Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός 8 Μια συνάρτηση F καλείται αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f σ ένα σύνολο Ε, όταν είναι παραγωγίσιµη στο Ε και ισχύει F () = f() για κάθε Ε Θεώρηµα 8 Αν η F είναι µια αντιπαράγωγος της f στο διάστηµα Ε (ανοικτό ή κλειστό, φραγµένο ή όχι), τότε το σύνολο των αντιπαραγώγων της f είναι της µορφής: {F+c, c = σταθερά} Ορισµός 8 Εστω ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα Ι και έστω F είναι µια αντιπαράγωγος της f(), τότε το σύνολο { F + c, c = σταθερά} καλείται αόριστο ολοκλήρωµα της f και συµβολίζεται µε ηλαδή f ή µε f ( d ) f ( ) d = { F + c, c = σταθερα } Συνήθως γράφουµε για συντοµία f ( d ) = F( ) + c Προσοχή Ο τύπος f( ) d= F + c, c = σταθερα, δεν ισχύει στην περίπτωση που το Ε δεν είναι διάστηµα, πχ ο τύπος d = log + c δεν ισχύει στο σύνολο R-{0} Πίνακας βασικών αορίστων ολοκληρωµάτων n+ n d= + c, n, n Z, n + d = log + c, 0,

3 a+ a d= + c, a, a R, a + a 4 ad= + c, a> 0, log a 5 ed= e + c, 6 cos d = sin + c 7 sin d = cos + c, 8 d = εφ + c, cos 9 d = Arcsin + c, 0 d = τοξεφ + c + Θεώρηµα 8 Αν η f είναι συνεχής στο Ε, τότε η f είναι αντιπαραγωγίσιµη στο Ε Πρόταση 8 Αν οι συναρτήσεις f και g είναι αντιπαραγωγίσιµες στο Ε και αν c είναι µία σταθερά, τότε ( f ( ) + g( )) d = f( ) d+ g( ) d Aπόδειξη cf ( ) d = c f ( ) d ( f ( d ) + gd ( ) ) = ( f ( d ) ) + ( gd ( ) ) = f ( ) + g( ) Οµοια αποδεικνύεται και η άλλη σχέση 30

8 Μέθοδοι ολοκλήρωσης Η µέθοδος της αντικατάστασης Θεώρηµα 83 Εστω µία συνάρτηση f ορισµένη και συνεχής σ ένα διάστηµα Ε R, φ µια συνάρτηση µε συνεχή παράγωγο σ ένα διάστηµα J µε φ(j) Ε και F µια αντιπαράγωγος της f στο Ε, τότε f ( d ) f( ϕ( t)) ϕ = ( tdt ) = F( ϕ( t)) + c Παραδείγµατα Να υπολογιστεί το cos (5 ) d Λύση Θέτω y = 5, (kπ/0), dy = 5d, άρα σε διαστήµατα της µορφής (- kπ/0,kπ/0) k Z έχουµε: tan(5 ) d = dy = tan y + c = + c cos (5 ) 5 cos y 5 5 Να υπολογιστεί το d 3 Λύση Θέτω y = 3- ( < 5), ydy = -d, άρα σε κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (-,5), έχουµε: d = dy = ln y + c = ln 3 + c 3 y y 3 Να υπολογιστεί το 4 d Λύση Θέτω = siny ( ), εποµένως d = cosy dy και στο διάστηµα [-,] έχουµε: 4 d = cos ydy = (+ cos( )) = Arcsin y dy sin Arcsin + + c sin( y) = y+ + c 4 Να υπολογιστεί το sin cos d Λύση Θέτω y = sin, dy = cos d, άρα: 3

3 3 y sin sin cos d = y dy = + c= + c 3 3 5 Να υπολογιστεί το ln d Λύση Θέτω y = ln ( > 0), dy = (/)d, άρα για κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (0,+ ) έχουµε: ln y (ln ) d = ydy = + c = + c 6 Να υπολογιστεί το e sin( e ) d Λύση Θέτω y = e, dy = e d, άρα: e sin( e ) d = sin( y) dy = cos( e ) + c Σηµείωση Ολοκληρώµατα που περιέχουν συναρτήσεις της µορφής: a, a, + a λύνονται µε αντικατάσταση = asiny, = αcoshy και = atany αντίστοιχα Oλοκλήρωση κατά παράγοντες Θεώρηµα 84 Εάν οι συναρτήσεις f,g έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστηµα Ε R, τότε Παραδείγµατα f ( ) g( d ) = f ( ) g( ) f ( ) g ( d ) Να υπολογιστεί το ln(+ )d Λύση ln( + )d = ln( + ) d + = ln( + ) d d = ln( + ) ln( + ) + c +, 3

όπου η παραπάνω σχέση ισχύει σε κάθε διάστηµα που περιέχεται στο (-,+ ) Να υπολογιστεί το ed Λύση ed= e ed= e e + ed = + + e e e c 3 Να υπολογιστεί το I = ecosd Λύση I = = e + e cosd cos e sind = + + e cos e sin e cos c e (cos + sin ) = e (cos + sin ) I + c I = + c d 4 Να υπολογιστεί το I n =, n N n ( + a ) Λύση d = +n d n n n+ ( + a ) ( + a ) ( + a ) = + n d - na d n n n+ ( + a ) ( + a ) ( + a ) άρα = +ni -na I n ( + a ) n n+ na I = - I -n( +a ) -n n n n+ Χρήσιµες Παρατηρήσεις (α) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν την εκθετική συνάρτηση, ξεκινούµε την παραγοντική ολοκλήρωση πάντοτε από την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης (β) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν τη λογαριθµική συνάρτηση, ξεκινούµε την παραγοντική ολοκλήρωση από την αντιπαράγωγο της άλλης συνάρτησης (γ) Σε ολοκληρώµατα που περιέχουν γινόµενα ηµιτόνων ή συνηµιτόνων µε πολυώνυµα, ξεκινούµε από την αντιπαράγωγο του ηµιτόνου ή του συνηµιτόνου Πολλές φορές η εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται στον υπολογισµό ενός αναγωγικού τύπου 33

83 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Ορισµός 83 Α Το πηλίκο δύο αλγεβρικών πολυωνύµων m Pm( ) b0 + b + + bm f( ) = = n Q ( ) a + a + + a, n 0 n όπου α n,b m 0, m 0, n καλείται ρητή συνάρτηση ή ρητό κλάσµα Ορισµός 84 Ρητές συναρτήσεις της µορφής A A+B,, k N k k ( - a) ( + p + q) *, καλούνται µερικά κλάσµατα Θεώρηµα 85 Kάθε πολυώνυµο µε πραγµατικούς συντελεστές µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και δευτεροβάθµιων τριωνύµων µε πραγµατικούς συντελεστές (σαφώς είναι δυνατόν να έχουµε επανάληψη των παραγόντων) Τα τριώνυµα µπορούµε να δεχθούµε ότι δεν έχουν πραγµατικές ρίζες διότι αλλιώς θα αναλύονταν σε γινόµενα πρωτοβάθµιων παραγόντων Εργαζόµαστε ως εξής: (α) αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από το βαθµό του παρονοµαστή (m > n) διαιρούµε το P m () µε το Q n () και έχουµε P () R () Q() Q(), m k f()= = S()+, k < n n n όπου S() είναι το πηλίκο της διαίρεσης, βαθµού m-n (β) Αναλύουµε το πολυώνυµο Q n () σε γινόµενο πρωτοβάθµιων διωνύµων και δευτεροβάθµιων τριωνύµων (όπως στο Θεώρηµα 85), δηλαδή Q ( ) = ( a ) ( a ) ( + p + q ) n k k i m i m ( + p ) j j+ qj, όπου k ++ k i+ (m +m j )= n, p j - 4q j < 0 (γ) Αναλύουµε το κλάσµα Rk ( ) Q ( ) n σε µερικά κλάσµατα ως εξής: για κάθε παράγοντα της µορφής ( a) k στην ανάλυση του Q n () παίρνουµε το άθροισµα των κλασµάτων: 34

A A Ak + + +, k ( a) ( a) ( a) όπου A, A,, A k είναι σταθερές που θα προσδιοριστούν Οµοια, για κάθε παράγοντα της µορφής άθροισµα των κλασµάτων: + + στην ανάλυση του Q n (), παίρνουµε το ( p q) k A + B A + B A k + Bk + + + k ( + p+ q) ( + p+ q) ( + p+ q) Oι συντελεστές υπολογίζονται από τη λύση ενός συστήµατος εξισώσεων το οποίο προκύπτει από την εξίσωση: Rk ( ) Q ( ) = A A,, k k ( a ) + + ( a ) + n A + B A + B + + + ( p q ) ( p q ) j, j, jm, j jm, j m j + j + j + j + j Aρα, το ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης µπορεί να παρασταθεί σαν άθροισµα ενός ολοκληρώµατος πολυωνύµου και ολοκληρωµάτων των παρακάτω τύπων: A A (α) d = + c, k >, k k ( a) ( k ) ( a) A (β) d = A ln a + c, ( a) (γ) A + B d n p < ( + p+ q) n,, -4q 0 Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα (γ) A + B A + B I = d = d n ( ) n + p+ q p 4q p + + 4 Θέτουµε p 4q p + = t, οπότε το ολοκλήρωµα γίνεται: at + b a b I = dt = + c + dt t n t t n n n ( + ) ( ) ( + ) ( + ) b Eστω In = dt n ( t + ) 35

b Για n = έχουµε I = dt = bτοξεφt + c ( t + ) t + t Για n έχουµε In = b dt = b dt n n ( t + ) ( t + ) t = b dt-b dt n- n- (t +) (t +) b -n bt(t+) =In- - td(t +) =In- - (- n) (- n) -n b b bt(t+) + dt= + I - -n n- (- n) (t +) (- n) (- n) -n, οπότε, b bt(t+) I n = + In- - (- n) (- n) -n Παραδείγµατα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα + 3 + ( + ) 4 d Λύση 4 3 A B E + + Γ + +Ζ = + + + ( + ) ( + ) ( + ) Από την τελευταία µετά την απαλοιφή των παρονοµαστών και την αναγωγή οµοίων όρων καταλήγουµε στη µορφή + 3 + = ( A+ E) + ( B+Ζ ) + ( A+Γ+ E) 4 5 4 3 ( B ) A B, + + +Ζ + + οπότε εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων όρων έχουµε και λύνοντας το σύστηµα έχουµε: Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή Α = Ε = Ζ = Γ = 0, Β = = + 3 + ( + ) ( + ) ( + ) d 4 d = d + d + Αλλά: d = d d ( + ) ( + ) ( + ) 36

= Arc tan + d ( + ) ( + ) = Arc tan + Arc tan + c ( + ) Τελικά: + 3 + d = ( + ) 4 + Arc tan + Arc tan + c ( + ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα 4 3+ 5 3 d 3+ Λύση Προφανώς, από το σχήµα Horner έχουµε: 3 3 + = ( )( + ) = ( ) ( + ), άρα 4 3 5 A B = + + 3 + Γ 3 + ( ) ( + ) Mε απαλοιφή των παρονοµαστών και αναγωγή οµοίων όρων καταλήγουµε στη µορφή 4 3+ 5 3 3 = + + + + 3 ( ) ( ) Το ολοκλήρωµα λοιπόν παίρνει τη µορφή 4 3+ 5 d = ln + 3ln + + c 3 3+ ( ) 3 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα + + 0 d Λύση 0 d = + + ( + ) + 9 d Θέτω + = 3y, d = 3dy, άρα: + d = dy = Arc tan + c + + + ( ) 9 3 y 3 3 37

84 Oλοκληρώµατα άρρητων συναρτήσεων που ανάγονται σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων Ι Ολοκληρώµατα της µορφής r r r R (,,, k ) d όπου r i ρητοί και R µια ρητή συνάρτηση k-µεταβλητών Εστω ότι r i = p i /q i µε p i,q i Z q i >0 και έστω n = ΕΚΠ{q,q,,q k } Mε αντικατάσταση = t n παίρνουµε r r r R (,,, k ) d = nr nr (,,, nr n R t t t k ) nt dt R () tdt, = όπου R (t) είναι µια ρητή συνάρτηση του t Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα 3 d + Λύση Στην περίπτωση αυτή είναι q = και q = 3, άρα ΕΚΠ = 6, οπότε θέτω = t 6, d = 6t 5 dt, oπότε: 5 d t dt t dt 6 6 3 4 3 t t t + = + = + dt = + = + + + t + 6 ( t ) dt 4 3t t 4ln t c ΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής: (, a + R b n ) d c + d όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση µιας µεταβλητής ορισµένη καταλλήλως Με την αντικατάσταση a + b n = t c + d, το ολοκλήρωµα ανάγεται σε ολοκλήρωµα ρητής συνάρτησης του t 38

Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα d + Λύση Θέτουµε 4 = t = t, d = t, + + t ( + t ) οπότε d t = 4 dt + ( t )( t + ) Αλλά: t A B Ct+ D = + +, ( t )( t + ) t t+ t + οπότε µετά από πράξεις βρίσκουµε Α = /4, Β = -/4, C = 0, D = / και το ολοκλήρωµα γίνεται t 4 dt = dt dt + dt ( t )( t + ) ( t ) ( t+ ) t + t = ln + Arctan t t + ΙΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής n n (, +,, k + ) R a b a b d όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση Eστω n = ΕΚΠ{n,n,,n k } Τότε για κάθε i n υπάρχει m i Ν έτσι ώστε n i m i = n Κάνοντας την αντικατάσταση n a + b = t έχουµε: mi n n i n- ( ) ni m n a + b = a + b = t, = ( t b), d = t dt, a a και η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης Παράδειγµα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα ( + ) d ( + ) + + 39

Λύση Θέτουµε t t, d=tdt + = + =, οπότε ( + ) d t( t ) dt ( t ) dt = = ( + ) + + t + t t+ = dt 4 dt = t 4ln t + + c t + ΙV Ολοκληρώµατα της µορφής + + R (, a b cd ) όπου R είναι ρητή συνάρτηση του t H εύρεση τέτοιων ολοκληρωµάτων ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων όταν χρησιµοποιήσουµε τους παρακάτω µετασχηµατισµούς του Εuler: (a) αν a>0 θέτουµε a + b + c = t ± a (b) αν c>0 θέτουµε a + b + c = t ± c (c) αν b -4ac>0 και 0 είναι µια οποιαδήποτε ρίζα του τριωνύµου θέτουµε + + = ( ) a b c t 0 Με τους παραπάνω µετασχηµατισµούς έχουµε = ρητή συνάρτηση του t, d = ρητή συνάρτηση του t και a + b + c =ρητή συνάρτηση του t, άρα η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στον υπολογισµό ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης V Ολοκληρώµατα της µορφής p ( ) p ( ) I = d, J= d a + b + c ( ρ) k a + b + c, όπου p() είναι πολυώνυµο βαθµού n Εστω n A I = ( A 0 + + AN ) a + b+ c d a + b + c Παραγωγίζοντας την παραπάνω παίρνουµε p ( ) + + a b c = (( n ) A + + A ) a + b + c n 0 N n a + b A + ( A 0 + + AN ) + a + b + c a + b + c 40

Εξισώνοντας τους συντελεστές των οµοιοβάθµιων δυνάµεων του παίρνουµε ένα σύστηµα από το οποίο υπολογίζουµε τους συντελεστές Α,Α i To ολοκλήρωµα J µε το µετασχηµατισµό ρ = t ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής Ι VII Ολοκληρώµατα της µορφής R a d R a + d (, ), (, ) R a d 3 (, ) η µέθοδος Τα παραπάνω ολοκληρώµατα µπορούν µε χρήση των µετασχηµατισµών Euler να αναχθούν σε ολοκληρώµατα ρητών συναρτήσεων η µέθοδος Για τις µορφές,, 3 έχουµε αντίστοιχα τις αντικαταστάσεις = asint ή = acost = a tant ή = a sinht 3 a = sin t ή a = cost ή = acο sht VIII ιωνυµικά ολοκληρώµατα Εχουν τη µορφή p m n ( a + b ) d, m,n,p Q Υπολογίζονται µόνον όταν ένας από τους τρεις αριθµούς είναι ακέραιος p, m + m +, + p n n (α) όταν ο p είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση = t r, όπου r = ΕΚΠ{m,n} (β) όταν ο (m+)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση t s = α + b n, όπου s o παρονοµαστής του p (γ) όταν ο p+(m+)/n είναι ακέραιος κάνουµε την αντικατάσταση t s = α + b -n, όπου s o παρονοµαστής του p IX Ολοκληρώµατα τριγωνοµετρικών συναρτήσεων Ι Μορφή: R(sin,cos ) d, όπου R είναι µια ρητή συνάρτηση των συναρτήσεων sin και cos 4

Γνωστές µορφές: tan d = ln cos + c, cot d = ln sin + c, π d = ln tan + c, d = ln tan + + c, sin cos 4 sin d = sin( ) + c 4 Θέτουµε t = tan, -π < < π, οπότε = tan t, και d = dt + t Με χρήση των γνωστών τύπων της τριγωνοµετρίας: tan( / ) tan ( / ) sin =, cos =, + tan( /) + tan ( /) t t έχουµε: sin =, cos =, + t + t άρα η εύρεση του ολοκληρώµατος ανάγεται στην εύρεση ολοκληρώµατος ρητής συνάρτησης ΙΙ Ολοκληρώµατα της µορφής sinλ sin µ d, cosλ cos µ d, sinλ cos µ d Χρησιµοποιούµε τους γνωστούς τύπους της τριγωνοµετρίας: sin λ sin µ = (cos(( µ λ ) ) cos(( µ + λ) )) cos λ cos µ = (cos(( µ + λ ) ) + cos(( µ λ) )) ΙΙI Ολοκληρώµατα της µορφής sin λ cos µ = (sin(( µ + λ ) ) + sin(( µ + λ) )) m n sin cos d, m,n Z (α) Εστω m+n = περιττός Τότε ένας από τους m,n είναι περιττός Εστω m = k+ και cos = t, τότε παίρνουµε: 4

I = d= d m n k n mn, sin cos ( cos ) cos sin = = k n k n ( cos ) cos d cos ( t ) t dt, δηλαδή αρκεί να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα της πολυωνυµικής συνάρτησης (β) Εστω m+n = άρτιος Τότε οι m,n είναι άρτιοι ή περιττοί Αν οι m,n είναι περιττοί έχουµε την προηγούµενη περίπτωση Εστω m = k και n = l τότε: m n cos( ) + cos( ) sin cos =, και ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος ανάγεται σε ολοκλήρωµα της µορφής p q sin cos d, 0 p + q (m + n) Με αντικατάσταση = t αναγόµαστε στην παραπάνω περίπτωση X Ολοκληρώµατα της µορφής R(tan h) d, R(sinh,cos h) d, 3 R(sin h,cosh, tan h) d η µέθοδος Με αντικατάσταση του tanh(/) = t, έχουµε: k l t t t sin h =, cosh =, tanh =, d = dt + t + t + t t και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων η µέθοδος Με αντικατάσταση του e = t, έχουµε: t sin h = t, cosh = t +, tanh =, d = dt t t t + t και η εύρεση των παραπάνω ανάγεται στην εύρεση ολοκληρωµάτων ρητών συναρτήσεων 43

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 44

45

46

47

48

49

50

5

5

53

54

55

56

57

58

59

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ /3 (Arctan) d d d,,, + a a d d d, tand,, + a sin cos d, a d, sin e d lnd, Arctand, cosd, e sin3d, Arcsind,, a 0 d + a > + + + d, d, d + + + 3 4 ( ) 3 3 4 3 60