ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΘΕΜΑ o Α Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] και 0,, τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των (α) και (β) υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος ώστε να ισχύει ( 0 ) Μονάδες 0 Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων αν ισχύει και g, τότε 0 0 g,g : 0,,» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες 5 ΑΝα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Μια συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού κλειστό διάστημα,η οποία έχει δύο σημεία της με τεταγμένες ετερόσημες έχει σύνολο τιμών κλειστό διάστημα g για κάθε πραγματικό αριθμό, τότε β Αν,g : συνεχείς συναρτήσεις με υπάρχει σημείο 0 του πεδίου ορισμού τους τέτοιο ώστε g 0 0 γ Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, είναι συνεχής και έχει σύνολο τιμών ανοικτό διάστημα τότε το πεδίο ορισμού της θα είναι ανοικτό διάστημα,, με a a,τότε η εξίσωση δ Αν για οποιαδήποτε, A, ισχύει έχει μία τουλάχιστον λύση ε Αν η συνάρτηση :, είναι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο, a και δεν υπάρχει το,
ΘΕΜΑ ο Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης BΝα βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της BΝα βρείτε τα παρακάτω όρια (αν υπάρχουν) και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας i) iv) 0 v) i ln BΝα δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g, όπου g συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το με 0 g g ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 0 ln : α) Να δείξετε ότι ln για την οποία ισχύει :, +5+8 Μονάδες 7 β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της Μονάδες 6 γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών δ) Να λύσετε την εξίσωση ΘΕΜΑ ο ln 0 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει: g, α) Να δείξετε ότι 0 i), 0 και 0, Μονάδες 6 Μονάδες 6
i iv) g g β) Αν υπάρχει το, να δείξετε ότι i) Επιπλέον αν g g g 6, να δείξετε ότι, 0,, Μονάδες +++ Μονάδες 5+5 Πατσιμάς Δημήτρης
Λύσεις ΘΕΜΑ o Α Θεωρία Α α) Λ β) Αν θεωρήσουμε τις συναρτήσεις, g 0 0 0 0 Όμως 0 0 g 0 0 ΑΣΛΣΛΣ και g,τότε έχουμε: ΘΕΜΑ ο Β,,, A Β i) 0 και 0 το 0 i iv) v) 0 κοντά στο 0 άρα αφού 0 ln αφού 0 u u0 u, h h ( 0 και 0 στο, και 0 στο, lnu αφού 0 h h 0 h h h h h h h h h οπότε δεν υπάρχει οπότε δεν υπάρχει το h 0 άρα από κριτήριο παρεμβολής 0 ) h h h h h h 0 0 0, BΘεωρούμε τη συνάρτηση g Η συνάρτηση κ είναι συνεχής στο k g g 0 k g 0g 0, σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων
Άρα 0,οπότε ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης 0 στο, Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνονται σ ένα τουλάχιστον σημείο ΘΕΜΑ ο α) 0 () Θεωρούμε τη συνάρτηση h Η h είναι συνεχής στο σαν διαφορά συνεχών συναρτήσεων,δεν μηδενίζεται για καμία πραγματική τιμή άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο 0 ln Όμως h 0 0 άρα Από την () έχουμε h 0 h h ln β) Για οποιαδήποτε, A με ln ln Άρα η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε το σύνολο τιμών της είναι : A, ln, ( ln ln ln, h h, h h u ln ln u ), u u γ) Έχουμε: ισχύει αφού και Άρα A οπότε υπάρχει πραγματικός αριθμός γ τέτοιος ώστε Ο γ είναι μοναδικός αφού η είναι γνησίως αύξουσα και - δ) ln 0 ln ln 0 ln ln 0 (*) Θεωρούμε τη συνάρτηση a αύξουσα και - a * a a 0 0, η οποία αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι γνησίως
ΘΕΜΑ ο h, h h,οπότε h 0 αφού η είναι συνεχής στο άρα και στο α) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση Η g είναι συνεχής στο άρα και στο,οπότε g g g Για 0 a 0 0 : 0 () i Από το α)i) έχουμε iv) Για h h h h,οπότε h : g g g g 0 ( 0, ), 0, 0 0 0 β) i) Έχουμε () g
g 0 00 0 0 0 g a a a a a 0 0 a 0 () g 0 g g a a a a a 8 Από τη σχέση () έχουμε και από την σχέση () Άρα g, 0, 8,