Príklady, úlohy a problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 55 Príklady, úlohy a problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou Ľudia si často myslia, že múdrosť vchádza do hlavy očami a ušami, ale nie je to celkom pravda. V skutočnosti múdrosť vchádza do hlavy rukou, a to práve vtedy, keď ruka drží ceruzku a rieši úlohy či problémy. Nie je to tak len vo fyzike, ale aj v iných oblastiach ľudskej činnosti - napríklad v umení, kde je jednou vecou čítať si niečo o maliarstve či sochárstve, a druhou vecou skúsiť držať štetec či dláto v ruke. Na skutočnú znalosť predmetu treba asi vedieť niečo z oboch strán, teda aj z počutia a videnia (čítania), a predovšetkým z vlastnej skúsenosti. Význam riešenia úloh asi najkrajšie vystihuje Bohrov citát: "Odborníkom v danej oblasti je ten, kto už v nej urobil všetky chyby, čo sa dajú urobiť". A riešenie úloh - to už je naša interpretácia Bohrovej myšlienky - je vynikajúcou príležitosťou na robenie všetkých možných chýb a omylov. Kto neverí, nech skúsi. Preto v ďalšom uvedieme niekoľko úloh, ktoré sú rozdelené do dvoch častí. V prvej časti PRÍKLADY začneme s Avogadrovou konštantou, ktorá je vlastne prekladovým slovníkom pre prechod od jazyka veľkých telies našej každodennej skúsenosti k jazyku sveta atómov a molekúl, pričom sa budeme venovať aj ďalším otázkam preberaných v rámci tejto kapitoly. Pri niektorých úlohách uvedieme aj riešenie, pri iných len stručný návod a pri ďalších vôbec nič. Predpokladáme, asi naivne, že na riešenia a návody sa čitateľ pozrie až potom, keď už úlohu skúsil sám vyriešiť. Po tejto príkladovej rozcvičke, ktorej cieľom je predovšetkým zvyknúť si na základné pojmy a myšlienky tejto kapitoly, v druhej časti PROBLÉMY si môže čitateľ zdokonaliť svoju fyzikálnu intuíciu a pohľad na reálne situácie. Predtým kým sa čitateľ pustí do riešenia príkladov alebo problémov by sme ešte radi citovali nasledovné Wheelerovo prvé mravné ponaučenie 1 : Nikdy nezačínajte počítať, pokiaľ neviete, čo má vyjsť. Podľa Wheelera to znamená, že pred každým fyzikálnym výpočtom je potrebné vykonať odhad výsledku takpovediac na prstoch. Niekedy stačí, ak použijeme odhad z vlastnej skúsenosti, pretože táto situácia je pre nás známa. Inokedy postačí zaokrúhliť vstupné údaje tak, aby sa s nimi veľmi ľahko násobilo, sčítavalo, atď. Pritom stačí, ak v odhade bude správny rád výsledku. Pred každým fyzikálnym odvodzovaním skúste použiť jednoduché fyzikálne argumenty (Symetriu! Invariantnosť! Zákony zachovania!, atď.). Intuitívne hádajte riešenie každého problému, pričom nik nemusí vedieť, že ste hádali. Preto hádajte 1 Podľa knihy Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler - Spacetime Physics : Introduction to Special Relativity, W H Freeman & Co, 1992 (2. vydanie)

56 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky rýchlo inštinktívne. Správny pohľad tento inštinkt posilní. Zlý prinesie osviežujúce prekvapenie. V obidvoch prípadoch je však fyzika omnoho zábavnejšia. Príklady tejto druhej časti je potrebné chápať skôr ako problémy, resp. projekty, pri ktorých je potrebné predovšetkým hľadať dodatočné informácie, pretože súvisia s poznatkami presahujúcimi rámec tejto kapitoly (knihy). V dnešnej dobe veľmi cenným zdrojom informácií je okrem kníh predovšetkým Internet. Využite to. Niekde môžete urobiť aj dodatočné predpoklady. Často sa dajú využiť informácie z jedného problému v inom probléme. Problémy sú často doprevádzané návodmi aj s radami a pomocnými otázkami!!! V tomto prípade je čítať návody veľmi prospešné, ba niekedy nevyhnutné. Sledujte aj pomocné otázky, pretože aj správne klásť otázky je potrebné sa učiť, predstavuje to tiež isté umenie. * * * Príklady a úlohy Obr. 1. Schéma kryštálu kuchynskej soli. Plné guľôčky označujú atómy sodíka (Na), prázdne atómy chlóru (Cl) Príklad l. Kryštál NaCl má pravidelnú kubickú štruktúru. Predstavme si ju ako tesne pri sebe usporiadané kocky, pričom v ich vrcholoch sú striedavo atómy Na a Cl (obr. 1). Odhadnite vzdialenosť medzi atómom Na a susedným atómom Cl, ak viete, že hustota kryštalického NaCl je 2,16.10 3 kg.m -3 a že molekulová hmotnosť NaCl je 58,5 (atóm Na je 23-krát a atóm Cl 35,5-krát ťažší ako atóm vodíka). R i e š e n i e. V 1 m 3 je 2,16 10 n = 58,5 3 6 10 26 = 2,2 10 "molekúl" NaCl a teda 4,4.10 28 atómov bez ohľadu na to, či je to atóm Na alebo Cl. Ak si predstavíme celý kryštál rozdelený na malé kocky, pričom v strede každej z nich sa nachádza nejaký z atómov, potom na jednu kocku pripadne objem 3 3 1m 1m 29 = = 2,2 10 28 V = m n 4,4 10 Dĺžka hrany kocky d je rovná vzdialenosti dvoch susedných atómov a platí pre ňu d = V 22 10 m = 2,8 10 28 3 3 30 3 10 = 3 m Príklad 2. Za normálnej teploty sa plynný vodík skladá z molekúl H 2, ktoré obsahujú dva spolu viazané atómy vodíka. Pri veľmi vysokých teplotách sa každá z molekúl štiepi na dva atómy. Na takéto rozštiepenie je potrebné dodať jednému kilomólu H 2 (t. j. 2 kilogramom) energiu 433 400 kj. Aká energia je potrebná na roztrhnutie jednej molekuly H 2, (túto energiu nazývame väzbovou energiou molekuly)? R i e š e n i e je jednoduché 433400kJ 19 E = = 7,2 10 J 26 6 10

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 57 Príklad 3. Odhadnite energiu potrebnú na vytrhnutie jednej molekuly H 2 O z vody, ak viete, že na vyparenie jedného kilomólu vody, t. j. 18 kg (už zohriatych na 100 C) potrebujeme dodať energiu zhruba 38 000 kj. R i e š e n i e. Postupom podobným ako v predchádzajúcom príklade dostaneme E = 0,36 ev Príklad 4. Koľko energie by sme potrebovali na to, aby sme previedli 1 g atomárneho vodíka zo základného stavu do prvého excitovaného stavu? Porovnajte vypočítanú energiu s energiou, ktorú vydá 100W žiarovka za 1h. R i e š e n i e. Podľa obr. 1.14 vidíme, že rozdiel energie medzi základným stavom atómu vodíka a jeho prvým excitovaným stavom je ( 3,4 ev) ( 13,6 ev) ~ 10 ev. Jeden gram atomárneho vodíka obsahuje zhruba 6.10 23 atómov. Potrebujeme teda energiu 10.6.10 23 ev =! 10 6 J 100 W žiarovka vydáva za 1sekundu 100 Joulov energie (svetelnej aj tepelnej dokopy). Teda 10 6 J zodpovedá 10 4 sekundám, čo je približne 2 a 3/ 4 h. Príklad 5. Skúste odhadnúť výhrevnosť uhlia. R i e š e n i e. Pri chemických reakciách nastávajú zmeny v energetických hladinách atómov, ktoré sa na reakcii zúčastňujú. Z tabuľky energetických hladín v atóme vodíka vidno, že rozdiely medzi energetickými hladinami sú rádovo niekoľko ev. Pri horení uhlia prebieha reakcia C + O 2 CO 2 a možno očakávať, že pri vzniku jedinej molekuly sa uvoľní niekoľko ev. Zoberme pre kvalitatívnu orientáciu 2 ev. V 1 kg uhlia je 6.10 26 /12 atómov uhlíka (atómová hmotnosť uhlíka je 12). Energia uvoľnená pri spálení 1 kg preto bude približne E = 0,5. 10 26. 2 ev = 0,5. l0 26. 3,2. 10 19 J = 16. 10 6 J Výsledok rádovo súhlasí so skutočnosťou: čierne uhlie má 27. 10 6 J, antracit o 20 % viac, hnedé uhlie o dajakých 30 % menej. Z výsledku vidno, že sme energiu uvoľnenú pri zlučovaní trocha podcenili. To nám ale práve teraz veľmi neprekáža, lebo sme chceli len približný, rádový odhad. Poznámka. Z predchádzajúcich príkladov vidno, že meraním makroskopických veličín, ako napr. tepla potrebného na vyparenie istého množstva látky a pomocou Avogadrovej konštanty, sa môžeme dozvedieť niečo o takej závažnej veličine atómovej fyziky, ako je väzbová energia jednotlivých látok. Uvádzame tu tabuľku (tab. 1) väzbových energií niektorých látok 2. Pri pohľade na takúto tabuľku vznikajú prirodzene otázky o príčinách veľkých rozdielov medzi jednotlivými energiami väzby. Tieto rozdiely sú dané rozdielmi v štruktúre atómov a v ich vzájomných pôsobeniach. A to je jedna z otázok, ktorými sa úspešne zaoberá súčasná kvantová teória. Faradayov náboj a všetko, čo s ním súvisí, sa preberá podrobne v gymnaziálnych učebniciach fyziky. Uvedieme preto na ukážku iba jeden príklad, ktorý je priamo z učebnice pre III. ročník. Látka tuhý argón tuhý metán voda kovový sodík kuchynská soľ diamant Energia väzby 0,08 ev/atóm 0,1 ev/molekulu 0,36 ev/molekulu 1,1 ev/atóm 3,28 ev/atóm Tab. 1 7,4 ev/atóm Príklad 6. Koľko medi sa vylúči z roztoku CuSO 4 za tri dni prúdom 10 A? 2 Tabuľka je prebraná z knihy A. Beiser: Úvod do moderní fyziky, Academia, Praha 1975, kde sa možno dozvedieť aj ďalšie veci o energii väzby.

58 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky R i e š e n i e. V roztoku je meď ako dvojmocný ión Cu ++. Na vylúčenie 1 kilomólu medi, t. j. okolo M = 63,5 kg treba potom dvojnásobok Faradayovho náboja F = 96 520 kc/mol. Jeden deň má 3600.24 = 86 400 sekúnd, tri dni majú zhruba 2,6.10 5 s a pri prúde rovnom 10 A pretečie za celý čas náboj 2,6.106 C = Q. Spolu sa teda vylúči Q F 2,6.10 M = 2.96,5.10 2 6 6 63,5kg = 0,86 kg * * * Informácie o pomere náboja a hmotnosti elektrónu pochádzali historicky z pokusov s pohybom elektrónov v elektrických a magnetických poliach. Dnes, keď náboj aj hmotnosť elektrónu dobre poznáme, možno ich využiť na predpovedanie pohybu elektrónov v elektrických a magnetických poliach. Prípadom týchto javov v našom naozaj každodennom živote je pohyb elektrónového lúča v televízore 3. Príklad 7. Elektrón urýchlime potenciálovým rozdielom 100 V. Aká bude jeho rýchlosť? R i e š e n i e. Energia elektrónu bude E = 100eV = 1,6. 10 17 J. Energiu možno písať potom ako mv 2 /2, kde m = 9. 10 31 kg je hmotnosť elektrónu. Porovnaním oboch veličín dostaneme v = 1/ 2 2E 7 m = 0,6.10 m/s čo je rovné asi 0,02 rýchlosti svetla. Takýto elektrón môžeme bezpečne považovať za nerelativistický, lebo v << c. Príklad 8. Elektrón urýchlený potenciálovým rozdielom 100 V vletí do kondenzátora, ktorého dĺžka je l = 10 cm, vzdialenosť platní je d = 10 cm a rozdiel potenciálov na platniach U = 30 V. Aká bude výchylka elektrónu od pôvodného smeru rovnobežného s platňami? (Pozri obr. 2.) R i e š e n i e. Rýchlosť elektrónu v poznáme už z predchádzajúceho príkladu. Cez kondenzátor s dĺžkou l preletí elektrón za čas l t = v Vnútri kondenzátora naň bude pôsobiť sila ee, ktorá mu udeľuje zrýchlenie v smere osi y rovné ee/m. Za čas t nadobudne elektrón v smere osi y rýchlosť ee v y = t = m ee m l v Intenzita elektrického poľa E = U/d = 300 Vm -1. Po dosadení v y = 0,9. 10 6 ms 1 3 Úvahy o spoločenskej zodpovednosti vedcov sú často jednou z "veľkých tém" rôznych diskusií. Vedecké výsledky poskytujú iba možnosti a využitie týchto možností už nie je v rukách tých, ktorí ich objavili. Sotva možno vedcov, ktorí prišli na to, ako sa elektróny pohybujú v elektrickom poli, brať na zodpovednosť za kvalitu televíznych programov. V iných kontextoch je ale otázka niekedy trocha iná.

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 59 Odchýlku od pôvodného smeru by sme určili z podmienky v y tgα = v Poznamenajme ešte, že fyzikálne je príklad úplne ekvivalentný vodorovnému vrhu, pri ktorom sa častica pohybuje rovnomerne v smere osi x a rovnomerne zrýchlene v smere osi y (obr. 2). Obr.2 Elektrón prechádzajúci medzi platňami kondenzátora. Platňa D 1 je nabitá záporne, platňa D 2 kladne, SN označuje časť steny sklenenej nádoby, v ktorej je kondenzátor. Bod P je miestom, kde dopadá elektrónový zväzok (t. j. katódové lúče) pri nenabitých platniach, do bodu P' dopadá lúč pri nabitých platniach. V oboch prípadoch možno pozorovať svetielkovanie v bodoch dopadu elektrónového lúča na sklenú stenu trubice Príklad 9. Elektrón urýchlený potenciálovým rozdielom 100 V vletí do homogénneho magnetického poľa s intenzitou 10-4 T. Ako sa bude tento elektrón ďalej pohybovať? Pre porovnanie hodnotaintenzity magnetického poľa Zeme, je priibližne 0,5 G (gauss) 4. R i e š e n i e. Sila pôsobiaca na nabitú časticu v magnetickom poli je daná výrazom F = q v B kde q je náboj častice. Ak v a B sú navzájom kolmé, sila F bude kolmá aj na v aj na B a jej absolútna hodnota (pre elektrón s nábojom e) bude F = evb Ak je sila kolmá na rýchlosť a je konštantná, je to rovnaké ako pri rovnomernom pohybe po kružnici, kde musí pôsobiť dostredivá sila rovná mv 2 /r. Elektrón sa skutočne bude pohybovať po kružnici (nebudeme to podrobnejšie zdôvodňovať) a polomer trajektórie bude daný podmienkou Odtiaľ máme mv r 2 = evb mv r = eb a ak dosadíme všetky veličiny, v SI sústave dostaneme 31 7 9.10.0,6.10 1 r = = 3,4.10 m = 34 cm 19 4 1,6.10.10 4 Údaj o magentickej indukcii Zemského magnetického poľa prebraný z Encyklopédie Britannica, 2001, heslo: magnetosphere. V jednotkách SI je 1 G(gauss) =10-4 T (tesla)

60 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky Obr. 3 Parameter zrážky b pre zrážku protónu p s jadrom zlata Au Poznámka: V oboch predchádzajúcich prípadoch bola trajektória elektrónu daná vonkajšími poľami a pomerom e/m, preto možno meraním trajektórie vo vonkajších poliach určiť práve tento pomer. Príklad 10. Protón s kinetickou energiou 3 MeV = 3.10 6 ev priletúva k jadru atómu zlata so zrážkovým parametrom b = 5,0. 10 13 m. Odhadnite, o aký uhol od pôvodného smeru sa rozptýli. N á v o d. Uvažujte podobne ako v článku 3 pri skúmaní Rutherfordovho rozptylu. Presvedčite sa o tom, že v našom prípade môžeme použiť vzťah (1*) z článku 3, pričom namiesto R položíme parameter zrážky b a namiesto náboja 2e pre α časticu berieme náboj protónu. Parameter zrážky je naznačený na obr. 3. Príklad 11. Plynný vodík zohriaty na veľmi vysokú teplotu vyžaruje (okrem iného) žiarenie s vlnovou dĺžkou λ = 656,5 nm, čo je čiara červenej oblasti spektra. Pokúste sa nájsť vysvetlenie. R i e š e n i e. Energia príslušného fotónu je E = " ω = 2π" ν = 2π" c / λ =1,9eV Podľa obr. 2.14 takáto energia práve odpovedá prechodu zo stavu s energiou E 3 do stavu s energiou E 2. Príklad 12. Akú vlnovú dĺžku musí mať žiarenie, ktoré je schopné vyraziť elektrón z atómu vodíka a akú farbu bude mať takéto žiarenie? R i e š e n i e. Podľa obr. 1.14 potrebujeme na vyrazenie elektrónu z atómu vodíka energiu väčšiu alebo rovnú 13,6 ev. Preto musí platiť " ω = 2 π" c / λ > 13,6 ev a odtiaľ nájdeme λ < 91,2 nm. Takéto žiarenie neuvidíme, lebo príslušné vlnové dĺžky ležia v oblasti ultrafialového žiarenia. Príklad 13. Sklo je priesvitné pre žiarenie s dĺžkami vĺn z oblasti viditeľného svetla. Skúste nájsť význam tejto skutočnosti z hľadiska atomárnej štruktúry skla. R i e š e n i e. Fotóny z oblasti viditeľného svetla majú energie 1,6 ev až 3,3 ev (presvedčite sa o tom). Takéto žiarenie je silne pohlcované určitým materiálom iba vtedy, ak v ňom existujú stavy s energiami o 1,6 ev až 3,3 ev vyššími, ako je základný stav. Takých hladín v skle zrejme niet. Príklad 14. Anténa vyžaruje na frekvencii 1 MHz (frekvencia ν = = 10 6 s 1 ), jej výkon je 1 W. Koľko fotónov je vyžiarených za 1 s? Príklad 15. Žiarovka s výkonom 40 W je zavesená na lúke na strome vo vzdialenosti 1 km od nás. Odhadnite počet fotónov, ktorý nám padne do oka za 1 s! Príklad 16. Nájdite energiu fotónu s vlnovou dĺžkou λ = 582,6nm. Takéto svetlo vzniká v sodíkovej výbojke.

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 61 Príklad 17. Molekula CO absorbuje silné žiarenie s frekvenciou ν= 1,153. 10 5 MHz (mikrovlnná oblasť). Ako to možno vysvetliť? R i e š e n i e. Energia fotónu prislúchajúca tejto frekvencii, je E = 2π" ν = 4,5.10 ev Výsledok interpretujeme tak, že nad základnou hladinou molekuly CO leží druhá hladina, ktorá má energiu o 4,5.10 4 ev vyššiu ako základná hladina. Doteraz sme videli, že preskupenia elektrónov v atómoch a molekulách spôsobujú energetické rozdiely rádovo 1-10 ev. Malá hodnota energie E v ostatnej rovnici potom asi odpovedá tomu, že spomínané dva stavy molekuly CO sa neodlišujú usporiadaním elektrónov, ale niečím iným. Skutočne, molekula CO vo vyššom zo spomínaných stavov rotuje okolo osi kolmej na spojnicu stredov atómov C a O. Malý rozdiel energií je daný malou energiou tohto rotačného pohybu. To, že spektrálna čiara je ostrá, ukazuje, že aj tento rotačný pohyb je kvantovaný. 4 Príklad 18. Experiment ukazuje, že pri sodíku nastáva fotoelektrický jav len vtedy, ak naň dopadá svetlo s vlnovou dĺžkou menšou ako λ 0 = 539 nm. Vypočítajte výstupnú prácu pre sodík! Akú rýchlosť majú elektróny, ktoré vyletujú zo sodíkovej katódy, ak ju osvetlíme modrým svetlom ortuťovej výbojky? Toto svetlo má vlnovú dĺžku λ = 436 nm. Príklad 19. V r. 1916 urobil Millikan presné merania Planckovej konštanty h štúdiom fotoelektrického javu na sodíkovej katóde (výsledky boli publikované v časopise The Physical Review, zväzok 7, str. 355., r. 1916). Na sodík dopadalo svetlo rôznych vlnových dĺžok a energia uvoľnených elektrónov sa merala tak, že sa meralo napätie na mriežke potrebné na ich zabrzdenie. V Millikanovej tabuľke (tab.2) sú vlnové dĺžky dopadajúceho svetla a príslušné kinetické energie elektrónov uvoľnených z katódy. Zostrojte graf závislosti energie dopadajúcich fotónov od energie vyrazených elektrónov a nájdite odtiaľ hodnotu Planckovej konštanty a výstupnej práce pre sodík. Vychádzajte z Einsteinovho vzťahu " ω = 2π" c / λ = Ekin + A kde A je výstupná práca. Pre kontrolu určite ", A z prvého a posledného údaja v tabuľke. λ (nm 312,5 365 404,7 433,9 546,1 Tab. 2 E kin (ev) 2,128 1,595 1,215 1,025 0,467 Príklad 20. Elektromagnetické žiarenie, dnes dobre známe a hojne používané v technických aplikáciách, pokrýva obrovskú oblasť frekvencií a dĺžok vĺn. Podľa dĺžky vĺn delíme žiarenie zhruba takto: Názov dlhé vlny rozhlasové vlny s amplitúdovou moduláciou televízne vlny a rozhlasové vlny s frekvenčnou moduláciou mikrovlny infračervené žiarenie viditeľné svetlo ultrafialové žiarenie röntgenové žiarenie gama žiarenie Dĺžka vlny viac ako 1 000 m 50 m 1 000 m 0,5 m 50 m 10 3 m 0,5 m 7,6. 10 7 m 10 3 m 3,6. 10 7 m 7,6. 10 7 m 10 8 m 3,6. 10 7 m 10 11 m 10 8 m menej ako 10 11 m

62 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky Tab. 3 Doplňte tabuľku tak, že ku každému riadku uvediete príslušnú frekvenciu (v Hz) a energiu fotónov (v ev). Porovnajte s tabuľkou uvedenou na vnútornej strane väzby v knihe A. Beiser: Úvod do moderní fyziky, Academia Praha, 2. vydanie, 1978. Poznamenávame ešte, že hranice medzi jednotlivými oblasťami nie sú pevne stanovené. * * * Problémy V nasledujúcej časti nájdete ďalšie príklady - problémy, ktoré predstavujú iba malý náznak javov, do ktorých zasahuje kvantová teória. Vzhľadom na celkových rozsah týchto problémov je veľmi obtiažne riešiť ich za zvyčajne krátku dobu ako v prípade predchádzajúcich príkladov. Ich riešenie vyžaduje ďalšie hľadanie, zhromažďovanie informácii a ďalšie štúdium. Problémy sú rôznej zložitosti a mnohé z nich, tie náročnejšie, je možné použiť (prípadne preformulovať) ako projekty, ktoré možno spracovať efektívne pri tímovej práci a pod. Keďže rozsah textov problémov je omnoho väčší ako u predchádzajúcich príkladov uvádzame pre jednoduchšiu orientácii zoznam všetkých problémov: (1) Fotóny okolo nás... 63 (2) Materiál pre fotočlánok...63 (3) Atómová hypotéza - veľkosť atómov... 64 (4) Veľkosť a hustota jadra...64 (5) Citlivosť oka a biofyzika...65 (6) Solárne panely......66 (7) Plášť družice a nabíjanie... 67 (8) Ako rýchlo konzumuje elektrón žiarenie?...68 (9) Koľko % energie premieňa žiarovka na svetlo?...68 (10) Slnko, Mesiac a sviečka... 70 (11) Mihotanie (jaganie) hviezd... 71 (12) Prečo prechádza atóm do základného stavu?... 72 (13) Atómové hodiny a dilatácia času... 74 (14) Hybnosť fotónu...... 77 (15) Iné odvodenie vzorca pre Comptonov rozptyl... 77 (16) Skúmanie Comptonovho rozptylu...78 (17) Inverzný Comptonov rozptyl... 78 (18) Fotónová raketa...79 (19) Fotónová raketa - anihilácia hmoty...79 (20) Projekt NASA... 80

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 63 Problém 1. FOTÓNY OKOLO NÁS Terajšia dôležitosť a použiteľnosť poznatkov kvantovej fyziky už nie je obmedzená len na niekoľko exotických javov vzdialených od bežného života. V súčasnosti totiž niet oblasti, kde by výdobytky tejto teórie nezasiahli. Spomenieme napríklad integrované obvody, lasery, atómové césiové hodiny, či elektrónovú mikroskopiu, ktorých správanie je popísané kvantovou fyzikou. Vďaka týmto veciam fungujú počítače, mobilné telefóny,... v skratke moderné informačné technológie. Zásluhou kvantovej teórie nám život uľahčujú, ale aj spríjemňujú už bežné CD a DVD prehrávače a taktiež zachraňujú mnohé diagnostické a liečebné metódy v medicíne. Nakoniec nemôžeme opomenúť, že bez atómových hodín by nebola možná satelitná navigácia (GPS - globálny systém zisťovania polohy), ktorá revolučným spôsobom mení riadenie a bezpečnosť leteckej, ale aj automobilovej dopravy; bohato sa využíva pri záchranárstve, turistike, ale aj výskume, výrobe máp, či štúdiu zeme, a taktiež sľubuje napr. nevídanú pozitívnu zmenu pre pohyb nevidiacich Vytvorte tabuľku, v ktorej porovnáte energie, hybnosti, vlnové dĺžky, či frekvencie u fotónov vysielaných z mikrovlnej rúry, z lekárskeho röntgenu, mobilného telefónu, laseru CD-ROM v počítači, atómových césiových hodinách. Téma na diskusiu (referát) Využitím encyklopédií, Internetu alebo vlastných skúseností pokúste sa doplniť tabuľku o nové prístroje. Skúste nájsť stručné kvalitatívne vysvetlenie funkcie týchto prístrojov, kde sa uplatňujú spomínané fotóny; kde a kedy sa zúčastňujú pri fungovaní prístroja N á v o d: Tento problém je pokračovaním príkladu 20. Príslušné informácie možno veľmi efektívne vyhľadať na INTERNETE. Využite napr. svoj obľúbený internetový vyhľadávač. Dávame do pozornosti v súčasnosti populárny vyhľadávač <http://www.google.sk>, príp. <http://www.google.com>. Napr. po vložení hesiel: atómové hodiny k dátumu 04.11.2002 dal počítač na tejto adrese 161 odkazov na slovenských stránkach. Pri vložení slov: cesium atomic clock ponúkol 6490 liniek na stránkach vo svete. Jednou z prvých a zaujímavých bol odkaz. <http://tycho.usno.navy.mil/cesium.html> 5. K téme na diskusiu vrelo odporúčame vynikajúcu stránku so spoľahlivými informáciami o tom, ako fungujú prístroje a veci, ktoré bežné používame: <http://www.howstuffworks.com.> Samozrejme netreba zabúdať na encyklopédie, resp. kroniky, napr. kronika techniky 6, či encyklopédia astronómie (pozri poznámku č. 29) 5 Funkčnosť všetkých internetových odkazov uvedených pri týchto problémoch bola preverená ku dňu 04.11.2002. 6 Kronika Techniky, Fortuna Print, Bratislava, 1992

64 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky Problém 2. MATERIÁL PRE FOTOČLÁNOK Hľadáme látku pre fotočlánok, ktorý bude pracovať na princípe fotoelektrického javu s viditeľným svetlom. Ktorý materiál by ste vybrali a prečo: tantal, volfrám, hliník, báryum, lítium. Téma na diskusiu (referát) Ak by ste boli prezidentom fabriky, ktorá má vyrábať takéto články, aké faktory by mohli zohrať hlavnú úlohu? Napr. bude dôležitý výskyt prvku v prírode? Ktorý štát by ste si v súvislosti s tým vybrali? Brali by ste do úvahy faktory životného prostredia (napr. toxicita prvku)? Nákladnosť ťažby a jej dopad na krajinu? N á v o d: Od ktorých veličín závisí fotoelektrický jav? Kedy prebieha fotoelektrický jav ľahšie? Ktorá fyzikálna veličina je dôležitá? Vyhľadajte si potrebné údaje a potom urobte záver. Problém 3. ATÓMOVÁ HYPOTÉZA (VEĽKOSŤ ATÓMOV ) Predstavte si, že sa vám zlomí hrot ceruzky pri písaní. a) Odhadnite koľko atómov je v danom zlomenom hrote. b) Ak by sme mali imaginárnu pinzetu a každú sekundu by sme pomocou nej odobrali jeden atóm, ako dlho by nám to trvalo? Porovnajte s vekom vesmíru. Koľko % by sme z hrotu ceruzky odobrali za vek vesmíru? c) Teoreticky na koľko krát treba ešte rozrezať tento hrot ceruzky (to jest robiť polovicu z polovice), aby sme dosiahli veľkosť atómu? Odhadnite čas, ktorý by Vám to trvalo. d) Z vodovodu kvapká voda. Koľko molekúl vody spadne do umývadla v jednej kvapke. Téma na diskusiu (referát) Myslíte, že existuje takáto pinzeta, z ktorou by sa dalo manipulovať s jednotlivými atómami? Ak áno, popíšte kvalitatívne jej činnosť. Čo si myslíte, ako sa teraz vyrábajú mikročipy, integrované obvody do počítačov? N á v o d: Urobte rozumné odhady veličín, ktoré potrebujete. Opäť využite všetky dostupné informačné zdroje (konštanty z tejto kapitoly 2, ďalej matematickofyzikálne tabuľky, encyklopédie, Internet). Ideálne je rozdiskutovať spoločne v skupine, aké veličiny potrebujeme. Problém 4. VEĽKOSŤ A HUSTOTA JADRA Predstavte si, že držíte guličku v ruke. Odhadnite hmotnosť guličky, ktorú by mala, keby hmota v atóme dosahovala tú istú hustotu ako v jadre. Porovnajte s hmotnosťou Zeme; Slnka. Téma na diskusiu (referát)

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 65 Existujú objekty s tak vysokou hustotou, alebo aspoň s extrémnou hustou vzhľadom na našu slnečnú sústavu? Skúste nájsť v literatúre reálne objekty, ktoré by mohli mať takú hustotu. Aké sú dôkazy pre existenciu takýchto objektov? N á v o d: Urobte rozumné odhady. Aká veľká môže byť gulička? Kedy vlastne, pri akých rozmeroch, hovoríme, že guľový objekt je pre nás guličkou? S guličkou s akého materiálu ste sa stretli? Aké rozmery má zhruba jadro a aké atómový obal pre atómy guličky? Koľko jadier sa zhruba zmestí do celého atómu? Ak potrebujete číselné údaje, ktoré nie sú v tejto knihe, hľadajte vo všetkých dostupných informačných (ale dôveryhodných zdrojoch.) K téme na diskusiu pridávame pomocnú poznámku: Sírius najjasnejšia hviezda oblohy je binárnou hviezdou, t. j. má v svojej blízkosti hviezdu spoločníka Sírius B. Túto skutočnosť predpovedal v roku 1844 vynikajúci nemecký astronóm Friedrich Wilhelm Bessel. 7 Tento spoločník je síce zhruba rovnako ťažký ako Slnko, ale je omnoho menší, takže má vzhľadom na zemské pomery obrovskú hustotu.. Táto hviezda je v štádiu tzv. bieleho trpaslíka. Zistite si túto hustotu, porovnajte ju s vypočítanou hustotou jadra. Existujú ďalšie veľmi husté objekty ako sú neutrónové hviezdy, čierne diery. Informácie hľadajte z oblasti astronómie, astrofyziky a kozmológie. Problém 5. CITLIVOSŤ OKA - BIOFYZIKA Zrak, ktorým získavame takmer 80% všetkých informácii, je považovaný za najcennejší zmysel človeka. Počas tmavej noci pri pohľade na oblohu posiatu hviezdami náš vizuálny systém analyzuje signály, spôsobené dopadmi fotónov, z približne 100 miliónov tyčiniek miniatúrnych biologických fotónových receptorov. Ako ukázali najnovšie výskumy (reálne sa do miniatúrneho elektrického obvodu zapojila jedna tyčinka), každá z tyčiniek sietnice oka je schopná registrovať jeden jediný fotón 8 a to s pozoruhodnou schopnosťou. V nasledujúcich úlohách urobíme niekoľko jednoduchých výpočtov, aby sme sa poodhalili túto pozoruhodnú citlivosť tyčinky. a) Skúste odhadnúť radovo priemer tyčinky oka. b) Základom fotochemického procesu v tyčinkách vyvolávajúceho nervové signály sú molekuly tzv. zrakového purpuru rodopsínu. Za úplnej tmy zabezpečuje istá časť každej tyčinky stály kolobeh katiónov (stály elektrický prúd) Na + a K + medzi vnútrom tyčinkovej bunky a jej vonkajšom a to cez kanáliky atómových rozmerov v stene tyčinky. Dopad jediného fotónu postačuje na aktiváciu - premenu jednej molekuly rodopsínu na katalyzátor, ktorý vyvolá kaskádovitú reakciu, výsledkom ktorej je uzavretie značného počtu kanálikov v okolí aktivovanej molekuly. Tým poklesne hodnota stáleho prúdu, pričom táto zmena predstavuje už makroskopickú zmenu elektrického signálu. Ak vieme z pokusov s jednou tyčinkou, že uzavretie kanálikov po prijatí jedného fotónu trvá asi 300 ms a pokles prúdu je asi 1,2 pa, o koľko iónov menej v priemere prejde vtedy medzi vnútrom a vonkajškom tyčinky? c) Dopadnúci fotón svetla vlnovej dĺžky 510 nm je absorbovaný tyčinkou s pravdepodobnosťou blízkou až 0,5, pričom sa potom zašle impulz do mozgu 7 Heslo: Sirius (star), Encyclopaedia Britannica, 2001 8 Číselné údaje použité v tomto problému a taktiež prezentované kvalitatívne vysvetlenia boli spracované podľa článku F. Rieke, D. A. Baylor: Single-photon detection by rod cells of the retina, Reviews of Modern Physics, Vol. 70, No. 3, July 1998

66 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky zhruba v 30% prípadov. Aká energia zodpovedá tomuto fotónu a s akou pravdepodobnosťou vyvolá nervový (elektrický) signál? d) Oko zaregistruje svetlo takmer s istotou, ak naň dopadne naraz 5-10 fotónov za dobu 100-200 ms. Aká je to energia? Porozmýšľajte, resp. zistite, či sa môžeme stretnúť ešte v bežnom živote s danými dávkami energie. e) Z akej vzdialenosti sa stačí pozrieť na 100 wattovú žiarovku, aby sme pocítili tú istú prenikavú bolesť, ako pri pohľade do Slnka, ak vieme, že pri jasnom (prudkom) slnečnom žiarení dopadá do oka tok fotónov veľkosti zhruba 10 9 fotónov na µm -2 s -1. Urobte jednoduchý odhad. f) Za ideálnych podmienok ľudské oko vníma svetlo, ak naň dopadá zhruba 100 fotónov za sekundu (pozri úlohu d). Akému výkonu to zodpovedá? Svetlo z koľko watovej žiarovky máme tak šancu vidieť, ak sa na ňu budeme dívať zblízka. Témy na diskusiu (referát) 1. Navrhnite spôsoby, ako by ste odhadli počet tyčiniek, keby sme nepoznali ich počet. 2. Akou praktickou metódou (metódami) možno detekovať fotón? Porovnajte tyčinku oka so zariadeniami, ktoré vyrobil človek na detekciu fotónov napr. z hľadiska rozmerov, z hľadiska účinnosti,... Na základe akých princípov fungujú tieto prístroje? 3. Ako fungujú zdroje svetla slabého monochromatického svetla, ktoré vyžarujú po jednom fotóne? Odkiaľ máme istotu, že takýto zdroj vyžiaril práve jeden fotón? N á v o d: V úlohe a) z textu vieme zhruba počet tyčiniek v oku 9. Stačí zistiť zhruba plochu sietnice, kde sa tyčinky nachádzajú. Ako by ste odhadli plochu sietnice? Skonfrontujte svoje odhady so skutočnými rozmermi 10. V úlohách e) a f) využite príklad 15, resp. poznatky z problému KOĽKO % ENERGIE PREMIEŇA ŽIAROVKA NA SVETLO? K téme o detektoroch ako nenáročný úvod odporúčame prvú kapitolu Feynmanovej knihy QED 11. V čom sa mýli Feynman, keď hovorí o vlastnostiach oka a v čom má pravdu? Na Internete skúste hľadať odkazy ku kľúčovému slovu: fotonásobič; viac odkazov aj s obrázkami nájdete pre heslá: photomultiplier tubes (PMT) a chargecoupled devices (CCD). Problém 6. SOLÁRNE PANELY Fotoelektrický jav zohráva veľmi dôležitú úlohu v astronautike. Slnečná energia je jediným nevyčerpateľným zdrojom energie pre satelity, či družice pri vesmírnych letoch. Predstavme si, že družica obiehajúca okolo Zeme využíva solárny panel o ploche 2,6 m 3. 9 Podrobný a zaujímavý popis fungovania oka možno nájsť aj v práci RNDr. Petra Hockicka na http://fel.utc.sk/~hockicko/optika/ 10 Veľmi podrobný popis stavby oka aj s mnohými zaujímavými informáciami nájde čitateľ na <http://www.slovakofarma.sk/zrak/zrak.html> 11 Feynman, R.P., Leighton, R.B.: QED, Nezvyčajná teória svetla a látky, Enigma, Nitra, 2000

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 67 a) Slnko vyžaruje svetlo s výkonom 3,86.10 26 W. Overte, že Slnečná energia má pre satelit zhruba intenzitu 1,39 kw/m 2 (tzv. solárna konštanta). b) Odhadnite s akou početnosťou bombardujú fotóny Slnka solárny panel. S akou početnosťou pohlcuje panel fotóny? c) Za akú dobu dopadne na panel mol fotónov a koľko energie by z toho mal vyrobiť solárny panel? Téma na diskusiu (referát) 1. Skúste nájsť informácie o veľkosti, resp. účinnosti solárnych panelov použitých pri družiciach. Spresnite popis fungovania takýchto solárnych panelov. Je číslo 2,6 m 2 reálne? 2. Predstavte si bežný rodinný dom, ktorého strecha je pokrytá takýmito panelmi. Odhadnite koľko energie (podľa počtu slnečných dní vo vašom meste) by dokázal zhruba vyrobiť? Zoberte účet za teplo a elektrinu a odhadnite koľko percent by sa dalo pokryť to bolo z celkovej spotreby takého domu. N á v o d: K úlohe b) - fotóny akej vlnovej dĺžky svetla dopadajú zo Slnka? Zvoľte si jednu typickú frekvenciu fotónov reprezentujúcu frekvencie fotónov. Využite na to napr. poznatky z termodynamiky čierneho telesa - Wienov posunovací zákon. Vysvetlite, prečo práve tento zákon. Čo potrebujete, aby ste dokázali z Wienovho zákona určiť typickú vlnovú dĺžku fotónu? Potrebné údaje si zistite. Na základe vašej voľby bude skutočný počet fotónov ktorý bombardujú panel väčší, alebo menší? Zdôvodnite. Čo si myslíte bude fotočlánok vyrobený človekom pohlcovať lepšie (alebo horšie) fotóny ako tyčinka na sietnici oka z problému 5, odkiaľ vieme, že pravdepodobnosť pohltenia fotónu tyčinkou je 50%. O solárnych paneloch možno nájsť pekné články v časopise Quark v knižnici, prípadne na <http://www.quark-e.sk>. Z nich zistite účinnosť solárnych panelov a skutočnú účinnosť. Problém 7. PLÁŠŤ DRUŽICE A NABÍJANIE. V súčasnosti obieha našu Zem veľké množstvo satelitov a komunikačných družíc. a) Ak je povrch družice kovový, aký dej by mal nastať na obežnej dráhe? Môže sa povrch nabíjať? Zdôvodnite. b) Ak áno, tak z akého materiálu by sa mal voliť kovový povrch, aby sa nabíjanie minimalizovalo. Ak má na sebe družica platinu, fotóny akej najdlhšej vlnovej dĺžky dopadajúceho slnečného svetla môžu vyraziť elektróny z platiny? Téma na diskusiu Aké následky môže mať nabíjanie kovového povrchu pre satelit jeho funkčnosť, let, atď. N á v o d: Zistite si výstupnú prácu pre platinu. Porovnajte ju s výstupnými prácami ostatných kovov.

68 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky Problém 8. AKO RÝCHLO KONZUMUJE ELEKTRÓN ŽIARENIE 12 Predstavte si, že budeme sledovať fotoelektrický jav na fólii vyrobenej z draslíka. Fólia je v miestnosti vo vzdialenosti r = 3,5 m od bodového svietidla s výkonom svetelnej energie 1,5 W. Predpokladajme, že máme výhrady voči Einsteinovmu vysvetleniu fotoelektrického javu, predovšetkým voči myšlienke kvantovosti žiarenia. a) Odhadnite, ako dlho by vstrebávala fólia energiu, aby začala emitovať elektróny? (Z pohľadu klasickej fyziky je energia žiarenia prenášaná spojito a plynulo tak, že svetelná vlna rozkmitáva elektrón.) b) Pre zaujímavosť odhadnite zhruba skutočnú watáž (výkon) svietidla, ak by to bola žiarovka. N á v o d: Aké predpoklady, resp. údaje by sme potrebovali pre výpočet úlohy? (1) Aká energia je potrebná pre vyrazenie jedného elektrónu? Ktorá veličina ju popisuje? Dá sa zistiť z experimentu? Nájdite si tento údaj pre draslík. (2) Na to, aby svetelná vlna rozkmitala elektrón, musí dodať spomínanú energiu z (1). Z akej veľkej plôšky (t. j. s akým polomerom) by zhruba dokázal elektrón absorbovať energiu. Bude to viac ako rozmer atómu, menej, alebo približne rovnako? Aký je typický rozmer atómu? (3) S akým zdrojom by sa nám to darilo jednoducho spočítať. Ako musí vysielať do okolia? Môžeme zjednodušene predpokladať, že zdroj svieti rovnomerne do všetkých strán, t. j. je izotrópny? (4) Bude hľadaný čas závisieť od pohltivosti fólie? Ak by o fólii predpokladáme, že je dokonalo pohltivá, tak budeme mať minimálny čas, alebo maximálny? (5) Na základe predchádzajúcich predpokladov a údajov je už možné vypočítať hľadaný čas. Experiment dáva, že fotoelektrický jav nastáva za dobu menšiu ako 10-9 s. Porovnajte tieto časy. Aký záver by ste sformulovali: je elektrón rozkmitávaný, alebo pohltí kvantum energiu naraz? Podporuje to, alebo vyvracia kvantovosť žiarenia? V úlohe b) využite poznatky z nasledujúceho problému KOĽKO % ENERGIE PREMIEŇA ŽIAROVKA NA SVETLO? Problém 9. KOĽKO % ENERGIE PREMIEŇA ŽIAROVKA NA SVETLO? V príklade 15 sme odhadovali počet fotónov dopadajúcich do oka za 1s zo 40 W žiarovky. Čo môžeme povedať o tomto odhade? Precenili sme skutočnú situáciu alebo naopak? Skúste zdôvodniť svoju odpoveď. V tomto probléme poďme zistiť presnejšie odhady týkajúce sa práve žiarovky - najbežnejšieho zdroja osvetlenia v našich domácnostiach. V skutočnosti žiarovka 12 Tento problém bol spracovaný podľa knihy D. Halliday, R.Resnick, J.Walker Fyzika, John Wiley and Sons, 1997 český preklad, Prometheus, Brno, 2000, str. 1036

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 69 premieňa elektrickú energiu nielen na svetlo, ale aj na teplo. (Ako sa o tom môžeme presvedčiť?) a) Odhadnite, aké percento energie sa využije na svetelnú energiu? b) Spresnite odhad počtu fotónov dopadajúceho svetla (viditeľného) do oka z príkladu 15? c) Zistite, ako sa mení situácia v prípade žiaroviek inej watáže, t.j. určte percento energie premenenej na svetlo a odhadnite zhruba počet fotónov, ktorý dopadá do oka za 1s z týchto zdrojov. Ako vyzerá situácia v prípade iných svietidiel? Témy na diskusiu (referáty) 1. Ako funguje žiarovka? Čo znamená vlastne watáž žiarovky? Aké spektrum svetla má žiarovky? 2. Aké výhody a nevýhody má žiarovka a skúste na základe nich nájsť dôvody, prečo je stále najbežnejším svietidlom. Skúste zhodnotiť z hľadiska ceny, svetelnej účinnosti, ekológie, spoľahlivosti, resp. ďalších kritérií. 3. Zistite niečo z histórie tohto vynálezu. Ako sa menila žiarovka; ako vyzerala prvá žiarovka; kedy bola vynájdená; kto bol princípu, kto vynálezcom prvej prakticky využiteľnej žiarovky; atď. (Využite všetky dostupné informačné zdroje.) 4. Odhadnite koľko korún zaplatíte za energiu, ktorú spotrebuje žiarovka vo vašej obývačke. Koľko v skutočnosti platíme za svetlo? N á v o d: Riešenie tohto problému predpokladá znalosť aj elementárnych poznatkov z fotometrie 13. Navyše uvedieme niekoľko ďalších doplňujúcich poznatkov: (1) V roku 1979 v poradí šestnásta konferencia pre miery a váhy (CGPM) zmenila z viacerých dôvodov 14 definíciu základnej jednotky svietivosti SI sústavy: Kandela je svietivosť zdroja, ktorý v danom smere vysiela monochromatické žiarenie frekvencie 540x10 14 Hz a ktorého žiarivosť v tomto smere je 1/683 wattu na steradián. Poznámka: Uvedené elektromagnetické žiarenie vníma oko najcitlivejšie. (2) V nasledujúcej tabuľke máme svetelné toky niekoľkých zdrojov 15 : (3) Z definície kandely je možné zistiť -akú vlnovú dĺžku má fotón svetla vyvolávajúceho najsilnejší vnem na sietnici oka. -aký svetelný tok tohto žiarenia pripadá na jeden watt, resp. opačne: aký tok energie (koľko watov) zodpovedá 1 lumenu pre vlnovú dĺžku maximálnej citlivosti oka. (4) Na základe týchto faktov a tabuľky (tab. 4) je už možno pomerne jednoducho zodpovedať na otázku úlohy a). Bude tento odhad väčší, menší ako je skutočnosť? Vydáva žiarovka fotóny jednej vlnovej dĺžky? Zdôvodnite. Fotóny iných vlnových dĺžok akou je vlnová dĺžka pre maximálnu citlivosť oka vyvolávajú menší, väčší, či rovnaký vnem - svetelný tok? (5) K úlohe b) - ktorá časť oka reguluje množstvo fotónov dopadajúcich na sietnicu? Akým spôsobom sa deje táto regulácia? Skúste urobiť vlastné Zdroj svetla žiarovka 40W žiarovka 60 W žiarovka 100 W nízkotlaková sodíková výbojka 185 W Tab. 4 Svetelný tok 430 lm 730 lm 1380 lm 32 000 lm 13 Základná literatúra k fotometrii: Učebnica fyziky pre 4. ročník gymnázií. 14 Pozri napr. brožúru o jednotkách SI sústavy Medzinárodného úradu pre miery a váhy dostupnú na <www.bimp.fr/pdf/si-brochure.pdf>; Veľmi prístupnou, ale neskresľujúcou a presnou formou uvádza základné a doplňujúce informácie k tejto téme (s množstvom odkazov na iné stránky) profesor J. M. Palmer z Univerzity of Arizona v Radiometry a photometry FAQ na <www.optics.arizona.edu/palmer>. 15 Tieto údaje o svetelných tokoch možno nájsť v aktuálnych a praktických článkoch časopisu Quark <http://www.quark-e.sk> od autorov zo slovenských elektrární. Dokonca môžete využiť službu energetického poradenstva Slovenských elektrární, kde radi poradia v takých otázkach ako je spotreba v priemernej domácnosti, či cena 1KWh.

70 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky pozorovania, vlastné odhady potrebných rozmerov, resp. nájdite v literatúre, či na Internete. (6) K úlohe c) - efektívnosť premeny elektrickej energie na svetlo s rastúcou watážou rastie, klesá, zostáva približne rovnaké? Skúste najprv uhádnuť a zdôvodniť predpokladaný výsledok. (7) K téme na diskusiu: Rozumne odhadnite dobu svietenia žiarovky. Pre všetky žiarovky u vás doma. Skúste doma pozháňať vyúčtovanie za elektrickú energiu pre Vašu domácnosť a zistiť potrebné ďalšie údaje. Problém 10. SLNKO, MESIAC, SVIEČKA Sviečka má zhruba svietivosť asi 1cd. Hviezdna veľkosť Mesiaca je 13,6 m. Osvetlenie mesiaca v splne je 0,2 lx. a) Je nejaký súvis medzi týmito hodnotami, t. j dá sa vypočítať jedna z druhej? Odhadnite počet fotónov padajúcich do oka za 1s z Mesiaca. Ako ďaleko musí byť sviečka, aby z nej dopadalo do oka zhruba také isté množstvo fotónov? b) Slnko vyžaruje svetlo s výkonom 3,86.10 26 W. Súčasne sa možno dočítať v astronomických príručkách, že hviezdna veľkosť Slnka je 26,8 m. Je nejaký súvis medzi danými veličinami? c) Odhadnite počet fotónov pri dopade do oka. Porovnajte s úlohou e) v probléme - CITLIVOSŤ OKA. d) Aká časť hmotnosti slnka sa premenní na svetelnú energiu za rok? e) Ak vieme, že Slnko je staré asi 4 miliardy rokov, overte, že toto číslo je konzistentné z myšlienkou, že Slnko sa veľmi za svoj doterajší život nezmenilo. Urobte jednoduchý odhad dokedy bude žiariť slnko. f) Jednoduchými odhadmi vylúčte, že zdrojom energie môže byť chemická reakcia. Témy na diskusiu (referáty) 1. Ako to, že hviezdna veľkosť je záporné číslo? V literatúre sa hovorí o zdanlivej a absolútnej hviezdnej veľkosti. Ako by ste to vysvetlili? Zistite elementárne poznatky pre pozorovanie hviezd voľným okom, ďalekohľadom v súvislosti s ich hviezdnou veľkosťou. 2. Odkiaľ čerpá energiu Slnko. Popíšte kvalitatívne (prípadne aj kvantitatívne) akým spôsobom prebieha dej z ktorého Slnko (hviezdy) získavajú energiu. Kto vysvetlil tento proces? N á v o d: (1) Už v staroveku boli určené najjasnejšie hviezdy, ktoré najskôr zasvietia na oblohe boli označené za hviezdy prvej veľkosti 1 m. Za nimi nasledovali hviezdy druhej veľkosti 2 m, tretej, atď. až k hviezdam šiestej veľkosti, ktorých hodnota jasnosti je poslednou rozoznateľnou pre neozbrojené oko. (2) Hviezdy prvej veľkosti sú priemerne stokrát jasnejšie ako priemerná hviezda šiestej veľkosti. Stupnica hviezdnej veľkosti bola určená tak, že pomer jasnosti hviezd susedných veľkostí je stály. Koľkokrát jasnejšie svieti hviezda veľkosti 1 m ako 2 m, resp n m ako (n + 1) m? (3) Zistite jasnosť hviezd v luxoch pre veľkosť 1 m a 6 m. (4) Aká je hviezdna veľkosť zodpovedajúca 1 lx. Čo je to 1 lux?

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 71 (5) Pri úlohe a) využite fakt, že 100 W žiarovka má svietivosť zhruba 100 Cd. Tento údaj sa dá zdôvodniť na základe problému o premene energie v žiarovke na svetlo. Dalo by sa zistiť na základe toho, koľko W pripadá na svetelnú energiu zdroja so svietivosťou 1cd? 16 Pozrite si aj predchádzajúce príklady, napr. nápomocným pri úlohe e) je príklad 5 o výhrevnosti uhlia. Nájdite vysvetlenie e) napr. v encyklopédii astronómii, či na Internete. Problém 11. MIHOTANIE (JAGANIE) HVIEZD 17 Letné noci sú skvelou príležitosťou na pozorovanie hviezd. Pri nočnom sledovaní oblohy si môžeme všimnúť, že hviezdy blikajú, resp. sa jagocú. Otázkou je, či to nie je dôkaz kvantovej povahy svetla. a) Na overenie resp. vyvrátenie tejto hypotézy skúste odhadnúť počet fotónov vstupujúcich do oka, keď sa dívame na známu hviezdu Aldebaran? b) Fotóny vznikajú v termojadrových reakciách v podstate nezávislo a takisto putovanie fotónov z hviezdy do oka je nezávislé, takže dopad fotónu môžeme považovať za náhodný proces. Ak predpokladáme, že dopadá do oka N fotónov za sekundu, aká je fluktuácia, odchýlka tohto počtu za sekundu? Určte odchýlku v percentách. Môže spôsobiť blikanie? Téma na diskusiu (referát) 1. Ako sa ukáže, zmena počtu fotónov je veľmi malá vzhľadom k celkovému počtu dopadajúcich fotónov do oka (ktorý je zase veľký) preto má blikanie hviezd inú povahu. Akú? 2. Zistite informácie o hviezde Aldebaran (kde sa nachádza na oblohe, v akom súhvezdí, ako je ďaleko od nás, akú má hmotnosť teplotu, atď.). Ktoré hviezdy prvej veľkosti môžeme ešte vidieť na oblohe? N á v o d: Pri riešení problému okrem nasledujúcich informácií je možné využiť aj ďalšie pre vás dostupné informačné zdroje. Veľmi dôležitý je problém SLNKO, MESIAC, SVIEČKA. (1) V encyklopédii astronómie (poznámka 28) je zdanlivá vizuálna hviezdna veľkosť pre Aldebaran zhruba 1 m. Aký tok v luxoch (t.j. v lumenoch na meter štvorcový) produkuje táto hviezda? (2) Z definície jednotky SI pre svietivosť - kandely (viď návod k problému KOĽKO % ENERGIE PREMIEŇA ŽIAROVKA NA SVETLO?) zistite, aký tok energie vo watoch zodpovedá jednému lumenu. K vyriešeniu úlohy a) by vám mali postačiť údaje z (1) a (2). (3) K úlohe b) prezradíme, že fotóny dopadajú podľa Poissonovho rozdelenia (presnejšie Poissonovho náhodného procesu). Nájdite si základné informácie 16 Odporúčame preštudovať základné poznatky o hviezdnej veľkosti a hviezdnej algebre v skvelej knihe určenej pre začiatočníkov Pereľman, J. I., Pútavá astronómia, Osveta, Martin, 1955, štvrtá kapitola. Zdrojom stručných, presných informácií o hviezdnej veľkosti je publikácia A. Hajduk a kol., Encyklopédia astronómie, Obzor, Bratislava, 1987 17 Úloha motivovaná knihou E. H. Wichman, Quantum Physics-Berkley physics course (McGraw Hill, 1967), Kapitola 1

72 O atómoch a kvantovaní pre učiteľa fyziky k tomuto rozdeleniu. Aká je smerodajná odchýlka pre toto rozdelenie? Skúste nájsť dôvody na to, prečo by to malo byť Poissonovo rozdelenie. 18 (4) K téme na diskusiu prezradíme, že pri pohľade z lietadla letiaceho vo výške 12 km nad zemou hviezdy takmer vôbec neblikajú. Doplňujúca otázka: Prečo mesiac alebo jasné planéty neblikajú, keď sa na ne dívame? (5 )Využite pri tejto téme : Internet: vo vyhľadávači <www.google.com> uveďte napr. heslá: slovenské - mihotanie scintilácia hviezd alebo české mihotání, scintilace, alebo anglické - scintillate stars alebo twinkle stars. Uvidíte obrovské množstvo odkazov, kde sa možno dočítať o dôvodoch mihotania a dajú sa nájsť stránky s animáciami a videami, kde je zaznamenané mihotanie hviezd. Vlastné pozorovanie: 1. Vyberte si hviezdu na oblohe, ktorá bliká. Koľko krát blikne hviezda za desať sekúnd? 2. Hviezdy, ktoré sú nad obzorom nižšie blikajú viac alebo menej ako tie, ktoré sú nám nad hlavou? 3. Počas veternej noci blikajú rovnako, menej alebo viac ako pri pokojnej noci? 4. Budú blikať hviezdy viac pri pohľade od mora alebo pri pohľade z hôr? 5. Menia hviezdy farbu, keď blikajú? Ktoré blikajú viac farebne? Tie nad vysoko nad obzorom alebo nízko? Problém 12. PREČO ATÓM PRECHÁDZA DO ZÁKLADNÉHO STAVU? 19 Celá táto druhá kapitola sa zaoberá revolučnou myšlienkou, že atómy môžu byť len v určitých kvantových stavoch. Ak bol napr. atóm vodíka excitovaný a je vo vyššom vzbudenom stave, tak je to možné len dodaním určitého presne definovaného kvanta energie danej Bohrovým postulátom. Ako ukazuje experimentálna skúsenosť atóm nezostáva trvale excitovaným, ale po určitom čase prechádza opäť do základného stavu s minimálnom energiou. Pozrime sa, čo sa deje s energiou. Atóm síce stratí energiu vyžiarením fotónu (svetla), ale toto svetlo zvýši energiu okolia atómu o takú istú hodnotu. Teda celková energia sústavy atóm a okolie sa nemení. Prečo sa potom chce atóm zbaviť svojej energie? Inými slovami prečo by mal takýto atóm vodíka vyžarovať svetlo, veď z energetického hľadiska je všetko v poriadku? V tomto príklade ukážeme vysvetlenie na áklade štatistickej fyziky, ktorá vychádza z kvantovej teórie. Zaujímavé na tom je, že štatistická mechanika vychádzajúca z kvantovo-mechanického prístupu je v mnohých prípadoch jednoduchšia ako klasická štatistická fyzika. Bez dôkazu 20 zapíšeme dôležitý poznatok kvantovej štatistickej fyziky: Ak má daný systém kvantové stavy ktorým zodpovedá súbor diskrétnych hladín E r, r = 0, 1, 2,..., potom pravdepodobnosť P r 18 Pre prvé zoznámenie sa s Poissonovým rozdelením odporúčame preštudovať dva veľmi prístupné a poučné články z ruského časopisu Kvant: Dubrovskij, V, N., Ako vniká Poissonovo rozdelenie, Kvant, č. 8, 1988, s. 23-25; J.P. Čukova: Poissonovo rozdelenie, Kvant, č. 8, 1988, s. 15-22. 19 Námet na úlohu motivovaný knihou Reif, F.: Statistical Physics, Berkeley Physics Course, 1967), Kapitola 4, resp. R.P. Feynman, R.P., Leighton, R.B., Sands, M. Feynmanove prednášky z fyziky, Bratislava 1982, 2. diel, kapitola 40. 20 Dôkaz bez zložitej matematiky podáva práve Reifova kniha z poznámky 31.

Príklady, úlohy, problémy alebo múdrosť vchádza do hlavy rukou 73 nájdenia systému v stave E r je pri tepelnej rovnováhe s tepelným rezervoárom s teplotou T v Kelvinoch úmerná výrazu exp( E r / kt): Pr = C exp( Er / kt ) (12.1) kde k=1,38.10-23 J/K a C je konštanta. a) Čo je to tepelný rezervoár? Uveďte príklady tepelného rezervoára. Na základe vzorca pre pravdepodobnosť zistite, čo sa deje s pravdepodobnosťou, keď energia E r rastie? Obsadenie stavu s vyššou energiou je viac alebo menej pravdepodobné ako s nižšou? b) Predstavte si, že ste v miestnosti a máte excitovaný atóm vodíka. Je možné využiť vzorec (12.1) na vypočítanie pravdepodobností stavov z rôznymi energiami? Zdôvodnite. c) Čo je v tomto prípade tepelný rezervoár a akú teplotu T by ste mu priradili? d) Ak tento atóm vyžiaril fotón s vlnovou dĺžkou 486 nm a prešiel do nižšieho energetického stavu, koľko krát stúpne, alebo klesne pravdepodobnosť toho, že sa tento atóm bude nachádzať v tomto nižšom stave? Ak na chvíľu nebudeme uvažovať gravitáciu Zeme (zanedbáme ju), náš atóm aj napriek tomu nie je izolovaným systémom. Je totiž v kontakte so svojím okolím a môže si vymieňať energiu (napr. nárazmi). Poďme vyjadriť inými spôsobmi pravdepodobnosť P r, že v rovnovážnom stave, nájdeme atóm v stave s energiou E r. Tieto iné vyjadrenia nám umožnia získať ďalšie dôležité fyzikálne informácie. Uvažujme teraz nie o atóme, ale o systéme, ktorý obsahuje náš atóm dokopy s jeho okolím. Tento systém už môžeme považovať za izolovaný! Prečo? Ak nie, čo treba zahrnúť do okolia, aby izolovaný bol? e) Označme symbolom E R energiu okolia (tepelného rezervoára) a E celkovú energiu nášho systému atóm + okolie. Zapíšte, čo platí o energii celého systému, ak sa atóm nachádza v stave E r? f) Označme symbolom Ω(E) počet všetkých dostupných diskrétnych stavov systému atóm + okolie. Bude sa meniť tento počet stavov alebo bude konštantný? g) Pravdepodobnosť, že nájdeme atóm v stave E r by mala byť daná taktiež výrazom: počet priaznivých stavov systému, keď atóm je v stave Er P r = (12.2) počet všetkých dostupných stavov sytému Rozmyslite si, prečo platí takýto vzťah a za akých podmienok bude dávať to isté ako (12.1). h) Ak je atóm v stave E r, tak okolie musí byť v stave s energiou E E r. Označme počet stavov okolia (tepelného rezervoára) symbolom Ω R (E E r ). Na základe tohto faktu a vzorca (12.2) vysvetlite, prečo platí nasledujúci vzťah: Ω R ( E Er ) * Pr = = C Ω R ( E Er ), Ω( E) kde C * je konštanta. i) Vráťme sa k úlohe d), t. j. atóm vyžiaril fotón s vlnovou dĺžkou 486 nm a prešiel zo stavu s energiou E 1 do nižšieho energetického stavu s E 0. Vyjadrite pomer pravdepodobností P 1 /P 0. Ako súvisí tento výsledok s dostupnými stavmi pre okolie?