά μεγάλο μέρος της ύλης. Απαιτούσαν ικανότητα σε πράξεις και άρτια γνώση της θεωρίας. Η διαβάθμιση της δυσκολίας κρίνεται ικανοποιητική. Το άριστα θα κριθεί στο ερώτημα Δ4. EKΠΑΙ ΕΥΣΗ: Με Οράματα και Πράξεις για την Παιδεία -6-