Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός) Ενότητα: ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ ΑΜΟΒΑΑ ΕΠΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής

ΚΕΦΑΛΑΟ 11 ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ ΑΜΟΒΑΑ ΕΠΑΓΩΓΗ Σύνοψη Στο νδέκατο τούτο κφάλαιο ορίζονται τα φυσικά μγέθη της αυτπαγωγής και της αμοιβαίας παγωγής καθώς πίσης και η νέργια του μαγνητικού πδίου. Πριγράφονται τα κυκλώματα αντίστασης-παγωγέα και πυκνωτή-παγωγέα, και πιπλέον μλτάται το φαινόμνο της ηλκτρομαγνητικής ταλάντωσης. 11.1 Γνικά Όπως ίδαμ στο δάφιο 9.6, όταν ένα ιδανικό σωληνοιδές μ αριθμό σπιρών διαρρέται από σταθρό ηλκτρικό ρύμα, δημιουργίται στο σωτρικό του ένα ομογνές μαγνητικό πδίο μ κατύθυνση παράλληλη στον άξονα συμμτρίας του. Ένα τέτοιο ιδανικό σωληνοιδές ονομάζται παγωγέας ή πηνίο, φαίνται στο σχ. 11.1, και αποθηκύι μια σταθρή μαγνητική ροή, όπως ένας πυκνωτής αποθηκύι ηλκτρικό φορτίο όταν φαρμοστί στα άκρα του διαφορά δυναμικού. Οι παγωγίς παίζουν σημαντικό ρόλο στα ηλκτρικά κυκλώματα μόνο όταν μταβάλλται το ρύμα τους και πομένως δημιουργούνται παγωγικά φαινόμνα. Ένας παγωγέας ίναι δυνατόν να έχι σπίρς όχι μόνο κυκλικού σχήματος αλλά ττραγωνικού, ορθογωνίου παραλληλογράμμου κλπ. Το σωτρικό του πηνίου ονομάζται πυρήνας και μπορί να ίναι αέρας ή κάποιο μαγνητικό υλικό. Στην συνέχια θα ξτάσουμ το ρόλο των παγωγέων σ διάφορς πριπτώσις. b α Β + _ Β Β Σχήμα 11.1 Επαγωγέας ή πηνίο διαρέται από ρύμα μ συνέπια να δημιουργίται ομογνές μαγνητικό πδίο Β στο σωτρικό του πηνίου και κατά μήκος του άξονά του. R Σχήμα 11. Αυτπαγωγή σ ηλκτρικό βρόχο. c d

11. Αυτπαγωγή Τα παγωγικά φαινόμνα παίζουν σημαντικό ρόλο στην σύγχρονη τχνολογία όσον αφορά την μταφορά και διανομή της ηλκτρικής ισχύος, την κατασκυή ηλκτρονικών διατάξων, διάφορς ηλκτρολογικές φαρμογές κ.α. Κάθ αγωγός που διαρρέται από ηλκτρικό ρύμα δημιουργί γύρω του μαγνητικό πδίο, το οποίο μταβάλλται άν μταβληθί το ρύμα που τον διαρρέι. Έτσι θωρώντας ένα κλιστό κύκλωμα όπως αυτό του βρόχου abcda του σχήματος 11., όταν συμβί μια μταβολή στην ένταση του ηλκτρικού ρύματος, αυτομάτως θα υπάρξι μταβολή του μαγνητικού πδίου Β του αγωγού, και πομένως και της μαγνητικής ροής που διαρρέι τον βρόχο. Τούτο έχι ως συνέπια την ανάπτυξη παγωγικής ηλκτργρτικής δύναμης ΗΕΔ στα άκρα της αντίστασης, η οποία θα δώσι ένα τέτοιο παγώμνο ρύμα στο κύκλωμα, ώστ να προσπαθήσι να αναιρέσι την μταβολή της μαγνητικής ροής και πομένως και την μταβολή του ρύματος. Η ανάπτυξη παγωγικής ΗΕΔ σ ένα κύκλωμα, η οποία συμβαίνι ως αποτέλσμα κάποιας αλλαγής νός στοιχίου του κυκλώματος, ονομάζται αυτπαγωγή. Η αυτπαγωγή ίναι συνέπια του κανόνα του enz. + + _ l Σχήμα 11.3 Κύκλωμα μ παγωγέα αυτπαγωγής, όπου μ αύξηση του ρύματος, στα άκρα του παγωγέα αναπτύσσται παγωγική τάση αντίθτης πολικότητας από αυτήν της πηγής. _ Ας θωρήσουμ τώρα ένα πηνίο μ Ν σπίρς και μήκος l, συνδδμένο σ ηλκτρικό κύκλωμα όπως φαίνται στο σχ. 11.3. Το μαγνητικό πδίο στο σωτρικό του μακριού πηνίου (μγάλο μήκος σ σύγκριση μ την διατομή του), μπορί να θωρηθί σταθρό και δίδται από την σχέση (βλέπ δάφιο 9.6) ni (11.1) ο όπου n ίναι ο αριθμός σπιρών ανά μονάδα μήκους. Εάν μταβληθί το ηλκτρικό ρύμα του κυκλώματος, τότ μταβάλλται και το μαγνητικό πδίο Β στο σωτρικό του πηνίου, και πομένως αλλάζι και η μαγνητική ροή Φ Β που διαρρέι το πηνίο. Έτσι ισχύι νώ η μταβολή της μαγνητικής ροής ίναι d di οn (11.) dt dt

3 dφβ d( NA) d d 1 dφβ NA (11.3) dt dt dt dt NA dt όπου Α ίναι το μβαδόν κάθ σπίρας του πηνίου. Η ξ. 11.3 στην 11. δίνι 1 dφβ di dφβ di οn οnna (11.4) NA dt dt dt dt Από τον νόμο του Faraday (ξ. 10.4) παίρνουμ ότι στα άκρα του πηνίου θα αναπτυχθί μια παγωγική τάση, ίση μ (11.4) dφβ ο di nna (11.5) dt dt Από την ξ. 11.5 συμπραίνουμ ότι η παγωγική τάση στα άκρα του πηνίου ίναι ανάλογη της μταβολής του ηλκτρικού ρύματος μ σταθρά αναλογίας, όπου ή διαφορτικά μιας και ισχύι n=n/l. nna (11.6) ο (11.7) οn la Η σταθρά ονομάζται συντλστής αυτπαγωγής του παγωγέα και οι μονάδς μέτρησής της στο Διθνές Σύστημα ίναι το 1 Η (henry) προς τιμήν του Jseph Henry (1797-1878), και το οποίο ορίζται ως 1Η=1V.s/1A. Αντίθτα το γράμμα πιλέχθηκ προς τιμήν του Γρμανού φυσικού Heinrich enz (1804-1865) για την ανακάλυψη του ομώνυμου νόμου (βλέπ κφ. 10). Προσέξτ ότι ο συντλστής αυτπαγωγής του πηνίου ξαρτάται μόνο από τα γωμτρικά χαρακτηριστικά του πηνίου, όπως ο όγκος του, (V=lA), και η πυκνότητα των σπιρών n. Συνπώς για κάθ μταβολή του ρύματος σ ηλκτρικό κύκλωμα μ παγωγέα, η τάση αυτπαγωγής στα άκρα του βάσι των ξισώσων 11.5 και 11.6 ίναι di (11.8) dt Η παραπάνω σχέση ίναι ο νόμος του Faraday για την αυτπαγωγή. Το μίον (-) συμβολίζι τον κανόνα του enz, ότι δηλαδή η αυτπαγωγή θα προκαλί ένα ρύμα παγωγικό, τέτοιο ώστ να τίνι να αναιρέσι την μταβολή di/dt που συμβαίνι στο

4 κύκλωμα. Όταν κοντά στο πηνίο δν υπάρχι κάποιο μαγνητικό υλικό (ΓΑΤ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕ Τ ΑΛΛΑΖΕ;), τότ η μαγνητική ροή ίναι ανάλογη μ το ρύμα του πηνίου μιας και από την ξ. 11.8 μπορούμ να γράψουμ dφ di di dt dt dt Β ΦΒ I (11.9) Παράδιγμα 11.1 Συντλστής αυτπαγωγής πηνίου Ένα δακτυλιοιδές σωληνοιδές πηνίο μ πυρήνα αέρα, μβαδού διατομής Α και μέσης ακτίνας r, φέρι πολύ πυκνά πριτυλιγμένς Ν σπίρς σύρματος. Προσδιορίστ τον συντλστή αυτπαγωγής του πηνίου. Για τον προσδιορισμό της ροής, υποθέστ ότι το Β ίναι ομογνές σ όλη την πιφάνια της διατομής και ότι δν μταβάλλται μ την απόσταση από το κέντρο του δακτυλίου. Λύση Από την ξ. 11.9 μπορούμ να γράψουμ για το I Β (1) Το πδίο Β στο σωτρικό του πηνίου υπολογίζται από τον νόμο του Ampere (βλέπ δάφιο 9.5) ίσο μ NI r ο () Επιδή το πηνίο έχι Ν σπίρς διατομής Α η κάθ μία, η συνολική μαγνητική ροή του πηνίου ίναι NA (3) Β Οι ξισώσις και 3 στην 1 δίνουν οn A (4) r Από την ξ. 4 πιββαιώνουμ ότι η σταθρά αυτπαγωγής ξαρτάται μόνο από τα τχνικά χαρακτηριστικά του πηνίου.

5 11.3 Αμοιβαία παγωγή Όταν σ ένα ηλκτρικό κύκλωμα αλλάξι η μαγνητική ροή που το διαρρέι λόγω κάποιας αλλαγής ηλκτρικού ρύματος η οποία συμβαίνι σ ένα άλλο γιτονικό κύκλωμα, τότ σύμφωνα μ τον νόμο του Faraday έχουμ την ανάπτυξη μιας παγωγικής ΗΕΔ στο πρώτο κύκλωμα, η οποία ονομάζται αμοιβαία παγωγή. Για παράδιγμα ας θωρήσουμ δυο γιτονικά πηνία 1 και μ σπίρς Ν 1 και Ν αντιστοίχως. Τα πηνία ανήκουν σ διαφορτικά ηλκτρικά κυκλώματα και υρίσκονται σ τοποθέτηση το ένα ως προς το άλλο, όπως φαίνονται στο σχ. 11.4. Εάν το πηνίο 1 διαρρέται από ρύμα 1, τότ παράγι ένα μαγνητικό πδίο το οποίο δημιουργί μια μαγνητική ροή σ κάθ σπίρα του πηνίου. Επιδή το πδίο Β 1 μταβάλλται μ την απόσταση μταξύ των δυο πηνίων, δν ίναι σταθρό σ όλη την πριοχή που καταλαμβάνι το πηνίο. Έτσι η μαγνητική ροή κάθ σπίρας του πηνίου ίναι προφανώς διαφορτική. Γι αυτόν τον λόγο θωρούμ ως την μέση τιμή της μαγνητικής ροής που διαρρέι κάθ σπίρα του πηνίου. Εάν τώρα μταβληθί το ρύμα 1 του πηνίου 1, αυτομάτως θα μταβληθί και το Β 1 πδίο στο χώρο, και πομένως και η μαγνητική ροή. Τότ σύμφωνα μ τον νόμο του Faraday θα αναπτυχθί μια αμοιβαία παγωγική τάση (παγωγική ΗΕΔ) στο πηνίο ίση μ dφ N (11.10) Όμως για την μαγνητική ροή Φ ανά σπίρα ισχύι Φ 1 όπου το μβαδόν της σπίρας Α ίναι A dt A (11.11) r (11.1) Πηνίο 1 μ Ν 1 σπίρς Β 1 Β 1 1 Β 1 Πηνίο μ Ν σπίρς Σχήμα 11.4 Τομή δυο πηνίων 1 και τα οποία βρίσκονται σ γιτνίαση. Το ρύμα που διαρρέι το πηνίο 1 δημιουργί μαγνητικό πδίο 1 στην πριοχή του πηνίου. Β

6 και το μαγνητικό πδίο Β 1 στο σωτρικό του πηνίου 1 ίναι n I (11.13) 1 ο 1 1 Αντικαθιστώντας τις ξισώσις 11.11, 1 και 13 στην 11.10 παίρνουμ d ( n I r ) di (11.14) dt dt ο 1 1 1 N Nοn1r Από την ξ. 11.14 καταλαβαίνουμ ότι η παγωγική τάση που αναπτύσσται στα άκρα του πηνίου, ίναι ανάλογη της μταβολής του ρύματος που συμβαίνι στο πηνίο 1. Ο συντλστής αναλογίας ονομάζται συντλστής αμοιβαίας παγωγής Μ 1 του πηνίου ως προς το 1 και μτράται σ Η (henry) όπως και η αυτπαγωγή. Έτσι ισχύι M N n r (11.15) 1 ο 1 Από την παραπάνω σχέση συμπραίνουμ ότι ο συντλστής της αμοιβαίας παγωγής ξαρτάται μόνο από τα γωμτρικά χαρακτηριστικά των δυο πηνίων, φόσον δν υπάρχι στο χώρο κάποιο μαγνητικό υλικό. Τλικά η ξ. 11.14, η οποία και ίναι ο νόμος του Faraday για την αμοιβαία παγωγή, γράφται Από την ξ. 11.10 και την 11.16 παίρνουμ di1 M 1 (11.16) dt d di1 d( N ) d( M 1I1) N M 1 N M 1I1 (11.17) dt dt dt dt Δηλαδή η συνολική μαγνητική ροή Ν Φ στο πηνίο ίναι ανάλογη του ρύματος 1 στο πηνίο 1. Έτσι σύμφωνα μ την ξ. 11.16, όταν μταβάλλται το ρύμα 1 μ τον χρόνο στο πηνίο 1, μταβάλλται και η μαγνητική ροή Φ και συνπώς αναπτύσσται παγωγική τάση στο πηνίο. Από την ξ. 11.17 μπορούμ να γράψουμ για τον συντλστή αμοιβαίας παγωγής Μ 1, M N Φ 1 (11.18) I1 Η παγωγική τάση δημιουργί παγωγικό ρύμα στο πηνίο, τέτοιας φοράς ώστ να αντιτίθται στην αύξηση του 1 λόγω της αύξησης του 1 (κανόνας του enz). Έτσι το παγωγικό ρύμα έχι τέτοια φορά ώστ να δημιουργί μαγνητικό πδίο Β αντιπαράλληλο του Β 1 (βλέπ σχ. 11.4).

7 Μ το ίδιο σκπτικό που αναπτύξαμ πιο πάνω, μπορούμ να θωρήσουμ μταβολή νός ρύματος στο πηνίο. Τότ βάσι της ξ. 11.15 θα αναπτυχθί στο πηνίο 1 αμοιβαία παγωγική τάση 1 ίση μ di 1 M1 (11.19) dt όπου Μ 1 ο συντλστής αμοιβαίας παγωγής του πηνίου 1 ως προς το πηνίο. Για τα δυο πηνία 1 και, αποδικνύται ότι οι συντλστές αμοιβαίας παγωγής ίναι ίσοι, δηλαδή Μ 1 =Μ 1. Παράδιγμα 11. Πηνία σ γννήτρια υψηλής τάσως Σ μια γννήτρια υψηλής τάσως, ένα μακρύ πηνίο μήκους l και διατομής μβαδού Α 1, έχι πολύ πυκνά πριτυλιγμένς Ν 1 σπίρς σύρματος. Ένα δύτρο πηνίο μ Ν σπίρς μβαδού Α, πριβάλι το πρώτο κατά μήκος του άξονά του, έτσι όπως φαίνται στο σχ. 11.5. Να ύρτ τον συντλστή της αμοιβαίας παγωγής των δύο πηνίων της γννήτριας. Λύση Το ρύμα 1 στο πηνίο 1 δημιουργί ομογνές μαγνητικό Β 1, το οποίο δημιουργί μαγνητική ροή Φ στο πηνίο, όπου Φ NΦ M1I1 (1) όπου Φ ίναι η μαγνητική ροή της μιας σπίρας του πηνίου και Μ 1 ο συντλστής αμοιβαίας παγωγής των δυο πηνίων. Η μαγνητική ροή Φ που διαρρέι την κάθ σπίρα του πηνίου δίνται ως Φ A () 1 Πηνίο 1 μ Ν 1 σπίρς όπου Α ίναι το μβαδόν κάθ σπίρας του πηνίου. Το πδίο Β 1 ντός του πηνίου 1 και σ πιφάνια Α 1 μπορί να θωρηθί ομογνές για σχτικά μγάλου μήκους πηνίο. Εκτός I 1 I Πηνίο μ Ν σπίρς I 1 Σχήμα 11.5 Πηνίο μ Ν 1 σπίρς, διαρρέται από ρύμα 1 και παράγι μαγνητικό πδίο Β 1 στο σωτρικό πηνίου μ σπίρς Ν που παράγι παγωγικό ρύμα (παράδιγμα 11.). I 1

8 του πηνίου 1 το Β 1 θωρίται πολύ μικρό, ώστ η συνισφορά του στην μαγνητική ροή Φ να ίναι μηδνική 1. Επομένως η ξ. μπορί να γραφί ισοδύναμα ως Φ A (3) 1 1 Επιδή το μαγνητικό πδίο στο σωτρικό πηνίου μγάλου μήκους όπως αυτό του πηνίου 1 ίναι n I NI l ο 1 1 1 ο 1 1 1 (4) Οι ξισώσις 3 και 4 στην 1 δίνουν οn1ni1a οn1n A M 1I1 M 1 l l Τλικά ίναι φανρό ότι η αμοιβαία παγωγή των δυο πηνίων ξαρτάται μόνο από τα τχνικά και γωμτρικά χαρακτηριστικά τους. 11.4 Ενέργια μαγνητικού πδίου Έστω ένα πηνίο αυτπαγωγής, το οποίο διαρρέται από ρύμα λόγω της ύπαρξης μιας πηγής ΗΕΔ. Η πηγή παρέχι ηλκτρική νέργια στο πηνίο. Εάν το ηλκτρικό ρύμα που παρέχι η πηγή μταβληθί, τότ στα άκρα του πηνίου θα αναπτυχθί λόγω αυτπαγωγής μια διαφορά δυναμικού, η οποία ίναι di (11.0) dt Όταν το ρύμα ίναι σ κάποια χρονική στιγμή η στιγμιαία ηλκτρική ισχύς του κυκλώματος που παρέχται από την πηγή ίναι di (11.1) (11.0) P I P I dt Η ισχύς όμως ίναι η νέργια ανά μονάδα χρόνου και πομένως η νέργια που παρέχται στο πηνίο από την πηγή σ χρόνο dt ίναι du Pdt du IdI (11.) Η ολική νέργια που παρέχται στο πηνίο αν το ρύμα αυξηθί από την μηδνική τιμή στην μέγιστη τλική ο ίναι 1 Στην πραγματικότητα η Φ Β κτός του πηνίου 1 και σ πιφάνια Α -Α 1 ίναι μηδέν, λόγω της αντίθτης κατύθυνσης που έχι το Β 1 στο πάνω και κάτω μέρος του σωληνοιδούς.

9 I 1 (11.3) 0 U IdI I Όταν το ρύμα μγιστοποιηθί στην σταθρή τιμή ο τότ η ισχύς μηδνίζται μιας και το di/dt=0 (ξ. 11.1). Τότ η πηγή σταματά να παρέχι νέργια στο πηνίο. Που όμως έχι αποθηκυτί η νέργια U που δόθηκ στ πηνίο; Η νέργια έχι αποθηκυτί στο μαγνητικό πδίο Β του πηνίου, όπως ακριβώς ο πυκνωτής αποθηκύι νέργια στο ηλκτρικό πδίο ανάμσα από τους οπλισμούς του. Επομένως το πηνίο ή ο παγωγέας αποθηκύι νέργια υπό την μορφή μαγνητικού πδίου, και η νέργια αυτή ονομάζται νέργια του μαγνητικού πδίου ή αλλιώς μαγνητική νέργια παγωγέα U. 11.4.1 Ενέργια ιδανικού πηνίου Ας μλτήσουμ την νέργια νός ιδανικού δακτυλιοιδούς σωληνοιδούς πηνίου, μ ακτίνα δακτυλίου r και μβαδόν σπίρας Α. Από την ξ. 4 του παραδίγματος 11.1 μπορούμ να αντικαταστήσουμ την αυτπαγωγή στην ξ. 11.3 και να υπολογίσουμ την αποθηκυμένη νέργια U Β στο πηνίο, ίση μ U 1 οn A I (11.4) r H νέργια ανά μονάδα όγκου του πηνίου ίναι η πυκνότητα νέργιας του πηνίου u ίση μ u U U u (11.5) V ra όπου V=πrA, ίναι όγκος του σωληνοιδούς. Η ξ. 11.4 στην 11.5 δίνι u 1 N I ο (11.6) ( r) η οποία μ την σιρά της γράφται συναρτήσι του πδίου Β (ξ. παραδίγματος 11.1) u (11.7) Η πυκνότητα νέργιας του μαγνητικού πδίου νός παγωγέα έτσι όπως κφράζται από την ξ. 11.7 ισχύι γνικά για οποιαδήποτ μορφή μαγνητικού πδίου.

10 11.5 Ηλκτρικό κύκλωμα αντίστασης-παγωγέα (κύκλωμα R) Ας θωρήσουμ το κύκλωμα του σχήματος 11.6 που πριλαμβάνι κτός της πηγής, μια αντίσταση R και έναν παγωγέα μ συντλστή αυτπαγωγής. Το κύκλωμα αυτό ονομάζται κύκλωμα R. Η συμπριφορά νός παγωγέα σ ένα κύκλωμα βασίζται στην ξ. 11.0, όπου μια παγωγική τάση αναπτύσσται στα άκρα του πηνίου μ πολικότητα που ξαρτάται από την μταβολή του ρύματος συναρτήσι χρόνου. του Όταν δηλαδή το ρύμα που διαρρέι το πηνίο αυξάνται, μια παγωγική τάση αντίθτης πολικότητας από αυτή της πηγής αναπτύσσται στα άκρα του πηνίου. + _ Β Α S (α) Αντιθέτως όταν το ρύμα που δίνι η πηγή στο κύκλωμα λαττώνται, στα άκρα του πηνίου αναπτύσσται παγωγική τάση ιδίας πολικότητας μ αυτή της πηγής για να Σχήμα 11.6 Κύκλωμα R μ α) σύνδση σ σιρά μ πηγή ΗΕΔ και β) χωρίς πηγή. αναιρέσι την λάττωση του ρύματος. Όταν το ρύμα ίναι σταθρό, τότ το πηνίο διαρρέται από αυτό το ρύμα και συμπριφέρται σαν ένα απλό σύρμα του κυκλώματος χωρίς να συμβαίνι κανένα παγωγικό φαινόμνο. Έτσι ίναι δδομένο ότι το πηνίο παίζι νργό λόγο στο κύκλωμα, μόνο όταν υπάρχι μταβολή του ρύματος. Συνδυασμός της ξ. 11.0 και των κανόνων του Kirchhff, δίνι τις αρχές λιτουργίας των ηλκτρικών κυκλωμάτων που πριέχουν πηνία. Ας ξτάσουμ τώρα αναλυτικά την λιτουργία του κυκλώματος R του σχήματος 11.6. Για απλότητα θα θωρήσουμ ότι τόσο η πηγή ΗΕΔ, όσο και το πηνίο, δν παρουσιάζουν ωμική αντίσταση. Όταν την χρονική στιγμή t=0 s, ο διακόπτης S μταβί στην θέση Α, τότ ρύμα αρχίζι να διαρρέι το κύκλωμα R (σχ. 11.6α). Το πηνίο αντιδρά στην αύξηση του ρύματος από μηδέν που ήταν αρχικά σ μια τλική τιμή, αναπτύσσοντας στα άκρα του μια παγωγική τάση αντίθτης πολικότητας R + _ Β Α S (β) R

11 μ αυτή της πηγής. Εφαρμόζοντας τον δύτρο κανόνα του Kirchhff (δξιόστροφα) για τον βρόχο σ χρονική στιγμή t όπου το κύκλωμα διαρρέται από ρύμα, έχουμ (11.8) di IR 0 IR 0 dt Για να συμπράνουμ πως μταβάλλται το ρύμα μ τον χρόνο, πρέπι να λύσουμ την πιο πάνω ξίσωση. Άρα di di R IR I 0 (11.9) dt dt Ας διρυνήσουμ την ξ. 11.9. Αρχικά για t=0 s το ρύμα ίναι μηδνικό, οπότ ο δύτρος όρος της ξ. 11.9 μηδνίζται. Επομένως ισχύι για την αρχική μταβολή ρύματος di di 0 dt t0 dt (11.30) t0 Άρα όσο μγαλύτρη ίναι η σταθρά αυτπαγωγής τόσο μικρότρος ο ρυθμός αύξησης του ρύματος. Όταν το ρύμα αρχίσι να αυξάνται και τλικά φθάσι στην μέγιστη τιμή του ο, τότ η μταβολή του ρύματος μηδνίζται και η ξ. 11.9 γράφται R I 0 I (11.31) R Δηλαδή το τλικό ρύμα στο R κύκλωμα σταθροποιίται και ίναι ανξάρτητο από την παρουσία του πηνίου στο κύκλωμα (φόσον βέβαια η ωμική του αντίστασή θωρίται μηδνική). Επομένως από την παραπάνω διρύνηση συμπραίνουμ ότι ο ρυθμός μταβολής του ρύματος μιώνται όσο αυξάνται το ρύμα στο κύκλωμα. Τούτο ίναι μφανές και από την γραφή της ξ. 11.9 ως di R I (11.3) dt Ας προσπαθήσουμ να ύρουμ την λύση της ξ. 11.3. Τούτη η ξίσωση μπορί να γραφτί ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R 1 di dt RdI dt di ( I) dt ( RI) dt RI R RI d( RI ) dt d RI dt d RI R dt R RI R RI RI (11.33)

1 Ολοκληρώνοντας την ξ. 11.33 από t=0 έως τυχαίο χρόνο t, δηλαδή από αρχικό ρύμα μηδέν έως ρύμα, και θέτοντας μια νέα μταβλητή ολοκλήρωσης x στο πρώτο μέλος όπου x= RI παίρνουμ RI t dx R RI R R RI R dt ln t ln( RI ) ln t ln( ) t x x I I (1 e ) 0 R R R R R RI t t t t t e RI e RI e RI e I (1 e ) R R t (11.34) Βλέπουμ λοιπόν ότι το ρύμα στο κύκλωμα R αυξάνται ασυμπτωτικά από το μηδέν ως την μέγιστη τιμή ο. Η μταβολή του ρύματος δίχνται γραφικώς στο σχ. 11.7. Για χρόνο ίσο μ /R, το ρύμα γίνται 0.63 ο. Ο χρόνος τ =/R,ονομάζται παγωγική σταθρά χρόνου του κυκλώματος R, σ πλήρη αναλογία μ την σταθρά χρόνου τ C =RC στο κύκλωμα RC που ξτάσαμ στο κφάλαιο 7. Για πολύ μγάλο χρόνο, t, η τιμή του ρύματος γίνται ο όπως προβλέψαμ από την ξ. 11.31 για την μγιστοποίηση του ρύματος. Όσο μικρότρη ίναι η σταθρά χρόνου τ, τόσο γρηγορότρα πιτυγχάνται η μέγιστη τιμή του ρύματος. Για δδομένη αντίσταση R, όσο μγαλύτρος ίναι ο συντλστής αυτπαγωγής, τόσο αργότρα πέρχται η μγιστοποίηση του ρύματος στο κύκλωμα. Τλικά η μταβολή του ρύματος στο κύκλωμα R γράφται συναρτήσι της παγωγικής σταθρά χρόνου τ ως t (1 τ ) I I e (11.35) Ας θωρήσουμ τώρα για το κύκλωμα R, ότι νόσω έχι πιτυχθί η μέγιστη τιμή του ρύματος ο του σχήματος 11.7, μτακινούμ τον διακόπτη στη θέση Β (σχ.11.6β). Η αντίσταση και το πηνίο διαρρέονται αρχικά από ρύμα ο, το οποίο όμως φθίνι μ τον χρόνο διότι ηλκτρική νέργια καταναλώνται στην αντίσταση. Έτσι σ τυχαίο χρόνο t 0.63 τ Σχήμα 11.7 Η αύξηση του ρύματος σ κύκλωμα R, σ σύνδση ν σιρά, ως συνάρτηση του χρόνου. t

13 μτά από την μτακίνηση του διακόπτη στην θέση Β, το κύκλωμα R διαρρέται από ρύμα. Εφαρμόζοντας τον δύτρο κανόνα του Kirchhff παίρνουμ di di IR 0 IR 0 dt dt (11.36) (σχ. 11.6β) Λύνοντας την ξ. 11.36 μπορούμ να ύρουμ την ξάρτηση του ρύματος ως προς τον χρόνο. Έτσι ξχωρίζοντας τις μταβλητές I και t και ολοκληρώνοντας από t=0 όπου I=I ο, έως την τυχαία χρονική στιγμή t όπου το ρύμα ίναι I, γράφουμ I I 0.37I di di R di R I R R IR dt dt ln I t ln I ln I t dt I I I I 0 R I R I t ln( ) t e I Ie I I I t R t Η ξ. 11.37 γράφται ισοδυνάμως t τ I I e (11.38) Η ξ. 11.38 πριγράφι την μταβολή του ρύματος στο R κύκλωμα ν σιρά απουσία της πηγής ΗΕΔ,. Όπως δίχνται στο σχ. 11.8, παρατηρούμ ότι το ρύμα φθίνι κθτικά, έως ότου να μηδνιστί. Για χρόνο ίσο μ την παγωγική σταθρά χρόνου του κυκλώματος /R, η τιμή του ρύματος γίνται I=I ο /e ή αλλιώς 0.37 ο. Η λάττωση του ρύματος ονομάζται και απόσβση και ίναι πανομοιότυπη μ αυτήν στην φόρτιση και κφόρτιση πυκνωτή σ κύκλωμα RC (βλέπ δάφιο 7.5). Ας προσπαθήσουμ τώρα να υπολογίσουμ πως μταβάλται μ τον χρόνο η παγωγική τάση στα άκρα του παγωγέα. Λόγω της ξ. 11.0, όταν το ρύμα αυξάνται στο κύκλωμα R του σχήματος 11.6α, η τάση στα άκρα του πηνίου δύναται να υρθί ως ξής τ Σχήμα 11.8 Μταβολή του ρύματος σ κύκλωμα R ν σιρά, απουσία πηγής ΗΕΔ. (11.34) R R R R di d t R t t t [ I(1 e )] ( ) Ie RIe e dt dt Δηλαδή κατά την αύξηση του ρύματος στο κύκλωμα RC, μια αντίθτης πολικότητας παγωγική τάση αναπτύσσται στα άκρα του παγωγέα, μιας και λόγω του νόμου του t (11.37) (11.39)

14 Faraday ο παγωγέας αντιστέκται στην αύξηση του ρύματος. Ανάλογα για την πρίπτωση της μίωσης (απόσβσης) του ρύματος στο κύκλωμα R του σχήματος 11.6β, ισχύι για την παγωγική τάση ότι (11.37) R R R R di d t R t t t ( Ie ) ( ) Ie RIe e (11.40) dt dt Από την ξ. 11.40, παρατηρούμ ότι όταν το ρύμα μιώνται στο κύκλωμα R, η πολικότητα της παγωγικής τάσης ίναι της ίδιας πολικότητας μ αυτή της ΗΕΔ, μιας και ο παγωγέας προσπαθί να αντισταθί στην μίωση του ρύματος. Απουσία της πηγής ΗΕΔ στο R κύκλωμα (σχ. 11.6β), το πηνίο έχι αποθηκυμένη νέργια λόγω του μαγνητικού πδίου που δημιουργίται από το ρύμα. Η νέργια αυτή σταδιακά μιώνται μέχρι να μηδνισθί, λόγω της απόσβσης του ρύματος (σχ. 11.8) και αποδίδται ως θρμότητα στην ωμική αντίσταση R. 11.6 Κύκλωμα παγωγέαπυκνωτή (C ) και ηλκτρομαγνητική ταλάντωση Ας θωρήσουμ τώρα ένα ηλκτρικό κύκλωμα όπως φαίνται στο σχ. 11.9, όπου πριλαμβάνι έναν παγωγέα μ συντλστή αυτπαγωγής, και έναν πυκνωτή χωρητικότητας C. Το κύκλωμα τούτο ονομάζται κύκλωμα C. Έστω ότι αρχικά για t=0 s ο πυκνωτής ίναι φορτισμένος μ μέγιστο φορτίο Q και μέγιστο ηλκτρικό πδίο Ε ο S (α) S (δ) S (ζ) Q Ε ο + _ + _ q _ C Ε C C + S (β) S () S (η) q Ε + _ Q q Ε + _ Q Ε ο + _ + _ Σχήμα 11.9 Ένας πλήρης κύκλος ηλκτρομαγνητικής ταλάντωσης σ κύκλωμα C χωρίς ωμική αντίσταση. C Ε ο C C + + S (γ) S (στ) S (θ) q _ C Ε C C +

15 ανάμσα από τους οπλισμούς του (σχ. 11.9α). Όταν ο διακόπτης S κλίσι, σ τυχαίο χρόνο t το κύκλωμα διαρρέται από ρύμα λόγω της κφόρτισης του πυκνωτή, νώ στο σωτρικό του πηνίου δημιουργίται μαγνητικό πδίο Β (σχ. 11.9β). Ταυτόχρονα στον πυκνωτή το φορτίο έχι μιωθί από Q σ q, και το ηλκτρικό πδίο από Ε ο σ Ε. Αρχικά για t=0 s, το πηνίο αντιτίθται σ οποιαδήποτ μταβολή του ρύματος, και μποδίζι την δημιουργία του ρύματος στο κύκλωμα μ την ανάπτυξη παγωγικής τάσης στα άκρα του. Τούτο έχι ως αποτέλσμα το ρύμα στο κύκλωμα C, να αυξάνι σταδιακά και όχι ακαριαία όπως συμβαίνι για την κφόρτιση πυκνωτή σ κύκλωμα RC (βλέπ δάφιο 7.5.). Όταν ο πυκνωτής κφορτιστί πλήρως, (q=0, Ε=0), το ρύμα στο κύκλωμα C μγιστοποιίται σ ο όπως συμβαίνι και για το πδίο Β ο στο σωτρικό του παγωγέα (σχ. 11.9γ). Το ρύμα τότ αρχίζι να μιώνται (μιας και δν μηδνίζται ακαριαίως) και έχοντας την ίδια φορά, αρχίζι να φορτίζι τον πυκνωτή και πάλι, μ αντίθτης όμως πολικότητας φορτίο q, δημιουργώντας πίσης αντιθέτου φοράς ηλκτρικό πδίο Ε (σχ. 11.9δ). Εν συνχία το φορτίο μγιστοποιίται ξανά μαζί μ το πδίο Ε ο στον πυκνωτή, νώ το ρύμα στο κύκλωμα μηδνίζται (σχ. 11.9). Ύστρα ο φορτισμένος πυκνωτής αρχίζι να κφορτίζται ξανά μέσω του πηνίου, αυξάνοντας σταδιακά το ρύμα (το οποίο τώρα έχι αντίθτη φορά από πριν, σχ. 11.9στ), μέχρι την μέγιστη τιμή του ο, όπου ταυτοχρόνως μγιστοποιίται το μαγνητικό πδίο Β ο νώ μηδνίζται το ηλκτρικό πδίο στον πυκνωτή (σχ. 11.9ζ). Ο πυκνωτής ίναι πλέον αφόρτιστος και αρχίζι πάλι να φορτίζται, νώ το ρύμα φθίνι κθτικά όπως ακριβώς και το μαγνητικό πδίο στον παγωγέα (σχ. 11.9η), έως την πλήρη φόρτιση του πυκνωτή και την μγιστοποίηση του Ε ο και τον μηδνισμό του Β (σχ. 11.9θ). Ο κύκλος φόρτισης-κφόρτισης του πυκνωτή στο κύκλωμα C απουσία ωμικής αντίστασης, τον οποίο πριγράψαμ παραπάνω σ ννέα στάδια του σχήματος 11.9, ίναι μια συνχής ναλλαγή της αρχικώς αποθηκυμένης ηλκτρικής νέργιας πυκνωτή, σ μαγνητική νέργια 1 1 Q C στον I αποθηκυμένης στον παγωγέα και τανάπαλιν. Αυτή η ναλλαγή της νέργιας γίνται μ απολύτως αρμονικό τρόπο, και παναλαμβάνται μ σταθρή χρονική πρίοδο Τ. Όταν το ηλκτρικό πδίο στους οπλισμούς του πυκνωτή ίναι μέγιστο Ε ο, το μαγνητικό πδίο ίναι μηδέν και όλη η

16 νέργια ίναι ηλκτρική νέργια. Αντιθέτως όταν το ηλκτρικό πδίο μηδνίζται, το μαγνητικό πδίο στον παγωγέα αλλά και το ρύμα στο κύκλωμα μγιστοποιούνται στις τιμές Β ο σ ο αντιστοίχως, νώ όλη η νέργια ίναι πλέον μαγνητική. Μιας και δν υπάρχι αντίσταση στο κύκλωμα δν υπάρχι και κατανάλωση νέργιας, δηλαδή συμβαίνι απώλια νέργιας ως θρμότητα. Έτσι η νέργια στο C κύκλωμα παραμένι σταθρή και ισχύι 1 Q 1 I U C (11.41) Για μια τυχαία χρονική στιγμή, ένα μέρος της συνολικής νέργιας ίναι ηλκτρική και το υπόλοιπο ίναι μαγνητική. Η συνολική όμως νέργια του κυκλώματος παραμένι σταθρή οπότ 1 q 1 E (11.4) U U U U I C Επομένως λοιπόν, ν τη απουσία απωλιών νέργιας, έχουμ μια αέναη αρμονική ταλάντωση του ηλκτρικού πδίου από Ε ο σ -Ε ο και του μαγνητικού πδίου από Β ο σ -Β ο. Όταν το ηλκτρικό πδίο παίρνι μέγιστη τιμή το μαγνητικό μηδνίζται και αντίστροφα (σχ. 11.9). Έτσι λοιπόν, ένα κύκλωμα C μ νέργια U κτλί ηλκτρομαγνητική ταλάντωση μιας και η νέργια μταφέρται από τον πυκνωτή στο πηνίο και αντιστρόφως σ σταθρό χρόνο ίσο μ την πρίοδο της ταλάντωσης. Τέτοια κυκλώματα ηλκτρομαγνητικών ταλαντώσων ίναι χρήσιμα στις τηλπικοινωνίς, ραδιόφωνα, τηλοράσις, κινητά τηλέφωνα κλπ. Όμως ας δούμ πιο αναλυτικά την ηλκτρομαγνητική ταλάντωση νός κυκλώματος C. Εφαρμόζοντας τον δύτρο κανόνα του Kirckhhff στο κύκλωμα C του σχήματος 11.9β παίρνουμ q di q d q d q q d q q C dt C dt dt C dt C 0 0 0 0 (11.43) Η ξ. 11.43 ίναι ξίσωση απλού αρμονικού ταλαντωτή μ λύση qqcs( ωt φ) (11.44)

17 Άρα το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή ταλαντώνται μ γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης ω όπου 1 1 ω ω C C (11.45) Το ηλκτρικό ρύμα στο κύκλωμα C πίσης ταλαντώνται μ την ίδια συχνότητα ω και ίναι ίσο μ dq d I [ Qcs( ωt φ)] I ωqsin( ωt φ) dt dt (11.46) Από την ξ. 11.41 παίρνουμ (11.45) Q Q Q I I I I ωq (11.47) C C C Η ξ. 11.47 στην 11.46 δίνι τλικά για την μταβολή του ρύματος στο κύκλωμα C I -I sin(ωt +φ) (11.48) Η συχνότητα ταλάντωσης f, δηλαδή πόσους κύκλους ή αλλιώς ταλαντώσις κάνι ο ηλκτρομαγνητικός ταλαντωτής C στην μονάδα του χρόνου, ίναι ω 1/ C 1 f f π C (11.49) Η συχνότητα ταλάντωσης του ρύματος ίναι ίδια μ την συχνότητα ταλάντωσης του μαγνητικού και του ηλκτρικού πδίου. Η φάση μ την οποία ταλαντώνται το μαγνητικό πδίο Β ίναι ίδια μ αυτή του ρύματος, γιατί το Β ξαρτάται από το στο πηνίο (ξ. 11.1). Αντιθέτως η ταλάντωση του ηλκτρικού πδίου Ε στον πυκνωτή, παρουσιάζι ταλάντωση μ διαφορά φάσης π/ (90 ο ) από το ρύμα, διότι όταν μγιστοποιίται το μηδνίζται το Ε (σχ. 11.9). Στο σχ. 11.10 φαίνται η ξάρτηση του ρύματος και του μαγνητικού πδίου Β συναρτήσι του Β ο I -I -Β ο x= T Σχήμα 11.10 Μταβολή του ρύματος και του μαγνητικού πδίου στο πηνίο ηλκτρομαγνητικού ταλαντωτή C ως συνάρτηση του χρόνου. υ T t

18 χρόνου t στο κύκλωμα C. H μταβολή του ρύματος ίναι αρμονική όπως και αυτή του μαγνητικού πδίου παρουσιάζοντας πρίοδο Τ και μήκος κύματος λ. Έτσι ισχύι sin( t ) (11.50) Αντιθέτως για το ηλκτρικό πδίο στον πυκνωτή ισχύι E E cs( t ) (11.51) Για αρχική φάση φ=0 ο, το μαγνητικό και ηλκτρικό πδίο ταλαντώνονται όπως στο σχ. 11.11 μ διαφορά φάσης π/. Έχουμ δηλαδή μια ηλκτρομαγνητική ταλάντωση μ πρίοδο Τ και γωνιακή συχνότητα ω. Αναλόγως μταβάλλται και η ηλκτρική και μαγνητική νέργια σ πυκνωτή και παγωγέα αντίστοιχα, όπως δίχνι στο σχ. 11.1. Έτσι έχουμ για την ηλκτρική νέργια του πυκνωτή 1 Q U E (cs ωt φ) (11.5) C νώ για την μαγνητική νέργια του παγωγέα U U E U T Β Ε ο -Ε T T t -Β ο Σχήμα 11.11 Μταβολή του ηλκτρικού πδίου στον πυκνωτή και του μαγνητικού πδίου στο πηνίο σ κύκλωμα ηλκτρομαγνητικού ταλαντωτή C ως συνάρτηση του χρόνου. 1 U Iο (sin ωt φ) (11.53) Σχήμα 11.1 Μταβολή της ηλκτρικής νέργιας στον πυκνωτή και της μαγνητικής στον παγωγέα συναρτήσι του χρόνου σ κύκλωμα C απουσία αντίστασης. T t Εάν το κύκλωμα του ηλκτρομαγνητικού ταλαντωτή πριέχι ωμική αντίσταση, (κύκλωμα RC), τότ η νέργια δν διατηρίται και προοδυτικά λαττώνται, έως να μηδνισθί. Τότ η ηλκτρομαγνητική ταλάντωση ονομάζται φθίνουσα αρμονική ταλάντωση ή αποσβνομένη

19 αρμονική ταλάντωση. Η συμπριφορά της ηλκτρομαγνητικής ταλάντωσης ίναι παρόμοια μ την αντίστοιχη μηχανική φθίνουσα ταλάντωση. ΕΡΩΤΗΣΕΣ ΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΟΥ 11 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π11.1 Το ρύμα σ ένα πηνίο ίναι αρχικά μηδέν και ξαφνικά αρχίζι να αυξάνται μ σταθρό ρυθμό ώστ μτά από 10 s να φθάσι στην τιμή των 50 Α. Η μταβολή του ρύματος δημιουργί μια τάση αυτπαγωγής στο πηνίο ίση μ 5 V και η ωμική αντίσταση του πηνίου ίναι 80 Ω. α) Προσδιορίστ τον συντλστή αυτπαγωγής του πηνίου. β) Υπολογίστ την ολική μαγνητική ροή στο πηνίο όταν το ρύμα ίναι 50 Α. γ) Υπολογίστ τον λόγο του ρυθμού αποθήκυσης νέργιας στο μαγνητικό πδίο του πηνίου ως προς τον ρυθμό κατανάλωσης ηλκτρικής νέργιας από την αντίστασή του, όταν το ρύμα έχι τιμή 50 Α. Απάντηση: α) 5 Η, β) 50 Wb και γ) 0.0065. Π11. Ένα σωληνοιδές έχι μήκος l 1, ακτίνα r 1 και Ν 1 σπίρς και διαρρέται από ρύμα I 1. Ένα δύτρο μικρότρο σωληνοιδές μ μήκος l, ακτίνα r (r <r 1 ) και Ν σπίρς, τοποθτίται στο σωτρικό του πρώτου ώστ τα δυο σωληνοιδή να έχουν μια ομοαξονική διάταξη. Υποθέστ ότι το μαγνητικό πδίο του πρώτου σωληνοιδούς στην πριοχή του δυτέρου ίναι ομογνές. α) Υπολογίστ τον συντλστή της αμοιβαίας παγωγής του ζύγους των σωληνοιδών. β) Εάν το ρύμα στο πρώτο σωληνοιδές μταβάλλται μ ρυθμό di 1 /dt, πόση ίναι η ΗΕΔ αμοιβαίας παγωγής που αναπτύσσται στο δύτρο σωληνοιδές; γ) Εάν το ρύμα στο δύτρο σωληνοιδές μταβάλλται μ ρυθμό di /dt, πόση ίναι η ΗΕΔ αμοιβαίας παγωγής που αναπτύσσται στο πρώτο σωληνοιδές; Π11.3 Κύκλωμα -C. Ένα πηνίο έχι συντλστή αυτπαγωγής 0.80 Η και ένας πυκνωτής έχι χωρητικότητα 5.6 0μF. Τα δυο στοιχία ίναι συνδδμένα σ κύκλωμα -C. α)

0 Υπολογίστ το φορτίο που βρίσκται στους οπλισμούς του πυκνωτή την στιγμή που το ρύμα στο κύκλωμα μταβάλλται μ ρυθμό 3 Α/s; β) Όταν το φορτίο στον πυκνωτή ίναι 6.50 μc, πόση ίναι η τάση αυτπαγωγής στα άκρα του πηνίου; Απάντηση: 13.4 μc και 1.16 V. Π11.4 Να διχθί ότι η ξ. 11.4 ίναι λύση της ξίσωσης του ηλκτρομαγνητικού ταλαντωτή (ξ. 11.41).

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανπιστήμιο ωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν κπαιδυτικό υλικό έχι αναπτυχθί στα πλαίσια του κπαιδυτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανπιστήμιο ωαννίνων» έχι χρηματοδοτήσι μόνο τη αναδιαμόρφωση του κπαιδυτικού υλικού. Το έργο υλοποιίται στο πλαίσιο του Επιχιρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδυση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτίται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμίο) και από θνικούς πόρους. Σημιώματα Σημίωμα Αναφοράς Cpyright Πανπιστήμιο ωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Γνική Φυσική (Ηλκτρομαγνητισμός). ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ ΚΑ ΑΜΟΒΑΑ ΕΠΑΓΩΓΗ». Έκδοση: 1.0. ωάννινα 014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διύθυνση: http://ecurse.ui.gr/curse/view.php?id=111. Σημίωμα Αδιοδότησης Το παρόν υλικό διατίθται μ τους όρους της άδιας χρήσης Creative Cmmns Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μταγνέστρη. [1] https://creativecmmns.rg/licenses/by-sa/4.0/.