ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [7] ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ- ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Ορισµός Έστω µια συνάρτηση f συνεχής στο πεδίο ορισµού της και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο, αν η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του. Σχόλια Αποδεικνύεται ότι αν µία συνάρτηση είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται κάτω (αντίστοιχα πάνω ) από την γραφική της παράσταση, µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. Η µελέτη µιας συνάρτησης ως προς τα κοίλα και κυρτά διευκολύνεται µε τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήµατος: Θεώρηµα Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. i) Αν f ''( ) > για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι κυρτή στο. ii) Αν f ''( ) < για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η f είναι κοίλη στο. iii) Το αντίστροφο του θεωρήµατος δεν ισχύει. Σηµείο καµπής Ορισµός: Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β) µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του ο. Αν η f είναι κυρτή στο (α, ο ) και κοίλη στο ( ο, β) ή αντίστροφα και η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτοµένη στο σηµείο Α( ο, f( ο )), τότε το σηµείο Α( ο, f( ο )) ονοµάζεται σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. Επισηµάνσεις για τις ασκήσεις Όταν το Α( ο, f( ο )) είναι σηµείο καµπής της C f, τότε λέµε ότι η f παρουσιάζει καµπή στο ο και το ο λέγεται θέση σηµείου καµπής. Στο σηµείο αυτό η εφαπτοµένη της C f «διαπερνά» την καµπύλη της f. Αποδεικνύεται το εξής θεώρηµα: Αν το Α( ο, f( ο )) είναι σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη, τότε: f ''( ) =. Αν f συνάρτηση ορισµένη σ ένα διάστηµα, τότε, τα εσωτερικά σηµεία στα οποία είναι f ( ο ) δεν είναι θέσεις σηµείων καµπής. Οι πιθανές θέσεις σηµείων καµπής µιας συνάρτησης f σ ένα διάστηµα είναι: α) Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η f µηδενίζεται. β) Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία δεν υπάρχει η f. Αν f συνάρτηση ορισµένη σ ένα διάστηµα (α, β) και ο (α, β), τότε: α) Αν η f αλλάζει πρόσηµο γύρω από το ο και β) Αν ορίζεται εφαπτοµένη της C f στο Α( ο, f( ο )), τότε, το Α( ο, f( ο )) είναι σηµείο καµπής. Η f είναι κυρτή στο η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του ενώ αν η f είναι κοίλη στο η f είναι γνησίως φθίνουσα στο.
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [8] ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή 5 3 i) f()=4- ii) f()=3 - + κοίλες: ++ - iii) f()= iv) f()=(+)e. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία οι παρακάτω συναρτήσεις είναι κυρτές ή κοίλες και να προσδιορίσετε, αν υπάρχουν, τα σηµεία καµπής τους: 5 + i) f()=- + + ii) f()= + iii) f()= - iv) f()=e - 3 v) f()=σφ, (,π) vi) f()= +, - 3, > 3. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()=- 3 +α +β+γ. Αν είναι γνωστό ότι η C f διέρχεται από το σηµείο Α(-, ), ότι έχει τοπικό ελάχιστο για =- και ένα σηµείο καµπής για =, τότε: α) Να βρείτε τις τιµές των α, β, γ. β) Να βρείτε το τοπικό µέγιστο της f. 4. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()=α 3-6(β-) +(8+α)+α. α) Να βρεθούν τα α και β R, αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για = και το (, f()) είναι σηµείο καµπής της f. β) Για τις τιµές των α και β που βρήκατε να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα, την κοιλότητα και τα σηµεία καµπής. 5. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()= 3 3 -α +-β. α) Να βρείτε την τιµή του α για την οποία η C f έχει σηµείο καµπής στο οποίο δέχεται οριζόντια εφαπτοµένη. β) Να βρείτε την τιµή του β Rέτσι ώστε η οριζόντια εφαπτοµένη της C f στο σηµείο καµπής της να είναι ο άξονας χ χ. 6. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()= 3 +6 +9+. α) Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τ. µέγιστο, ένα τ. ελάχιστο και ένα σηµείο καµπής. β) Αν, είναι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων της f και 3 η θέση του σηµείου καµπής της, να αποδείξετε ότι το σηµείο Γ( 3, f( 3 )) είναι το µέσο του ευθ. τµήµατος ΑΒ µε Α(, f( )) και Β(, f( )). 7. Αν για την συνάρτηση g ισχύει g'()+g''()>γιακάθε R να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=g ln είναι κυρτή στο διάστηµα ). (, +
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [9] 8. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()=3α 3 +3β +(3α+β)+8. Να βρείτε τις τιµές των α και β Rγια τις οποίες το σηµείο Α(-, 3) είναι σηµείο καµπής της C f και να δείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα. 9. Έστω η συνάρτηση f()= 4 + 3 -(µ+)-µ, R. α) Να βρείτε τα σηµεία καµπής της γραφικής παράστασης της f. β) Αν οι εφαπτόµενες της C f στα σηµεία καµπής είναι κάθετες, τότε το µ ισούται µε: A: Β: - Γ: ή - :. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f()=(-α) 3 (-β) 5, (α,β). Να αποδειχθεί ότι: α) f '() = 3 + 5, (α,β) f() -α -β β) Η συνάρτηση g()=ln f() στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα (α, β).. Έστω µια συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύουν: f''()>4 f'()-f() γιακάθε Rκαι α) ( ) β) Η f έχει στο σηµείο ο τοπικό ακρότατο το. Να αποδείξετε ότι: - i) Η συνάρτηση g()=f()e είναι κυρτή στο R. ii) f() γιακάθε R.. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f σ ένα διάστηµα, και στο οποίο στρέφει τα κοίλα άνω. Να αποδειχθεί ότι, αν, µε, τότε ισχύει: + f( )+f( ) f <. 3. Έστω η συνάρτηση f()= 3-3 συνα+συν (α)+ηµ (α). Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού α, η γραφική παράσταση της f έχει ένα µόνο σηµείο καµπής, το οποίο, για τις διάφορες τιµές του α ανήκει σε παραβολή. 4. Έστω η συνάρτηση f()=α +β +(αβ) - +3, R. µε <ακαιβ. Να αποδείξετε ότι: α) η f στρέφει τα κοίλα άνω στο R. β) το ο = είναι κρίσιµο σηµείο της f. γ) f() 6 για κάθε R. 5. Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f σ ένα διάστηµα [α, β], και στο η f οποίο στρέφει τα κοίλα άνω. Α) Να αποδείξετε ότι: α+ i) η συνάρτηση g()=f()-f +f(α) είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] ii) f(α)+f(β) >f α+β Β) Έστω η συνάρτηση F()=ln, >. Nα αποδείξετε ότι:
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [3] i) η F στρέφει τα κοίλα άνω στο (,+ ) α β α+β ii) Aν <α<β, τότε: α β > α+β 6. Έστω συνάρτηση f που είναι τρεις φορές παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα και για κάποιο ο εσωτερικό σηµείο του είναι f ( ο )= και η f (3) είναι συνεχής στο ο, µε f (3) (). Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει καµπή στο ο. 7. α) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f σ ένα διάστηµα, και στο οποίο στρέφει τα κοίλα κάτω. Αν α, β, γ ανήκουν στο, µε α<β<γ, να αποδειχθεί ότι: f(β)-f(α) f(γ)-f(β) >. β-α γ-β β) Έστω η συνάρτηση f()=ln, (, + ). Nα δειχθεί ότι : i) H στρέφει τα κοίλα κάτω στο (, + ), γ-β β γ ii) Aν <α<β<γ, τότε: > α β 8. Να βρείτε τις τιµές του α Rγια τις οποίες η συνάρτηση 4 3 3 f()= -α + -5+ στρέφει τα κοίλα άνω στο R. 4 β-α. 9. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο 4 3 α 5 3 f()= + + α -α+ +(α +7)-5α, α R. 3 3 δεν παρουσιάζει σηµείο καµπής. Να αποδείξετε ότι η C f. Αν f()= 4 +α 3 +54-5-7, α R, να προσδιορίσετε τις τιµές του α, ώστε η C f να µην έχει σηµεία καµπής.. Έστω f µια συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) η οποία στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστηµα [α, β]. Να αποδείξετε ότι: f() (-β)f '(α)+f(β) για κάθε [α,β]. *.*.*.*.*.*.*.*.*.*
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [3] ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL Κατακόρυφη ασύµπτωτη- Ορισµός Η ευθεία = ο λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f, αν, ένα τουλάχιστον από τα όρια f( ), f()είναι + ή. + ψ C f ψ C f = ο = o Οριζόντια ασύµπτωτη-ορισµός Η ευθεία ψ=β λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f στο + (αντίστοιχα στο ) όταν f()=β (αντίστοιχα f()=β). + ψ C f χ ψ C f Ο ψ=β Ο ψ=β Πλάγια ασύµπτωτη-ορισµός Η ευθεία ψ=λ+β λέγεται ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο f()-(λ+β) = (αντίστοιχα (αντίστοιχα στο - ) αν: [ ] + [ f()-(λ +β) ] = ). ψ + C f ψ=λ+β Ο Για τον προσδιορισµό της ευθείας χ=λ+β που είναι ασύµπτωτη µιας συνάρτησης ακολουθούµε το παρακάτω θεώρηµα:
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [3] Θεώρηµα Η ευθεία ψ=λ+β είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +, αν και f() µόνον αν =λ R και [ f()-λ ] =β. R + χ + f() =λ R και f()-λ =β. R Αντίστοιχα στο -, αν και µόνον αν [ ] Επισηµάνσεις για τις ασκήσεις χ Σύµφωνα µε τους παραπάνω ορισµούς, ασύµπτωτες της γραφ. παράστασης µιας συνάρτησης f αναζητούµε: Στα άκρα των διαστηµάτων του πεδίου ορισµού της, στα οποία η f δεν ορίζεται.(για κατακόρυφες ασύµπτωτες) Στα σηµεία του πεδίου ορισµού της στα οποία η f δεν είναι συνεχής.(για κατακόρυφες ασύµπτωτες) Στο +, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισµένη σε διάστηµα της µορφής (α, + )ή (,α)αντίστοιχα.(για οριζόντιες ή πλάγιες ασύµπτωτες). Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύµπτωτες. Οι ρητές συναρτήσεις της µορφής P() όπου P()και Q() πολυώνυµα του Q() µε βαθµό αριθµητή τουλάχιστον κατά δύο µονάδες µεγαλύτερο από το βαθµό του παρονοµαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύµπτωτες. Μια συνάρτηση δεν µπορεί να έχει ταυτόχρονα πλάγια και οριζόντια ασύµπτωτη. Ειδικά αν λ= η ασύµπτωτη είναι οριζόντια, ενώ, αν λ η ασύµπτωτη είναι πλάγια. Κανόνες de L Hospital Οι κανόνες αυτοί χρησιµοποιούνται για την εύρεση ορίων κυρίως κλασµατικών συναρτήσεων στις οποίες η εφαρµογή του κανόνα του πηλίκου οδηγεί σε + + απροσδιόριστες µορφές του τύπου:,,,,. Για την άρση της + + απροσδιοριστίας αυτών των µορφών ισχύουν τα παρακάτω θεωρήµατα: Θεώρηµα ο (Μορφή ) Αν f()=, g()=, R {, + } (πεπερασµένο ή άπειρο), τότε: και υπάρχει το f() = g() f '(). g'() f '( ) g'( )
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [33] Θεώρηµα ο (Μορφή + ) + Αν f()= +, g()= +, R {, + } και υπάρχει το f() f '() (πεπερασµένο ή άπειρο), τότε: =. g() g'() + (Το θεώρηµα ισχύει και για τις µορφές,, ) + f '() g'() Επισηµάνσεις για τις ασκήσεις Τα θεωρήµατα και ισχύουν και για πλευρικά όρια. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν διαδοχικά περισσότερες από µία φορές, αρκεί να ισχύουν οι προϋποθέσεις τους. Κατά τον υπολογισµό ορίων εκτός από τις προηγούµενες µπορεί να προκύψουν και άλλα είδη απροσδιόριστων µορφών, όπως: Μορφή ( ± ) Αν [ ] και f()g() µε f() = g() =± τότε µετασχηµατίζω f() g() f() g()= ή f() g()=. g() f() ± (± Mορφή ( ) ) Αν [ ] =± f()+g() µε f() και g()= ± τότε + f() g() µετασχηµατίζω f()+g()= f() g() ή βγάζω κοινό παράγοντα. ± Μορφές, ( + ), g() Αν το [ f() ] είναι µία από τις παραπάνω απροσδιόριστες µορφές f() =e τότε µετασχηµατίζω [ ] g() g() lnf() και υπολογίζω το [ ] g() lnf().. ΜΕΛΕΤΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μελέτη µιας συνάρτησης f:α R ονοµάζουµε την διαδικασία (πορεία) την οποία ακολουθούµε προκειµένου να συλλέξουµε τέτοιες πληροφορίες που να µας επιτρέψουν να χαράξουµε την γραφική της παράσταση σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων µε αρκετή ακρίβεια. Ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα:
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [34] Προσδιορίζουµε το π. ορισµού Α της f. Εξετάζουµε την συνέχεια της συνάρτησης στο π. ορισµού της. Βρίσκουµε τις ασύµπτωτες, αν υπάρχουν. Βρίσκουµε τις παραγώγους f και f και κατασκευάζουµε τους πίνακες των προσήµων τους. Με τη βοήθεια του πρόσηµου της f βρίσκουµε τα διαστήµατα µονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. Με τη βοήθεια του πρόσηµου της f βρίσκουµε τα διαστήµατα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σηµεία καµπής. Συγκεντρώνουµε τα παραπάνω συµπεράσµατα σε έναν πίνακα που λέγεται πίνακας µεταβολών της f και µε την βοήθειά του χαράσσουµε την γραφική παράσταση της f. Aν η συνάρτηση f είναι άρτια στο π. ορισµού της τότε η C f έχει άξονα συµµετρίας τον ψ ψ, ενώ αν είναι περιττή, έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Έτσι, για τη µελέτη µίας τέτοιας συνάρτησης µπορούµε να περιοριστούµε σε εκείνα τα, για τα οποία είναι χ. Aν η συνάρτηση f είναι περιοδική µε περίοδο Τ, τότε περιορίζουµε την µελέτη της σε ένα διάστηµα πλάτους Τ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Εύρεση ορίων. Να υπολογιστούν τα όρια: -3 +ηµ-συν i) ii) ) e -e iii -ln(+) + -3 ln e e --ln(+e) iv) v) vi) +π + 3 3 + + -ηµ συν- +5-3 π +συν π 3-π -4 3 vii) viii) i). Να υπολογιστούν τα όρια: 5 ln(+e ) ln i) ii) (ηµ) ) - ln(+e ) iii + + ηµ + iv) ηµ v) ln vi) e + + + - ( )
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [35] 3. Να υπολογιστούν τα όρια: i) (-ln+e ) ii) -ln(+e ) iii) - + + ln - - iv) ( ln) v) ln + vi) (e -) ln + 4. Να υπολογιστούν τα όρια εφ- i) ii) ) (συν) -ηµ iii + ηµ iv) v) -σφ vi) - + + e - 5. Να υπολογιστούν τα όρια: i) ln εφ ii) + iii) + + - e -ln+ v) e - ln iv) ( ) **************** 6. Nα προσδιορίσετε τις τιµές των α και β ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση: (-α)e -(-a)-β, f() = 3, = 7. Nα προσδιορίσετε τις τιµές των α και β ώστε να είναι συνεχής στο η συνάρτηση: ln+α-β, > f()=,=. e ln(-)+α,< 8. Να βρείτε τις τιµές των α, β Rγια τις οποίες είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση: 4- e -β, αν, αν i) f()= ii) f()= αln, αν > α -β, αν > 9. Να βρείτε τις τιµές των α, β R, ώστε να είναι παραγωγίσιµη στο o η συνάρτηση: αe -, i) f()= και o = ηµ+βσυν, > ln+α-, > ii) f()= και - o =. e +β-β,
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [36] **************** g(), αν <<π. ίνεται η συνάρτηση f()= ηµ όπου g µία παραγωγίσιµη στο, αν Rσυνάρτηση µε g()=g ()=g ()=. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη και να βρείτε την f '.. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο Rγια την οποία ισχύουν: f()=f ()=f ()=. f() f '() f()+-συν Να βρείτε τα όρια:,,. +f(). Έστω µια συνάρτηση f τρεις φορές παραγωγίσιµη στο Rγια την οποία ισχύουν: f '''() f()= f '() = f ''()= + και =6. f ''() + + + + Να υπολογίσετε το όριο: f(). f '() + 3. Έστω µια συνάρτηση f µε f συνεχή στο Rγια την οποία ισχύουν: f()=f ()= και f ()=6. f() f '() α) Να βρείτε τα όρια: και. f( ), β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης: g ( ) =, = γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση g () είναι συνεχής στο ο =. Εύρεση ασύµπτωτων **************** 4. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις κατακόρυφες και οριζόντιες ασύµπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: ln e +ln i) f()= ii) f()= iii) f()= +3 - e e iv) f()= v) f()=, >o vi) f()= ln - 5. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύµπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: +3 (3 -) i) f()= ii) f()= iii) f()= + - + 3 + -5 iv) f()= v) f()= vi) f()=- +-3 - +
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [37] 6. Να βρείτε, εφόσον υπάρχουν, τις ασύµπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: ln i) f ( ) = e ii) f ( ) = ηµ iii) f ( ) =. **************** Εύρεση παραµέτρων α -β+5 7. ίνεται η συνάρτηση f()=. Αν η ευθεία ψ=-+5 είναι ασύµπτωτη + της C f στο +, να βρεθούν τα α και β R. 8. Να υπολογίσετε τα α, β Rώστε: (α-) +β+ -(+3) =. + -3 9. Να υπολογίσετε τα α, β Rώστε: + +4+3-(α+β) =.. Έστω ότι η συνάρτηση f έχει ασύµπτωτη την ευθεία ψ=5+9 καθώς το (+) f()-5 +.. Να βρεθεί το όριο. f()+ +. Έστω ότι η ευθεία ψ=+5 είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. f() α) Να βρείτε τα όρια: και [ f()-] + + µf()+4 β) Να βρείτε τον µ R αν: =. f()- + +3. Να βρείτε την τιµή του λ ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης +(λ+)- f()= να έχει ασύµπτωτη την ευθεία ψ=-5 καθώς το +. - ***************** Σύνθετες ασκήσεις 3. Έστω οι συναρτήσεις f, g: (, + ) R µε g()=f()++ln(+)-ln, >. Aν η ευθεία ψ=+3 είναι ασύµπτωτη της C f στο +, να βρείτε την ασύµπτωτη της C g στο +. 4. Έστω η συνάρτηση f: R R και η g()=f(e - ). Aν η ευθεία ψ=+ εφάπτεται της C f στο o =, να βρείτε την ασύµπτωτη της C g στο +.
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [38] 5. Έστω η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ( f()-)( +e ) =3. + Να βρείτε την ασύµπτωτη της C f στο +. α +β+9 6. Έστω η συνάρτηση f()=,. Αν η γραφική της παράσταση έχει - στο ασύµπτωτη την ευθεία ψ=-7: α) να βρεθούν οι α, β R. β) Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η f. 7. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f()+e ηµ =f()ηµ+e για κάθε R. Nα βρείτε την f(). 8. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: (-συν)f()=ln(+)- για κάθε >-. Nα βρείτε την f(). ***************** Μελέτη-γραφική παράσταση συνάρτησης 9. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: f()= 4-6 +5. 3. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: 3. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: -4 ++ f()=. f()=. - 3. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: 3 f()=. (+) -+ 33. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: f()=. 34. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: ln f()=+. 35. Να µελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση f µε τύπο: - f()= e. ************* ********** ******* *** *
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [39] ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κυρτότητα- σηµεία καµπής.. i) κοίλη στο R. ii)κοίλη στα (-, -], [,] και κυρτή στα [-,], [,+ ). iii) κοίλη στο (-, ), κυρτή στο (,+ ). iv) κοίλη στο (-, ], κυρτή στο [,+ ).. i) κοίλη στο (-, ], κυρτή στο [,+ ). Σηµείο καµπής το Α(,). ii) κυρτή στα (-, -], (,+ ), κοίλη στο [-,). Σηµείο καµπής το Α(-,). iii)κυρτή στα (-,), [,+ ), κοίλη στο (,]. Σηµείο καµπής το Α(,). iv)κυρτή στο (-, ], κοίλη στο [,+ ). Σηµείο καµπής για =. v) κυρτή στο (,π/], κοίλη στο [π/,π).σηµείο καµπής το Α(π/,). vi) κοίλη στο R. 3. α) α=3, β=4, γ=3. β) Τοπ. µέγιστο για =4. 4. α) α=, β=. 5. α) α=6 ή α=-6. β) Αν α=6 είναι β=8, αν α=-6 είναι β=-8. 6. =-, =-3 και 3 =-. 7. f ( ) = g ln g ln +. Είναι f ()> από την υπόθεση. 8. α=β=3. Η f ()= έχει < συνεπώς δεν έχει ακρότατα. 9. Σωστό το.. α) Αντικατάσταση της f και χωρισµός κλασµάτων. 3 5 β) g ( ) = <. ( a) ( β ). i) Aπό τη σχέση α) προκύπτει ότι g ()> άρα η g είναι κυρτή στο R. ii) Μονοτονία της g και g()=.. Επειδή η f είναι κυρτή στο, η f είναι γν. αύξουσα στο. Αν <, εφαρµόζουµε Θ.Μ.Τ. για την f στα + +,,, και µε τη βοήθεια της µονοτονίας της f καταλήγουµε στο ζητούµενο. 3. Έχει ένα µόνο σ. καµπής, το Α(συνα, ηµ α), το οποίο ανήκει στην παραβολή ψ=-. 4. α) Είναι f ()>. β) Είναι f ()=. γ) Επειδή η f είναι κυρτή, η f είναι γν. αύξουσα από όπου προκύπτει ότι η έχει ελάχιστο το f()=6. α+ 5. Α) i) Επειδή η είναι κυρτή στο [α,β], η f είναι ր στο [α,β]. Αλλά g ()=f ()-f. Άρα για α+ α+ < f < f ( ) g ( ) > gր στο [ α, β ]. ii) Για β>α g(β)>g(α).. Β) Εφαρµογή του Αii) στη συνάρτηση f()=ln, >. 6. Aν f (3) ( ) > τότε f () ր στο και επειδή f ( ) = είναι f ()< για < και f (3) ()> για >. Άρα η f έχει για = σηµείο καµπής. (Όµοια εξετάζεται η περίπτωση όπου f ( ) < ). 7. α) Θ.Μ.Τ. στα [α,β],[β,γ] και µονοτονία της f. β) Εφαρµογή του α) στη συνάρτηση f()=ln. 8. a R. 9. Αποδείξτε ότι f ()> για κάθε R.. α [-6,6]. f() f( β ). Από Θ.Μ.Τ. για την f στο [, β]προκύπτει ότι f ( ξ ) =. β Αλλά f ց στο [ α, β ], έτσι: α<ξ f (α)>f (ξ). Κανόνες De L Hosrital- Aσύµπτωτες.. i) -. ii), iii) +, iv) +, v), vi) -, vii), viii). i) +, ii) e, iii) /5, iv), v) 4, vi) e. 3. i) +, ii), iii), iv), v), vi) 3, i). 3 6 4. i), ii), iii) /, iv), v), vi).
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ [4] 5. i), ii) e, iii), iv) +, v). 6. α=-4, β=4. 7. α=, β=. 8. i) α=3e, β=e, ii) α=-4ln, β=-8ln-. 9. i) α=, β=. ii) α= και β R.. Xρήση ορισµού της παραγώγου για την g στο και κανόνες Hospital..,, /... 3. α) και 6. β) g ()=3 (µε χρήση του ορισµού) και f () f(), αν g ( ) =. γ) Είναι συνεχής στο. 3, αν = 4. i) =, ψ= (στο + ), ii) =, ψ= (στο - ), iii) =, ψ=3 (στο + ), iv) =, v) όχι, vi) όχι. 5. i) =, ψ=. ii) ψ= 3. iii) ψ=+ ( ) στο +, ψ=-- ( στο ). iv) ψ=+ 3 (στο + ), ψ=-- 3 (στο - ). v) =-. vi) ψ=- (στο + ), ψ=3+ (στο - ). 6. i) ψ= (χ χ) (στο + ), δεν έχει στο -. ii) ψ= στο + και στο -. iii) ψ= (χ χ) (στο + ), = (ψ ψ) (στο - ). 7. α=-, β=. 8. α=4, β=-3. 9. α=, β=+.. 7/5.. α) και 5, β) µ=.. λ=-8. 3. ψ=+3. 4. ψ=. 5. ψ=. 6. α) α=, β=-9. 7. f()=. f()=-. *.*.*.*.*.*.*.*.*.*