ΘΕΜΑ Α 2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Γενικού Λυκείου Θετικών Σπουδών / Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής Σάββατο 13 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ν Α1. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f με f ( x ) = x, ν { 0, 1} ν 1 στο R και ισχύει f ( x) ν x ν ν 1 =, δηλαδή ( 0 0 ) Α2. Έστω f μία συνάρτηση και Α, x = ν x. N είναι παραγωγίσιμη Μονάδες 10 x f x ένα σημείο της C. Να δώσετε τον f ορισμό της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Α. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν lim f ( x) = lim g( x), τότε πάντα ισχύει f ( x) g( x) x x0 x x0 = κοντά στο x0. Μονάδες 2 β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x = 1, τότε η συνάρτηση g( x) = f ( ημx) π είναι συνεχής στο x = 2 κπ + κ Z 2,. Μονάδες 2 Σελ.1/ 4
ΘΕΜΑ Β 2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας γ) Αν f συνεχής στο [ α, β ] με f ( α ) < 0 και υπάρχει ξ ( α, β) ώστε 0 τότε κατ ανάγκη 0 f β >. f ξ =, Μονάδες 2 δ) Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει πάντα μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Μονάδες 2 ε) Αν για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν ορίζεται εφαπτομένη ( 0 0 ) στο σημείο της, Α x f x, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x0. Μονάδες 2 Δίνεται συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. y 2 1 0-1 y 1 2 3 4 5 6 Β1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f, το σύνολο τιμών της καθώς και τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. x Μονάδες 6 Σελ.2/ 4
2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας Β2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f f. Β3. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της πρώτης παραγώγου της f. Μονάδες 5 Μονάδες 6 1 1 1 Β4. Να υπολογίσετε (εφόσον υπάρχουν) τα όρια: lim, lim, lim x 2 f x x 5 f x x 6 f x ΘΕΜΑ Γ lim 2 ( ) f f x x και Μονάδες 8 Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως μονότονη στο R, για την οποία ισχύει 1 συν f x + x x, για κάθε x R. Γ1. Να αποδείξετε ότι f x f x lim = lim = 1. + x x x x Γ2. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και έχει σύνολο τιμών το R. Μονάδες 6 Μονάδες 6 Γ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x= 0 και να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο 0 ( 0) Γ4. Να υπολογίσετε τα lim x + ( f f )( x) x f και lim x 0 f ( x) 1( x).,f. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Σελ.3/ 4
ΘΕΜΑ 2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας Έστω οι συναρτήσεις f, g παραγωγίσιμες στο x ln = + για κάθε f x x g x e 1 x 0, + για τις οποίες ισχύει η σχέση 0, +. Να δείξετε ότι: Δ1. Οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Μονάδες 8 Δ2. Οι γραφικές παραστάσεις των f, g δεν έχουν στο κοινό σημείο τους κοινή εφαπτομένη. Μονάδες 7 Δ3. Αν επιπλέον ισχύει ότι f είναι συνάρτηση 1 1 με f -1 παραγωγίσιμη και η ευθεία y = e x + 1 είναι εφαπτομένη της Cf στο x = 1, τότε: α. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο x = 1. β. Να βρείτε την εφαπτομένη της C 1 στο x = e + 1 f Μονάδες 5 Να έχετε επιτυχία! Μονάδες 5 Σελ.4/ 4
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Γενικού Λυκείου Θετικών Σπουδών / Σπουδών Οικονοµίας & Πληροφορικής Σάββατο 13 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β [ ) ( ] [ ) ( ) (( ] ) ( ) ( ] ( ) = = = ( ) = ( ) ( ) + = = = = ( ) = ( ) ( ) = = = Σελ.1/ 9
{ } = [ ) ( ] [ ) ( ] ( ) [ ) ( ] ( ) ( ) [ ) ( ] x 0,1 1, 6 και Df f = 0,1 1, 3 4, 5 6 x [ 0,1) ( 1, 3) ( 4, 5] { 6} ( ) ( ) [ ) ( ] { } = = = = ( ) = = ( ) ( ) = = = = ( ) = = ( ) ( ) ( ) = = + ( ) ( ) = = = = + Σελ.2/ 9
( ) ( ) = = = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > ( ) > + ( ) < + = + = = + Σελ.3/ 9
= = = ( )( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) = = = ( ) = = = = + ΘΕΜΑ Γ + + ( ) ( ) ( ) > < + Σελ.4/ 9
= = + = = + + = = + + ( ) ( ) ( ) = = = = > ( ) < + ( ) = = + < > R > ( ) < ( ) R R ( ) ( ) ( R) = = + = R + Σελ.5/ 9
+ = + ( ) ( ) = = = ( ) = = R ( ) = ( ) = ( ) ( )( ) = = ( ) = ( ) ( ( )) ( ) = + ( ) = = = + + ( ) = Σελ.6/ 9
( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) = = + + + = ( ) ( ) ΘΕΜΑ = = R = = = ( ) = = = = = + > ( + ) = + > = + > < < < ( + ) < + < + < Σελ.7/ 9
( + ) + + + () + = = + ( ) + + = + = + + = = + = + + + = + + ( ) + ( ) ( ) + = + ( + ) ( ) ( + ) ( ) = + = = = = + = + + > ( ( ) ( )) ( ) ( ) > ( ) > ( ) ( ) ( ) > = Σελ.8/ 9
( ) = ( ) = + = + = + = + = + + = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = ( ) = = = + = + + = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) + = + + = = Σελ.9/ 9