Να βρεθούν τα α και β Î R, ώστε η συνάρτηση ì 4 ημ - + = í - î α + β < ³ να είναι συνεχής και æ η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο Mç è,- ö ø Να βρείτε τα α, β, γ Î R, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση = ì í î 3 + α + β - γ ¹ = 3 Να βρείτε τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία για κάθε ÎR ικανοποιεί τη σχέση ( - )() + = ημ( - ) + + 3 4 Αν για τη συνάρτηση ισχύουν lim () - - α ( α) = m α - να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( α) () - lim =l και + - α α, όπου l, mîr καιl ¹ m, = α 5 Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής η συνάρτηση ì 3 ημ = í ημ î æ Î ç - è = π, ö æ π ö Èç, ø è ø 6 Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε ÎR ικανοποιεί τη σχέση () - ημ + - α) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = β) Να βρείτε τα όρια : () 3 () - ημ lim και lim + ημ Σελίδα από 9
7 Έστω συνάρτηση ορισμένη στο R και συνεχής στο = (- h) h () - () Αν lim =, να βρείτε το lim h - 8 Έστω : R R συνάρτηση για την οποία ισχύει ημ + ημ + ( ) + για κάθε ÎR Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο = 9 Έστω συνάρτηση η οποία για κάθε,ψî R ικανοποιεί τη σχέση () - (ψ) ( - ψ) Να αποδείξετε ότι : () - ( ) α) η είναι συνεχής β) το lim = - α) Δίνεται η συνάρτηση : R R τέτοια, ώστε για κάθε, y Î R να * ισχύει ( + y) = ( y) + κ y, κ Î R Αν η είναι συνεχής στο σημείο = με ¹, να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο R + για κάθε,yî R, όπου κî R * και ¹ Να αποδείξετε ότι, αν η είναι συνεχής στο σημείο =, τότε η είναι συνεχής στο R β) Έστω συνάρτηση για την οποία ισχύουν ( y) = κ ( y) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = αημ + β, α,β> έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει τον αριθμό α+β 6 + + Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + =, α,β> έχει τουλάχιστον - α - β μία ρίζα στο διάστημα (α, β) 3 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] με ( α) ( β) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α,β) κ ( α) + ν ( β ) ( ξ ) =,κ,νîn * κ+ ν Î τέτοιο, ώστε να είναι ¹, Σελίδα από 9
- 4 Δίνεται η συνάρτηση () = ln + e - α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Nα λύσετε την εξίσωση ln + e - = 5 Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [α, β], α,β> Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ Î [ α,β] τέτοιο, ώστε να ισχύει α( α) β ( β) ( α β) ( ξ) + = + 6 Έστω συνεχής συνάρτηση : R R με (3) + (4) + (5) = Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 7 Έστω συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει + κ lim =, όπου α,κ> Αν η γραφική παράσταση της α -α διέρχεται από το σημείο ( α,α ) -, να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( α,α) - 8 Να αποδείξετε ότι για κάθε α Î R η εξίσωση 4 6 5 3 α + 7 - α + α- -α - 3= έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα μικρότερη του 9 Έστω η συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β], όπου α, β ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί Να αποδείξετε ότι υπάρχει ( ξ) β ένα τουλάχιστον ξî [ α,β] τέτοιο, ώστε να ισχύει = α ξ Έστω συνεχής συνάρτηση στο R και - για την οποία ισχύει: ( ) + ( ) = ( ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα ακριβώς σημείο τομής με τον άξονα με τετμημένη [ ), Î Σελίδα 3 από 9
Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α,β] για την οποία ισχύει: 4( ( α )) +9( ( β )) +8 4( ( α) -3( β) ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ένα τουλάχιστον σημείο τομής με τον άξονα Î α,β με τετμημένη Δίνεται συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [,] και σύνολο τιμών το διάστημα [-,] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της με την ευθεία y= - 3 Αν οι α, β, γ είναι θετικοί αριθμοί και λ, μ,ν Î R με λ<μ<ν, α β γ να αποδείξετε ότι η εξίσωση + + = έχει μία ρίζα - λ - μ - ν στο διάστημα (λ, μ) και μία ρίζα στο διάστημα (μ, ν) 4 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β], όπου g γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = g έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα [α, β] 5 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο R για την οποία ισχύει (())=, ÎR i) Να δείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών (R)=R ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ÎR τέτοιο, ώστε ( )= 6 Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [α, β] Αν δ ξ Î α, β τέτοιο, γ, ³ με γ+δ=, να αποδείξετε ότι υπάρχει [ ] ώστε να ισχύει ( ξ) = γ ( α) + δ ( β) 7 Έστω συναρτήσεις, g ορισμένες και συνεχείς στο R με ( R ) = (-,) και g( R ) = (, + ) Αν υπάρχουν ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί α, β με ( α) = α, g( β) = β και α<β, να αποδείξετε ότι υπάρχει Î ( α,β) g = για το οποίο ισχύει ( ) 8 Έστω συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [--] για κάθε Î[ -,- ] να είναι -, τέτοια, ώστε - Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ Î [-, -] τέτοιο, ώστε να είναι () ξ = ξ Σελίδα 4 από 9
9 Δίνονται οι συναρτήσεις () = + α + β και g() = - + α + β, όπουα,β Î R και β ¹ Αν υπάρχουν ρ, ρ Î R με (ρ ) = g(ρ) = και ρ < ρ, να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής κ () + λ g() =, με κλ >, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ, ρ) 3 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο [α, β] με ( α) ¹ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ Î ( α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ξ) ( α) + ( β) = ξ- α β- α 3 Έστω συνάρτηση συνεχής στο [α, β], ( α,β) όπου κ 3 γ Î και κ, κ, κ3 >,,κ,κ Î R Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ρ Î [ α,β] τέτοιο, ώστε να ισχύει ( ρ) ( α) + κ ( β) + κ ( γ) κ = 3 κ + κ + κ 3 3 Έστω συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο διάστημα (α, β) Αν l im = + και l im = + α + β - η παίρνει ελάχιστη τιμή στο (α, β), να αποδείξετε ότι 33 Έστω μία συνάρτηση συνεχής στο διάστημα Δ=[,] για την οποία ισχύουν: η είναι - και ()>()> Να αποδείξετε ότι ()> για κάθε Î Δ 34 Έστω συνεχής συνάρτηση :[, ] R με = ¹ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ Î (,) τέτοιο, ώστε να είναι ( ξ) ( ξ ) = + é πù 35 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () = 4 + 3ημ -, Îê, ë ú û είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3ημ = - 4 έχει ακριβώς μία æ π ö λύση στο διάστημα ç, è ø Σελίδα 5 από 9
36 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις : R R οι οποίες για κάθε ÎR ικανοποιούν τη σχέση () - () = e - 37 Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () = () + για κάθε ÎR και () = 38 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις : R R οι οποίες για κάθε ÎR ικανοποιούν τη σχέση () = 3() + 4 39 α) Να αποδείξετε ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα β) Αν α,β, γ, δ Î R και β < 3 α γ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 α + β + γ+ δ= έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα () () lim lim = 4 Έστω : R R μια συνεχής συνάρτηση Αν, = - ν ν + όπου ν περιττός φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι η εξίσωση () + ν =, έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα 4 Έστω συνεχής συνάρτηση :R R, η οποία ικανοποιεί τη σχέση () - --ημ= για κάθε ÎR α) Να βρείτε τον τύπο της β) Να βρείτε το () lim - γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () =, έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα μικρότερη του μηδενός é π π ù 4 Αν για κάθε Î ê -, ë 4 4ú η είναι συνεχής και ισχύει 4ημ + () =, û ö να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα ç æ π π -, è 4 4 ø Σελίδα 6 από 9
43 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [, ] με () = και () =, να αποδείξετε ότι : i) υπάρχει μοναδικό ξ (,) ii) υπάρχει μοναδικό (,) Î, τέτοιο ώστε ( ξ) Î, τέτοιο ώστε æö æö æ3ö æ4ö ç + ç + ç + ç 5 5 5 5 = è ø è ø è ø è ø 4 lne = 3 44 Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο R και - και οι μιγαδικοί αριθμοί z=(α)+αi, w=(β)+βi, όπου α, β οι ρίζες της εξίσωσης +-8= με α<β i) Αν z w Î I, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C τέμνει τον άξονα σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη Î ( α,β) ii) Αν z w Î R, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C τέμνει την ευθεία ψ= σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη Î ( α,β) 45 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ()=α +β+γ Αν ισχύει 5α+3β+3γ=,να δείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [, ] 46 Δίνεται η συνάρτηση () = ì í î - z+z z, ¹ z,=, όπου zî C με z¹ i) Να δείξετε ότι αν η είναι συνεχής στο o =, τότε ο zî R * ii) Να βρείτε τα όρια: lim + () lim, () - iii) Αν zî R *, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός ξ, τέτοιος ώστε (ξ)= 47 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : [ α,β] Rκαι η εξίσωση z- α i,z C,z - ( β) i z+ β i = Î ¹, που έχει πραγματική ρίζα i) Αν ισχύει () για κάθε Î [ α,β ], να δείξετε ότι η συνάρτηση δεν είναι - ii) Αν η συνάρτηση είναι -, να δείξετε ότι η εξίσωση ()= έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο ( α,β ) Σελίδα 7 από 9
48 Δίνεται η συνάρτηση () = ì í î ημ z + α, > - β,=,z¹ -β+γ, < i) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κυκλικό δίσκο με κέντρο το Ο(,) και ακτίνα και η είναι συνεχής στο =,να δείξετε ότι α=γ= και β - ii) Αν α +γ = και β+, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση C της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ξ -, z é ö Î ê êë ø 49 Δίνεται η συνάρτηση ()= ì e -, í î, > i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση iii) Να εξετάσετε τη συνάρτηση - - ως προς τη συνέχεια iv) Να δείξετε ότι η εξίσωση ()=α,όπου αî( -, ) πραγματική ρίζα + έχει ακριβώς μια 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :R Rγια την οποία ισχύει: - -ημ =ημ για κάθε ÎR και ()>,(-)<- i) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Να δείξετε ότι ()=-ημ, ÎR iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή lim lim iv) Αν =l, να βρείτε το - v) Να υπολογίσετε τα όρια της συνάρτησης στο + και στο - vi) Να δείξετε ότι η εξίσωση ()=α, αîr, έχει ακριβώς μία πραγματική λύση vii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τα κοινά σημεία των C και C - Σελίδα 8 από 9
ì -+4+α+β, ³ 5 Δίνεται η συνάρτηση : R R με ()= í ημ +w+i, < î συνεχής στο,για την οποία ισχύει lim = + i) Να δείξετε ότι α=-β=- ii) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο (c) των εικόνων Μ του μιγαδικού αριθμού w iii) Αν Α(w ), B(w ) σημεία του (c) με w-w =4,να βρείτε το w+ w iv) Να βρείτε το lim - v) Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα 5 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το διάστημα [α, β] -ψ για την οποία ισχύει: - ( ψ) για κάθε,ψî [ α,β] Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] β) η συνάρτηση h()=()- είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α, β] ξî α,β τέτοιο, ώστε (ξ)=ξ γ) υπάρχει μοναδικό [ ] 53 Έστω και g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [,8] για τις οποίες ισχύει ()+(4)+(8)=3+g()+g(4)+g(8) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,8] Î τέτοιο, ώστε ( )= +g( ) 54 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : ( -,] R με () για κάθε < και - > Επίσης, δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z= ( ) +e i για τον οποίο æ ö ç è zø i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ισχύει Rez+ =Rez ii) Αν ( ) = -e, να βρείτε τo όριο της συνάρτησης στο - iii) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης ()=α για τις διάφορες πραγματικές τιμές του α iv) Να βρείτε τα όρια: α) æ ö lim ç ημ β) è ø - æ ö lim + ημ - ç è ø Σελίδα 9 από 9