Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 2008 Σελίδα 1

Τ.Ε.Ι. Θσσαλονίκης Τµήµα Πληροφορικής Αριθµητική Ανάλυση & Προγραµµατισµός Εϖιστηµονικών Εφαρµογών Θωρία Παραδίγµατα και Άλυτς Ασκήσις Γουλιάνας Κώστας Εϖίκουρος Καθηγητής eml : gul@t.tethe.gr Ιστοσλίδα : www.t.tethe.gr/~gul Θσσαλονίκη 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Εισαγωγή... Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση... Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα.. Σφάλµατα.. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς 7.. Σφάλµα Αποκοπής.. 7.. Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. 8.. Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία 8. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ.. Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ.... Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων. Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου.. Σιρές - Συναρτήσις. Γνικά... Αναλυτικές Συναρτήσις... Εφαρµογές σ Αναπτύγµατα Στοιχιωδών Συναρτήσων.... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της συνάρτησης, < <... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της κθτικής συνάρτησης e.... Σφάλµα Αποκοπής ιόρθωση στον Υπολογισµό Σιρών.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της συνάρτησης, < < 6.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της κθτικής συνάρτησης e, < <. 7. Εύρση Τιµής Πολυώνυµου - Σχήµα Hrer.. 8.. Υπολογισµός Τιµής Παραγώγου Πολυωνύµου σ γνωστό σηµίο... Υπολογισµός των Τιµών Όλων των Παραγώγων Πολυωνύµου σ Κάποιο Σηµίο. Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου.. 7. Αριθµητική Επίλυση Εισώσων. 8. Προσδιορισµός ιαστηµάτων των Ριζών Είσωσης.. 8. Τάη Σύγκλισης... Μέθοδος της ιχοτόµησης Blz.. Πριγραφή της Μθόδου της ιχοτόµησης.... Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της ιχοτόµησης... Αλγόριθµος της Μθόδου της ιχοτόµησης. 6.. Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης.. 6.. Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της ιχοτόµησης.. 7..6 Ελάχιστος Αριθµός Επαναλήψων για τη Σύγκλιση της Μθόδου της ιχοτόµησης.. 7. Μέθοδος της Εσφαλµένης Θέσης 8.. Πριγραφή της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 9.. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης.. 9.. Αλγόριθµος της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης.. 6.. Σύγκλιση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6.. Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης 6..6 Σταθρά Σηµία στη Μέθοδο της Εσφαλµένης Θέσης. 6..7 Γνίκυση της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 6..8 Γνίκυση του Αλγορίθµου της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 6. Μέθοδος των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

.. Πριγραφή της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 66.. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 66.. Αλγόριθµος της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων. 67.. Σύγκλιση Τάη Σύγκλισης της Μθόδου των ιαδοχικών Προσγγίσων.. 67.6 Μέθοδος Νewt-Rphs.. 77.6. Πριγραφή της Μθόδου Νewt-Rphs.. 77.6. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου Νewt-Rphs. 77.6. Αλγόριθµος της Μθόδου Νewt-Rphs. 78.6. Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs. 79.6. Σύγκλιση της Μθόδου Νewt-Rphs σ Πολλαπλή Ρίζα 8.7 Μέθοδος της Χορδής 8.7. Γωµτρική Ερµηνία της Μθόδου της Χορδής. 8.7. Αλγόριθµος της Μθόδου της Χορδής.. 86.7. Τάη Σύγκλισης της Μθόδου της Εσφαλµένης Θέσης. 9.8 Άλλς Μέθοδοι. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου.. 9. Γραµµικά Συστήµατα. 9. Ορισµοί - Μήτρς και Γραµµικά Συστήµατα 9.. Πράις µ Mήτρς. 96.. Ειδικές Μορφές Μητρών 97.. Γραµµικά Συστήµατα Εισώσων. 98.. Βασικό Θώρηµα των Γραµµικών Συστηµάτων.. 98. Άµσς Μέθοδοι.. 99.. ιαγώνια Συστήµατα. 99.. Κάτω Τριγωνικά Συστήµατα.... Άνω Τριγωνικά Συστήµατα... Μέθοδος της Απαλοιφής του Guss χωρίς οδήγηση.. Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Μρική Οδήγηση....6 Μέθοδος της Απαλοιφής Guss µ Οδήγηση κι Εισορρόπιση. 7..7 Μέθοδος της Απαλοιφής Guss-Jrd.. 9. Επαναληπτικές Mέθοδοι Επίλυσης Γραµµικών Συστηµάτων.. Μέθοδος Jcb.... Μέθοδος Guss-Sedel. Άλλς Μέθοδοι.. 9 Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου 6. Ανιούσς ιαφορές. 6. Γνικοί Ορισµοί 6.. Σχέσις Μταύ των Τριών Τύπων ιαφορών 6 6.. Μτάδοση σφαλµάτων σ πίνακα διαφορών 9 6 Μτάδοση Σφάλµατος που Υπάρχι σ µια Από τις Τιµές της Συνάρτησης.. 6 Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης των Τιµών της Συνάρτησης. 6.. Γραµµικοί Τλστές ιαφορών. Άλυτς Ασκήσις 6 ου Κφαλαίου 9 7. Παρµβολή. 7. Γνικά 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Εµπρός ιαφορών των Newt Gregry 7.. Τύπος Παρµβολής των προς τα Πίσω ιαφορών των Newt Gregry. 6 7.. Πλήθος Όρων που Χρησιµοποιούνται στους Τύπους Παρµβολής. 7.. Τύπος Παρµβολής του Lgrge. 7.6. ιόρθωση στους Τύπους Παρµβολής. Άλυτς Ασκήσις 7 ου Κφαλαίου 8 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 9 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Εισαγωγή. Τι ίναι η Αριθµητική Ανάλυση Οι σηµιώσις αυτές έχουν σαν στόχο να ισάγουν τους Φοιτητές του Γ Εαµήνου του Τµήµατος Πληροφορικής του ΤΕΙ Θσσαλονίκης στις Αριθµητικές Μθόδους και τις Τχνικές Επίλυσης Μαθηµατικών προβληµάτων, γνωστές σαν Αριθµητική Ανάλυση. Οι µέθοδοί της φαρµόζονται σ πολλούς πιστηµονικούς τοµίς, όπως η Στατιστική, η Μηχανική, η Μτωρολογία, η Επργασία Σήµατος, η Επργασία Εικόνας, Υπολογισµός Συχνότητας Θορύβου σ Σήµατα, Σχδιασµός Φίλτρων κ.λ.π.. Η Αριθµητική Ανάλυση, σαν Κλάδος των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών αναπτύχθηκ σ µγάλο βαθµό µτά το ο Παγκόσµιο Πόλµο, παράλληλα µ την ανάπτυη των Η/Υ. Έχι όµως τις ρίζς της στην αρχαιότητα. Εκτός από τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύπτιους, µταύ των Ελλήνων που ανέπτυαν µθόδους Αριθµητικής Ανάλυσης ήταν ο Αρχιµήδης π.χ. που µ τη µέθοδο των Προσγγίσων βρήκ τιµή για το πµταύ του και και ο Ήρωνας π.χ. 7 7 που βρήκ την Ττραγωνική Ρίζα νός αριθµού µ τον Επαναληπτικό Τύπο, ο οποίος ίναι µρική πρίπτωση της µθόδου Newt-Rphs που βρέθηκ µτά 8 αιώνς. Όπως ίναι γνωστό, οι µαθηµατικές δυνατότητς των Η/Υ αντλούνται στις τέσσρις βασικές πράις της αριθµητικής : πρόσθση, αφαίρση συµπλήρωµα της πρόσθσης, πολλαπλασιασµό και διαίρση διαδοχικές προσθέσις κι αφαιρέσις. Οι ταχύτητς κτέλσης αυτών των πράων ίναι τροµακτικά υψηλές, τα προβλήµατα όµως που συναντούµ πριέχουν και άλλς πράις, όπως ύρση λογαρίθµων, παραγώγων, ολοκληρωµάτων, ριζών κ.λ.π. που δν µπορούν να γίνουν άµσα µ έναν Η/Υ. Σκοπός της Α.Α. ίναι η ανάπτυη µθόδων για τη Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

µτατροπή Μαθηµατικών προβληµάτων σ ισοδύναµα, τα οποία πριέχουν µόνο τις τέσσρις πράις της Αριθµητικής, απαιτούν όσο το δυνατόν λιγότρς πράις και που ίναι άµσα υλοποιήσιµα σ έναν Η/Υ. Ένας ορισµός της Α.Α. θα µπορούσ να ίναι : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Αριθµητική Ανάλυση ίναι ο κλάδος των σύγχρονων Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών που ασχολίται µ την Ανάπτυη και την κατασκυή αριθµητικών µθόδων για την ύρση αριθµητικών αποτλσµάτων από αριθµητικά δδοµένα. Παρατηρήσις Η χρησιµοποίηση και η αιοποίηση των µγάλων δυνατοτήτων των Ηλκτρονικών Υπολογιστών θα ήταν πολύ πριορισµένη χωρίς τη γνώση των µθόδων του Αριθµητικού Προσγγιστικού Λογισµού. Η µθοδολογία για την πίλυση νός προβλήµατος µ τη βοήθια της Αριθµητικής Ανάλυσης πιδιώκι :. Την ανύρση της πιο πρόσφορης µθόδου µ την οποία ασφαλίζται η λύση.. Την παλήθυση για να διχτί ότι, η µέθοδος συγκλίνι στη λύση του συγκκριµένου προβλήµατος.. Τον έλγχο της ταχύτητας µ την οποία συγκλίνι η µέθοδος.. Την ύρση του σφάλµατος που έγιν κατά την κτέλση των υπολογισµών αυτών. Την ανάπτυη των Μθόδων θα ακολουθούν πολλά παραδίγµατα και υποδιγµατικοί αλγόριθµοι, για την υλοποίησή τους σ Ηλκτρονικό Υπολογιστή. Στο Εργαστηριακό Μέρος του Μαθήµατος χρησιµοποιίται η γλώσσα προγραµµατισµού C. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Ακρίβια Υπολογισµών - Σφάλµατα Σφάλµατα Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς. Σφάλµατα Όπως έχι ήδη αναφρθί, ένας από τους βασικούς κανόνς που πρέπι να ακολουθίται κατά την πίλυση των προβληµάτων της Αριθµητικής Ανάλυσης, ίναι ο προσδιορισµός του Σφάλµατος που γίνται κατά τη µτατροπή των Μαθηµατικών προβληµάτων στα ισοδύναµά τους, των τσσάρων πράων της Αριθµητικής. Πρέπι δώ να σηµιωθί, ότι η παραγωγή του σφάλµατος ίναι αναπόφυκτη, αφού η µτατροπή γίνται προσγγιστικά. Τι ίναι όµως σφάλµα; ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σφάλµα ίναι η διαφορά της αληθινής τιµής νός αριθµού από την προσγγιστική του τιµή. Έτσι, αν ίναι η προσγγιστική τιµή και η ακριβής ή αληθινή τιµή νός αριθµού, τότ το Σφάλµα δίνται από τη σχέση: ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η αντίθτη ποσότητα του σφάλµατος ονοµάζται ιόρθωση και δίνται από τη σχέση : r ΟΡΙΣΜΟΣ. : Η απόλυτη τιµή του σφάλµατος ονοµάζται Απόλυτο Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή η τιµή που µτρήθηκ ίναι. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι, και η προσγγιστική του τιµή ίναι 999. Να βρθί το Σφάλµα και το Απόλυτο Σφάλµα του. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : 999 Παρατήρηση Όπως φαίνται στα παραπάνω παραδίγµατα. και., το απόλυτο σφάλµα και στις δύο πριπτώσις ίναι το ίδιο. Στη δύτρη όµως πρίπτωση, η µέτρηση θωρίται πιο ακριβής, γιατί υποσυνίδητα συσχτίζουµ το σφάλµα µ την ακριβή τιµή. Γι αυτό µια χρήσιµη έννοια ίναι το Σχτικό Σφάλµα που ορίζται ως ής : ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το πηλίκο του σφάλµατος δια του αριθµού ονοµάζται Σχτικό Σφάλµα και ορίζται από τη σχέση : σ ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα ορίζται από τη σχέση : σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 6

Παράδιγµα. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι., και η προσγγιστική του τιµή. 999. Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Σφάλµα : Απόλυτο Σφάλµα : Σχτικό Σφάλµα : Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα :.999...... σ.. σ.. Παρατηρήσις Όσο µικρότρο ίναι το σχτικό σφάλµα, τόσο καλύτρη ίναι η µέτρηση. Για την προσγγιστική τιµή χρησιµοποιώντας τους Ορισµούς.,. ισχύι η σχέση : σ. Σφάλµατα στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των αριθµητικών πράων υπολογισµών, κτός απ τα σφάλµατα των δδοµένων νός προβλήµατος που οφίλονται σ συστηµατικά ή τυχαία σφάλµατα των οργάνων µτρήσως ή σ αµλητές δυνάµις στη διατύπωση του προβλήµατος, υπισέρχονται σ αυτές κι άλλα σφάλµατα. Σφάλµατα που οφίλονται στην πιλογή της αριθµητικής µθόδου η οποία βρίσκι συνήθως µια προσέγγιση της λύσης, στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και τη συσσώρυση σφαλµάτων, σαν αποτέλσµα πράων. Τα σφάλµατα, γνικά, χωρίζονται σ δύο κατηγορίς: Τα Σφάλµατα Αποκοπής και τα Σφάλµατα Στρογγυλοποίησης... Σφάλµα Αποκοπής Το σφάλµα αποκοπής συναντάται συνήθως στην αποθήκυση πραγµατικών πριοδικών αριθµών στον Η/Υ και κατά των υπολογισµό σιρών, δηλαδή αθροίσµατος όρων, όπως π.χ. τον υπολογισµό του e : e! Τα αθροίσµατα αυτά Σιρές πριέχουν άπιρο πλήθος όρων τους οποίους ίναι αδύνατο να τους αθροίσουµ όλους. Έτσι, προσθέτουµ ένα ορισµένο πλήθος πρώτων όρων, αγνοώντας τους Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 7

υπόλοιπους. Το σφάλµα, στην πρίπτωση αυτή, ίναι :!!! και ονοµάζται Σφάλµα Αποκοπής... Σφάλµα Στρογγυλοποίησης Κατά την κτέλση των πράων, όταν αυτές κτλούνται µ Η/Υ, δν ίναι δυνατό να χρησιµοποιηθούν αριθµοί µ πολύ µγάλο πλήθος ψηφίων, γιατί ίναι αδύνατη η αποθήκυσή τους στη Μνήµη του Η/Υ. Έτσι, οι πραγµατικοί αριθµοί αντικαθίστανται από άλλους, οι οποίοι έχουν λιγότρα ψηφία. Η διαδικασία αυτή ονοµάζται Στρογγυλοποίηση και το σφάλµα που προκύπτι Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Η στρογγυλοποίηση δ γίνται αυθαίρτα, αλλά ακολουθούνται κάποιοι κανόνς που σκοπό έχουν να λαχιστοποιήσουν το σφάλµα της απόρριψης των ψηφίων... Στρογγυλοποίηση καδικών Αριθµών µ Πολλά Ψηφία Στη στρογγυλοποίηση νός αριθµού σ k δκαδικά ψηφία, παραλίπουµ τα ψηφία από την k θέση και µτά. Το ψηφίο της k θέσης το αφήνουµ όπως ίναι ή το αυάνουµ κατά µια µονάδα, αν το µέρος που παραλίπται ίναι µγαλύτρο από µισή µονάδα της k δκαδικής τάης. Στην πρίπτωση που το µέρος που παραλίπται ίναι ακριβώς µισή µονάδα της k δκαδικής τάως, τότ, αν ο k ψηφίο ίναι άρτιο, το αφήνουµ ως έχι, διαφορτικά το αυάνουµ κατά. Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 9,8 7,,6,,,, δκαδικά ψηφία. π.96. 96 στρογγυλοποίηση σ 9 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 8 δ.ψ..96 στρογγυλοποίηση σ 7 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ 6 δ.ψ..9 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ..6 στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ.. στρογγυλοποίηση σ δ.ψ. Παρατήρηση Η στρογγυλοποίηση, ανάλογα µ τον τρόπο που γίνται µπορί να έχι διαφορτικά αποτλέσµατα, όπως φαίνται στο πόµνο παράδιγµα : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 8

Παράδιγµα. Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός π. 96σ 7 δκαδικά ψηφία. π.96. 97. 96 του Παραδίγµατος.. Παράδιγµα.6 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 8 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ..8. 8 Παράδιγµα.7 Να στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. 7 σ δκαδικά ψηφία δ. ψ..7. 8 ΟΡΙΣΜΟΣ.6 : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι πάντοτ : k Παράδιγµα.8 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7σ k δ. ψ..7.7... k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 9

Παράδιγµα.9 Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.7 σ k δ.ψ. k.8.7... ΟΡΙΣΜΟΣ.7 : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k δκαδικά ψηφία όταν ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί. και....9.9. άρα συµφωνούν σ δκαδικά ψηφία. ΟΡΙΣΜΟΣ.8 : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δκαδικού αριθµού σ k δκαδικά ψηφία δ. ψ., για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι : k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 7 σ k δ.ψ..7.7.. k. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. 79 σ k δ.ψ..7.79.9.9. k.. Παράσταση Αριθµών στον Η/Υ Στην καθηµρινή µας ζωή χρησιµοποιούµ το δκαδικό σύστηµα αρίθµησης. Στο σύστηµα αυτό κάθ αριθµός γράφται µ µοναδικό τρόπο, σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του, µ συντλστές τα ψηφία,,,,,,6 7,,8, 9. Παράδιγµα. Ο αριθµός 9 του δκαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 9 9 Παρατήρηση Οι Η/Υ χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. Έτσι, κάθ αριθµός γράφται σαν γραµµικός συνδυασµός δυνάµων του. Παράδιγµα. Ο αριθµός του δυαδικού συστήµατος µπορί να γραφί σαν : 8.. Παράσταση Ακραίων Αριθµών στον Η/Υ Αν έχουµ έναν Η/Υ που διαθέτι k bts για την παράσταση νός ακέραιου αριθµού, µ το πρώτο να παριστάνι το πρόσηµο του αριθµού Θτικός Αρνητικός, τότ οι ακέραιοι που k k µπορούν να παρασταθούν από τον υπολογιστή θα ανήκουν στο διάστηµα [, ]. Συνήθως οι Η/Υ διαθέτουν 6 bts bytes για την παράσταση των ακραίων, ποµένως οι 6 6 ακέραιοι που µπορούν να παρασταθούν θα βρίσκονται στο διάστηµα [, ] [ 768, 767 ]. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

.. Παράσταση Πραγµατικών Αριθµών στον Η/Υ Κάθ αριθµός µπορί να γραφί στη δκαδική του µορφή µ ένα ακέραιο και ένα δκαδικό µέρος, το οποίο µπορί να αποτλίται από άπιρα ψηφία, όπως φαίνται στα πόµνα παραδίγµατα :..6798.. Παρατηρήσις Στη µνήµη νός υπολογιστή ίναι αδύνατο να παραστήσουµ αριθµούς µ άπιρο πλήθος ψηφίων, γιατί το µέγθος της µνήµης ίναι ππρασµένο. Αποθηκύται µια κατάλληλη προσέγγιση του αριθµού, η οποία αρτάται από το πρόβληµα που λύνουµ. Όπως το ακέραιο µέρος γράφται σαν άθροισµα δυνάµων του στο δκαδικό σύστηµα αρίθµησης, έτσι και το δκαδικό µέρος γράφται σαν άθροισµα αρνητικών δυνάµων του. Παράδιγµα. 9. 9 Στο δυαδικό σύστηµα αντίστοιχα θα έχουµ :. Κάθ πραγµατικός αριθµός µπορί να παρασταθί µόνο µ δκαδικό µέρος ακέραιο µέρος, αφού πολλαπλασιαστί µ κατάλληλη δύναµη της βάσης του αντίστοιχου αριθµητικού συστήµατος. Παράδιγµα.6 9..9.. ΟΡΙΣΜΟΣ.9 : Σ ένα αριθµητικό σύστηµα, µ βάση β, ορίζουµ τον αριθµό σαν Aριθµό Kινητής Yποδιαστολής ltg pt µήκους ως ής : ±.d d d β, d Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

όπου : β η βάση του αριθµητικού συστήµατος.d d το κλασµατικό µέρος, γνωστό και σαν mtss, µ d d,d,, d d ψηφία του συστήµατος ο κθέτης Παρατηρήσις Τα d καλούνται σηµαντικά ψηφία του αριθµού.,d,, d Για Απλή Ακρίβια, νώ για ιπλή Ακρίβια. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Σηµαντικά Ψηφία σ.ψ νός δκαδικού αριθµού ονοµάζονται όλα τα ψηφία του αριθµού, κτός από τυχόν µηδνικά που υπάρχουν στην αρχή του αριθµού. Παράδιγµα.7 Ο αριθµός.7 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.6 έχι σηµαντικά ψηφία Ο αριθµός.8 έχι σηµαντικά ψηφία Παρατηρήσις Τα σηµαντικά ψηφία παίζουν σηµαντικό ρόλο στην σωτρική παράσταση του αριθµού στον Η/Υ. Αν µ m συµβολίσουµ το κλασµατικό µέρος, τότ ο γράφται σαν ± m β Συνήθως οι αριθµητικοί υπολογισµοί γίνονται σ αριθµητική κινητής υποδιαστολής. Για το δκαδικό µέρος m ισχύι m <, αφού το πρώτο ψηφίο ίναι πάντα. β Παράδιγµα.8 Στο καδικό σύστηµα β :. m.9999999 <. Στο υαδικό σύστηµα β :.. m..9999999 <. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παρατήρηση Σ έναν Η/Υ µ k bts για τη mtss γίνται στρογγυλοποίηση ή αποκοπή σ k δυαδικά ψηφία.d d d.d d ως ής : : d k Αποκοπή : Αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d, αποθηκύονται τα ψηφία,d,, d k k d. Στρογγυλοποίηση : Προστίθται στον αριθµό το και απ τον νέο αριθµό αποκόπτονται τα ψηφία d k,d k,, d και αποθηκύονται τα ψηφία d,d,, d k. Παράδιγµα.9 Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : 6 m. Στρογγυλοποίηση : 6 9.97 m.. 8 m : Αποκοπή σ k 7 ψηφία :. 8 6 8 8 77 8 7 m. 6.66 Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος.9. Αν m.6. και k 7, τότ Αποκοπή : m m.97.6.6. 6 σ m.6.6.66666 Στρογγυλοποίηση : m m.66.6.6. 6 σ.6.66666 m.6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης ισχύι : k k Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ..... k.... Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα στρογγυλοποίησης του αριθµού.σ k δ. ψ..... k.... ΟΡΙΣΜΟΣ. : Κατά τη στρογγυλοποίηση µ αποκοπή νός δυαδικού αριθµού σ k δυαδικά ψηφία, για το απόλυτο σφάλµα αποκοπής ισχύι πάντοτ: k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού. σ k δ. ψ.... k. Παράδιγµα. Να βρθί το απόλυτο και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα αποκοπής του αριθµού.σ k δ. ψ. k.... Παρατήρηση Για έναν Η/Υ που διαθέτι χαρακτήρς bytes για την παράσταση των πραγµατικών αριθµών, από τους οποίους τον χαρακτήρα για τον κθέτη και τους υπόλοιπους χαρακτήρς για το δκαδικό µέρος, αν το πρώτο ψηφίο διατίθται για το πρόσηµο του αριθµού, τότ ο 8 8 κθέτης e ανήκι στο διάστηµα [, ] [ 8, 7 ], οπότ ο υπολογιστής 8 7 µπορί να αποθηκύσι αριθµούς που βρίσκονται στο διάστηµα [, ]. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : k. e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού m k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 6

Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα. 9..9 m.9 σ m 9. 9... σ. 9. k.87. 9. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Όταν ένας αριθµός δίνται στρογγυλµένος σ k σηµαντικά ψηφία, για το απόλυτο σχτικό σφάλµα στρογγυλοποίησης θα ισχύι : σ k k Παράδιγµα.6 Όταν ο αριθµός., δίνται στρογγυλµένος σ σ.ψ. δ.ψ να βρθούν φράγµατα για το Απόλυτο Σφάλµα και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού. Απόλυτο Σφάλµα :. Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ. ΟΡΙΣΜΟΣ. : Οι αριθµοί, συµφωνούν σ k σηµαντικά ψηφία, αν ισχύι : σ k Παράδιγµα.7 Οι αριθµοί. 78 και., συµφωνούν σ σ.ψ. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 7

Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα : σ..78.78.6.78.7. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης νός αριθµού στο k δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ίναι : Επίσης, m < m οπότ : e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η m k k m. σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.8 Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός..6 m. σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα. σ.... 7 m.....6 k 6 m σ.87.6.. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k πραγµατικού αριθµού στο δκαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 8

ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και η mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : Επίσης, m < m e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού k m m. οπότ : σ m e m m e e m m m e e m m m k k Παράδιγµα.9 Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός 9. m.9 σ k σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του. 9..9 m.9 σ m 9. 9... σ. 9. k.87. 9. ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της στρογγυλοποίησης µ αποκοπή νός k αριθµού στο δυαδικό σύστηµα σ k σηµαντικά ψηφία ίναι. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : e Αν m η ακριβής τιµή του αριθµού και mtss στρογγυλοποιίται σ k σ.ψ. θα ισχύι : οπότ : σ m e m m e e m m m e e m η τιµή που αποθηκύται, τότ, αφού η e m m <, m k m. Επίσης, m m m k k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 9

Παράδιγµα. Αφού στρογγυλοποιηθί µ αποκοπή ο αριθµός. m..6 σ k 6 σ.ψ., να βρθί το απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του.... σ. m......86 k 6 m σ... Παράδιγµα. Να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του Παραδίγµατος.9. 7 6 Αποκοπή : m σ. 6 6 7 Στρογγυλοποίηση : m. 78 8 ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα των Θωρηµάτων. και. ονοµάζται αριθµός µηχανής και ορίζται σαν m k k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή και γνικά m β k β k στη στρογγυλοποίηση στην αποκοπή Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παρατήρηση Ο Αριθµός Μηχανής αντιπροσωπύι το µέγιστο σχτικό σφάλµα στην προσέγγιση του 6 αριθµού που αποθηκύται και κυµαίνται µταύ του και. Παράδιγµα. Να βρθί ο Αριθµός Μηχανής σ έναν Η/Υ που διαθέτι k για Αριθµούς Απλής Ακρίβιας και k για Αριθµούς ιπλής Ακρίβιας. Στρογγυλοποίηση : Αποκοπή : k 6 m.9 k για ιπλή Ακρίβια m, για Απλή Ακρίβια k 6 m.8 k για ιπλή Ακρίβια m. Απώλια Σηµαντικών Ψηφίων Όπως στην αποθήκυση των αριθµών, έτσι και κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής και ιδίως όταν ργαζόµαστ µ Η/Υ, ργαζόµαστ µ πριορισµένο αριθµό σηµαντικών ψηφίων π.χ. στην αποθήκυση νός δυαδικού αριθµού η mtss στρογγυλοποιίται σ δυαδικά ψηφία, οπότ, αν οι αριθµοί που δίνονται διαφέρουν στον αριθµό των σηµαντικών ψηφίων, κάποια σηµαντικά ψηφία των µικρότρων αριθµών χάνονται, όπως φαίνται στα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. y...7 y...7.7 σ y.8.8 y.8.7.. y. y.66.66 y.7 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y... y.... σ y. y... y. y.. y... Παράδιγµα. Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. y...6 y...6.6 σ y.6 y.6.6. y. y.6.6 y.6.6. Παράδιγµα.6 Αν. και y. να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. / y. /..6 / y. /..6.6 σ / y.6.6 / y.6.6.. / y. / y.6.6 / y.6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Παρατήρηση Λόγω πριορισµένου αριθµού σηµαντικών ψηφίων, σ πολλές πριπτώσις καταστρατηγούνται και οι νόµοι της αριθµητικής, όπως η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση και τον πολλαπλασιασµό. Χαρακτηριστικά ίναι τα παραδίγµατα που ακολουθούν. Παράδιγµα.7 Αν οι αριθµοί., y. και z. δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y z και y z. y z....7 y z y z ποµένως...6...7......7.8.6.7... y z.8 y z.7 y z.7 y z y z.7.7. y z y z. y z y z.8.7.7.7 Παράδιγµα.8 Αν οι αριθµοί., y. 6 και z. 7 δίνονται στρογγυλµένοι σ σ.ψ. να διχθί ότι δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στν πολλαπλασιασµό, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y z και y z. y z y z..6...7..6.7.6...7.. y z..6.7...68..7.. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

ποµένως y z.. y z y z.68 y z y z y z..68.68.68 yz y z y z..68... Μτάδοση Σφαλµάτων στους Υπολογισµούς Κατά την κτέλση των τσσάρων πράων της αριθµητικής, όπου χρησιµοποιούνται αρχικά δδοµένα προρχόµνα από µτρήσις, τα σφάλµατα των πληροφοριών της ισόδου µταδίδονται κατά τέτοιον τρόπο, ώστ οι πληροφορίς όδου να πριέχουν πίσης σφάλµατα. Σχτικά µ τη διάδοση των σφαλµάτων αποδικνύουµ τα παρακάτω θωρήµατα : ΘΕΩΡΗΜΑ. : Το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος ή της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και του αθροίσµατος ή της διαφοράς ± y θα ίναι :, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ το απόλυτο σφάλµα ± ± ± ± ± y y y y y y y Παράδιγµα.9 Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. m.. y y. Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

m y y... ΘΕΩΡΗΜΑ.6 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του αθροίσµατος ή πρισσότρων αριθµών που έχουν το ίδιο πρόσηµο ισούται µ το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και, y οι προσγγιστικές τιµές θτικών αριθµών, τότ : σ y y y σ y σy y y y σ y y y σy y σ y y σy Αν m, σ,y σ σy τότ σ y σ y σy σ y σy σ,y y σ,y y σ,y y y y y m, σ,y σ σy Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. 7 σ y. y σ y.77. y y,y m, y. σ σ y σ σ y σ y y,y y..7. σ Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

ΘΕΩΡΗΜΑ.7 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα της διαφοράς ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σφαλµάτων δια της διαφοράς αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Απ τον ορισµό του σχτικού σφάλµατος και τη χρήση του Θωρήµατος. θα έχουµ : σ y y y y y Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y.. σ y. y σ y y......... y σ y.8888 y σ y y.8888.. y σ y y Παρατήρηση Όταν οι αριθµοί που αφαιρούνται δν έχουν µγάλη διαφορά, δν υπάρχι µγάλη ακρίβια στην αφαίρση. Παράδιγµα. Αν 7. και y 7. να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της διαφοράς στρογγυλµένοι σ δ.ψ.. y, όταν οι αριθµοί, y δίνονται Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 6

7. σ y 7. y σ y y.6.6 7. 7...... y σ y y y y.769.. σ.769 δηλαδή το σχτικό σφάλµα της διαφοράς ίναι 9 φορές το απόλυτο σχτικό σφάλµα του κάθ αριθµού. Στο ίδιο συµπέρασµα θα φτάναµ µ τους παρακάτω υπολογισµούς : y 7. 7.. y y..., οπότ το τλυταίο ψηφίο της διαφοράς δν ίναι ακριβές αφού το y., νώ το σχτικό σφάλµα θα ίναι : y.. y σ y.769 ΘΕΩΡΗΜΑ.8 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του γινοµένου ή πρισσότρων αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν, y ίναι οι ακριβίς και σ y y y y σ y y y y σy, y οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : y σ y y σy y σ σy y y σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy σ σy Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 7

Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 8 Παράδιγµα. Αν. και. y οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών y,, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y, όταν οι αριθµοί y, δίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός. y 6.7.. y.8 9. σ.. y y y σ 7...8 y y y y σ σ σ.9798 6.7.7 y y y y y σ σ σ ΘΕΩΡΗΜΑ.9 : Το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του πηλίκου αριθµών ισούται µ το άθροισµα των απολύτων σχτικών σφαλµάτων αυτών των αριθµών. ΑΠΟ ΕΙΞΗ : Αν y, ίναι οι ακριβίς και y, οι προσγγιστικές τιµές αριθµών, τότ : y y y y y y y y y y y y y / y / σ σ σ σ σ σ σ y y y y σ σ σ σ σ σ σ αν θωρήσουµ το y σ πολύ µικρό, ώστ να πηράζι τον παρονοµαστή που ίναι.

Παράδιγµα. Αν. και y. οι στρογγυλοποιηµένς τιµές αριθµών, y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του πηλίκου / y, όταν οι αριθµοί, yδίνονται στρογγυλµένοι σ δ.ψ. ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y. / y. /..6.8. 9 σ y. y σ y. / y y.8.. 7 σ / y σ / y σ / y / y / y y / y.7.6 σ σ σ.8777. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 9

Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Η ακριβής τιµή νός αριθµού ίναι 7. 8, νώ η προσγγιστική του τιµή ίναι 7.9999. Να βρθί το Σφάλµα, το Απόλυτο Σφάλµα, το Σχτικό Σφάλµα, και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα του αριθµού.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ, και δ.ψ.. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα δ.ψ. και σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8 και 7.9999. Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8 και 7. 9999.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός 7. 8 σ σ.ψ. δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Να βρθί σ πόσα σ.ψ. συµφωνούν οι αριθµοί 7. 8και 7. 9999. Το ίδιο για τους αριθµούς 7. 8και 7. 9999. 6. Αφού στρογγυλοποιηθί µ Αποκοπή ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό 7. 9999. 7. Αφού στρογγυλοποιηθί µ Στρογγυλοποίηση ο αριθµός 7. 8 σ δ.ψ. να βρθί το Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό 7. 9999. 8. Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο, το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Το ίδιο για τον αριθµό.. 9. Αφού µτατραπί ο αριθµός.6 στο δυαδικό σύστηµα και στρογγυλοποιηθί σ 7 σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής. Το ίδιο για τον αριθµό... Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός. σ σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής.. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός.7 σ σ.ψ. µ Στρογγυλοποίηση να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Στρογγυλοποίησης. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

. Αφού στρογγυλοποιηθί ο αριθµός.7 σ σ.ψ. µ Αποκοπή να βρθί το Απόλυτο και το Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής, και το Μέγιστο Απόλυτο και το Μέγιστο Απόλυτο Σχτικό Σφάλµα Αποκοπής.. Αν οι αριθµοί. 66, y. δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικά ψηφία, να βρθί να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του Αθροίσµατος y, λόγω απώλιας σηµαντικών ψηφίων.. Αν οι αριθµοί. 66, y. δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικά ψηφία, να βρθί να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα της ιαφοράς y, λόγω απώλιας σηµαντικών ψηφίων. 6. Αν οι αριθµοί. 66, y. δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικά ψηφία, να βρθί να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα του Γινοµένου y, λόγω απώλιας σηµαντικών ψηφίων. 7. Αν οι αριθµοί. 66, y. δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικά ψηφία, να βρθί να βρθί το απόλυτο σφάλµα και το απόλυτο σχτικό σφάλµα του Πηλίκου / y, λόγω απώλιας σηµαντικών ψηφίων. 8. Να αποδιχθί ότι αν οι αριθµοί. 66, y. 66, z. 66 δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικά ψηφία, δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στην πρόσθση, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του αθροίσµατος y z. 9. Να αποδιχθί ότι αν οι αριθµοί., y., z. 7 δίνονται στρογγυλµένοι σ σηµαντικό ψηφίο, δν ισχύι η προσταιριστική ιδιότητα στον Πολλαπλασιασµό, δηλαδή y z y z και να βρθί το απόλυτο σφάλµα του γινοµένου y z.. Αν οι αριθµοί., y. δίνονται στρογγυλµένοι σ ένα δκαδικό ψηφίο ο αριθµός και σ δύο δ.ψ. ο αριθµός y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του Αθροίσµατος y.. Αν Αν οι αριθµοί., y. δίνονται στρογγυλµένοι σ ένα δκαδικό ψηφίο ο αριθµός και σ δύο δ.ψ. ο αριθµός y, να βρθί να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της ιαφοράς y.. Αν οι αριθµοί., y. δίνονται στρογγυλµένοι σ ένα δκαδικό ψηφίο ο αριθµός και σ δύο δ.ψ. ο αριθµός y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του Γινοµένου y.. Αν οι αριθµοί., y. δίνονται στρογγυλµένοι σ δκαδικό ψηφίο ο αριθµός και σ δ.ψ. ο αριθµός y, να βρθί το µέγιστο απόλυτο σχτικό σφάλµα και το µέγιστο απόλυτο σφάλµα του Πηλίκου / y. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Σιρές - Συναρτήσις Αναλυτικές Συναρτήσις Εφαρµογές σ Αναπτύγµατα Στοιχιωδών Συναρτήσων Υπολογισµός της Τιµής Πολυωνύµου - Σχήµα Hrer Υπολογισµός της Τιµής της Παραγώγου Πολυωνύµου Υπολογισµός της Τιµής όλων των Παραγώγων Πολυωνύµου. Γνικά Η ύρση των τιµών µιας συνάρτησης απ το Μαθηµατικό της τύπο δηµιουργί ορισµένα προβλήµατα ακρίβιας, γι αυτό αναζητούµ χρήσιµς κφράσις για τις στοιχιώδις Αναλυτικές Συναρτήσις κατάλληλς για κάθ συγκκριµένο τύπο συνάρτησης, ώστ οι κτλούµνς πράις να έχουν το λάχιστο δυνατό σφάλµα. Σαν χαρακτηριστικό παράδιγµα θα µπορούσαν να αναφρθούν τα αναπτύγµατα των συναρτήσων σ σιρές Tylr και McLur.. Αναλυτικές Συναρτήσις ΟΡΙΣΜΟΣ. : Για µια πραγµατική συνάρτηση ορισµένη σ ένα διάστηµα α,β R,, α, β :!!! Αν η συνάρτηση ίναι πολυώνυµο βαθµού, θα υπάρχουν οι παράγωγοι µέχρι βαθµού, οπότ ο παραπάνω τύπος γίνται :!!! Αν στον παραπάνω τύπο τθί, ο τύπος γίνται : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

!! Όταν θέλουµ να χρησιµοποιήσουµ τους από τους άπιρους όρους του αναπτύγµατος της σιράς Tylr που πιθανόν να υπάρχουν, ο παραπάνω τύπος γίνται :!! όπου [m,,m, ] Αν στον παραπάνω τύπο τθί, βρίσκουµ το γνωστό τύπο του McLur :!! ΟΡΙΣΜΟΣ. : Το πολυώνυµο Tylr P k! k k k ονοµάζται πολυώνυµο του Παράδιγµα. ίνται η συνάρτηση. Να αναπτυχθί σ Σιρά Tylr στο σηµίο. Υπολογίζουµ τις παραγώγους µέχρι ης τάης, µιας και ο βαθµός του πολυωνύµου ίναι : 6 6 οπότ!! 6 6!! Παράδιγµα. ίνται η συνάρτηση.. Να αναπτυχθί σ Σιρά McLur στο σηµίο Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Αντίστοιχα θα έχουµ!! 6 6!!. Εφαρµογές σ Αναπτύγµατα Στοιχιωδών Συναρτήσων Μπορούµ πίσης να κφράσουµ στοιχιώδις συναρτήσις λογαριθµικές, τριγωνοµτρικές προσγγιστικά µ τη βοήθια πολυωνύµων ή να τις αναπτύουµ σ ακέραις σιρές κατά Τylr. Πριοριζόµαστ δώ σ σιρές των οποίων οι συντλστές µπορούν να κφραστούν µ απλές µαθηµατικές σχέσις... Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της συνάρτησης, < < Για τη συνάρτηση αυτή ως γνωστόν ισχύι :,!!!! 6!! και γνικά :!! Εφαρµόζοντας τον τύπο του Mclur βρίσκουµ :!!! Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

.. Ανάπτυγµα σ Σιρά McLur της κθτικής συνάρτησης e Για τη συνάρτηση αυτή ως γνωστόν ισχύι : και e Εφαρµόζοντας τον τύπο του Mclur βρίσκουµ : e!!!! Παρατήρηση Για τον προσγγιστικό υπολογισµό του e και για µικρά χρησιµοποιούµ τον παρακάτω αλγόριθµο, ο οποίος ίναι κατάλληλος για Ηλκτρονικό Υπολογιστή : Αλγόριθµος Υπολογισµού του e Αρχή e ldrs rs Για Όσο ldrs rs { ldrs rs rs rs e e rs } Τέλος > 6.. Σφάλµα Αποκοπής ιόρθωση στον Υπολογισµό Σιρών Οι Σιρές αναπτύγµατα Mclur πριέχουν άπιρο πλήθος όρων τους οποίους ίναι αδύνατο να τους αθροίσουµ όλους. Έτσι, προσθέτουµ ένα ορισµένο πλήθος πρώτων όρων, αγνοώντας τους υπόλοιπους. Το σφάλµα αυτό ονοµάζται Σφάλµα Αποκοπής και συµβολίζται µ, νώ η ιόρθωση το αντίθτο του Σφάλµατος Αποκοπής µ r. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 6.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της συνάρτησης, < < Αν s και s η ακριβής και η προσγγιστική έκφραση της Σιράς, < <, η ιόρθωση r θα ίναι : s s r Παράδιγµα. Να χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος για τον υπολογισµό της Σιράς, και να βρθί η ιόρθωση s s r r. Η ακριβής τιµή s η προσγγιστική s και η διόρθωση r θα ίναι αντίστοιχα : s s.9687 6 8 6 6 8..9687 s s r r Στο ίδιο αποτέλσµα φτάνουµ µ τη χρήση της αναλυτικής έκφρασης που βρέθηκ στο.. :. r r

Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 7.. ιόρθωση στον Υπολογισµό της κθτικής συνάρτησης, e < < Αν! s η ακριβής και! s η προσγγιστική έκφραση της Σιράς, e < <, η ιόρθωση r θα ίναι :!!!!!! s s r <! < <!!! Ισχύι όµως : < < Επίσης < > > < < και < οπότ το ανώτατο φράγµα για τη ιόρθωση γίνται : < < <!!!! r Παράδιγµα. Να χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος για τον υπολογισµό της Σιράς,! e και να βρθί η ιόρθωση και το ανώτατο φράγµα για τη ιόρθωση s s r r.

Η ακριβής τιµή s η προσγγιστική s και η διόρθωση r θα ίναι αντίστοιχα : s s! e.6877!!!!! 6 8 9 8 8 8 8 8 8 8 6.686979 8 r r s s.6877.686979.7 Το ανώτατο φράγµα για τη ιόρθωση µ τη χρήση της αναλυτικής έκφρασης που βρέθηκ στο.. θα ίναι : r r <!! 6 8.6. Εύρση Τιµής Πολυώνυµου - Σχήµα Hrer ίνται το πολυώνυµο : p p p p P βαθµού ως προς, µ p p p p R,,,,, και R και ζητίται η τιµή του πολυώνυµου P p, για. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να βρούµ την τιµή P : Ο πιο απλός και πολυδάπανος τρόπος ίναι να υπολογίσουµ αναλυτικά τον καθένα από τους παραπάνω όρους και να τους αθροίσουµ. Π.χ. για τον υπολογισµό του µγιστοβάθµιου όρου p πολλαπλασιάζουµ το συντλστή p πί τον αριθµό, το γινόµνο p πί τον αριθµό, το νέο γινόµνο p ανά πί κ.ο.κ. µέχρι να βρούµ τον όρο p. Έτσι, για την ύρση του πρώτου όρου κτλούµ συνολικά πολλαπλασιασµούς. Για την ύρση της - τιµής του δύτρου όρου p πολλαπλασιάζουµ τον συντλστή p πί, το γινόµνο - p ανά πί κ.ο.κ. µέχρι να βρούµ τον όρο p. Κάνουµ έτσι για την ύρση του - δύτρου όρου, πολλαπλασιασµούς. Μ τον ίδιο τρόπο συνχίζουµ και p βρίσκουµ όλους τους όρους µέχρι και τον προτλυταίο p -, που για να τον βρούµ κάνουµ έναν πολλαπλασιασµό. Για την ύρση όλων των παραπάνω όρων του αθροίσµατος θα Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 8

χριαστούν πολλαπλασιασµοί και για την ύρση P p p p θα χριαστούν προσθέσις. του αθροίσµατος p Η παραπάνω διαδικασία µπορί να παρασταθί µ τον παρακάτω αλγόριθµο : Αλγόριθµος Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου Αρχή Θέσ sum p.. Για { Θέσ rs p Για j.. Υπολόγισ rs rs Υπολόγισ sum sum rs } Τέλος Ένας δύτρος και πιο σύντοµος τρόπος για την ύρση της τιµής P ίναι αρχίζοντας από τον τλυταίο προς τον πρώτο όρο, να σχηµατίζουµ τη δύναµη του κάθ όρου από τη δύναµη του προηγούµνου όρου. Πολλαπλασιάζοντας το πί τον συντλστή p - βρίσκουµ το p κάνοντας έναν πολλαπλασιασµό. Πολλαπλασιάζοντας το πί το βρίσκουµ το, το οποίο πολλαπλασιάζουµ πί τον συντλστή p βρίσκοντας το πολλαπλασιασµούς. Συνχίζουµ πολλαπλασιάζοντας το p πί το βρίσκοντας το κάνοντας δύο, το οποίο πολλαπλασιάζουµ πί τον συντλστή p κάνοντας δύο πολλαπλασιασµούς κ.λ.π., µέχρι που τλικά πολλαπλασιάζουµ το πί το βρίσκοντας το, το οποίο πολλαπλασιάζουµ πί τον συντλστή p κάνοντας άλλους δύο πολλαπλασιασµούς. Έτσι για την ύρση των όρων του αθροίσµατος P κάνουµ συνολικά πολλαπλασιασµούς και προσθαφαιρέσις για την ύρση του αθροίσµατος P. Η παραπάνω διαδικασία µπορί να παρασταθί µ τον παρακάτω αλγόριθµο : Αλγόριθµος Υπολογισµός Τιµής Πολυωνύµου Αρχή Θέσ sum p Θέσ dymh_ks Για.. { Υπολόγισ Υπολόγισ Υπολόγισ } Τέλος dymh_ks dymh_ks rs p dymh_ks sum sum rs Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 9

Συγκρίνοντας τους δυο τρόπους που πριγράψαµ από την άποψη του πλήθους πράων, που απαιτούνται για την ύρση της τιµής P βλέπουµ ότι και στις δυο πριπτώσις χριάζται το ίδιο πλήθος προσθαφαιρέσων, νώ για το πλήθος των πολλαπλασιασµών που απαιτούνται σχηµατίζουµ τη διαφορά : Η έκφραση του δύτρου µέλους δίχνι ότι κτός από τις πριπτώσις και, οπότ η διαφορά ίναι µηδέν, για κάθ άλλη τιµή του η διαφορά ίναι θτική και ποµένως το πλήθος των πολλαπλασιασµών, άρα και το πλήθος των πράων, στη δύτρη πρίπτωση ίναι µικρότρο. Ένας ταχύτρος από τους δυο προηγούµνους τρόπος για την ύρση της τιµής του P ίναι ο ής : Γράφουµ το P p p p p P p p p. p µ τη µορφή p, οπότ, βρίσκουµ το συντλστή q p q κάνοντας έναν πολλαπλασιασµό του πί το και µια προσθαφαίρση των όρων p και q, βρίσκουµ το συντλστή q κάνοντας πάλι έναν πολλαπλασιασµό και µια προσθαφαίρση κ.ο.κ. και τέλος βρίσκουµ το συντλστή q P κάνοντας έναν ακόµη πολλαπλασιασµό και µια προσθαφαίρση. Μ τον τρόπο αυτό βρίσκουµ την τιµή P κάνοντας συνολικά πολλαπλασιασµούς και προσθαφαιρέσις. Όπως παρατηρούµ ο αριθµός των προσθαφαιρέσων ίναι ο ίδιος, νώ ο αριθµός των πολλαπλασιασµών ίναι, κτός από την πρίπτωση, µικρότρος από την προηγούµνη πρίπτωση. Αυτό βέβαια φαίνται από την διαφορά : που για ίναι πάντοτ θτική. Η µέθοδος αυτή, κτός από το ότι πλονκτί από τις δυο προηγούµνς από την άποψη του πλήθους των απαιτούµνων πράων, έχι και το πλονέκτηµα να βρίσκι τις τιµές των παραγώγων του πολυωνύµου. Στηρίζται στην παρατήρηση ότι η τιµή P ίναι το υπόλοιπο της διαιρέσως του πολυωνύµου P δια του µονωνύµου. Από τη γνωστή ταυτότητα της διαιρέσως των πολυώνυµων διά του µονωνύµου έχουµ : Q r P. όπου : Q το πηλίκο r το υπόλοιπο Είναι φανρό ότι το υπόλοιπο της διαιρέσως αυτής ίναι σταθρός αριθµός και βρίσκται αµέσως, αν θέσουµ στον τύπο. : Q r r P Εάν Q ίναι το ζητούµνο πηλίκο, τότ θα ίναι βαθµού - : Q q q q q Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

οπότ, από την. θα έχουµ : q q q q r P ή p p p p P q q q q q r q και ισώνοντας τους αντίστοιχους συντλστές έχουµ : p q p q p p p q q q q q r q οπότ, οι συντλστές q,q,, q και το r δίνονται απ τις σχέσις : q p q p q q p q q p q p q r Οι παραπάνω τύποι του Υπολογισµού των συντλστών του Πηλίκου και του Υπολοίπου µπορούν να γραφούν σ µορφή Αλγορίθµου : Αλγόριθµος Σχήµατος Hrer Αρχή Υπολόγισ q p Για.. Υπολόγισ q Υπολόγισ r Τέλος p q P p q Μ τη χρήση των παραπάνω τύπων δηµιουργούµ το παρακάτω σχήµα, το οποίο µας πιτρέπι τον άµσο υπολογισµό των συντλστών του πηλίκου και του υπολοίπου, το οποίο ίναι γνωστό ως Σχήµα Hrer : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Σχήµα Hrer p p p q q - q q q P r Παράδιγµα. ίνται το πολυώνυµο P. Nα υπολογιστί το P. Κατασκυάζουµ το σχήµα Hrer για το P : - - - 6 8 7 9 P από το οποίο βρίσκουµ: Q 7 r P 9 Όταν το ίναι ρίζα του Πολυωνύµου P, τότ r P, όπως φαίνται στο πόµνο παράδιγµα : Παράδιγµα.6 ίνται το πολυώνυµο : P Να υπολογιστούν το πηλίκο και το υπόλοιπο P της διαιρέσώς του δια του µονωνύµου. Κατασκυάζουµ το σχήµα Hrer για το P : - - - P Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

από το οποίο βρίσκουµ: Q r P.. Υπολογισµός Τιµής Παραγώγου Πολυωνύµου σ Κάποιο Σηµίο Αν παραγωγίσουµ τη σχέση. θα έχουµ : P και P Q Q r Q Q Q Q Q δηλαδή, η Τιµή της Παραγώγου του Πολυωνύµου P στο ισούται µ την Τιµή του Πολυωνύµου Q στο, η οποία µπορί να υπολογισθί µ το σχήµα του Hrer : C r Q όπου C c c c c q q q - c c - c c c - r Q P Παράδιγµα.7 ίνται το πολυώνυµο P. Να βρθί µ το Σχήµα του Hrer η τιµή της παραγώγου του στο σηµίο. Εφαρµόζουµ φορές το Σχήµα του Hrer για το P και Q, οπότ έχουµ : - - - P P Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

.. Υπολογισµός των Τιµών Όλων των Παραγώγων Πολυωνύµου σ Κάποιο Σηµίο Για την ύρση των τιµών όλων των παραγώγων του πολυωνύµου P p p p p στο σηµίο ργαζόµαστ ως ής. p Καταρχήν από το θώρηµα του Tylr έχουµ : P P P P P.!!! Εφαρµόζοντας τώρα διαδοχικά την ταυτότητα της διαιρέσως του P δια του συνέχια των διαδοχικών πηλίκων δια θα έχουµ : και στη P Q Q r... Q Q Q r Q r Q r Q r Από τις παραπάνω σχέσις µ διαδοχικές αντικαταστάσις έχουµ : P Q r r Q r r Q r r r r r. Εισώνοντας τώρα τους συντλστές των ίδιων δυνάµων του διών µλών των σχέσων. και. θα έχουµ : r P r P /! r P /! r P /! στα δυο αναπτύγµατα των Οπότ γνικά ισχύι : P k k! r k k Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Από τις παραπάνω σχέσις και από το γγονός ότι οι συντλστές των διαιρέσων των πολυωνύµων r k k ίναι τα υπόλοιπα Q k k δια του µονωνύµου, δηλαδή οι τιµές Q k k, συµπραίνται ότι µ πανιληµµένς φαρµογές του σχήµατος του Hrer ίναι δυνατό να βρούµ τόσο την τιµή του πολυωνύµου όσο και των παραγώγων του στο σηµίο. Παράδιγµα.8 ίνται το πολυώνυµο P. Να βρθί µ το Σχήµα του Hrer η τιµή όλων των παραγώγων του στο σηµίο. Εφαρµόζουµ όσς φορές χριάζται το Σχήµα του Hrer για τα P και έχουµ : Q k k, - - - r r 7 7 r r r Εφαρµόζοντας τον τύπο p k k! rk για k βρίσκουµ P! r P P P P v! r! r! r! r 6 6 7 Παράδιγµα.9 ίνται το πολυώνυµο p. Μ πανιληµµένς φαρµογές του σχήµατος του Hrer να γραφτί µ τη µορφή P α β - γ -. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Χρησιµοποιώντας το θώρηµα του Tlr µ, το πολυώνυµο που δόθηκ µπορί να γραφτί ως ής : P P P!! P Όµως ισχύι P k k! r k k οπότ θα έχουµ τλικά : P r. r r ποµένως α r, β r και γ r. Εφαρµόζουµ όσς φορές χριάζται το Σχήµα του Hrer για τα P και έχουµ : Q k k, - 6 9 r 6 8 r r οπότ το πολυώνυµο που δόθηκ µπορί να γραφτί ως ής : P r r - r - 9 8 - - νώ η τιµή του Πολυωνύµου και των παραγώγων του στο σηµίο θα ίναι : P! r P P! r! r 9 9 8 8 6 Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 6

Άλυτς Ασκήσις ου Κφαλαίου. Να χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος για τον υπολογισµό της Σιράς e, και να βρθί τη ιόρθωση και το ανώτατο φράγµα για τη! ιόρθωση r r s s.. Να αναπτυχθί η συνάρτηση σ σιρά McLur.. Να χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος για τον υπολογισµό της Σιράς, και να βρθί τη ιόρθωση και το ανώτατο φράγµα για τη ιόρθωση r r s s.. Να αναπτυχθί η συνάρτηση s σ σιρά McLur.. Να χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι του αναπτύγµατος για τον υπολογισµό της Σιράς s, π/ και να βρθί η ιόρθωση και το ανώτατο φράγµα για τη ιόρθωση r r s s. 6. ίνται το Πολυώνυµο p. Να βρθί µ το Σχήµα του Hrer η τιµή του στο σηµίο. 7. ίνται το Πολυώνυµο P. Να βρθί µ το Σχήµα του Hrer η τιµή της παραγώγου στο σηµίο. 8. ίνται το πολυώνυµο P. Να βρθί µ το Σχήµα του Hrer η τιµή των παραγώγων του στο σηµίο. 9. ίνται το πολυώνυµο p. Μ πανιληµµένς φαρµογές του σχήµατος του Hrer και µόνο να γραφτί µ τη µορφή P α β - γ -. Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 7

Αριθµητική Επίλυση Εισώσων Προσδιορισµός ιαστηµάτων των Ριζών Είσωσης Τάη Σύγκλισης Μέθοδος της ιχοτόµησης Blz Μέθοδος της Εσφαλµένης Θέσης Μέθοδος των ιαδοχικών Προσγγίσων Μέθοδος Νewt-Rphs Μέθοδος της Χορδής Άλλς Μέθοδοι. Προσδιορισµός ιαστηµάτων των Ριζών Είσωσης Είναι γνωστό απ τα στοιχιώδη Μαθηµατικά ότι µόνο Πολυωνυµικές Εισώσις µέχρι ττάρτου βαθµού µπορούν να πιλυθούν µ µαθηµατικούς τύπους. Για Πολυωνυµικές Εισώσις µγαλύτρου βαθµού ή πολύπλοκς, π.χ. η ίσωση e s, ίναι αναγκαία η ανάπτυη προσγγιστικών µθόδων για την πίλυσή τους. Η ίσωση θα έχι γνικά τη µορφή :,,b R, συνχής και παραγωγίσιµη στο I [,b ] R ΟΡΙΣΜΟΣ. : Ο πραγµατικός αριθµός θα ονοµάζται ρίζα της ίσωσης, άν : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 8

ΘΕΩΡΗΜΑ.: Αν η συνάρτηση ίναι συνχής στο διάστηµα [,b ] Rκαι ισχύι b <, τότ υπάρχι τουλάχιστον µια πραγµατική ρίζα στο I, b :. R ΘΕΩΡΗΜΑ.: Αν η συνάρτηση ίναι συνχής στο διάστηµα [,b ] Rκαι ισχύι b <, αν η παράγωγος διατηρί το πρόσηµο στο [,b ], δηλαδή > ή <, [,b ], τότ υπάρχι µια µοναδική πραγµατική ρίζα I, b : στο R Για τον προσδιορισµό των διαστηµάτων των ριζών µιας ίσωσης στο I,b χρησιµοποιούµ τον παρακάτω αλγόριθµο : Αλγόριθµος Προσδιορισµού των ιαστηµάτων των Ριζών µιας Είσωσης Αν b < τότ Υπάρχι τουλάχιστον µια ρίζα ή πρισσότρς πριττού πλήθους στο I,b Αν b > τότ ν υπάρχι ρίζα ή υπάρχουν αρτίου πλήθους ρίζς στο I,b Παράδιγµα. ίνται το Πολυώνυµο P. Να βρθί πόσς και ποις ρίζς υπάρχουν στα,,,,,,,. διαστήµατα P P <, υπάρχι πριττός αριθµός ριζών ρίζς,,, P P <, υπάρχι µία ρίζα P P >, υπάρχι άρτιος αριθµός ριζών ρίζς,, P P 8 >, δν υπάρχι καµιά ρίζα Εάν ίναι γνωστό ότι στο διάστηµα,b I πριέχονται όλς οι ρίζς µιας ίσωσης, τότ η ύρση του διαστήµατος της κάθ ρίζας ακολουθί τα παρακάτω βήµατα : Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα 9

Αλγόριθµος Προσδιορισµού του ιαστήµατος της κάθ Ρίζας µιας Είσωσης b ιαιρούµ το διάστηµα I,b σ ίσα µέρη ώστ η διαφορά h να ίναι ένας πολύ µικρός αριθµός και σ κάθ σηµίο της υποδιαίρσης βρίσκουµ το πρόσηµο της. Βρίσκουµ δύο διαδοχικές αλλαγές του προσήµου της και έστω k, k τα σηµία στα οποία αντιστοιχί η αλλαγή αυτή, τότ µταύ των σηµίων αυτών υπάρχι τουλάχιστον µία ρίζα της. Βρίσκουµ τη ρίζα και παναλαµβάνουµ τα βήµατα,. Παράδιγµα. ίνται το Πολυώνυµο P. Να βρθούν τα υπο-διαστήµατα στα οποία,b.,. και. υπάρχουν ρίζς, αν b.. Βρίσκουµ το βήµα h ιαιρούµ το διάστηµα I,b στα σηµία.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.. Βρίσκουµ το πρόσηµο των τιµών του Πολυωνύµου P σ αυτά τα σηµία, όπως φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : P............ Το Πολυώνυµο έχι τρις πραγµατικές ρίζς, στα διαστήµατα.,.,.,.,.,.. Παράδιγµα. ίνται το Πολυώνυµο P. Να λγχθί αν η ρίζα που υπάρχι στο διάστηµα ίναι µοναδική., P P <, άρα υπάρχι τουλάχιστον µια ρίζα στο, P, P P P < < < Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα

Εποµένως, ισχύι P, [, ] µοναδική. <, οπότ η ρίζα που υπάρχι στο διάστηµα, ίναι Παράδιγµα. Να προσδιοριστούν διαστήµατα των ριζών της ίσωσης : e Αν πάρουµ την παράγωγο της συνάρτησης βρίσκουµ ότι e > R, πράγµα που σηµαίνι ότι η συνάρτηση ίναι µονίµως αύουσα και πιδή, η ίσωση έχι µία µόνο ρίζα στο R. Παρατήρηση Αν η ύρση των ριζών της παραγώγου του πολυωνύµου ίναι ύκολη, ο προηγούµνος αλγόριθµος τροποποιίται ως ής : Αλγόριθµος Προσδιορισµού του ιαστήµατος της κάθ Ρίζας µιας Είσωσης. Βρίσκουµ τις ρίζς,,, της παραγώγου του πολυωνύµου P, βαθµού µ πραγµατικές ρίζς. I στα υποδιαστήµατα, ],[, ],,[,b και σ κάθ σηµίο της υποδιαίρσης βρίσκουµ το πρόσηµο της.. ιαιρούµ το διάστηµα,b. Βρίσκουµ δύο διαδοχικές αλλαγές του προσήµου της και έστω, k k τα σηµία στα οποία αντιστοιχί η αλλαγή αυτή, τότ µταύ των σηµίων αυτών υπάρχι τουλάχιστον µία ρίζα της.. Βρίσκουµ τη ρίζα και παναλαµβάνουµ τα βήµατα,. Παράδιγµα. ίνται το Πολυώνυµο P. Να βρθούν τα υπο-διαστήµατα στα οποία,b.,.. υπάρχουν ρίζς, αν Αριθμητική Ανάλυση & Προγραμματισμός Επιστημονικών Εφαρμογών Γουλιάνας Κώστας 8 Σλίδα