ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΕΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ποια στοιχεία περιέχει το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C και πως ορίζεται; Β Τι καλούμε πραγματικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού και τι φανταστικό μέρος; Γ Ποια είναι η γεωμετρική παράσταση ενός μιγαδικού αριθμού; Α Το διευρυμένο σύνολο C θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς z Όλα τα στοιχεία της μορφής β i, που είναι γινόμενα των στοιχείων του με το i z i I, όπου με I συμβολίζουμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών Όλα τα αθροίσματα της μορφής α βi, με α και β πραγματικούς αριθμούς z a i C είναι ακριβώς ό,τι λέμε μιγαδικό αριθμό η σύνθεση δηλαδή δύο αριθμών, του πραγματικού α και του β i, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό Τα στοιχεία του C λέγονται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύνολο των μιγαδικών αριθμών Β Στον μιγαδικό αριθμό z α βi, όπου α, β, ο πραγματικός αριθμός λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώνεται Rez, ενώ ο λέγεται φανταστικό μέρος του z και σημειώνεται Imz Γ Kάθε μιγαδικό αριθμό α βi μπορούμε να τον αντιστοιχίσουμε στο σημείο M α, β ενός καρτεσιανού επιπέδου Αλλά και αντιστρόφως, κάθε σημείο M α, β του καρτεσιανού αυτού επιπέδου μπορούμε να το αντιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α βi Το σημείο M λέγεται εικόνα του μιγαδικού α βi Aν θέσουμε z α βi, τότε το σημείο M α, β μπορούμε να το συμβολίζουμε και με M z β Mα,β ή Μz Ο a Ένα καρτεσιανό επίπεδο του οποίου τα σημεία είναι εικόνες μιγαδικών αριθμών θα αναφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο Ο άξονας λέγεται πραγματικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M α, που είναι εικόνες των πραγματικών αριθμών α α i, ενώ ο άξονας λέγεται φανταστικός άξονας, αφού ανήκουν σε αυτόν τα σημεία M, β που είναι εικόνες των φανταστικών βi βi Ένας μιγαδικός z α βi παριστάνεται επίσης και με τη διανυσματική ακτίνα, OM, του σημείου M α, β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

Πως ορίζεται το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών ; Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε να έχουν τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο, με το μηδέν να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i, Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή z α βi, όπου α, β 3 Πότε δυο μιγαδικοί i και i είναι ισοι; Δύο μιγαδικοί αριθμοί ισχύει: α βi και γ δi είναι ίσοι, αν και μόνο αν α γ και β δ α βi γ δi α γ και β δ Δηλαδή Επομένως, επειδή i, έχουμε α βi α και β 4 Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών i και i είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους Αν M, και M γ, δ είναι οι εικόνες των α βi και γ δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα α βi γ δi α γ β δ i M γ,δ Mα+γ,β+δ παριστάνεται με το σημείο M α γ, β δ Επομένως, OM OM OM, δηλαδή: M α,β Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi και γ δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

5 Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών τους Επίσης, η διαφορά Μ γ,δ 3 α βi γ δi α γ β δ i Μ α,β παριστάνεται με το σημείο N α γ, β δ Ο Επομένως, ON OM OM, δηλαδή: Ναγ,βδ Μ 3 γ,δ Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi και γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 6 Πως ορίζονται οι πράξεις με μιγαδικούς ; 4 ΕΣΠ Για την πρόσθεση δύο μιγαδικών αριθμών α βi γ δi α γ β δ i i και i έχουμε: Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού μιγαδικού i είναι ο μιγαδικός i, έχουμε: i από τον i, επειδή ο αντίθετος του i i i i i Δηλαδή α βi γ δi α γ β δ i Για τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών i και i έχουμε: i i i i i i i i i i i i i i i Δηλαδή είναι : α βi γ δi αγ βδ αδ βγ i Τέλος, για να εκφράσουμε το πηλίκο i i, όπου i, στη μορφή i, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παρονομαστή και έχουμε: i i i i i Δηλαδή, α βi αγ βδ βγ αδ i i i i γ δi γ δ γ δ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

7 Τι ονομάζουμε συζυγή ενός μιγαδικού αριθμού z i και τι ιδιότητες έχει; Συζυγή του μιγαδικού αριθμού z i λέμε τον αριθμό z i Ο συζυγής του z συμβολίζεται επίσης και με i i, οι αριθμοί i, i Είναι δηλαδή : α βi α βi Επειδή είναι και i λέγονται συζυγείς μιγαδικοί Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M, και M, δύο συζυγών μιγαδικών z i και z i είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Mz 4 Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z i και z i μπορούμε εύκολα, με εκτέλεση των πράξεων, να διαπιστώσουμε ότι: z z α και z z βi Ο M z Αν z i και z i είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: 3 4 z z z z z z ν 6 z z z z z z ν 5 ν ν 7 Ιδιαίτερα, αν είναι z z z ν ν ν z, τότε η τελευταία ισότητα γίνεται: z z 8 Να αποδείξετε ότι : z z z z ΕΣΠ, 4 ΕΣΠ, 8 ΕΣΠ, Η απόδειξη της ιδιότητας z z z z γίνεται ως εξής : Αν z i και z i, τότε έχουμε : z z i i i i i i z z i i i z z 9 Να αποδείξετε το παρακάτω κριτήριο : Για ένα μιγαδικό αριθμό z ισχύει ότι: Ο z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν z Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν z z z z z z Im z z z z z i z z z I Re z z z z z και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

Ποιες είναι οι ιδιότητες της δύναμης μιγαδικού; Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς, δηλαδή ορίζουμε: z ν ν z, z z z,, και γενικά z z z, για κάθε θετικο ακέραιο ν, με ν Επίσης, αν z, ορίζουμε z, z ν για κάθε θετικό ακέραιο ν ν z Πως υπολογίζουμε τις δυνάμεις του i ; Για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i, γράφουμε τον εκθέτη στη μορφή 4, όπου είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με, αν υ το 4, οπότε έχουμε: 4 4 4 i, αν υ i i i i i i i i -, αν υ i, αν 3 Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση,, R και Έστω η εξίσωση z z, με,, R και z z με Μετασχηματίζουμε την εξίσωση, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή: z 4 διακρίνουσα της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:, όπου 4 είναι η Αν, τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: z, Αν, τότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z Αν, τότε, επειδή i i, η εξίσωση γράφεται: 4 4 i i z Άρα οι λύσεις της είναι: z, οι οποίες είναι συζυγείς, μιγαδικοί αριθμοί Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύουν οι σχέσεις: β z z και α z z γ α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 3 Τι ονομάζεται μέτρο του μιγαδικού αριθμού z i ; 5 ΕΣΠ, 5 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, ΕΣΠ Β Έστω M, η εικόνα του μιγαδικού z i στο μιγαδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή O, δηλαδή z OM 5 β z M, Ο a 4 Να γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγαδικού αριθμού Ισχύει ότι : z z z z z z z z z z z z z z ν ν z z z z z z z z 5 Να αποδείξετε ότι : z z z z, 6 ΕΣΠ, 7, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, 3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z και επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

6αΤι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών, δηλαδή ο αριθμός z z β Τι παριστάνει η εξίσωση z z, ; γ Τι παριστάνει η εξίσωση z z z z ; α Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους Δηλαδή: M M z z όπου z M και M z οι εικόνες των z, z αντίστοιχα β Η εξίσωση z z, παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο z και ακτίνα γ Η εξίσωση z z z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία z και z οι εικόνες των z, z αντίστοιχα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 4 ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α z z z β z z γ z - z δ z z ε i z z Για κάθε μιγαδικό αριθμό z i ισχύει : z 3 Για το μιγαδικό αριθμό i ισχύει : i 4 = 4 Αν z ένας μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z 5 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z z z z z z 6 Το μέτρο του μιγαδικού αριθμού z = + i, όπου, πραγματικοί αριθμοί, δίνεται από τον τύπο z 7 Ο συζυγής κάθε μιγαδικού αριθμού z = + i, όπου, πραγματικοί αριθμοί, είναι ο μιγαδικός z = + i 8 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

Αν Μ α, β και Μ γ, δ είναι οι εικόνες των α+βi και γ+δi αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α + βi, όπου α,β IR, ισχύει z = α + βi Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους 3 Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών z, z είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα 4 Αν z και z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε : z z z z 5 Αν z = + i, με, ΙR, τότε: z z 6 Αν z = α + βi, τότε: z z α, για κάθε α, β ΙR 7 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z 8 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 9 Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες Μα,β και Μ α, β των συζυγών μιγαδικών z α βi και z α βi είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Για κάθε μιγαδικό z ισχύει z z z Για δύο οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς α+βi και γ+δi η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματός τους ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους Όταν η διακινούσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = με α,β,γ IR και α είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο C των μιγαδικών 3 Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi= α= ή β= 4 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z z 5 Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει : zz z z 6 z z, για κάθε μιγαδικό αριθμό z 7 Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού α+βi, α,β R στο μιγαδικό επίπεδο είναι το σημείο Μα,β 8 Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους 9 Για κάθε zc ισχύει : z z z 3 Αν z, z μιγαδικοί αριθμοί με z, τότε ισχύει ότι: z z z z ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

3 Αν α,β,γ,δ R ισχύει: α + βi = γ + δi α = γ και β = δ 3 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζουμε z = 33 Για κάθε μιγαδικό αριθμό z = α+βi, α,β R ισχύει z z 34 Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα 35 Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους 36 Η εξίσωση z z, ρ > παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο Kz o και ακτίνα ρ, όπου z, z o μιγαδικοί αριθμοί 37 Για οποιονδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z z 38 Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο 39 Αν z, z δυο σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί με z z τότε η εξίσωση : z z z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α z και Β z 4 Για κάθε z C ισχύει : z z Im z 4 Η εξίσωση z z, ρ > παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Kz o και ακτίνα ρ, όπου z, z o μιγαδικοί αριθμοί 4 Αν z είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει v z z v 43 Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αριθμών α + βi και γ + δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Έστω Α ένα υποσύνολο του R Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; 5 ΕΣΠ Β Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία κανόνα, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με Σχόλια : Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : A R, Το γράμμα, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του Α λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα, που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D Το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της σε όλα τα A, λέγεται σύνολο τιμών της και συμβολίζεται με A Είναι δηλαδή: A { για κάποιο A} 8 Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων M, για τα οποία ισχύει, δηλαδή το σύνολο των σημείων M,, με A Σχόλια : -Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C -Η εξίσωση, λοιπόν, επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της - Επειδή κάθε A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο, δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης της με την ίδια τετμημένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει με τη γραφική παράσταση της το πολύ ένα κοινό σημείο Σχ 7α Έτσι, ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σχ 7β 7 C C O Α a O β - Όταν δίνεται η ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C β Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο A των τεταγμένων των σημείων της C γ Η τιμή της στο 8 A είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C Σχ = 8 C Α C C A, O Α α O β O γ - Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και αη γραφική παράστασης της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία M, που είναι συμμετρικά των M,, ως προς τον άξονα Σχ 9 O Μ, Μ, 9 = = βη γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν Σχ = = O 9 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α α β β α, α γ 3 α, α δ α, α ε, g Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α Η πολυωνυμική συνάρτηση α β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

O O O a> a< a= βη πολυωνυμική συνάρτηση α, α O α> O α< γ Η πολυωνυμική συνάρτηση 3 α, α 3 O O α> α< δ Η ρητή συνάρτηση α, α 4 O O α> α< ε Οι συναρτήσεις, g 5 O O ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : α,, β α, α γ log, α Οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται παρακάτω : α Οι τριγωνικές συναρτήσεις : ημ, συν, εφ α 6 O π π =ημ α O π π =συν β π/ O π/ 3π/ =εφ γ Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις ενώ η συνάρτηση ημ και συν είναι περιοδικές με περίοδο T π, εφ είναι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συνάρτηση α, α 7 α O α O α> α <α< β Ιδιότητες : Υπενθυμίζουμε ότι: Αν α, τότε: Αν α, τότε: γ Η λογαριθμική συνάρτηση log, α α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

8 O α O α α> α <α< β Ιδιότητες : log α α log α α και log α α 3 log α και log α 4 log log log α α α 5 log log log α α α k 6 log κlog α α α 7Αν α, τότε: log log, ενώ αν α, log log α α α α lnα 8 α e, αφού lnα α e Πότε δύο συναρτήσεις,g λέγονται ίσες ; 7, 7 ΕΣΠ Β, 8 ΟΜΟΓ, ΕΣΠ Β, Β, 4 ΕΣΠ Β Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει g Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων,g ; Ορίζουμε ως άθροισμα g, διαφορά - g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους g g, g g, g g, g g πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των Το συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g είναι το A B, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή g, δηλαδή το σύνολο { A και B, με g } ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

3 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και τη συμβολίζουμε με g, τη συνάρτηση με τύπο go g A A B gb 4 g g g A Σχόλια : α Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A { A B} Είναι φανερό ότι η go ορίζεται,αν A, δηλαδή αν A B β Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogo, τότε ορίζεται και η hogo και ισχύει hogo hogo Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, g και h και τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ; 7 ΟΜΟΓ, 7 ΕΣΠ, ΕΣΠ, Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, Δ με ισχύει: 5 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι παρουσιάζει στο o μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο ; A ολικό 4 ΟΜΟΓ, Β, 4 ΕΣΠ Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, όταν για κάθε A Παρουσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε A 6 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγεται ; 3 ΟΜΟΓ, 5 Β, ΟΜΟΓ Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε Σχόλια : α Μια συνάρτηση :A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε β Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: - Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση ως προς - Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

- Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση " " Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες Παράδειγμα 34, Η συνάρτηση η συνάρτηση g, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη Σχ 34είναι, O =g Παρατηρήσεις : Αν γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση είναι - τότε : Την ισοδυναμία αυτή τη χρησιμοποιούμε για επίλυση εξισώσεων Επίσης ισχύει : Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι - αρκεί : Αν η δεν είναι -, τότε υπάρχουν, τω και ί όμως ί ό ί ό όμως ό ό ίa 7 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A αντιστρέφεται και πώς ; Μια συνάρτηση :AR αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με Σχόλια : ορίζεται από τη σχέση : α Ισχύει ότι :, A και, A β Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών A της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και O Παρατηρήσεις : είναι συμμετρικές : : έ, Αν γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ, τότε η μονοτονίας : πχ αν τότε έστω D είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος, με, τότε : άρα στο D ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ 8 Ποια πρόταση συνδέει το όριο της στο και τα πλευρικά όρια της στο ; o o Ισχύει ότι : Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής α,,β, τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim lim lim Παρατηρήσεις : α Ισχύει ότι : α lim lim β lim lim h h β Τους αριθμούς lim και lim τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το αριστερό όριο της στο, ενώ το δεξιό όριο της στο γ Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η να είναι ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής α,,β ή α, ή,β Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης Σχ 39α, 39β ή να μην ανήκει σ αυτό Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο Σχ 39α ή διαφορετική από αυτό δ Ισχύει ότι lim και lim c c ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ 9 Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων ορίου στο o Για το όριο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες : α Θεώρημα ο Αν Αν lim, τότε κοντά στο lim, τότε κοντά στο Παρατήρηση : Αν υπάρχει το lim Αν υπάρχει το lim και είναι κοντά στο, τότε lim και είναι κοντά στο, τότε lim β Θεώρημα ο Αν οι συναρτήσεις,g έχουν όριο στο και ισχύει g κοντά στο, τότε lim lim g Παρατήρηση : Αν υπάρχουν τα lim και lim g Αν g κοντά στο, τότε lim lim g Αν Αν lim lim lim g, τότε g κοντά στο lim g, τότε g κοντά στο γ Θεώρημα 3ο Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: lim g lim lim g lim κ κ lim, για κάθε σταθερά κ R 3 lim g lim lim g lim 4 lim, εφόσον g lim g lim g 5 lim lim k 6 lim k lim, εφόσον κοντά στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

δ Είναι : ν lim[ ] lim ν, * ν Ν για παράδειγμα ν ν lim ε Έστω το πολυώνυμο P α α α α και ν ν ν ν R Είναι : lim P P Απόδειξη : Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε: ν ν lim P lim αν αν α lim α ν ν lim α ν ν ν ν αν lim αν lim lim α αν αν α P ν ν lim α Άρα : lim P P στ Έστω η ρητή συνάρτηση Q Θα είναι τότε P, όπου P, Q πολυώνυμα του και R με Q P P, όπου Q lim Q Q ζ Έστω οι συναρτήσεις,g,h Αν Κριτήριο παρεμβολής h g κοντά στο και lim h lim g, τότε lim η Ισχύει ότι ημ, για κάθε RΗ ισότητα ισχύει μόνο όταν lim ημ ημ lim συν συν ημ συν lim lim 3 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο o Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο σημείο,δηλαδή το lim g, τότε εργαζόμαστε ως εξής: Θέτουμε u g Υπολογίζουμε αν υπάρχει το 3 Υπολογίζουμε αν υπάρχει το u lim g και lim u uu Αν g u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με, δηλαδή ισχύει: lim g lim u uu ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 3 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής,,, ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α β lim lim lim lim lim lim γ Αν δ Αν ε Αν lim, τότε κοντά στο, ενώ αν lim, τότε lim, ενώ αν lim ή, τότε lim lim, τότε κοντά στο lim, τότε lim στ Αν lim και κοντά στο, τότε lim, ενώ αν lim και κοντά στο, τότε lim ζαν lim ή, τότε lim η Αν lim, τότε lim k θ i lim και γενικά lim, * N ii lim ν, N και lim, N 3 Να γράψετε τα Θεωρήματα του άπειρου ορίου στο o Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο αθροίσματος Αν στο R το όριο της είναι: α R α R - - και το όριο της g είναι: - - - τότε το όριο της g είναι: - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γινομένου Αν στο R, το όριο της είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: α> α< α> α< + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Σχόλιο Οι παρακάτω μορφές λέγονται απροσδιόριστες μορφές :,,,,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3

ΕΝΟΤΗΤΑ 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 33 Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο α Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε τα παρακάτω βασικά όρια: ν lim και lim, ν * N lim ν, αν ν άρτιος -, αν ν περιττός και lim, ν * β Για την πολυωνυμική συνάρτηση P, με ισχύει: lim P lim και lim P lim γ Για τη ρητή συνάρτηση,, ισχύει: lim lim και lim lim δ Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι Αν Σχ 6, τότε lim, limlog, lim lim log 6 =a =log a O Αν Σχ 6, τότε =a 6 lim, lim limlog, lim log O =log a ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 4

Σχόλια Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο, πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή 34 Να δώσετε τον ορισμό της ακολουθίας Ακολουθία ονομάζεται κάθε πραγματική συνάρτηση : * 35 Τι εννοούμε όταν λέμε ότι μια ακολουθία έχει όριο το l ; Θα λέμε ότι η ακολουθία α ν έχει όριο το l και θα γράφουμε lim α ε ν ν *, υπάρχει N τέτοιο, ώστε για κάθε ν ν να ισχύει α ν ε, όταν για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 5

ΕΝΟΤΗΤΑ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; o ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim Σχόλια : α Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της,, στο σημείο β Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση γ Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε R ισχύει lim P P Κάθε ρητή συνάρτηση P Q είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει P P lim Q Q Οι συναρτήσεις ημ και συν g είναι συνεχείς, αφού για κάθε R ισχύει lim ημ ημ και lim συν συν Οι συναρτήσεις α και g log, α είναι συνεχείς α 37 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: g, c, όπου c R, g,, και με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που g περιέχει το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

38 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 39 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα και, πότε στο κλειστό διάστημα [, ] ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα αβ,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον : Σχόλιο lim και lim Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής, ], [, 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano 3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα, Σχόλια Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

4 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημα του Bolzano Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A α, α και B β, β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο β 64 Bβ,β O a β a Αα,α 4 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του ενδιαμέσων τιμών Διατύπωση : Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον, τέτοιος, ώστε Απόδειξη : ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θα ισχύει Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g g, Αφού g και g Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g, οπότε β η a Αα,α 67 Bβ,β =η O a β Σχόλια : α Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β Η εικόνα ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

43 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m και M m M, για κάθε [ αβ, ] Σχόλιο :, να ισχύει Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ mm, ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα α, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα Α, Β Σχ 7α, όπου Α lim και B lim α β Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο α, β, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα B, A Σχ 7β ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΠΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ - 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η συνάρτηση =e - είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών Κάθε συνάρτηση, που είναι - στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη 3Μία συνάρτηση : Α ΙR είναι συνάρτηση,αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν =, τότε = 4 Αν, g είναι δύο συναρτήσεις µε πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις og και go, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες 5 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 6 Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει: < 7 Αν η έχει αντίστροφη συνάρτηση και η γραφική παράσταση της έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία =, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 8 Αν για δύο συναρτήσεις, g ορίζονται οι og και go, τότε είναι υποχρεωτικά og go 9 Μία συνάρτηση : Α ΙR λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο ο A ολικό ελάχιστο, το ο, όταν : < ο για κάθε A Μια συνάρτηση : Α IR είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει ακριβώς μία λύση ως προς Μια συνάρτηση είναι -, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία παράλληλη στον τέμνει τη γραφική παράστασή της το πολύ σε ένα σημείο 3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της 4 Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h g, τότε ορίζεται και η h g ισχύει h g = h g 5 Αν μια συνάρτηση :A IR είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση, A και, A 6 Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες ισχύει: και 7 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο A, όταν για κάθε A 8 Η συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο 9 Αν ορίζονται οι συναρτήσεις og και go, τότε πάντοτε ισχύει og = go Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης Για κάθε συνάρτηση η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C, που βρίσκονται πάνω από τον άξονα, και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της C, που βρίσκονται κάτω από τον άξονα Μια συνάρτηση :A R λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε 3 Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = που διχοτομεί τις γωνίες O και O 4 Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A ολικό μέγιστο το, όταν για κάθε A 5 Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και στο διάστημα αυτό 6 Μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση = έχει ακριβώς μία λύση ως προς 7 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 3