Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 12 Μαρτίου 2008 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποσκοπούν στο να δώσουνε µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών, της έννοιας του ορίου και της συνέχειά τους. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Περιεχόµενα 1 Γενικά 3 2 Ο Χώρος R 2 3 3 Ο Χώρος R n 4 4 Γραφική Παράσταση 5 5 Επιφάνειες 5 5.1 Επιφάνειες Πρώτου Βαθµού................... 5 5.2 Επιφάνειες ευτέρου Βαθµού.................. 5 5.2.1 Σφαίρα........................... 6 5.2.2 Ελλειψοειδές....................... 6 5.2.3 Παραβολοειδές...................... 6 5.2.4 Ελλειπτικός Κώνος.................... 6 5.2.5 Υπερβολοειδές....................... 6 5.2.6 Ελλειπτικός Κύλινδρος.................. 6 5.2.7 Παραβολικός Κύλινδρος................. 6 6 Οριο Συνάρττησης 7 6.1 Ορισµός.............................. 7 6.2 Ιδιότητες............................. 7 6.3 Επαναλητπικά Ορια....................... 8 6.4 Κριτήριο Παρεµβολής...................... 8 7 Συνέχεια 8
Κ. Κυρίτσης 3 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 1 Γενικά Πραγµατική συνάρτηση n πραγµατικών µεταβλητών x 1, x 2,...,x n ϑα ονο- µάζεται µια απεικόνιση από κάποιο υποσύνολο του R n στο R, µε άλλα λόγια f : A R n B R. Οπως και µε τις συναρτήσεις µιας µεταβλητής και το σύνολο το οποίο απεικονίζεται ονοµάζεται πεδίο ορισµού και το σύνολο στο οποίο καταλήγει η απεικόνιση ονοµάζεται πεδίο τιµών ή εικόνα. Οταν η συνάρτηση δίνεται σαν ένας τύπος, γράφουµε y = f(x 1, x 2,...,x n ). Στην περίπτωση συναρτήσεων δύο µεταβλητών συνήθως γράφουµε z = f(x, y), ενώ στην περίπτωση συναρτήσεων τριών µεταβλητών 2 Ο Χώρος R 2 w = f(x, y, z). Θεωρούµε το σηµείο M 0 = (x 0, y 0 ) του επιπέδου R 2. Ορίζουµε σαν ανοιχτή κυκλική περιοχή να είναι π(m 0, δ) = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ}. (1) Το M 0 λέγεται κέντρο της περιοχής. Αν η περιοχή δεν περιέχει το M 0 ϑα λέγεται περιορισµένη ανοιχτή κυκλική περιοχή. Η κλειστή περιοχή ο- ϱίζεται να από την ιδιότητα (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 δ. Ορίζουµε την ανοιχτή τετραγωνική περιοχή να είναι π(m 0, δ) = {(x, y) : x x 0 < δ, y y 0 < δ}. (2) Αν εξερέσουµε το ίδιο το σηµείο από την περιοχή µιλάµε για περιορισµένη περιοχή. Οµοίως ορίζεται και η κλειστή περιοχή. Κάθε κυκλική περιοχή είναι ισοδύναµη µιας τετραγωνικής και αντίστροφα.
Κ. Κυρίτσης 4 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Θα λέµε ότι το D R 2 είναι ανοιχτό αν για κάθε σηµείο του µπορούµε να ϐρούµε ανοιχτή περιοχή που να ϐρίσκεται εξ ολοκλήρου στο D. Με άλλα λόγια, P D, δ > 0 : π(p, δ) D. Το σηµείο (x 0, y 0 ) D, ϑα λέγεται εσωτερικό σηµείο αν υπάρχει ανοιχτή περιοχή µε κέντρο το εν λόγω σηµείο που να περιέχεται εξολοκλήρου στο D. Κατά συνέπεια ανοιχτό σύνολο είναι αυτό που όλα του τα σηµεία είναι εσωτερικά. Ορίζουµε το συµπλήρωµα του D R 2 να είναι D c = {M : M / D} = R 2 D. (3) Ισχύει ότι D D c = R 2 και D D c =. Αν το D είναι ανοιχτό, το D c είναι κλειστό. Αν το D είναι κλειστό, το D c είναι ανοιχτό. Ενα σηµείο του D ϑα λέγεται οριακό σηµείο ή συνοριακό σηµείο αν κάθε περιορισµένη ανοιχτή περιοχή του περιλαµβάνει σηµεία τόσο εντός όσο και εκτός του D. Με άλλα λόγια µας ενδαιφέρει κάθε περιοχή του εν λόγω σηµείου να µην είναι εξ ολοκλήρου εντός του D (εξαιρούµε στην µελέτη το ίδιο το σηµείο). Ενα κλειστό σύνολο περιέχει όλα τα οριακά του σηµεία. Ορίζουµε σαν σύνορο του D να είναι το σύνολο των οριακών του σηµείων. Συµβολίζεται µε bd(d) ή D. Το D ϑα λέγεται ϕραγµένο αν η απόσταση µεταξύ δύο οποιονδήποτε σηµείων του είναι πεπερασµένος αριθµός. Θα λέγεται συννεκτικό αν δύο οποιαδήποτε σηµεία του µπορούν να ενωθούν µε καµπύλη. Θα λέγεται συµπαγές αν είναι ϕραγµένο και συνεκτικό. 3 Ο Χώρος R n Εδώ τα σηµεία δίνονται σαν M = (y 1, y 2,...,y n ). Η ανοιχτή κυκλική περιοχή (µπάλα) ορίζεται να είναι π(m, δ) = (x 1, x 2,...,x n ) : n (x i y i ) 2 < δ. (4) Αντίστοιχα η ανοιχτή κυβική περιοχή είναι π(m, δ) = {(x 1, x 2,...,x n ) : x i y i < δ, i = 1, 2,..., n}. (5) i=1 Οι έννοιες περί ανοιχτού, κλειστού συνόλου κ.λ.π. ισχύουν αυτούσιες, µε χρήση περιοχών του R n πλέον.
Κ. Κυρίτσης 5 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 4 Γραφική Παράσταση εδοµένης µιας συνάρτησης f(x, y), το σύνολο σηµείων {x, y, f(x, y)} ϑα λέγεται γράφηµα της συνάρτησης. Η επιφάνεια z = f(x, y) ϑα λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης. Οι καµπύλες f(x, y) = c ϑα λέγονται ισοϋψεις. Είναι οι καµπύλες που σχηµατίζονται από την τοµή της επιφάνειας της συνάρτησης µε το οριζόντιο επίπεδο z = c. Συνήθως απεικονίζουµε την κατακόρυφη προβολή τους στο επίπεδο xy. Για συναρτήσεις τριών και περισσοτέρων µεταβλητών, η γραφική παράσταση δεν µπορεί να γίνει. 5 Επιφάνειες Η σχέση ορίζει µια επιφάνεια στο χώρο R 3. 5.1 Επιφάνειες Πρώτου Βαθµού ίνονται από την σχέση Πρόκειται για επίπεδα στο χώρο. 5.2 Επιφάνειες ευτέρου Βαθµού ίνονται από τη σχέση F(x, y, z) = 0 (6) Ax + By + Cz + D = 0. (7) Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0. (8) Με µεταχηµατισµούς µεταφοράς και περιστροφής ανάγονται στις απλούστε- ϱες µορφές Ax 2 + By 2 + Cz 2 + J = 0 (9) ή Ax 2 + By 2 + J = 0. (10) Μερικά χαρακτηριστικά παραδείγµατα είναι
Κ. Κυρίτσης 6 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 5.2.1 Σφαίρα (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. (11) Το R είναι η ακτίνα της σφαίρας. 5.2.2 Ελλειψοειδές 5.2.3 Παραβολοειδές 5.2.4 Ελλειπτικός Κώνος 5.2.5 Υπερβολοειδές Ενός ϕύλλου ύο ϕύλλων x 2 a + y2 2 b + z2 = 1. 2 (12) c2 x 2 x 2 a + y2 2 b = z 2 c. (13) x 2 a + y2 2 b = z2 2 c. 2 (14) a + y2 2 b z2 = 1. 2 (15) c2 z 2 5.2.6 Ελλειπτικός Κύλινδρος c x2 2 a y2 = 1. 2 (16) c2 x 2 a + y2 = 1. 2 (17) b2 5.2.7 Παραβολικός Κύλινδρος y = ax 2. (18)
Κ. Κυρίτσης 7 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 6 Οριο Συνάρττησης 6.1 Ορισµός Θα λέµε ότι η συνάρτηση f(x, y) έχει όριο L καθώς τα (x, y) πλησιάζουν το (x 0, y 0 ) και ϑα γράφουµε f(x, y) = L εάν για κάθε ǫ > 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε (x, y) να είναι 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ όταν f(x, y) L < ǫ. Ισοδύναµα µπορούµε να απαιτήσουµε να είναι 0 < x x 0 < δ, 0 < y y 0 < δ. Για συναρτήσεις περισσοτέρων µεταβλητών ο ορισµός του ορίου είναι ίδιος, απλά χρησιµοποιούµε κατάλληλης διάστασης περιοχή. 6.2 Ιδιότητες Ισχύει ότι x = x 0, (19) y = y 0, (20) k = k. (21) Αν (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = L και (x,y) (x0,y 0 ) g(x, y) = M είναι (f(x, y) ± g(x, y)) = L ± M, (22) (f(x, y) g(x, y)) = L M, (23) µε την προϋπόθεση ϕυσικά ότι M 0, f(x, y) g(x, y) = L M, (24) (kf(x, y)) = k f(x, y), (25) (f(x, y)) n n m = L m. (26) Το όριο, αν υπάρχει, είναι µοναδικό και ανεξάρτητο από τον τρόπο προσέγγισης του σηµείου.
Κ. Κυρίτσης 8 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών 6.3 Επαναλητπικά Ορια Τα όρια και f(x, y) (27) x x 0 y y0 f(x, y) (28) y y 0 x x0 ονοµάζονται επαναληπτικά ή διαδοχικά όρια. Αν υπάρχει το (x,y) (x0,y 0 ) f(x, y) = L, είναι f(x, y) = f(x, y) = L. (29) x x 0 y y0 y y0 x x0 εν ισχύει το αντίθετο. 6.4 Κριτήριο Παρεµβολής Αν τότε 7 Συνέχεια f(x, y) g(x, y) g(x, y) = 0 f(x, y) = 0. (30) Μια συνάρτηση f(x, y) ϑα λέγεται συνεχής στο (x 0, y 0 ) αν συντρέχουν οι εξής προϋποθέσεις. 1. Υπάρχει το όριο f(x, y) = L, 2. Υπαρχει η τιµή της συνάρτησης στο συγκεκριµένο σηµείο, ορίζεται δηλαδή το f(x 0, y 0 ), 3. Είναι f(x 0, y 0 ) = L. Οµοίως ορίζεται και η συνέχεια συνάρτησης περισσοτέρων µεταβλητών.
Κ. Κυρίτσης 9 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 10 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 11 Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ