ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. ) Σωστό διότι ( ) = > άρα lim γ) Σωστό διότι από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ( ) ( ) ( ) = >, > κοντά στο τέτοιος ώστε: διότι άρα < ( ) 4 δ) Λάθος διότι,. (Παράδειγµα: για την ε) Σωστό διότι αν 3 = 4, = για κάθε R ) = για κάθε [ α, ] = είναι: τότε d= ÈÅÌÁÔÁ 3 (άτοπο) στ) Σωστό διότι αν η δεν παίρνει τουλάχιστον ετερόσηµες τιµές θα είναι για κάθε [, ] d> άτοπο. Θέµα ο Α. A = (, + ) πεδίο ορισµού. Όµως η δεν είναι παντού ίση µε µηδέν, οπότε ( ln ) ln ( ) ln = = = ( ) ln ln ln = = = () Είναι ln = = ln = ln = =
Β. α) Για α= έχουµε: ln, = > και ln =, > ln ln e = = = = e + ( ) + - m ln e = = e ) lim lim lim ln + + + e m e ln = = = + = ln ( ln ) lim = lim = lim = lim = lim = lim = + + + + + + ( ) ) Άρα (, e =, e και, e + ) =, e Η = είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= οριζόντια ασύµπτωτη. κ γ) ln ( κ ) ln ( κ ) + κ > + κ + ln κ > κ ln κ + κ + lnκ > κ ln ( κ + ) lnκ ln ( κ + ) > κ κ + ( κ ) > ( κ+ ) ισχύει διότι + > 8> e και στο e, + ) κ κ ÈÅÌÁÔÁ 3
Θέµα 3ο Α. α) + i( i) i ( ) ( ) i z = = = + i i i i ( ) + i + i + + i + = = + z R αν και µόνο αν + = = ) Ισχύει z = iw + i = i( + i ( )) + i = ( ) i οπότε = και ( ) =. Άρα w = + α i. Έστω A(, ) και B(, ). Είναι ( OA) = +,( OB) = + δηλαδή AB ισοσκελές. Επειδή ( AB) ( ) ( ) = + + = O > ( ) OA OB = + + + + = + = + το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο. Β. α) Έχουµε + i i( + i ( )) = + i + i ( ) ( ) ( ) ( ) + + i = + + + ( ) + + = + + + ( ) ( ) ( ) + + + + = + + + ( ) ( ) ) Έστω A(, ) και B(, ( )) = = λ OA= και Λόγω της λ OB = οι συντελεστές διεύθυνσης ΟΑ και ΟΒ αντίστοιχα ( α ) είναι λoa= λob που σηµαίνει Α, Ο, Β συνευθειακά. (Είναι διότι αν ( ) = τότε και ( ) = άτοπο) C στο (, ( )) ( ) = ( )( ) η οποία διέρχεται από το ( ) ( ) ( ) ( ) γ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της y M είναι ÈÅÌÁÔÁ 3, όταν = =. Αρκεί να αποδείξουµε ότι έχει µια τουλάχιστον λύση στο (α,) η εξίσωση Έστω = = =. g =,, [ ]
Η g είναι παραγωγίσιµη στο [, ] και ( α) ( ) g ( α) = = g( ) = λόγω της Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Rolle, έχει µία τουλάχιστον λύση στο ( α, ) η εξίσωση g ( ) = δηλαδή η ισοδύναµη της Θέµα 4ο = α) + = 4 t t dt t t dt tdt t + = ( t ) ( t) dt t ( t) dt 4 ( t + ) ( t) dt = t ( t) dt () Με παραγώγιση των µελών της () έχουµε: ( + ) = ( + ) + = ( + ) = Για = είναι Η () γράφεται: ( ) 4 = C άρα C= + + = ( + ) = Άρα Για = είναι µέθοδος, άρα ( ) + = + C () + = + C = C άρα C =. Εποµένως Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουµε: ) =, R + ( ÈÅÌÁÔÁ 3 4 t + t t t dt = t t dt tdt ( ) 4 t + = ( ) ( ) + = + + =
( + ) = Άρα + = + c Για = είναι + = c δηλαδή + = = + c= οπότε ( ) ) ( ) Ε = d = ln + d = ln + = ln +. Το είναι συνάρτηση του χρόνου οπότε: t t E = ln ( ( t) ) + = ( ( t) + ) = t + t + 3 Είναι ( t) = cm / sec και ( t) = 3cm, άρα Ο ρυθµός µεταολής του E όταν = 3cm. γ) i ) Αφού + για κάθε > ισχύει: g + g ( + ) + + Είναι lim lim = =. + + + + Άρα g ( ) ÈÅÌÁÔÁ 3. 3 3 E = cm / sec = cm / sec. 9 + lim + = που σηµαίνει ότι η ευθεία y = + είναι πλάγια + ασύµπτωτη της C στο +. g ii) Είναι και E = g + d = g + d g + (ερώτηµα i) g +. Άρα g + d g + d d + ( ) E ln + E ln 5 E ln 5