3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA -ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού αναλογικού σήµατος, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. ώσουµε τη φυσική σηµασία του αναπτύγµατος σε σειρά Fourier και του µετασχηµατισµού Fourier.
Εφαρµόσουµε το παραπάν ανάπτυγµα/µετασχηµατισµό στις περιπτώσεις α) του περιοδικού τετραγνικού σήµατος, β) του τετραγνικού παλµού και γ) του αιτιατού εκθετικού σήµατος. Θα αναφέρουµε τις ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier. Υπολογίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier µερικών βασικών συναρτήσεν. Επεκτείνουµε τις έννοιες της ενέργειας και της ισχύος τόσο στοπεδίοτουχρόνουόσοκαιστοπεδίοτνσυχνοτήτν.
Στο χώρο τν n-διαστάσεν κάθε διάνυσµα παριστάνεται ς n a a i e i i Το εστερικό γινόµενο δύο διανυσµάτν ορίζεται από τη σχέση a, b a b a b n i Για µια ορθοκανονική βάση διανυσµάτν οι συντεταγµένες ( a, a, K, a n ), ενός διανύσµατος. a, είναιοιπροβολέςτου a σεκάθεένααπότα διανύσµατα βάσης και προσδιορίζονται από τη σχέση a i a, e i i,, K, n Το µέτρο (norm) ή µήκος ενός διανύσµατος, ορίζεται από τη σχέση a a, a i i n a i i καλεί- Ένα σύνολο διανυσµάτν ( a, a, K, a n ) ται ορθοκανονικό όταν, a a ( ), m δ m, m m x ( ) n x n ψ ( ) x x ( ), ψ ( ) x ( ) ψ ( ) d n n b a n n ψ ( ), ψ ( ) δ ( m) m b a x ( ), y( ) x ( ) y ( ) d x ( ) x ( ), x ( ) b a x( ) * d 3
Περιγραφή τν σηµάτν στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας Υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής ενός αιτιοκρατικού σήµατος. Ο πρώτος τρόπος περιγραφής πραγµατοποιείται στο πεδίο του χρόνου, ενώ ο δεύτερος στο πεδίο της συχνότητας. Ο πρώτος τρόπος είναι άµεσα αντιληπτός και η χρονική µεταβολή του σήµατος δίδεται είτε µέσ αναλυτικής σχέσης (µαθηµατικός τύπος) είτε µε γραφική παράσταση. x ( π f + ) ( ) Aσυν π 4 A A A 4
Η περιγραφή τν σηµάτν στο πεδίο της συχνότητας περιλαµβάνει, κατά περίπτση, τη χρήση της σειρά ή του µετασχηµατισµού Fourier µέσ τν οποίν ένα σήµα περιγράφεται από το φασµατικό του περιεχόµενο. Η συνάρτηση η οποία περιέχει τη φασµατική περιγραφή ενός σήµατος ονοµάζεται φάσµα του σήµατος. Πλάτος A ( π f +φ) x ( ) Aσυν Φάση φ f Συχνότητα f Συχνότητα Το φάσµα του σήµατος x() 5
Πλάτος a a x ( ) a sin(π f) f Συχνότητα Χρόνος Πλάτος a 3 a 3 x( ) a3 sin(π 3 f) 3f Συχνότητα 3 Χρόνος Πλάτος a x ( ) x ( ) + x( ) a 3 f 3f Συχνότητα Χρόνος 6
Το σύνολο τν ορθογνίν αναλογικών εκθετικών περιοδικών σηµάτν Για τα εκθετικά σήµατα,,, ±, ±,K, παρατηρούµε j jm j jm e, e e e d δ( m) e j e j Τα εκθετικά σήµατα,,, ±, ±,K, σε οποιοδήποτε πεπερασµένο χρονικά διάστηµα [, + ], διάρκειας π /, καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα εκθετικά σήµατα και σχηµατίζουνέναορθογώνιοσύνολο. Εποµένς κάθε σήµα x() στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται x a e j ( ) 7
Τοπεριοδικόσήµα x() µπορείναπεριγραφείαπότηνπερίοδότου (ή από τη θεµελιώδη συχνότητα f ) και από την ακολουθία τν µιγαδικών ), δη- αριθµών {α }, (τνσυντελεστώντουαναπτύγµατος λαδή, ναπεριγραφείστοπεδίοσυχνότητας. a e j Για να περιγράψουµε το x() αρκεί να προδιορίσουµε ένα αριθµήσιµο σύνολο (ενγένει µιγαδικών) αριθµών. Αυτό οδηγεί σε σηµαντική µείση της πολυπλοκότητας της περιγραφής τουσήµατος x(),αφούγιαναορίσουµετο x()γιακάθεχρονικήστιγµή, πρέπει να προσδιορίσουµε τις τιµές του σε ένα µη αριθµήσιµο σύνολο τιµών. 8
Έσττώραένασήµα x() στοδιάστηµα [, + ], καιαςυποθέσουµεότιείναι δυνατόν να αναπτυχθεί σε άθροισµα εκθετικών στοιχειδών σηµάτν, + x( ) e jn d + j x a e ( ) Ουπολογισµόςτνσυντελεστώνα γίνεταιανπολλαπλασιάσουµεκαιταδύοµέλη τηςµε e jn καιολοκληρώσουµεαπό ές +, δηλαδή, ανυπολογίσουµετο εστερικό γινόµενο του x() µε το. + j jn jn x( ) e a e e + a e e d + ( e jn ) * j jn + a e, e j jn L, a j( n ) jn e e + a jn jn e e + a j( n+ ) jn e e +L n n n+ + jn x( ) e d a n a n + x( ) e jn d 9
ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΣΕ ΣΕΙΡΑ FOURIER -ΣΕΙΡΑ FOURIER Εκθετική σειρά Fourier ( ) x + a e j o Εξίσση σύνθεσης a + j x( ) e d Εξίσση ανάλυσης
+ j x ( ) a e Η σειρά αποτελεί την εκθετική σειρά Fourier ή το ανάπτυγµα Fourierτουσήµατος a Οι µιγαδικοί συντελεστές καλούνται συντελεστές Fourier ή φασµατικές γραµµές του και ορίζουν το φάσµα του σήµατος Η σταθερά a είναι η συνεχής ή η σταθερά συνιστώσα του φάσµατος a x ( ) Κάθε δηλώνειτοφασµατικόπεριεχόµενοτουσήµατος. στη στη συχνότητα και ονοµάζεται αρµονική συνιστώσα
Το σύνολο τν ορθογνίν αναλογικών τριγνοµετρικών περιοδικών σηµάτν. Για τα σήµατα, sin ( ) και cos ( ), παρατηρούµε ότι sin ( m ),sin ( ) δ( m) cos ( m ),cos ( ) δ( m) sin ( ),cos ( m), για κάθε και Τα σήµατα, sin ( και,, σε οποιοδήποτε πεπερασµένο χρονικά διάστηµα [, + ], διάρκειας ) cos ( ) < <+. π / καλούνται αρµονικά συσχετιζόµενα σήµατα και σχη- µατίζουνέναορθογώνιοσύνολο. Εποµένς κάθε σήµα x() στο χρονικό αυτό διάστηµα εκφράζεται m ( ) ( ) x( ) a + b cos + c sin
Τριγνοµετρική σειρά Fourier ( ) ( ) x( ) a + b cos + c sin b c a + + x( ) cos + x( ) d x( ) sin ( ) d,,, K ΗΜέσηΤιµήτουσήµατος ( ) d,,, K 3
Αν χρησιµοποιήσουµε την γνστή τριγνοµετρική ταυτότητα b cosϕ + c sinϕ Acos ( ϕ+ θ ) όπου b c και θ A + an c b ( ) ( ) x( ) a + b cos + c sin ( ) + c sin( ) + b cos( ) + c sin( ) + K ( ) a + b cos x ( + θ ) + A cos( + ) + K x( ) a+ A cos θ b c A + c θ an b b c A + c θ an b Γενικά A a x( ) A + A cos A b + c και ( + θ ) c anθ b 4
Σειρές Fourier µη περιοδικών σηµάτν x () + j a e a + j x( ) e d + Ορίσαµε το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ενός µη περιοδικού σήµατος σ ένα διάστηµα [, +].Έξαπότοδιάστηµααυτόησειρά Fourier συγκλίνει κατ ανάγκη στο σήµα x(), δηλαδή, + j e a δεν j x ( ) a e, + 5
Σειρές Fourier περιοδικών σηµάτν x () + j a e + a + j x( ) e d Σηµειώνουµε ότι όταν το σήµα είναι περιοδικό, η ολοκλήρση στις εξισώσεις ανάλυσης µπορεί να γίνει σ ένα αυθαίρετοδιάστηµαεύρουςτ. Ορίσαµε το ανάπτυγµα σε σειρά Fourier ενός περιοδικού σήµατος, x( + ) x(), σ έναδιάστηµα [, + ].Παρατηρούµεότιησειρά Fourier συγκλίνει στο σήµα x() για κάθε χρονική στιγµή, δηλαδή, + j e a j x( ) a e < <+ 6
Ύπαρξη σειράς Fourier. Ικανή Συνθήκη: Σε κάθε περίοδο το σήµα να είναι απόλυτα. ολοκληρώσιµο: x () ( ) x d <+ ( ) x ( ) x, < 7
x (). Ικανή Συνθήκη: Το σήµα σε κάθε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα είναι συνεχές ή να περιέχει πεπερασµένο αριθµό ασυνεχειών, κάθε µια απο τις οποίες να είναι πεπερασµένου ύψους. ( ) x, < 4 /, 4 < 6 / 4, 6 < 7 8 /, 7 < 7, 5 M M x( ) 4 8 8
x () 3. Ικανή Συνθήκη: Το σήµα σε κάθε πεπερασµένο χρονικό διάστηµα να είναι φραγµένης κύµανσης, δηλαδή να υπάρχουν πεπερασµένος αριθµός µεγίστνκαιελαχίστνστοδιάστηµα. ( ) x ( ) x π sin, < 9
Κατασκευήτουσήµατος x() απόαρµονικάσυσχετιζόµενασυνηµίτονα. Φυσική σηµασία της εκθετικής σειράς Fourier. x ( ) + 5 5 a e j a 5 a 3 6 a a a a 3 6 5 3 3 5 x ( ) e + e + e + + e + e + e 6 6 a 5 jπ j6π jπ jπ j6π jπ x ( ) + 6 ( jπ jπ ) ( j6π j6π ) ( jπ jπ e + e + e + e + e e ) e e jπ jπ ( π ) + j sin( π ) ( π ) j sin( π ) cos πρόσθεση jπ j e + e cos π cos ( π ) x ( ) + cos (π ) + cos (6π ) + cos (π ) 3 5
x ( ) 5 + 5 a e j ή x 3 ( ) + cos (π ) + cos (6π ) + cos (π ) ( ) x 5 3 5 ( ) cos( π) x x( ) + x( ) 3 5 ( ) ( ) ( ) x + x + x ( ) 3 cos( 6π ) x 3 5 ( ) cos( π ) x 3 5 ( ) ( ) ( ) ( ) x + x + x + x 3 3 5
( ) x + j a e j a x( ) e d Σειρές Fourier x ( ) a + A ( + θ ) cos A a x( ) [ b cos( ) + c ( ) ] a+ sin a b j c
Παράδειγµα Ναυπολογιστείηµέσηισχύςκάθεόρουτηςεκθετικήςσειράς Fourier + j x a e ( ) Απάντηση P j j a a e a e d * d a 3
Ταυτότητα του Parseval P x x ( ) d a Ηολικήµέσηισχύςενόςπεριοδικούσήµατοςείναιίσηµετοάθροισµατν ισχύν όλν τν όρν της εκθετικής σειράς Fourier, πράγµατι, P x x ( ) d x ( ) x * ( ) d + j x ( ) a e d + a x ( ) e j + d a + a a Αντοσήµα είναιπραγµατικόλόγτηςα * α - έχουµε P x x ( ) d a + a 4
Παράδειγµα Να υπολογιστεί η µέση ισχύς κάθε όρου της τριγνοµετρικής σειράς Fourier ( θ) x( ) a + A cos + P x ( ) d A + cos ( θ ) d + cos cos ϕ ϕ A + cos ( + θ) d A d + A cos ( + θ) d Απάντηση P A ( + ) d cos θ A 5
Παρατηρήσεις Για πραγµατικά σήµατα x*() x() a * a a a, δηλαδή Pστης a a P στης Για πραγµατικά σήµατα επειδή Παράδειγµα P a + a A A a έχουµε Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς Fourier για τα σήµατα: x ( ) cos ( ) x ( ) sin( ) 6
Να υπολογιστούν οι συντελεστές της εκθετικής σειράς και της τριγνοµετρικής σειράς Fourier για το περιοδικό ορθογώνιο σήµα x( ), <, < < x( ) a ( ) a sin π 7
4 8 4 4 8 6 8 8
j ( ) ( ) ( ) + cos + sin Το σφάλµα προσέγγισης είναι [ ] x a e a a j N N N Φαινόµενο Gibbs Ας προσπαθήσουµε να προσεγγίσουµε το περιοδικό σήµα x () από το πεπερασµένο άθροισµα N Εφαρµογή Για N έχουµε e ( ) x( ) x ( ) N N π ( ) + cos( ) x N 9
π ( ) + cos( ) x N ( ) π cos π ( ) x ( ) x 3
x ( ) N x 3( ) N 3 x ( ) N 7 7 3
x 8( ) N 8 x ( ) N 79 79 Στασηµείαασυνεχείαςτου x () τοανάπτυγµασεσειρά Fourier δίνει τη µέση τιµή του αριστερού και του δεξιού ορίου του σήµατος, δηλαδή, xn x + x [ ] ( ) ( ) ( + ) 3
( ) a sin π a a Περιβάλλουσα ( Τ) sin Τ Η συνεχής συνιστώσα του φάσµατος είναι a 3 4 5 Η θεµελειώδης συχνότητα είναι Η απόσταση µεταξύ τν φασµατικών γραµµών είναι Ο πρώτος µηδενισµός της περιβάλλουσας του φάσµατος γίνεται όταν π Η συχνότητα του πρώτου µηδενισµού είναι π π π π ( ) sin π 33
ή X ΟΜετασχηµατισµός Fourier ήτοφάσµατου x() + + ( f) j X ( ) x ( ) e d jπ f x ( ) e d Η συνάρτηση X() αποτελεί την εξίσση ανάλυσης και είναι ο Μετασχηµατισµός Fourier (ΜF)τουσήµατος x(). Ακριβέστερα, µετασχηµατισµός Fourier είναι ο κανόνας εύρεσης της X() από την x(). x ( ) ή x ( ) + + j X ( ) e d π jπ f X ( f ) e df Η εξίσση αποτελεί την εξίσση σύνθεσης και ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χρόνου 34
Στο µετασχηµατισµό Fourier, η εξίσση ανάλυσης + j X ( ) x ( ) e d αναλύει ένα µη περιοδικό σήµα x() στο διάστηµα περιοδικώνεκθετικώνσηµάτν. (, ) σ ένα συνεχές φάσµα X() είναι το φασµατικό περιεχόµενο στο απειροστό διάστηµα συχνοτήτν [, + d]. Η συνεισφορά τν συχνοτήτν [, + d] έχει πλάτος X d π ( ) ή X( ) df Ο µετασχηµατισµός Fourier X() είναι η φασµατική πυκνότητα πλάτους. Όταν x() είναισήµατάσης, τότεο X() έχειµονάδαµέτρησης Volsανάµονάδα συχνότητας. 35
x () A X( f) A A y () A Y( f) A 3 f A xˆ ( ) Xˆ ( f) 3 f A A A 3 36 f
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του τετραγνικού παλµούδιάρκειας Απάντηση x( ), < x ( ), αλλιώς X( ) ( ) sin π X( ) π 37
Να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier του αιτιατού εκθετικού σήµατος x( ) a e u ( ) a R Απάντηση X( ) a + j x( ) X( ) a a a a arg X( ) π a π 4 π π 4 a 38
Ο µετασχηµατισµός Fourier παρέχει τη δυνατότητα µετάβασης από το πεδίο του χρόνουστοπεδίοσυχνότητας. Με το µετασχηµατισµό Fourier αναλύουµε µη περιοδικά σήµατα µε εκθετικά σήµατα και µε το τρόπο αυτό αποκαλύπτεται το φασµατικό τους περιεχόµενο. Το αιτιατό εκθετικό σήµα x( ) a e u ( ), a R x( ) έχει µετασχηµατισµό Fourier X( f) X ( f) a a+ jπ f arg X ( f) Το αιτιατό εκθετικό σήµα x(). π π a a π 4 a π f a π a π Το πλάτος του MF του σήµατος x(). f π 4 π H φάση του MF του σήµατος x(). 39
Ναυπολογιστείτοσήµα, τουοποίουοµετασχηµατισµός Fourier είναι, παράθυρο συχνοτήτν µε πλάτος W, δηλαδή, Απάντηση X ( ), < W, αλλιώς sin ( W ) x ( ) π X( ) x( ) W π π W π W W W 4
Συνάρτηση ειγµατοληψίας sinc( x) sin ( π x) π x,, x x sinc( x) 5 4 3 3 4 5 x 4
Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier x F F x ( ) ( ) X( ) { } ( ) X Συζυγία Γραµµικότητα F * * x ( ) X ( ) F c x( ) + c x ( ) c X( ) + c X ( ) 4
Πραγµατικό- Άρτιο-περιττό µέρος σήµατος. φανταστικό µέρος φάσµατος x e F { X ( )} ( ) Re x o F { X ( )} ( ) jim Ολίσθηση στο χρόνο x F j X ( ) e ( ) γιακάθεπραγµατικόαριθµό 43
Ολίσθηση συχνότητας e j F x ( ) X ( ) Η ιδιότητα αυτή αποτελεί τη βάση της διαµόρφσης που χρησιµοποιείται ευρές στις τηλεπικοιννίες. X ( ) A W W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο σήµα m(). F { x( ) cos( ) } [ X( ) + X( + )] F W { x ( ) cos( )} W + W A W +W Το φάσµα του διαµορφµένου σήµατος. W 44
Αλλαγή κλίµακας στο χρόνο και τη συχνότητα - Ανάκλαση x F ( ( a) X ) και ( x ) X ( a ) a a F a a x( ) X( ) x ( ) X ( ) x ( ) X ( ) 45
Ανάκλασης x F ( ) X ( ) Θεώρηµα της Συνέλιξης F y ( ) h ( ) x ( ) Y ( ) H ( ) X ( ) Θεώρηµα του Parseval E x x ) d X ( ) d X ( f ) ( df π 46
Παραγώγιση α) στο πεδίο του χρόνου dx ( ) F jx d ( ) β) στο πεδίο συχνότητας j x ( ) F d ( ) d X Ολοκλήρση F x ( τ ) dτ X ( ) + π X ( ) δ ( ) j Συµµετρίες για πραγµατικά σήµατα Re Im X ( ) X * ( ) X ( ) Re X ( ) { } { } { } { } X ( ) Im X ( ) 47
υϊσµός x F ( ) X ( ) Το σήµα y ( ) X ( ) έχει µετασχηµατισµό Fourier: Y ( ) π x ( ) x ( ) F X ( ) π π x ( ) W π F X ( ) π W π W W W 48
Ναυπολογιστείοµετασχηµατισµός Fourier τουτριγνικούπαλµούδιάρκειας. Λ, <, αλλιώς Λ Οτριγνικόςπαλµόςδιάρκειας. d d Λ u ( + ) u( ) + u( ) d d Λ Η πρώτη παράγγος του τριγνικούπαλµούδιάρκειας. d d Λ F Λ δ ( + ) δ( ) + δ( ) sinc π d Λ d Η δεύτερη παράγγος του τριγνικούπαλµούδιάρκειας. 49
Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος Το σήµα x() γράφεται και ς x ( ) cos ( ) εποµένς ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος είναι F j x ( ) e + e e jo x( ) X ( ) j F F πδ ( ) e πδ ( ) { x ) } F{ cos ( ) } π[ δ ( ) + δ ( + )] ( π ( ) X j π Οµετασχηµατισµός Fourier τουσήµατος x() cos ( ). 5
5 Να βρεθεί ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος ) ( ) cos ( ) ( u x Το σήµα x() γράφεται και ς ) ( ) ( ) ( u e u e x j j + εποµένς ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος είναι { } { } [ ] ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( δ δ π + + + j u F x F Συνεχές τµήµα του φάσµατος ιακριτό τµήµα του φάσµατος ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( πδ πδ + + j u e j u F j X x e F F o j
Μετασχηµατισµός Fourier περιοδικών σηµάτν Όπςγνρίζουµεέναπεριοδικόσήµααναπτύσσεταισεσειρά Fourier e j x ( ) a e jo x( ) X ( ) F F πδ ( ) e πδ ( ) j x j ( ) a e F X ( ) π aδ ( Παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier επεκτείνεται και στα περιοδικά σήµατα. ) 5
x( ) a ( π ) sin, καια π π π ( ) π a δ ( X ) ( ) X π Ο µετασχηµατισµός Fourier για το περιοδικό ορθογώνιο κύµα Το φάσµα ενός περιοδικού σήµατος µε περίοδο αποτελείται από συναρτήσεις δέλταοµοιόµορφακατανεµηµένεςσεαπόσταση π/τ µεπλάτος πφορέςτο αντίστοιχο πλάτος του συντελεστή της εκθετικής σειράς Fourier του σήµατος. 53
Για ένα σήµα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R x ( τ ) + x ( τ ) x ( τ ) x ( ) x ( τ ) d x ( + τ ) x + ( ) d Για ένα σήµα ισχύος ορίζεται η µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R x ( τ ) lim x ( ) x ( τ ) d 54
Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Ηενέργεια, E x,σήµατος, x(),είναιίσηµετητιµήτηςσυνάρτησηςαυτοσυσχέτισης τουσήµατος, R x (τ), γιατ. R + R x() x ( ) d E x Ο MF της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότηταενέργειαςτουσήµατος. [ R ( τ )] x x ( τ ) x ( τ ) x ( τ ) F X ( ) Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου ΓΧΑ συστήµατος ισούται µε τη συνέλιξη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της εισόδου µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος x () R x(τ ) h () R h (τ ) X () y ( ) x ( ) h( ) R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) y x h Y ( ) X ( ) H ( ) Σχέσεις µεταξύ τν συναρτήσεν εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. 55
Ιδιότητες της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η µέση ισχύς, P x, σήµατος είναι είναι ίση µε τη µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, R x (τ), γιατ. R x () lim x ( ) Ο µετασχηµατισµός Fourier της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ισχύος του σήµατος. [ R ( τ )] S ( ) F x Ησυνάρτηση S x () περιγράφειτον τρόπο µετον οποίο κατανέµεται η ισχύς του σήµατος στο χώρο τν συχνοτήτν. x d P x x () R x (τ ) S x () h () R h (τ ) y ( ) x ( ) h( ) R y ( τ ) R x ( τ )* h ( τ )* h S ( ) S ( ) H ( ) y x * ( τ ) Σχέσεις µεταξύ τν συναρτήσεν εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. 56
Με τη βοήθεια ενός radar είναι δυνατή η µέτρηση της απόστασης στην οποία βρίσκεταιέναςστόχος (π.χ. αεροπλάνο). Το σήµα εκποµπής αποτελείται από ορθογώνιους παλµούς διάρκειας, οι οποίοι επαναλαµβάνονταιµεπερίοδοτ. Υποθέτουµε ότι ο στόχος βρίσκεται σε απόσταση d. Το χρονικό διάστηµα τ από τηστιγµήεκποµπήςτουπαλµούµέχριτηστιγµήπουφτάνειηηχώτουστόχουείναι όπου c είναι η ταχύτητα του φτός. Αρχή λειτουργίας Radar τ d c () x r () Η διάταξη προσδιορίζει το χρονικό διάστηµα τ, και στη συνέχεια προσδιορίζει την απόσταση d. τ + τ Ο παλµός εκποµπής x (), και ο παλµός λήψης r(), σε ένα ιδανικό σύστηµα Radar. d c τ 57
Η ηχώ του σήµατος εκποµπής από το στόχο διαβρώνεται από θόρυβο. Εποµένς ο προσδιορισµός του τ πρακτικά είναι αδύνατο να προσδιορισθεί απευθείας από το σήµαεκποµπήςκαιαπότηνηχώτου. () x r () Οπαλµόςεκποµπής x (),καιοπαλµόςλήψης r(), σεέναπραγµατικόσύστηµα Radar. Το σήµα ηχούς, r() εφαρµόζεται στη είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος το οποίο ονοµάζεται προσαρµοσµένο φίλτρο (mached filer). Η κρουστική απόκριση του προσαρµοσµένουφίλτρουείναιηανάκλασητουσήµατοςεκποµπής x (), δηλαδή, h( ) x ( ) r () Προσαρµοσµένο φίλτρο στο σήµα () y ( ) r ( ) h ( ) x 58
Η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου y(), είναι η συνέλιξη του σήµατος ηχούς r(),µετηνκρουστικήαπόκριση h(), δηλαδή, y() r() * h(). () x r () y () τ Οπαλµόςεκποµπής x (),καιοπαλµόςλήψης r(), καιηέξοδοςτου προσαρµοσµένου σήµατος y(), σε ένα πραγµατικό σύστηµα Radar. Τοχρονικόδιάστηµα τείναιίσοµετηχρονικήστιγµήκατάτηνοποίαηέξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου αποκτά τη µέγιστη τιµή της. 59
Ηδιαµόρφσηκαιηαποδιαµόρφσηστηµετάδοσησήµατος. Η διαµόρφση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας m() για να µεταβάλλει το πλάτοςενόςηµιτονοειδούςφέροντος cos( c ). m( ) cos ( ) c u( ) (α) ιαµορφτής Κανάλι Το διαµορφµένο σήµα είναι u( ) r ( ) cos ( ) c z( ) Χαµηλοπερατό Φίλτρο (β)σύγχρονη (ήσύµφνη)αποδιαµόρφση Το λαµβανόµενο σήµα απουσία θορύβου µέσ ιδανικού καναλιού είναι Το αποδιαµορφµένο σήµα είναι r ( ) u( ) m( )cos ( ) m( )cos ( ) m( )cos( ) cos( ) z ( ) r ( )cos c c ( ) Το σήµα αυτό διέρχεται µέσα από ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι y l ( ) m( ) c c c m( ) + m( )cos y l ( ) c ( ) 6
Μελέτη της διαµόρφσης και αποδιαµόρφσης στο πεδίο συχνότητας M ( f ) A W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο m() f c W f c f c f c + W U ( f A c ) A W + f c f c W W f c f c + W Το φάσµα U( f ) του διαµορφµένου σήµατος f f f c + f c Z ( f ) f c + f c απόκριση φίλτρου διέλευσηςχαµηλ. συχν. f c W f c f c + W W f c W f c W f + W c f Το φάσµα Ζ( f ) του σήµατος στην είσοδο του φίλτρου 6