Παράρτηµα Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 1. ΤΑΣΕΙΣ Οι ξωτρικές δυνάµις που πιβάλλονται ένα ώµα µπορούν να χωριθούν δύο κατηγορίς, τις καθολικές δυνάµις και τις πιφανιακές δυνάµις. Οι καθολικές δυνάµις, όπως η βαρύτητα, οι αδρανιακές και οι µαγνητικές δυνάµις, πνργούν αµέως πί των µορίων του ώµατος. Οι πιφανιακές δυνάµις πνργούν αµέως την πιφάνια του ώµατος και µταβιβάζονται µµέως το ωτρικό του µ τη βοήθια του πλέγµατος των υνδέµων µταξύ των µορίων και ατόµων του ώµατος. Οι τάις ένα τοιχιώδη όγκο νός φορτιµένου ώµατος ορίζονται µ τη µορφή διανύµατος, ως ξής: [ ] Τ = (1) όπου,, και ίναι οι ορθές υνιτώς των τάων και,, οι διατµητικές υνιτώς των τάων, ως προς τους άξονς x,y,z. Εάν πάρουµ την ιορροπία νός τοιχιώδους παραλληλπίπδου βρίκουµ τις παρακάτω χέις 1
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 2 + + + f x = 0 xz + + + f y = 0 yx + + + f z = 0 zy όπου, f T =[f x, f y, f z ] το διάνυµα των ανά µονάδα όγκου φαρµοµένων καθολικών δυνάµων. Οι χέις αυτές λέγονται διαφορικές ξιώις ιορροπίας και ίναι οι διαφορικές ξιώις που πιλύουν το πρόβληµα νός παραµορφώιµου ώµατος. Ας υποθέουµ ότι το ύνορο του ώµατος φαρµόζονται οι κατανµηµένς δυνάµις Τ T =[Τ x,τ y,τ z ] αυτές υνδέονται µ τις τάις που αναπτύονται το ώµα µ τη χέη τις χέις: Tx = nx + yxny + nz Ty = nx + ny + zynz (3) T = n + n + n z xz x y z όπου n x,n y,n z τα υνηµίτονα κατύθυνης ένα δδοµένο ηµίο της πιφάνιας του ώµατος. Ένα πδίο που ικανοποιί τις (2) και (3) λέγται πδίο των τάων τατικά αποδκτό. (2) 2. ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Η ύπαρξη δυνάµων που πνργούν πί νός ώµατος έχι αν υνέπια την δηµιουργία µτατοπίων και παραµορφώων τα ηµία του ώµατος. Εάν οι µτατοπίις νός ηµίου του ώµατος κατά τις διυθύνις x,y,z ίναι αντίτοιχα u,υ,w, τότ η τριδιάτατη παραµορφωιακή κατάταη ' αυτό το ηµίο µπορί να οριθί µ τη µορφή διανύµατος, ως ξής: [ ] Τ = γ γ γ (1) όπου,, και ίναι οι ορθές υνιτώς των παραµορφώων και γ, γ, γ οι διατµητικές υνιτώς των παραµορφώων. Αν το ύτηµα ίναι κύριο, το διάνυµα των παραµορφώων παίρνι τη µορφή Τ = [ I II III 0 0 0 ] (2) Οι χέις µταξύ των παραµορφώων και των µτατοπίων u,υ,w νός δοθέντος ηµίου, ίναι
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 3 u u υ = γ = + υ υ w = γ = + (3) w w u = γ = + Οι (3) ιχύουν µ την προϋπόθη ότι οι µτατοπίις u,υ,w ίναι απιροτές, ώτ τα γινόµνα των παραγώγων τους να ίναι αµλητές ποότητς, καθώς και ότι οι u,υ,w ίναι υνχίς υναρτήις των υντταγµένων x,y,z. 3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Οι χέις που υνδέουν τις τάις µ τις παραµορφώις για ένα γραµµικό, λατικό ανιότροπο και οµογνές υλικό, υνιτούν το γνικυµένο νόµο του Hooke. Οι χέις αυτές ' ένα τριδιάτατο ώµα [1], ίναι D D... D D D... D...... =............ D D... D 11 12 16 21 22 26 61 62 66 γ γ γ ή = D (1 ) ανάλογα, οι παραµορφώις υνδέονται µ τις τάις, ως ξής ή γ γ γ C C... C C C... C...... =............ C C... C 11 12 16 21 22 26 61 62 66 (1) (2) = C (2 ) όπου, και ίναι τα µητρώα τάων και παραµορφώων, αντίτοιχα. Οι υντλτές D των χέων (1) καλούνται λατικές ταθρές νώ οι υντλτές C των χέων (2) καλούνται λατικοί υντλτές. Τα µητρώα D και C ίναι υµµτρικά [2,3], ποµένως για την πλήρη πριγραφή νός ανιότροπου υλικού απαιτίται η κτίµηη των 21 λατικών ταθρών D ή των 21 λατικών υντλτών C.
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 4 Στην πρίπτωη νός γραµµικού, ιότροπου και λατικού υλικού δηλαδή νός κρυταλλικού υλικού που παρουιάζι παντός ίδους υµµτρία η (1) γίνται υµµτρικό 1 ν ν ν 0 0 0 1 ν ν 0 0 0 ν 1 0 0 0 E 1 2ν = 0 0 ( 1+ ν)( 1 2ν) 2 γ ν 1 2 υµµτρικό 0 γ 2 1 2ν γ 2 ή, ως προς τις υνιτώς των παραµορφώων η (3) γίνται γ γ γ 1/ E ν / E ν / E 0 0 0 1/ E ν / E 0 0 0 E 1/ 0 0 0 21 ( + ν) = 0 0 E ( + ν) 21 υµµτρικό 0 E 21 ( + ν) E όπου, Ε το µέτρο του Young και ν ο λόγος του Poisson. (3) (4) Ι ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 3.1. Επίπδη Εντατική Κατάταη Η πίπδη ντατική κατάταη χαρακτηρίζται από την πολύ µικρότρη z- διάταη του ώµατος χέη µ τις x,y διατάις του. Επίης, οι φαρµοµένς δυνάµις τα ύνορα του ώµατος, ίναι παράλληλς προς το πίπδο (x,y) και πιπλέον ίναι υµµτρικά κατανµηµένς ως προς το µέο πίπδό του. Οπότ, ιχύι [1]: = = zy = 0 (1) Οι υνιτώς της παραµόρφωης γ, γ zy ξαφανίζονται νώ η δίνται από την χέη ( ) v = v + 1 Η χέη τάων - παραµορφώων γίνται (2)
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 5 v E 1 0 = v 2 1 0 1 v v γ 0 0 1 (3) 2 3.2. Επίπδη Παραµορφωιακή Κατάταη Αντίθτα από την πίπδη ντατική κατάταη, η πίπδη παραµορφωιακή κατάταη χαρακτηρίζται από την πολύ µγαλύτρη z-διάταη του ώµατος χέη µ τις x,y διατάις του. Επίης, η φόρτιη λαµβάνι χώρα µόνο κάθτα προς τα πιµήκη τοιχία του ώµατος και δν µταβάλλται ηµαντικά κατά το µήκος του. Εάν πιπλέον θωρηθί ότι η µτακίνηη w του ώµατος κατά την z-διύθυνη ίναι µηδέν κάθ γκάρια διατοµή, προκύπτι [1]: = γ = γ = 0 (4) Οπότ η υνιτώα της τάης δίνται από τη χέη ( ) = v + Η χέη τάων - παραµορφώων γίνται (5) v v E 1 0 = v 1 v 0 ( 1+ v)( 1 2v) 1 2v 0 0 γ 2 (6) 4. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Θώρηµα που κφράζι την ιορροπία του ώµατος 1. Προκύπτι µτά από αλγβρικές πράξις από τις ξιώις ιορροπίας του ώµατος. Λέι: Το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων ίναι ίο µ το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων. Τα δυνατά έργα δν ίναι πραγµατικά έργα. Το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων δε ίναι το γινόµνο των πραγµατικών δυνάµων πί δυνατές (δηλαδή, φαντατικές) µτατοπίις που έβονται τις υνθήκς τήριξης. Έτι, οι δυνατές µτατοπίις µηδνίζονται τις τηρίξις (Σχ.1(β)). 1 Ιορροπία νός κόκκου διαφορική ξίωη ιορροπίας. Ιορροπία ξωτρικών φορτίων ωτρικών τάων υνοριακές υνθήκς
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 6 p(x) (Β) (α) (β) Σχ. 1: (α) Φορέας που φορτίζται το τµήµα από το φορτίο p(x). (β) : ύνορο µτά από κινηµατικά αποδκτή µτατόπιη Το τοιχιώδς έργο των ωτρικών δυνάµων ίναι ίο µ το γινόµνο των πραγµατικών τάων πί τις δυνατές παραµορφώις 2 και πί τον τοιχιώδη όγκο d τον οποίο νργούν. Άρα, όλο το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων δu ίναι το ολοκλήρωµα του δw όλο τον όγκο του ώµατος δu= δw d Επιβάλλουµ τώρα τον φορέα µια κινηµατικά αποδκτή µταβολή των µτατοπίων u(x), το πδίο αυτό που ίναι απολύτως φαντατικό, έβται τη υνέχια του φορέα καθώς και τις υνθήκς τήριξης. Τέλος, θωρούµ ότι αυτή η µτατόπιη δu(x) δν προκαλί µταβολή των τάων. Η δu(x) που λέγται δυνατή µτατόπιη, προκαλί τις δυνατές παραµορφώις (δ ). p i δ i δw u du i u i δ (α) (β) Στο Σχ.2(α) φαίνται χηµατικά το διάγραµµα των p i και u i καθώς και η δυνατή µτατόπιη δu i. To γραµµοκιαµένο τµήµα, που έχι µβαδό δu i παριτάνι το δυνατό έργο δe i που παράγι η p i κατά τη δυνατή µτατόπιη δu i. Είναι αφές ότι, το υνολικό δυνατό έργο δe θα ίναι 2 Οι δυνατές παραµορφώις προκύπτουν από τις δυνατές µτατοπίις µ παραγώγιη.
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 7 δe = pδud (1) Το δυνατό έργο δe ξχωρίζι από το πραγµατικό E γιατί το πρώτο δν υπάρχι φυικά αλλά ίναι ένα φαντατικό µαθηµατικό ύρηµα. Το Σχ.2(β) παρουιάζι υµβολικά το διάγραµµα των - καθώς και τη δυνατή παραµόρφωη δ. Το γραµµοκιαµένο τµήµα, που έχι µβαδόν δ παριτάνι την δυνατή πυκνότητα παραµορφωιακής νέργιας δw, οπότ δu = δwd = δ d (2) παριτάνι την δυνατή νέργια παραµόρφωης. Και η δυνατή νέργια παραµόρφωης δν υπάρχι φυικά αλλά ίναι ένα µαθηµατικό ύρηµα. Το δυνατό έργο δe πρέπι να ίναι ίο µ την δυνατή νέργια παραµόρφωης δe = δ U, δ d = pδu d (3) Η χέη αυτή παριτάνι την αρχή των δυνατών έργων όταν το ώµα πιβάλλονται δυνατές µτατοπίις. Για να αποδίξουµ τη χέη βαιθήκαµ το γγονός ότι ο φορέας βρίκται ιορροπία. Αποδικνύται όµως και το αντίτροφο, ότι δηλαδή, όταν ιχύι η αρχή των δυνατών έργων ο φορέας ιορροπί. (Για πιο πολλές λπτοµέρις πρβλ. 25.4). Έτι, µπορούµ να διατυπώουµ ως ξής την αρχή των δυνατών έργων: Αρχή των δυνατών έργων Η αναγκαία και ικανή υνθήκη ώτ ένας φορέας να βρίκται ιορροπία, ίναι το έργο που κτλούν τα ξωτρικά φορτία αν πιβληθί το φορέα ένα πδίο δυνατών µτατοπίων, κινηµατικά παραδκτών, να ιούται µ τη δυνατή παραµορφωιακή νέργια Η αρχή των δυνατών έργων έχι πολύ µγάλη ηµαία, δδοµένου ότι ιχύι για οποιοδήποτ νόµο υµπριφοράς του υλικού της κατακυής. Η αρχή των δυνατών έργων δν αποτλί µία πρόθτη χέη της θωρίας των παραµορφωίµων ωµάτων αλλά την ολοκληρωµατική έκφραη των ξιώων ιορροπίας. ιαφέρι από τις ξιώις ιορροπίας το γγονός ότι, αυτές κφράζουν την ιορροπία κάθ ηµίο ξχωριτά του ώµατος, νώ η αρχή των δυνατών έργων ολόκληρο το ώµα. Αυτήν την διαφορά µπορούµ να την κµταλλυτούµ και να αναπτύξουµ µθόδους υπολογιτικές πολύ πιο απλές απ ότι αν χρηιµοποιήουµ τις κλαικές ξιώις ιορροπίας. Έτι, µ τη βοήθια της αρχής των δυνατών έργων αναπτύχθηκ η µητρωϊκή ανάλυη των κατακυών για τον υπολογιµό οποιαδήποτ κατακυής. Σηµιώνουµ πάντως ότι, η µέθοδος των ππραµένων τοιχίων µπορί να προκύψι και από το θώρηµα του λάχιτου της δυναµικής νέργιας.
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 8 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΩΝ ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ (*) 1. ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑ ΕΚΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Θα ξτάουµ το ίδιο πρόβληµα οριακής τιµής που πριγράφηκ την προηγούµνη παράγραφο µ την διαφορά όµως ότι όλα τα µγέθη (ξωτρικές δυνάµις, µτατοπίις, τάις, παραµορφώις), ίναι ανξάρτητα του χρόνου t. Ονοµάζουµ τατικά παραδκτό ένα πδίο τάων που ικανοποιί: 1. Τις υνθήκς ιορροπίας κάθ ηµίο του ώµατος + F =0 (4) i 1. Τις πιφανιακές υνθήκς το τµήµα της πιφάνιας του ώµατος t n = 0 (5) i Ονοµάζουµ κινηµατικά παραδκτό ένα πδίο µτατοπίων u(x), δύο φορές παραγωγίιµο, που οι παραµορφώις προκύπτουν από την ακόλουθη χέη µτατοπίων - παραµορφώων 1 u u i = + 2 i (6) νώ το τµήµα της πιφάνιας u του ώµατος ικανοποιούνται οι υνοριακές υνθήκς () () u x g x = 0, x (7) i i u Εξυπακούται ότι τότ θα ικανοποιούνται και οι υνθήκς υµβιβατού των παραµορφώων. Από τη τατικά παραδκτή κατανοµή τάων ( ) προκύπτι µ τη βοήθια των κατατατικών ξιώων ένα πδίο παραµορφώων. Αν το πδίο αυτό των παραµορφώων ίναι κινηµατικά παραδκτό, τότ το πδίο αποτλί την πραγµατική λύη του προβλήµατος. Αντίτροφα, από ένα κινηµατικά παραδκτό πδίο µτατοπίων u προκύπτουν οι παραµορφώις και τη υνέχια οι τάις. Αν το πδίο αυτό των τάων ίναι τατικά παραδκτό, το πδίο u αποτλί την πραγµατική λύη του προβλήµατος. Το κινηµατικά παραδκτό πδίο ίναι ντλώς αυθαίρτο. Ο µόνος πριοριµός ίναι να µην πιβάλλουµ µτακίνηη που να παραβιάζι το ύνδµο (π.χ. µια κύλιη να πιβάλλουµ µτακίνηη κάθτη το πίπδο κύλιης κ.ο.κ.). (*) Αυτή απυθύνται όους θα ήθλαν να δουν την απόδιξη της προηγούµνης παραγράφου. Οι υπόλοιποι «µπορούν να την παραλίψουν χωρίς καµία απώλια».
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 9 2. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Θα ξτάουµ το γνικό πρόβληµα οριακής τιµής που πριγράφηκ την προηγούµνη παράγραφο. Έτω, u i, το πδίο των πραγµατικών τάων µτατοπίων και παραµορφώων αντίτοιχα 3. Θωρούµ τώρα ένα πδίο κινηµατικά παραδκτών µτατοπίων δu i που όµως πάνω το u ικανοποιούν τις οµογνίς οριακές υνθήκς δu i ( x) = 0, x (8) u Μτατοπίις αυτού του ίδους λέγονται δυνατές µτατοπίις. (Θα δούµ, πιο κάτω, ότι οι δu i (x) µπορούν να θωρηθούν αν µταβολές (variations) του πραγµατικού πδίου των µτατοπίων). Ας υποθέουµ ότι πιβάλλουµ το ώµα Β, χωρίς να µταβληθούν τα πδία, u, και τα πδία των φορτίων F i και t i να κτλέι τις µτατοπίις δu i και φυικά να υποτί τις παραµορφώις δ. Όπως κάναµ για το απόλυτα τρό, θα πολλαπλαιάουµ τις χέις ιορροπίας (4) και (5) µ δu. Στη υνέχια, θα πάρουµ το άθροιµα των ολοκληρωµάτων τους πάνω τον όγκο του ώµατος και πάνω την πιφάνια αντίτοιχα: + Fi δuid + ( ti n) δui d = 0 (9) Επιδή ιχύι η (8) µπορούµ να αφαιρέουµ από την προηγούµνη χέη το ολοκλήρωµα πάνω την u της ποότητας n u i οπότ, λαµβάνοντας υπόψη ότι u =, βρίκουµ i i i i i i δu d + n δu d + F δu d + t n δu d = 0 (10) Χρηιµοποιώντας το θώρηµα Green - Gauss το δύτρο όρο της (10) βρίκουµ δ δ δ ui ui ui Fiδu ( ti δui ) i d d d + d + d = 0 (11) Αν πάρουµ υπόψη τη υµµτρία του τανυτή των τάων, θα έχουµ (πρβλ. (265.8)) δ u i 1 δ ui = + 2 δ u i δu δu i = 1 2 + i δ = (12) 3 Στην πραγµατικότητα δν ίναι απαραίτητο το πδίο των τάων να ίναι πραγµατικό, αλλά µόνο τατικά παραδκτό.
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 10 Οπότ, η χέη (11) λόγω και της (12) γράφται i i i i δ d = F δu d + t δu d + n δu d (13) u i Το δύτρο µέλος παριτάνι το δυνατό έργο δe των δυνάµων t i και F i δηλαδή το έργο που παράγται όταν οι δυνάµις F i και t i παραµένουν ταθρές και µταβληθί κατά δu η µτατόπιη u i. Στο Σχ.3(α) δίχνουµ νδικτικά το δάγραµµα των δυνάµων F i και ηµιώνουµ το δυνατό έργο F i δu i. Το πρώτο µέλος παριτάνι τη δυνατή παραµορφωτική νέργια δu δu = δwd, δw = δ (14) όπου δw η πυκνότητα δυνατής παραµορφωτική νέργιας. Όπως βλέπουµ και από το Σχ.3(β), η δw ίναι η αύξηη της πυκνότητας νέργιας παραµόρφωης όταν η διατηρηθί ταθρή και µταβληθί κατά η παραµόρφωη από τη θέη ιορροπίας. F i F i δu i δw= u i u i δu i δ (α) (β) Σχήµα 3 Αξίζι να ηµιώουµ ότι, η απιροτή µταβολή du i του πδίου των πραγµατικών µτατοπίων u i ίναι προφανώς, ένα κινηµατικά παραδκτό πδίο το οποίο ικανοποιί και την οµογνή υνθήκη (8) το όριο u. Έτι, αν πάρουµ αν δυνατό πδίο το πδίο των απιροτών µταβολών ( δ u i = du i δ = d ), και πριοριτούµ τα λατικά (γραµµικά µη-γραµµικά) υλικά, τότ η πυκνότητα της δυνατής νέργιας παραµόρφωης δw, λαµβάνοντας υπόψη και την (13) γράφται W δw = d = d = d W (15)
Υπνθυµίις Μηχανικής Παραµορφωίµων Στρών 11 δηλαδή η δw παριτάνι αυτήν την πρίπτωη, την απιροτή µταβολή dw της πυκνότητας της νέργιας παραµόρφωης W. Ακόµα, η δu παριτάνι την απιροτή µταβολή du της νέργιας παραµόρφωης U. Η χέη (13) κφράζι την αρχή των δυνατών έργων, όταν το ώµα πιβάλλονται δυνατές µτατοπίις. (Το δυνατό έργο των ωτρικών δυνάµων, δηλαδή η δυνατή νέργια, ίναι ίη µ το δυνατό έργο των ξωτρικών δυνάµων). Η διαδικαία που ακολουθήαµ απέδιξ ότι, όταν ιχύουν οι ξιώις ιορροπίας (14) και (15) τότ αναγκατικά θα ιχύι και η χέη (13). Άρα η αρχή των δυνατών έργων - (αρχή των δυνατών µτατοπίων) (13) και αντιτρέφοντας την πορία των πράξών µας καταλήγουµ τη χέη (19) που ικανοποιίται για αυθαίρτα δu i µόνον όταν οι παρνθέις ίναι ίς µ µηδέν, δηλαδή ικανοποιούνται οι υνθήκς ιορροπίας (14) και (15). Έτι, µπορούµ να διατυπώουµ ως ξής την αρχή των δυνατών έργων: Αρχή των δυνατών έργων Η αναγκαία και ικανή υνθήκη ώτ ένα παραµορφώιµο ώµα να βρίκται ιορροπία ίναι το έργο που κτλούν τα ξωτρικά φορτία αν πιβληθί το ώµα ένα πδίο δυνατών µτατοπίων, κινηµατικά παραδκτών, να ιούται µ τη δυνατή νέργια παραµόρφωης. Η αρχή των δυνατών έργων έχι πολύ µγάλη ηµαία δδµένου ότι, ιχύι για οποιοδήποτ νόµο υµπριφοράς του υλικού.