Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice. Prehľad učiva matematiky. základnej školy

Základná škola Jána Hollého s materskou školou Madunice Prehľad učiva matematiky základnej školy

Obsah strana 1. Prirodzené, celé, racionálne, reálne čísla... 1 2. Operácie s racionálnymi číslami... 2 3. Zlomky, počtové výkony so zlomkami... 3 4. Pomer, priama a nepriama úmernosť... 4 5. Funkcie... 5 6. Merné jednotky... 6 7. Významné prvky trojuholníka... 7 8. Významné prvky rovnobežníkov... 8 9. Lichobežník... 9 10. Uhly... 9 11. Zhodnosť, podobnosť... 10 12. Kružnica, kruh... 11 13. Základné množiny bodov danej vlastnosti... 12 14. Stredová a osová súmernosť... 12 15. Talesova veta, Pytagorova veta... 13 16. Obsahy a obvody plošných útvarov... 14 17. Objemy a povrchy telies... 14 18. Úpravy algebrických výrazov... 15 19. Lomené výrazy... 17 20. Rovnice a nerovnice... 18

- 1 - N - prirodzené čísla ( 1, 2, 3, 4, 5... ) N Z Q R Z - celé čísla ( - 4, -2, 0, 3, 5 ) Q - racionálne čísla 1 ( ; - 0,75 ; 1,6 ) R - reálne čísla 6 + 3 = 9 sčítanec sčítanec súčet 6-3 = 3 menšenec menšiteľ rozdiel 6. 3 = 18 činiteľ činiteľ súčin 6 : 3 = 2 delenec deliteľ podiel 2 komunikatívnosť zámena sčítancov a + b = b + a činiteľov a. b = b. a asociatívnosť združovanie do skupín ( a + b ) = ( b + a ) distributívnosť 3. ( a + b ) = 3a + 3b +2 = 2 Absolutná hodnota -2 = 2-2 0 +2 opačné čísla: -3 +3 prevrátené čísla: 2 3 3 2

- 2 - Operácie s racionálnymi číslami 1-1 - 0 1 2 Jedno racionálne číslo 3 6 75 1 10 môžeme vyjadriť - ; -0,75; - ; - 0,5; ; ; 0,50 rôznymi zápismi 4 8 100 2 20 zobrazenými v jednom bode Sčítanie: ( +5 ) + ( +3 ) = +8 ( -5 ) + ( -3 ) = - 8 ( +5 ) + ( - 3 ) = +2 ( - 5 ) + ( +3 ) = - 2 Odčítanie: ( +5 ) (+ 3 ) = ( +5 ) + ( - 3 ) = +2 ( - 5 ) ( - 3 ) = ( - 5 ) + ( +3 ) = - 2 ( +5 ) - ( - 3 ) = ( +5 ) + ( +3 ) = +8 (- 5 ) - ( +3 ) = ( - 5 ) + ( - 3 ) = - 8 Odčítať znamená pričítať číslo opačné. Násobenie: ( +5 ). ( +3 ) = + 15 ( - 5 ). ( - 3 ) = + 15 ( +5 ). ( - 3 ) = - 15 ( - 5 ). ( +3 ) = - 15 Delenie: ( +8 ) : ( +4 ) = +2 ( - 8 ) : ( - 4 ) = +2 (+8 ) : ( - 4 ) = - 2 ( - 8 ) : ( +4 ) = - 2 Umocňovanie: ( - 5 ) 2 = 25 ( - 5 ) 3 = - 125-5 2 = - 25 3 3

- 3 - Zlomky 2 čitateľ ( určuje počet častí ) 3 menovateľ ( určuje, na aké časti treba celok rozdeliť ) 1 7 7 3 3 menší ako 1 celá väčší ako 1 celá čiže = 1+ = 1 4 ( pravý zlomok ) 4 ( nepravý zlomok ) 4 4 4 Rozširovanie zlomkov Krátenie zlomkov 2 2. 2 4 4 4 : 2 2 = = = 4 4. 2 8 6 6 : 2 3 ( hodnota zlomku sa nezmení ) ( hodnota zlomku sa nezmení ) Počtové výkony so zlomkami sčítanie odčítanie násobenie delenie 3 2 5 1 6 3 12 + 3 15 1 + = = 1 + = = = 1 ( zlomok uvedieme na spoločného menovateľa ) 4 4 4 4 7 14 14 14 14 5 1 4 2 7 5 14 5 9 1 - = = - = = = ( zlomok uvedieme na spoločného menovateľa ) 6 6 6 3 9 18 18 18 2 2 5 10 1 4 2 8 ( ak sa dá, nezabudni pred násobením najprv = = 1 = krátiť zlomky ) 3 3 9 9 9 3 27 7 4 7 5 35 3 ( prvý zlomok násobíme prevrátenou hodnotou : = = = 1 druhého zlomku ) 8 5 8 4 32 32 3 3 5 3 2 3 7 21 1 5 3. 7 21 1 = : = = = 2 alebo = = 2 2 5 7 5 2 10 10 2 5. 2 10 10 7 7 umocňovanie 6 36 5 25 4 3 64 1 3 2 9 9 ( ) 2 = ; ( - ) 2 = ; = = 7 ; = = - ; 11 121 7 49 3 2 9 9 ( - 4 ) 3-64 64

- 4 - Pomer, priama a nepriama úmernosť Porovnávať môžeme : rozdielom - otázkou o koľko? podielom ( alebo pomerom ) - otázkou koľkokrát? Sú veci okolo nás, ktoré musíme porovnávať. K tomu slúžia práve funkcie priamej a nepriamej úmernosti. Priama úmernosť - v akom pomere sa zmení jedna premenná ( veličina ), v takom istom pomere sa musí zmeniť aj druhá premenná ( veličina ). Nepriama úmernosť - ak sa jedna premenná ( veličina ) zmení v určitom pomere, druhá premenná ( veličina ) sa musí zmeniť v obrátenom pomere. Obe súmernosti môžeme riešiť úsudkom alebo trojčlenkou. 4 kg jabĺk... 64 Sk 3 traktoristi zorú pole... 12 dní 7 kg jabĺk... x Sk 4 traktoristi zorú pole... x dní x : 64 = 7 : 4 ( úmera ) 4 : 3 = 12 : x 4x = 448 4x = 36 x = 112 ( korún ) x = 9 ( dní ) Úsudkom: 1 kg... 64 : 4 = l6 Úsudkom: 1 traktorista zorie za ( 12. 3 ) 7 kg... 7. 16 = 112 dní, to je 36, a delíme 4 jednoducho ( 64 : 4 ). 7 = 112 ( 12. 3 ) : 4 = 36 : 4 = 9

- 5 - Funkcie Funkciou nazývame priradenie, keď každému prvku danej množiny A priraďujeme práve jedno reálne číslo množiny B. funkcia vzorec graf priama úmernosť nepriama úmernosť y = k. x + q ( q = 0 ) priamka k y = x 0 x hyperbola lineárna y = k. x + q x,y premenné veličiny k,q - koeficienty priamka goniometrická ( a, b - odvesny c - prepona ) 1 2 a sin α = c b cos α = c sinusoida kosinusoida 3 a tg α = b tangentoida 4 1 B b cotg α = a 2 B kotangentoida 3 B c a α C b A c a α C b A 4 B c a α C b A c a α C b A

- 6 - Merné jednotky mili - centi - deci - základná jednotka deka - hekta - kilo - mm cm dm meter dkm hm km mg cg dg gram dkg hg kg t ml cl dl liter dkl hl kl mm 2 cm 2 dm 2 meter štvorcový a ha km 2 mm 3 cm 3 dm 3 meter kubický dkm 3 hm 3 km 3 v praxi sa nepoužívajú miery dĺžkové miery objemové miery hmotnosti miery plošné miery kubické každá vyššia jednotka má 10 nižších každá vyššia jednotka má 100 nižších každá vyššia jednotka má 1000 nižších 1 cm 1 cm 2 1 cm 3 1 liter = 1 dm 3

Významné prvky trojuholníka - 7 - C o 3 γ H k J γ' o 1 2 F E O S α' α q β β' A B G D vrcholy A, B, C strany AB, BC, CA uhly vnútorné: uhol CAB ( α ), uhol ABC ( β ), uhol BCA ( γ ) α + β + γ = 180 vonkajšie: α', β', γ' α' + β' + γ' = 360 výšky AH, BJ, CG - kolmice z vrcholu na protiľahlú stranu ťažnice AE, BF, CD - spojnice vrcholu so stredom protiľahlej strany T - ťažisko ( je v 2/3 od vrcholu a v 1/3 od stredu strany stredné priečky DE, EF, FD - stredná priečka spája stredy strán a je rovnobežná s tou stranou, s ktorou stred nespája, je jej polovičkou kružnice k je kružnica opísaná, stred S je prienik osí strán q je kružnica vpísaná, stred O je prienik osí uhlov Trojuholníky podľa strán rovnostranný rovnoramenný rôznostranný Trojuholníky podľa uhlov ostrouhlý tupouhlý pravouhlý

- 8 - Významné prvky rovnobežníkov (štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, kosodĺžnik) o 3 k o 1 o 2 o 1 k G G D C D C q E S F E S F o 2 A H B o 4 A H B o 1 o 2 D G C D G C S S E K E F q F K A J H B A J H B vrcholy A, B, C, D strany AB, BC, CD, DA - dve protiľahlé sú rovnobežné a zhodné, dve susedné ( v štvorci a obdĺžniku ) sú na seba kolmé uhly v štvorci a obdĺžniku sú uhly pravé v kosoštvorci a v kosodĺžniku sú dva a dva protiľahlé zhodné súčet uhlov je 360 uhlopriečky AC, BD vo všetkých rovnobežníkoch sa navzájom rozpoľujú v štvorci a kosoštvorci sú na seba kolmé v štvorci a obdĺžniku sú zhodné, AC = BD výšky v štvorci a obdĺžniku sa zhodujú so stranami v kosoštvorci DJ = DK stredné priečky EF, GH - sú rovnobežné so stranami BC, DA, sú s nimi aj zhodné osi súmernosti štvorec má 4, obdĺžnik 2, kosoštvorec 2 opísaná kružnica k - v štvorci a v obdĺžniku ( stred S, prienik osí strán ) vpísaná kružnica q - v štvorci a v kosoštvorci ( stred S, prienik osí uhlov )

- 9 - Lichobežník D c C E d b F A H a B c K vrcholy A, B, C, D strany AB ( a ), BC ( b ), CD ( c ), DA ( d ) uhlopriečky AC, BD stredná priečka p = EF, p = a + c / 2 ( polovica súčtu základní ) viď obr. EF = ½ AK ( AKD ) výška DH c Uhly α β a δ γ α' β' b δ' γ' a b a,b c vrcholové α γ ; β δ α γ'; β' δ' spoločný vrchol, ležia oproti sebe, sú zhodné susedné α β, β γ, γ δ, δ α α' β', β' γ', γ' δ', δ' α' ležia vedľa seba, majú spoločné rameno, ich súčet je 180 súhlasné α α', β β', γ γ', δ δ' podľa priamok a, b, c ležia súhlasne v rovnakých polrovinách a sú zhodné ( a b ) striedavé δ β', γ α', β δ', α γ' podľa priamo ležia striedavo v opačných polrovinách, sú zhodné, ak a b

- 10 - Zhodnosť, podobnosť 4 : 1 3 : 1 2 : 1 1 : 1 1 : 2 1 : 3 1 : 4 pomery zväčšenia tieto útvary sú iba podobné pomery zmenšenia tieto útvary sú iba podobné pomer, ktorý ani nezväčšuje, ani nezmenšuje takéto útvary sú zhodné ( aj podobné ) Zhodnosť je teda zvláštnym prípadom podobnosti. Geometrické útvary ( trojuholníky ) sú zhodné: ak sa zhodujú v dĺžke príslušných strán ( veta sss ) ak sa zhodujú v dvoch stranách a v uhle nimi zovretom ( veta sus ) ak sa zhodujú v jednej strane a v dvoch uhloch priľahlých ( veta usu ) Znak zhodnosti: = Podobnosť - geometrické útvary ( trojuholníky ) sú podobné: ak sa zhodujú pomery príslušných strán ( veta sss ) ak sa zhodujú pomery dvoch príslušných strán a uhly medzi nimi zovreté ( veta sus ) ak sa zhodujú príslušné dva uhly ( veta uu ) Znak podobnosti: ~

Kružnica, kruh - 11 - a k; k ( S; r ) kružnica SC ( r ) polomer E D F H AB ( d ) priemer EF α SD vzdialenosť tetivy od stredu S A B a kružnicový oblúk d S α stredový uhol r S ( CSG ) kruhový výsek J S C Vzájomná poloha bodu a kružnice tetiva (spojnica 2 bodov kružnice) G 1. SH > r ( bod H leží mimo kružnice ) 2. SA, SB, SC... = r ( body ležia na kružnici ) 3. SJ < r ( bod J leží v kružnici ) k c b a Vzájomná poloha priamky a kružnice S r 1. as > r nesečnica 2. bs = r dotyčnica 3. cs < r sečnica k k 1 Vzájomná poloha kružníc k 4 S 1 q k 1 SS 1 > r 1 + r 2 mimo seba k 3 S 4 k2 SS2 = r1 + r2 vonkajší dotyk S S' k 3 SS 3 > r 1 - r 2 SS 3 < r 1 + r 2 pretínajú sa S 3 k 5 S 5 k 4 SS 4 = r 1 r 2 vnútorný dotyk k 2 k 5 SS 5 < r 1 r 2 jedna vo vnútri druhej q SS' = 0 sústredné kružnice S 2 kružnica kruh

- 12 - Základné množiny bodov danej vlastnosti k o a a S p p A B b b k ( S; r ) os AB a, b p p a, b os uhla o k S k q A B S q q (S, r 1 r 2 ) o q ( S, r 1 r 2 ) Stredová a osová súmernosť C A' 1) priamky AS, BS, CS S B' 2) SA = SA', SB = SB', SC = SC' B Trojuholníky ABC a A'B'C' sú A C' súmerné podľa stredu S. C p C' 1) priamky prechádzajúce bodmi ABC a kolmé na priamku p 2) pa = pa', pb = pb', B B' pc = pc' Trojuholníky ABC a A'B'C' sú súmerné podľa priamky p. A A'

- 13 - Talesova veta C 5 C 4 C 3 C 2 k C 1 A B C 6 C 7 C 8 C 9 Vrcholy pravouhlých trojuholníkov C 1, C 2, C 3... C 9... vytvorili nad úsečkou AB ( mimo bodov A, B ) množinu - kružnicu k, ktorá bola pomenovaná podľa svojho objaviteľa. Pytagorova veta B c 2 c 2 a 2 a c c 2 = a 2 + b 2 a 2 a = c 2 b 2 b = c 2 a 2 C b A c = a 2 + b 2 b 2 Obsah štvorca nad preponou ( c 2 ) sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad obidvoma odvesnami ( a 2 + b 2 ). b 2

- 14 - Objemy a povrchy telies teleso objem povrch kocka V = Sp. v V = a.a.a ( a 3 ) S = 6. a. a ( 6a 2 ) kváder V = Sp. v V = ( a. b ). v S = 2. ( ab + ac + bc ) hranol V = Sp. v S = 2 Sp + Spl valec V = Sp. v V = π r 2. v S = 2 Sp + Spl S = 2π r 2 + π r. v ihlan V = ⅓ Sp. v S = Sp + Spl kužel V = ⅓ Sp. v V = ⅓ π r 2. v S = Sp + Spl S = π r 2 + π r s guľa V = 4 / 3 π r 3 S = 4 π r 2 Obsahy a obvody plošných útvarov plošný útvar obsah obvod štvorec S = a. a ( a 2 ) o = 4. a obdĺžnik S = a. b o = 2. ( a + b ) trojuholník lichobežník a. v a S = 2 ( a + c ). v S = 2 o = a + b + c o = a + b + c + d kosoštvorec S = a. v a o = 4. a kosodĺžnik S = a. v a o = 2. ( a + b ) kruh S = π r 2 o = 2 π r kružnicový výsek, oblúk Π r 2 S = α 360 2π r a = α 360

- 15 - Úpravy algebrických výrazov Príklad zapísaný pomocou čísel, znakov, počtových operácií a zátvoriek nazývame číselný výraz. Opačný výraz ( x y ) ; ( y x ). Výrazy s tou istou premennou sčítame a odčítame tak, že sčítame a odčítame ich číselné koeficienty a premennú opíšeme. Násobiť výraz číslom znamená vynásobiť týmto číslom každý člen výrazu. Podobne je to i u delenia ( delíme ). Mocniny s prirodzeným mocniteľom: Sčitovať a odčitovať môžeme iba tie mocniny, ktoré majú rovnaký základ aj rovnakého mocniteľa ( exponenta ). Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom mocniteľov : a m. a n = a m+n Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom mocniteľov : a m : a n = a m n ( m > n ) a m a m : a m a 0 1 Ak m < n, tak a m : a n = = = = a n a n : a m a n - m a n - m Pozor: a 0 = 1 Mocnina súčinu a podielu : Súčin umocníme tak, že umocníme každého činiteľa ( a. b ) n = a n. b n Zlomok umocníme tak, že umocníme čitateľa i menovateľa. a a n ( ) n = b b n b 0 Mocninu umocníme tak, že základ umocníme súčinom mocniteľov. ( a m ) n = a mn Úprava celistvých algebrických výrazov: Sčitovanie a odčitovanie jednočlenov a mnohočlenov jednoduché odstránenie zátvoriek a sčitovanie a odčitovanie mocnín. Pri odčítaní pamätať, že odčítať mnohočlena znamená pričítať mnohočlena opačného ( zmeniť znamienka ). Násobenie a delenie celistvých výrazov: Násobenie jednočlena jednočlenom: a m. a n = a m + n Násobenie jednočlena mnohočlenom: a. ( b + c ) = ab + ac

- 16 - Násobenie mnohočlena mnohočlenom: ( a + b ). ( c + d ) = ac + ad + bc + bd Delenie mnohočlena jednočlenom: a b c ( a + b + c ) : d = + + d d d d 0 Vynímanie jednočlena pred zátvorku: Najväčšieho spoločného deliteľa všetkých členov mnohočlena ( koeficienty aj premenné ) napíšeme pred zátvorku. V zátvorke zostanú členy, ktoré sme týmto deliteľom vydelili. Hovoríme, že sme mnohočlen upravili na súčin. Vynímanie dvojčlena pred zátvorku: Ak sa v mnohočlene nachádzajú násobky toho istého dvojčlena, dvojčlen vyjmeme pred zátvorku. V zátvorke zostanú členy, ktoré sme týmto dvojčlenom vydelili. Tiež sme mnohočlen upravili na súčin. Úprava výrazov pomocou vzorcov Pozorný žiak vie, v ktorom prípade využije namiesto násobenia mnohočlenov tieto vzorce : ( A + B ) 2 = ( A + B ). ( A + B ) = A 2 + 2AB + B 2 ( A B ) 2 = ( A B ). ( A B ) = A 2 2AB + B 2 A 2 B 2 = ( A + B ). ( A B ) ( A + B ) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 ( A B ) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3 Rozklad na prvočinitele ( úprava výrazu na súčin ) : a) pomocou vynímania pred zátvorku b) pomocou vzorcov c) pomocou vynímania a pomocou vzorcov súčasne Všimnite si rôzne možnosti: 1. 108 a 6 b 5 c 7 189 a 5 b 4 c 6 + 81 a 3 b 2 c 4 = 27a 3 b 2 c 4 ( 4 a 3 b 3 c 3 7 a 2 b 2 c 2 + 3 ) 2. m 2. ( 2x y ) 3n. ( 2x y ) = ( 2x y ). ( m 2 3n ) 3. r 6 + 3. ( r 6 ) = ( r 6 ) + 3. ( r 6 ) = ( r 6 ). ( 1 + 3 ) = 4 ( r 6 ) 4. 6u - v 5r. ( v 6u ) = ( 6u v ) 5r. ( v 6u ) = ( 6u v ) ( 1 + 5r ) 5. 3v + 7. ( 3v 4u ) 4u = ( 3v 4u ) + 7. ( 3v 4u ) = ( 3v 4u ) ( 1 + 7 ) 6. 6m 18 + mn 3n = ( 6m 18 ) + ( mn 3n ) = 6. ( m 3 ) + n. ( m 3 ) = ( m 3 ) ( 6 + n ) 7. 81 108r + 36r 2 = 9. ( 9 12r + 4r 2 ) = 9 ( 3 2r ) 2 8. 121m 2 25n 2 = ( 11m 5n ) ( 11m + 5n ) 9. 81v 2 = ( + ) ( 7u 2 - ) = 49u 4 81v 2 = ( 7u 2 + 9v ). ( 7u 2 9v ) = 10. x 2 + 2xy + y 2 z 2 = ( x 2 + 2xy + y 2 ) z 2 = ( x + y ) 2 z 2 = ( x + y + z ) ( x + y z ) a 2 - b 2

- 17-11. x 2 - ( x 3y ) 2 = [ x + ( x 3y ) ]. [ x ( x 3y ) ] = ( 2x 3y ) 3y A=x B=x-3y Lomené výrazy Uvedomte si, že lomeným výrazom je zapísané delenie. Zlomok má zmysel iba vtedy, ak sa jeho menovateľ nerovná nule, že pri krátených lomených výrazoch najskôr upravíme čitateľa aj menovateľa na súčin vynímaním alebo pomocou vzorcov. Jeden príklad: x 3x 2 x + x + 1 1 x 2 3x 2 2x + 1 1 x 4 ( + 1 ) : ( 1 - ) = : = : = x + 1 1 x 2 x + 1 1 x 2 x + 1 1 x 2 2x + 1 ( 1 x ). ( 1 + x ) 1 x 1 = = x ± 1, x ± x + 1 ( 1 + 2x ). ( 1 2x ) 1 2x 2 Overte, ak x = 2-1 2 12 5-3 12 5-3 1 ( + 1 ) : ( 1 - ) = : = = 3 1 4 3-3 3-15 3-3 1 2-1 1 = = 1 4-3 3

- 18 - Rovnice a nerovnice Zapamätaj si, že rovnica je ako váhy, ľavá strana sa rovná pravej. Inak výraz s neznámou. Aby sme to dosiahli, musíme rovnicu upravovať, a to A / Pomocou počtových výkonov B / Pomocou ekvivalentných úprav A: 2x + 4 = 16 neznámy je prvý sčítanec 2x = 16-4 od súčtu odčítame druhého sčítanca 2x = 12 neznámy je druhý činiteľ x = 6 súčin sme delili prvým činiteľom Výsledok ( 6 ) je koreňom rovnice. Skúška: Ľ = 2. 6 + 4 = 16 P = l6 Dostali sme rovnosť: Ľ = P B: Ak na miskové váhy na obe strany ( ľavú a pravú ) položíš rovnaké množstvo tovaru, vždy sa ramená váh vyrovnajú. To isté platí aj pri riešení rovníc. Preveďme to do matematiky:» ak k obidvom stranám rovnice pričítame to isté kladné alebo záporné číslo,» ak obidve strany rovnice násobíme alebo delíme ľubovoľným číslom rôznym od nuly, tak sa hodnota rovnice nezmení. 2x + 4 = 16 k obidvom stranám pričítame -4 2x + 4 + ( - 4 ) = l6 + ( - 4 ) 2x = 12 obidve strany delíme 2 2x : 2 = 12 : 2 x = 6

- 19 - Slovné úlohy riešené pomocou rovníc nie je možné správne vyriešiť bez dôkladného rozboru danej úlohy, slovného textu. Odporúčame: 1. Danú úlohu ( slovný text ) si dôkladne prečítaj a zároveň si urob náčrtok, dobre pouvažuj, čo máš dané a čo máš vypočítať. 2. Z dobre premysleného rozboru úlohy sa ti určite ľahšie určí neznáma ( x ). 3. Pomocou nej zapíš všetky vzťahy, ktoré úloha žiada. 4. Zostav rovnicu a vyrieš ju. 5. Nezabudni na skúšku správnosti tak rovnice ( či sa ľavá strana skutočne rovná pravej ), ako aj slovného textu. 6. Každá slovná úloha sa uzaviera odpoveďou. Sústava dvoch rovníc s dvomi neznámymi Riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi je dvojica koreňov, ktorá je spoločná pre obidve rovnice. Metódy riešenia: 1. Dosadzovacia ( substitučná ) 2. Sčítacia ( adičná ) 3. Porovnávacia ( komparačná ) 4. Graficky

- 20 - Postup: 1. Vyjadríme z jednej rovnice jednu z neznámych a tento výraz dosadíme do druhej rovnice. Dostaneme tak jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Dosadením vypočítame druhú neznámu. 2. Vynásobíme jednu alebo obidve rovnice vhodnými číslami tak, aby sme po sčítaní rovníc dostali jednu rovnicu s jednou neznámou. Túto rovnicu vyriešime. Druhú neznámu vypočítame dosadením. 3. Z obidvoch rovníc vyjadríme tú istú neznámu a výrazy porovnáme. Dostaneme jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Druhú neznámu vypočítame dosadením do niektorej z pôvodných rovníc. Pri riešení dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi nastane práve jeden z týchto prípadov: a / Sústava má práve jedno riešenie ( priamky sa pretínajú ). b / Sústava má nekonečne veľa riešení ( sú totožné ). c / Sústava nemá riešenie ( sú rovnobežné ). 4. x + y = 5 2x y = 1... - 2-1 0 1 2... y = 5 - x 7 6 5 4 3 y = 2x - 1-5 - 3-1 1 3 7 5 3 1-2 - 1 1 2-1

- 21 - Riešenie lineárnych nerovníc Ostré - so znakmi < > Neostré - so znakmi Pri ich riešení maj na pamäti, že: Nerovnica môže mať nekonečne veľa riešení. Pri výmene strán nerovnice sa znak nerovnosti zmení na obrátený. Nerovnice riešime pomocou ekvivalentných úprav. Riešenie nerovnice sa nezmení, ak obidve strany nerovnice vynásobíme tým istým záporným číslom, delíme tým istým záporným číslom a súčasne zmeníme znak nerovnosti na obrátený. Po vyriešení nerovnice nakreslíme časť číselnej osi a overíme správnosť riešenia dosadením aspoň dvoch hodnôt do pôvodnej nerovnice.