1 13. ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΣ ΗΕΓ
ΜΟΛΥΝΣΗ ΗΕΓ eye blinks muscle movements eye blinks Time, s eye movements line (mains) noise 2
ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΗΕΓ ΛΟΓΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ Αλλαγή στην αντίσταση των ηλεκτροδίων, τάση του δέρματος, κίνηση ηλεκτροδίων, ακατάλληλο φιλτράρισμα σήματα που μοιάζουν με SCPs Κίνηση μυών (ΗΜΓ) παραμόρφωση φάσματος ΗΕΓ στις ψηλές συχνότητες Κίνηση μερών σώματος, π.χ. γλώσσας, στόμα κλπ θόρυβος με μεγάλο πλάτος που «κρύβει» τη δραστηριότητα ΗΕΓ Αν δε γίνει αφαίρεση του θορύβου επηρεάζονται τα χαρακτηριστικά που εξάγονται από το ΗΕΓ με αρνητικά αποτελέσματα για την ακρίβεια και την ταχύτητα του συστήματος. Σε μερικές ΔΕΥ δε γίνεται καν αναφορά σε αφαίρεση θορύβου, ή γίνεται αφαίρεση συγκεκριμένου θορύβου μόνο. 3
ΙΔΑΝΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ An ideal artefact removal method should be: An ideal artefact removal method should be: entirely entirely automatic; automatic; applicable for general for general situations situations and general and artefact general types; artefact types; computationally cheap; cheap; and and requiring requiring few few assumptions assumptions regarding regarding the characteristics the characteristics of artefact of signals artefact for its signals operation. for its operation. M. Browne T. R. H. Cutmore, "Low-probability event-detection and separation via Statistical Wavelet Thresholding: an application to psychophysiological de-noising", in Clinical Neurophysiology, 113(9):1403-1411, 2002. Μια ιδανική μέθοδος καθαρισμού ΗΕΓ πρέπει να είναι: απολύτως αυτόματη, εφαρμόσιμη σε γενικές περιπτώσεις και γενικά είδη θορύβου, υπολογιστικά «φτηνή», και η λειτουργία της να βασίζεται σε ελάχιστες υποθέσεις για τα χαρακτηριστικά των σημάτων θορύβου. 4
ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ Σήματα ΗΕΓ 1 2 3 ICA: TDSEP Αμοιβαία Αυτοπληροφορία Clustering: LAMIC απόρριψη Ανασυγκρότηση καθαρών σημάτων 5 θόρυβος ΗΕΓ Αναγνώριση ομάδων 4 5
CASE STUDY Αυτόματος καθαρισμός ERP (από ακουστικό oddball πρωτόκολλο) από θόρυβο κίνησης ματιών [V. Calhoun] (σχήμα: V. Calhoun, ενημέρωση διαγωνισμού) 6
ΜΟΝΕΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ERP 7
INDEPENDENT COMPONENTS 8
ΑΝΑΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΑΘΑΡΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ 10
ΑΠΟΔΟΣΗ CNR max ( y e ) max y 1 500 j e j p 550 N s e e ( x y ) ik k k 50 i 1 1 N p N i 1 y e i 2 x e : αρχικά σήματα; και y e : καθαρά σήματα ERP στο ηλεκτρόδιο e N s : αριθμός στόχων-ερεθισμάτων που παρουσιάστηκαν N p : αριθμός δειγμάτων πριν από το ερέθισμα Μεγιστοποίηση για j, όπου j [350,450], είναι η κορυφή του ERP. 11
ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ: ΧΡΟΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΑΠΟΡΡΙΨΗ Απόρριψη δοκιμών που περιέχουν θόρυβο : απλή, δε χρειάζεται πολύπλοκους υπολογισμούς : (1) συλλογή σημάτων ΗΕΓ είναι χρονοβόρα, άρα όλα τα σήματα είναι πολύτιμα (2) επηρεασμός του signal-to-noise ratio, π.χ. όταν ανάλυση βασίζεται σε μέσο όρο σημάτων, ο οποίος επηρεάζεται από τον αριθμό των σημάτων (3) επηρεασμός αποτελεσμάτων αφού τα δεδομένα που απομένουν μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικά του συνόλου 12
ΧΡΟΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΤΩΦΛΙΟ : απλή μέθοδος κατώφλι : (1) αφαίρεση ΗΕΓ που βρίσκεται κάτω από το θόρυβο (2) ο θόρυβος δεν αφαιρείται εντελώς (3) το κατώφλι 13 δεν είναι σταθερό για διάφορες δοκιμές
ΧΡΟΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Κυρίως για αφαίρεση θορύβου από κίνηση ματιών. Τοποθέτηση ηλεκτροδίων γύρω από τα μάτια για συλλογή σημάτων EOG για παλινδρόμηση: EEG i obs ( t) a HEOG( t) + a i 1 VEOG( t) + i 2 EEG i true ( t) όπου: EEG i obs (t) EEG ˆ i true EEG i obs ( t) a i 1 HEOG( t) a : ΗΕΓ από το ηλεκτρόδιο i σε χρόνο t VEOG( t) i 2 HEOG(t) και VEOG(t): οριζόντιο και κάθετο EOG EEG i true (t) : πραγματική εγκεφαλική δραστηριότητα στο ηλεκτρόδιο i, ηοποία δεν παρατηρείται λόγω μόλυνσης από την κίνηση των ματιών. 14
Σχήμα από: G.L. Wallstrom, et al., Intl. J. of Psychophysiology, 53:105-119, 2004 15
ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ: ΧΩΡΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ PCAΩΣ ΦΙΛΤΡΟ Ιδιοδιανύσματα σημάτων χωρικές τοπογραφίες για κατασκευή φίλτρων PCA Υπόθεση: τοπογραφίες είναι σταθερές για όλες τις δοκιμές PCs με μεγαλύτερες ιδιοτιμές, δηλ. μεγαλύτερη διασπορά, αντιστοιχούν σε σήματα κίνησης ματιών (λόγω του μεγάλου πλάτους τους έναντι των σημάτων του εγκεφάλου) αφαίρεση PCs με μεγαλύτερες ιδιοτιμές : (1) κατάλληλη μόνο για θόρυβο με πλάτος πολύ διαφορετικό από των σημάτων ΗΕΓ. (2) υποθέτει ορθογώνια σχέση μεταξύ των σημάτων, η οποία μπορεί να μην αντιστοιχεί στην πραγματικότητα 16
FIG. 2. Spatial filtering of ocular movement artifacts with use of the PCA results in Fig. 1. A: A 12-2 epoch of EEG on the same subject as in Fig. 1, recorded at the end of a partial seizure, shows rhythmic and polymorphic delta activity obscured by ocular movement artifacts. B: The same EEG after applying the spatial filter. Ocular movement artifacts have been largely removed, allowing the underlying slow waves to be seen. Some slow components in the frontal channels are attenuated but not removed; they 17 are probably not ocular movement artifacts. From: Lagerlund: J Clin Neurophysiol, Volume 14(1).January 1997.73-82
Left: a 5s portion of an EEG time series containing a prominent slow eye movement. Right: Principal component waveforms and scalp maps for 5 selected components of the 5s EEG epoch shown on the left. Image from: T.-P. Jung, et al., Neural Networks for Signal Processing, 8:63-72, 1998. 18
RECONSTRUCTED EEG SIGNALS The same epoch corrected for artifacts using PCA by subtracting the 5 selected principal components. Image from: T.-P. Jung, et al., Neural Networks for Signal Processing, 8:63-72, 1998. 19
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ICA Διαχωρισμός σε ICs που αντιστοιχούν σε σήματα εγκεφάλου και σήματα από άλλες πηγές : Κατάλληλη για πολλά είδη θορύβου, αρκεί να είναι στατιστικά ανεξάρτητα από τα σήματα ΗΕΓ Δε βασίζεται στη συλλογή σημάτων θορύβου Επιτρέπει την ανακατασκευή καθαρών σημάτων χρησιμοποιώντας μόνο ICs που αντιστοιχούν σε ΗΕΓ Διατηρεί περισσότερη εγκεφαλική δραστηριότητα από PCA Σήματα με ίδιες τοπογραφίες μπορεί να διαχωριστούν βάση στατιστικής ανεξαρτησίας Καλύτερο localisation των τοπογραφιών 20
21
Σχήμα από: T.-P. Jung, et al., Neural Networks for Signal Processing, 8:63-72, 1998. 22
Διόρθωση θορύβου με ICA Διόρθωση θορύβου με PCA 23
Σχήμα από: T.-P. Jung, et al., Psychophysiology, 37:163-178, 2000. 24
ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΥΜΑΤΙΟΥ (WAVELET TRANSFORM) Κατασκευή φίλτρων συχνότητας βασισμένων σε μετασχηματισμούς κυματίων (wavelets) Ομαδοποίηση σημάτων βάση των συντελεστών μετασχηματισμού κυματίου Υπόθεση: οι συντελεστές των κυματίων διαφέρουν αν αντιστοιχούν σε ΗΕΓ ή θόρυβο π.χ. θόρυβος EOG έχει μεγαλύτερο πλάτος από το ΗΕΓ, άρα και μεγαλύτερες τιμές συντελεστών οι (τιμές συντελεστών) > (κατώφλι) τίθενται 0 Αντίστροφος μετασχηματισμός κυματίου αφαιρεί σήματα που έχουν μηδενικούς συντελεστές 25
: αφαίρεση μη-χαρακτηριστικής μεταβατικής δραστηριότητας σε συγκεκριμένες συχνότητες, π.χ. EMG : δυνατότητα αφαίρεσης θορύβου μόνο αν είναι εστιακός (localised) στο πεδίο χρόνου-συχνότητας, ή αν έχει φάσμα εντελώς διαφορετικό από το ΗΕΓ, άρα και εντελώς διαφορετικούς συντελεστές κυματίου Σχήμα από: Browne & Cutmore, Clinical Neurophysiology, 113:1403-11, 2002 26
27 Σχήμα από: Browne & Cutmore, Clinical Neurophysiology, 113:1403-11, 2002
ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟΥ: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΦΙΛΤΡΑ Βασική υπόθεση: για αφαίρεση θορύβου από το σήμα πρέπει να μην υπάρχουν κοινές συχνότητες των δύο. Δύο βασικά είδη φίλτρων: Αναλογικά επεξεργασία αναλογικών σημάτων Ψηφιακά επεξεργασία ψηφιακών σημάτων Αναλογικά Κλασικά ηλεκτρικά κυκλώματα, άμεση επεξεργασία σημάτων Χαρακτηριστικές εξαρτώνται από τιμές των στοιχείων κυκλωμάτων Δύσκολη η προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών Κλασικά φίλτρα Ορισμένα φίλτρα μόνο αναλογικά Ψηφιακά Ψηφιακοί επεξεργαστές, καθυστερημένη επεξεργασία (πολυπλοκότητα, ταχύτητα) Απολύτως σταθερές χαρακτηριστικές Προσέγγιση ιδανικών προδιαγραφών με οποιαδήποτε επιθυμητή ακρίβεια Ευελιξία στο σχεδιασμό Ορισμένα φίλτρα δεν υπάρχουν ψηφιακά 28
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑ Είναι ένα σύνολο αντικειμένων συνδεδεμένων με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να πετυχαίνουν ένα συγκεκριμένο σκοπό μετατρέποντας ένα σήμα (είσοδος) σε άλλο (έξοδος). Μετατροπή σήματος μέσω μετασχηματισμού ή εξαγωγής πληροφοριών. Φυσικά συστήματα, π.χ. ηλεκτρικά, μηχανικά, ή αλγόριθμοι. Αριθμός εισόδων δεν ισούται απαραίτητα με τον αριθμό εξόδων. Σύστημα X(t) { X ( )} Y ( t) T t Y(t) 29
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν έχει τις ιδιότητες: Ομοιογένεια: Αν η είσοδος x[n] έχει έξοδο y[n], τότε μια είσοδος kx[n] έχει έξοδο ky[n]. Αν Προσθετικότητα: k x [ n] x k [ n] y[ n] y k [ n], k όπου η είσοδος στο γραμμικό σύστημα, τότε η έξοδος: y k [n]: η έξοδος του συστήματος στην είσοδο x k [n] 30
Γραμμικότητα (linearity): ένα σύστημα είναι γραμμικό μόνο και μόνο αν ισχύει: Θεώρημα της επαλληλίας (Principle of superposition): T { ax [ n] + bx [ n]} at { x [ n]} + bt { ax [ n]} 1 2 1 2 όπου α και b: σταθερές 31
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ-ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Linear Time-Ivariant Systems: Χαρακτηρίζονται εξ ολοκλήρου από την κρουστική τους απόκριση (απόκριση συστήματος όταν η είσοδος είναι παλμός δέλτα) Συνδυάζουν ταυτόχρονα τη γραμμική ιδιότητα και την ιδιότητα χρονικής αμεταβλητότητας: ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο αν για όλα τα n 0 η είσοδος με τιμές x 1 [n]x 1 [n- n 0 ] έχει έξοδο y 1 [n]y 1 [n- n 0 ]. Έξοδος, y[n], ενός συστήματος ΓΧΑ, με κρουστική απόκριση h[n], για κάθε είσοδο, x[k]: [ ] y n x[ k] h[ n k] k - Συνέλιξη 32
Κρουστική απόκριση γραμμικού συστήματος: έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος είναι συνάρτηση δέλτα (συνάρτηση μοναδιαίου παλμού) Αν δύο συστήματα είναι διαφορετικά η κρουστική απόκρισή τους διαφέρει Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση ενός συστήματος γνωρίζουμε την απόκριση για κάθε μετατοπισμένη και κλιμακωμένη συνάρτηση δέλτα. Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση του συστήματος γνωρίζουμε την απόκριση για κάθε σήμα εισόδου! Δηλ. τα γνωρίζουμε ΟΛΑ για το σύστημα. 33
ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Μετασχηματισμός z(μζ):μέθοδος εκπροσώπησης, ανάλυσης και σχεδιασμού συστημάτων και σημάτων διακριτού χρόνου. Ό,τι είναι η μέθοδος Laplace στο συνεχή χρόνο. n X ( z) x( n) z n z: μιγαδικός αριθμός Για αιτιατά συστήματα, δηλ. όλα τα πρακτικά συστήματα: X ( z) n 0 x( n) z n 34
Μέσω του ΜΖ Υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης συστήματος: π.χ. στο σχεδιασμό ψηφιακών φίλτρων η εξέταση του φάσματος συχνότητας είναι απαραίτητη για έλεγχο αν τηρούνται οι προδιαγραφές του φίλτρου. jωt Θέτοντας z e : H ( z) h( n) z n n z e jωt H ( ) jωt e n h( n) e jnωt j T όπου ( e ): H ω Απόκριση συχνότητας, μιγαδικός 35
36 Εξισώσεις διαφοράς: N k M k k k k n y b k n x a n y 0 1 ) ( ) ( ) ( όπου y(n): έξοδος, x(n):είσοδος, y(n-k): έξοδος σε προηγούμενα δείγματα, και α k & b k : συντελεστές συστήματος. Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στο πεδίο z: M k k k N k k k z Y z b z X z a z Y 0 0 ) ( ) ( ) ( + M k k k N k k k z b z a z X z Y z H 0 0 1 ) ( ) ( ) ( Άρα: - Σύστημα IIR
37 Αν οι συντελεστές b k είναι μηδέν, τότε: N k k k N k k z a z X z Y z H k n x a n y 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - Σύστημα FIR
ΙΔΑΝΙΚΕΣ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Ιδανικά χαρακτηριστικά συνίστανται στον: Προσδιορισμό των ζωνών διάβασης και αποκοπής Προσδιορισμό των ιδανικών χαρακτηριστικών στις ζώνες διάβασης Η επίδραση των φίλτρων στο συχνοτικό περιεχόμενο ενός σήματος είναι: jω jω jω Y e D e X e ( ) ( ) ( ) όπου Χ(.) και Υ(.): συχνοτικό περιεχόμενο της εισόδου και της εξόδου αντίστοιχα, και D(.): ιδανική απόκριση συχνότητας του φίλτρου. Επιλογή του D(.) έτσι ώστε να είναι μηδέν στις συχνότητες του θορύβου και μονάδα στις συχνότητες της πληροφορίας πλήρες φιλτράρισμα θορύβου. 38
Στην πράξη: σήματα περιέχουν ζώνες συχνοτήτων. Τα ιδανικά φίλτρα είναι συνήθως παραθυρικής μορφής όπου τα παράθυρα εφαρμόζονται στις ζώνες συχνοτήτων της πληροφορίας. Ζώνες αποκοπής: οι ζώνες συχνοτήτων που θέλουμε να αφαιρέσουμε. Ζώνες διάβασης: οι ζώνες συχνοτήτων που θέλουμε να διατηρήσουμε. Πέρα από αφαίρεση θορύβου τροποποίηση της πληροφορίας. 39
Γενική περίπτωση ιδανικής απόκρισης συχνότητας: jω ( ) D e Di jω ( e ) 0, ω ω ω l i ui αλλου, [ ωli ui ω ] : ζώνες διάβασης Για την ιδανική απόκριση συχνότητας, D(.), ισχύουν: Είναι γνωστή σε όλες τις συχνότητες Ζώνες διάβασης είναι δυνατό να συνδιαστούν έτσι ώστε να μην είναι επικαλυπτόμενες, ούτε να έχουν κοινό άκρο εναλάσσονται Εμφανίζει ασυνέχειες στα άκρα των ζωνών διάβασης 40
ΕΙΔΗ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΙΔΑΝΙΚΩΝ ΦΙΛΤΡΩΝ Κατωπερατά ή Κατωδιαβατά (χαμηλοπερατά): jω ( ) D e 1, 0 0, ω ω αλλού c Ανωπερατά ή Ανωδιαβατά (ψηλοπερατά): jω ( ) D e 1, 0 ωc ω π αλλού 41
Ζωνοπερατά ή Ζωνοδιαβατά: jω ( ) D e ω ω 1, ωc 1 c2 0, αλλού [ ω ω c1 c2 ] : συχνότητες αποκοπής Φίλτρα αποκοπής ζώνης: jω ( ) D e ω ω 0, ωc 1 c2 1, αλλού [ ωc ω 1 c2 ] : συχνότητες αποκοπής 42
Πολυπερατά ή Πολυδιαβατά: jω ( ) D e 1, ωl ω ωu, i 1,2,... 1 2 0, αλλού [ ω ω li ui ] : άνω και κάτω συχνότητα αποκοπής της i-οστής ζώνης διάβασης Ολοπερατά ή Ολοδιαβατά: ( jω ) 1 D e Δηλ. δεν απομακρύνουν καμιά συχνότητα 43
ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ ΦΙΛΤΡΩΝ Οι προδιαγραφές που είναι απαραίτητο να ορισθούν για το σχεδιασμό ενός φίλτρου είναι: Προσδιορισμός των ζωνών διάβασης, αποκοπής και μετάβασης Προσδιορισμός ιδανικών χαρακτηριστικών στις ζώνες διάβασης Προσδιορισμός συνάρτησης βάρους και μέγιστου αποδεκτού σφάλματος προσέγγισης στις ζώνες διάβασης και αποκοπής. 44
ΓΕΝΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΦΙΛΤΡΩΝ (1) Προσδιορισμός χαρακτηριστικών του φίλτρου: Χαρακτηριστικά σήματος (π.χ. μέγιστη συχνότητα) Χαρακτηριστικά φίλτρου (π.χ. απόκριση μεγέθους ή/και φάσης, ταχύτητα) Τρόπος υλοποίησης (π.χ. σε υπολογιστή ή εξειδικευμένο επεξεργαστή) Άλλα χαρακτηριστικά (π.χ. κόστος) Για φίλτρα επιλογής συχνότητας: προδιαγραφές μέσω σχημάτων ανοχής (tolerance schemes). δ p : απόκλιση ζώνης διάβασης δ s : απόκλιση ζώνης αποκοπής f p : συχνότητα άκρου ζώνης διάβασης f s : συχνότητα άκρου ζώνης αποκοπής 45
(2) Υπολογισμός κατάλληλων συντελεστών φίλτρου: IIR: βασίζονται σε μετασχηματισμό χαρακτηριστικών αναλογικών φίλτρων σε ψηφιακά. 3 βασικές μέθοδοι: (ι) impulse invariant, (ιι) bilinear transformation, και (iii) pole-zero placement. FIR: (ι) window, (ιι)frequency sampling, και (ιιι) optimal (Parks-McClellan algorithm) (3) Απεικόνιση φίλτρου με κατάλληλη δομή: μετατροπή μίας συνάρτησης μεταφοράς H(z) σε κατάλληλη μορφή φίλτρου. IIR: direct, cascade και parallel μορφές FIR: direct, frequency sampling και fast convolution technique μορφές (4) Ανάλυση επίδρασης πεπερασμένης ακρίβειας του αριθμού bits: επιλογή κατάλληλου αριθμού bits για αποφυγή υποβάθμισης της απόδοσης του φίλτρου. Παράγοντες που επηρεάζουν απόδοση: κβαντοποίηση (εισόδου/εξόδου, συντελεστών φίλτρου), στρογγυλοποίηση, υπερροή. (5) Υλοποίηση φίλτρου: λογισμικό ή υλισμικό. Χρειάζονται: μνήμες ROM και RAM, πολλαπλασιαστές και αθροιστές ή αριθμητική λογική. 46
ΦΙΛΤΡΑ FIR Βασικό FIR φίλτρο χαρακτηρίζεται από: y( n) H ( z) N 1 k 0 N 1 k 0 h( k) x( n k) h( k) z όπου h(k): συντελεστές κρουστικής απόκρισης του φίλτρου Η(z): συνάρτηση μεταφοράς φίλτρου Ν: μέγεθος φίλτρου, δηλ. αριθμός συντελεστών φίλτρου k0,1,,ν-1 (1): στο πεδίο χρόνου. Μη-αναδρομική μορφή (υπάρχουν και αναδρομικά φίλτρα FIR). Μη-αναδρομικά φίλτρα FIR είναι πάντοτε σταθερά. (2): μέθοδος ανάλυσης φίλτρου, π.χ. υπολογισμός συχνοτικής απόκρισης k (1) (2) 47
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ: ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΑΡΑΘΥΡΟΥ Ιδανική απόκριση συχνότητας, Η D (ω), και κρουστική απόκριση, h D (ω), φίλτρου: h 1 2π π kωn ( n) D H D ( ω) e dω - Αντίστροφος ΜΦ π Π.χ. Χαμηλοπερατό φίλτρο - ιδανική απόκριση: h D 1 π ( n) 1 2π e π jωn dω 2 f 2 f c c sin( nωc), nω, c n 0, n n 0 ( κανο νας L'Hopital) 48
Πίνακας 1: Ιδανική κρουστική απόκριση για συγκεκριμένα φίλτρα: 49
Φίλτρα που σχεδιάζονται με τη μέθοδο παραθύρου έχουν ίση απόκλιση ζωνών διάβασης και αποκοπής, δηλ. δ p δ s h D (n)h D (-n) γραμμική και μηδενική φάση Παρατηρούμε ότι υπάρχει κρουστική απόκριση θεωρητικά και για n±, άρα δεν είναι FIR φίλτρο πολλαπλασιασμός της ιδανικής κρουστικής απόκρισης με κατάλληλο πεπερασμένο παράθυρο, w(n), για υπολογισμό συντελεστών φίλτρου. Στο πεδίο χρόνου: h(n)h D (n)w(n) Στο πεδίο συχνότητας: H(ω)H D (ω)*w(ω) 50
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΣΤΩΝ ΠΑΡΑΘΥΡΩΝ ΣΤΑ ΠΕΔΙΑ ΧΡΟΝΟΥ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Rectangular Hamming 51
Blackman Για το παράθυρο Hamming το πλάτος ζώνης μετάβασης: Δf3.3/Ν, όπου Ν: μέγεθος φίλτρου, Δf: κανονικοποιημένο πλάτος ζώνης μετάβασης Μέγιστη εξασθένιση (attenuation) ζώνης αποκοπής: 53dΒ Ελάχιστη κορυφή κυματισμού ζώνης διάβασης: 0.0194dB 52
Παράθυρο Kaiser: I 0 α 1 I 0 2n N 1 [ α ] 2, ( N 1) / 2 n < ( N 1) / 2 όπου I 0 : τροποποιημένη συνάρτηση Bessel 1 ου είδους & L k 2 μηδενικής τάξης: x I ( x) 1+ 0 k k 1 2 k! με L<25 συνήθως, α: τρόπος που το παράθυρο tapers στις άκριες στο πεδίο χρόνου (α0 rectangular) Υπολογισμός α ανάλογα με τις προδιαγραφές εξασθένισης ζώνης αποκοπής: α 0, αν A 21dB α α A 0.5842-20log ( A 21) 0.1102( A 8.7), 10 δ, 0.4 δ + 0.07886( A 21), min( δ, δ ) p s αν 21dB < αν A 50dB A < 50dB 53
Αριθμός συντελεστών φίλτρου: N A 7.95 14.36Δf Οι τιμές των α και Ν χρησιμοποιούνται για υπολογισμό των συντελεστών του παραθύρου Kaiser, w(n). 54
ΕΙΔΗ ΠΑΡΑΘΥΡΩΝ (1) Bartlett (τριγωνικό): M 1 2 n 2 1, 0 n M 1 M 1 (2) Blackman: 2πn 4πn 0.42 0.5cos + 0.08cos, 0 n < M 1 M 1 M 1 55
(3) Hamming: (4) Hanning: 2πn 0.54 0.64 cos, 0 n < M 1 M 1 1 2πn 1 cos, 2 M 1 0 n < M 1 56
57 (6) Lanczos: (5) Kaiser: 1 0, 2 1 2 1 2 1 0 2 2 0 < M n M I M n M I α α ( ) 1 0 0,, 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin > M n L M M n M M n L π π + 0 2 0! 2 1 ) ( k k k k x x I I 0 : τροποποιημένη συνάρτηση Bessel 1 ου είδους & μηδενικής τάξης:
58 (7) Tukey: ( )( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1) / ( 1 0, 2 / 1 1 2 / 1 1 cos 1 2 1 < + + M M n M M n M M n α π α α α1 α0.5 α0
ΠΙΝΑΚΑΣ 2: ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΠΑΡΑΘΥΡΩΝ 59
Παράδειγμα: Υπολογίστε τους συντελεστές ενός χαμηλοπερατού FIR φίλτρου που να πληρεί τις πιο κάτω προδιαγραφές: συχνότητα διάβασης, f c πλάτος ζώνης μετάβασης εξασθένιση ζώνης αποκοπής συχνότητα δειγματοληψίας 1.5 khz 0.5 khz >50 db 8 khz Κρουστική απόκριση χαμηλοπερατού φίλτρου: h h D D ( n) ( n) 2 f 2 f c c sin( nω ) c, n 0 nω c, n 0 60
Σύμφωνα με τον πίνακα 2, τα παράθυρα Hamming, Blackman ή Kaiser πληρούν τις προδιαγραφές εξασθένισης ΖΑ. Hamming (απλό): w(n)0.54+0.46cos(2πn/53), -26 n 26 Κανονικοποίηση πλάτους ΖΜ: Δf 0.5 / 8 0.0625 Μέγεθος φίλτρου: Ν 3.3 / Δf 3.3 / 0.0625 52.8 Ν53 Συντελεστές φίλτρου υπολογίζονται από: h(n)h D (n)w(n) f c f c + Δf/2 (1.5+0.25)kHz 1.75/80.21875 (αναπροσαρμογή f c στο κέντρο ΖΜ) 61
62 0.000914 26) ( (26) 0.08081 53) 26 / 0.46 cos(2 0.54 (26) 0.01131 0.21875) 2 sin(26 0.21875 2 26 0.21875 2 (26) 26 : 0.3118 (1) (1) 1) ( (1) 0.99677 53) / 0.46 cos(360 0.54 53) / 0.46 cos(2 0.54 (1) 0.31219 0.21875) sin(360 0.21875) sin(2 0.21875 2 0.21875 2 (1) 1: 0.4375 (0) (0) (0) 1 0.46 cos(0) 0.54 (0) 0.4375 0.21875 2 2 (0) 0 : + + + + h h w h n w h h h w h n w h h w f h n D D D D c D π π π π π π π M M M o o
μεθόδου παραθύρου: Απλή κατανοητή και εύκολη, ελάχιστή υπολογιστική προσπάθεια ακόμα και για περίπλοκα παράθυρα όπως το Kaiser μεθόδου παραθύρου: Έλλειψη flexibility απόκλιση ζωνών διάβασης και αποκοπής περίπου ίση Λόγω συνέλιξης του συχνοτικού περιεχομένου του παραθύρου και της επιθυμητής απόκρισης, οι συχνότητες αποκοπής και διάβασης δεν μπορούν να προσδιοριστούν ακριβώς Για συγκεκριμένο παράθυρο (εκτός Kaiser) το μέγιστο πλάτος των κυματισμών είναι σταθερό, ανεξάρτητα από το Ν συγκεκριμένη εξασθένιση ΖΑ Για μερικές εφαρμογές HD(ω) είναι πολύ πολύπλοκο για υπολογισμό του hd(n) μέθοδος frequency sampling πριν τη μέθοδο παραθύρου 63
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ (1) Χαμηλοπερατό Φίλτρο (ΧΦ): γενική μορφή αποτελείται από συνεχόμενα θετικά δείγματα, δηλ. κάθε δείγμα της εξόδου είναι σταθμισμένο άθροισμα πολλών συνεχόμενων δειγμάτων της εισόδου. Αυτό ισοδυναμεί με εξομάλυνση του σήματος αφαίρεση υψηλών συχνοτήτων. Μείωση θορύβου, διαχωρισμός σημάτων κλπ. Πιο στενό / πλατύ φίλτρο αλλαγή της συχνότητας κοπής. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 64
x[ n] 3sin[2πn] 2cos[6πn] 1, 11 n 17 f [ n] y conv( x, f ) 0, αλλού Φασματο- Φασματο- γράφημα x γράφημα y 65
(2) Υψηλοπερατό Φίλτρο (ΥΦ): κοινή στρατηγική δημιουργία ενός χαμηλοπερατού φίλτρου & μετατροπή του σε ο,τιδήποτε άλλο φίλτρο χρειαζόμαστε! Από το θεώρημα της επαλληλίας: φίλτρο με παλμό δέλτα πλην ΧΦ ΥΦ. Γιατί; Ο παλμός δέλτα αφήνει όλες τις συχνότητες να περάσουν, άρα σε συνδυασμό με το χαμηλοπερατό φίλτρο μόνο ψηλές συχνότητες περνούν! Ο παλμός δέλτα συνήθως προστίθεται στο κέντρο συμμετρίας του χαμηλοπερατού φίλτρου ή στο δείγμα για n0 για μησυμμετρικά ΧΦ. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 66
x[ n] 3sin[2πn] 2cos[6πn] 0.2, f [ n] 1, 0, 11 n 13& 15 n 17 n 14 αλλού y conv( x, f ) Φασματογράφημα x Φασματογράφημα y 67
ΓΕΝΙΚΟΙ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΚΑΘΑΡΙΣΜΟ ΗΕΓ Προκαθορισμός αριθμού και είδους θορύβου Περισσότερες μέθοδοι είναι κατάλληλες μόνο για μερικά είδη θορύβου. Ίσως να μην είναι εφικτή η επέκτασή τους και για άλλα είδη. Βασίζονται σε οπτική αναγνώριση του θορύβου από ειδικούς δεν είναι αυτόματες Συλλογή θορύβου ταυτόχρονα με τη συλλογή ΗΕΓ φυσικοί και υπολογιστικοί περιορισμοί Ανακριβή μοντέλα θορύβου όταν αυτά συλλέγονται πριν από την εκτέλεση του πειράματος 68