Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 5 Μαΐου 5 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 94 Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 88 Α3. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ. 59 Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό Θέμα B Β. Έχουμε: z 4 = z z 4 = 4 z (z 4)(z 4) = 4(z )(z ) zz 4z 4z + 6 = 4zz 4z 4z + 4 3zz = z = 4 z z = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Ο(,) και ακτίνα ρ =. Β. α. Ισχύει z = z = 4 z z = 4 z = 4 z Ομοίως z = 4 z Έχουμε: w = z z + z z = 4 4 z z + z = + z = w 4 4 z z z z Επίσης: w = w w w = Im(w)i = Im(w) = w R β. Έχουμε: w = z + z z z z z + z z = + = 4 Αφού w R παίρνουμε w 4 4 w 4. Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
Β3. Έχουμε: w = 4 z + z = 4 z z z + z = z z z + z + z z = (z + z ) = z = z () (BΓ) = z 3 z () = iz + z = z + i = + = 5 (AΓ) = z 3 z = iz z = z + i = ( ) + = 5 Αφού (ΒΓ) = (ΑΓ), το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Θέμα Γ Γ. Η συνάρτηση f ορίζεται και είναι παραγωγίσιμη στο R ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f () = ( e + ) = e ( + ) e ( + ) = e ( ) ( + ) > για κάθε και επειδή η f είναι συνεχής στο =, είναι γνησίως αύξουσα στο R. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα: ( f(), f()), όπου: f() = e + = αφού: e = και και f() = + + e + = + = + (e ) ( + ) = Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το (, + ). + e = Γ. Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα έχει την ιδιότητα -. Επομένως η εξίσωση γράφεται: e + = + f(e 3 ( + )) = e 5 f(e3 ( + )) = f() e3 e ( + ) = e 3 = e ( + ) f() = e3 () Αφού ο αριθμός y = e3 > ανήκει στο σύνολο τιμών της f η εξίσωση () θα έχει μια τουλάχιστον λύση. Η λύση αυτή είναι μοναδική αφού η f έχει την ιδιότητα «-». Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
Γ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση: F() =, H F είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με F () = f() >. Για κάθε > είναι <. Για την F εφαρμόζουμε το θεώρημα Μέσης Τιμής στο διάστημα [, ]. H F είναι συνεχής στο [, ] [, + ] και παραγωγίσιμη στο διάστημα (, ). Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε: F ( ) = F() F() f( ) = f( ) = () Όμως η f είναι γνησίως αύξουσα, επομένως για < παίρνουμε: f( ) < f() < f() < f(), > β τρόπος: Για κάθε με < t < αφού η f είναι γνησίως αύξουσα θα έχουμε: f(t) < f() f(t) < f() Επομένως: < f() dt < f() [t] < f() ( ) < f() Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
Γ4. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με: g () = ( ) g () = + ( ) g () = + (f() () f() () ) g () = + (4 f() f()) g () = ( f() f() ) g () > ( f() f() f()) g () > ( f() f()) g () > (f() f()) Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε > θα ισχύει: < f() f() > g () > Επομένως, η g είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι συνεχής στο = για να είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ]. Είναι: g() = + + = + = + (f() () f() () ) ( ) () = (4f() f()) = f() = = g() + με χρήση του κανόνα de l Hospital. Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
Θέμα Δ Δ. Ισχύει: f () [e f() + e f() ] = για κάθε R f () e f() + f () e f() = [e f() e f() ] = []. Άρα υπάρχει c R ώστε: e f() e f() = + c Για = η προηγούμενη σχέση δίνει c = και επομένως ισχύει: e f() e f() = e f() = ef() (e f() ) e f() + = + (e f() ) = + e f() = + για κάθε R () Επειδή ισχύει: + ισχύει h() = e f() για κάθε R και αφού h() = είναι h() > για κάθε R. Από την () προκύπτει: e f() = + e f() = + + f() = ln( + + ) Δ. α. H f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με: f () = + + ( + + ) = + + + + = + + f () = + ( + ) = + + = ( + ) + και f () = =. Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμου για την f : και Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
+ f () + f() H f είναι κυρτή στο (, ] και κοίλη στο [, + ) και έχει σημείο καμπής το Ο(, f()) = (,). β. H εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (, f()) είναι η: (ε): y f() = f ()( ) y = Σημείο Καμπής Επειδή η f είναι κοίλη στο [, + ) η y = βρίσκεται πάνω από τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής (,). Επομένως f() f() για κάθε. Άρα το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου Ω είναι το: Ε(Ω) = f() d = ( ln ( + + )) d = = d () f()d = [ ] [f()] + f ()d = ln( + ) + + d = ln( + ) + d + = ln( + ) + [ + ] = ln( + ) + = ln( + ) Δ3. Χρησιμοποιώντας ότι f() > f() f() > για > παίρνουμε: + (e f (t)dt = + ) ln f() = + f() (e f (t)dt ) f() lnf() = f() (e f (t)dt ) f() lnf() () Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3
Για το όριο f() lnf() θέτουμε f() = u και u + = f() = οπότε (αφού f + γνησίως αύξουσα) είναι: lnu +f() lnf() = u +u lnu = = u = u + u + ( u) = u + u u Επίσης παρατηρούμε ότι για το όριο κανόνα de l Hospital αφού: Επομένως παίρνουμε: (e + ) f() = + + + e f (t)dt (e f (t)dt ) f() μπορούμε να εφαρμόσουμε τον = e = και f() =. f (t)dt (e ) f () = + e f (t)dt f () = f () γιατί: + f () = f () = αφού η f είναι συνεχής στο = και f() =. Άρα από την () προκύπτει ότι : Δ4. Έστω G() = ( ) [ 3 + (e f (t)dt f(t ) dt ) ln f() = H G είναι συνεχής στο [,3]. Είναι: G() = 3 f (t) dt ] + ( 3) [8 3 f (t) dt 8 ], [,3] Για κάθε t [,] ισχύει: f(t) t f (t) t, με την ισότητα να ισχύει μόνο για t =, Άρα: f (t) dt < t dt = [ t3 3 ] = 8 3 και 3 f (t) dt < 8 3 f (t) dt 8 < G() < G(3) = 3 f(t )dt. Για κάθε t [,] ισχύει f(t ) t με την ισότητα μόνο για t =. Άρα f(t )dt < t dt = [ t3 3 ] = 3 3 f(t ) dt < 3 f(t ) dt > G(3) > Από το Θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση G() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,3). Επιμέλεια: Γιάννης Μερτίκας, Δημήτρης Βλάχος, Χρήστος Αναστασίου, Μάριος Παπαδιαμαντής, Αλέξανδρος Φιτσόπουλος, Αποστόλης Κωτσιαρίνης, Κωνσταντίνα Μωραΐτη, Δημήτρης Κότσιρας, Ηρώ Μαρκάκη Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: 99 4 999 Δ. Γούναρη, Γλυφάδα, Τηλ: 96 36 3