Σύλλογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου Μαθηµατικά : Τάξη: Γ ράµα Απριλίου Θέµα ο ίνεται η συνάρτηση :, δύο φορές παραγωγίσιµη για την οποία ισχύει: ) ) και + για κάθε χ lim i) να βρεθεί το για κάθε χ φ +, χ ii) να δείξετε ότι + ) iii) να δείξετε ότι η συνάρτηση iv) Θέµα ο είναι γνησίως αύξουσα δίνεται η συνάρτηση, χ [,] + ) + ) + 4 είξτε ότι η αντιστρέφεται και η γραφική παράσταση της αντίστροφης της τέµνει τον άξονα ψ ψ σε ένα σηµείο µε τεταγµένη στο διάστηµα,) Α Να αποδείξετε ότι > για κάθε χ Β ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση : ώστε: ) για κάθε χ α) να αποδείξετε ότι ) β) να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα γ) να αποδείξετε ότι το σύνολο τιµών της είναι το
Σύλλογος Θετικών Επιστηµόνων ράµας ιαγωνισµός στη µνήµη Του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ : Τάξη: Γ ράµα Απριλίου Θέµα ο i) To ζητούµενο όριο είναι της µορφής ;, η είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, άρα µε δύο διαδοχικές εφαρµογές του θεωρήµατος d Hospital θα έχουµε: lim lim lim lim ii) Έστω η συνάρτηση h + ) στο h ) ) + ) ) + ) ) ) Για την h) η οποία είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη στο, ισχύει: h Εποµένως h ) c, c Άρα + ) c Προκύπτει Και αν θέσουµε όπου χ c Εποµένως + ) iii) Στο έχουµε φ + ) + Επίσης ) + ) ) ) ) Άρα ) ) ), χ ) + 3 φ ) 3 ηλαδή φ > στο, άρα φ στο iv) ) + ) + ) + 4 φ ) φ) φ) φ Επίσης στο [,] <,, : φ άρα αντιστρέφεται )
Eπίσης συνεχής στο [,] ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) Εποµένως φ) φ) ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) φ) ) φ) φ) ) ) ) < γιατί, φ, άρα -, εποµένως φ) φ) Εποµένως σύµφωνα µε το θεώρηµα του Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστον ένα, ) ) ) Άρα η γραφική παράσταση της Α, ) µε ), το οποίο είναι µοναδικό) έτσι ώστε, τέµνει τον άξονα ψ ψ στο σηµείο Θέµα ο Α Αν η προς απόδειξη ανισότητα είναι προφανής Αν >, λογαριθµίζω οπότε αρκεί > ln Θεωρώ την συνάρτηση ) ln στο,+ ) Η µονοτονία και τα ακρότατα της ) φαίνονται στον παρακάτω πίνακα ) - + ) min : + ln ) 3
Ισχύει ) ln ) ln ln ) ln, Επίσης ln άρα > ln > ln Εποµένως ln > Άρα ) > > ln, χ> Τελικά > για κάθε χ Β α) ) Για χ έχουµε ) ) ) + ) Θεωρώ τη συνάρτηση ) h + στο, για την οποία ισχύει: ) h ) και )) h + ) Επίσης h > γιατί από το Α, > Άρα h > στο, h οπότε το µηδέν είναι µοναδική ρίζα Εποµένως: h )) h ) h ): ) ) ) β) παραγωγίσιµη στο άρα η σχέση ) γίνεται: ) ) Αλλά από το Α, >, > στο, άρα εποµένως η τελευταία σχέση µας δίνει γ) Ισχύει στο Α, + ), στο οποίο είναι συνεχής ως παραγωγίσιµη Άρα το σύνολο τιµών θα είναι ) lim, lim ) Α ) + 4
) Για χ < είναι > άρα από την ) > > Εποµένως επειδή lim θα είναι και lim 3) χρειάζεται απόδειξη) Για χ >, > ) Άρα ) < Εποµένως επειδή lim ) + + Χρειάζεται απόδειξη) > <, Εποµένως και < > θα είναι και lim + + Από τις σχέσεις ), 3) και 4) το σύνολο τιµών της είναι: ) Α Άλλη λύση για το Β του ου θέµατος Για κάθε χ ισχύει: Έστω η συνάρτηση ) ) +, µε χ Α η οποία είναι παραγωγίσιµη στο µε + > οπότε Εποµένως ορίζεται η Άρα ) είναι γνησίως αύξουσα, ) ) : Α) Επίσης η ως συνεχής και γνησίως αύξουσα έχει σύνολο τιµών A) lim ), lim ), + Άρα Επειδή οι + : Α), ορίζονται στο και η o ορίζεται στο, µε ) ) )) + o Άρα ) Άρα : α) )) )) ) ) β) Για κάθε ψ A) µε < ψ, ψ ψ )) < )) ) < Άρα οπότε ψ ψ ψ ψ ) 4) 5
γ) Σύνολο τιµών της σύνολο τιµών της πεδίο ορισµού της 6