ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-5 ΟΜΑΔΑ Α 4% Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα μπορούμε να πούμε το ίδιο για τα α A B, Γ β Α,Β Γ γ Α Β, Α Γ Να δικαιολογηθεί με μαθηματικές πράξεις η απάντηση. α P [ Α Β Γ] P[ Α Γ Β Γ ] P Α Γ P B Γ P A B Γ P A P Γ P B P Γ P A P B P Γ P Γ [ P A P B P A P B ] P Γ [ P A P B P A B ] P Γ P A B β P A B Γ P A B Γ P A P B P Γ P A P B Γ γ P A B A Γ P A B Γ P A P B P Γ Γ Γ P A B A P A P B P Από τις σχέσεις και έχουμε: P A P A P A μόνο για αυτή την τιμή ισχύει Για να είναι τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ανεξάρτητα πρέπει να ισχύει: P A B Γ P A P B P Γ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 --
α Αν Χ ~ Ν 5, 7 και Υ3Χ,να υπολογιστεί η προσδοκώμενη τιμή του Υ. βνα βρεθεί επίσης η προσδοκώμενη τιμή του Υ αν η Χ είναι λογαριθμική τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους λ 3,. Ε Υ Ε Χ Ε Χ α 3 3 3 Var X E X Ε Υ 3 7 5 3 49 5 3*4 7 β Η Χ είναι λογαριθμοκανονική E X e E X e E X e λ και Var X μ e 3 3 3 8 7 7 3,5* 3,5 Var X e e e e e e 363,75 3,5 7 8 7 E Y E X Var X E X e e e E Y ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 --
3 Η συνάρτηση κατανομής που χρησιμοποιείται σε μοντέλα ακόμα και πολεοδομικά αύξησης πληθυσμού είναι FΧ, < X <, a, b >. Nα a b e αποδειχτεί ότι η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής Χ ικανοποιεί τη σχέση:fαf-f. Παραγωγίουμε τη συνάρτηση κατανομής για να πάρουμε τη συνάρτηση πιθανότητας. a b a b ae ae f F' a b a b a b e e e a b ae a b ae a a a a f F F e e e a b a b a b f F a af af F ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-3-
3X 4 Aν Χ, Υ, Ζ τ.μ. με z με παρατηρήσεις για τη Χ:3, 3., 3.5, 3. και για τη Y Υ :,.,.4,. να υπολογιστεί πιθανότητα P3<Ζ<3. θεωρώντας μια βολική συνάρτηση πιθανότητας για όλους τους υπολογισμούς. 3 3. 3.5 3. μ X 3. 4 σ X 3 3. 3. 3. 3.5 3. 3. 3. 3.467 μ..4..75 4 σ.75..75.4.75..75 3.967 3X Ισχύει Ζ Y Θεωρούμε X, Y λογαριθμικές με X ~ λ σ μ άρα λ lμ άρα λ σ.78.453 μ.75 l3. -.675 και Y ~ λ.68 λ lμ l.75.453.57 3X Aρρ lz l l3x ly l 3 l X ly Y Aρρ lz ~ Nλ, z z.6.675 3.,, λ z l3 λ λ 3.7 z l3 4.66 αρα P3 < Z < 3. Pl3 < l Z < l 3. P.99 < l Z <.63.63 3.7.99 3.7 Φ Φ Φ.977 Φ.37.66.66 [ Φ.977 ] [ Φ.37 ].976.9793.3. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-4-
5 Ποια είναι η εκτίμηση της παραμέτρου μιας γεωμετρικής κατανομής με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοεπιφάνειας; Ποια με τη μέθοδο των ροπών; Με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοεπιφάνειας: d... d..., ll 3 l l l l l..., ll l L,...., L L,... Με τη ροπών: ΕΧμ Χ. Χ Χ Αλλά ΕΧ/ Αρα : Χ. Χ Χ / X X X ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-5-
ΟΜΑΔΑ Β 6% Έστω ότι έχουμε δοκίμια ενός συγκεκριμένου τύπου σκυροδέματος. Γνωρίουμε ότι το 6% αυτών είναι αποδεκτά πάνω από την ελάχιστη επιτρεπόμενη αντοχή. Επειδή τα αποδεκτά δοκίμια έχουν μπερδευτεί με τα μη αποδεκτά χρησιμοποιούμε ένα τεστ θλιπτικής αντοχής που υποβάλουμε αυτά τα δοκίμια για να ελέγξουμε αν είναι αποδεκτά η όχι. Το τεστ αυτό δίνει 9% σωστή διάγνωση αν το δοκίμιο είναι πράγματι αποδεκτό ενώ δίνει 3% λαθεμένη διάγνωση αν το δοκίμιο δεν είναι στην πραγματικότητα αποδεκτό. Ένα τυχαίο δοκίμιο υποβάλλεται σε τρία τεστ και τα δύο δείχνουν ότι είναι αποδεκτό επιτρεπτής αντοχής. Ποια η πιθανότητα να είναι πράγματι αποδεκτό; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα τέταρτο τεστ θα χαρακτηρίσει το δοκίμιο «αποδεκτό»; Α { πράγματι αποδεκτό δοκίμιο } Β { το -οστό τεστ λέει αποδεκτό δοκίμιο } P A P A,6 A, 4 P B/ A,9 P B /, P B/ A, 3 Δύο από τα τρία τεστ δείχνουν το δοκίμιο αποδεκτό: c c c { 3, 3, 3} Γ ΒΒΒ ΒΒΒ ΒΒΒ α Ποια η πιθανότητα να είναι πράγματι αποδεκτό; P A/ Γ ; β Ποια η πιθανότητα ότι ένα τέτοιο τεστ θα χαρακτηρισθεί το δοκίμιο αποδεκτό; P B Γ / 4 ; c c P B P B A A P B A B A P B/ A P A P B/ A P A,9*, 6, 3*, 4,55 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-6-
α P A/ Γ Γ / A P A P P A P A P A P A Γ / Γ/ 3 3 P Γ / A P B A P B A P B A 3*, 3*, 3*,97, 69 3 3 P Γ / A P B A P B A P B A 3*,9*,9*,,43 Από την σχέση έχουμε:,6*,43 P A/ Γ,999, 43*, 6, 69*, 4 β 4Γ 4 Γ Γ P Γ P B P B P P B4 Γ P B4 P B,55 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-7-
Για την πρόσληψη ενός εργοταξιάρχη σε ένα εργοτάξιο στην Πίνδο, μια επιτροπή της τεχνικής εταιρίας ΔΥΝΑΜΙΚΗ έχει να επιλέξει από ένα πλήθος υποψηφίων διπλωματούχων Πολιτικών Μηχανικών που υπέβαλαν αίτηση. Η επιτροπή αποφασίει να εξετάσει έναν-έναν, που επιλέγεται τυχαία μέχρις ότου πετύχει κάποιον υποψήφιο ικανό για εργοταξιάρχη. α Αν υποτεθεί ότι το % των υποψηφίων είναι ικανοί για εργοταξιάρχες, ποια η πιθανότητα η επιτροπή να απορρίψει το πολύ δύο υποψηφίους; β Αν η απόρριψη κάθε υποψηφίου έχει κόστος της τάξης των 4 ευρώ, ποια είναι η μέση τιμή και η διασπορά του κόστους για την πλήρωση της θέσης. α Έχουνε γεωμετρική κατανομή Έστω Χ: ο αριθμός των δοκιμών μέχρι τη η επιτυχία. PX 3 PX PX PX PX 3.*.8..*.8.*.8.738 β Eστω κόστος:y 4X- αρα ΕΥ Ε4Χ- 4ΕΧ- 4 6.. Var X Var4 X 6 34. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-8-
3 Ένα εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικών ανιχνευτών παράγει 5% ελαττωματικούς ανιχνευτές. Ας υποθέσουμε ότι τέτοιοι ανιχνευτές επιλέγονται τυχαία, συσκευάονται και χωρίς να ελεγχθούν διοχετεύονται στο εμπόριο. Αν το κόστος επιδιόρθωσης δίνεται από τη σχέση Κ3Χ Χ ο αριθμός των ελαττωματικών να βρεθεί το αναμενόμενο κόστος επιδιόρθωσης. 3 X 3 Var X E X Ε Κ Ε P ελαττωματικός,5 P μη ελαττωματικός,85 Χ : ο αριθμός ελαττωματικών δοκιμίων είναι Beroulli ρ,5 E X Var X ρ *,5,5 ρ ρ *,5*,5 Από την σχέση έχουμε: E K E K 3*, 75,5,95 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-