ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 8 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σελίδα από Φάνης Μαργαρώνης Φροντιστήρια Ρούλα Μακρή Τομέας μαθηματικών ΘΕΜΑ Α Α (Θεωρία - σελ 99 σχολικού βιβλίου) Έστω συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο Για έχουμε οπότε f() f( ) f() f( ) = ( ), f() f( ) lim[f() f( )] = lim ( ) f() f( ) = lim lim ( ) = f ( ) =, αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, είναι συνεχής στο lim f() = f( ), δηλαδή η f
Σελίδα από Α α) Ψευδής β) (Αντιπαράδειγμα σελ 5 σχολ βιβλίου): ì, Η συνάρτηση g ( ) = ï í είναι - ï, > ïî αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη, αφού είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-,] και γνησίως φθίνουσα στο (,) ) Σημείωση: Ι Το συγκεκριμένο αντιπαράδειγμα βρίσκεται μέσα στο σχολικό βιβλίο, επομένως δεν ήταν υποχρεωτική η απόδειξη του ισχυρισμού μας Αν κάναμε χρήση άλλης συνάρτησης, για την οποία δεν αποδεικνύεται το ψευδές του ισχυρισμού της εκφώνησης στο σχολικό βιβλίο, θα χρειαζόταν απόδειξη Επίσης η παράθεση ενός κατάλληλου γραφήματος χωρίς απόδειξη δεν είναι αρκετή ΙΙ Συναντήσαμε ως απάντηση το λάθος αντιπαράδειγμα της συνάρτησης f( ) =, η οποία δεν είναι γνησίως μονότονη, ενώ είναι -, όμως πεδίο ορισμού της είναι το * και όχι το, επομένως η επιλογή της δεν αποτελεί κατάλληλο αντιπαράδειγμα Α (Θεωρία, σελίδα 6 σχολικού βιβλίου) Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α,β] Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α,β], τότε Α4 α) ΛΑΘΟΣ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΣΩΣΤΟ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ α β ò f ()d = G(β) -G(α) Σημείωση: Οι αιτιολογήσεις για το Α4 οι οποίες όμως δεν χρειαζόταν να γραφτούν προκύπτουν από τα εξής:
Σελίδα από α) Σελ σχολικού βιβλίο Η συνάρτηση f()=ημ παρουσιάζει μέγιστο το y= σε κάθε μία από τις λύσεις της εξίσωσης f()=, δηλαδή στα σημεία π = κπ +, κ Î β) Σελ 6 σχολικού βιβλίου, στο ΣΧΟΛΙΟ αναφέρεται ότι το αντίστροφο του αντίστοιχου θεωρήματος ΔΕΝ ισχύει συν - γ) Σελ 5 σχολικού βιβλίου αναφέρεται: lim =, από το οποίο -συν προκύπτει lim = δ) Σελ 7 σχολικού βιβλίου ε) Σελ 7 σχολικού βιβλίου ΘΕΜΑ Β 4 Η συνάρτηση f( ) = - έχει πεδίο ορισμού A { { } = - Επίσης είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων Β Θα είναι: ( + )( + + 4) 4 8 f 4 + = - 8 = + = + = =, για κάθε 4 ¹ Λύνουμε: ( ) )( ) Και f '() = Û ) ) 4 = Û =- ( ) )( ) ) 4) ( ) )( ) f '() > Û > Û ) ) 4 > ( + ) Û > Û <- > ή Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Σελίδα 4 από Επομένως η f : είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (-,- ], είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [-,), είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,) ) παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f( - ) =- Β Η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο Α, με : æ ( ) 8 ö 8 f = 4 ç + =- =- < 6 4, για κάθε ¹ çè ø Επομένως η f : είναι κοίλη στο διάστημα (-,) είναι κοίλη στο διάστημα (,) ) δεν έχει σημεία καμπής Β Κατακόρυφες ασύμπτωτες: Είναι: lim f ( ) lim æ 4 ö = ç - = - çè ø, αφού 4 + lim 4 = + Επομένως η ευθεία = (ο άξονας y y) είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f Η f είναι συνεχής σε κάθε o ¹, σημείο του πεδίου ορισμού της, επομένως δεν έχει άλλη κατακόρυφη ασύμπτωτη Σημείωση: Εδώ συμπεραίνουμε ότι ισχύει f ( ) lim = lim f( ) = -, το οποίο - ) θα χρησιμοποιήσουμε στη σχεδίαση της γραφικής παράστασης, στο ερώτημα Β4
Σελίδα 5 από Πλάγιες / οριζόντιες ασύμπτωτες: f() æ 4 ö lim = lim ç - =, αφού çè ø ç - - - 4-4 lim = é 4 ù æ 4 ö lim f () - = lim - - = lim - = ê ç ë úû çè ø Και [ ] - - - Ομοίως είναι: f() æ 4 ö lim = lim ç - = çè ø ç ) ) lim f () - = και [ ] ) Άρα η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + και στο - Β4 Λύνω την εξίσωση f() = προκειμένου να βρω το σημείο τομής με τον 4 άξονα : f() = Û- = Û - 4= Û = 4 Άρα σημείο τομής με τον άξονα είναι το ( ) B 4,, με < 4< Û < 4< Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Σελίδα 6 από ΘΕΜΑ Γ Γ Εφόσον το μήκος του σύρματος είναι 8m και κόβουμε τμήμα μήκους μέτρων, είναι προφανές ότι θα έχουμε Î (,8) Το μήκος του τετραγώνου θα είναι L L είναι ίση με α = =, και το εμβαδόν του είναι E 4 4 =, επομένως η πλευρά του τετραγώνου æö = α = ç = ç çè4 ø 6 Έστω R η ακτίνα του κύκλου Τότε η περίμετρος του κύκλου είναι L το εμβαδόν του: E = πr = πr και Επομένως, αφού το συνολικό μήκος του σύρματος θα είναι L=8m, θα ισχύει: 8- L= L+ L Û 8= + πr Û R = π Τότε το εμβαδόν του κύκλου γίνεται: E πr π æ8- ö (8-) = = ç = çè π ø 4π, με Î (,8) Η συνάρτηση του αθροίσματος των εμβαδών των δυο σχημάτων είναι ίση με (8 - ) E() = E) E = ), Î (,8) 6 4π Έτσι γίνεται: Άρα E ( ) π + 4 64-6 + π + 4-64 + 56 = =, με Î (,8) 6π 6π
Σελίδα 7 από Γ Η συνάρτηση E() είναι παραγωγίσιμη στο (,8) ως πολυωνυμική, με: ( ) π ) 4-64 (π ) 4) - E ( ) = = 6π 8π Λύνουμε: E '() = Û (π ) 4) - = Û = π ) 4 E '() > Û (π ) 4) - > Û > π ) 4 Οπότε προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : Επομένως η συνάρτηση E() παρουσιάζει ελάχιστο για = π + 4 Για = : π + 4 Η διάμετρος του κύκλου γίνεται: 8- δ = R = π + 4 = 8π + - = 8 π ππ + 4 π + 4 ( ) Και η πλευρά του τετραγώνου είναι: = π+ 4 = 8 = δ 4 4 π+ 4 Επομένως, πράγματι, το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων ελαχιστοποιείται, όταν η πλευρά του τετραγώνου ισούται με τη διάμετρο του κύκλου æ ù Γ Η E() στο διάστημα A =, είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής ç è π + 4 úû Οπότε έχουμε: ( ) é æ ö ö é 6 6ö E A = E, lim E() =, ) ê ç èπ) 4ø ø êë π) 4 π ø, ë
Σελίδα 8 από επειδή είναι: æ ö 6 E ç = çè π + 4 ø π + 4 και 6 lim E() = ) π 6 Είναι προφανές ότι π+ 4 < 5 6, ενώ 5< Û 5π < 6, που ισχύει, αφού 5π 5,7 π Επομένως 5Î EA ( ), οπότε υπάρχει Î Aτέτοιο, ώστε E( ) = 5 Και επειδή η E() είναι γνησίως φθίνουσα στο A, το θα είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης E() = 5 στο A é ö Η E() στο διάστημα A =,8 ê π 4 είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής ë + ø Οπότε έχουμε: ( ) é æ ö ö é 6 ö E A = E, lim E() =,4 - ê è ç π 4ø 8 ê π 4 ë ) ø ë ) ø Προφανώς 5Ï EA ( ), οπότε δεν υπάρχει ρίζα της εξίσωσης E() = 5 στο A Επομένως υπάρχει μοναδική τιμή Î (,8) τέτοια, ώστε E( ) = 5, δηλαδή υπάρχει ένας μόνο τρόπος με τον οποίο μπορεί να κοπεί το σύρμα μήκους 8 m, ώστε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων να ισούται με 5 m ΘΕΜΑ Δ Δ Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο και παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο, ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων Έχουμε: ( ) Και ( ) -α f = e -, Î, με α> -α f ' = e -, Î και -α -α f '' = e - = e -, Î Λύνουμε: και -α f ''() = Û e = e Û = α -α f ''() > Û e > e Û > α Προκύπτει ο πίνακας:
Σελίδα 9 από Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής, το ( ) Α α,f (α), δηλαδή το Α( α, α ) - Δ Από το πρόσημο της f '' (ερώτημα Δ), προκύπτει ο παρακάτω πίνακας για τη μονοτονία της f': Δηλαδή η f '() είναι: γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-,α] Για το διάστημα A (,α] Α τρόπος Είναι: ( ) και γνησίως αύξουσα στο [ α,+ ) = - : -α -α -α = >, f e f = e - = e - < και αφού η f' είναι συνεχής στο διάστημα [, ], από το θεώρημα Bolzano υπάρχει (,) ώστε f' ( ) = Όμως η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,α] θα είναι μοναδική ρίζα της f' στο διάστημα (-,α] οπότε το Î τέτοιο, -, Β τρόπος Έχουμε : -α lim f = lim e - = +, αφού - - -α lim e = - Και f '(α) = e - α = - α = (- α) <, αφού α> Η f'είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως φθίνουσα στο A, επομένως θα είναι:
Σελίδα από é f' ( A) = êf(α), lim f ( )) = [ (- α), ) ) Άρα Î f' ( A ), οπότε θα υπάρχει ë - Î A τέτοιο, ώστε f' ( ) = Και επειδή η f'είναι γνησίως φθίνουσα στο A, το θα είναι μοναδική ρίζα της f'στο A Για το διάστημα A [ α, ) = + έχουμε: é æ ö ù = - = ç - = +, αφού ë è e øû α α lim f - lim e lim - e + + + -α ê ç ú lim e - α + = + και + lim === = -α DLH -α e e + + Αντίστοιχα με το A, επειδή η f' είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) και γνησίως αύξουσα, θα είναι: f '( A) = [ (- α), ) ) και, ομοίως με το A,θα έχει ακριβώς μία ρίζα Î A Επίσης: Αν Αν f' < Þ f '() > f '( ) =, -, άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο ( ] f' < < α Þ f '() < f '( ) =,α άρα η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ] Αν f' α < < Þ f '() < f '( ) = άρα η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α, ] Μάλιστα επειδή η f είναι συνεχής στο α, θα είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] Αν f' > Þ f '() > f '( ) = άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) Το πρόσημο της f' και η μονοτονία της f φαίνονται ανά διάστημα στον πίνακα:
Σελίδα από Επομένως η f παρουσιάζει μόνο στο (,α] [ ) Î α, + τοπικό ελάχιστο Î - τοπικό μέγιστο και μόνο στο Σημείωση: Αν είχαμε ακολουθήσει τον Α τρόπο στο ερώτημα Δ, για το διάστημα (-,α], τότε θα ξέραμε και ότι Î (,) Δ Α τρόπος (αν είχαμε ακολουθήσει τον Α τρόπο για το διάστημα (-,α] στο ερώτημα Δ) Από το Δ έχουμε ότι (,) Î Άρα είναι < < < α< και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, ], άρα και στο ( α, ), οπότε έχουμε f ( ) > fα ( ) > f( ), και άρα η f δεν παίρνει την τιμή f ( ) στο διάστημα ( ) Οπότε η εξίσωση f() = f() είναι αδύνατη στο διάστημα (α, ) Β τρόπος -α -α Ισχύει f'( ) = Ûe - = Û e = () () -α Όμως ξέρουμε ότι < αû - α< Û e < Û < α, Άρα θα είναι: α,, οπότε προκύπτει: f( ) < f(α) < f () Επομένως η εξίσωση f() = f() είναι αδύνατη στο διάστημα (α, ) < < < Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ] Σημείωση: Η σχέση < < α θα μπορούσε να αποδειχτεί και ως εξής: Έστω ότι -,, -α -α θα ισχύει: f '() ³ f '( ) Ûe - ³ Û e ³ Û- α³ Û α Τότε, επειδή η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ] Που είναι άτοπο Επομένως συμπεραίνουμε ότι < < α
Σελίδα από Γ τρόπος (Θεωρούμε ότι έχει αποδειχτεί η σχέση: < < α< ) Έστω ότι υπάρχει κάποιο ξ Î (α, ) τέτοιο, ώστε f(ξ) = f () Τότε αφού η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [, ξ ], από θεώρημα Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ο Î (, ξ) τέτοιο, ώστε f '( o) =, άτοπο, αφού ισχύει ότι f '(), Î, ξ Í, < για κάθε Î ( ), άρα και για κάθε Άρα η εξίσωση f() = f() είναι αδύνατη στο διάστημα (α, ) Δ4 Αν α=, τότε: - f () = e - και - f '() = e - Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(, - ), έχει εξίσωση: y - f () = f '() ( -) Û y ) =- ( -) Û y =- ) Επίσης η f είναι κυρτή στο [, ], άρα θα ισχύει: f() ³- ), με το ίσον να ισχύει μόνο στο σημείο επαφής, δηλαδή για = Τότε για Î (,] ισχύει: - > f() >- ) Û f() - > (- ) ) -, Î(,] ενώ γενικά θα ισχύει : f() - ³- ( ) ) -, με το = να ισχύει μόνο για = Οπότε προκύπτει: f - d > - + - d ò ò Αρκεί, λοιπόν, να δείξω ότι ( ) - + - d ³- ò 5 Α τρόπος υπολογισμού του ολοκληρώματος: ò ò - + - d= - - + -d Θέτω u= - Τότε θα είναι: du = d,
ενώ για = παίρνουμε u=, και για = παίρνουμε u= Το ολοκλήρωμα γίνεται: ( ) 5 =- u + u =- - =- é ù 4 4 êë5 úû 5 5 ò ò - (u ) ) u du =- u u ) u du = Σελίδα από Β τρόπος υπολογισμού του ολοκληρώματος (χωρίς αλλαγή μεταβλητής) ò ò - + - d = - + 4- - d ( ) ò ò = - - -d- -d ò ò =- - d- - d 5 é ù é ù =- ( -) - ( - ) =- - =- êë5 úû êë úû 5 5 Τελικά θα ισχύει, πράγματι, ότι ( ) f - d >- ò 5 Σημείωση: Η αντικατάσταση u= -, την οποία συναντήσαμε σε πολλές προτεινόμενες απαντήσεις, δεν είναι σωστή, γιατί σύμφωνα με το πρώτο θεώρημα αλλαγής μεταβλητής σε ορισμένο ολοκλήρωμα, η συνάρτηση u= g ( ) (την οποία θέτουμε) πρέπει να έχει συνεχή παράγωγο στο κλειστό διάστημα [,], κάτι το οποίο δεν ισχύει για τη συνάρτηση g ( ) = -