Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital

Ενότητα Ασύμπτωτες Κανόνες de L Hospital Ασκήσεις για λύση 1). Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii) g()= 1 1 iii) h( ) iv) φ()= 4 5 ). Αν η ευθεία ε: y + β = 0 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f : στο +, να βρεθούν οι τιμές του μ, ώστε f ( ) 6 lim 1. f ( ) 5 ). Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει στο + ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μ, ώστε 9 1 f ( ) 4 lim 10 4 f ( ) 1 4). Αφού διαπιστώσετε ότι πληρούνται οι προϋποθέσεις για την εφαρμογή του κανόνα de L Hosρital, να υπολογίσετε τα όρια 4 e 1 A lim, B= lim, = lim = lim 1 0 1 0 5). Με τη βοήθεια του κανόνα de L Hospital, να υπολογίσετε τα όρια ln ln 1 ln A lim B= lim + ln 1 ln 1 1 6). Να υπολογίσετε το όριο A lim. 1 ln 1 7). Η πρόταση «Αν η f είναι παραγωγίσιμη, τότε η f είναι συνεχής» είναι λανθασμένη, διότι η f δεν είναι πάντα συνεχής. Να βρείτε το λάθος στην «απόδειξη» του παραπάνω συμπεράσματος, η οποία f ( ) f ( a) f '( a) lim a a f ( ) f ( a) ' ακολουθεί. f '( a) lim οπότε η f είναι συνεχής στο τυχαίο a ( a) ' f '( a) lim f '( ) a α D f. 8). Να υπολογιστούν τα όρια: e 1 i)lim ii) lim 0 e 0 186

Ενότητα 9). Να υπολογιστούν τα όρια: ln i) A lim ii)b= lim 0 0 1 1 iii) lim iv) = lim 0 0 10). Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και ισχύει η σχέση f ( ) f 5 ( ) 5 f ( ) για κάθε, να υπολογίσετε το lim. 0 11). Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f :, η οποία ικανοποιεί τη σχέση ( ) f e f ( ) e για κάθε. ae e 1). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε lim 4. 0 1). Δίνεται η συνάρτηση f :, η οποία είναι παραγωγίσιμη και έχει την ιδιότητα f ( ) f ( ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι: f ( ) i)lim 1, ii) το 0 είναι τοπικό ελάχιστο της f. 0 14). Να βρεθούν οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των 1 i) f ( ) ii)g()= 1 συναρτήσεων: 1 1 iii) h( ) iv)φ()= 9 15). Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 5 i) f ( ) ii)g()= 5 6 e e iii) h( ) iv)φ()= e e 16). Να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 1 4 i) f ( ) ii)g()=++ 9 e 7 8 4 1 iii) h( ) iv)φ()= 17). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ, ώστε οι ευθείες με εξισώσεις = - και y = 4 να είναι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της ( a ) 1 συνάρτησης f ( ). a 6 18). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 4 μόνο μία κατακόρυφη ασύμπτωτη. Να βρεθεί α, ώστε η C f να έχει 187

Ενότητα a 5 19). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθούν οι τιμές των α, β, ώστε η C να έχει ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y. Ποιες είναι οι f άλλες ασύμπτωτες της C f ; 0). Η συνάρτηση f έχει στο - ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε να είναι ( ) lim 4 f f ( ) 1 1). Να αποδείξετε ότι: i) lim 1 ii) lim 0 0 0 e 1 ln iii) lim 0 iv) lim 0 0 1 ln e ). Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει η σχέση ( ( ) ) ( ( ) e f e f e ) 1 για κάθε. ). Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, να αποδειχθεί ότι f ( h) 5 f ( h) f ( h) 5 f ( h) lim 10 f ''( ),. h0 h 4). Να αποδειχθεί ότι: 1 1 i)lim ii) lim 0 0 5 6 ln 1 ln ( 1) iii) lim iv) lim 0 0 ( ) 4 0 1 e 1 e 1 ( ) 1 v) lim vi)lim 0 1 0 5 4 5). Να υπολογιστούν τα όρια: ln ln 1 i) A lim ii)b= lim + 1 ln 1 ln( e ) iii) lim iv) = lim + e ln( e ) 1 6). Μια συνάρτηση f έχει την ιδιότητα f ( ) για κάθε. Να αποδειχθεί ότι η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη. 7). Αν η συνάρτηση f παραγωγίζεται στο και είναι f ( ) f (0) f '(0) 0 f''(0)=, να αποδείξετε ότι lim 1. 0 f '( )ln( 1) 188

Ενότητα a, <0 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 4 β+αln(1+ ), 0 i) Να βρεθούν οι α και β, ώστε η f να παραγωγίζεται στο. Για α = 1 και β =, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και να λυθεί η εξίσωση f () =. a, <0 9). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρεθούν οι α και 4 β+αln(1+ ), 0 β, ώστε η f να παραγωγίζεται στο. 0). Να υπολογίσετε τα όρια: e e i) A lim ii)b= lim 0 1 ln( ) iii) lim 0 1 e 1). Η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει η σχέση f ( ) f '( ) e f ( ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι lim. 0 4 ). Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν lim f ( ) lim ( f ( ) f '( )) 5 να αποδείξετε ότι lim f '( ) 0. + ). Η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύουν f '''( ) lim f ( ) lim f '( ) lim f ''( ) lim e. Να υπολογίσετε το + f ''( ) f ( ) lim. f '( ) 4). Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, τότε να 10 f ( h) 15 f ( h) 8 f ( h) f ( h) υπολογίσετε το L lim h0 h 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln ln 1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f () = 0. iii) Να εξετάσετε αν η C f έχει ασύμπτωτες. f ( ) iv) Να υπολογίσετε το lim. 1 ( 1) Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Πότε η ευθεία με εξίσωση 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f ; ii) Πότε μια ευθεία με εξίσωση y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο ή στο ; ii) 189

Ενότητα iii) Που αναζητούμε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης; iv) Μπορεί η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης να έχει περισσότερες από ή άπειρες κατακόρυφες ασύμπτωτες; v) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ). vi) Μέχρι πόσες οριζόντιες ασύμπτωτες μπορεί να έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ; vii) Πότε μια ευθεία με εξίσωση y λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + ή στο - ; viii) Πόσες το πολύ πλάγιες ασύμπτωτες έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Αν η ευθεία με εξίσωση y = λ + β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της C f, ποιες σχέσεις δίνουν τους λ και β; ii) Παρατηρώντας τον τύπο της συνάρτησης f ( ) 1 e, να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης. iii) Πότε η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης έχει: α) κατακόρυφες ασύμπτωτες, β) οριζόντιες ασύμπτωτες, γ) πλάγιες ασύμπτωτες; iv) Πού αναζητούμε γενικά τις ασύμπτωτες της C f ; v) Πότε η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης έχει ασύμπτωτη και ποια είναι αυτή; vi) Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital. vii) Να βρείτε το λάθος στους παρακάτω υπολογισμούς: ' ' e 1 ( e 1) ( e 1) e 1 A lim lim lim lim 0 0 ' 0 ' ( ) ( ) 0 Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Η ευθεία με εξίσωση = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f όταν ένα.. από τα όρια και.. είναι ίσο με.. ή 5 ii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) έχει 6 9 κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση διότι. =. iii) Η ευθεία με εξίσωση λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + ή στο - όταν.. ή.. αντίστοιχα. 190

Ενότητα 5 iv) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση και στο - την ευθεία με εξίσωση.. διότι. και.. v) Η ευθεία με εξίσωση. λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + ή το - όταν.. ή. αντίστοιχα. vi) Αν η ευθεία με εξίσωση y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +, τότε λ =.. και β =.. Οι ίδιοι τύποι ισχύουν και όταν η παραπάνω ευθεία είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο f vii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 4 έχει πλάγια ασύμπτωτη και στο + και στο - την ευθεία με εξίσωση.. viii) Για να εφαρμόζονται οι κανόνες de L Hospital, πρέπει το f ( ) lim να οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή.ή 0 g ( ) και οι f και g να είναι παραγωγίσιμες κοντά στο 0.Αν επιπλέον υπάρχει το. πεπερασμένο ή άπειρο, τότε e 1 i) Αν Α = lim, τότε Α = 0 ) Αν Β = lim ln, τότε Β = 0 i) Αν το lim( f ( ) g( )) οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή 0, ii) a τότε γράφουμε f ( ) g( )... ή f ( ) g( )... Αν το lim( f ( )) g a ( ) 0, τότε γράφουμε lim( g ( ) ln f ( )). a οδηγεί στην απροσδιόριστη μορφή g( ) ( ( ))... f και βρίσκουμε το 0 0 ή Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 4 κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις: A. 4 B.=4 και =-4.=1.= και =- Ε. δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες έχει 191

Ενότητα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση: A. B.y=1.y= 1.y= E.=-1. Η πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ) 5 6 και στο + και στο - είναι η ευθεία με εξίσωση : A. y B.y=6+5.y=0.y= Ε. δεν υπάρχει πλάγια ασύμπτωτη 4. Αν η ευθεία με εξίσωση y a είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο, τότε: f ( ) A. a lim B. = lim ( f ( ) a) + f ( ). a lim ( f ( ) ). = lim + f ( ) E. a lim 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Η πλάγια ασύμπτωτη της C f έχει εξίσωση: A. y B.y=-4.y=-.y=+ E.y=-1 6. Αν η ευθεία με εξίσωση = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της 5 γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ), a A. a 1 B. =-1. =5 τότε:. =-5 E. =- 7. Αν L lim, τότε: 0 A. L B.L=- 1.L=-. L 7 E.το L δεν υπαρχει 1 8. Αν Κ = lim, τότε: 1 A. K B.K=- Γ.το Κ δεν υπαρχει Δ.Κ=1 Ε.Κ=-1 9. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) ln( 1) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση: 1 19

Ενότητα A. 0 B.=-1. y 0. e 1 Ε. δε έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη 10. Αν L lim ln, τότε: 0 A. L 1 B.L=0.L=-.L=5 E. το L δεν υπαρχει Ασκήσεις αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις της στήλης Α με τις εξισώσεις των κατακόρυφων ασύμπτωτων των γραφικών παραστάσεων που βρίσκονται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. f ( ) 1. f ( ) 1 1. f ( ) 4 4. f ( ) α) Δεν υπαρχουν κατακορυφες ασυμπτωτες ) 1 και =-1 γ) = δ) = ε) = και =- στ) =-1 Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις της στήλης Α με τις εξισώσεις των πλάγιων ασύμπτωτων των γραφικών τους παραστάσεων που βρίσκονται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α 1. f ( ). f ( ). f ( ) 1 e 4. f ( ) 4 1 e ΣΤΗΛΗ Β a) y ) y 5 και y=+6 γ) y=-+ ) y=+ ) y=+1 ) y= Να αντιστοιχίσετε τα όρια της στήλης Α με τις τιμές τους που βρίσκονται στη στήλη Β. 1.lim 0 ln( 1) 1.lim 0 4 ln 4. lim ln.lim 0 1 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 19 a) 0 β) γ) - δ) 1

Ενότητα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό ή Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Αν η ευθεία με εξίσωση = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f τότε lim f ( ) ή. ii) iii) 0 Η ευθεία με εξίσωση = 1 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( ). 1 Στο διπλανό σχήμα η ευθεία με εξίσωση = είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f και η ευθεία με εξίσωση y = είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C f. O y -1 - - -4-1 - - -4-5 O O iv) Αν η ευθεία με εξίσωση y = μ είναι ασύμπτωτη της C f στο -, τότε lim f ( ). v) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει το πολύ δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες. vi) Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης έχει οριζόντιες ασύμπτωτες, τότε δεν έχει κατακόρυφες. vii) Αν lim ( f ( ) 5) 10, τότε η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη viii) στο + την ευθεία με εξίσωση y = 15. Στο διπλανό σχήμα η O y C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση = 1 και πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = 1. -1 - - -4-5 -6-7 -8-1 - - -4-5 -6-7 -8 O 1 Ο π/4 O i) Αν lim ( f ( ) ) 5, τότε η C f έχει στο - πλάγια σύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = +5. 194

Ενότητα ) Αν η C f έχει στο + πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = λ + β, τότε έχει στο - πλάγια ασύμπτωτη την ευθεία με εξίσωση y = -λ β. i) Αν μια ευθεία είναι ασύμπτωτη της C f και στο +. ii) Η C f δεν τέμνει τις οριζόντιες και τις πλάγιες ασύμπτωτες της σε κανένα σημείο. iii) Στο διπλανό O σχήμα η C f δεν y έχει ασύμπτωτες. 1-1 - - -4-1 - - -4 O O Να εξετάσετε ποιοι από τους ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ), g()=συν, h()=εφ και φ()=σφ δεν ε χουν οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη. ii) Δεν υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση να έχει ασύμπτωτη. iii) f ( ) Αν το Α = lim a g ( ) έχει τη μορφή 0 0 ή, τότε Α = f '( ) lim. a g '( ) iv) e 1 ln Είναι lim 1 και lim 1. 0 1 1 v) Ισχύει ότι lim( ln ) 0. 0 vi) Αν f ( ), τότε με τον κανόνα de L Hospital 1 προκύπτει ότι lim f ( ) 1. ln vii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) έχει ασύμπτωτες τις ευθείες με εξισώσεις = 0 και y = 0. viii) Αν σε μια ρητή συνάρτηση f ο βαθμός του αριθμητή είναι κατά ένα μεγαλύτερος από τον βαθμό του παρονομαστή, τότε η γραφική παράσταση της f έχει πλάγια ασύμπτωτη. i) Αν η f είναι συνεχής στο, τότε η γραφική της παράσταση δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. ) Αν η f έχει πεδίο ορισμού το, τότε η γραφική της παράσταση δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. 195

Ενότητα i) Αν f ( ) e, τότε η C f έχει μόνο πλάγια ασύμπτωτη στο -, την ευθεία με εξίσωση y. ii) Είναι lim( ) 1. 0 Τεστ Θέμα 1 ο Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f ( ) ii)g()= e 1 ln( 1) Θέμα ο e Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. 196

Ενότητα 4 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ασκήσεις για λύση 4 1). Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ( ) 4 11 και να κάνετε τη γραφική της παράσταση. 4 ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 1 i) Να βρείτε την f. ii) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. iii) Να βρείτε την f. iv) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f. v) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f. vi) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. vii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. ). Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i) f ( ) 9 1 5 ii)g()= 1 iii) h( ) 1 iv)φ()= 1 9 4). Να μελετηθεί η συνάρτηση f ( ) και να γίνει η γραφική της 1 παράσταση. 4 5). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a a,. i) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από δύο σταθερά σημεία για κάθε α. ii) Να βρεθεί ο α, ώστε η ευθεία με εξίσωση y = 6 5 να εφάπτεται της C f στο σημείο M (1, f(1)) και να γίνει η γραφική παράσταση της f. 1 1 6). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) g()= i) Να μελετηθούν οι f 9 και g και να γίνει η γραφική τους παράσταση. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών των f και g. a 7). Δίνεται η συνάρτηση f ( ),,. i) Να βρείτε τους α και β, ώστε η C f να έχει σημείο καμπής το σημείο Μ(, ). 9 ii) Για τις παραπάνω τιμές των α και β να γίνει η γραφική παράσταση της f. 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e. i) Να μελετήσετε την f και να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της. ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της f. 197

Ενότητα 4 9). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln(1 ). i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να γίνει ο πίνακας μεταβολών της f και να βρεθούν οι ασύμπτωτες της C f. f ( ) 1 ln( ), (0,π). 10). Δίνεται η συνάρτηση i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα τοπικά ακρότατα, το κοίλα και να βρελιτε τα σημεία καμπής της C f. ii) Να γίνει ο πίνακας μεταβολών της f και να βρεθούν οι ασύμπτωτες της C f. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση της f. 4 5 11). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i) Να γίνει ο πίνακας μεταβολών της f. ii) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της C f. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση της f. 1). Να γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των συναρτήσεων: i) f ( ) (1 ) e ii) g()=1-+ln ( 1) 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 1 a) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. b) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα και να βρείτε τα σημεία καμπής της C f. c) Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών της f. d) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f. e) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. f) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 14). Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: 1 i) f ( ) ii) g()= e ln 198