ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z = x + yi B. z - i = + Im(z) x + yi - i = + y y > - x + (y - ) = + y x + (y - ) = (y + ) x + y - y + = y + y + x = y B. w(w + i) = i(w + i) ww + wi = wi - z = x + yi w + (w - w)i + = x + y + yi i + = x + y - 6y + 9 = 8 x + (y - ) = 8 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969 y = x κύκλος με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ = 8 = Β. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των δύο γεωμετρικών τόπων x = y () x + y - 6y + = () () () y + y - 6y + = y - y + = y = y= () x = x = Άρα Α (, ) και Β (-, ). B. (ΚΑ) = (ΚΒ) = ρ = ΚΑΒ ισοσκελές (ΑΒ) = ( + ) + ( - ) = 6 Π.Θ. ΚΑΒ ορθογώνιο (ΚΑ) + (ΚΒ) = 8 + 8 = 6 Μ μέσο του ΑΒ Μ (, ) Μ μέσο του ΚΛ Λ (, -) u = - i
ΘΕΜΑ Γ Γ. x (t) = 6 x (t) = (6t), t Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. x (t) = 6t + c, t Για x = είναι x () = c =, άρα x (t) = 6t, t Γ. Παρατήρηση : Έπρεπε να εξηγηθεί γιατί ο παρατηρητής χάνει την οπτική επαφή με το κινητό στο Α. Έστω f (x) = x, x με f (x) =,x > x Αναζητούμε την εφαπτομένη (ε) της C που διέρχεται από το σημείο Π (, ). (ε) : y - f (x ) = f (x ) (x - x ) (ε) : y - x = (x - x ) x Π C f - x = (-x ) x - x = -x x x = x x = x x = ή x = Για x = y = x (t ) = 6t = t = min ή t = 5sec Άρα η οπτική επαφή διαρκεί 5sec Γ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο Α (, ) (ε) είναι η (ε) : y = x + A (, ) Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : E = x + - x dx = xdx + dx + xdx x 6 = + x - x x = + - = Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969 f m η λύση Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : (ΟΠ)+(ΑΒ) 6 E = (OΠΑΒ) - xdx = (ΟΒ) - x x = 6 - = Β m
Γ. η λύση Μ (x, y) M (x, x) M (6t, t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + ( t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969 56t + 8-56t + 6t - 8 t + Θεωρούμε συνάρτηση g, με g (t) = 56t + 8 -,t > t g (t) = 56 + >, άρα η g είναι γν.αύξουσα στο (, + ) t t ος τρόπος H g είναι συνεχής στο, 6 ως πράξεις συνεχών g = + 8-6 = - < 6 g = 6 + 8 - = 68 > Από Θ. Bolzano η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t στο,, 6 και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. ος τρόπος H g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ =, im g (t) = im 56t + 8 - = - + + t t t g = 6 + 8 - = 68 Άρα g (Δ) = -, 68. Είναι -, 68, άρα η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t, και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. t
d (x) > g (x) > g (x) > g (t ) x > t g x t + d (x) - + d (x) Η d είναι γν. φθίνουσα στο (, t ] και γν. αύξουσα στο [t, +). Η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t, η λύση Μ (x, y) M (x, x) M (6t, t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + ( t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = 56t + 8-56t + 6t - 8 t + Είναι d (t) >, για t >, άρα η d είναι γν. αύξουσα στο, + Η συνάρτηση d είναι ορισμένη και συνεχής στο,, άρα από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής υπάρχει t, τέτοιο ώστε η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο t. d () = d = 7 5 d = < d () < d 6, άρα η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο t,. Επομένως η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t,. t Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969
ΘΕΜΑ Δ f συνεχής f (x) f (x) Δ. f () = im f (x) = im x = im x im x x x x x x = + f () =, f (x) - f () f (x) f () = im = im = + f () = x x - x x (ε) : y - f () = f () (x - ) (ε) : y = x Δ. Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f (ξ) = f (ξ) = f () - f () - Είναι f () < f () - f () () f () < f (ξ) Επίσης f (x), για κάθε x IR και επειδή η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη, από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. oς τρόπος oς τρόπος Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969 () () Η f είναι γνησίως μονότονη στο IR. Είναι < ξ και f () < f (ξ) από () Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ξ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f (ξ) - f () f (ξ ) = >, από () ξ - (, ξ), τέτοιο ώστε Επομένως είναι f (x) >, για κάθε x IR, Άρα η f είναι κυρτή στο IR. Δ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Ο (, ) είναι η (ε) : y = x. H f είναι κυρτή στο ΙR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο (, ) f (x) x f (x) - x g (x) και το = ισχύει για x =. Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () =.
η λύση Είναι g (x) = f (x) - x, xir. g (x) = f (x) -, xir. g (x) > f (x) - > f (x) > f (x) > f () και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι x > x - + g (x) - + g (x) Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () = f () =. im x x ημx ημx = im = +, διότι x g (x) x g (x) ημx im = και im g (x) =, με g (x). x x x Δ. Eίναι g (x) και το "=" ισχύει μόνο για x =, άρα Δ5. g (x)dx > x f (x) dx > f (x) - x dx > f (x)dx - xdx > Eίναι g (x), άρα Ε = g (x) dx = e - 5 f (x) - x dx = e - 5 f (x) dx - = e - f (x) dx > Ιατροπούλου & Χρυσ. Παγώνη - Καλαμάτα τηλ.: 7-955 & 969 5 f (x) dx - 5 x dx = e - Θεωρούμε συνάρτηση h, με h (x) = f (t) dt -, x [, ] H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών () f (x) dx = e - () h () = f (t) dt - = e - - = e - < h () = f (t) dt - > από Δ Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ h (ξ) = f (t) dt - = f (t) dt =. x ξ