ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη χρήση της πργώγου, εφρμόζοντς ορισμένες σικές ιδιότητες, όπως είνι η συμμετρί κι η μεττόπιση. Α - Ιδιότητες γρφικών πρστάσεων Συγκεντρώνουμε όλες τις ιδιότητες που πρέπει ν γνωρίζει ένς μθητής της Γ Λυκείου, σχετικά με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης. Μ, ) Το σημείο ( ) νήκει στη γρφική πράστση οι συντετγμένες του επληθεύουν την εξίσωση y f(), δηλδή: Μ(,) Cf f() C f της συνάρτησης f, ν κι μόνο ν ) Μι κμπύλη C στο επίπεδο είνι γρφική πράστση συνάρτησης, ν κι μόνο ν οποιδήποτε κτκόρυφη ευθεί έχει με την C το πολύ έν κοινό σημείο. ) Οι κμπύλες y f() κι y f() είνι συμμετρικές ως προς τον άξον '. ) Οι κμπύλες y f() κι y f( ) είνι συμμετρικές ως προς τον άξον y' y. 5) Οι κμπύλες y f() κι y f( ) είνι συμμετρικές ως προς την ρχή Ο των ξόνων. ) Η γρφική πράστση μις άρτις συνάρτησης είνι συμμετρική ως προς τον άξον y' y 7) Η γρφική πράστση μις περιττής συνάρτησης είνι συμμετρική ως προς την ρχή Ο των ξόνων. ) Η κμπύλη y f() ποτελείτι: i) Από τ τμήμτ της C f που ρίσκοντι πάνω πό τον άξον ' κι ii) Από τ συμμετρικά ως προς τον ' των τμημάτων της πό τον άξον '. C f που ρίσκοντι κάτω 9) Η κμπύλη y f() + c προκύπτει πό την κμπύλη y f() με κτκόρυφη μεττόπιση κτά c μονάδες : Προς τ πάνω ν c 0 Προς τ κάτω ν c 0 0) Η κμπύλη y f( c) προκύπτει πό την κμπύλη y f() με οριζόντι μεττόπιση κτά c μονάδες : Προς τ δεξιά ν c 0 Προς τ ριστερά ν c 0.

) Η κμπύλη y0 f( c ) + c με c,c προκύπτει πό την κμπύλη y f() 0 με οριζόντι μεττόπιση κτά c μονάδες 0 κι κτκόρυφη κτά c μονάδες. ) Η κμπύλη y f( ), 0 προκύπτει πό την κμπύλη y f(), Με συστολή ν Με διστολή ν 0. Β - Γνωστές γρφικές πρστάσεις ) y + με, (ευθεί) > 0 < 0 0 ω 0 ω 5 Ο 5 0 5 0 0 0 5 5 0 5 5 0 5 5 0 Ο ριθμός είνι η κλίση της ευθείς, δηλδή εφω, όπου ω είνι η γωνί που σχημτίζει η ευθεί με τον άξον '. ) y, 0 (προλή) 0 0 5 0 5 5 0 < 0 5 0 5 0 > 0 5 ) y, 0 (υπερολή) 0 > 0 < 0 55 0 5 0 55 0 0 0 0

0 ) y 5) y, 0 0 0 5 5 0 5 0 0 5 0 5 5 0 ) y, 0 >0 <0 0 5 5 0 5 5 0 5 5 0 0 0 0 0 7) y, 0 5 0 5 5 0 5 >0 <0 0 0 0 0 5 5 0 5 0 ) y (όμοι η y, 0 ) 9) y ( Όμοι η y, 0 ) 0 Ο 5 0 5 5 0 0 5 5 0 5 0

0) y 0 5 5 0 5 0 ) y, 0 Ομοίως σχεδιάζετι η κμπύλη με εξίσωση: y, 0 0 0 0 5 5 0 5 ) Οι συνρτήσεις : y ημ, με περίοδο Τ π π με περίοδο Τ Γι πράδειγμ: ω y ημ( ω ), ω 0 Ομοίως σχεδιάζοντι οι κμπύλες : y ημ( ω) κ, 0 με περίοδο ) Οι συνρτήσεις: π συν ημ + 0 ( ) y συν ω, ω 0 με περίοδο π π π π 0 π π π π 5π 0 y ημ με Τ π π π 0 π π π π 5π π 7 0 0 π Τ κι κρόττ: yma κ, ymin κ. ω π y συν, με περίοδο Τ π. - π Ο 5π π π π π 0 π π π π 0 π Τ Γι πράδειγμ: ω y συν με Τ π π π π π 0 π π π π 5π 0

) y εφ, με περίοδο Τ π y εφ( ω ), ω 0 με περίοδο π Τ ω Γι πράδειγμ: y εφ( ) με περίοδο π Τ π π 0 π - π π π π π 5π π 7π π π 5π π π π π - π 0 π π 0 5) π y σφ εφ με περίοδο Τ π 0 y σφ( ω ), ω 0 με περίοδο π Τ ω Γι πράδειγμ: y σφ 5 με περίοδο 5π Τ 0 0 Ο π π 0 π π π π 5π π 7π π 5π π π π π 0 5π π π π π ) Η εκθετική συνάρτηση 0 0 y, > y, 0<< 5 5 0 0 5 5 0 0 5 5 0 0 5

0 7) Η λογριθμική συνάρτηση ) y log, ) y log, 0 5 0 5 0 5 0 0 0 5 0 5 0 5 ) Η συνάρτηση ημ y, 0 0 0 π π π π 0 π π π π 0

Γρφικές πρστάσεις που προκύπτουν πό γνωστές κμπύλες ) Η προλή: y + + γ, 0 Με την συμπλήρωση τετργώνου έχουμε: Δ y + γ γ, Δ γ. + + + + Η προλή υτή προκύπτει πό την y με οριζόντι μεττόπιση κτά μονάδες κι κτκόρυφη μεττόπιση κτά Δ μονάδες. Σχόλιο: Η προλή υτή έχει κορυφή το σημείο Δ Ο, που είνι ίδιο με το Ο, f κι άξον συμμετρίς την ευθεί ε : 0 Μπορούν ν ρεθούν κι άλλ σημεί της προλής, εκτός της κορυφής, όπως τ σημεί τομής με τους άξονες ( ν υπάρχουν). Πράδειγμ: Η προλή y + 7 ( ), με κορυφή το σημείο ' (, ). y. ( -) - 0 5 0 5 0 5 - ' (,-) 0 7

) Η υπερολή: + y,με γ 0 γ + δ κι δ γ. Η εξίσωση υτή, με διίρεση πολυωνύμων, γράφετι: οπότε η κμπύλη υτή προκύπτει πό την υπερολή δ γ δ γ γ y + +, γ δ γ δ γ+ + γ γ κ γ δ y, όπου κ 0, γ με οριζόντι μεττόπιση κτά δ γ μονάδες κι κτκόρυφη μεττόπιση κτά 0 γ μονάδες. 0 Η υπερολή υτή έχει σύμπτωτες τις ευθείες δ γ κι y γ 0 Πράδειγμ: Η εξίσωση + y γράφετι ως ( ) + y +, οπότε έχουμε: y y - y+ - y 0 5 0 5 0 5 5 0 5 0 0 5 0 0 5 0 5 0 5-0 ) Οι εξισώσεις y ρ, y ρ με ρ 0 προκύπτουν πό την εξίσωση του κύκλου y ρ. + Άρ πριστάνουν τ ημικύκλι με κέντρο το ( ) Ο 0,0 κι κτίν ρ. Γι πράδειγμ: 0 y, y 0 0 y - 5 0 5-0 5 0 y - - 5-0 5 0 5

) Η εξίσωση με, 0 y, κι (ημιέλλειψη) Γι y 0 η εξίσωση γράφετι: y ( ) y y + y +. Πράδειγμ: 0 0 Από τις ελλείψεις y 9 κι y y + κι + 9 πίρνουμε ντίστοιχ τις εξισώσεις: y με τις πρκάτω γρφικές πρστάσεις. y. - > y 9- < 5-0 5 0 5 0 5 0 5-0 5 0 5) Οι εξισώσεις y + κι ντίστοιχ πό τις ισοσκελείς υπερολές: y με 0 (ημιυπερολές) προκύπτουν y κι y γι y 0. Πράδειγμ: 0 0 Από τις υπερολές y κι y πίρνουμε ντίστοιχ τις εξισώσεις y + κι γι y 0, με τις πρκάτω γρφικές πρστάσεις. y 0 0 y + y - y y - y y - 0 0 5 5 0 5 5-0 5 5 0 9

Ομοίως με τις πρπάνω ημιυπερολές έχουμε κι τις κμπύλες : y + κι y που προκύπτουν πό τις υπερολές: y 0 κι y, ντίστοιχ. Πράδειγμ: Η εξίσωση + που προκύπτει πό την y 9 y, γι y 0 9 κι της οποίς η γρφική πράστση δίνετι στο επόμενο σχήμ. y +9 y - y 0 5 5 0 5 ) Η κμπύλη y + + γ, 0. Η εξίσωση υτή γράφετι Δ Δ y +. +, κι η κμπύλη της προκύπτει πό την ημιυπερολή κτά μονάδες. Δ, με οριζόντι μεττόπιση y. 0 0 y + 5 +, οπότε η ημιυπερολή Πράδειγμ: ( ) y + μετφέρετι δύο θέσεις δεξιά. Ανάλογη ντιμετώπιση y - y -+ y y - έχουμε κι γι την κμπύλη: κ λ y + y + + γ, 0 κι λ 0. 0 5 0 5 5 0 y ( -) + 0

7) Η κμπύλη y + + γ, 0. Η εξίσωση υτή γράφετι : y γ. γ γ + + + + + Δ.. + Η κμπύλη υτή προκύπτει πό την ημιέλλειψη Δ 0 με οριζόντι y., μεττόπιση κτά μονάδες (ή πό ημικύκλιο ότν ). Πράδειγμ: Η κμπύλη ( ) y, προκύπτει πό το ημικύκλιο y, y 0 με μεττόπιση κτά μι μονάδ δεξιά. Ανάλογη ντιμετώπιση έχουμε κι γι την κμπύλη: y - κ y - y + + γ, 0 κι λ 0. 0 λ 5 0 5-0 5 ) Η κμπύλη y +, 0. Αν 0, η εξίσωση γράφετι: y. με οριζόντι μεττόπιση κτά 0 y. +, οπότε προκύπτει πό την μονάδες. 0 Αν 0, η εξίσωση γράφετι: y. +, οπότε προκύπτει πό την ημιπρολή y. με οριζόντι μεττόπιση κτά μονάδες. 0 Πρδείγμτ: y y (-) y - y -( -) - 0 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 0

9) Η κμπύλη y +, 0 Κάνοντς συμπλήρωση κύου πίρνουμε: ( ) y + + + +. 0 Η κμπύλη υτή προκύπτει πό την y με οριζόντι μεττόπιση κτά 0 μονάδες κι στη συνέχει με κτκόρυφη μεττόπιση κτά Πράδειγμ: Η κμπύλη ( ) μονάδες. y + +, έχει την πρκάτω γρφική πράστση: y ( -) y y ( -) + 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0) Η κμπύλη y +,,,γ 0 ( γ) Η κμπύλη υτή προκύπτει πό την y με οριζόντι μεττόπιση κτά κι στη συνέχει με κτκόρυφη μεττόπιση κτά Πράδειγμ: Η κμπύλη 0 0 ( ) + + + + + + + + y ( ) μονάδες. γ μονάδες, προκύπτει πό την y με μεττόπιση κτά μι μονάδ προς τ ριστερά κι μι μονάδ προς τ πάνω. 0 y - ( +) 5 0 5 0 5 0 0 5 0 y - 5-0 5-0

Ασκηση Ν πρστθούν γρφικά οι κμπύλες με τις πρκάτω εξισώσεις, χωρίς τη χρήση της πργώγου. 5 y 5 + y y + y + y + y 7 y y 9 y 0 y + y 5 y 9 + y y 5 + y ( + ) y 7 y 9 y ln( ) 0 y + + ( + ) y e y + y + π y ημ y ( + )