ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ (ημιτελές version )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ (ημιτελές version 5-4-216) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίνω ότι πιθανόν να υπάρχουν ατέλειες, ελλείψεις ή και λάθη στις λύσεις.ετσι ο αναγνώστης πρέπει να χρησιμοποιεί τις σημειώσεις με δική του προσοχή, έλεγχο και ευθύνη. 21-22 --- 23 ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης (x) = x είναι (x) = 1. Μονάδες 8 Εχουμε: ( x+ ) ( x) = x+ x = και για, x x = = 1 Επομένως Αρα, ( x ) = 1. x x = 1 = 1 Β. Πότε μια συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; Μονάδες 6 Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x1, x2 με x1 x2 οποιαδήποτε σημεία 1, 2 x x με x1 2 < ισχύει ( x1) ( x2) < x ισχύει ( x ) > ( x ). < και γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για 1 2 Δ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. γ. Ισχύει ((g(x))) = (g(x)). g (x) Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 1

23 επαναληπτικές Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το : α. β. γ. δ. x ( ) ( ) x x x x ( + ) + ( ) x Απάντηση γ. R, και το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός R, R, και το όριο αυτό είναι πραγματικός αριθμός R, Μονάδες 5 24 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης (x) = c είναι ίση με. Μονάδες 8 Εχουμε: ( x+ ) ( x) = c c = και για x x οπότε = x x = Αρα ( c ) =. Β. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο σημείο x του πεδίου ορισμού της. Μονάδες 5 Μια συνάρτηση συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής στο σημείο x του πεδίου ορισμού της αν ισχύει: ( x) = ( x ) x x Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 2

24 επαναληπτικές Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. α. Αν ( x) = και ( ) = τότε ( x) g( x) x x 1 g x x x 2 x x ( ) = β. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x1 A, όταν (x) (x1) για κάθε x σε μια περιοχή του x1. γ. Ισχύει ((x) g(x)) = (x) g(x) + g (x) (x), όπου και g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. δ. Ισχύει ( x ) = 1 με x>. x 1 2 25 επαναληπτικές Α.1. Δίνονται οι συναρτήσεις F( x ), ( x ) και g( x) με F( x) = ( x) + g( x) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F ( x) ( x) g ( x) Εχουμε : ( ) ( ) ( ) ( ) = + Μονάδες 9 ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) F x+ F x = x+ + g x+ x + g x = x+ x + g x+ g x και για F x F x x x g x g x = + Επομένως: F x F x x x g x g x = + = x + g x Αφού όμως ( ) ( ) = F ( x) τελικά έχουμε: F ( x) = ( x) + g ( x) F x F x Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 3

ΘΕΜΑ 1o 26 A. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c (x)) =c (x), x ΙR. Μονάδες 1 Εστω η συνάρτηση F ( x) = c ( x) + = + = ( + ), και για Εχουμε F( x ) F( x) c ( x ) c ( x) c ( x ) ( x) ( ) ( ) c ( x+ ) ( x) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x = = c Επομένως: ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x = c = c x ( ) β. Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μια συνάρτηση συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής αν για κάθε x Α ισχύει x x ( ) = ( ) x x 26 επαναληπτικές Β.1 Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A; Μονάδες 3 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x A όταν ( x) ( x ) για κάθε x σε μια περιοχή του x.. Β.2 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ; Μονάδες 3 Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 4

27 Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x του πεδίου ορισμού της; Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x του πεδίο ορισμού της, όταν: υπάρχει το όριο x x και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο συμβολίζεται με ( x ) και διαβάζεται «έφ τονούμενο του x.εχουμε λοιπόν: ( x ) = x x 27 επαναληπτικές Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης (x) = x είναι (x) = 1. Μονάδες 8 Εχουμε: ( x+ ) ( x) = x+ x = και για, x x = = 1 Επομένως Αρα, ( x ) = 1. ΘΕΜΑ 1ο x x = 1 = 1 28 Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης (x) = c (όπου x πραγματικός αριθμός) είναι ίση με, δηλαδή ( c ) =. Μονάδες 8 Εχουμε: ( x+ ) ( x) = c c = και για x x οπότε = x x = Αρα ( c ) =. Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 5

28 επαναληπτικές Α. Εστω, g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x)) = (x)+ g (x) Μονάδες 9 Εστω η συνάρτηση F( x) = ( x) + g( x) Εχουμε ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x = x+ + g x+ x + g x = x+ x + g x+ g x και για F x F x x x g x g x = + Επομένως: F x F x x x g x g x = + = x + g x ( ) ( ) 29 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, g ισχύει ότι ( ( x) g( x) ) ( x) g ( x) ( x) g( x) = + Μονάδες 2 γ. Για τη συνάρτηση (x)=ημx ισχύει ότι ηµ = συν x Μονάδες 2 ( x) 29 Επαναληπτικές B. α. Έστω μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A; Μονάδες 3 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A, όταν ( ) ( ) x x για κάθε x σε μια περιοχή του x1. 1 Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 6

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν η συνάρτηση έχει στο x όριο έναν πραγματικό αριθμό, δηλαδή αν ( x) ( ) φυσικό αριθμό ν μεγαλύτερο του 1 θα ισχύει ( ) x x x ν ν x x = τότε για κάθε 1 = ν Μονάδες 2 β. Για τη συνάρτηση (x) = e x, x, ισχύει (x) = e x Μονάδες 2 21 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν στο x όρια πραγματικούς αριθμούς, τότε ( ( x) g( x) ) = ( x) g( x) x x x x x x β) Για κάθε x> ισχύει ( x ) Σχόλιο: Το ορθό είναι ( x ) 1 = x 1 = 2 x γ) Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x=(t), τη χρονική στιγμή t είναι υ(t)= (t) δ) Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x x με x <x ισχύει (x )<(x ) 1, 2 1 2 1 2 Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 7

21 επαναληπτικές ΘΕΜΑ Α Α1. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και c R, να αποδείξετε ότι ( c ( x) ) c ( x) =, x Δ. Μονάδες 9 Εστω η συνάρτηση F ( x) = c ( x) + = + = ( + ), και για Εχουμε F( x ) F( x) c ( x ) c ( x) c ( x ) ( x) ( ) ( ) c ( x+ ) ( x) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x = = c Επομένως: ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x = c = c x ( ) Α2. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε σημεία x1, x2 με x1 < x2 >. ισχύει ( x ) ( x ) 1 2 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση g έχει πάντα πεδίο ορισμού το Α β) Ισχύει συν x = συν x. x x Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 8

211 γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει ((g(x))) = (g(x)) g (x) Μονάδες 2 211 επαναληπτικές Α3. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x του πεδίου ορισμού της Α; Μονάδες 4 Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x του πεδίο ορισμού της, όταν υπάρχει το όριο x x και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο συμβολίζεται με ( x ) και διαβάζεται «έφ τονούμενο του x. Εχουμε λοιπόν: ( x ) = x x Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν x>, τότε ( x ) 1 = 2 x β) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ( x) σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. > για κάθε εσωτερικό Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 9

ΘΕΜΑ Α 212 Α1. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x)) = (x)+ g (x), x Μονάδες 7 Εστω η συνάρτηση F( x) = ( x) + g( x) Εχουμε ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x = x+ + g x+ x + g x = x+ x + g x+ g x και για F x F x x x g x g x = + Επομένως: F x F x x x g x g x = + = x + g x 213 ΘΕΜΑ Α ( ) ( ) Α1. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης (x)=x είναι ( x) 1 Μονάδες 7 Εχουμε ( x+ ) ( x) = ( x+ ) x = και για x x = = 1 x x Επομένως = 1 = 1 Aρα ( x ) = 1 =, για κάθε x Α2. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x Α Μονάδες 4 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπικό μέγιστο στο, όταν για κάθε x σε μια περιοχή του x1, και τοπικό ελάχιστο στο όταν για κάθε x σε μια περιοχή του x2. Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 1

213 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Α3. Τι ονομάζεται παράγωγος μιας συνάρτησης στο σημείο xo του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της, ονομάζεται το όριο x x i) υπάρχει και αν ii) είναι πραγματικός αριθμός Συμβολίζεται με ( x ) και διαβάζεται «έφ τονούμενο του x Εχουμε λοιπόν: ( x ) = x x Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ( συν x) x x Σωστή ( c x ) = c ( x) β) ( ) Σωστή = συν x (μονάδες 2) 214 ΘΕΜΑ Α Α1. Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι : ( c ( x) ) c ( x) =, για κάθε x. Μονάδες 7 Απάντηση σχολικό σ.3 Εστω η συνάρτηση F ( x) = c ( x) + = + = ( + ), και για Εχουμε F( x ) F( x) c ( x ) c ( x) c ( x ) ( x) ( ) ( ) c ( x+ ) ( x) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x = = c ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x x+ x Επομένως: = c = c x Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 11 ( )

Α2. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Απάντηση σχολικό σ.3 Mια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x1, x2 με x1 x2 < ισχύει ( x ) ( x ) >. 1 2 214 Επαναληπτικές ΘΕΜΑ Α Α2. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A ; Μονάδες 4 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x1 A, όταν ( ) ( ) x x για κάθε x σε μια περιοχή του x1. 1 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. γ) Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο x. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της ( ) γραφικής παράστασης της στο σημείο της x, ( x ) είναι ( ) x. (μονάδες 2) Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 12

ΘΕΜΑ Α 215 (ίδιο με 212) Α1. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( (x) + g(x)) = (x)+ g (x), x Μονάδες 7 Εστω η συνάρτηση F( x) = ( x) + g( x) Εχουμε: ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) F x+ F x = x+ + g x+ x + g x = x+ x + g x+ g x και F x F x x x g x g x για = + Επομένως: F x F x x x g x g x = + = x + g x ( ) ( ) Α2. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x του πεδίο ορισμού της, όταν υπάρχει το όριο x x και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο συμβολίζεται με ( x ) και διαβάζεται «έφ τονούμενο του x. Εχουμε λοιπόν: ( x ) = x x Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 13

- Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για τη συνάρτηση ισχύουν ( x ) = για x ( αβ), ( x) > στο ( ), και ( x) < στο ( x β ), τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα (, ), α, x και αβ για x = x. β) Ένα τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο. Α2. Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 4 Aπάντηση: Mια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για κάθε x Αισχύει: x x ( ) = ( ) x x Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. Αποδεικνύεται ότι οι γνωστές μας συναρτήσεις, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές, λογαριθμικές, αλλά και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ αυτών είναι συνεχείς συναρτήσεις. - Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη, αν η πρόταση είναι σωστή, ή, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού Α, τότε η συνάρτηση g έχει πάντοτε πεδίο ορισμού το Α. Σχόλιο: Το πηλίκο ορίζεται για x Αμε g( x) β) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι ( x) εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. < για κάθε Aθανασίου Δημήτρης asepreedom@yaoo.gr peira.gr 14