Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Σχετικά έγγραφα
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Curs 4 Serii de numere reale

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

, m ecuańii, n necunoscute;

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Subiecte Clasa a VIII-a

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Subiecte Clasa a VII-a

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Integrala nedefinită (primitive)

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Principiul Inductiei Matematice.

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Dreapta in plan. = y y 0

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Curs 2 Şiruri de numere reale

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii trigonometrice

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

Sisteme de ecuaţii diferenţiale

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

MARCAREA REZISTOARELOR

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

Subiecte Clasa a V-a

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare

Algebra si Geometrie Seminar 9

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

z a + c 0 + c 1 (z a)

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

Transcript:

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC) ore/s`pt`m@n`

Instruc\iuni de utilizare Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de eerci\ii ]i probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a, ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau eamenul de Bacalaureat Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte: Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor Fi]ierul este organizat astfel: Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri Rezolv`ri Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic` Enun\uri Rezolv`ri Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste eerci\ii ]i probleme (coloana scris` cu albastru) Modul de utilizare a fi]ierului Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui anumit eerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare Astfel, dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de eerci\ii de la o anumit` tematic`, este suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag), [n coloana Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz` ]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului Automat fi]ierul sare la pagina corespunz`toare Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`, ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri eerci\ii ]i probleme O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni V` dorim mult succes la matematic` AURORII

CUPRINS PARTEA I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual pag Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice 5 Opera\ii cu matrice 7 {nmul\irea unei matrice cu un scalar 7 4 {nmul\irea matricelor 9 Teste de evaluare Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie 6 Teste de evaluare 7 Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) 9 Ecua\ii matriceale 4 Metode de rezolvare a sistemelor lineare Teste de evaluare 6 Probleme recapitulative 7 Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual pag manual 7 4 4 4 4 7 5 6 64 66 7 74 9 96 97 Rezolvari eerci\ii ]i probleme pag Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Opera\ii cu matrice {nmul\irea unei matrice cu un scalar 4 {nmul\irea matricelor 8 Teste de evaluare 5 Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei 54 Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie 6 Teste de evaluare 7 Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) 7 Ecua\ii matriceale 8 4 Metode de rezolvare a sistemelor lineare 8 Teste de evaluare Probleme recapitulative 6 PARTEA a II-a Elemente de analiz` matematic` pag manual Capitolul Limite de func\ii Mul\imi de puncte pe dreapta real` 4 Calculul limitelor de func\ii 4 4 Limitele func\iilor trigonometrice 6 5 Opera\ii cu limite de func\ii 8 6 Cazuri eceptate la calculul limitelor de func\ii 64 Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii 7 Asimptotele func\iilor reale 4 Teste de evaluare 5 Capitolul Func\ii continue Func\ii continue [ntr-un punct 7 Opera\ii cu func\ii continue 9 Semnul unei func\ii continue pe un interval Teste de evaluare Capitolul Func\ii derivabile Derivata unei func\ii [ntr-un punct Derivatele unor func\ii elementare 5 Opera\ii cu func\ii derivabile 6 5 Derivarea func\iilor inverse 8 4 Derivata de ordinul doi 9 5 Regulire lui l'hôspital 4 Teste de evaluare 4 Capitolul 4 Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4 4 Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor 45 4 Reprezentarea grafic` a func\iilor 47 Teste de evaluare 48 Probleme recapitulative 5 pag manual 4 4 5 6 67 76 77 79 8 87 9 9 94 9 4 9 5 9 46 55 56 58 Rezolvari eerci\ii ]i probleme pag Capitolul Limite de func\ii Mul\imi de puncte pe dreapta real` 56 4 Calculul limitelor de func\ii 6 4 Limitele func\iilor trigonometrice 6 5 Opera\ii cu limite de func\ii 65 6 Cazuri eceptate la calculul limitelor de func\ii 68 64 Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii 7 7 Asimptotele func\iilor reale 76 Teste de evaluare 85 Capitolul Func\ii continue Func\ii continue [ntr-un punct 88 Opera\ii cu func\ii continue 9 Semnul unei func\ii continue pe un interval 96 Teste de evaluare Capitolul Func\ii derivabile Derivata unei func\ii [ntr-un punct Opera\ii cu func\ii derivabile 8 5 Derivarea func\iilor inverse 4 4 Derivata de ordinul doi 9 5 Regulire lui l'hôspital Teste de evaluare 6 Capitolul 4 Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 8 4 Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor 7 4 Reprezentarea grafic` a func\iilor 4 Teste de evaluare 6 Probleme recapitulative 64

PARTEA I ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL SISTEME DE ECUA II LINIARE Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Opera\ii cu matrice Eerci\ii ]i probleme Teste de evaluare Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Teste de evaluare Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) Ecua\ii matriceale Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute Forma matriceal` Teste de evaluare Probleme recapitulative 4

PARTEA I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecua\ii liniare Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 4 manual Eersare E S` se scrie o matrice A M ( ), B M ( ), C M ( ), X M ( ),,, 4, E S` se scrie: a) o matrice coloan` cu 4 linii b) o matrice linie cu 4 coloane c) matricea unitate de ordinul 5 d) matricea nul` de tipul (, 4) E Se consider` matricele: 4 8 A 7 8 B C 4 5 D i 5 7 4 5 i a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate Eemplu: b, d 5, c) S` se completeze: a, a, a, c, c, i,, 4, b, d4 ]i altele d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor: a a a reprezint` diagonala principal` a matricei A diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu a b c d4 a b c du a b 5d a b a E4 Matricea X 6 4 reprezint` matricea nul` de tipul (, ) S` se b b c 4 m determine a, b, c, m E5 Matricea A 4 y u t reprezint` matricea unitate de ordinul S` se z v determine numerele complee, y, z, t, u, v 5

E6 S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea: a) y 6 b) y y y 5 y 5 4 y 4 y y 5 E7 Se consider` matricele A M 4, 5 n ( ) ]i B [nc@t s` fie posibil` rela\ia A B Sintez` S S` se scrie matricea A a ij S S` se scrie matricea B b ij 4 4 M m,, ]tiind c` ( ) S` se determine m, n astfel a ma i, j, i, j, 4 ij, ]tiind c` b j, i, j,, dac` i j S S` se scrie matricea C c ij, ]tiind c` c i j 4 ij, dac` i j i ( ) A j, dac` i j 4 4 4 6 S4 Se dau matricele A ]i B 5 6 y 6 4 y a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B) b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a b a b? c) Pentru ce valori ale lui are loc egalitatea a b a b? d) S` se determine, y astfel ca tr( A) tr( B) a b ij i S5 Se dau matricele p`tratice y y A 9 lg ] i B log ( a) 4y abi! a) S` se determine, y, a astfel [nc@t A I b) Pentru ce numere, y, a, b, n are loc egalitatea O B? S6 S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice: a 4 ab a a) b) C n ( ) z b C n Cn 7 4 4 log a S7 S` se determine numerele reale pozitive, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt egale: A y y B C m 4 5,, m C p z 6

Opera\ii cu matrice Adunarea matricelor Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 4 manual Eersare E S` se calculeze: a) 7 8 5 5 4 4 b) 6 5 7 a b a 5b 8y 6y c) 4 4 5 8 5 5 E S` se calculeze: a) 4 i i 4 6 i 5 b) 4 4 6 E Se dau matricele: A B C 4 5 t t t t a) S` se calculeze AB, AB, A B, ( AB), ( AB) t t t t b) S` se calculeze A C, B C, ( AB C) E4 Se dau matricele p`tratice: 4y z z v A u 4, B y v, C v v t y z 4 S` se determine, y, z, u, v, t astfel ca AB C E5 S` se determine matricea X M ( ) dac` 4 5 X 4 5 5 6a b E6 Se d` matricea de ordinul trei, A a S` se determine numerele reale a, b, c n c, n astfel ca t A A 7

E7 Se d` matricea A S` se scrie matricea A sub forma: 5 E8 S` se calculeze: a) A B C, A A A, A I E, A D I 6 8 8 6 b), 5 C 5, c) E9 S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea: X 4 5 5 ( ) 5 4 5 E S` se determine constantele, y, z, a, b, c din egalitatea: 4 5 7 y z 4 a 4b c 8 Sintez` S Se dau matricele: A 5 B 4 C y 4 6,, 5 6 9 log z C S` se determine elementele necunoscute ]tiind c` t A t B C S S` se determine, y, z, t pentru care are loc egalitatea: y I 9 4 z t4 8 d) i i i i 4 S S` se determine matricea A [n fiecare caz: 5 6 a) A b) 5 4 A 4 9,5 c) 4 4 7 4 A 6 5 6 S4 S` se determine matricele A, B ]tiind c`: a) A B ]i AB b) ( ) i i i i A B ]i A i B ( ) i i i S5 S` se calculeze matricea: n k a) A n k k k k ( k ) b) A k k k k k n 8

Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag manual Eersare E S` se calculeze: a) 4 5 b) 4 6 4 c) cos d) 4 sin i tg 4 e) 4 t t t t E Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, A B, B A a) A, B b) A, B sin 6 4 c) A, B cos d) A, B tg E Pentru matricele A B 4, s` se verifice egalitatea 5 t A B t B t t t A ]i s` se calculeze AB B A E4 Se dau matricele p`tratice: 5 A B C 4 S` se verifice egalit`\ile matriceale: a) A( BC) ( AB) C b) A( B C) AB AC c) ( AB) C AC BC 9

E5 S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice: 5 6 E6 Fie matricea A 4 4 S` se calculeze A, A, A ]i ( A I ) 4 4 5 E7 Se d` matricea A Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze A n, * n E8 S` se determine X M ( ) care verific` egalitatea matriceal`: a) X 5 5 7 b) X 4 4 4 E9 Se d` matricea E ]i f ( X ) X 4 X I S` se determine matricele: a) B f ( A) f ( AI ) b) C f ( A) f ( A A) Sintez` S S` se determine matricea X care verific` egalitatea: a) 4 X b) X 8 5 9 8 c) 9 5 4 X 5 S Se dau matricele p`tratice A 5 B, S` se rezolve [n M ( ) ecua\iile matriceale: a) AX I b) AX B c) XA B d) AX XB e) BXB A t S S` se determine matricea A M ( ), de forma a b A AI b, care verific` egalitatea a S4 S` se rezolve ecua\ia matriceal`: A A I 4

S5 Eist` matrice A M ( ) care verific` egalitatea A A? S6 S` d` matricea A S` se determine numerele, y astfel [nc@t s` fie verificat` egalitatea A A ya Facultatea de Inginerie economic` Tg Mure], S7 S` se determine puterea n a matricei A Facultatea de inginerie Sibiu, S8 S` se determine puterea n a matricei A Universitatea Politehnic` Timi]oara, S9 Fie matricea A ( ) M 6 ( ) a) S` se arate c` A( ) A( y) A( yy),, y b) S` se verifice egalit`\ile: A ( ) A ( ), A ( ) A ( ) c) S` se calculeze A 6 ( ) S Fie matricele A, B a) S` se arate c` A I B ]i s` se calculeze A n, n * b) S` se calculeze suma S A A A A k S Se dau matricele A B, k a) S` se determine matricea C( k ) AB A b) S` se calculeze suma de matrice S C( ) C( ) C( ) t

pag manual Teste de evaluare Testul Fie A M A ( ), ]i a a Dac` 5, atunci: a) b), 5 c), d) 5, S` se determine numerele reale, y cu proprietatea c` y y 4 5 5 4 9 Fie A M ( ) ] i B A A a) S` se calculeze Tr( B) ] i b b b b) S` se calculeze A n *, n Testul Se consider` mul\imea de matrice M A ( ) ( ) a) S` se arate c` I M b) S` se arate c` dac` A, B M, atunci AB M c) S` se calculeze A n, * n ] i A M S` se determine numerele, y, z, t pentru care: y y 4 9 5 4 8 Cz 5At 9 S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c`: 4 7 A t A 7 a 4 Fie A, B ( ), A, B M b y S` se arate c` matricea ( AB BA) are cel pu\in dou` elemente nule

Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 5 manual Eersare E S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi: a) 5 8 b) 6 5, 7, c) d) i 5 8 i i E S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii: 7 8 5 log, 5 a) 5 b) c) d) 9 5 75 5 8 lg, 4 e)! 5! y! 4! f) A A C5 C4 g) y 9 h) ( ) i i i ( i) E S` dau matricele p`tratice A B 4 5, Compara\i numerele: 7 4 6 a) det ( A) det ( B) ]i det ( AB) b) det ( AB) ] i det ( A) det ( B) c) det ( A I ) ] i det ( AI ) E4 S` se rezolve ecua\iile: a) 4 5 b) d) 4 5 e) i i c) 4 i f) 8 E5 S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul: 5!!! a) 4 5 b) c) d)!!! 4!!! e) P P P C C C f) A A A 4 47 8 8 5 7 g) 4 8 7 h) 7 5 E6 Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un eemplu de aplicare a acesteia E7 Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii: 4 5 5 a) 4 b) 4 5 5 c) 5 5 44 5

d) a b c m n p e) E8 Se consider` determinantul d y y y y y y 8 9 4 6 5 f) a b c b c a c a b a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i Sintez` S S` se calculeze valoarea epresiei: 4 4 6 5 5 8 5 S S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`: 4 4 5 5 4 7 5 7 6 7 4 7 5 7 5 S S` se rezolve ecua\iile: a) ( ) 4 b) i i 5 4 i i c) ( ) 4 5 5 d) 9 4 S4 S` se rezolve ecua\iile: 7 a) 9 4 7 5 b) ( i) i c) 4 S5 Se consider` ecua\ia d) se calculeze S 4 5 4 5 5 Dac`,, sunt solu\iile ecua\iei, s` 4

S6 Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul sub form` de produs: a) a b c a b c b) a a a b b b c c c c) a a a b b b c c c d) ab mn y bc n p yz ca p m z e) y z y z f) yz z y a a a b b b c c c S7 S` se verifice egalit`\ile: a a abc a) bca b b c cab c ( abc) b) y yz z y y z z y y z z yz ( y) (yz ) ( z ) S8 Fie A M ( ) S` se arate c` are loc egalitatea A tr ( A) Adet ( A) I O (rela\ia lui Hamilton-Cayley) S9 Se d` matricea A 4 a) S` se calculeze d det ( A) ] i t tr ( A) b) S` se calculeze s, unde ii reprezint` complementul algebric al elementului a ii din matricea A, i,, c) C@t este suma s a a a? d) S` se verifice egalitatea matriceal` A ta sadi O 4 S Se dau matricele A ] i B ( b ij ), unde bij i, dac` i j ] i bij i j, dac` i j a) S` se determine det ( A), det ( B) ] i det ( AB) b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( AB) det ( A) det ( B) c) C@t este suma s b b b? C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul? S Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli: ab c ab ab a ( bc) bca a) bc a b) a b ab ab ca b ab ab a b c) b ( ac) acb c ( ab) abc 5

Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 6 manual Eersare E Se dau punctele A (, 4) ] i B(, ) S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac` punctul C( 5, ) este coliniar cu punctele A, B E Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare: a) A (, 9) B(, ) C( 4, ) b) M (, ) N (, ) P(, 5) c) E( 4, ) F (, ) G( 6, ) d) T (, ) U(, ) V ( m, m5) E Se dau punctele A(, ), B( m, m), C(, 5) a) S` se determine ecua\ia dreptei AC b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare c) S` se determine triunghiul ABC cu aria,5 E4 Se dau punctele A (, ), B( 5, 4), C(, ) a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC c) S` se determine A ( ABC ) E5 Patrulaterul ABCD are v@rfurile A (, ), B( 8, ), C( 6, 4), D(, 4) a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala BD d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD) Sintez` S Se dau punctele A (, ), B(, 4), C(, 4) ] i D(, 5) a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor AB, BC, CA, CD b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD) d) Dac` punctul M ( m, m ) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria suprafe\ei (MAD) S S` se determine astfel [nc@t punctele A (, ), B(, ), C(, ) s` fie coliniare S Se dau punctele A (sin a, cos a), B(sin b, cos b), C(sin c, cos c) a) S` se verifice dac` A ( OAB ) sin ab) sin( ab) b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c, punctele A, B, C sunt pe o dreapt` 6

S4 Se dau punctele distincte A (, m), B( m, m), C(, ) a) S` se determine m astfel [nc@t punctele s` fie coliniare b) S` se determine m astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie S5 Se consider` punctele A ( m, m), B( m, m ) Pentru ce valori ale lui m are loc egalitatea A ( OAB ) S6 S` se determine m, n astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile: a) A ( m, ), B( m, m), C( m, m) b) A ( mn, m), B( mn, ), C( m, n) S7 S` se determine m astfel ca punctul A (, ) s` fie la distan\a fa\` de dreapta BC, unde m B m C m, 6 7,, m S8 Se consider` punctele A (, ), B(, 4 ) S` se determine punctele M situate pe dreapta y pentru care A A ( OAM ) ( OBM ) S9 Eist` puncte A ( m, ), B(, m), C( m, m) astfel [nc@t A ( )? ABC pag 64 manual Teste de evaluare Testul 4 5 Se d` epresia E 5 5 ( ) 6 Valoarea epresiei este: a) b) c) d) 6 Se d` matricea A 4 5 S` se calculeze det ( A ) utiliz@nd: 4 6 a) regula lui Sarrus b) regula triunghiului c) dezvoltarea dup` linia a doua d) dezvoltarea dup` coloana a doua e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta f) o proprietate a determinan\ilor nuli Se dau matricele A B C,, Suma solu\iilor ecua\iei 5 det ( AB) det ( C ) este 4 Punctele A ( m, ), B(, m) ] i C( 4, ) sunt coliniare dac` m 7

Testul Fie S, respectiv S mul\imile solu\iilor ecua\iilor: a) 4 8 5,( 6) 5 7 b) y4 y5 y y y y y y S` se determine S, S, S S, S S Se d` matricea A det( A) det A, unde este solu\ie a ecua\iei Atunci y b b Se dau matricele A a z, B a y z, c z c b n det ( A) adet ( B) c det ( C) Atunci n y C a y ]i c b z m 4 Se consider` triunghiul ABC, cu A B m C,, ] i (, ) Valoarea lui m 4 pentru care d( C, AB) este 8

Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 7 manual Eersare E S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile: a) 5 4 b) 5 5 c) 7 d) 9 4 E S` se determine inversa matricei: a) 8 6 b) 8 5 c) 4 d) e) f) 4 g) h) 5 E S` se determine m pentru care matricea este inversabil`: a) m m 5 b) c) m 7 6 m m d) m m m m m m m 7 m 4 m e) f) m7 g) m m h) 4 9 m m 9 m 7 E4 Se dau matricele A B 7 5 ]i 4 a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor b) Este adev`rat` egalitatea ( AB) B A? c) S` se verifice egalit`\ile ( A ) ( A ) ]i ( B ) ( B ) E5 S` se determine matricea A a c`rei invers` este: a) A 5 8 b) A 4 7 5 5 5 c) A 4 d) A 4 5 5 5 9

Sintez` S Care din urm`toarele matrice sunt inversabile: a) 5 b) lg c)! 4 lg5 8 4! d) C 4 A? S S` se determine inversa matricei: a) i i 4 i b) C i sin cos m Cm c) d) 4 5 i cos sin S S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare ar fi a) A b) A c) A m m m S4 S` se determine m astfel [nc@t A * A dac`: m m a) A m b) A 5 m4 m m 4 m 4 c) A m d) A m m S5 Fie A B n arate c`:, M ( ),,,, dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB BA S` se n a) AB B A b) A B BA c) A B B A S6 Se d` matricea A a) S` se determine produsul ( I A) ( I A) b) S` se arate c` I A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze ( I A)

Ecua\ii matriceale Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 74 manual Eersare E S` se rezolve ecua\iile matriceale: a) X b) X 5 5 c) X d) i X 4 5 i E S` se rezolve ecua\ia matriceal`: a) 4 X b) Y 4 4 5 4 5 c) X I E S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile: a) 4 X b) X c) X E4 Se dau matricele A B,, C 4 S` se determine matricea X care verific` rela\ia: a) AXB C b) BXA C t

Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute Forma matriceal` Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 9 manual Eersare E S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii: y yz 5y 7 a) b) 4y c) 4 yz 8 y 5 6y 8 9 yz 4 yz y ( ) 4( y) ( z ) abc 6 d) a bc e) yz i f) ( ) ( z y) 5( y) i iyz ( ) ( y) 4( yz) ( yz) E Care din sistemele de numere (, ) (, 4) ( 6, ) ( i, ) sunt solu\ii ale sistemelor de ecua\ii: a) y 8 y 4 b) 4y 5y ( i) 4y i ( i) i( y) c) d) i iy i ( i) ( ) ( i) ( y) ( a) y 8 E Se d` sistemul de ecua\ii, a, b S` se determine a ]i b astfel [nc@t 4 ( b) y 8 solu\ia sistemului s` fie: a) (, ) b) 7, 5 4 E4 S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii: 4y 7 a) b) y ( y) ( y) 5 c) y 5 5 7y 4( y) y yz 6 ( y) 5z y yz a d) 4 yz e) 4( yz ) y z f) y z b 5 yz yz yz c E5 S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula lui Cramer: 8y 5 a) 9y b) ( y) ( y) 8 5( y) 4 4yz yz c) 5 yz 6 d) yz 6yz 4 yz 4 E6 S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer: y 4 5y 4 y 7 a) b) c) 5y 9 7y 6 5y

yz y4z yz d) yz 5 e) 4yz f) y( yz) 4 yz 4 yz 9 ( z) ( y ) E7 Se consider` sistemul de ecua\ii AX B, unde 4 A 4, X y, B 8 5 z 8 a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal` b) S` se scrie ecua\iile sistemului c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer E8 S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: y 4 a) y 9 b) y y 5yz 7 yz 4 6yz c) yz d) 6 yz 8 yz yz 6 yz yz 4 yz yz e) f) yz 4 yz 6 yz 4yz yz yz yz g) h) y 8z yz 4 5y9z yz abc i) a bc 7 j) yz yz Sintez` S S` se determine m astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz: myz m myz 8 a) yz b) yz 6 m m yz m yz 4 S Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer? ( m) yz y( m) z a) m yz b) ymz 4 ymz yz 6

S S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii: 7 4 5 y ( z ( y) ( y) 5 9 5 ) a) b) 9y z 6( 48y) 7 5 ( y) ( 4 9 y ) y y4z 8 S4 S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii: y( i) z i C C y4c z a) iy( i) z b) C 5 4C 5 yc5 z 6 i iz i A A y A z S5 S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ( y) z y z y z 5 y 65z y 5z y z a) b) c) ( z ) 5 y5z y 75z yz 6( y) z 4 y y 4z yz 4z ( y) 7y4z 4y( m) z d) 5 y7z 4( ) e) 5 y8z f) myz y47z 68 yz y 8, m y( m) z m S6 Se d` sistemul de ecua\ii ( m) ymz m 5 4y( m) z a) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul este compatibil determinat? b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m, m, m yz S7 Se d` sistemul de ecua\ii a bycz }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite, a b yc z 4 s` se rezolve sistemul ( m) ymz S8 Se consider` sistemul de ecua\ii ( m) y( m) ( m) ( m) yz a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer? c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` ( m, ym, z m ) d) S` se determine m astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia m ym z m yz S9 Se consider` sistemul de ecua\ii yz, yz 4 a) S` se determine solu\ia ( ( a), y( a), z ( a )) a sistemului de ecua\ii A a y( a) b) S` se determine mul\imea 4 ASE Bucure]ti, 998

a yz 4 S Sistemul de ecua\ii ( ) ( ) yz 7,, este compatibil determinat yz 4 pentru: a), b), c), d), Universitatea Gala\i, 4 yz S S` se discute dup` m ]i s` se rezolve sistemul: yz ymz m m yz S Sistemul de ecua\ii myz are numai solu\ia nul` (,, ) dac`: yz a) m, m b) m c) m d) m Politehnic` Bucure]ti, 4 S Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete Timpul de func\ionare a fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` eprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal al`turat Tabelul Robinetul I (nr de ore) Robinetul II (nr de ore) Robinetul III (nr de ore) Cantitatea de ap` evacuat` ([n hl) ore ore 6 ore hl ore ore 6 ore hl ore ore ore 45 hl S` se determine debitul fiec`rui robinet S4 Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi 6 din v@rsta tat`lui Peste 5 ani v@rsta fiului mai mare va fi din v@rsta tat`lui S` se determine v@rsta fiec`ruia, dac` peste 8 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor myz S5 Se consider` sistemul de ecua\ii: ( m) yz n, m, n yz a) S` se rezolve sistemul pentru m ] i n5 b) S` se discute dup` valorile lui m, n ]i s` se rezolve sistemul Universitatea Bra]ov, 5

pag 96 manual Teste de evaluare Testul Se d` matricea A 5 M ( ) 6 8 a) S` se determine astfel ca matricea A s` nu fie inversabil` b) S` se calculeze A dac` yz Fie sistemul de ecua\ii: yz yz m a) S` se determine m pentru care sistemul are solu\ie unic` b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 4 Pentru creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei Dac` ar cump`ra 5 creioane, gume ]i dou` caiete ar pl`ti 8 lei }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 4 lei, s` se afle pre\ul fiec`rui obiect Testul S` se calculeze inversele matricelor: A B C 4 i Ci, i j Se dau matricele A ( a ij ), unde a 4 ij i, i j ]i B i, i j 45 S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX B ( m) yz Se d` sistemul de ecua\ii: ( m) yz m y( m) z m, m a) S` se calculeze determinantul sistemului b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat? c) S` se rezolve sistemul pentru m d) S` se rezolve sistemul pentru m Universitatea Baia Mare, 5 6

pag 97 manual Probleme recapitulative Fie A M ( ) S` se determine a, b pentru care A aa ba O 4 y S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c` A 4I 4A, ]i apoi s` se afle y A n, nu Se consider` matricea A a M ( ) b c a) S` se calculeze A ]i A b) S` se determine, cu proprietatea c` A A AI }tiin\e economice Cluj, 996 Universitatea Bac`u, 997 a 4 Fie E( X ) X 4X 4 I Dac` A, s` se determine a pentru care 4 E( A) n 5 Fie A S` se calculeze ( I A), nu 6 Fie A S` se calculeze S A A A A Universitatea Craiova, Universitatea Politehnic`, 994 a b 7 Se consider` matricea A c M ( ), cu proprietatea c` ae bd d e a) S` se demonstreze c` eist`, y astfel [nc@t A A ye, unde E b) S` se arate c` pentru oricare nu, eist` a, b, cu proprietatea c` A A y E n n n n n Facultatea de Sociologie, 997 7

8 Fie A M, ( ), B M, ( ) Dac` C AB, s` se calculeze C 9 S` se rezolve sistemele de ecua\ii: AB I A B a) AB b) A B 4 a S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c` A A 4 4 a a 4 4 S` se determine A M ( ), ]tiind c`: i i i A A 4 S` se rezolve [n ecua\iile: a) 4 5 4 b) 5 c) S` se rezolve ecua\iile: a) ab a b, dac` a b b) b a 7 4 5 7 8 c) ab b a, dac` a b a b 4 S` se determine a pentru ca matricea A s` fie inversabil`: a a) A a b) A a a a 5 S` se rezolve ecua\iile: a) X 5 b) X 4 5 8 Universitatea Bac`u, 998

m m 6 Fie A A M ( ), S` se determine m pentru care matricea A este m m inversabil` 7 Fie A M ( ) S` se calculeze inversa matricei A 4 8 Fie A ]i B A S` se calculeze B 9 S` se rezolve sistemele: yz yz yz yz a) y4z b) yz c) y4z yz 4 y5z yz yz Se consider` sistemul yz m Dac` m yz n A ( m, n) sistemul este compatibil nedeterminat ]i ( m n ), atunci: ( m, n) A a) 8 b) 6 c) d) e) 5 myz yz m Se consider` sistemul yz m m ( m) z m Dac` A a) A d) A m sistemul este incompatibil, atunci:,, b) A, e) A, c) A, ASE Bucure]ti, 9

REZOLVĂRI Partea I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecuaţii liniare Capitolul I Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mulţimi de matrice Eersare E Rezolvare: 7 i 5 A B + 5 C 5 X 4 i 4-5 4 4 9 E Rezolvare: a) A 5 b) ( 4 + ) B i c) 5 C d) D E Rezolvare: a) A i M (m) B i M, (Z) C i M, ( ) D i M,4 ( ) b) b b, b b b 5 b 4 d d i d 5 d 4 7 5 c) a a 4 a 8 c + i c + i c b 4 4 a b d 4 7 d) Suma a + a + a reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principală Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este a + b + c d 4 + ( 5) + ( ) ( 7) + a b c d ( ) ( + i) ( i) i ( i) U a b şi 5d Aşadar @ şi a b @ 5d E4 Rezolvare: Se egalează fiecare elemente cu zero şi se obţine: a 6 şi a 4 Se obţine a b şi b b Se obţine b c, cu soluţia c 4 m, cu soluţia m 4 E5 Rezolvare: Se pune condiţia ca să aibă loc egalitatea de matrice A I Se obţin succesiv egalităţile: + 4 y u t z + v Rezolvând ecuaţiile se obţine:, y i {, }, u t z i { i, i}, v

E6 Rezolvare: Se aplică egalitatea a două matrice Se obţin următoarele egalităţi: a) + y + 6 şi y 4 + y + y 5 Avem sistemul de ecuaţii: cu soluţia, y y 4 b) + y y y + 4 + y + y 5 Se obţine soluţia, y E7 Rezolvare: Se pune condiţia ca matricele să fie de acelaşi tip Rezultă că 4 m şi 5 n Se obţine m i {, }, n Sinteză S Rezolvare: Au loc egalităţile: a, a, a, a 4 4 a, a, a, a 4 4 a, a, a, a 4 4 a 4 4, a 4 4, a 4 4, a 44 4 S Rezolvare: Au loc egalităţile: b + b + 4 b + 9 b + b + 8 b + 7 b + b + 6 b + 8 S Rezolvare: Se obţin următoarele elemente: + + + 4 c c c c c c c ( ) A c ( ) A c4 ( ) A 4 4 4 4 c ( ) + A 6 c ( ) + A c ( ) + A 4 4 4 4 4 S4 Rezolvare: a) tr(a) 4 + ( ) + y + 6 + y tr(b) 4 + ( ) + y 4 + y b) Relaţia din enunţ se scrie sub forma: (y + 6) + y ( 6) Se obţine ecuaţia de gradul doi: y + y cu soluţiile y y c) Se obţine ecuaţia de gradul doi: + cu soluţiile, d) Se obţine relaţia + y 4 + y 4 4 care se scrie sub forma: (y ) + ( ),, y i Z Rezultă că y şi Aşadar,, y S5 Rezolvare: a) Din egalitatea matriceală A I se obţin egalităţile:, log (a ) şi 4y Din egalitatea, rezultă, deci Înlocuind în ecuaţia 4y se obţine 4y 4, deci y i {, }

Ecuaţia log (a ) conduce la ecuaţia a cu soluţia a b) Deoarece O B se obţin ecuaţiile: 9 y y, lg, a + bi şi! C n Ecuaţia 9 este echivalentă cu ( ), adică sau Se obţine soluţia y y y y Ecuaţia lg este echivalentă cu cu soluţia y i {, } Din egalitatea a + bi, a, b i Z se obţine a şi b, adică a şi b nn ( ) Din egalitatea! C n se obţine 6, n i Z, n U, ecuaţia cu soluţia n 4 S6 Rezolvare: a 4 a a + b a) Aplicând egalitatea matricelor se obţine următorul sistem de ecuaţii: ( ) z Din ecuaţia a 4 a se obţine a + a 6 cu soluţia a i {, } Din ecuaţia a + b se obţine b a Pentru a, se obţine b şi pentru a, se obţine b Ecuaţia ( ) se scrie sub forma echivalentă 6 şi se obţine {, } Pentru se obţine z şi pentru se obţine z 7 b) Se obţin succesiv ecuaţiile: ( n+ ) n n( n ) Cn+ Cn, n i q, n U, echivalentă cu cu soluţia n i {} + 7 4 + 7 6, cu soluţia {,} b 4 b 64, cu soluţia b i { 8, 8} loga loga log, a> cu soluţia a 8 S7 Rezolvare: Din egalitatea matriceală A B C se obţin următoarele egalităţi care dau valorile necunoscutelor din problemă: 4 y y 5 C z + m m p Se obţine:, y 7, z m şi p 4 sau m 4 şi p 6

Operaţii cu matrice Înmulţirea unei matrice cu un scalar Eersare E Rezolvare: Se aplică regula de adunare a două matrice şi se obţine succesiv: + ( 7) ( ) + 8 + 5 5 7 8 a) 5+ 4+ ( ) + 4 8 4 b) a+ a b 5b a 4b + 8y+ 6y 5 y 6+ 7 5+ 4 5 c) + 4 + 5 5 4 8 + + 5 5 E Rezolvare: Se obţine succesiv: ( 6) 4 4 a) 5 8 b) 4 4 i + i + i i + i + i + + i i ( ) + + 4 + 4 6 E Rezolvare: + + A+ B + + 4 4 ( ) 5 A B ( ) + + t t A+ B + 4 + + 4 t ( A+ B) 4 4 4 4 t t 4 4 b) A+ C + 5 4 6 t B C 5 4 7 t t 5 ( A B) 5 t 4 + + 4 t ( A B+ C) + 5 + + + 5 t t 5 6 5 5 6 5 t

E4 Rezolvare: Egalitatea A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice: + 4y+ z z+ v y u v 4 + v v+ y t+ z+ 4 Aplicând egalitatea a două matrice se obţine că:, y, z, v, u, t E5 Rezolvare: Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enunţ conduce la: + X, 7 5 5 egalitate din care se obţine Rezultă că + X 5 + X 7 5 5 E6 Rezolvare: Egalitatea t A A se scrie sub forma echivalentă: 5 a 5 6 a b 6 a c+ a b n c+ n Se obţin ecuaţiile: a 6 a b, c + n n cu soluţiile: a i {, }, b 9, c 4, n i Z E7 Rezolvare: Avem: A + sau 5 A 6 Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sumă, respectiv diferenţă de două matrice A I+ A I 5 5 + E8 Rezolvare: Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu numărul real 6 8 4 a),, 6 4 4 8 b) 5 6 c) Se va folosi că + 8 + ( + ) + 4

( )( + ) Se obţine: ( )( ) + d) Se foloseşte faptul că i din care se deduce că i i, i 4 Se obţine: 4 i i i i + i 4i 4i E9 Rezolvare Se obţine succesiv: 8 6 5 X + + 5 4 5 + 8 + 6 5 5 X + 5 5 + 4+ 7 5 Aşadar, X 7 E Rezolvare: Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a două matrice şi se obţine egalitatea matriceală: + 5 4 y+ ( 5) 8 z+ ( ) 7 6+ 5a 8+ b + 5c 8 Din egalitatea acestor două matrice rezultă următoarele ecuaţii de gradul întâi: + 5 7, 4y 5, 8z, 6 + 5a, 8 + b, + 5c 8 cu soluţiile, y 7 z 4, a b c Sinteză S Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie sub forma echivalentă astfel: y 5 4 6 5 6 + 4 9 log z C n y + 5+ 4 6 Efectuând adunarea matricelor se obţine egalitatea matriceală 5 log z C n din care se obţin ecuaţiile: + 4, 5 + y 6, log z, C n 5 Ecuaţia + 4 se scrie sub forma 4 Cu notaţia m se obţine ecuaţia de gradul doi m m, m > cu soluţia pozitivă m Se obţine Din 5 + y 6, rezultă y şi y Ecuaţia log z are soluţia z, iar ecuaţia C n 5 se scrie sub forma echivalentă nn ( ) 5, n i q, n U Se obţine n 6 Aşadar,, y, z, n 6 5

S Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie succesiv + 9 4+ y + + 9 4+ y + + z+ t+ 4 z+ t+ 4 + Aplicând egalitatea a două matrice se obţin ecuaţiile: + + 9, 4 + y, z +, + t + 4 Ecuaţia + + 9 are soluţiile, Pentru se obţine: y, z 5, t 8 Pentru se obţine: y, z, t S Rezolvare: 5 6 a) Din egalitatea dată rezultă că A, adică 4 4 A 4 Se obţine A 5 b) A 4 9 5 5, deci 8 6 9 A 5 9 9 6 Se obţine A 5 4 c) 7A 8 6 + +, egalitate din care se obţine: 5 6 4 6 48 4 7 4 7A 7 4 Rezultă că A 49 4 7 S4 Rezolvare: a) Înmulţim prima ecuaţie cu şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie Se obţine: 6 4 5 5 5B + 5B 4 6 5 5 Rezultă că B Înlocuind pe B în prima ecuaţie din enunţ şi efectuând operaţiile cu matrice se obţine: A Aşadar, A I b) Înmulţim prima ecuaţie cu ( i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecuaţie din enunţ Se obţine egalitatea matriceală: + i i i ( + i)( i) A+ A ( i) i + i i care se scrie sub forma: + i + i i i A+ A + + i + i i i, sau A Rezultă că A I 6

Pentru determinarea matricei B se înlocuie, de eemplu, matricea A în prima ecuaţie a enunţului şi efectuând calculele se obţine B S5 Soluţie: a) Se scrie sub forma: n + + + + + + + + n A + + + + 4 n n( n+ ) + + + + n + + + n( n+ ) n n k k n n k k( k ) + k k n n nn ( + ) nn ( + )(n+ ) Se ştie că k, k k şi k 6 n nn ( + ) k k Vom calcula suma următoare: n kk ( + ) n ( k + k) n k + n k k k k k Folosind formulele scrise mai înainte se obţine că n nn ( + )(n+ ) nn ( + ) nn ( + )( n+ ) kk ( + ) + 6 k nn ( + ) n Aşadar, A, n i q* n ( n+ ) n( n+ )( n+ ) 4 b) Scriem mai întâi că: k k+ k k 6 k k k şi ( ) Cu acestea matricea A se scrie sub forma: n n k 6 k k A n n k k ( ) k k Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometrică cu raţia q @ şi primul termen notat a este: a( q n S ) q Rezultă că: n n k n 6(6 ) 6 6 6 6 6 n + + + (6 ) k 6 5 n n k n ( ) n + + + ( ) k n ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) n n n n + + + k 8 (6 n n ) 5 Rezultă că A n n ( ) ( ) n k

4 Înmulţirea matricelor Eersare E Rezolvare: 4 5 4 + 5() 4 + 5() 7 6 a) 6 6 + ( ) ( ) 6 + ( ) ( ) 5 8 4 + ( ) 4 + ( ) b) 4 4 + 4 4+ 6 7 + ( ) + ( ) + ( 4) c) ( ) ( ) ( 4) 4 + + + i + i ( ) + i ( ) + i ( 4) i ( 4 i ) 6 4i d) Se înlocuie cos, sin π, tg π şi avem de efectuat următoarea înmulţire de matrice: 4 ( ) + + ( ) + ( ) + + + 6 ( ) ( ) ( ) 5 + + + + + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + 6 e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor: 4 ( ) ( ) 4 ( ) + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) + + + + + + + + 6 5 6 + ( ) + + 5 ( ) 6 + + + 5 6 4 4 9 ( )( ) 4 9 ( ) ( ) 4 9 + + + + + + E Rezolvare: ( 5 ) + + ( ) a) AB 5 ( ) + + ( ) 5 + + BA 5 + ( ) + ( ) 8

5 t t A B A B 5 t t B A B A AB ( ) ( ) b) A B ( ) ( ) ( ) 6 () () 9 B A ( ) ( + + ( ) ) ( 4) M( Z ) t t A B ( ) ( ( ) + + ( )) ( 4) M( Z ) 6 9 t t B A ( ) ( ) + + + + 4 c) A B ( ) 5 + + + + ( ) + + + BA ( ) 4 6,5 + + + ( ) + + + ( ) + + + A B () + + + 4 ( BA) ( ) 6,5 + + + t t t ( ) t t + + + + 4 5 t B A ( AB) () + + + + d) A B I B B B A B I B t A t B I t B t B t B t A t B I t B 9

E Rezolvare: Calculăm + + ( 4) + + 5 4 + + ( 4) + + 5 AB 5 + + ( 4) + + 5 + + ( 4) + + 5 4 5 9 5 6 8 9 6 t Rezultă că ( AB) 4 8 5 5 () + + () + + () () t t + + + + B A 4 4() + 4 + 4() + 4 + 5 ( ) + 5 + 5 ( ) + 5 + 5 9 6 4 8 5 5 Se observă că t (AB) t B t A 6 5 6 t t 7 Avem de asemenea: AB + B A 5 4 6 7 E4 Rezolvare: 5 + ( ) + ( )( 4) 5 + + ( ) 5 + ( ) + ( )( ) A ( B C) A () (4) () () + + + + + + + ( ) + ( ) ( 4) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) 7 7+ ( ) + 7 + 5+ + ( 7) + 5 7 7 ( )( ) 7 ( ) 5 ( )( 7) + + + + + + 7 7 + () + 7 + 5 + + (7) + 4 6 4 9 6 8 4 5+ + ( ) + + ( ) + + ( ) 8 4 ( A B) C 5 + ( )+ ( ) + ( )+ ( ) + ( )+ ( ) C 7 5 + + ( ) + + ( ) + + ( ) 6 4

+ 6 6+ 6+ + 8 4 6 44 4 9 4 9 + + + + 4 4 + 6+ 6 8 4 Aşadar, A (B C) (A B) C 5 5+ 5 + + + b) A ( B+ C) 4 6 4 4 8 4 4 + + 5 4 5+ + + 4+ + + 5 7 5 5+ + + + 6 AB + AC 4 4 + + + 4 5+ + + + + + + + + + 6 8 4 6 + 8 4 4 7 7 4 4 + + + + + + + 6 5 5 7 Aşadar A (B + C) AB + AC 4 4 8+ + 5 c) ( A+ B) C 5 6 6 + + + + 4 + 8 + 6+ + 4 6 6 Pentru calculul epresiei A C + B C vom folosi calculul lui A C făcut la punctul b) şi al lui B C făcut la a) 6 7 5 Avem: AC + BC 7 5 7 6 + 5 7 6 6 Aşadar, (A + B) C A C + B C E5 Rezolvare: 4+ 5 + 9 + 6 + 4 9 9 6 4 9+ 9+ 7 Avem: 4+ 5 + 4 5 5 5+ 9 5 6 4 5 6 9+ 4 5 4 4 68 + 4 89 55 4 + 55 4 E6 Rezolvare: + 8 8 6+ 8 + 8 A 4 4 4 4 4 + 6 8+ 9 6 8 + I 4 4 5 4 4 5 4 6+ 8+ 8 6+ 5 4

Aşadar A I A A A I A A 6 A ( A ) I I ( A + I) ( A+ I) not Dar A+ I B şi B B Rezultă că ( A+ I ) ( B) B B E7 Rezolvare: Calculăm câteva puteri consecutive ale lui A A A A A A A A 4 A A 4 Din forma de scriere a matricelor A, A, A, A 4 n se deduce că A n, formulă care o demonstrăm prin inducţie matematică după n i q, n U Pentru n, rezultă că A A, ceea ce este evident adevărat k Presupunem că A k şi demonstrăm că k + A k + k+ k Avem că A A A k k +, ceea ce trebuia demonstrat n Aşadar, A n, ¼n i q* E8 Rezolvare: a b Luăm matricea X de forma: X y, a, b,, y i Z a b 5 Înlocuind în relaţia de la a) avem: y 4 4, a+ b a+ 4b 5 relaţie echivalentă cu + y + 4y 4 a+ b 5 Se obţin sistemele de ecuaţii: şi a+ 4b cu soluţiile a, b, respectiv, y Aşadar, X + y 4 + 4y 4

a b 5 7 Înlocuind în relaţia de la punctul b) se obţine: y 4, a+ b+ y 5 7 relaţie echivalentă cu: a+ b+ y 4 Din această egalitate de matrice se obţin sistemele de ecuaţii: a+ 5 b+ y 7 şi a+ 4 b+ y care au soluţiile a,, respectiv b, y Aşadar, X E9 Rezolvare: a) B f(a) f(a + I ) Avem: f(a) A 4A + I Dar A A A 4 6 4 5 Rezultă că f( A) 4 + + + 6 6 8 4 5 f(a + I ) (A + I ) 4(A + I ) + I Dar A+ I,( A I) O + şi ( A+ I ) ( A+ I ) ( A+ I ) O Rezultă că f( A+ I) O 4 + + + 8 8 Înlocuind în epresia matricei B se obţine: b) Calculăm Din punctul a) avem că 5 8 B 5 8 4 8 t A A 5 f( A) 5 f(a t A) (A t A) 4(A t A) + I Dar t 4 8 ( A A) 4 8 Rezultă că t 8 8 6 f( A A) + + 8 8 6 Înlocuind în epresia matricei C se obţine: C 5 6 5 4 9 + + 5 6 5 4 4 9 4

Sinteză S Rezolvare: a) Matricea X trebuie să fie de tipul (, ) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enunţ a Înlocuind pe X avem: b y c z Efectuând înmulţirea de matrice se obţine următoarea egalitate de matrice: a b+ c y+ z b c y z, a b+ c b c din care se obţine sistemul de ecuaţii: y + z y z Din primele două ecuaţii se obţine a b c, b + c şi c i Z Din următoarele două ecuaţii se obţine 5, y + z şi z i Z 5 Aşadar X c z + +, c, z i Z c z b) În egalitatea aceasta se impune condiţia ca X i M, (Z) Avem: 4 a a+ 4b+ c b 8, egalitate care se scrie sub forma: b c 8 + 5 c 9 a+ b+ 5c 9 Identificând elementele corespunzătoare ale acestor matrice se obţine sistemul de ecuaţii: a+ 4b+ c b + c 8 a + b + 5c 9 Înmulţind prima ecuaţie cu şi adunând-o la ecuaţia a treia se obţine un sistem de două ecuaţii cu necunoscutele b şi c: 6b+ c 5 cu soluţia: b, c b + c 8 Înlocuind b şi c în una din ecuaţiile care conţin a se obţine a Aşadar, X c) În această relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul : a m 8 Avem: b y n 9 5 4 c z p 5 Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: a b+ c y+ z m n+ p 8 a c z m p 9 5 4 + + + a+ b c + y z m+ n p 5 44

Punând condiţia egalităţii celor două matrice se structurează trei sisteme de ecuaţii cu câte trei necunoscute de forma: a b+ c 8 y+ z m n+ p a+ c 9, + z 5, m+ p 4 a b c y z + + m+ n p 5 Se obţin soluţiile: a, b 4 c y z m n p Aşadar, X 4 S Rezolvare: 5 a b a) Avem egalitatea: y, a+ 5 b+ 5y care este echivalentă cu: y Se obţin egalităţile de elemente: a + 5 b + 5y 5 Rezultă că: a, b 5 şi X, b) Înlocuind A, X şi B se obţine egalitatea: a+ 5 5 a b b + 5y y Procedând ca la a) se obţine sistemul de ecuaţii: y 4 cu soluţiile a b 4,, y Aşadar, X a b 5 c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea y, care este a 5a+ b echivalentă cu: 5+ y Rezultă că: a,, 5a + b, 5 + y 9 Se obţine că X 4 5 a b a b a+ 5 b+ 5y a+ b a+ b d) AX XB y y y + y + y Se obţine sistemul de ecuaţii: a+ 5 a+ b a+ b 5 b 5y a b + + a 5y, cu soluţia y a b Rezultă că X O + y + y y + y 45

a b 5 e) Egalitatea BXB A este echivalentă cu: y Efectuând înmulţirea de matrice se obţine succesiv: a+ b+ y 5 4a+ + b+ y a+ + b+ y 5 a+ b+ y a+ + b+ y a+ + b+ y Identificând elementele celor două matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: 4a+ + b+ y a+ + b+ y 5 a+ + b+ y a+ + b+ y Scădem primele două ecuaţii între ele şi ultimele două ecuaţii între ele Se obţine un nou a+ 4 sistem de ecuaţii:, cu soluţia: a a + Înlocuim pe a şi în prima şi a treia ecuaţie a sistemului iniţial şi se obţine un sistem cu două b+ y 9 ecuaţii cu necunoscutele b şi y:, cu soluţia b 7, y 5 b + y 7 Aşadar X 5 S Rezolvare: a b a b a b ab A A A b a b a ab a b Înlocuind în egalitatea din enunţ se obţine egalitatea matriceală: a b ab a b + + ab a b b a echivalentă cu: a b a+ ab+ b ab b a b a + Din această egalitate matriceală se obţine sistemul de ecuaţii: a b a+ a b a ab b ab b b a a+ Sistemul de ecuaţii se aduce la forma: b(a ) Se ridică la pătrat a doua ecuaţie şi se substituie b obţinându-se ecuaţia: (a a + )(a ), sau (a a + )[4(a a) + 9] Se notează a a y şi se obţine ecuaţia (y + )(4y + 9) cu soluţiile y, y 4 Revenind la notaţia făcută se obţine: a a, cu soluţia a i {, }, respectiv a a care nu are soluţii reale 4 Pentru a se obţine b, iar pentru a se obţine b Aşadar, A sau A 46

S4 Rezolvare: a b Fie A M ( ) Z Ecuaţia matriceală devine: y a b a b y y 4 echivalentă cu: a b a+ b+ y y a+ b+ y 4 sau încă: a b a+ 6 b y a+ + b+ y y a+ + b y a+ b+ y 4 Efectuând scăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se obţine sistemul de ecuaţii cu necunoscutele a, b,, y a 6+ b+ y a + b y () a b+ y 4 a + b+ y Adunăm ecuaţia a treia la toate celelalte ecuaţii ale sistemului () şi se obţine: a 7+ y 5 a 7+ y 5 a y a y () 4a + y 6 a + y 4+ 4y 4 + y Scădem prima ecuaţie din celelalte două ecuaţii şi se obţine: 6 + y + y Se obţine şi y Înlocuind şi y în una din ecuaţiile sistemului () se obţine a Înlocuind a, şi y într-o ecuaţie a sistemului () se obţine b Aşadar, A S5 Rezolvare: a b A M ( ) y Z Egalitatea din enunţ se scrie sub forma următoare: a b a b y y Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: din care se obţine sistemul de ecuaţii: Aşadar a b A b a b, a, b i Z a b y a+ b a+ b a+ b+ y + y + y a a+ b b b y a + b y a b a+ + y a, b Z b+ y + y 47

S6 Rezolvare: Să calculăm mai întâi A şi A Avem: 5 4 A A A 4 5 5 4 4 A A A 4 5 4 Înlocuind A şi A în relaţia din enunţ se obţine: 4 5 4 y 4 4 5 sau încă: 4 5 + y 4 y y 4 4 y 5+ y Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: 5+ y 4 y 4 cu soluţia:, y y S7 Rezolvare: cos π sin π 6 6 Matricea A se poate scrie sub forma: A sin π cos π 6 6 Pentru uşurinţa scrierii vom nota π Calculăm câteva puteri ale matricei A şi obţinem: 6 cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin A A A sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin cossin + sin cos A A A sin cos sin cos sin cos cossin sin sin coscos + cos( + ) sin( + ) cos sin sin( + ) cos( + ) sin cos Din forma de scriere a matricelor A, A, A se poate generaliza că cos n sin n n A sin n cosn, n i q* Demonstrăm această relaţie prin inducţie matematică după n i q* cos sin Pentru n se obţine A, ceea ce este evident adevărat sin cos cos k sin k k Presupunem că A sin k cosk şi demonstrăm că k + cos( k + ) sin( k + ) A sin( k + ) cos( k + ) Avem că k+ k cos k sin k cos sin cos k cos sin k sin cos ksin + sin kcos A A A sin k cosk sin cos sin kcos cos ksin sin ksin cos kcos + 48

cos( k+ ) sin( k+ ) cos( k + ) sin( k + ) sin( k+ ) cos( k+ ) sin( k + ) cos( k + ), ceea ce trebuia arătat n cos n sin n Aşadar, A sin n cosn, ¼n i q*, unde π 6 S8 Rezolvare: 4 Avem: A 4 4 8 7 A A A 4 8 8 7 6 5 4 A A A 8 6 Analizând forma de scriere a matricelor A, A, A, A 4 se observă că A n se poate scrie sub n n n forma: A, n i q* n Demonstrăm această formulă prin inducţie matematică după n i q* Pentru n se obţine A A k k k+ k+ k k + Presupunem că A şi demonstrăm că A k k + Avem că k k k+ k k k+ k+ + k+ k A A A, k k+ k+ ceea ce trebuia demonstrat n n n Aşadar A, ¼n i q* n S9 Rezolvare: y y ( )( y) + ( 6 y) ( ) y+ (+ y) a) A () Ay () 6 + 6y + y 6 ( y) 6 y(+ ) 6 y+ (+ )(+ y) y + 4y 6y y y + + y ( + y + y) + y + y 6+ y 6y 8y 6y+ + + y+ 9y 6( + y+ y) + ( + y+ y) A ( + y+ y), ¼, y i Z Aşadar, A(), A(y) A( + y + y), ¼, y i Z 49

b) Vom respecta regula de înmulţire a două matrice A(), A(y) dată de punctul a) a) Avem: A() A () A () A ( + + ) A( + ) A(( + ) ) A( + + ) A( + ) Aşadar A ( ) A(( + ) ), ¼ i Z a) A() A() A () A ( + ) A () A ( + + + ( + )) A ( + + ) A(( + ) ) Aşadar A () A(( + ) ), ¼ i Z n n c) Folosind punctul b) se poate generaliza că: A( ) A(( + ) ), ¼n i q*, ¼ i Z Vom demonstra această formulă prin inducţie matematică după n i q* Pentru n, formula devine: A () A( + ) A() A() Presupunem că k k A ( ) A(( + ) ) şi demonstrăm că A k+ () A(( + ) k+ ) Dar () () () (( ) ) () a) k+ k k ( ( ) k ( ) k A A A A A A ) + + + + + k k+ A(( + ) ( + ) ) A(( + ) ), ceea ce trebuia demonstrat Aşadar A n () A(( + ) n ), ¼n i q*, i Z Rezultă că pentru n 6 şi se obţine 6 6 6 6 6 ( ) A () A(( + ) ) A( ) 6 6 6( ) + ( ) S Rezolvare: a) I + B + A Aşadar I + B A Pentru calculul lui A n folosim că A I + B şi aplicăm formula binomului lui Newton: n n n n A ( I+ B) CnI+ CnB+ CnB + CnB + + CnB Dar B B B şi B O, deci B n O, n U n nn ( ) Rezultă că A I + n B+ B () Pentru calculul sumei S se foloseşte formula dând lui n valori de la la şi însumând Se obţine: S I + B + I + B+ B + I + B+ B + I 9 + B+ B I + (+ + + + ) B+ ( + + + 9 ) B I + B+ k( k ) B k I 4 + B+ B I B 66B + + 6 5

S Rezolvare: k + k k + k + k + k + a) Ck () k k k + ( k k ) ( k ) + + + k k b) S C() k k ( k ) + k k Calculăm separat fiecare termen al matricei S nn ( + )(n+ ) nn ( + ) ( k + k+ ) k + k + n + n + 6 k k k k 4 + + 4 87 + + 4 6 ( k + ) k + + + k k k ( k + ) k + 4 + 87 + 89 6 k k k Aşadar, S 89 TESTE DE EVALUARE TESTUL Rezolvare: Relaţia 5 este echivalentă cu + 5 Se obţine, 5 Aşadar, răspunsul este d) Rezolvare: + y 4 y y 4 5 + y + y 4 5 Avem: y 5 + y y 5 4 + y y 5 4 () + + + y 4 Din prima ecuaţie se obţine 4 y Substituind în a doua ecuaţie se obţine ecuaţia y y cu soluţiile y, y Pentru y se obţine, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului () Pentru y se obţine, valori care nu satisfac ecuaţia a treia a sistemului () 4 Aşadar, y Rezolvare: a) Să determinăm A 9, respectiv A A 4 4 4 8 8 8, 4 4 8 7 8 4 A A A A A A 5

n n n n Se demonstrează prin inducţie că A, n i q* n n n Pentru n 9, respectiv n se determină A 9, A şi 8 8 8 9 9 9 64 64 64 9 + + B A A 8 8 8 9 9 9 64 68 64 Rezultă că tr(b) 64 + + 64 8 şi b + b + b 8 n n n n b) Demonstrăm prin inducţie matematică faptul că A, ¼n i q* n n n Pentru n, egalitatea este evidentă k k k k k k k k Presupunem că A şi demonstrăm că A + k k k k k k Dar k k k k k k k k k k+ k A A A, k k k k k k k k k ceea ce trebuia demonstrat n n n n Aşadar, A, ¼n i q* n n n Testul Rezolvare: a) Luând se obţine A() I I M ( ) b) Fie A, B i M Rezultă că eistă, y i m astfel încât A A() şi B A(y) În acest caz, y y y+ ( ) A B A() A() y y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Deoarece ( ) y y y y+ y y y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), rezultă că A B i M c) Fie A A(), i m Pentru k, A (), A() A () n n Prin inducţie se arată că A (), n i q* 5

Pentru k +, A (), A() I A () A() În general, se obţine că Rezolvare: Se obţin ecuaţiile:, par n I n A () A, n impar + 4, y + 9 y 9, Cz 45, 5A t + 6 Ecuaţia + 4 se scrie sub forma 4 + Notând m > se obţine ecuaţia m + m cu soluţiile m 4 şi m 5, de unde se obţine Notând y a se obţine ecuaţia de gradul doi a + a 9 cu soluţiile a 9, a din care se obţine y zz Ecuaţia C z 45 este echivalentă cu ( ) 45 sau încă z z 9 cu soluţia naturală z Din 5A t + 6 se obţine (t + )t, adică t + t, cu soluţia naturală t Aşadar,, y, z, t Rezolvare: a b a 4 7 Înlocuind A i M (m) se obţine ecuaţia y + b y 7, a, b,, y i m, care se scrie sub forme echivalente astfel: a+ b+ y a a+ 4 7 a+ b+ a+ y+ 4 7 y + b b+ y 7 + b b+ y 7 a+ 4 + b Rezultă că: b + a + y + 7 b+ y 7 Se obţine: a 4 y b 7 y, y 4, y i m 4 y 7 y Aşadar A y 4 y, y i m 4 Rezolvare: a a ay a ay a AB BA b y y b b by b by ay a ay a ( ay a)( b by) ( AB BA) b by b by ( b by)( ay a) Aşadar (AB BA) are cel puţin două elemente nule 5

Capitolul II Determinanţi Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei Eersare E Rezolvare 5 a) ( ) 8( 5) 8 b) 6 ( )( 6) 64 8 46 c), 5 7,,5 8 5 ( 7,) + 6 48 5 8 + i d) ( + i)( i) i ( ) 4 i ( ) 4 i + i 4 i i E Rezolvare 7 8 a) 5 7 5 9 8 5 4 5 9 5 b) c) ( 75) ( ) 5 + 64 5 + 8 7 75 5 ( + )( ) ( + 5)( 5 ) 4 6 + 5 d) lg,5 lg lg, 8,5 ( ) 4 8 lg, + + e)! 5!!4!!5! 6 4 4! 4! f) A A 4 A4 C 4 C5 A 4 5 6 8 C5 C 4 + y + y+ y 9 9 7 y+ g) 9 ( i) i h) i ( + i) i + i i i i + i ( ) ( ) ( ) ( ) 4 E Rezolvare 4 5 a) det( A) + det( B) + (8 + 7) + (8 + ) 5 7 4 6 6 6 det( A+ B) 48 + 78 6 8 Rezultă că det(a) + det(b) < det(a + B), pentru matricele date 54