Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC) ore/s`pt`m@n`
Instruc\iuni de utilizare Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de eerci\ii ]i probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a, ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau eamenul de Bacalaureat Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte: Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor Fi]ierul este organizat astfel: Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri Rezolv`ri Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic` Enun\uri Rezolv`ri Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste eerci\ii ]i probleme (coloana scris` cu albastru) Modul de utilizare a fi]ierului Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui anumit eerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare Astfel, dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de eerci\ii de la o anumit` tematic`, este suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag), [n coloana Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz` ]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului Automat fi]ierul sare la pagina corespunz`toare Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`, ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri eerci\ii ]i probleme O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni V` dorim mult succes la matematic` AURORII
CUPRINS PARTEA I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual pag Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice 5 Opera\ii cu matrice 7 {nmul\irea unei matrice cu un scalar 7 4 {nmul\irea matricelor 9 Teste de evaluare Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie 6 Teste de evaluare 7 Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) 9 Ecua\ii matriceale 4 Metode de rezolvare a sistemelor lineare Teste de evaluare 6 Probleme recapitulative 7 Enun\uri eerci\ii ]i probleme propuse [n manual pag manual 7 4 4 4 4 7 5 6 64 66 7 74 9 96 97 Rezolvari eerci\ii ]i probleme pag Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Opera\ii cu matrice {nmul\irea unei matrice cu un scalar 4 {nmul\irea matricelor 8 Teste de evaluare 5 Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei 54 Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie 6 Teste de evaluare 7 Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) 7 Ecua\ii matriceale 8 4 Metode de rezolvare a sistemelor lineare 8 Teste de evaluare Probleme recapitulative 6 PARTEA a II-a Elemente de analiz` matematic` pag manual Capitolul Limite de func\ii Mul\imi de puncte pe dreapta real` 4 Calculul limitelor de func\ii 4 4 Limitele func\iilor trigonometrice 6 5 Opera\ii cu limite de func\ii 8 6 Cazuri eceptate la calculul limitelor de func\ii 64 Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii 7 Asimptotele func\iilor reale 4 Teste de evaluare 5 Capitolul Func\ii continue Func\ii continue [ntr-un punct 7 Opera\ii cu func\ii continue 9 Semnul unei func\ii continue pe un interval Teste de evaluare Capitolul Func\ii derivabile Derivata unei func\ii [ntr-un punct Derivatele unor func\ii elementare 5 Opera\ii cu func\ii derivabile 6 5 Derivarea func\iilor inverse 8 4 Derivata de ordinul doi 9 5 Regulire lui l'hôspital 4 Teste de evaluare 4 Capitolul 4 Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4 4 Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor 45 4 Reprezentarea grafic` a func\iilor 47 Teste de evaluare 48 Probleme recapitulative 5 pag manual 4 4 5 6 67 76 77 79 8 87 9 9 94 9 4 9 5 9 46 55 56 58 Rezolvari eerci\ii ]i probleme pag Capitolul Limite de func\ii Mul\imi de puncte pe dreapta real` 56 4 Calculul limitelor de func\ii 6 4 Limitele func\iilor trigonometrice 6 5 Opera\ii cu limite de func\ii 65 6 Cazuri eceptate la calculul limitelor de func\ii 68 64 Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii 7 7 Asimptotele func\iilor reale 76 Teste de evaluare 85 Capitolul Func\ii continue Func\ii continue [ntr-un punct 88 Opera\ii cu func\ii continue 9 Semnul unei func\ii continue pe un interval 96 Teste de evaluare Capitolul Func\ii derivabile Derivata unei func\ii [ntr-un punct Opera\ii cu func\ii derivabile 8 5 Derivarea func\iilor inverse 4 4 Derivata de ordinul doi 9 5 Regulire lui l'hôspital Teste de evaluare 6 Capitolul 4 Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor 4 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 8 4 Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor 7 4 Reprezentarea grafic` a func\iilor 4 Teste de evaluare 6 Probleme recapitulative 64
PARTEA I ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL SISTEME DE ECUA II LINIARE Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Opera\ii cu matrice Eerci\ii ]i probleme Teste de evaluare Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Teste de evaluare Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) Ecua\ii matriceale Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute Forma matriceal` Teste de evaluare Probleme recapitulative 4
PARTEA I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecua\ii liniare Capitolul Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mul\imi de matrice Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 4 manual Eersare E S` se scrie o matrice A M ( ), B M ( ), C M ( ), X M ( ),,, 4, E S` se scrie: a) o matrice coloan` cu 4 linii b) o matrice linie cu 4 coloane c) matricea unitate de ordinul 5 d) matricea nul` de tipul (, 4) E Se consider` matricele: 4 8 A 7 8 B C 4 5 D i 5 7 4 5 i a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate Eemplu: b, d 5, c) S` se completeze: a, a, a, c, c, i,, 4, b, d4 ]i altele d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor: a a a reprezint` diagonala principal` a matricei A diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu a b c d4 a b c du a b 5d a b a E4 Matricea X 6 4 reprezint` matricea nul` de tipul (, ) S` se b b c 4 m determine a, b, c, m E5 Matricea A 4 y u t reprezint` matricea unitate de ordinul S` se z v determine numerele complee, y, z, t, u, v 5
E6 S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea: a) y 6 b) y y y 5 y 5 4 y 4 y y 5 E7 Se consider` matricele A M 4, 5 n ( ) ]i B [nc@t s` fie posibil` rela\ia A B Sintez` S S` se scrie matricea A a ij S S` se scrie matricea B b ij 4 4 M m,, ]tiind c` ( ) S` se determine m, n astfel a ma i, j, i, j, 4 ij, ]tiind c` b j, i, j,, dac` i j S S` se scrie matricea C c ij, ]tiind c` c i j 4 ij, dac` i j i ( ) A j, dac` i j 4 4 4 6 S4 Se dau matricele A ]i B 5 6 y 6 4 y a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B) b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a b a b? c) Pentru ce valori ale lui are loc egalitatea a b a b? d) S` se determine, y astfel ca tr( A) tr( B) a b ij i S5 Se dau matricele p`tratice y y A 9 lg ] i B log ( a) 4y abi! a) S` se determine, y, a astfel [nc@t A I b) Pentru ce numere, y, a, b, n are loc egalitatea O B? S6 S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice: a 4 ab a a) b) C n ( ) z b C n Cn 7 4 4 log a S7 S` se determine numerele reale pozitive, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice sunt egale: A y y B C m 4 5,, m C p z 6
Opera\ii cu matrice Adunarea matricelor Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 4 manual Eersare E S` se calculeze: a) 7 8 5 5 4 4 b) 6 5 7 a b a 5b 8y 6y c) 4 4 5 8 5 5 E S` se calculeze: a) 4 i i 4 6 i 5 b) 4 4 6 E Se dau matricele: A B C 4 5 t t t t a) S` se calculeze AB, AB, A B, ( AB), ( AB) t t t t b) S` se calculeze A C, B C, ( AB C) E4 Se dau matricele p`tratice: 4y z z v A u 4, B y v, C v v t y z 4 S` se determine, y, z, u, v, t astfel ca AB C E5 S` se determine matricea X M ( ) dac` 4 5 X 4 5 5 6a b E6 Se d` matricea de ordinul trei, A a S` se determine numerele reale a, b, c n c, n astfel ca t A A 7
E7 Se d` matricea A S` se scrie matricea A sub forma: 5 E8 S` se calculeze: a) A B C, A A A, A I E, A D I 6 8 8 6 b), 5 C 5, c) E9 S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea: X 4 5 5 ( ) 5 4 5 E S` se determine constantele, y, z, a, b, c din egalitatea: 4 5 7 y z 4 a 4b c 8 Sintez` S Se dau matricele: A 5 B 4 C y 4 6,, 5 6 9 log z C S` se determine elementele necunoscute ]tiind c` t A t B C S S` se determine, y, z, t pentru care are loc egalitatea: y I 9 4 z t4 8 d) i i i i 4 S S` se determine matricea A [n fiecare caz: 5 6 a) A b) 5 4 A 4 9,5 c) 4 4 7 4 A 6 5 6 S4 S` se determine matricele A, B ]tiind c`: a) A B ]i AB b) ( ) i i i i A B ]i A i B ( ) i i i S5 S` se calculeze matricea: n k a) A n k k k k ( k ) b) A k k k k k n 8
Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag manual Eersare E S` se calculeze: a) 4 5 b) 4 6 4 c) cos d) 4 sin i tg 4 e) 4 t t t t E Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, A B, B A a) A, B b) A, B sin 6 4 c) A, B cos d) A, B tg E Pentru matricele A B 4, s` se verifice egalitatea 5 t A B t B t t t A ]i s` se calculeze AB B A E4 Se dau matricele p`tratice: 5 A B C 4 S` se verifice egalit`\ile matriceale: a) A( BC) ( AB) C b) A( B C) AB AC c) ( AB) C AC BC 9
E5 S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice: 5 6 E6 Fie matricea A 4 4 S` se calculeze A, A, A ]i ( A I ) 4 4 5 E7 Se d` matricea A Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze A n, * n E8 S` se determine X M ( ) care verific` egalitatea matriceal`: a) X 5 5 7 b) X 4 4 4 E9 Se d` matricea E ]i f ( X ) X 4 X I S` se determine matricele: a) B f ( A) f ( AI ) b) C f ( A) f ( A A) Sintez` S S` se determine matricea X care verific` egalitatea: a) 4 X b) X 8 5 9 8 c) 9 5 4 X 5 S Se dau matricele p`tratice A 5 B, S` se rezolve [n M ( ) ecua\iile matriceale: a) AX I b) AX B c) XA B d) AX XB e) BXB A t S S` se determine matricea A M ( ), de forma a b A AI b, care verific` egalitatea a S4 S` se rezolve ecua\ia matriceal`: A A I 4
S5 Eist` matrice A M ( ) care verific` egalitatea A A? S6 S` d` matricea A S` se determine numerele, y astfel [nc@t s` fie verificat` egalitatea A A ya Facultatea de Inginerie economic` Tg Mure], S7 S` se determine puterea n a matricei A Facultatea de inginerie Sibiu, S8 S` se determine puterea n a matricei A Universitatea Politehnic` Timi]oara, S9 Fie matricea A ( ) M 6 ( ) a) S` se arate c` A( ) A( y) A( yy),, y b) S` se verifice egalit`\ile: A ( ) A ( ), A ( ) A ( ) c) S` se calculeze A 6 ( ) S Fie matricele A, B a) S` se arate c` A I B ]i s` se calculeze A n, n * b) S` se calculeze suma S A A A A k S Se dau matricele A B, k a) S` se determine matricea C( k ) AB A b) S` se calculeze suma de matrice S C( ) C( ) C( ) t
pag manual Teste de evaluare Testul Fie A M A ( ), ]i a a Dac` 5, atunci: a) b), 5 c), d) 5, S` se determine numerele reale, y cu proprietatea c` y y 4 5 5 4 9 Fie A M ( ) ] i B A A a) S` se calculeze Tr( B) ] i b b b b) S` se calculeze A n *, n Testul Se consider` mul\imea de matrice M A ( ) ( ) a) S` se arate c` I M b) S` se arate c` dac` A, B M, atunci AB M c) S` se calculeze A n, * n ] i A M S` se determine numerele, y, z, t pentru care: y y 4 9 5 4 8 Cz 5At 9 S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c`: 4 7 A t A 7 a 4 Fie A, B ( ), A, B M b y S` se arate c` matricea ( AB BA) are cel pu\in dou` elemente nule
Capitolul Determinan\i Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 5 manual Eersare E S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi: a) 5 8 b) 6 5, 7, c) d) i 5 8 i i E S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii: 7 8 5 log, 5 a) 5 b) c) d) 9 5 75 5 8 lg, 4 e)! 5! y! 4! f) A A C5 C4 g) y 9 h) ( ) i i i ( i) E S` dau matricele p`tratice A B 4 5, Compara\i numerele: 7 4 6 a) det ( A) det ( B) ]i det ( AB) b) det ( AB) ] i det ( A) det ( B) c) det ( A I ) ] i det ( AI ) E4 S` se rezolve ecua\iile: a) 4 5 b) d) 4 5 e) i i c) 4 i f) 8 E5 S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul: 5!!! a) 4 5 b) c) d)!!! 4!!! e) P P P C C C f) A A A 4 47 8 8 5 7 g) 4 8 7 h) 7 5 E6 Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un eemplu de aplicare a acesteia E7 Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii: 4 5 5 a) 4 b) 4 5 5 c) 5 5 44 5
d) a b c m n p e) E8 Se consider` determinantul d y y y y y y 8 9 4 6 5 f) a b c b c a c a b a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i Sintez` S S` se calculeze valoarea epresiei: 4 4 6 5 5 8 5 S S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`: 4 4 5 5 4 7 5 7 6 7 4 7 5 7 5 S S` se rezolve ecua\iile: a) ( ) 4 b) i i 5 4 i i c) ( ) 4 5 5 d) 9 4 S4 S` se rezolve ecua\iile: 7 a) 9 4 7 5 b) ( i) i c) 4 S5 Se consider` ecua\ia d) se calculeze S 4 5 4 5 5 Dac`,, sunt solu\iile ecua\iei, s` 4
S6 Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatul sub form` de produs: a) a b c a b c b) a a a b b b c c c c) a a a b b b c c c d) ab mn y bc n p yz ca p m z e) y z y z f) yz z y a a a b b b c c c S7 S` se verifice egalit`\ile: a a abc a) bca b b c cab c ( abc) b) y yz z y y z z y y z z yz ( y) (yz ) ( z ) S8 Fie A M ( ) S` se arate c` are loc egalitatea A tr ( A) Adet ( A) I O (rela\ia lui Hamilton-Cayley) S9 Se d` matricea A 4 a) S` se calculeze d det ( A) ] i t tr ( A) b) S` se calculeze s, unde ii reprezint` complementul algebric al elementului a ii din matricea A, i,, c) C@t este suma s a a a? d) S` se verifice egalitatea matriceal` A ta sadi O 4 S Se dau matricele A ] i B ( b ij ), unde bij i, dac` i j ] i bij i j, dac` i j a) S` se determine det ( A), det ( B) ] i det ( AB) b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( AB) det ( A) det ( B) c) C@t este suma s b b b? C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul? S Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli: ab c ab ab a ( bc) bca a) bc a b) a b ab ab ca b ab ab a b c) b ( ac) acb c ( ab) abc 5
Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 6 manual Eersare E Se dau punctele A (, 4) ] i B(, ) S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac` punctul C( 5, ) este coliniar cu punctele A, B E Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare: a) A (, 9) B(, ) C( 4, ) b) M (, ) N (, ) P(, 5) c) E( 4, ) F (, ) G( 6, ) d) T (, ) U(, ) V ( m, m5) E Se dau punctele A(, ), B( m, m), C(, 5) a) S` se determine ecua\ia dreptei AC b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare c) S` se determine triunghiul ABC cu aria,5 E4 Se dau punctele A (, ), B( 5, 4), C(, ) a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC c) S` se determine A ( ABC ) E5 Patrulaterul ABCD are v@rfurile A (, ), B( 8, ), C( 6, 4), D(, 4) a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala BD d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD) Sintez` S Se dau punctele A (, ), B(, 4), C(, 4) ] i D(, 5) a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor AB, BC, CA, CD b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD) d) Dac` punctul M ( m, m ) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria suprafe\ei (MAD) S S` se determine astfel [nc@t punctele A (, ), B(, ), C(, ) s` fie coliniare S Se dau punctele A (sin a, cos a), B(sin b, cos b), C(sin c, cos c) a) S` se verifice dac` A ( OAB ) sin ab) sin( ab) b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c, punctele A, B, C sunt pe o dreapt` 6
S4 Se dau punctele distincte A (, m), B( m, m), C(, ) a) S` se determine m astfel [nc@t punctele s` fie coliniare b) S` se determine m astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie S5 Se consider` punctele A ( m, m), B( m, m ) Pentru ce valori ale lui m are loc egalitatea A ( OAB ) S6 S` se determine m, n astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile: a) A ( m, ), B( m, m), C( m, m) b) A ( mn, m), B( mn, ), C( m, n) S7 S` se determine m astfel ca punctul A (, ) s` fie la distan\a fa\` de dreapta BC, unde m B m C m, 6 7,, m S8 Se consider` punctele A (, ), B(, 4 ) S` se determine punctele M situate pe dreapta y pentru care A A ( OAM ) ( OBM ) S9 Eist` puncte A ( m, ), B(, m), C( m, m) astfel [nc@t A ( )? ABC pag 64 manual Teste de evaluare Testul 4 5 Se d` epresia E 5 5 ( ) 6 Valoarea epresiei este: a) b) c) d) 6 Se d` matricea A 4 5 S` se calculeze det ( A ) utiliz@nd: 4 6 a) regula lui Sarrus b) regula triunghiului c) dezvoltarea dup` linia a doua d) dezvoltarea dup` coloana a doua e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta f) o proprietate a determinan\ilor nuli Se dau matricele A B C,, Suma solu\iilor ecua\iei 5 det ( AB) det ( C ) este 4 Punctele A ( m, ), B(, m) ] i C( 4, ) sunt coliniare dac` m 7
Testul Fie S, respectiv S mul\imile solu\iilor ecua\iilor: a) 4 8 5,( 6) 5 7 b) y4 y5 y y y y y y S` se determine S, S, S S, S S Se d` matricea A det( A) det A, unde este solu\ie a ecua\iei Atunci y b b Se dau matricele A a z, B a y z, c z c b n det ( A) adet ( B) c det ( C) Atunci n y C a y ]i c b z m 4 Se consider` triunghiul ABC, cu A B m C,, ] i (, ) Valoarea lui m 4 pentru care d( C, AB) este 8
Capitolul Sisteme de ecua\ii liniare Matrice inversabile din M n ( ) Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 7 manual Eersare E S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile: a) 5 4 b) 5 5 c) 7 d) 9 4 E S` se determine inversa matricei: a) 8 6 b) 8 5 c) 4 d) e) f) 4 g) h) 5 E S` se determine m pentru care matricea este inversabil`: a) m m 5 b) c) m 7 6 m m d) m m m m m m m 7 m 4 m e) f) m7 g) m m h) 4 9 m m 9 m 7 E4 Se dau matricele A B 7 5 ]i 4 a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor b) Este adev`rat` egalitatea ( AB) B A? c) S` se verifice egalit`\ile ( A ) ( A ) ]i ( B ) ( B ) E5 S` se determine matricea A a c`rei invers` este: a) A 5 8 b) A 4 7 5 5 5 c) A 4 d) A 4 5 5 5 9
Sintez` S Care din urm`toarele matrice sunt inversabile: a) 5 b) lg c)! 4 lg5 8 4! d) C 4 A? S S` se determine inversa matricei: a) i i 4 i b) C i sin cos m Cm c) d) 4 5 i cos sin S S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare ar fi a) A b) A c) A m m m S4 S` se determine m astfel [nc@t A * A dac`: m m a) A m b) A 5 m4 m m 4 m 4 c) A m d) A m m S5 Fie A B n arate c`:, M ( ),,,, dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB BA S` se n a) AB B A b) A B BA c) A B B A S6 Se d` matricea A a) S` se determine produsul ( I A) ( I A) b) S` se arate c` I A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze ( I A)
Ecua\ii matriceale Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 74 manual Eersare E S` se rezolve ecua\iile matriceale: a) X b) X 5 5 c) X d) i X 4 5 i E S` se rezolve ecua\ia matriceal`: a) 4 X b) Y 4 4 5 4 5 c) X I E S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile: a) 4 X b) X c) X E4 Se dau matricele A B,, C 4 S` se determine matricea X care verific` rela\ia: a) AXB C b) BXA C t
Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute Forma matriceal` Enun\uri Eerci\ii ]i probleme pag 9 manual Eersare E S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii: y yz 5y 7 a) b) 4y c) 4 yz 8 y 5 6y 8 9 yz 4 yz y ( ) 4( y) ( z ) abc 6 d) a bc e) yz i f) ( ) ( z y) 5( y) i iyz ( ) ( y) 4( yz) ( yz) E Care din sistemele de numere (, ) (, 4) ( 6, ) ( i, ) sunt solu\ii ale sistemelor de ecua\ii: a) y 8 y 4 b) 4y 5y ( i) 4y i ( i) i( y) c) d) i iy i ( i) ( ) ( i) ( y) ( a) y 8 E Se d` sistemul de ecua\ii, a, b S` se determine a ]i b astfel [nc@t 4 ( b) y 8 solu\ia sistemului s` fie: a) (, ) b) 7, 5 4 E4 S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii: 4y 7 a) b) y ( y) ( y) 5 c) y 5 5 7y 4( y) y yz 6 ( y) 5z y yz a d) 4 yz e) 4( yz ) y z f) y z b 5 yz yz yz c E5 S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regula lui Cramer: 8y 5 a) 9y b) ( y) ( y) 8 5( y) 4 4yz yz c) 5 yz 6 d) yz 6yz 4 yz 4 E6 S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer: y 4 5y 4 y 7 a) b) c) 5y 9 7y 6 5y
yz y4z yz d) yz 5 e) 4yz f) y( yz) 4 yz 4 yz 9 ( z) ( y ) E7 Se consider` sistemul de ecua\ii AX B, unde 4 A 4, X y, B 8 5 z 8 a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal` b) S` se scrie ecua\iile sistemului c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer E8 S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: y 4 a) y 9 b) y y 5yz 7 yz 4 6yz c) yz d) 6 yz 8 yz yz 6 yz yz 4 yz yz e) f) yz 4 yz 6 yz 4yz yz yz yz g) h) y 8z yz 4 5y9z yz abc i) a bc 7 j) yz yz Sintez` S S` se determine m astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz: myz m myz 8 a) yz b) yz 6 m m yz m yz 4 S Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer? ( m) yz y( m) z a) m yz b) ymz 4 ymz yz 6
S S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii: 7 4 5 y ( z ( y) ( y) 5 9 5 ) a) b) 9y z 6( 48y) 7 5 ( y) ( 4 9 y ) y y4z 8 S4 S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii: y( i) z i C C y4c z a) iy( i) z b) C 5 4C 5 yc5 z 6 i iz i A A y A z S5 S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii: ( y) z y z y z 5 y 65z y 5z y z a) b) c) ( z ) 5 y5z y 75z yz 6( y) z 4 y y 4z yz 4z ( y) 7y4z 4y( m) z d) 5 y7z 4( ) e) 5 y8z f) myz y47z 68 yz y 8, m y( m) z m S6 Se d` sistemul de ecua\ii ( m) ymz m 5 4y( m) z a) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul este compatibil determinat? b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m, m, m yz S7 Se d` sistemul de ecua\ii a bycz }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite, a b yc z 4 s` se rezolve sistemul ( m) ymz S8 Se consider` sistemul de ecua\ii ( m) y( m) ( m) ( m) yz a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer? c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` ( m, ym, z m ) d) S` se determine m astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia m ym z m yz S9 Se consider` sistemul de ecua\ii yz, yz 4 a) S` se determine solu\ia ( ( a), y( a), z ( a )) a sistemului de ecua\ii A a y( a) b) S` se determine mul\imea 4 ASE Bucure]ti, 998
a yz 4 S Sistemul de ecua\ii ( ) ( ) yz 7,, este compatibil determinat yz 4 pentru: a), b), c), d), Universitatea Gala\i, 4 yz S S` se discute dup` m ]i s` se rezolve sistemul: yz ymz m m yz S Sistemul de ecua\ii myz are numai solu\ia nul` (,, ) dac`: yz a) m, m b) m c) m d) m Politehnic` Bucure]ti, 4 S Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete Timpul de func\ionare a fiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` eprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal al`turat Tabelul Robinetul I (nr de ore) Robinetul II (nr de ore) Robinetul III (nr de ore) Cantitatea de ap` evacuat` ([n hl) ore ore 6 ore hl ore ore 6 ore hl ore ore ore 45 hl S` se determine debitul fiec`rui robinet S4 Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fi 6 din v@rsta tat`lui Peste 5 ani v@rsta fiului mai mare va fi din v@rsta tat`lui S` se determine v@rsta fiec`ruia, dac` peste 8 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor myz S5 Se consider` sistemul de ecua\ii: ( m) yz n, m, n yz a) S` se rezolve sistemul pentru m ] i n5 b) S` se discute dup` valorile lui m, n ]i s` se rezolve sistemul Universitatea Bra]ov, 5
pag 96 manual Teste de evaluare Testul Se d` matricea A 5 M ( ) 6 8 a) S` se determine astfel ca matricea A s` nu fie inversabil` b) S` se calculeze A dac` yz Fie sistemul de ecua\ii: yz yz m a) S` se determine m pentru care sistemul are solu\ie unic` b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 4 Pentru creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei Dac` ar cump`ra 5 creioane, gume ]i dou` caiete ar pl`ti 8 lei }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 4 lei, s` se afle pre\ul fiec`rui obiect Testul S` se calculeze inversele matricelor: A B C 4 i Ci, i j Se dau matricele A ( a ij ), unde a 4 ij i, i j ]i B i, i j 45 S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX B ( m) yz Se d` sistemul de ecua\ii: ( m) yz m y( m) z m, m a) S` se calculeze determinantul sistemului b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat? c) S` se rezolve sistemul pentru m d) S` se rezolve sistemul pentru m Universitatea Baia Mare, 5 6
pag 97 manual Probleme recapitulative Fie A M ( ) S` se determine a, b pentru care A aa ba O 4 y S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c` A 4I 4A, ]i apoi s` se afle y A n, nu Se consider` matricea A a M ( ) b c a) S` se calculeze A ]i A b) S` se determine, cu proprietatea c` A A AI }tiin\e economice Cluj, 996 Universitatea Bac`u, 997 a 4 Fie E( X ) X 4X 4 I Dac` A, s` se determine a pentru care 4 E( A) n 5 Fie A S` se calculeze ( I A), nu 6 Fie A S` se calculeze S A A A A Universitatea Craiova, Universitatea Politehnic`, 994 a b 7 Se consider` matricea A c M ( ), cu proprietatea c` ae bd d e a) S` se demonstreze c` eist`, y astfel [nc@t A A ye, unde E b) S` se arate c` pentru oricare nu, eist` a, b, cu proprietatea c` A A y E n n n n n Facultatea de Sociologie, 997 7
8 Fie A M, ( ), B M, ( ) Dac` C AB, s` se calculeze C 9 S` se rezolve sistemele de ecua\ii: AB I A B a) AB b) A B 4 a S` se determine matricea A M ( ) ]tiind c` A A 4 4 a a 4 4 S` se determine A M ( ), ]tiind c`: i i i A A 4 S` se rezolve [n ecua\iile: a) 4 5 4 b) 5 c) S` se rezolve ecua\iile: a) ab a b, dac` a b b) b a 7 4 5 7 8 c) ab b a, dac` a b a b 4 S` se determine a pentru ca matricea A s` fie inversabil`: a a) A a b) A a a a 5 S` se rezolve ecua\iile: a) X 5 b) X 4 5 8 Universitatea Bac`u, 998
m m 6 Fie A A M ( ), S` se determine m pentru care matricea A este m m inversabil` 7 Fie A M ( ) S` se calculeze inversa matricei A 4 8 Fie A ]i B A S` se calculeze B 9 S` se rezolve sistemele: yz yz yz yz a) y4z b) yz c) y4z yz 4 y5z yz yz Se consider` sistemul yz m Dac` m yz n A ( m, n) sistemul este compatibil nedeterminat ]i ( m n ), atunci: ( m, n) A a) 8 b) 6 c) d) e) 5 myz yz m Se consider` sistemul yz m m ( m) z m Dac` A a) A d) A m sistemul este incompatibil, atunci:,, b) A, e) A, c) A, ASE Bucure]ti, 9
REZOLVĂRI Partea I Elemente de calcul matriceal Sisteme de ecuaţii liniare Capitolul I Matrice Tabel de tip matriceal Matrice, mulţimi de matrice Eersare E Rezolvare: 7 i 5 A B + 5 C 5 X 4 i 4-5 4 4 9 E Rezolvare: a) A 5 b) ( 4 + ) B i c) 5 C d) D E Rezolvare: a) A i M (m) B i M, (Z) C i M, ( ) D i M,4 ( ) b) b b, b b b 5 b 4 d d i d 5 d 4 7 5 c) a a 4 a 8 c + i c + i c b 4 4 a b d 4 7 d) Suma a + a + a reprezintă urma matricei A şi nu diagonala principală Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este a + b + c d 4 + ( 5) + ( ) ( 7) + a b c d ( ) ( + i) ( i) i ( i) U a b şi 5d Aşadar @ şi a b @ 5d E4 Rezolvare: Se egalează fiecare elemente cu zero şi se obţine: a 6 şi a 4 Se obţine a b şi b b Se obţine b c, cu soluţia c 4 m, cu soluţia m 4 E5 Rezolvare: Se pune condiţia ca să aibă loc egalitatea de matrice A I Se obţin succesiv egalităţile: + 4 y u t z + v Rezolvând ecuaţiile se obţine:, y i {, }, u t z i { i, i}, v
E6 Rezolvare: Se aplică egalitatea a două matrice Se obţin următoarele egalităţi: a) + y + 6 şi y 4 + y + y 5 Avem sistemul de ecuaţii: cu soluţia, y y 4 b) + y y y + 4 + y + y 5 Se obţine soluţia, y E7 Rezolvare: Se pune condiţia ca matricele să fie de acelaşi tip Rezultă că 4 m şi 5 n Se obţine m i {, }, n Sinteză S Rezolvare: Au loc egalităţile: a, a, a, a 4 4 a, a, a, a 4 4 a, a, a, a 4 4 a 4 4, a 4 4, a 4 4, a 44 4 S Rezolvare: Au loc egalităţile: b + b + 4 b + 9 b + b + 8 b + 7 b + b + 6 b + 8 S Rezolvare: Se obţin următoarele elemente: + + + 4 c c c c c c c ( ) A c ( ) A c4 ( ) A 4 4 4 4 c ( ) + A 6 c ( ) + A c ( ) + A 4 4 4 4 4 S4 Rezolvare: a) tr(a) 4 + ( ) + y + 6 + y tr(b) 4 + ( ) + y 4 + y b) Relaţia din enunţ se scrie sub forma: (y + 6) + y ( 6) Se obţine ecuaţia de gradul doi: y + y cu soluţiile y y c) Se obţine ecuaţia de gradul doi: + cu soluţiile, d) Se obţine relaţia + y 4 + y 4 4 care se scrie sub forma: (y ) + ( ),, y i Z Rezultă că y şi Aşadar,, y S5 Rezolvare: a) Din egalitatea matriceală A I se obţin egalităţile:, log (a ) şi 4y Din egalitatea, rezultă, deci Înlocuind în ecuaţia 4y se obţine 4y 4, deci y i {, }
Ecuaţia log (a ) conduce la ecuaţia a cu soluţia a b) Deoarece O B se obţin ecuaţiile: 9 y y, lg, a + bi şi! C n Ecuaţia 9 este echivalentă cu ( ), adică sau Se obţine soluţia y y y y Ecuaţia lg este echivalentă cu cu soluţia y i {, } Din egalitatea a + bi, a, b i Z se obţine a şi b, adică a şi b nn ( ) Din egalitatea! C n se obţine 6, n i Z, n U, ecuaţia cu soluţia n 4 S6 Rezolvare: a 4 a a + b a) Aplicând egalitatea matricelor se obţine următorul sistem de ecuaţii: ( ) z Din ecuaţia a 4 a se obţine a + a 6 cu soluţia a i {, } Din ecuaţia a + b se obţine b a Pentru a, se obţine b şi pentru a, se obţine b Ecuaţia ( ) se scrie sub forma echivalentă 6 şi se obţine {, } Pentru se obţine z şi pentru se obţine z 7 b) Se obţin succesiv ecuaţiile: ( n+ ) n n( n ) Cn+ Cn, n i q, n U, echivalentă cu cu soluţia n i {} + 7 4 + 7 6, cu soluţia {,} b 4 b 64, cu soluţia b i { 8, 8} loga loga log, a> cu soluţia a 8 S7 Rezolvare: Din egalitatea matriceală A B C se obţin următoarele egalităţi care dau valorile necunoscutelor din problemă: 4 y y 5 C z + m m p Se obţine:, y 7, z m şi p 4 sau m 4 şi p 6
Operaţii cu matrice Înmulţirea unei matrice cu un scalar Eersare E Rezolvare: Se aplică regula de adunare a două matrice şi se obţine succesiv: + ( 7) ( ) + 8 + 5 5 7 8 a) 5+ 4+ ( ) + 4 8 4 b) a+ a b 5b a 4b + 8y+ 6y 5 y 6+ 7 5+ 4 5 c) + 4 + 5 5 4 8 + + 5 5 E Rezolvare: Se obţine succesiv: ( 6) 4 4 a) 5 8 b) 4 4 i + i + i i + i + i + + i i ( ) + + 4 + 4 6 E Rezolvare: + + A+ B + + 4 4 ( ) 5 A B ( ) + + t t A+ B + 4 + + 4 t ( A+ B) 4 4 4 4 t t 4 4 b) A+ C + 5 4 6 t B C 5 4 7 t t 5 ( A B) 5 t 4 + + 4 t ( A B+ C) + 5 + + + 5 t t 5 6 5 5 6 5 t
E4 Rezolvare: Egalitatea A + B + C este echivalentă cu următoarea egalitate de matrice: + 4y+ z z+ v y u v 4 + v v+ y t+ z+ 4 Aplicând egalitatea a două matrice se obţine că:, y, z, v, u, t E5 Rezolvare: Folosind operaţiile cu matrice egalitatea din enunţ conduce la: + X, 7 5 5 egalitate din care se obţine Rezultă că + X 5 + X 7 5 5 E6 Rezolvare: Egalitatea t A A se scrie sub forma echivalentă: 5 a 5 6 a b 6 a c+ a b n c+ n Se obţin ecuaţiile: a 6 a b, c + n n cu soluţiile: a i {, }, b 9, c 4, n i Z E7 Rezolvare: Avem: A + sau 5 A 6 Să se dea şi alte scrieri pentru A ca sumă, respectiv diferenţă de două matrice A I+ A I 5 5 + E8 Rezolvare: Se înmulţeşte fiecare element al matricei cu numărul real 6 8 4 a),, 6 4 4 8 b) 5 6 c) Se va folosi că + 8 + ( + ) + 4
( )( + ) Se obţine: ( )( ) + d) Se foloseşte faptul că i din care se deduce că i i, i 4 Se obţine: 4 i i i i + i 4i 4i E9 Rezolvare Se obţine succesiv: 8 6 5 X + + 5 4 5 + 8 + 6 5 5 X + 5 5 + 4+ 7 5 Aşadar, X 7 E Rezolvare: Se efectuează înmulţirea cu un număr real a unei matrice şi operaţia de adunare a două matrice şi se obţine egalitatea matriceală: + 5 4 y+ ( 5) 8 z+ ( ) 7 6+ 5a 8+ b + 5c 8 Din egalitatea acestor două matrice rezultă următoarele ecuaţii de gradul întâi: + 5 7, 4y 5, 8z, 6 + 5a, 8 + b, + 5c 8 cu soluţiile, y 7 z 4, a b c Sinteză S Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie sub forma echivalentă astfel: y 5 4 6 5 6 + 4 9 log z C n y + 5+ 4 6 Efectuând adunarea matricelor se obţine egalitatea matriceală 5 log z C n din care se obţin ecuaţiile: + 4, 5 + y 6, log z, C n 5 Ecuaţia + 4 se scrie sub forma 4 Cu notaţia m se obţine ecuaţia de gradul doi m m, m > cu soluţia pozitivă m Se obţine Din 5 + y 6, rezultă y şi y Ecuaţia log z are soluţia z, iar ecuaţia C n 5 se scrie sub forma echivalentă nn ( ) 5, n i q, n U Se obţine n 6 Aşadar,, y, z, n 6 5
S Rezolvare: Egalitatea matriceală din enunţ se scrie succesiv + 9 4+ y + + 9 4+ y + + z+ t+ 4 z+ t+ 4 + Aplicând egalitatea a două matrice se obţin ecuaţiile: + + 9, 4 + y, z +, + t + 4 Ecuaţia + + 9 are soluţiile, Pentru se obţine: y, z 5, t 8 Pentru se obţine: y, z, t S Rezolvare: 5 6 a) Din egalitatea dată rezultă că A, adică 4 4 A 4 Se obţine A 5 b) A 4 9 5 5, deci 8 6 9 A 5 9 9 6 Se obţine A 5 4 c) 7A 8 6 + +, egalitate din care se obţine: 5 6 4 6 48 4 7 4 7A 7 4 Rezultă că A 49 4 7 S4 Rezolvare: a) Înmulţim prima ecuaţie cu şi adunăm ecuaţia obţinută cu cealaltă ecuaţie Se obţine: 6 4 5 5 5B + 5B 4 6 5 5 Rezultă că B Înlocuind pe B în prima ecuaţie din enunţ şi efectuând operaţiile cu matrice se obţine: A Aşadar, A I b) Înmulţim prima ecuaţie cu ( i) şi adunăm ecuaţia obţinută cu a doua ecuaţie din enunţ Se obţine egalitatea matriceală: + i i i ( + i)( i) A+ A ( i) i + i i care se scrie sub forma: + i + i i i A+ A + + i + i i i, sau A Rezultă că A I 6
Pentru determinarea matricei B se înlocuie, de eemplu, matricea A în prima ecuaţie a enunţului şi efectuând calculele se obţine B S5 Soluţie: a) Se scrie sub forma: n + + + + + + + + n A + + + + 4 n n( n+ ) + + + + n + + + n( n+ ) n n k k n n k k( k ) + k k n n nn ( + ) nn ( + )(n+ ) Se ştie că k, k k şi k 6 n nn ( + ) k k Vom calcula suma următoare: n kk ( + ) n ( k + k) n k + n k k k k k Folosind formulele scrise mai înainte se obţine că n nn ( + )(n+ ) nn ( + ) nn ( + )( n+ ) kk ( + ) + 6 k nn ( + ) n Aşadar, A, n i q* n ( n+ ) n( n+ )( n+ ) 4 b) Scriem mai întâi că: k k+ k k 6 k k k şi ( ) Cu acestea matricea A se scrie sub forma: n n k 6 k k A n n k k ( ) k k Reamintim că suma a n termeni aflaţi în progresie geometrică cu raţia q @ şi primul termen notat a este: a( q n S ) q Rezultă că: n n k n 6(6 ) 6 6 6 6 6 n + + + (6 ) k 6 5 n n k n ( ) n + + + ( ) k n ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) n n n n + + + k 8 (6 n n ) 5 Rezultă că A n n ( ) ( ) n k
4 Înmulţirea matricelor Eersare E Rezolvare: 4 5 4 + 5() 4 + 5() 7 6 a) 6 6 + ( ) ( ) 6 + ( ) ( ) 5 8 4 + ( ) 4 + ( ) b) 4 4 + 4 4+ 6 7 + ( ) + ( ) + ( 4) c) ( ) ( ) ( 4) 4 + + + i + i ( ) + i ( ) + i ( 4) i ( 4 i ) 6 4i d) Se înlocuie cos, sin π, tg π şi avem de efectuat următoarea înmulţire de matrice: 4 ( ) + + ( ) + ( ) + + + 6 ( ) ( ) ( ) 5 + + + + + + ( ) ( ) ( ) + + + + + + 6 e) Se aplică proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor: 4 ( ) ( ) 4 ( ) + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) + + + + + + + + 6 5 6 + ( ) + + 5 ( ) 6 + + + 5 6 4 4 9 ( )( ) 4 9 ( ) ( ) 4 9 + + + + + + E Rezolvare: ( 5 ) + + ( ) a) AB 5 ( ) + + ( ) 5 + + BA 5 + ( ) + ( ) 8
5 t t A B A B 5 t t B A B A AB ( ) ( ) b) A B ( ) ( ) ( ) 6 () () 9 B A ( ) ( + + ( ) ) ( 4) M( Z ) t t A B ( ) ( ( ) + + ( )) ( 4) M( Z ) 6 9 t t B A ( ) ( ) + + + + 4 c) A B ( ) 5 + + + + ( ) + + + BA ( ) 4 6,5 + + + ( ) + + + ( ) + + + A B () + + + 4 ( BA) ( ) 6,5 + + + t t t ( ) t t + + + + 4 5 t B A ( AB) () + + + + d) A B I B B B A B I B t A t B I t B t B t B t A t B I t B 9
E Rezolvare: Calculăm + + ( 4) + + 5 4 + + ( 4) + + 5 AB 5 + + ( 4) + + 5 + + ( 4) + + 5 4 5 9 5 6 8 9 6 t Rezultă că ( AB) 4 8 5 5 () + + () + + () () t t + + + + B A 4 4() + 4 + 4() + 4 + 5 ( ) + 5 + 5 ( ) + 5 + 5 9 6 4 8 5 5 Se observă că t (AB) t B t A 6 5 6 t t 7 Avem de asemenea: AB + B A 5 4 6 7 E4 Rezolvare: 5 + ( ) + ( )( 4) 5 + + ( ) 5 + ( ) + ( )( ) A ( B C) A () (4) () () + + + + + + + ( ) + ( ) ( 4) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) + ( )( ) 7 7+ ( ) + 7 + 5+ + ( 7) + 5 7 7 ( )( ) 7 ( ) 5 ( )( 7) + + + + + + 7 7 + () + 7 + 5 + + (7) + 4 6 4 9 6 8 4 5+ + ( ) + + ( ) + + ( ) 8 4 ( A B) C 5 + ( )+ ( ) + ( )+ ( ) + ( )+ ( ) C 7 5 + + ( ) + + ( ) + + ( ) 6 4
+ 6 6+ 6+ + 8 4 6 44 4 9 4 9 + + + + 4 4 + 6+ 6 8 4 Aşadar, A (B C) (A B) C 5 5+ 5 + + + b) A ( B+ C) 4 6 4 4 8 4 4 + + 5 4 5+ + + 4+ + + 5 7 5 5+ + + + 6 AB + AC 4 4 + + + 4 5+ + + + + + + + + + 6 8 4 6 + 8 4 4 7 7 4 4 + + + + + + + 6 5 5 7 Aşadar A (B + C) AB + AC 4 4 8+ + 5 c) ( A+ B) C 5 6 6 + + + + 4 + 8 + 6+ + 4 6 6 Pentru calculul epresiei A C + B C vom folosi calculul lui A C făcut la punctul b) şi al lui B C făcut la a) 6 7 5 Avem: AC + BC 7 5 7 6 + 5 7 6 6 Aşadar, (A + B) C A C + B C E5 Rezolvare: 4+ 5 + 9 + 6 + 4 9 9 6 4 9+ 9+ 7 Avem: 4+ 5 + 4 5 5 5+ 9 5 6 4 5 6 9+ 4 5 4 4 68 + 4 89 55 4 + 55 4 E6 Rezolvare: + 8 8 6+ 8 + 8 A 4 4 4 4 4 + 6 8+ 9 6 8 + I 4 4 5 4 4 5 4 6+ 8+ 8 6+ 5 4
Aşadar A I A A A I A A 6 A ( A ) I I ( A + I) ( A+ I) not Dar A+ I B şi B B Rezultă că ( A+ I ) ( B) B B E7 Rezolvare: Calculăm câteva puteri consecutive ale lui A A A A A A A A 4 A A 4 Din forma de scriere a matricelor A, A, A, A 4 n se deduce că A n, formulă care o demonstrăm prin inducţie matematică după n i q, n U Pentru n, rezultă că A A, ceea ce este evident adevărat k Presupunem că A k şi demonstrăm că k + A k + k+ k Avem că A A A k k +, ceea ce trebuia demonstrat n Aşadar, A n, ¼n i q* E8 Rezolvare: a b Luăm matricea X de forma: X y, a, b,, y i Z a b 5 Înlocuind în relaţia de la a) avem: y 4 4, a+ b a+ 4b 5 relaţie echivalentă cu + y + 4y 4 a+ b 5 Se obţin sistemele de ecuaţii: şi a+ 4b cu soluţiile a, b, respectiv, y Aşadar, X + y 4 + 4y 4
a b 5 7 Înlocuind în relaţia de la punctul b) se obţine: y 4, a+ b+ y 5 7 relaţie echivalentă cu: a+ b+ y 4 Din această egalitate de matrice se obţin sistemele de ecuaţii: a+ 5 b+ y 7 şi a+ 4 b+ y care au soluţiile a,, respectiv b, y Aşadar, X E9 Rezolvare: a) B f(a) f(a + I ) Avem: f(a) A 4A + I Dar A A A 4 6 4 5 Rezultă că f( A) 4 + + + 6 6 8 4 5 f(a + I ) (A + I ) 4(A + I ) + I Dar A+ I,( A I) O + şi ( A+ I ) ( A+ I ) ( A+ I ) O Rezultă că f( A+ I) O 4 + + + 8 8 Înlocuind în epresia matricei B se obţine: b) Calculăm Din punctul a) avem că 5 8 B 5 8 4 8 t A A 5 f( A) 5 f(a t A) (A t A) 4(A t A) + I Dar t 4 8 ( A A) 4 8 Rezultă că t 8 8 6 f( A A) + + 8 8 6 Înlocuind în epresia matricei C se obţine: C 5 6 5 4 9 + + 5 6 5 4 4 9 4
Sinteză S Rezolvare: a) Matricea X trebuie să fie de tipul (, ) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enunţ a Înlocuind pe X avem: b y c z Efectuând înmulţirea de matrice se obţine următoarea egalitate de matrice: a b+ c y+ z b c y z, a b+ c b c din care se obţine sistemul de ecuaţii: y + z y z Din primele două ecuaţii se obţine a b c, b + c şi c i Z Din următoarele două ecuaţii se obţine 5, y + z şi z i Z 5 Aşadar X c z + +, c, z i Z c z b) În egalitatea aceasta se impune condiţia ca X i M, (Z) Avem: 4 a a+ 4b+ c b 8, egalitate care se scrie sub forma: b c 8 + 5 c 9 a+ b+ 5c 9 Identificând elementele corespunzătoare ale acestor matrice se obţine sistemul de ecuaţii: a+ 4b+ c b + c 8 a + b + 5c 9 Înmulţind prima ecuaţie cu şi adunând-o la ecuaţia a treia se obţine un sistem de două ecuaţii cu necunoscutele b şi c: 6b+ c 5 cu soluţia: b, c b + c 8 Înlocuind b şi c în una din ecuaţiile care conţin a se obţine a Aşadar, X c) În această relaţie matriceală matricea X este pătratică de ordinul : a m 8 Avem: b y n 9 5 4 c z p 5 Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: a b+ c y+ z m n+ p 8 a c z m p 9 5 4 + + + a+ b c + y z m+ n p 5 44
Punând condiţia egalităţii celor două matrice se structurează trei sisteme de ecuaţii cu câte trei necunoscute de forma: a b+ c 8 y+ z m n+ p a+ c 9, + z 5, m+ p 4 a b c y z + + m+ n p 5 Se obţin soluţiile: a, b 4 c y z m n p Aşadar, X 4 S Rezolvare: 5 a b a) Avem egalitatea: y, a+ 5 b+ 5y care este echivalentă cu: y Se obţin egalităţile de elemente: a + 5 b + 5y 5 Rezultă că: a, b 5 şi X, b) Înlocuind A, X şi B se obţine egalitatea: a+ 5 5 a b b + 5y y Procedând ca la a) se obţine sistemul de ecuaţii: y 4 cu soluţiile a b 4,, y Aşadar, X a b 5 c) După înlocuirea matricelor X, A şi B se obţine egalitatea y, care este a 5a+ b echivalentă cu: 5+ y Rezultă că: a,, 5a + b, 5 + y 9 Se obţine că X 4 5 a b a b a+ 5 b+ 5y a+ b a+ b d) AX XB y y y + y + y Se obţine sistemul de ecuaţii: a+ 5 a+ b a+ b 5 b 5y a b + + a 5y, cu soluţia y a b Rezultă că X O + y + y y + y 45
a b 5 e) Egalitatea BXB A este echivalentă cu: y Efectuând înmulţirea de matrice se obţine succesiv: a+ b+ y 5 4a+ + b+ y a+ + b+ y 5 a+ b+ y a+ + b+ y a+ + b+ y Identificând elementele celor două matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: 4a+ + b+ y a+ + b+ y 5 a+ + b+ y a+ + b+ y Scădem primele două ecuaţii între ele şi ultimele două ecuaţii între ele Se obţine un nou a+ 4 sistem de ecuaţii:, cu soluţia: a a + Înlocuim pe a şi în prima şi a treia ecuaţie a sistemului iniţial şi se obţine un sistem cu două b+ y 9 ecuaţii cu necunoscutele b şi y:, cu soluţia b 7, y 5 b + y 7 Aşadar X 5 S Rezolvare: a b a b a b ab A A A b a b a ab a b Înlocuind în egalitatea din enunţ se obţine egalitatea matriceală: a b ab a b + + ab a b b a echivalentă cu: a b a+ ab+ b ab b a b a + Din această egalitate matriceală se obţine sistemul de ecuaţii: a b a+ a b a ab b ab b b a a+ Sistemul de ecuaţii se aduce la forma: b(a ) Se ridică la pătrat a doua ecuaţie şi se substituie b obţinându-se ecuaţia: (a a + )(a ), sau (a a + )[4(a a) + 9] Se notează a a y şi se obţine ecuaţia (y + )(4y + 9) cu soluţiile y, y 4 Revenind la notaţia făcută se obţine: a a, cu soluţia a i {, }, respectiv a a care nu are soluţii reale 4 Pentru a se obţine b, iar pentru a se obţine b Aşadar, A sau A 46
S4 Rezolvare: a b Fie A M ( ) Z Ecuaţia matriceală devine: y a b a b y y 4 echivalentă cu: a b a+ b+ y y a+ b+ y 4 sau încă: a b a+ 6 b y a+ + b+ y y a+ + b y a+ b+ y 4 Efectuând scăderea de matrice şi respectând egalitatea de matrice se obţine sistemul de ecuaţii cu necunoscutele a, b,, y a 6+ b+ y a + b y () a b+ y 4 a + b+ y Adunăm ecuaţia a treia la toate celelalte ecuaţii ale sistemului () şi se obţine: a 7+ y 5 a 7+ y 5 a y a y () 4a + y 6 a + y 4+ 4y 4 + y Scădem prima ecuaţie din celelalte două ecuaţii şi se obţine: 6 + y + y Se obţine şi y Înlocuind şi y în una din ecuaţiile sistemului () se obţine a Înlocuind a, şi y într-o ecuaţie a sistemului () se obţine b Aşadar, A S5 Rezolvare: a b A M ( ) y Z Egalitatea din enunţ se scrie sub forma următoare: a b a b y y Efectuând înmulţirea de matrice se obţine egalitatea matriceală: din care se obţine sistemul de ecuaţii: Aşadar a b A b a b, a, b i Z a b y a+ b a+ b a+ b+ y + y + y a a+ b b b y a + b y a b a+ + y a, b Z b+ y + y 47
S6 Rezolvare: Să calculăm mai întâi A şi A Avem: 5 4 A A A 4 5 5 4 4 A A A 4 5 4 Înlocuind A şi A în relaţia din enunţ se obţine: 4 5 4 y 4 4 5 sau încă: 4 5 + y 4 y y 4 4 y 5+ y Identificând elementele omoloage ale acestor matrice egale se obţine sistemul de ecuaţii: 5+ y 4 y 4 cu soluţia:, y y S7 Rezolvare: cos π sin π 6 6 Matricea A se poate scrie sub forma: A sin π cos π 6 6 Pentru uşurinţa scrierii vom nota π Calculăm câteva puteri ale matricei A şi obţinem: 6 cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin A A A sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos cos sin sin cossin + sin cos A A A sin cos sin cos sin cos cossin sin sin coscos + cos( + ) sin( + ) cos sin sin( + ) cos( + ) sin cos Din forma de scriere a matricelor A, A, A se poate generaliza că cos n sin n n A sin n cosn, n i q* Demonstrăm această relaţie prin inducţie matematică după n i q* cos sin Pentru n se obţine A, ceea ce este evident adevărat sin cos cos k sin k k Presupunem că A sin k cosk şi demonstrăm că k + cos( k + ) sin( k + ) A sin( k + ) cos( k + ) Avem că k+ k cos k sin k cos sin cos k cos sin k sin cos ksin + sin kcos A A A sin k cosk sin cos sin kcos cos ksin sin ksin cos kcos + 48
cos( k+ ) sin( k+ ) cos( k + ) sin( k + ) sin( k+ ) cos( k+ ) sin( k + ) cos( k + ), ceea ce trebuia arătat n cos n sin n Aşadar, A sin n cosn, ¼n i q*, unde π 6 S8 Rezolvare: 4 Avem: A 4 4 8 7 A A A 4 8 8 7 6 5 4 A A A 8 6 Analizând forma de scriere a matricelor A, A, A, A 4 se observă că A n se poate scrie sub n n n forma: A, n i q* n Demonstrăm această formulă prin inducţie matematică după n i q* Pentru n se obţine A A k k k+ k+ k k + Presupunem că A şi demonstrăm că A k k + Avem că k k k+ k k k+ k+ + k+ k A A A, k k+ k+ ceea ce trebuia demonstrat n n n Aşadar A, ¼n i q* n S9 Rezolvare: y y ( )( y) + ( 6 y) ( ) y+ (+ y) a) A () Ay () 6 + 6y + y 6 ( y) 6 y(+ ) 6 y+ (+ )(+ y) y + 4y 6y y y + + y ( + y + y) + y + y 6+ y 6y 8y 6y+ + + y+ 9y 6( + y+ y) + ( + y+ y) A ( + y+ y), ¼, y i Z Aşadar, A(), A(y) A( + y + y), ¼, y i Z 49
b) Vom respecta regula de înmulţire a două matrice A(), A(y) dată de punctul a) a) Avem: A() A () A () A ( + + ) A( + ) A(( + ) ) A( + + ) A( + ) Aşadar A ( ) A(( + ) ), ¼ i Z a) A() A() A () A ( + ) A () A ( + + + ( + )) A ( + + ) A(( + ) ) Aşadar A () A(( + ) ), ¼ i Z n n c) Folosind punctul b) se poate generaliza că: A( ) A(( + ) ), ¼n i q*, ¼ i Z Vom demonstra această formulă prin inducţie matematică după n i q* Pentru n, formula devine: A () A( + ) A() A() Presupunem că k k A ( ) A(( + ) ) şi demonstrăm că A k+ () A(( + ) k+ ) Dar () () () (( ) ) () a) k+ k k ( ( ) k ( ) k A A A A A A ) + + + + + k k+ A(( + ) ( + ) ) A(( + ) ), ceea ce trebuia demonstrat Aşadar A n () A(( + ) n ), ¼n i q*, i Z Rezultă că pentru n 6 şi se obţine 6 6 6 6 6 ( ) A () A(( + ) ) A( ) 6 6 6( ) + ( ) S Rezolvare: a) I + B + A Aşadar I + B A Pentru calculul lui A n folosim că A I + B şi aplicăm formula binomului lui Newton: n n n n A ( I+ B) CnI+ CnB+ CnB + CnB + + CnB Dar B B B şi B O, deci B n O, n U n nn ( ) Rezultă că A I + n B+ B () Pentru calculul sumei S se foloseşte formula dând lui n valori de la la şi însumând Se obţine: S I + B + I + B+ B + I + B+ B + I 9 + B+ B I + (+ + + + ) B+ ( + + + 9 ) B I + B+ k( k ) B k I 4 + B+ B I B 66B + + 6 5
S Rezolvare: k + k k + k + k + k + a) Ck () k k k + ( k k ) ( k ) + + + k k b) S C() k k ( k ) + k k Calculăm separat fiecare termen al matricei S nn ( + )(n+ ) nn ( + ) ( k + k+ ) k + k + n + n + 6 k k k k 4 + + 4 87 + + 4 6 ( k + ) k + + + k k k ( k + ) k + 4 + 87 + 89 6 k k k Aşadar, S 89 TESTE DE EVALUARE TESTUL Rezolvare: Relaţia 5 este echivalentă cu + 5 Se obţine, 5 Aşadar, răspunsul este d) Rezolvare: + y 4 y y 4 5 + y + y 4 5 Avem: y 5 + y y 5 4 + y y 5 4 () + + + y 4 Din prima ecuaţie se obţine 4 y Substituind în a doua ecuaţie se obţine ecuaţia y y cu soluţiile y, y Pentru y se obţine, valori care satisfac şi ecuaţia a treia a sistemului () Pentru y se obţine, valori care nu satisfac ecuaţia a treia a sistemului () 4 Aşadar, y Rezolvare: a) Să determinăm A 9, respectiv A A 4 4 4 8 8 8, 4 4 8 7 8 4 A A A A A A 5
n n n n Se demonstrează prin inducţie că A, n i q* n n n Pentru n 9, respectiv n se determină A 9, A şi 8 8 8 9 9 9 64 64 64 9 + + B A A 8 8 8 9 9 9 64 68 64 Rezultă că tr(b) 64 + + 64 8 şi b + b + b 8 n n n n b) Demonstrăm prin inducţie matematică faptul că A, ¼n i q* n n n Pentru n, egalitatea este evidentă k k k k k k k k Presupunem că A şi demonstrăm că A + k k k k k k Dar k k k k k k k k k k+ k A A A, k k k k k k k k k ceea ce trebuia demonstrat n n n n Aşadar, A, ¼n i q* n n n Testul Rezolvare: a) Luând se obţine A() I I M ( ) b) Fie A, B i M Rezultă că eistă, y i m astfel încât A A() şi B A(y) În acest caz, y y y+ ( ) A B A() A() y y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Deoarece ( ) y y y y+ y y y + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), rezultă că A B i M c) Fie A A(), i m Pentru k, A (), A() A () n n Prin inducţie se arată că A (), n i q* 5
Pentru k +, A (), A() I A () A() În general, se obţine că Rezolvare: Se obţin ecuaţiile:, par n I n A () A, n impar + 4, y + 9 y 9, Cz 45, 5A t + 6 Ecuaţia + 4 se scrie sub forma 4 + Notând m > se obţine ecuaţia m + m cu soluţiile m 4 şi m 5, de unde se obţine Notând y a se obţine ecuaţia de gradul doi a + a 9 cu soluţiile a 9, a din care se obţine y zz Ecuaţia C z 45 este echivalentă cu ( ) 45 sau încă z z 9 cu soluţia naturală z Din 5A t + 6 se obţine (t + )t, adică t + t, cu soluţia naturală t Aşadar,, y, z, t Rezolvare: a b a 4 7 Înlocuind A i M (m) se obţine ecuaţia y + b y 7, a, b,, y i m, care se scrie sub forme echivalente astfel: a+ b+ y a a+ 4 7 a+ b+ a+ y+ 4 7 y + b b+ y 7 + b b+ y 7 a+ 4 + b Rezultă că: b + a + y + 7 b+ y 7 Se obţine: a 4 y b 7 y, y 4, y i m 4 y 7 y Aşadar A y 4 y, y i m 4 Rezolvare: a a ay a ay a AB BA b y y b b by b by ay a ay a ( ay a)( b by) ( AB BA) b by b by ( b by)( ay a) Aşadar (AB BA) are cel puţin două elemente nule 5
Capitolul II Determinanţi Determinantul unei matrice pătratice de ordin cel mult trei Eersare E Rezolvare 5 a) ( ) 8( 5) 8 b) 6 ( )( 6) 64 8 46 c), 5 7,,5 8 5 ( 7,) + 6 48 5 8 + i d) ( + i)( i) i ( ) 4 i ( ) 4 i + i 4 i i E Rezolvare 7 8 a) 5 7 5 9 8 5 4 5 9 5 b) c) ( 75) ( ) 5 + 64 5 + 8 7 75 5 ( + )( ) ( + 5)( 5 ) 4 6 + 5 d) lg,5 lg lg, 8,5 ( ) 4 8 lg, + + e)! 5!!4!!5! 6 4 4! 4! f) A A 4 A4 C 4 C5 A 4 5 6 8 C5 C 4 + y + y+ y 9 9 7 y+ g) 9 ( i) i h) i ( + i) i + i i i i + i ( ) ( ) ( ) ( ) 4 E Rezolvare 4 5 a) det( A) + det( B) + (8 + 7) + (8 + ) 5 7 4 6 6 6 det( A+ B) 48 + 78 6 8 Rezultă că det(a) + det(b) < det(a + B), pentru matricele date 54