Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής
Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε τα μαθηματικά εκείνα εργαλεία που επιτρέπουν την ανάλυση ενός σήματος σε άλλα σήματα απλών συχνοτήτων. Η γέννησηκαιοιρίζεςτηςθεωρίαςαυτήςοφείλονται στο Γάλλο φυσικο-μαθηματικό Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83), ο οποίος υιοθέτησε, για πρώτη φορά, την ανάλυση μιας (σύνθετης) συνάρτησης σε άθροισμα συναρτήσεων απλών συχνοτήτων για να μελετήσει φαινόμενα διάδοσης της θερμότητας. Η ανάλυση μιας σύνθετης ποσότητας σε απλούστερες συνιστώσες, που καθιστούν την μελέτη ενός προβλήματος ευκολότερη, δεν είναι νέα. Για παράδειγμα, στην γραμμική άλγεβρα ένα διάνυσμα στον n-ιοστό χώρο αναλύεται στις n συνιστώσες του, που είναι οι προβολές του σε μια (ορθοκανονική) βάση που παράγει το χώρο. Θα δούμε ότι το πρόβλημα της ανάλυσης ενός σήματος σε άθροισμα σημάτων απλών συχνοτήτων είναι ουσιαστικά το ίδιο με αυτό της γραμμικής άλγεβρας.
Μιγαδική Συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής Χ(Ω)
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα : Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier ενός x t P t τετραγωνικού παλμού ( ) ( ) () x t T :, t < T =, t > T Λύση : Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier έχουμε: + T jωt jωt jωt ΩT Χ( Ω ) = x( t) e dt = e dt e sin = = T jω Ω ΩT sin ΩT Χ( Ω ) = T TSa ΩT ΗσυνάρτησηSα(x) ορίζεται ως ( ) Sa x (.) + T T sin x x = = sin c, x π T T jω jω ΩΤ e sin = όπου ΗσυνάρτησηSα(x) είναι γνωστή ως συνάρτηση δειγματοληψίας ( ) sin c x e j sinπ x π x
Μετασχηματισμός Fourier Τετραγωνικός παλμός Μετασχηματισμός Fourier Συνάρτηση sinc(x) Η συνάρτηση sinc(x) είναι ιδιαίτερης σημασίας και την συναντάμε στην επεξεργασία σημάτων και στις επικοινωνίες. Όπως φαίνεται από το γράφημα της η sinc(x) αποτελείται από ένα κύριο λοβό με κέντρο το x= και εύρος και δευτερεύοντες λοβούς εκατέρωθεν. Διέρχεται περιοδικά από το με περίοδο. Αντίστοιχα, ο μετασχηματισμός Fourier, Χ(Ω) του τετραγωνικού παλμού διέρχεται από το περιοδικά με περίοδο π/τ. Το πλάτος του κύριου λοβού είναι 4π/Τ. Το ύψος των δευτερευόντων λοβών μειώνεται ασυμπτωτικά στο μηδέν.
Μετασχηματισμός Fourier
Μετασχηματισμός Fourier
Μετασχηματισμός Fourier
Μετασχηματισμός Fourier
Πίνακας Μετασχηματισμού Fourier Χρήσιμα ζεύγη μετασχηματισμών Fourier Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Ae ( ) at δ () t πδ ( Ω) jω u() t + πδ ( Ω) ( a > ) ( ) t t Aa a + ω e Ω δ j t j t e Ω πδ ( Ω Ω ) Ae sin T, t < T, t > sin Ωt πt ( ) at π δ j Ω t ( Ω Ω ) δ ( Ω+Ω ) ( a > ) () ( ) at e u t, Re a > () ( ) at te u t, Re a > ΩT sin T ΩT,, Ω<Ω Ω >Ω Aa a + ω jω + a ( jω+ a) cos Ω t π δ ( Ω Ω ) + δ ( Ω+Ω) t n at e u() t, Re( a) > ( n! ) ( jω+ a) n A -b b t b Absinc ω π A -b b t Absinc ωb π
Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμός Fourier jωt x() t = X ( ω) e dω π ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ( I) ax( t) ax ( ω) ( ΙΙ ) x( t) + y( t) X ( ω) + Y( ω) () ( ) ( ) jωt ( ω) ( ) X = x t e dt ( ν ) ν () ( ) ( ) (III) ΧΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ x t jω Χ ω, x t jω Χ ω jωt (iv) ΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ x( t t ) e X ( ω) jωt (v) ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ e x( t) X ( ω ω ) (vi) ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ x ( λt) ω Χ λ λ
Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμός Fourier (συνέχεια) jωt ( ω) ( ), X = x t e dt (vii) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙ t : tx( t) jx ( ω) n n ( n) txt () jx ( ω) (viii) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ X ( t) π x( ω ) (ix) ΣΥΝΕΛΙΞΗ x( t) y( t) X ( ω) Y( ω) π (x) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ x () t y () t X ( ω) Y ( ω) t (xi) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x( τ ) dτ X ( ω) + πx ( ) δ ( ω) jωt x() t = X ( ω) e dω π jω
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα : Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier της x t = δ t ( ) ( ). Λύση: Από τον ορισμό έχουμε: ( ) ( ) j Ωt X Ω = δ t e dt = ή δ ( t) όπου δηλώνει ότι οι αντίστοιχες συναρτήσεις αποτελούν ζεύγος Fourier. Στη συνέχεια, κάνοντας χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, ηδ(t) μπορεί ν ανακτηθεί από τη X(Ω): jωt δ () t = e dω π Καταλήγουμε δηλαδή στη γνωστή, από τη θεωρία κατανομών, σχέση (.4b) (βλ. Κεφάλαιο ).
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 3: Να υπολογιστεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της X ( Ω ) = j Ω j t Λύση: Σύμφωνα με τον ορισμό και τη σχέση του Euler έχουμε jωt cosωt sinωt sinωt x() t = e d d d sin t d π Ω= Ω+ Ω= Ω + Ω jω π jω π Ω jπ π Ω Το πρώτο από τα δύο ολοκληρώματα είναι μηδέν λόγω του ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι περιττή. Λαμβάνοντας υπόψη την (.7), καταλήγουμε, έπειτα από αλλαγή μεταβλητής, στην sinωt xt d t π Ω () = Ω= sgn () όπου sgn () t, t > =, t < e Ω = cos( Ω t) + jsin( Ωt) είναι η συνάρτηση πρόσημου.
Μετασχηματισμός Fourier (Συνέλιξη) Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε τη συνέλιξη δύο συναρτήσεων x(t) και h(t) ως: () () () = ( ) ( ) y t x t h t x τ h t τ dτ Είδαμε ότι, εάν h(t) συμβολίζει την κρουστική απόκριση ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος και x(t) την είσοδό του, τότε y(t) είναι το σήμα εξόδου του συστήματος. Εδώ θα μελετήσουμε τη σχέση που συνδέει τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Fourier. Γνωρίζουμε ότι: jωt Y F y t y t e dt ( ) ( ) { } () Ω = = = ( τ) ( τ) τ jωt x h t d e dt
Μετασχηματισμός Fourier (Συνέλιξη) όπου, t t τ = και τελικά ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t x t h t X H Ω Ω όπου Η(Ω), Χ(Ω) οι μετασχηματισμοί Fourier των h(t) και x(t), αντίστοιχα. Στην απόδειξη υποθέσαμε ότι οι συναρτήσεις x(t) και h(t) πληρούν τους όρους εναλλαγής της σειράς ολοκλήρωσης. (.8) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ω Ω = Ω = Ω = = = Ω Ω Ω Ω Ω + Ω Ω X H d e x H d H e x d dt e t h e x d dt e t h x d dt e t h x Y j j t j j t j t j τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
Μετασχηματισμός Fourier (Συνέλιξη) Ανάλογη σχέση ισχύει και για τη συνέλιξη των μετασχηματισμών Fourier. Εάν δηλαδή τότε Y H X π ( Ω ) = ( Ω) ( Ω) π ( ) ( Ω ) H ϕ X ϕ dϕ y t h t x t H X π () () () ( Ω) ( Ω) (.9) Οι ιδιότητες (.8) και (.9) είναι πολύ μεγάλης σημασίας στη μελέτη των γραμμικών σημάτων, όπως θα διαπιστώσουμε σε λίγο. Μια υπολογιστικά σύνθετη πράξη, όπως αυτή της συνέλιξης, μετασχηματιζόμενη κατά Fourier καταλήγει σ ένα απλό γινόμενο συναρτήσεων.
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier X(Ω) ενός σήματος x(t) είναι μια μιγαδική συνάρτηση και μπορεί ν αναπαρασταθεί ως X ( Ω ) = R( Ω ) + ji( Ω ) (.4) όπου R(Ω) το πραγματικό και I(Ω) το φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Θ αποδείξουμε ότι, εάν η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, τότε R I X ( Ω ) = R( Ω) ( Ω ) = I( Ω) ( Ω ) = X ( Ω) : δηλαδή άρτια συνάρτηση : δηλαδή περιττή συνάρτηση (.5) όπου * συμβολίζει τη συζυγή συνάρτηση
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Γνωρίζουμε ότι jωt X x t e dt ( Ω ) = ( ) ()( cos sin ) = x t Ωt j Ωt dt Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, έπεται ότι ( Ω ) = ( ) cos( Ω ) R x t t dt ( Ω ) = ( ) sin ( Ω ) I x t t dt Απ όπου γίνονται προφανείς οι (.5). Μπορεί εύκολα ν αποδειχθεί ότι οι (.5) συνιστούν και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το σήμα x(t) πραγματικό.
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τις R(Ω) και Ι(Ω) για ν ανακτήσουμε το σήμα x(t). Έχουμε ότι: x() t = R( Ω ) + ji ( Ω) ( cos Ω t + jsin Ωt) dω π x () t = R( ) cos t I ( ) sin t d j R( ) sin t I ( ) cos t d π Ω Ω Ω Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω Ω π Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται. Αυτό επιβεβαιώνεται με τη βοήθεια των (.5). Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν περιλαμβάνουν γενικευμένες συναρτήσεις στο Ω =. Από την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι: R( Ω ) cos Ωt I ( Ω) sin Ω t = A( Ω) cos Ω t + ϕ ( Ω) (.6) ( Ω ) = ( Ω ) + ( Ω) I ( Ω ) ( Ω ) = tan R ( Ω ) A R I ϕ (.7)
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier x t = π A Ω Ω t + Ω d Ω Άρα () ( ) cos ϕ ( ) ή, λόγω του ότι οι A( Ω), cos Ω+ t ϕ ( Ω) xt () = A( Ω) cos Ω t+ ϕ ( Ω) dω π είναι άρτιες συναρτήσεις του Ω, Μ άλλα λόγια, ο μετασχηματισμός Fourier ενός πραγματικού σήματος ισοδυναμεί μ ένα ανάπτυγμα του σήματος σ ένα άπειρο (μη αριθμήσιμο) πλήθος ημιτονοειδών σημάτων. Κάθε μια από τις απλές αυτές συχνότητες υπεισέρχεται με πλάτος A ( Ω ) d Ω και φάση ϕ ( Ω ), όπου Ω η αντίστοιχη π (.8) (κυκλική) συχνότητα. Αυτός είναι και ο λόγος που η μεταβλητή Ω του μετασχηματισμού Fourier αναφέρεται και ως συχνότητα. Απόρροια αυτού είναι και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier λέγεται και φάσμα συχνοτήτων, κατ αναλογία με την ανάλυση που υφίσταται το λευκό φως στις επιμέρους συχνότητες που το απαρτίζουν.
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier xt () = A( Ω) cos Ω t+ ϕ ( Ω) dω π (.8) A d Κάθε μια από τις απλές αυτές συχνότητες υπεισέρχεται με πλάτος ( Ω ) Ω π και φάση ϕ ( Ω ), όπου Ω η αντίστοιχη (κυκλική) συχνότητα. Αυτός είναι και ο λόγος που η μεταβλητή Ω του μετασχηματισμού Fourier αναφέρεται και ως συχνότητα. Απόρροια αυτού είναι και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier λέγεται και φάσμα συχνοτήτων, κατ αναλογία με την ανάλυση που υφίσταται το λευκό φως στις επιμέρους συχνότητες που το απαρτίζουν.
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Υποθέτουμε ότι το σήμα μας, x(t), είναι πραγματική συνάρτηση. Άρα x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.9) Θα εξετάσουμε τρεις ειδικές περιπτώσεις: Α) x(t) : άρτια Από τον ορισμό των R(Ω) και Ι(Ω) στο προηγούμενο εδάφιο γίνεται αμέσως φανερό ότι I ( Ω ) = x() t = R( Ω) cos( Ωt) dω π ( Ω ) = ( )cos( Ω ) R x t t dt (.3) Με άλλα λόγια ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής άρτιας συνάρτησης είναι πραγματική και άρτια συνάρτηση. Το αντίστροφο της πρότασης αυτής είναι επίσης αληθές.
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Β) x(t) : περιττή Τότε είναι R ( Ω ) = x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω π ( Ω ) = ( )sin( Ω ) I x t t dt (.3) Άρα ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής περιττής συνάρτησης είναι φανταστική συνάρτηση με περιττή συμμετρία. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές. x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.9) Γ) x(t) : αιτιατή, δηλαδή x(t) =, t <. Από την (.9) και τις ιδιότητες των R(Ω) και Ι(Ω) [βλ. (.5)] προκύπτει ότι για πραγματικές συναρτήσεις ισχύει x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω (.3) π
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου x(t) = για t <, άρα R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t < ( ) ( ) ( ) ( ) Αντικαθιστώντας το t με -t, για t >, παίρνουμε ( ) ( ) ( ) ( ) R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t > Από την παραπάνω σχέση και την (.3) έπεται ότι x() t = R( Ω) cos ( Ωt) dω, t > π x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω, t > π (.33)
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου x() t = R( Ω) cos ( Ωt) dω, t > π x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω, t > π (.33) Προφανώς η x() δεν ορίζεται με τις παραπάνω σχέσεις, αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερο πρόβλημα εάν η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t=. Από την (.33) είναι εμφανές ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητες. Πράγματι, όπως θ αποδείξουμε στη συνέχεια, η μία προκύπτει από την άλλη. Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier για αιτιατές συναρτήσεις έχουμε j t jωt X Ω = x t e dt = x t e dt Ω ( ) ( ) ( ) (.34)
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Έχουμε υποθέσει ότι η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t= και συνεπώς το κάτω όριο του ολοκληρώματος δεν μας δημιουργεί ανησυχίες. Συνδυασμός των (.33) και (.34) μας δίνει jωt X ( ) R( ϕ ) cos( ϕt) e dϕdt π Ω = (.35) Με τη βοήθεια του τύπου του Euler παίρνουμε τότε: I ( Ω ) = R( ϕ ) cos( ϕt) sin ( Ωt) dϕdt π Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: (.36) R ( Ω ) = I( ϕ ) sin ( ϕt) cos( Ωt) dϕdt π (.37)
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 4: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος at, t > x() t = e u() t, a R u() t = Λύση:, t < Επειδή x(t)= για t< (λόγω της u(t) ( ω) at j t X e ω e dt = ( a+ jω) t ( a+ jω) t X ( ω) = e = lim e e a+ jω a+ jω t Έχουμε: ( ω) ( ) ( ) lim a + j t lim at j ω t e = e e = lim e at cos ωt jsin ωt =, για α >. t t t Άρα ο Μετασχηματισμός Fourier υπάρχει όταν α> και ισχύει: X = = = a+ jω a+ jω a+ jω ( ω) e [ ]
Αντίστροφος Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 5: Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του εξής σήματος Λύση: X ( ω) cos ω, ω π =, αλλιώς + π + π jωt jωt jω jω jωt xt () = X( ω) e dω cos ω e dω ( e e ) e dω π = π = π π + = π + π j j t + π j j t + π jω( t ) + π ω ω ω ω + jω( t ) = e e dω e e dω e dω e dω π + π π = π π + π π = π jt ( + ) + π jω( t+ ) jt ( ) + π jω( t ) + π jω( t+ ) + π jω( t ) = e dω+ e dω π jt ( + ) jt ( ) e d jt ( ) e d π π jt ( ) = + ω+ ω π πjt ( + ) π πjt ( ) π + π j ( t ) π ( ) + π ( ) + π ω + + jω t jω t+ jω( t ) e d ( jω( t+ ) ) + e d ( jω( t ) ) = e + e = πjt+ π πjt π πjt+ π πjt π ( ) ( + ) π ( + ) π e e + e πjt+ πjt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jt jt jt π jt π ( ) e = ( t ) ( ) ( ) ( t ) ( ) sin + π sin π sin j ( t+ ) π + sin j ( t ) π = +. πjt+ πjt π t+ π t ( )
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 6: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος Λύση: ( ω) z z z=+ z e dz e ( z ) ω ω z= () x t jωt z z X = t e dt = e dz = jω jω j = = jωt t=+ e ( jωt ) ω = t= jω jω e ( jω ) e ( jω ) ω = jω jω jω jω ( jωe e jωe + e ) = ω jω jω jω jω jω ( e e ) ( e e ) ω + + = j j jωcosω ( + j sinω) = cosω sinω ω ω ω t, t =, t > Όπου z z = jωt t = jω dz dt = jω ax x dx ax e = a ( ax )
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 7: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος Λύση:,, () ( ), () t > at ( ) t > x t = e u t a> u t = u t =, t <, t < ( ω) at jωt a jω t a jω t a jω t ( ) ( ) ( ω) ( ) X = e e dt = e dt = e d a j t = e a jω a jω Αλλά ισχύει: ( ω) ( ω ) ( ω ) lim a j t lim at j ω e = e e t = lim e at cos t jsin t = για α>. t t t = = = a jω a jω a jω Άρα για α>: X ( ω) e [ ]
Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση Ο μετασχηματισμός Fourier ενός σήματος x(t) δίνεται από τη σχέση: X ( ω ) Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier καθενός από τα ακόλουθα σήματα: 4 = 3 + jω j6t ( a) x( t) ( b) x( t 5) ( c) x( 8t ) ( d) t x( t) ( e) e x( t) ( f ) x ( t) Λύση (α) Προφανώς έχουμε αλλαγή κλίμακας. Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier, ( λ ) x t X ω, λ λ έχει μετασχηματισμό Fourier: ω 4 X = = ω 6 jω 3 + j 4 x( t) 6 jω το σήμα x( t)
Μετασχηματισμός Fourier ( b) x( t 5) X ( ω) 4 = 3 + jω Προφανώς έχουμε χρονική μετατόπιση. Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα μετασχηματισμού Fourier, μετασχηματισμό Fourier: xt t e X jωt ( ) ( ω), το σήμα x(t-5) έχει jω5 jω5 j 5 4 4e ω ( ω) ( 5) e X = e x t 3+ iω 3+ jω
Μετασχηματισμός Fourier X ( ω) 4 = 3 + jω (c) Έχουμε x(8t-). Για την εύρεση του μετασχηματισμού Fourier του σήματοςαυτού βρίσκουμε πρώτα τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(8t). Σύμφωνα με την ιδιότητα αλλαγής της χρονικής κλίμακας, ( λ ) λ είναι: ( ) ω x 8t X x( 8t) 4 x( 8t) ω ω 8 8 8 3 + j 6 + j 8 4 x t X ω, λ Το σήμα x(8t-) μπορεί να προκύψει από το σήμα x(8t) με χρονική μετατόπιση jωt κατά. Έτσι σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα, xt ( t ) e X( ω), o μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(8t-) προκύπτει από τον μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(8t) με πολλαπλασιασμό επί e -iω. j ω e ω ω 6+ j 6+ j 4 4 Άρα έχουμε: j ω x( 8t ) e x( 8t )
Μετασχηματισμός Fourier X ( ω) 4 = 3 + jω (d) Το σήμα t x(t) προκύπτει από το σήμα x(t) με πολλαπλασιασμό επί t. Άρα, σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα, t x() t jx ( ω), ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος t x(t) προκύπτει μετά από παραγώγιση του μετασχηματισμού Fourier του σήματος x(t) ως προς ω και κατόπιν πολλαπλασιασμό επί ξ. Άρα είναι: 4 t x() t j X ( ω) t x() t j 3+ jω (4) (3 + jω) (3 + jω) 4 4 j 4 t x() t j t x() t j t x() t + + + ( ) ( ) (3 jω) 3 jω 3 jω
Μετασχηματισμός Fourier X ( ω) 4 = 3 + jω (e) Το σήμα e j6t x(t) προέρχεται από το σήμα x(t) μετά από πολλαπλασιασμό επί e i6t. Άρα έχουμε μετατόπιση συχνότητας. Σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα jωt e x t X ( ω ω ) (), ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος e j6t x(t) προέρχεται από το μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(t) αν θέσουμε όπου ωτοω-6. Άρα είναι: () 4 4 () 3+ j 6 3 j6+ jω j6t j6t e x t e x t ( ω )
Μετασχηματισμός Fourier X ( ω) 4 = 3 + jω (f) Το σήμα x (t) προέρχεται από το σήμα x(t) με παραγώγιση ως προς το χρόνο t. Έτσι ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος x (t) προέρχεται από το μετασχηματισμό Fourier του σήματος x(t) με πολλαπλασιασμό επί iω, σύμφωνα με τη γνωστή ιδιότητα. Άρα έχουμε: ( ) ( ω) ( ω) x t j X 4 x () t ( jω ) 3 + jω j4ω x () t 3 + jω
Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα 8: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος, t < T =, αλλιώς ( ) x b Λύση: Επειδή x(t)= για t >T και t < -T τα όρια του ολοκληρώματος γίνονται: j X ( ω) e dt e d( jωt) e jω ω Τ Τ Τ jωt jωt jωt = = = Τ Τ Τ j jωτ jωτ j X ( ω) = ( e e ) = cos( ω ) jsin( ω ) cos( ω ) jsin( ω ) ω ω Τ Τ Τ Τ j sin( ωτ ) X ( ω) = jsin( ωτ ) = ω ω