ΠΡΟΛΟΓΟΣ: Ταξιδεύοντας τα τρία τελευταία χρόνια στον πανέμορφο κόσμο των μαθηματικών ως φετινός υποψήφιος στις πανελλαδικές εξετάσεις, αποφάσισα λοιπόν να δημιουργήσω κι εγώ μία άσκηση. Όλα ξεκινούν από ένα πρόβλημα του σχολικού βιβλίου στο οποίο δίνω μία δικιά μου παραλλαγή. Ελπίζω να σας αρέσει. Ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο που διαθέτετε για να την μελετήσετε! ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1. (ΠΡΩΤΗ ΣΚΕΨΗ ΑΠΟ ΑΣΚΗΣΗ ΣΧΟΛΙΚΟΥ) ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ Ε Δ Ν Γ Ο X Μ Α Β Λ Έστω το παραπάνω σχήμα, το οποίο βρίσκεται πάνω σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, με ΟΑ=2, ΟΒ=4, ΑΕ=ΒΔ=4 και ΒΓ=ΔΓ=5. Α)Να εκφράσετε το εμβαδόν Ε(χ) του γραμμοσκιασμένου χωρίου ως συνάρτηση του Χ=ΟΜ, όταν το Μ διαγράφει το ευθύγραμμο τμήμα ΟΛ. (Δίνεται ότι ) Β)Αν για το εμβαδόν του Α ερωτήματος ισχύει: E(x) = Ι) Να μελετήσετε την Ε(χ) ως προς την συνέχεια. ΙΙ) Να μελετήσετε την Ε(χ) ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ΙΙΙ) Να μελετήσετε την Ε(χ) ως προς την κυρτότητα. ΙV) Να δείξετε ότι η Ε(χ) αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης. V) Να δώσετε μία πρόχειρη γραφική παράσταση των CΕ και C. VI) Να δείξετε ότι η εξίσωση Ε(χ) 2 = ln( έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0,2). VII) Να δείξετε ότι dx VIIΙ) Να λύσετε την εξίσωση: E( χ + 1) + ln( + 1) - - χ = Ε( + + 1
IX) Έστω ότι πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ του αρχικού σχήματος, κινούνται δύο κινητά, το αρχικό Μ και ακόμα ένα το Σ. Το Σ προηγείται του Μ. Κάποια χρονική στιγμή to το Μ κινείται με ρυθμό 2 μονάδες/sec και το Σ με 3 μονάδες/sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΜΣΕ την χρονική στιγμή to. (Όπου Ε το σημείο από το αρχικό σχήμα). ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕ ΣΧΟΛΙΑ Α) ΓΙΑ Χ : Το εμβαδόν Ε(χ) ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ. Επειδή τα τρίγωνα ΟΜΝ και ΟΑΕ είναι όμοια ισχύει: ΆΡΑ ΓΙΑ Χ : To εμβαδόν Ε(χ) ισούται με το άθροισμα του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΕ και του εμβαδού του ορθογωνίου ΑΜΝΕ. Ε Ν Δ Ε(χ)= 1/2 ΟΑ ΑΕ + ΑΜ ΑΕ= 1/2 2 4 + (Χ-ΟΑ) ΑΕ= =4 + (Χ-2) 4 = 4 + 4Χ - 8 = 4Χ 4 ΆΡΑ Ο Α Μ Β Χ ΓΙΑ Χ :Το εμβαδόν Ε(χ) ισούται με το άθροισμα του εμβαδού του τραπεζιού ΟΒΔΕ και του εμβαδού του τραπεζιού ΒΠΝΔ, όπου Π το σημείο στο οποίο αν φέρουμε την προβολή του πάνω στον άξονα χ χ έρχεται στο σημείο Μ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΛ. Επειδή το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ισοσκελές, φέρνουμε στο σημείο Κ την διχοτόμο της γωνίας ΒΓΔ, η οποία είναι και διάμεσος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΔ και ύψος του τριγώνου ΒΔΓ. (Ακολουθεί σχήμα παρακάτω). Ισχύει από πυθαγόρειο θεώρημα: Επομένως το ΟΛ= 17/2 Άρα Τα τρίγωνα ΒΓΚ και ΓΔΚ είναι ίσα και τα τρίγωνα ΒΓΚ και ΠΓΩ (όπου Ω το σημείο τομής των ευθύγραμμων τμημάτων ΚΓ και ΠΝ)είναι όμοια άρα ισχύει:
Ε Δ Δ Ν Ν Γ Κ Γ Π Π Ο Α Β Μ Λ Β Χ Για το τρίγωνο ΠΓΝ ισχύει: Ετριγ= 1/2 ΠΝ ΩΓ = 1/2 2 ΩΠ ΩΓ = ΩΠ ΩΓ = Για το τραπέζιο ΒΠΝΔ ισχύει: Eτραπ= Eτριγ(ΒΓΔ) Ετριγ (ΠΓΝ) = 1/2 ΒΛ ΒΔ - = 1/2 = ΆΡΑ Ε(χ)= ΆΡΑ ΆΡΑ E(x)= ΣΧΟΛΙΟ: Τα πρώτα δύο σκέλη του ερωτήματος αποτελούν αντιγραφή της άσκησης 3 ομάδας Β σελίδα 29 του σχολικού βιβλίου. Το τρίτο σκέλος είναι δικιά μου ιδέα, η οποία προέκυψε όταν θέλησα να συνδυάσω το σχήμα του ρόμβου σε ένα από τα προβλήματα του σχολικού. Συγχωρέστε με για τα νούμερα δεν βρήκα καλύτερο συνδυασμό. Β) Ι) Άρα η Ε είναι συνεχής στο 0.
Άρα η Ε είναι συνεχής στο 2. Άρα η Ε είναι συνεχής στο 4. Άρα η Ε είναι συνεχής στο. Άρα η Ε είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. ΙΙ) Ε (χ)= 2 χ > 0 για κάθε χ E (χ)= 4 > 0 για κάθε χ Για Ε (χ)= -- για κάθε Ε (χ)= 0 8χ=68 Ε (χ)> 0 -- Χ Ε (χ) -οο 0 2 4 17/2 +οο + + + Ε(χ) Επειδή η Ε είναι συνεχής στο 0, στο 2, στο 4 και στο 17/2 ισχύει ότι η Ε της. στο πεδίο ορισμού Η Ε παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 και ολικό μέγιστο στο 17/2.
Ε(0)=0 και Ε( )=21 Άρα έχει ολικό ελάχιστο το Ο(0,0) και ολικό μέγιστο το P(,21). ΣΧΟΛΙΟ: Η συνέχεια όπως και η μονοτονία θα μπορούσαν να είχαν απαντηθεί αμέσως λέγοντας ότι η συνάρτηση Ε παριστάνει εμβαδόν άρα είναι συνεχής και καθώς το χ αυξάνει τότε αυξάνεται και το εμβαδόν άρα είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. ΙΙΙ) η Ε(χ)= και είναι κυρτή ως γνωστή συνάρτηση. { Ε (χ)= 2 >0 } η Ε(χ)= 4χ-4 όπου η Ε παριστάνει ευθεία άρα δεν είναι ούτε κοίλη ούτε κυρτή. η Ε (χ) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνιμική. Ε (χ)= < 0 για κάθε χ. Άρα επείδη η Ε είναι συνεχής στο 4 και στο 17/2 τότε η Ε είναι κοίλη στο [ ]. ΙV) Επειδή η Ε στο πεδίο ορισμού της τότε η Ε είναι και 1-1 στο πεδίο ορισμού της άρα αντιστρέφεται. Α1=[0,2]: Η Ε και συνεχής άρα: E(A1)=[E(0),E(2)]=[0,4] A2=(2,4]: Η Ε και συνεχής άρα: E(Α2)= ( Α3=(4, : Η Ε και συνεχής άρα: Ε(Α3)=( και y : Έστω y=ε(χ) Άρα ) =, y Για y το χ: και y : Έστω y=ε(χ) Άρα =, y Για y το χ: και y : Έστω y=ε(χ) Άρα, y Για y το χ: Άρα ΣΧΟΛΙΟ: Στον τρίτο κλάδο της αντίστροφης σκοπός ήταν η συμπλήρωση τετραγώνου, όμως στην προκειμένη περίπτωση τα νούμερα δυσκόλευαν.
V) Οι γραφικές παραστάσεις των CE και C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=χ, η οποία είναι διχοτόμος του 1 ου και του 3 ου τεταρτημορίου, ως αντίστροφες συναρτήσεις. Η Ε(χ)=, όπου είναι γνωστή συνάρτηση. X 0 1 2 Υ 0 1 4 Η Ε(χ)= 4χ-4, όπου είναι μία ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης το α=4 Χ 3 4 Υ 8 12 Η Χ -οο 4 17/2 +οο Ε (χ) Ε (χ) + Ε(χ) ΣΧΟΛΙΟ: Το σχήμα προφανώς όταν θα πάμε να το σχεδιάσουμε με το χέρι θα γίνει πρόχειρο λόγω κακών αριθμών. Σημαντικό είναι να φαίνεται η συμμετρία των δύο σχημάτων, η μονοτονία και η κυρτότητα. Δεν χρειάζεται να γίνει πλήρης μελέτη και των δύο συναρτήσεων.
VI) Έστω η συνάρτηση Άρα υπάρχει αριθμός Κ κοντά στο μηδέν από μεγαλύτερους αριθμούς, δηλαδή υπάρχει Κ τέτοιο ώστε:. Η είναι συνεχής στο [Κ,2] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Άρα από θεώρημα BOLZANO η έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο άρα και η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,2). ΣΧΟΛΙΟ: Κύριος σκοπός αυτού του ερωτήματος ήταν το πρόσημο στο ένα άκρο να βγαίνει με την χρήση του ορίου. Θα μπορούσε να απαντηθεί και με σύνολο τιμών. VII) Η εφαπτομένη της Ε στο 1 είναι: (ε): η Ε είναι κυρτή άρα η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από την Ε με εξαίρεση μόνον το σημείο επαφής τους δηλαδή: Ισχύει επίσης Άρα τελικά ισχύει: ΣΧΟΛΙΟ: Αυτό το ερώτημα δημιουργήθηκε με αφορμή το Δ4 ερώτημα των πανελληνίων του 2018.
VIII) E( χ + 1) + ln( + 1) - - χ = Ε( + + 1 (1) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: ΠΡΕΠΕΙ: α) β) γ) Η (1) έχει προφανή ρίζα το μηδέν. Ισχύει Επομένως προσθέτοντας τις (2),(3),(4),(5) κατά μέλη ισχύει για : E( χ + 1) + ln( + 1) - - χ Ε( + + 1 Άρα η (1) έχει μοναδική ρίζα το μηδέν. ΣΧΟΛΙΟ: Τη σκέψη για τη δημιουργία αυτού του ερωτήματος την πήρα από μία άσκηση σε προσομοίωση σχολείου, η οποία είχε την μορφή: από προηγούμενο ερώτημα ότι η f ήταν γνησίως αύξουσα συνάρτηση). (Γνωρίζοντας
ΙΧ) Ε Δ Ο Μ Α Σ Β Επειδή τα Μ και Σ κινούνται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΒ τότε το. Επειδή το Σ προηγείται του Μ για το εμβαδόν του τριγώνου ΜΣΕ ισχύει: Για μία χρονική στιγμή ισχύει: Η Ετριγ(t) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. ΣΧΟΛΙΟ: Το γεγονός ότι το Σ προηγείται του Μ και το Σ κινείται γρηγορότερα του Μ σημαίνει ότι το Μ θα βρίσκεται διαρκώς πίσω από το Σ. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ: H άσκηση αποτελείται από πολλά ερωτήματα και σε καμία περίπτωση δεν αντιπροσωπεύει θέμα για εξετάσεις. Συνολικά θα την χαρακτήριζα ως μία απαιτητική άσκηση αφού οι αδύνατοι μαθητές δεν μπορούν να ανταποκριθούν σε κάποια ερωτήματα. Συγκεκριμένα, στο Α) ερώτημα τα πρώτα δύο σκέλη χαρακτηρίζονται ως εύκολα ενώ το τρίτος σκέλος είναι αρκετά απαιτητικό και ο μαθητής χρειάζεται κριτική σκέψη. Όσον αφορά τα ερωτήματα Β) Ι) ΙΙ) ΙΙΙ) ΙV) V) είναι κλασσικά ερωτήματα στα οποία και οι αδύναμοι μαθητές μπορούν να ανταποκριθούν, με μόνη δυσκολία την συμπλήρωση τετραγώνου στην εύρεση της αντίστροφης και τα <<κακά>> νούμερα για το σχήμα. Το ερώτημα Β) VI) αποτελεί μία κλασσική περίπτωση BOLZANO. Τα ερωτήματα Β) VII) VIII) είναι αυξημένης δυσκολίας στα οποία μπορούν να ανταποκριθούν μόνο καλά προετοιμασμένοι μαθητές. Τέλος, το ερώτημα Β) IX) θεωρώ ότι είναι αρκετά εύκολο, όμως μόνο που θα το διαβάσουν πολλοί μαθητές θα <<παραδώσουν τα όπλα>>. ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ